Derivada - Regras de Derivação - Parte 2

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<p>Regras de Derivação</p><p>A Regra do Produto</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 forem ambas deriváveis, então</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>[𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] =</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>[𝒇(𝒙)] ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙) ∙</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>Na notação “linha”</p><p>(𝒇 ∙ 𝒈)′ = 𝒇′ ∙ 𝒈 + 𝒇 ∙ 𝒈′</p><p>A Regra do Quociente</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 forem ambas deriváveis, então</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>[</p><p>𝒇(𝒙)</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>] =</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>[𝒇(𝒙)] ∙ 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙) ∙</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>[𝒈(𝒙)]𝟐</p><p>Na notação “linha”</p><p>(</p><p>𝒇</p><p>𝒈</p><p>)</p><p>′</p><p>=</p><p>𝒇′ ∙ 𝒈 − 𝒇 ∙ 𝒈′</p><p>𝒈𝟐</p><p>Fórmulas de Derivação</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>(𝒄) = 𝟎</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>(𝒙𝒏) = 𝒏 ∙ 𝒙𝒏−𝟏</p><p>𝒅</p><p>𝒅𝒙</p><p>(𝒆𝒙) = 𝒆𝒙</p><p>(𝒄 ∙ 𝒇)′ = 𝒄 ∙ 𝒇′ (𝒇 + 𝒈)′ = 𝒇′ + 𝒈′ (𝒇 − 𝒈)′ = 𝒇′ − 𝒈′</p><p>(𝒇 ∙ 𝒈)′ = 𝒇′ ∙ 𝒈 + 𝒇 ∙ 𝒈′ (</p><p>𝒇</p><p>𝒈</p><p>)</p><p>′</p><p>=</p><p>𝒇′∙𝒈−𝒇∙𝒈′</p><p>𝒈𝟐</p><p>Exercícios</p><p>1. Encontre a derivada de 𝑓(𝑥) = (1 + 2𝑥2) ∙ (𝑥 − 𝑥2) de duas formas: usando a Regra do Produto e efetuando</p><p>primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?</p><p>2. Encontre a derivada da função</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥4 − 5𝑥3 + √𝑥</p><p>𝑥2</p><p>de duas formas: usando a Regra do Quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas são</p><p>equivalentes. Qual método você prefere? Por qual(is) motivo(s)?</p><p>3 -26 Derive.</p><p>3. 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥) ∙ 𝑒𝑥</p><p>4. 𝑔(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑒𝑥</p><p>5. 𝑦 =</p><p>𝑒𝑥</p><p>𝑥2</p><p>6. 𝑦 =</p><p>𝑒𝑥</p><p>1+𝑥</p><p>7. 𝑔(𝑥) =</p><p>3𝑥−1</p><p>2𝑥+1</p><p>8. 𝑓(𝑡) =</p><p>2𝑡</p><p>4+𝑡2</p><p>9. ℎ(𝑢) = (𝑢 − √𝑢) ∙ (𝑢 + √𝑢)</p><p>10. 𝑗(𝑣) = (𝑣3 − 2𝑣) ∙ (𝑣−4 + 𝑣−2)</p><p>11. 𝑓(𝑥) = (</p><p>1</p><p>𝑦2 −</p><p>3</p><p>𝑦4) ∙ (𝑦 + 5𝑦3)</p><p>12. 𝑓(𝑧) = (1 − 𝑒𝑧) ∙ (𝑧 + 𝑒𝑧)</p><p>13. 𝑦 =</p><p>𝑥3</p><p>1−𝑥2</p><p>14. 𝑦 =</p><p>𝑥+1</p><p>𝑥3+𝑥−2</p><p>15. 𝑦 =</p><p>𝑡2+2</p><p>𝑡4−3𝑡2+1</p><p>16. 𝑦 =</p><p>𝑡</p><p>(𝑡−1)2</p><p>17. 𝑦 = 𝑒𝑝 ∙ (𝑝 + 𝑝√𝑝)</p><p>18. 𝑦 =</p><p>1</p><p>𝑠+𝑘𝑒𝑠</p><p>Curso: Licenciatura em Química</p><p>Disciplina: Cálculo I</p><p>Professor: Krüger</p><p>Data: 21/09/2023</p><p>19. 𝑦 =</p><p>𝑣3−2𝑣√𝑣</p><p>𝑣</p><p>20. 𝑦 = 𝑤3 2⁄ ∙ (𝑤 + 𝑐 ∙ 𝑒𝑤)</p><p>21. 𝑓(𝑡) =</p><p>2𝑡</p><p>2+√𝑡</p><p>22. 𝑔(𝑡) =</p><p>𝑡−√𝑡</p><p>𝑡1 3⁄</p><p>23. 