V A Uspenski - Triangulo de Pascal (Lecciones Populares de Matematicas) - Mir - 1978

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<p>•.•....•........•..•..•....•..................••..•.</p><p>• • . .</p><p>~ lecciones populares ~</p><p>• •</p><p>: de matemáticas :</p><p>• • •</p><p>-------------------- :</p><p>TRIÁNGULO</p><p>DE</p><p>PASCAL</p><p>• • • • • • • • • • • • • • .</p><p>• • • • • --------------------:</p><p>• • • • • •</p><p>• •</p><p>~ V. A. Uspenski ~</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• • . -------------------- .</p><p>• •</p><p>: A :</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• • . .</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• • • •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• • . . . .</p><p>• •</p><p>• • . . . . . -------------------.</p><p>• •</p><p>• •</p><p>• • • •</p><p>: Moscú : . . . .</p><p>•</p><p>• • • . . .......................... ..•.......... ... •.•. ..•...</p><p>flOnYRJIPHbiE 11EKL(l1H flO MAT.EMATMKE</p><p>'</p><p>B. A. YCflE.HCKJ1t:i</p><p>TPEY.fOJI~HHK TIACKAJIJI</p><p>l13.llATEJ1hCTBO <<HAYKA>></p><p>MOCKBA</p><p>LECCIONES POPULARES DE MATEMÁTICAS</p><p>V. A. USPENSKI</p><p>TRIÁNGULO DE PASCAL</p><p>EDITORIAL MIR</p><p>MOSCÚ</p><p>Traducido del ruso por L. B. Ermoláev</p><p>La presente conferencia es accesible' a los alumnos de la</p><p>escuela de ocho grados. En ella se considera una importante</p><p>tabla numérica ·(llall'\ada triángulo de Pascal) que contribuye</p><p>a resolver una serie de problemas. A la vez con ·la resolución</p><p>de tales problemas se toca la cuestión del significado de las</p><p>palabras "resolver el problema".</p><p>Ha rlcna~tCKOM .'13brr<e.</p><p>© Traducción al español. Editorial Mir. 1978</p><p>IMPRESO El'! LA URSS</p><p>1978</p><p>ÍNDICE·</p><p>Prefacio 6</p><p>§ l. Problema de la VIII olimpíada 7</p><p>·§ 2. ¿ Qué significa resolver el probl~ma.? 11</p><p>§ 3. Triángulo de Pascal 15</p><p>§ 4. Operación de Pascal 22</p><p>§ 5. Coeficientes binomiales 26</p><p>§ 6. Número de partes d.e un conjt,into dado i9</p><p>§ 7. Vínculo con factoriales 36</p><p>PREFACIO</p><p>Es imprescinqible advertir al lector que no se ha enterado</p><p>todavía de qué es el -triiingulo de Pascal, que no se· trata de una</p><p>figur~ geo_métrica con.·tres:Üngulos y tres ·lados. Se llama triángulo de</p><p>PascaJ a una imp<,>r,tante tabla numérica por medio de la cual se logra .</p><p>resolver ~oda una serie de problemas qe cálculo. Considerando</p><p>alg\lnos de ellos, se referirá pa!¡o al problema coqceri)iente al</p><p>significado· general de las palabras "resolver el problema".</p><p>La exposí.cióri no presupone conocimientos previos cualesquiera</p><p>que salgan fuera d'e Jos 'limites del programa previsto ·por la</p><p>escüela de .ocho gr~dos, excepto la definición Y. designación de la</p><p>potencia qe exponen.te ~ulo. Se debe conocer exactamente que .todo</p><p>nú1ltero distinto de cero, elevado a la potencia cero, se considera</p><p>(pQr defmición) i&~al a una ·unidad: a0 = 1 cuando a :1= O.</p><p>§ l.</p><p>PROBLEMA</p><p>DE LA VOl OLIMPiAOA</p><p>En la VIII olimpíada</p><p>participantes, alumnos de</p><p>siguiente problema 1>:</p><p>matemática ~e Moscu ·(L945), a sus</p><p>los 9 - 10 .grados, fue pro.,puesto el</p><p>Se. tiene una red de caminos (fig. :1). Desde el punto A·</p><p>parten 2 1000 hombres. Una mitad de ellos se .encaminan en la</p><p>dirección l, otra, en · la m. Al llegar al . primer cruce cada</p><p>grupo se divide: una mitad sigue la direccion 1, .la otra, la m.</p><p>Lo mi~mo ocurre en cada cruce.. ¿ Cuánlos homl;ires llegarán</p><p>a todos los cruces de la milésima sede?·21</p><p>A</p><p>F'IG. 1</p><p>Anunciemos, ante todo, que todavía ·no cQnocemos si es</p><p>resoluble el problema, es decir. si pueden moverse los hombres</p><p>como lo require la condición del proble~a. .En· efe<:tó, ·si a. ~n</p><p>cruce cualquiera, en que va a dividirse ·por mitad la afluencia</p><p>de gente, llega un número impar .de hombres, el movimiento se</p><p>11 Véase A. M. Hz.1oM H 'H. M. Hz.1o.o.~, «He:meMeRTapHbre 3a.na~m</p><p>B :meMeHTapHOM HJJI,O)KeHIH!ll, M., rocTeXH3llllT,, 1954·, Cl'p. 10; «HoMepa</p><p>3a.na'l, npeMaraDlllHXCll Ha MocKOBCKHX MaTeMaT»'IecJníx OJJHMnHa.nax11,</p><p>33..!la'la 606. Yaglom A. M. y faglom l. M. :Problemali ·no elementales</p><p>en la exposición elemental. M . Gostejjzdat, 1954, pág. 10, "Números de</p><p>los problemas prop.ues~os en las olimpíadas matemáticas de Moscú",</p><p>problema 60b, en ruso). .</p><p>21 Se tiene en cuenta que las .filas de los cruces están numeradas,</p><p>partiendo de cero, ya que en la última hay un cr.u~-e (A), en la primera.1 dos. en la segunda, tres, etc.</p><p>8</p><p>detepdrá. Por consiguiente, para .que el problema tenga solución, es</p><p>necesario y suficiente que a cada cruce de cualquiera de las</p><p>primeras mil series .(fi!as), de O hasta 999, llegue un número par</p><p>de hombres. De ·que estl) es así, nos cercioraremos resolviendo</p><p>el problema.</p><p>FIC. 1</p><p>Al principió introduciremos las designaciones para las cantidades</p><p>de ho!llbres que dejaron atrá~ cada CTUce de nuestra red de c~inos.</p><p>Numerem~s los cn~ées de cada fila, de izquierda a derecha,</p><p>partiendo de .cero; por lo tanto. los cruces de la n-ésima fila. se</p><p>numerarán de cero hasta n. Denptaremos por H! el número de</p><p>hombres· que pasar~>n ,por- el k-éSimo cruce de la n-ésima fila.</p><p>Puesto que .no se sabe. todavía si es resoluble el problema, no</p><p>podemos estar. .s~guros de que existan t.odo.s los números H!,</p><p>es decir, que exisfa cada· uno de los números H~ con todo n de O</p><p>hasta 1000 y t~ido k de O hasta n. Es indud.abte que algunos de</p><p>ellos existen. De modo 9ue, en virtud de ·las designaciones</p><p>introducidas,</p><p>(l.l)</p><p>Veamos ah,or-a cómo se ·vinculan entre sí los números</p><p>H!