Geometria analitica

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<p>Super Professor</p><p>1. No plano cartesiano, são dados os pontos A(1, 2) e B(3, 6).</p><p>O ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A e B.</p><p>A abscissa de P é</p><p>a) 6.</p><p>b) 8.</p><p>c) 9.</p><p>d) 10.</p><p>e) 12.</p><p>2. Sejam m e n duas constantes reais e sejam A = (m, 4) e B = (6, n) dois pontos do plano cartesiano. Se é a reta de equação então o valor de m + n é</p><p>a) 1.</p><p>b) 7.</p><p>c) 10.</p><p>d) 11.</p><p>e) 15.</p><p>3. Considerando o ponto P (–1,–3) e o ponto Q (3,5), marque a alternativa que expressa a equação da reta que passa pelo ponto P e Q.</p><p>a) 3x − 5y + 2 = 0</p><p>b) 2x + y + 1 = 0</p><p>c) 5x + 2y − 3 = 0</p><p>d) 2x − y − 1 = 0</p><p>e) 3x − 5y − 5 = 0</p><p>4. Seja um triângulo equilátero ABC, de vértice A(1, 2), cujo lado BC está sobre a reta de equação A altura desse triângulo é</p><p>a) 1,5</p><p>b) 1,4</p><p>c) 1,3</p><p>d) 1,2</p><p>5. Os pontos A = (2,9), B = (2,3) e C = (c,0) são colineares.</p><p>Escolha a alternativa correta.</p><p>a) c = 0</p><p>b) c = 1</p><p>c) c = 2</p><p>d) c = 3</p><p>e) c = 4</p><p>6. O triângulo ABC tem vértices A = (a, 0), B = (2, 2) e C = (0, 4). Sabe-se que a área do triângulo ABC é igual a 3.</p><p>Sabendo-se que o que se pode deduzir sobre o valor de a?</p><p>a) a = 7</p><p>b) a = 8</p><p>c) a = 9</p><p>d) a = 10</p><p>e) a = 11</p><p>7. No plano cartesiano, a reta r passa pelos pontos de coordenadas (0, 3) e (4, 0), e a reta s passa pela origem e é perpendicular à reta r. Uma equação da reta s é</p><p>a) 3x – 2y = 0</p><p>b) 5x – 4 y = 0</p><p>c) x – 5y = 0</p><p>d) 4x – 3y = 0</p><p>e) 2x – y = 0</p><p>8. No plano cartesiano, a área do triângulo delimitado pelas retas e é</p><p>a) 27</p><p>b) 15</p><p>c) 12</p><p>d) 10</p><p>e) 8</p><p>9. Em qualquer triângulo, o baricentro, o circuncentro e o ortocentro estão sempre alinhados numa reta denominada reta de Euler. Se os vértices de um triângulo são dados pelas coordenadas (0, 0), (0, 6) e (12, 0), uma equação da reta de Euler desse triângulo é:</p><p>a) y = 2x</p><p>b) x = 2y</p><p>c) x + y = 0</p><p>d) x – y = 0</p><p>e) y = 3x</p><p>10. Um topógrafo fez o levantamento de um terreno quadrangular, encontrando como coordenadas dos seus vértices consecutivos (0, 0), (50, 10), (60, 50) e (10, 60), medidas em metros. A área desse terreno é de:</p><p>a) 2.000 m2</p><p>b) 2.500 m2</p><p>c) 3.200 m2</p><p>d) 4.000 m2</p><p>e) 4.600 m2</p><p>11. Seja P o vértice da parábola y = –3x2 – 12x – 9 e Q = (2, –4). Qual a distância entre P e Q?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 4</p><p>d) 7</p><p>e)</p><p>12. O triângulo ABC possui vértices com coordenadas A = (3, 4), B = (3, – 5) e C = (4, 1) no sistema cartesiano no qual os eixos coordenados estão graduados em centímetros.