P2_CALCULO_I_ (7)

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Ca´lculo I
MAT03358 - turma 1
Segunda Prova - 2a. Chamada
10 de novembro de 2008
Nome do Aluno:
Apresente todos os ca´lculos e justificativas
1. Calcule
dy
dx
:
a. y = xe−1/x
b. y =
1
3
√
x+
√
x
c. y = ecos(x) + cos(ex)
d. sen(2xy) = x2 cos y − x
2. Mostre que
d
dx
(arcsec(x)) =
1
x
√
x2 − 1
, se arcsecx ∈ [0, pi/2).
3. Um homem comec¸a a andar para o norte a` 4 pes/s a partir de um ponto P . Cinco minutos
depois, uma mulher comec¸a a andar para o sul a` 5 pes/s de um ponto a 500 pe´s a leste
de P . A que taxa as pessoas esta˜o se separando 15 minutos depois de a mulher comec¸ar
a andar?
4. Se f(x) = xex, encontre f (n)(x).
5. Sabendo que
f(x) =
x2
x2 + 3
f ′(x) =
6x
(x2 + 3)2
f ′′(x) = −18(x
2 − 1)
(x2 + 3)3
,
esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x).
func¸a˜o derivada da func¸a˜o
y = c (c ∈ R) y′ = 0
y = xn y′ = nxn − 1
y = ax y′ = ax ln a
y = loga x y
′ = 1/(x ln a)
y = sen x y′ = cosx
y = cosx y′ = − sen x
y = tg x y′ = sec2 x
y = secx y′ = secx. tg x
y = cotg x y′ = − cossec2 x
y = cossec x y′ = − cossec x. cotg x
y = arcsen x y′ = 1√
1−x2
y = arccosx y′ = − 1√
1−x2
y = arctg x y′ = 1
1+x2
y = arccotg x y′ = − 1
1+x2
2