(k=O, 1, 2, ... , n) y H~+dk=O, 1, 2, ... ; n+J)</p><p>a: condición de que ·existan todos. Más tarde veremos que si</p><p>existen y son pares todos los números H~, existen también todos</p><p>Jos números H~.+ 1• Consideremos las filas n y (n + 1) de los</p><p>cruces y los tramos de los caminos que los unen; pongamos frente</p><p>a cadá cruce la designación del nOmero respectivo de hombres</p><p>(véase la fig. 2). El número de hombres que salieron del cruce .O</p><p>9</p><p>de la fila n (es decir; H~) se dividirá en dos partes iguales y una</p><p>mitad llegará al cruce O de la fila (n + f); por eso,</p><p>(1.2)</p><p>Otra mitad de H~ se aproximará al primer cruce de . lfl .fila</p><p>(n + 1) y se reunirá allá con la mitad de hombres que hl}n</p><p>abandonado el primer cruce de la fila n, o sea,. con la mitad</p><p>H!.</p><p>De ahí Ii! + 1 = H~ ~ H! . En gene~al, el número de .. hombres</p><p>que lleragon al cruce k de la fila (n + 1) era la suma de mitad</p><p>de hombres que partieron .del cr\]ce (k- 1) de la. fila i1 (esta</p><p>Hk-1)</p><p>mitad era igual a ...y- con la de hombres q~e pattieron del</p><p>cruce k de la lila n (esta mhaq era igual a</p><p>H~)</p><p>2</p><p>. Por lo tanto,</p><p>H~ - ~ + H•</p><p>flk - .. .. l. .... k .... n-+ 1 - 2.. con -=::: -=::: n. (1.3)</p><p>Por fin, el número de hombres que alca~?Aron el cruce (n + 1)</p><p>de .la fila (n + 1) es equivalente· a la mitad de hor,1bres que</p><p>salieron del cruce n de la fila n:</p><p>(1.4)</p><p>Las relaciones (l.l)- (1.4) permiten establece~ que el problema</p><p>admite realmente su solución. En efecto, de las igualdades</p><p>(1.2)- (1.4) se deduce que si ·con cierto 11 fijo todos los números</p><p>de la fila n: H~, H!, ... , H~ existen y son divisibles por 2u,</p><p>todos los números de la tiJa (11 + 1): H~ + " H! + ¡, ... ~ .H:! l</p><p>también existen y son divisibles por a. Por consigu.iente, puesto que</p><p>todos los números de I.a lila O (su total es un solo H8 existen</p><p>y son divisibles por 21000 (en virtud de (1.1), todos los números</p><p>de la primerá fila</p><p>10</p><p>existen y son divisibl.cs por 2999 ;-todos los números de la segunda</p><p>fila</p><p>existen y soh divisibles por 2998 ; todos los núl!lerós de la</p><p>999-esima· lila</p><p>existen y son divisibles por 2; todos los números <.te la 1000-ésima</p><p>fi la</p><p>Ho Hl H1ooo</p><p>1000• . 1000> •••• 1000</p><p>existen (y son divisibles por l).</p><p>Las relaciones (1.2)- (1.4). no sólo demuestran que existe la</p><p>solución del problema, sino que seña.lan cómo de una 1ínea de</p><p>números</p><p>H~. H~, ... , H~·</p><p>se obtiene lir otr<,~</p><p>' .</p><p>'Erilpleaqdo sucesivamente estas relaciones, a partir de la linea cero</p><p>[es decir, aprovech~ildo la relación (1.1)] podemos calcular, en</p><p>pri!lcipio) los yalores. de H~ para todos los 501501 cruces, que</p><p>.se contienen en ias ·(Has hasta el milésimo inclusive, en particular,</p><p>para -t_qdos lo.s cx:uces de la milésima fila, resolviendo, por ·lo tanto,</p><p>el problema. be manera que para las primeras filas por cálculo</p><p>directo resulta:</p><p>H 1 2999 Ho 2998</p><p>H 2 1 _. -·-- 29,s. Ho _ 2 _ _ 2997.</p><p>2 =2 = 2 ' 3 -T--2-- '</p><p>11</p><p>' § 2.</p><p>¿QUE</p><p>SIGNIFICA</p><p>RESOLVER</p><p>EL :PROBLEMA?</p><p>Por consiguien\e, el problema del § ~ está resuelto ....</p><p>"¿Resuelto?, se sórprenderá un lector inexp~rto (ya que el</p><p>experimentado sabe de antemano lo que va a decir el <\Ufbr y 1,10</p><p>se sorprenderá por nada). No he notado q~e lo hayamos resucito".</p><p>Autor. Está claro que lo hemos re~uclto. Es que resolver el</p><p>problema es hallar su solución. Ya lo hemos hecho.</p><p>L e e t o r (perturbado). ¿Acaso es ésta 'la·· soiución-'1</p><p>.A u t o r lfingit!ndose que no emiend1r en 'que consist.e el. asimtá)'</p><p>¿Y qué, es erronea la solución?</p><p>Le e t o r. No, es cierta, pero, en general, no es la solución.</p><p>Aut or. Pues, <: qué significa la splución~ '</p><p>L e e t o r. Una lín.ea de números que .s~ñalen cuántos .t10rribres</p><p>llegarán a los cruc~ 4e la milésima fila .</p><p>Autor . . Pero, esta línea ha de contener '1001 números. ¿Acaso</p><p>los organizadores ·de la VTII olimpíada tenían esperanza en que</p><p>alguien les escribiera el número 1001?</p><p>Le e t o r (queda pensativo).</p><p>Autor. Tengo una proposición. No compliquemos la situación</p><p>con líneas largas; escojamos uno de los cruces y tratemos de</p><p>llegar a conocer cuánros hombres lo hayan v.is itado. ¿De. acuerdo?</p><p>Le e t.p r (se pone· de acuerdo).</p><p>A u t o r. Empece~os pues; ¿qué cosa podríamos tener por</p><p>solución del siguiente problema·: cuánto.s hombres llegarán al</p><p>tercer: cruce de la cuarta fila?</p><p>Le e t o r. ¡Cómo qué cosa! Un número.</p><p>A u t o r. ¡,Escrito en qué forma?</p><p>Le e t o r (con . ti$Ombro). Que se¡1 en el sistema d~cimal.</p><p>Autor. ¿Y. la respuesta "H!" no ser~ ·Ja solución ?</p><p>L e e t o r. Claro que no. ¡No tiene que ver con .Ja solución l</p><p>A u t o r. Al continuar la cadena de cálctilos, que ha 'sido iniciada</p><p>a l final del párrafo · anterior, es fácil cerCiorarse de que al</p><p>tercer cruce de la cuarta fila llcganín .2998 hombres. ¡,Será la</p><p>solución del problema la respuesta "2998"?</p><p>Le e t o r (sin esperar cha.sco). Sí, natur¡ilmente.</p><p>12</p><p>Auto r. Pero, la t<xpresión "2998</p><p>" no es la representación</p><p>del número en .el sistema decimal. ~lla se compone de dos</p><p>representaciones decimale.s de los .nümeros, o sea, "2" y "998" cuya</p><p>disposición rc)¡ltiva señala qué operación habrá de efectuarse con</p><p>estos númer:os a fin de ob.tener un valor req~erido.