</p><p>A altura relativa ao lado AB do triângulo ABC mede, em centímetros,</p><p>a) 9</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>13. Os pontos A(– 3, y) e B(– 1, 2) pertencem à função em que m é um número real. A equação da reta que passa pelos pontos A e B pode ser dada por</p><p>a) y = –x + 3</p><p>b) y = x – 3</p><p>c) y = –x + 1</p><p>d) y = x + 1</p><p>e) y = –x – 1</p><p>14. Os pontos e são vértices opostos de um quadrado A equação da reta que contem a diagonal é</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>15. Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, a soma das coordenadas dos pontos da reta cuja distância à reta é igual a 3, é</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>[D]</p><p>Vamos considerar o ponto P(k, 0) pertencente ao eixo das abscissas e escrever que a distância de P até A é igual a distância de P até B.</p><p>Logo, a abscissa do ponto P é 10.</p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[D]</p><p>Considerando que temos:</p><p>Considerando que B temos:</p><p>Logo, m + n = 11.</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[D]</p><p>A equação da reta que passa pelos pontos P e Q é dada por:</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[B]</p><p>A altura do triângulo é dada pela distância do vértice A à reta dada. Portanto:</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[C]</p><p>Se e estão alinhados, então</p><p>Resposta da questão 6:</p><p>[A]</p><p>Se e então</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>[D]</p><p>A equação da reta é</p><p>Logo, como e são perpendiculares, segue que o coeficiente angular de é Portanto, se a reta passa pela origem, então sua equação é ou seja,</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[D]</p><p>Interseção das retas duas a duas:</p><p>Portanto, a área do triângulo formado vale:</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>[B]</p><p>Como o triângulo é retângulo com o ângulo reto na origem, o ortocentro está localizado no ponto (0, 0). O baricentro do triângulo está localizado no ponto:</p><p>Logo, a equação da reta de Euler é:</p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[B]</p><p>A área do terreno é dada por:</p><p>Resposta da questão 11:</p><p>[B]</p><p>Determinando as coordenadas do vértice P, obtemos:</p><p>Calculando a distância d entre P e Q, obtemos:</p><p>Resposta da questão 12:</p><p>[D]</p><p>Como A e B possuem a mesma abscissa, a equação da sua reta suporte é x = 3. Aplicando a equação da distância do ponto C até essa reta, obtemos o valor da altura do triângulo referente ao lado AB:</p><p>Resposta da questão 13:</p><p>[C]</p><p>Valor de m:</p><p>Valor de y:</p><p>Sendo assim, a equação da reta que passa pelos pontos A e B é dada por:</p><p>Resposta da questão 14:</p><p>[B]</p><p>Coeficiente angular de</p><p>Como a reta que passa por é perpendicular a o seu coeficiente angular é:</p><p>Ponto de encontro das