𝑓(𝑥) =</p><p>𝐴</p><p>𝐵+𝐶𝑒𝑥</p><p>24. 𝑓(𝑥) =</p><p>1−𝑥𝑒𝑥</p><p>𝑥+𝑒𝑥</p><p>25. 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>𝑥+</p><p>𝑐</p><p>𝑥</p><p>26. 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑎𝑥+𝑏</p><p>𝑐𝑥+𝑑</p><p>27- 30 Encontre 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥)</p><p>27. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 ∙ 𝑒𝑥</p><p>28. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 2⁄ ∙ 𝑒𝑥</p><p>29. 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥2</p><p>1+2𝑥</p><p>30. 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>𝑥2−1</p><p>31- 32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.</p><p>31. 𝑦 =</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥2+𝑥+1</p><p>; (1,0) 32. 𝑦 =</p><p>𝑒𝑥</p><p>𝑥</p><p>; (1, 𝑒)</p><p>33. A curva 𝑦 =</p><p>1</p><p>1+𝑥2 é chamada bruxa de Maria Agnesi. Na figura a seguir é mostrada essa curva, junto da</p><p>reta tangente a ela (reta 𝑡) no ponto (−1,</p><p>1</p><p>2</p><p>).</p><p>Encontre uma equação da reta 𝑡 mostrada na figura.</p><p>34. Se 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥2+1</p><p>, calcule determine 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥).</p><p>35. Se 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1) ∙ 𝑒𝑥, calcule determine 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥).</p><p>36. Se 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥2</p><p>1+𝑥</p><p>, calcule 𝑓′′(1).</p><p>37. Se 𝑔(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>𝑒𝑥, calcule 𝑔′(𝑥), 𝑔′′(𝑥) e 𝑔′′′(𝑥). A partir dos resultados obtidos, escreva uma expressão para</p><p>𝑔(𝑛)(𝑥).</p><p>38. Suponha que 𝑓(5) = 1, 𝑓′(5) = 6, 𝑔(5) = −3 e 𝑔′(5) = 2. Calcule o valor de</p><p>a) (𝑓𝑔)′(5) b) (</p><p>𝑓</p><p>𝑔</p><p>)</p><p>′</p><p>(5) c) (</p><p>𝑔</p><p>𝑓</p><p>)</p><p>′</p><p>(5)</p><p>39. Suponha que 𝑓(2) = −3, 𝑓′(2) = −2, 𝑔(2) = 4 e 𝑔′(2) = 7. Calcule o valor de ℎ′(2) se:</p><p>a) ℎ(𝑥) = 5𝑓(𝑥) − 4𝑔(𝑥) b) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)</p><p>c) ℎ(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>d) ℎ(𝑥) =</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>1+𝑓(𝑥)</p><p>40. Se 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ∙ 𝑔(𝑥), com 𝑔(0) = 2 e 𝑔′(0) = 5, determine 𝑓′(0).</p><p>41. Seja a função 𝑓(𝑥) =</p><p>ℎ(𝑥)</p><p>𝑥</p><p>. Se ℎ(2) = 4 e ℎ′(2) = −3, calcule o valor de 𝑓′(2).</p><p>42. Se 𝑔(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥), com 𝑓(3) = 4 e 𝑓′(3) = −2, encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de 𝑔 no</p><p>ponto onde 𝑥 = 3.</p><p>43. Se 𝑓(2) = 10 e 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 ∙ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥, calcule o valor de 𝑓′′(2).</p><p>44. Encontre expressões para as primeiras derivadas de 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥. A partir dos resultados obtidos, obtenha</p><p>uma fórmula para 𝑓(𝑛)(𝑥).</p>