</p><p>Le e t ·o r. Pero1 la expresión "29 98</p><p>" es fácil convertirla en Ja</p><p>represer,tación decimal.</p><p>A u t o r (con tono ejemplar). No tanto. Pruébese elevar 2 a la</p><p>potencia 998. Pero, s~ trata de otra cosa. 1;1 problema es que</p><p>Ud. contradice ahora a sus afirmaciones anteriores. Se conformaba con</p><p>tener por solucíól). líin sólo un número escrit9 en el sistema</p><p>decimal. Desde el· punto de vista de esta definición, la expresión</p><p>"2998</p><p>" no es tódayía.la SQ}ución (es. diríamos, un "producto en bruto"</p><p>de que ha de obtenerse la solución). Por supuesto, tal punto de vista</p><p>es· posible si se lleva a cabo de una manera sucesiva. 'Pero,</p><p>es posible que haya tall\bién· otro punto de vista conforme al</p><p>cual ~998 és la solución. Parece .que le gustaría más este punto de</p><p>vista porqtJe mL¡y a menudo las soluciones de unos u otros</p><p>problemas matemáticos no se dan directamente en fprma de los</p><p>números ~critos en el sistema decimal, sino en la "indirecta"</p><p>~náloga. Pero, ¿cómo se entenderá el término ''solución" en este</p><p>caso, es decir, pará 'el. problema sobre el tercer cruce de la cuarta</p><p>fila ? ·</p><p>L. e e t o r .. p n este caso, es imprescindible tener por solución</p><p>toda exprésión (11Q se trata del número) que designe cierto</p><p>número ·para el cual haya un procedimiento que permita pasar</p><p>de eila a 'fa representación decimal del número respectivo. 2998</p><p>ser'á, precisamente, l;,t ·~xpresión de este tipo. El procedimiento de</p><p>pa~o a la representaCión deci111aJ (997 multiplicaciones sucesi.vas) a</p><p>P.esar qé ser largo, se realiza ~n principio.</p><p>Autor. (:Por qué, entonces, Hl no es lá solución ? Aquí· también</p><p>hay ·pro~dimiento de' paso a la representación decimal que se da</p><p>por las relaciones (1.1)- (1.4}.</p><p>Le e t o r (de.~conc~rtqdo).</p><p>A u t o r (conteiJtó que hu podido poner al lector en un atolladero, -</p><p>al inexperto,. t!aturalmehte, ya que el experimentado podrá poner en el</p><p>atolladero al mismo auror). El problema es que .son posibles, por</p><p>lo menos, tres interpretaciones de lo que significa resolver e1 ,,</p><p>problema sobre el ~úq1ero de hombres que llegaron· a un cruce '</p><p>dado.</p><p>PRIMERA INTERPRETACIÓN. Se tiene por solución el</p><p>número escrito en. el sistema de numeración decimal.</p><p>13</p><p>SEGUNDA INTERPRETACIÓN. Se tiene p_or solu~ión tai</p><p>e:-.prcsión dcsignfidora del número _para la cual se co·noce el</p><p>procedimiento que ·permite pasar de ella· .. a la representación</p><p>decimal d.el número designado por la últif!)a (o sea, a la solución</p><p>en la primera interpretación).</p><p>TERCERA INTERPRETACIÓN. Se tiene por solución tal</p><p>expresión designadora del número que se compone por los n~.meros</p><p>(escritos en el sistema decimal) y ciertas _operaciones ·~unive~;salmente</p><p>admitidas" (por ejemplo, las aritméticas) IJ. ~ijamo$ q!Je .cada</p><p>operación "universalmente admitida" se acompañe del pr.ocedimíento</p><p>que permita pasar de las representaciones decimales de los</p><p>números, a los cuales se aplica la operación, a ht representación</p><p>decimal del resultado (talell son, precisamente, .las. operaciones</p><p>aritméticas). Entonces, para toda la expresión en t.ótal .• l!abra un</p><p>procedimiento que permita. pasar de las rep~esentaciones d~imales</p><p>de los números que en ella párticipan, a la representación</p><p>decimal del número que esta expresión d!=sig·na; por !o ·tanto, la</p><p>solución de .la tercera interprctacion se converiira au.tomáticamen~e</p><p>en la de la segunda.</p><p>Con la primera interpretacióQ. ni H~. ni 2998 constituirán</p><p>la soluci.ón del problema sobre el ·tercer cruce -de la cuarta fila.</p><p>Para obtener la solución es imprescindible hallar para 2998 una</p><p>representación decimal que, sin embargo, h!l .de conten!!r más de</p><p>300 signos; .el autor desconoce si ésta .hu sido hecha algú_n día •1.</p><p>Con 1~ seguiula interpr~tación tanto H~, como 2998 serán I;Is</p><p>:soluciones. · ·</p><p>En lo que se refiere a la tercem int~rpreta-::ión es un caso</p><p>en que todo dependerá de la elección .de las operaciones de</p><p>partida "uQiversalmente admitidas": sí éstas incluyen la potenciación,</p><p>entonces 2998 será la solución, si no, no. Igualmente, si se</p><p>incluye··en. el número de las operaciones "un·lversalméilte admitidas"</p><p>11 El . conjunto de las op~raciones "uníversttlniente admil idás" h~ de</p><p>señalarse de antemano. Vale subrayar que la tercera interpretación depende.</p><p>de cómo se ha elegido este conjumo. De manera que· la. expresión 2998</p><p>será la solución .en caso de la tercera interpretac!ó.n- si. el número de las</p><p>operaciones "universalmente admitidas" lnd.uye la, pot~hcia·ción .</p><p>l) En la pág. 27 .de ·ta obra de B. Jl~lrLi.~au «BeJJ»I<3Khl 11 xap­</p><p>J)JU\H B MHpc 't»CeJJ>>, M., ll>¡t3MaTrU3, 19.59 (Litznian V,, "Gigantes</p><p>y pigmeos en el ll\Undo de los números", M~, Fizmatguiz, 1959, en ruso)</p><p>como potencia máxima de .tus co.l<.:uladas p11ra ·et número 2 se ofrece la</p><p>representación decimal de 2400: ,.</p><p>. .l-16</p><p>14</p><p>la operación "hache" que calcula por »· y k el número H! (el</p><p>procedimiento de tal ·cál'cu lo se da por las rcjacio nes ( L.l) - (1.4)</p><p>ya que el requi.síto que se impone a las op.eraciones "universalmente</p><p>admitidas'' ha sido cumplido en este caso), entonces H1 será la</p><p>solución del problema: en 'caso contrario, no.</p><p>Surge una pregunta: ,;si se puede escoger arbitrariamente las.