diagonais:</p><p>Portanto, a equação da reta que contem a diagonal é:</p><p>Resposta da questão 15:</p><p>[D]</p><p>Tem-se que</p><p>Logo, os pontos de que distam unidades da reta são e</p><p>A resposta é</p><p>Resumo das questões selecionadas nesta atividade</p><p>Data de elaboração:	05/07/2024 às 20:16</p><p>Nome do arquivo:	Geometria anal?tica</p><p>Legenda:</p><p>Q/Prova = número da questão na prova</p><p>Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®</p><p>Q/prova	Q/DB	Grau/Dif.	Matéria	Fonte	Tipo</p><p>1	240669	Média	Matemática	Fempar (Fepar)/2024	Múltipla escolha</p><p>2	241994	Média	Matemática	Uea-sis 3/2024	Múltipla escolha</p><p>3	247793	Baixa	Matemática	Esa/2024	Múltipla escolha</p><p>4	220920	Baixa	Matemática	Eear/2023	Múltipla escolha</p><p>5	221124	Baixa	Matemática	Pucrj/2023	Múltipla escolha</p><p>6	221618	Baixa	Matemática	Pucrj/2023	Múltipla escolha</p><p>7	223765	Baixa	Matemática	Uea/2023	Múltipla escolha</p><p>8	226637	Baixa	Matemática	Fgv/2023	Múltipla escolha</p><p>9	233234	Baixa	Matemática	Espm/2023	Múltipla escolha</p><p>10	233237	Baixa	Matemática	Espm/2023	Múltipla escolha</p><p>11	245919	Média	Matemática	Provão Paulista 3/2023	Múltipla escolha</p><p>12	208686	Baixa	Matemática	Ufjf-pism 3/2022	Múltipla escolha</p><p>13	236015	Baixa	Matemática	Uea/2022	Múltipla escolha</p><p>14	196133	Baixa	Matemática	Espcex (Aman)/2021	Múltipla escolha</p><p>15	202849	Média	Matemática	Uece/2021	Múltipla escolha</p><p>Página 1 de 4</p><p>image3.wmf</p><p>3x4y20.</p><p>--=</p><p>oleObject47.bin</p><p>image49.wmf</p><p>s</p><p>oleObject48.bin</p><p>image50.wmf</p><p>4</p><p>yx,</p><p>3</p><p>=</p><p>oleObject49.bin</p><p>image51.wmf</p><p>4x3y0.</p><p>-=</p><p>oleObject50.bin</p><p>image52.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>5x3y10</p><p>x,y1,2</p><p>y20</p><p>5x3y10</p><p>x,y4,7</p><p>5xy270</p><p>y20</p><p>x,y5,2</p><p>5xy270</p><p>-+=</p><p>ì</p><p>Þ=</p><p>í</p><p>-=</p><p>î</p><p>-+=</p><p>ì</p><p>Þ=</p><p>í</p><p>+-=</p><p>î</p><p>-=</p><p>ì</p><p>Þ=</p><p>í</p><p>+-=</p><p>î</p><p>oleObject51.bin</p><p>image53.wmf</p><p>121</p><p>11</p><p>A47120</p><p>22</p><p>521</p><p>A10u.a.</p><p>=×=×-</p><p>\=</p><p>oleObject3.bin</p><p>oleObject52.bin</p><p>image54.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>0012060</p><p>G,4,2</p><p>33</p><p>++++</p><p>æö</p><p>==</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject53.bin</p><p>image55.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>201</p><p>m</p><p>402</p><p>1</p><p>y0x0</p><p>2</p><p>x2y</p><p>-</p><p>==</p><p>-</p><p>-=-</p><p>=</p><p>oleObject54.bin</p><p>image56.wmf</p><p>image57.wmf</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>001</p><p>11</p><p>A106012900A1450m</p><p>22</p><p>50101</p><p>10601</p><p>11</p><p>A605012100A1050m</p><p>22</p><p>50101</p><p>A14501050</p><p>A2500m</p><p>=×=×Þ=</p><p>=×=×Þ=</p><p>=+</p><p>\=</p><p>oleObject55.bin</p><p>image58.wmf</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>b(12)</p><p>x2</p><p>2a2(3)</p><p>((12)4(3)9)</p><p>y</p><p>4a4(3)</p><p>36</p><p>y</p><p>12</p><p>y3</p><p>P(2,3)</p><p>Δ</p><p>--</p><p>=-==-</p><p>××-</p><p>---×-×</p><p>=-=</p><p>××-</p><p>-</p><p>=</p><p>-</p><p>=</p><p>\-</p><p>oleObject56.bin</p><p>image4.wmf</p><p>a1,</p><p>¹</p><p>image59.wmf</p><p>22</p><p>d(22)(3(4))</p><p>d1649</p><p>d65</p><p>=--+--</p><p>=+</p><p>=</p><p>oleObject57.bin</p><p>image60.wmf</p><p>22</p><p>14013</p><p>h</p><p>10</p><p>h1cm</p><p>×+×-</p><p>=</p><p>+</p><p>\=</p><p>oleObject58.bin</p><p>image61.wmf</p><p>2</p><p>(1)3(1)m2</p><p>m4</p><p>-+×-+=</p><p>=</p><p>oleObject59.bin</p><p>image62.wmf</p><p>2</p><p>(3)3(3)4y</p><p>y4</p><p>-+×-+=</p><p>=</p><p>oleObject60.bin</p><p>image63.wmf</p><p>42</p><p>m1</p><p>31</p><p>y21(x1)</p><p>yx1</p><p>-</p><p>==-</p><p>-+</p><p>-=-×+</p><p>\=-+</p><p>oleObject61.bin</p><p>oleObject4.bin</p><p>image64.wmf</p><p>AC:</p><p>oleObject62.bin</p><p>image65.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>AC</p><p>32</p><p>5</p><p>m</p><p>134</p><p>--</p><p>==-</p><p>--</p><p>oleObject63.bin</p><p>image66.wmf</p><p>BD</p><p>oleObject64.bin</p><p>image67.wmf</p><p>AC,</p><p>oleObject65.bin</p><p>image68.wmf</p><p>BD</p><p>AC</p><p>14</p><p>m</p><p>m5</p><p>=-=</p><p>oleObject66.bin</p><p>image5.wmf</p><p>5x3y10,</p><p>-+=</p><p>image69.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>31</p><p>231</p><p>x,y,1,</p><p>222</p><p>æö</p><p>+-</p><p>-+</p><p>æö</p><p>==</p><p>ç÷</p><p>ç÷</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>èø</p><p>oleObject67.bin</p><p>image70.wmf</p><p>BD</p><p>oleObject68.bin</p><p>image71.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>14</p><p>yx1</p><p>25</p><p>10y58x8</p><p>8x10y30</p><p>-=-</p><p>-=-</p><p>--=</p><p>oleObject69.bin</p><p>image72.wmf</p><p>22</p><p>|x2x2|</p><p>3|3x2|35</p><p>12</p><p>22</p><p>x5 ou x5.</p><p>33</p><p>++</p><p>=Û+=</p><p>+</p><p>Û=-=--</p><p>oleObject70.bin</p><p>image73.wmf</p><p>yx</p><p>=</p><p>oleObject71.bin</p><p>oleObject5.bin</p><p>image74.wmf</p><p>3</p><p>oleObject72.bin</p><p>image75.wmf</p><p>2yx20</p><p>++=</p><p>oleObject73.bin</p><p>image76.wmf</p><p>22</p><p>5,5</p><p>33</p><p>æö</p><p>--</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject74.bin</p><p>image77.wmf</p><p>22</p><p>5,5.</p><p>33</p><p>æö</p><p>----</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject75.bin</p><p>image78.wmf</p><p>22228</p><p>5555.</p><p>33333</p><p>-+-----=-</p><p>oleObject76.bin</p><p>image6.wmf</p><p>y20</p><p>-=</p><p>oleObject6.bin</p><p>image7.wmf</p><p>5xy270</p><p>+-=</p><p>oleObject7.bin</p><p>image8.wmf</p><p>51</p><p>oleObject8.bin</p><p>image9.wmf</p><p>65</p><p>oleObject9.bin</p><p>image10.wmf</p><p>77</p><p>oleObject10.bin</p><p>image11.wmf</p><p>9</p><p>2</p><p>oleObject11.bin</p><p>image12.wmf</p><p>1</p><p>2</p><p>oleObject12.bin</p><p>image13.wmf</p><p>2</p><p>f(x)x3xm,</p><p>=++</p><p>oleObject13.bin</p><p>image14.wmf</p><p>A(3,2)</p><p>-</p><p>oleObject14.bin</p><p>image15.wmf</p><p>C(1,3)</p><p>-</p><p>oleObject15.bin</p><p>image16.wmf</p><p>ABCD.