</p><p>operaciones "universalment'e admitidas'"! Formalmente dicho; sí. Por</p><p>el contrario, en calidad de operaciones ''uQiversalmente admitidas",</p><p>por medio de las cuales se expresa la solución de cualquier problema,</p><p>es imprescindible escoger tales operaciones que se utilicen en la</p><p>resolución de muchos problemas, o por lo menos, de problemas</p><p>importantes. Precisamente tales son las cuatro operaciones aritméticas</p><p>y algunas otras. por ejemplo, la operación qe potenciación y la</p><p>de cálculo de Ja. factorial (véase la última a continuación, en el § 6).</p><p>Si la oper.ación ''hache'' fuera necesaria para resolver djversos</p><p>problemas o si nuestro problema sobre los cruces fuese muy</p><p>importante, tal vez la operación "hache'' se referiría a la categoría</p><p>de las "universalmente ad'mitidas';. Sin embargo, la operación "hache"</p><p>todavía no lo ha merecido y se duda de que lo merezca. En el § 4</p><p>·consideraremos un~ operación semejante a la "t'lache" que, a nuestro</p><p>··pareoor, merca ser incluida en el número de las operaciones</p><p>·•u nh;ersall'l)ente admitidas".</p><p>Y ahora. yolva\'ll'os a nuestro problema inicial sobre los cruces</p><p>d'e .la milésin}a s.eric. Su solución se pued'e hallar en tres diversas</p><p>Jormas correspondientes ~ tres ·interpretaciones de la palabra</p><p>"soí.ucion" que s.é exponen· más arriba:</p><p>1) en forma. de umi linea éompuesta por 1001 números escritos</p><p>en el sistema decim·al; no tratemos de hallar sol'ución en esta</p><p>formá (no ·va.le la pena, ya que para UI\O cruce de la cuarta</p><p>fila no h~rrios hallar la. semejante solución);</p><p>2)' en forma de una expresión que permita calcular en principio</p><p>para cada cruce de la milésim~t serie (fil~) el número (es decir, hallar</p><p>su. tepr.esentación decimal) de los hombres que llegaron al</p><p>cruce; tal solución la hemos hallado ya: H~000; con la particularidad</p><p>de ·que el proceso del cálculo se da por las igualdades</p><p>(1.1) - (1.4);</p><p>3) en forma de u~a e.xpresi!)n que no sólo permita calcular</p><p>H~ 000 para todo k de O hasta 1000, sino que se forme por</p><p>medio de ciertas operaciones "univer~almente a9mitidas"; hallemos la</p><p>solución en esta fotma; con ~llo, la exposición sucesiva aclarará</p><p>cuáles operaciones -se puede considerar como "universalmente</p><p>admitidas".</p><p>15</p><p>§ 3.</p><p>TRIÁNGULO</p><p>DE PASCAL</p><p>Conside.rare_mos una de las lineas de números d0 , dr_, ... ,</p><p>el,., u =O, 1, 2, ... (cuando 11 =O esta linea "se degenera" en la</p><p>compuesta' por un solo n\¡mero d0 ). F.ormemo.s de ella tina línea</p><p>nueva de números s0 , s1, .... s,+ 11 segun la siguiente regla:</p><p>.~¡, =do, (3.1 )</p><p>(3.2)</p><p>(3.3)</p><p>Diremos, ·que esta línea nueva ha sido obtenidá de la anterior</p><p>según la ley de Pascat 1>. Conforme a est(! ley de Ja línea 2, .o, - 2</p><p>se obtiene la 2, 2, -2, -2, y, a su vez, .de la última, la 2¡ 4, O,</p><p>-4, - 2.</p><p>OBSERVACTÓN J. Si la línea Jl se ha obtenido de la <X de acuerdo</p><p>con la ley de Pascal, la suma de los términos de la primera es</p><p>equivalente a la suma doblada de Jos términos de la segunda.</p><p>En efecto, si se cumplen las ·relaciones (3.1) - (3.3), entonces</p><p>so +st +s2 + , .. + s, +.~. +l = do .¡.:·(do+ d¡)+(d¡ + d;¡,) +</p><p>+ ... + (d,. •. l + d,;) +d.= 2.(d0 + d1 + ... + d,.) (3.4)</p><p>OBSERVACIÓN. 2. Llamemos simétrica a la línea de números</p><p>ci0, ••• , d, !i.i co.n todo k e·ntero de O hasta 11 tiene lugar la .igu·aldad</p><p>dk = d._,.. (3.5)</p><p>La línea de números s0 , ... , s,.+ 1 que se obtiene según la ley</p><p>de Pascal de la 'lín~ · simétrica .d0 , ... , d. es también símétrica.</p><p>11 Blaise. Pase~il ( 1 <í23 - 1 662) es un gran cicntilico Ue Francia. In ves ligó,</p><p>en particular, las propiedades de la tabla numerica triangufar, cada</p><p>linea de la cual se obtiene <le la anterior ~eg~n la ley que se da</p><p>por las relaciones (3. 1) -'(3.3). Esta tabla que será c()nsiderada a continuación,</p><p>adquirió una denominación universalmente admitida cómo "triangulo de</p><p>Pascal". P or eso la ley que constituye la b.u~c; de su rormnción se</p><p>llamará la ley de Pasral y sus lineas,. las lineas tl!! Pl{~cal.</p><p>16</p><p>.Para afirmarlo es preciso comprobar la iguáldad</p><p>(3.6)</p><p>con k= O, l, ... , ·n + .l. Pero para k= O y k= 11 + l la igualdad</p><p>(3.6) se deduce· de las ~elaciones (3.1)-(3.3) y de la igualdad</p><p>d0 =d. (que se obtien~ de (3.5) siendo k = 0). Pero. si l ~k~ n,</p><p>resulta que</p><p>sk -d._ 1 +die= d,_ (k - ·1) + dn-k =d.+ 1-k + dun+ 1)-k] -1 =</p><p>··. = d[(n+·J)-k}- 1 + d¡n + 1)-11 = S(n+ 1)-k• (3.7) '</p><p>Consideraremos. ahQra la línea compuesta por un número,</p><p>o sea, una uni<:lad.· Llamemos a esta línea línea cero de Pascal.</p><p>Según ,l,a. ley de P.aséal, de ella constituyamos una línea nueva que</p><p>llamaremos ia primera lí.nea de Pascal. .De ést~ 'formemos, de</p><p>acuerdo. ·con ' '¡a ley de 'Pascal, la segunda iinea de Pascal, etc.</p><p>Puesto que !l) p~sar a cada línea suce~iva el número de</p><p>términos de la última. crece en una unidad, en la n-ésima</p><p>línea de P~s~l habrií número n + l . Sin efectuar cálculos,</p><p>tomando tan sQio en consideración las obse_rvaciones 1 y 2, se</p><p>puede ~firmar que</p><p>·1) la. suma ·d·e , los números de la 11-ésima linea de 'Pascal</p><p>·es equivalente a 2" (ya. ·que al pasar de una línea a la siguiente la</p><p>suma . de los terll).iQp$ se dobla y para ~a linea. cero ella es</p><p>. equiyalenJe a 2°· = 1); ··</p><p>· · · 2) tpd.as las ·Jíneas de Pascal serán simétricas (ya que la.</p><p>-propiedad de simetría se conserva at pa~ar de cada línea a la</p><p>siguiente,. sicndq simétrica la línea cero).</p><p>'Esciibamps .lá~ líneas de Pascal, partiendo de la de cero, una</p><p>deb·ajo de la. otra, qe modo que cada número de cada. línea resulte</p><p>puesto entre ]os números de la línea anterior la suma de los</p><p>cuaies es este !JÚn'lefo .. Obtendremos. una tabla infinita que se llama</p><p>triá11gulo (lrirmético .de .P.ascal, o sencillamente, triángulo aricmetico</p><p>o ~~ de Pascal, . Toda~ la .tabla en total parece rellenar la parte</p><p>interfor· d~ cierto ángulo~ todo su principio, formado ·por las</p><p>líneas O, t, ... , n, 't~ne la forma del triángulo. En la pág.</p><p>17 se· representa el principio del triángulo de Pascar formado por</p><p>sus ptimeras 15 líneas, desde O hasta 14.</p><p>El triánguio de Pascal es simétrico con respecto a su bisectriz.</p><p>Los números· que lo · rellenan tienen una serie. de propiedades</p><p>inferesantes (por. <'ieinplo, ·la suma de los cuadrados de los</p><p>térmÍQOS de SU línea CUj:tlquíera siempre es igual 'al numero del</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1 2 1</p><p>1 3 3 1</p><p>1 4 6 4 1</p><p>1 5 10 lO 5 1</p><p>l 6 15 20 15 6 1</p><p>l 7 . 21 35 35 21 7 1</p><p>1 8 28 56 70' ' 56 .28 ~ 1</p><p>.¡ 9 36 84 126 . 126 84 36· ·g 1 ·.</p><p>...</p><p>1 10 . . 45 . 120 210 252 ,. ·• 2 10 120 45 19 l</p><p>l 11 55 165 . 330 462 462 330 165 55 1.1 1 .. '</p><p>1 12 66 220 495 792 924 792 495 . 220 ' 66 12 1</p><p>1 13 . 78 286 715 287 716 ·11Hi ~81 715 286 78 13 1</p><p>1 14 91 36~ 1001 ~002 ~ ~2 ~ poo2 IQOI 364 91 14 1</p><p>...</p><p>18</p><p>mismo triángulo; para Lodo número simple p todos los términos</p><p>de la p-ésima línea," menos los dos extremos, son divisibles por p) 11.</p><p>Está claro que el' procedimiento de formación· del triángulo</p><p>de Pascal ··se lo podría dar sín recurrir a las nociones "ley de</p><p>Pascal" o ''línea de Pascal": el triángulo de Pa·scal es sencillamente</p><p>una tabla numérica infinita de "forma triangular" e.n cuyos lados</p><p>se encuentran las unidades y todo número, menos estas uni­</p><p>dades laterales, se obtiene como suma de dos números que</p><p>están encim.a de él, por su izquier4a y derecha. En tal· forma el</p><p>triángulo de Pasta! apareció en el ''Tratado sobre el triángulo</p><p>aritmético" del .mismo autor, obra que se editó en 16~5 después</p><p>del fallecimiento d'c su creador. Más detall;tdamente, en dicho</p><p>trat~do .fue publicada la siguiente tabla·. 21 en que cada número A</p><p>es igu.al a la suma dd número anterior pue~to en la fila horizontal</p><p>en que se encuentra A y del número anterior puesto en la ·fila</p><p>vertical en que se encuentra también A:</p><p>1 1 1 1 1 1 1 1 lj 1</p><p>1 ) 3 4 5 6 7 8 9 1·</p><p>1 3 .6 10 \S 7 1 28 36</p><p>1 4 10' 20 35 56 84</p><p>1 5 15 35' 70 li6</p><p>i 6· ,21 56 126</p><p>1 · -;· 28. ~4 . ... ·</p><p>1 g .36</p><p>1 9</p><p>,_!_</p><p>Por lo tánto, nuestro "~ríángulo de Pascal" difiere del "triángulo"</p><p>que consideró ei mismo Pascal con giro a 45D .</p><p>. Pascal investigó detalladamente las propiedades y aplicaciones de su</p><p>"triángulo"; algunas de estas aplic~ciones se considerarán en el siguiente</p><p>u Algunas de estas propiedades se consid.eran en las págs. 89-93</p><p>y 103- 106 de la obra de E. 5, .a~HJ<UH H B. A . .Ycnelle~wu «MaTeMaTIPieCKHe</p><p>6ece,nbl>>, M. -JL, rocTex~n.naT, 1952 (Dinkín E. B. y Uspensld V. A.</p><p>"Pláticas matemáticas", Moscú - Leningrado, Gostejizdat, 19S2, en ruso).</p><p>21 Véase 8. Pus(al. Oeuvres completes, t. III. París; Hachette et Cie, 1908,</p><p>pág. 244.</p><p>19</p><p>párrafo: Ahora, vamos a ofre<X!r como ejemplo, tan sólo tres propiedades</p><p>.. del "triángulo'' q ue halló el mismo Pascal : en este caso (sólo en este</p><p>lugar de nuestra cx;posición) partiremos de aqueUa disposición del</p><p>"triángulo'' en el plano que indicó Pascal y hablaremos de filas</p><p>horizontales y verticales.</p><p>Propiedatl J. En la ·tabla ·cuda númeró A es ·ig1,1al a la sumq ele los</p><p>números de la fila horizontal anterior. partiendo. <le la. más izquierda</p><p>hasta la dispuesta directamente por encima del nüm~ro A (véase la lig. 3</p><p>en que las casillas que contienen los sumandos ·y .que dan en suma A.</p><p>están rayadas).</p><p>Propiedad 2. En la ·t11bla cáda número A es igual a In ~~ma de Jos</p><p>números ·de la fila vertical anterior, partiendo de Ja. superior hasta· la</p><p>dispuesta direc tamente por la izq uierda del ·número A (fig. 4), .</p><p>Propiedad 3. Cada número A de la tabla ~iendO dil)q¡ioúípo en. I.!Oa</p><p>unidad, es igual a la suma de t~os los númeró·s que .rellenan el</p><p>rectángulo limitado por aquellas lilas verticales y :borizontales en ~ya</p><p>intersección se encuentra el número A (las própias lilas no se inclúyen</p><p>en el rectángulo que se considera) (fig. S). ·</p><p>Se ~eja a cargo del lector ·la, demostración tle ·est!lS propiedades</p><p>(sugerencia: la tercera propiedad $e deduce fácilmente· de· las primeras do~).</p><p>A</p><p>FIC. 3 FIC. 4</p><p>A</p><p>FI G. S</p><p>40</p><p>Sin . embargo, cien años antes de que naciera el tratado de</p><p>Pascal; · la tabla que es de interés para nosotros, sólo no en la</p><p>forma "triimgular", sino .e_n la "rectan$U:Iar", fue publicada en el</p><p>"Tratado general sobre ~1 n~mero y la medida" (1556-1560) que</p><p>también. vio la luz en parte deSpués de la mt,~erte de su autor,</p><p>el: distinguido matemático italiano Nicolás Tartaglia. Gu tabla tenía</p><p>la -siguiente forma 'l:</p><p>1 1 1 1 1</p><p>2 3 4 5 6</p><p>3 6 JO 15 21</p><p>4 10 20 35 56</p><p>5 15 35 70 J26</p><p>6 21 56 126 252</p><p>7 28 84 ' 210 462</p><p>8 36 120 330 792</p><p>En .ella la fila superior se compone -por unidades; en cada una de</p><p>las fil as rest~ntes ~· n~mcro más izquierdo es una unidad y el</p><p>que la sigue se for111a sumando dos _números que le preceden</p><p>y están por. encima. Es natural que la tabla propuesta por</p><p>Tartaglia se 'llame ¡'rectángulo de Tartaglia".