</p><p>oleObject16.bin</p><p>image17.wmf</p><p>BD</p><p>oleObject17.bin</p><p>image18.wmf</p><p>5x4y70.</p><p>+-=</p><p>oleObject18.bin</p><p>image19.wmf</p><p>8x10y30.</p><p>--=</p><p>oleObject19.bin</p><p>image20.wmf</p><p>8x10y130.</p><p>+-=</p><p>oleObject20.bin</p><p>image21.wmf</p><p>4x5y30.</p><p>-+=</p><p>oleObject21.bin</p><p>image22.wmf</p><p>4x5y70.</p><p>+-=</p><p>oleObject22.bin</p><p>image23.wmf</p><p>yx,</p><p>=</p><p>oleObject23.bin</p><p>image24.wmf</p><p>2yx20</p><p>++=</p><p>oleObject24.bin</p><p>image25.wmf</p><p>7</p><p>.</p><p>3</p><p>-</p><p>oleObject25.bin</p><p>image26.wmf</p><p>5</p><p>.</p><p>3</p><p>-</p><p>oleObject26.bin</p><p>image27.wmf</p><p>10</p><p>.</p><p>3</p><p>-</p><p>oleObject27.bin</p><p>image1.wmf</p><p>rAB</p><p>=</p><p>suur</p><p>image28.wmf</p><p>8</p><p>.</p><p>3</p><p>-</p><p>oleObject28.bin</p><p>image29.wmf</p><p>P,AP,B</p><p>2222</p><p>22</p><p>2222</p><p>22</p><p>22</p><p>dd</p><p>(k1)(02)(k3)(06)</p><p>(k1)(02)(k3)(06)</p><p>(k1)4(k3)36</p><p>k2k14k6k936</p><p>4k40</p><p>k10</p><p>=</p><p>-+-=-+-</p><p>-+-=-+-</p><p>-+=-+</p><p>-×++=-×++</p><p>×=</p><p>=</p><p>oleObject29.bin</p><p>image30.wmf</p><p>Ar,</p><p>Î</p><p>oleObject30.bin</p><p>image31.wmf</p><p>5m44605m100m2</p><p>×-×+=Þ-=Þ=</p><p>oleObject31.bin</p><p>image32.wmf</p><p>Br,</p><p>Î</p><p>oleObject32.bin</p><p>oleObject1.bin</p><p>image33.wmf</p><p>564n604n360n9</p><p>×-×+=Þ×-=Þ=</p><p>oleObject33.bin</p><p>image34.wmf</p><p>xy1</p><p>1310</p><p>351</p><p>3x3y595xy0</p><p>8x4y40</p><p>2xy10</p><p>--=</p><p>-+-+-+=</p><p>-++=</p><p>\--=</p><p>oleObject34.bin</p><p>image35.wmf</p><p>image36.wmf</p><p>22</p><p>31422</p><p>7</p><p>h1,4</p><p>5</p><p>3(4)</p><p>×-×-</p><p>===</p><p>+-</p><p>oleObject35.bin</p><p>image37.wmf</p><p>A,B</p><p>oleObject36.bin</p><p>image38.wmf</p><p>C</p><p>image2.wmf</p><p>5x4y60,</p><p>-+=</p><p>oleObject37.bin</p><p>image39.wmf</p><p>22c2</p><p>069c183c0</p><p>9309</p><p>6c12</p><p>c2.</p><p>=Û+--=</p><p>Û=</p><p>Û=</p><p>oleObject38.bin</p><p>image40.wmf</p><p>(ABC)3</p><p>=</p><p>oleObject39.bin</p><p>image41.wmf</p><p>a1,</p><p>¹</p><p>oleObject40.bin</p><p>image42.wmf</p><p>20a2</p><p>1</p><p>3|82a4a|6</p><p>2402</p><p>2</p><p>82a6</p><p>a7.</p><p>×=Û+-=</p><p>Þ-=-</p><p>Û=</p><p>oleObject41.bin</p><p>image43.wmf</p><p>r</p><p>oleObject2.bin</p><p>oleObject42.bin</p><p>image44.wmf</p><p>xy3</p><p>1yx3.</p><p>434</p><p>+=Û=-+</p><p>oleObject43.bin</p><p>image45.wmf</p><p>r</p><p>oleObject44.bin</p><p>image46.wmf</p><p>s</p><p>oleObject45.bin</p><p>image47.wmf</p><p>s</p><p>oleObject46.bin</p><p>image48.wmf</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p>