</p><p>Los téqninos de cada línea de Pascal suelen 'numerarse de</p><p>izqui~rda a d~rcch~ partiendo de cero. Así, el cuarto lugar' en la</p><p>quinta línea e_st~ ·ocupado por el número 10_. El :nt'tmero· que se</p><p>dispone en el k-ésinio Jugar, en la n-ésima línea, se denotará por</p><p>'11 de modo que, por ejemplo, ~ = 1, 1i == 10, 7'14 = 1001. Es</p><p>evidente, que . .la expresión r. ha sido definida con todo n ~o</p><p>y k = O, t, ... , n.</p><p>Considerar.emos una sucesión ínfini'ta rormada por los números</p><p>T! con. un k fijo y n variable, es decir, la sucesión n. ~. 1• n+l• ... , r~. ... (3.s></p><p>Los términos de esta sucesión son los números que figuran en el triángulo</p><p>.de Pascal ''por 1~- izquierd~, en la k-ésima lfnea paralela al lado</p><p>i~quierdo", así· como, en virtud de. 'la simetría del triángulo, los números</p><p>que figuran ~·por la .derecha, en la k-ésíma línea paraleiR al lado derecho".</p><p>En el rectángulo de Tartaglia estos números rellenan la k-ésima columna</p><p>y la k-ésima línea.</p><p>'' Véase Zeuchen, H .. G., Geschíchte dcr Mathcmatik im. Altertum und</p><p>Mittell!lter. Vorlesungen· von H. G. Zeuthen. Kopenhagcn, }jost, 1896.</p><p>21</p><p>Cuando k = O se optendrá la sucesión</p><p>.1, 1, t. l, 1, 1' ....</p><p>compuesta exclusivamente pot unidades (linea cero o columna cero en el</p><p>rectángulo de Tartaglia).</p><p>Cuando k = 1 tenemos una S!)rie natural</p><p>1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .</p><p>(primera linea o primera columna del rectlin~ulo de Ta~t11¡;1iu).</p><p>Cuando k = 2 se obtendrá la sucesión</p><p>1, 3, 6, 10, 15, 21 , "'</p><p>(segunda línea o segunda columna del rectangulo de Tartaglia). Los</p><p>términos de esta sucesión se llaman numerns trhmgulurc.~: ·¡ es .el</p><p>primer número triangular; 3, el segundo ; 6, el tetcer(>J etc.; el m-ésímo</p><p>número triangular es igual a T~+ 1 • Se llaman nú~~ros por ind.{car el</p><p>número de bolas u otros objetos iguales . coloc!ldo~ en rorma· de un</p><p>triéingulo (véase la ñg. 6); el m-ésimo número triau¡;úl.~r. en J?IUticúlar,</p><p>( 1) (3) (6)</p><p>o o o</p><p>o Q 0 o</p><p>ó Q ()</p><p>FIG. 6</p><p>(1) (4) (10)</p><p>o</p><p>fiC. 7</p><p>22 .</p><p>señala cuántos términos <jcJ triángulo .d.e Pascal se contienen en sus</p><p>primeras m líneas, de cero hasta la (m- 1)-ésima.</p><p>Suponiendo k = 3 obtendremos la sucesión</p><p>1, 4. 10, ~20. 35, 56, ...</p><p>(tercera línea o tercera columna del rectángulo de Tartaglia). Los</p><p>terminas de esta sucesión se llaman .11únreros piramitla/a.~ o más exactamente,</p><p>los tclrtli!ilrko.~ : l es el primer número tetrnédríco; 4, el ·segunqo ; lO. el</p><p>tcrq:ro, etc.; es gue el m.é~imo número let.raedrico es igual -a T,!+2·</p><p>Estos. ·números senalail cuántas bolas Rueden colocarse en forma de una</p><p>pirámide triangular (tetráeil.fo) (fig. 7.) 1•</p><p>§ 4.</p><p>OPERACIÓN</p><p>DE PASCAL</p><p>En vir:tud de su def!nición los nú.meros n se someten a las</p><p>siguientes relacione~:</p><p>T8 = l,</p><p>T.:+ • ""' T.:! l = 1 para n :::;:; O. 1, 2, ... ,</p><p>n+l = r::-l +T.: para n =o, l, 2 .... ;</p><p>k= l, 2, ... , 11.</p><p>(4.J)</p><p>(4.2)</p><p>(4.3)</p><p>J) Los números triangulares y piramidales (que son casos particulares</p><p>de los así llam~dos números figuras) despertaro.n interés ya en Grecia</p><p>Antigua, donde se le;s atribuían las propiedades místicas. Uno de los primeros</p><p>tratados que nos han llegado y en. que se consideran estos numeras es,</p><p>por lo visto, lu "lntroduci':ión· a la aritmética" de Nicómaeo (gr. Nikomakhos)</p><p>de Gerasá, ·matemático. de Grecia Antigua, que vivía a fines del siglo 1 a. d.</p><p>J. C. (véase. Struik, D. J. A conci~e history of mathematics. Vol. 1-2.</p><p>New .. York. Dover publications, cop. 1948; London, Bell, 1954;· Va11 ll ef</p><p>Wacrden, B. [J. Scicnce awakening. English transl. By Arnold Dresden.</p><p>With additions of the author. Groningcn, Noordhoff, (1961); Zeurlu:n, H. G.</p><p>Geschichte der Mathematik .im Aftertum und Mitielaller . Vorlesungen von</p><p>H. G. Zeuthcn. Kopenhagen, HO.st, 1896.) Entre tanto, según datos</p><p>indirectqs, los nÜQteros poligonales eran conocidos mucho antes, en el siglo 11</p><p>a. d. J. e (véase VCI/l der Wuer¡/en, 8 . L., obra citada, y más antes</p><p>aún, en el siglo V a. d. J. C. por el famoso matematico Pitág.oras y sus</p><p>discípulos- pitagóricos (véase Van dcr Wacrden, B. L. obra citada,</p><p>Zeuthen (Hieronymus), obra citada, ~truik , D . .J., obra citada.</p><p>23</p><p>Con estas relaciones se dan por cc;m¡pleto. los numeros 7'!;</p><p>empleando las igualdades (4.1)- (4.3) se puede construir cualquier</p><p>cantidad de líneas del triángulo de Pascal.</p><p>Se puede ·dar definición com¡?lcmentaria a lá ~xprcsiórr P. d~ manera</p><p>natural para que el~a tenga ·sentido con todo n e ntero· l)O negativo ·y todo k</p><p>entero. Con este rm, supongamos que T! =O, si ,~,;;_;¡,O. ·y k. es. tal que</p><p>para él no está cumplida aunque sea una de Jas .dos desíguald~des;</p><p>O ~ k y k ~ n. Por lo tanto, 7! = O para todos los pares (11, k) en los</p><p>cuales n ;>,: O, k < O y todos los pares (11, k) e.n los cuales. 11 ;;:.· ó, .k > 11.</p><p>Ahora la relación 7! = ·f!- 1 + 7! se cumplirá para todos k [no sólo. ·para</p><p>k de 1 hasta n como en (4.3)] y ··· Jo~; números- ·'T! se darán por.</p><p>completo con las siguientes igualdades;</p><p>rg = 1, {4.4)</p><p>~ =O~~k~~ ~~</p><p>?"! .• 1 = '1!- 1 + Ti para todos 11 ;, O y todos k. (4.6)</p><p>Lo dicho· permite presentar el siguiente cuadro démostrativo de</p><p>surgimiento del triángulo de Pascal Consideremos la tal?la infinita ~0m'puesta</p><p>por ceros dispuestos al tresbolillo, como ·se séñala a continua~ión</p><p>.... o o o o ... .</p><p>.... 00000 ... .</p><p>.... o o o o ... .</p><p>.... 00000 .. ..</p><p>P.or supuesto, para la tabla de esta índole se cumplirá la ley de Pakal</p><p>que consiste en que cada número es la suma 5ic dos números próximos</p><p>a la línea anLerior 11• Supongamos ahora que en la lín~a inícial de esta</p><p>tabla uno de Jos ceros· se ha sustituido por la llnidad. Si exigimos que</p><p>se cumpla la ley de Pascal, entonces la "perturbación" se..extenderá en for.ma</p><p>1> Supongamos que .Ja linea infinita</p><p>ha sido obtenid;¡ tambíen de la infinita</p><p>... , 1L 2, d- ¡,</p><p>tlo, d2, ...</p><p>según la ley de Pascal, ya que sk = dk - 1 +dA· eón todo k.. De ahí se</p><p>obtendrá la definición de la ley de Pascal para las líneas finitas si cada</p><p>una de éstas</p><p>x0 , x.1 .... , x.</p><p>se identifica con la infinita</p><p>.... O, O, .x0 , x,, ... , x., O, O, o, ...</p><p>de "ángulo" como si ~e tratara .de las ondas formadas por. el palo encorvado,</p><p>puesto en un arroyo, o sep, en forma del triáng!!IO de Pascal:</p><p>.... o o l o o ... .</p><p>..... o o 1 1 o o .. ..</p><p>.... o 1 2 l o ""</p><p>"" o l 3 3 t o ....</p><p>Dado$ los valores .arbitrarios n y k (n =O, 1, 2, ... ; k= O, 1,</p><p>n), se puede hallar r,; si se dispone de tiempo y paciencia</p><p>suficientes. Con este fin conviene empezar a construir el triángulo</p><p>de Pascal continl)ando la operación hasta que· se consiga el</p><p>k-ésjmb número d~ la n-ésima línea. O sencillamente, se puede</p><p>utilizar las rel ¡:~ciones (4.1) - ··(4.3) que .. permiten definir T! después</p><p>de ejercer el número finito de adiciones.</p><p>Ejercicio (q!Je se deja a cargo del lector). ¿Cúántas adiciones</p><p>se efectuarán para calcular ~ utilizando las-relaciones (4.1) - (4.3)?</p><p>(Trát.e~e de. d isminuir el. número de estas adiciones recurriendo a la</p><p>simetrí·a: del triángulo de Pascal). ·</p><p>Llamemos operaci.ón de Pascal a la que consiste en hallii'r el</p><p>n'úmero '1! . con números n y k. · .</p><p>La operación ·de Pasel,\1 queda definida para todos ~1 y k para</p><p>los cuales 11 ;;:: o; o ~ k ~ n tl,</p><p>Si se síg11~ deflníend ó r. como se señalo más arriba en. la pág. 23,</p><p>la ~pcráción de:Pas~l se. definirá para todo n entero no negativo y para</p><p>toúb k entero,</p><p>Me.diante ;¡a operació~ de Pascal se escriben .fácilmente los</p><p>n~meros H~ q'~e sirven de solución para el problema· de la</p><p>··· olimpíada plantea<;!.() en el § 1. A fin de halla r tal representación</p><p>supongamos .(para -m = O, 1, ... , .1000; q =O, 1, ... , .m)</p><p>Zq _ l ·Hq</p><p>nf - 2 10!10 -m m•</p><p>11 Mientras, tanto, el mismo Pascal (partiendo de la propuesta disposición</p><p>de la tabla. sobre ~1 plano • . véase la pág. 17) éonsiderada en su tratado</p><p>otra operación, a ~aber, :la de hallar por los números .x e y el</p><p>número que se 'disppnga· en la intersección de 1~ .x"ésíma lila. vertical y de</p><p>la y-ésima fila horizontal· (numerándose las .filas a partir de la primera,</p><p>ya que esta OP.etací(!_n queda definida con .x;;?: 1, y ~ 1). Si se denota</p><p>el número que ·se d!~~a hallar por P (~ y), entonces es fácil enterarse</p><p>de %ue P (x, y)= Tx-t+ r~> de donde /~ = P (k + l, 11- k+ 1).</p><p>2 Puesto que el núme-ro dos elevado a la potencia cero se considera</p><p>igual. a 1, con m = 1000 la igu¡tldad (4.7) adquíere 1~ forma Zfooo =</p><p>== ·H1ool>· ·</p><p>25</p><p>de manera que</p><p>Entonces de las relaciones (4.7) y (1.1). (esuita</p><p>Z o __ 1_. 21ooo _ 1 o- :ztooo - ·</p><p>(4.8)</p><p>(4.9)</p><p>Pongamos en las relaciones (1.2), (1.4) y (1.3). en .. lugar de los</p><p>números H~ sue expresiones por Z:l conforme a (4.8). De (1.2) se ·</p><p>obtendrá ·</p><p>2tooo-.. 2 o</p><p>21000-(n+ 1) zo _ n</p><p>~t+l- 2 ,.</p><p>de donde</p><p>z~+. = z~.</p><p>lg~a)mente de (1.4) tenemos</p><p>21000-"·.Z::</p><p>21000-(n+ 1) z~t ~ = 11 n .. 2 . ,</p><p>de donde</p><p>Por fin, de ( 1.3) resulta</p><p>2loooó-<•+1) Z!·+l:::; 2Jooo- ... z~-l + 2'ooo- .. z~</p><p>.2</p><p>de donde</p><p>Z" z.t-l z" n+l = 11 + n•</p><p>Las igualdades (4.10)- (4.12) indican que cada línea</p><p>w,.+,;;:: (2~+1• ... , ZZ!f) ,</p><p>donde tt =O, 1, ... , 999· se obtiene de la anterior</p><p>ro, = (Z~, ... , z:>,</p><p>(4.10)</p><p>{4.11)</p><p>(4.12)</p><p>según la ley de Pascal. Puesto que, como se ve de la igualdad</p><p>( 4.9), la líñe!'l ·iniciai</p><p>es la línea cero de Pascal, entonces la que sigue, c.o~o es la primera</p><p>línea de Pascal, Já ro:.t. su segunda linea, etc:; para cada. m de O</p><p>26</p><p>hasta 1000 l) la línea rom es la m-ésíma línea de Pascal y</p><p>2.:1 = ~· (4.13)</p><p>Por consiguiente, en vírtud de (4.8), siendo cada m = O; 1, ... 1000</p><p>y cada k = O, 1, ... , m</p><p>(4.14)</p><p>En particular,</p><p>H1ooo = Tfooo · (4.15)</p><p>De ~hí se desprende que la cantidad de hombres que llegaron</p><p>a Jo~ cruces de. la ll,lilésíma fila no es otra cosa que .los miembros</p><p>de la milésima línea de Pascal. S1 !a operación de Pascal se</p><p>tiene por "uni.versarmente admitida", la igualdad (4.15) ofrecerá la</p><p>soll)ción para el problema del § 1 (en la tercera interpretación</p><p>indicada al final del § 2). ,)!ri los siguientes dos párrafos veremos cómo</p><p>se logra ha.llar las soluciones de dos problemas importantes por medio</p><p>de la operación de Pascal.</p><p>§ S.</p><p>COEFICIENTES</p><p>BINOMIALES</p><p>En este párrafo s.eñalaremos cómo se puede expresar los así</p><p>ilamados coefii:i~nt'i!s binomiales por medio de la operación de</p><p>Pa8cal. Lbs últimos se definen como sigue.</p><p>Tomemos el binomio 1 + x y empecemos a elevarlo a las</p><p>potendas O, J, 2, 3: etc., disponiendo los polinomios que se</p><p>obtengan según lbs exponentes crecientes de la letra x. Tenemos</p><p>(1 + ,.x-)0 =" (5.1)</p><p>(1 + x)1 = 1 + x, (5.2)</p><p>(1 + x)2 = (l + x)(l + x) == 1 + 2x + x\ (5.3)</p><p>(1 + X)3 = (1 + X)2(l +X)= l + 3x + 3x2·+ X3, (5.4) .</p><p>cte.</p><p>En general, para cualquier número n entero no negativo</p><p>(1 + x)" = a0 + a1x + a2i~ + ... + aPxP, • (5.5)</p><p>" Cuando m > 1000, la Ünea ro,. ·no está definida.</p><p>27</p><p>donde q0, a 1, ... , aP son ciertos números. Si se quiere, no costaría mucho</p><p>trabajo para cerciorarsy de que p = 11 y a0 = aP = L Sin embargo,</p><p>no es eso lo que se necesita ahora. Esto se conseguirá como</p><p>consecuencia de una fórmula más común. En esta etapa basta</p><p>saber, que el resultado de elevación del binomjo (1 + x) a la</p><p>potencia n (donde 11 es un núm~ro entero no 11egativo} puede ser</p><p>escrito en rorma· de un polinomio con coeficientes numéricos,</p><p>ordcni1do según los exponentes creciéntes de la letra x c<>mo se</p><p>señala en la relación (5.5). El polinomio. ·que figura ~n el</p><p>segundo miembro de esta relación, se denomina dbarr.ollo de{</p><p>l1inomio para el exponent.e n. Sus coeficientes (su. númeFo es p)</p><p>depc:nden, naturalmente, de n. Para. subrayar esta ~ependencia,</p><p>se util izat:~ frecuentemente unas designaciones especiales para estos</p><p>coeficiente:; de los cuales forma parte n. Precisanienté, el coeficiente</p><p>de :e en el desarro llo. del binomio pa ra el ·exponente n se designa</p><p>por (k). Tales números se llaman coejiciemes bi11omiales.</p><p>La relación (5.5) puede ser escrita ahora ert forma de</p><p>(1 + x)" = (0) + ('j)x + (i)x.z f ... + l~)xP (5.6)</p><p>y de las relaciones (S .. J) - (S.4) se deduce</p><p>(g) = 1</p><p>(~) == 1 (l) = 1</p><p>(~) = 1 <~> = 2 m = ,</p><p>@ = 1 m= 3m== 3m= 1.</p><p>Se ve que para los exponentes n =O, 1, 2 , 3 las líneas de los</p><p>coeficie,ltes binomiales coinciden respectivamente con las O, 1, 2, 3 del</p><p>triángulo de Pascal. Nos vamos a cerciorar de que esto es cierto para</p><p>todo n. Con este fin .. veremos cómo se obtiene la linea de</p><p>coeficientes para el exponente n + J de la de coeficientes para</p><p>el n. Utilicemos la fórmula</p><p>(1 + xr+! = (1 + x)"(l + x). (5.7}</p><p>Escribamos para los mi.embros pnmero y segundo de esta</p><p>fórmula los desarrollos según los exponentes crecient€s de la letra x.</p><p>Sustituyendq 11 por ·, + 1, la fórmula (5'.6) .ofrecerá para el primer</p><p>miembro:</p><p>(1 + x)"+ 1 = (~ + 1) + <rH)x + ... + (¡;+ 1)xk + ... +e;+ 1 )x'~, (5.8)</p><p>28</p><p>donde q e~ éierto numero. Para el segundo, debido a la misma</p><p>fórmula (5.6), se obtendrá :</p><p>(1 + X)"CI +X)=[(~)+ (7}X + ... + (;)xP]·(l +X)="(~)+ ('j)"X + ...</p><p>+ m·x' + ... + (~) XP + ro)x + ... + (~- t )Xk + ... + (; - t)X" +</p><p>+ (;) xP+I = (~) + [(g) + (7).] x + ... + W-t ) + G:)]x" + ; .. +</p><p>+ [(;- 1) + (;)) xP + (;:) xf?+ 1• (5.9)</p><p>E n virtud de (5:7) los miembros segundos de las relaciones (5.8)</p><p>y . {5.9) son equivalentes. Por eso q = p + 1; igualando los</p><p>coeficientes de lá letra x con iguales exponentes, se deduce</p><p>(5.10)</p><p>(5.11)</p><p>(5.12)</p><p>~as relaciones (5. 1 O) - (5 . 12) muestran que Ja·.líf\ea de coeficientes</p><p>de desarr.ollb .Pa:ra 'el: exponente n + 1 se obtiene de .la de</p><p>·~eficientes de de~t'roll0 para el exponente n según la ley de</p><p>~ascai. Puesto q,ué la línea de coeficientes de desarrollo para ~~</p><p>exponente O coin~ide con lu linea cero de Pascal, todas las</p><p>líneas sucesivaS' lle coeficientes coincidirán tamt?iéo con Jas líneas</p><p>respectivas .d.el 'triángulo.</p><p>de Pascal. Por eso los números (~)</p><p>· ~stán· definidos tan sólo con k= O, 1, ... , n; ·con :la parti~ularidad</p><p>c,le ~jue</p><p>(5.13}</p><p>Obser~cióu. A la pregunta. ''¿con. qué· coeficientes int~gran x- 3 y x20</p><p>en el' desarrollo del· binomio para el exponente 5?" se podda responder:</p><p>''con ooeficicnt~ ·cquivale.nt~s· li ~ero". Es natural que se siga definiendo</p><p>1~ expresión (~). para los casqs k .;: O y k > 11, suponiendo que <n = O.</p><p>Entonces, la· igualdad. (5. 13) en· virtud de la definición complementaria</p><p>heéha en el párrafo anterio r para el símbolo T! será válida para todos 11</p><p>no negativos y todos k enteros.</p><p>Por Ío tanto, han sido expresados tos coeficienles binomiales por</p><p>medio de la o~ración de Pascal. Se podría escribir ahora la</p><p>relación (5.6) en la siguiente forma :</p><p>(1 + x)" = ~ + T!x + r;x2 + .:. + ~xk + ... + T.:x". (5.14)</p><p>A veces la fórmula (5.14) se denomina fórmula del binomio de</p><p>29</p><p>'</p><p>Newton o, $Cncilla~ente, binomio de Newton 'l. Otra forma, más</p><p>tradicional, de esta fórmula se ofreceni. en el § 7.</p><p>Puede admitirse que en el presente párrafo hemos considerado el siguiente "problema sobre :Jos coeficientes binomiales"': hallar</p><p>la expresión para (k). .Como conocemos del § 2 se... puede</p><p>comprender de distinta manera lo que es. la solución para el</p><p>problema de este tipo. Si, por ejemplo, se tiene ·por solución la</p><p>· expresión que permite pasar de n y k .al . coeficiente bino~ial</p><p>correspondiente (en representación decimal), entonc.es (~) sera de por</p><p>sí la solución. Exijamos que la solución exprese (~ por me9io de los</p><p>números 11, k y las operaciones "universalmente admhidas';; tal</p><p>interpretación de la soluci6n dependrá de la. elección de las·</p><p>últimas. Si la operación de Pascal se considera ·como "universaln1ente</p><p>admitida'', .la fórmula (5. 13) ofrecerá la solución para el. pr.oblcm;1</p><p>sobre los coeficientes binomiales. Otra soluci6.n· de este· problema,</p><p>recurriendo a otras operaciones· "universalmente admitid~s", .. se</p><p>ofrecerá en el § 7.</p><p>§ 6.</p><p>NÚMERO DE PARTES</p><p>DE UN CONJUNTO DADO</p><p>En las matemáticas se llama' conjunto a toda colección de</p><p>objetos. Por ~je,m'plo:</p><p>a) la de todas las páginas del presente folleto;</p><p>b) la de todos los números enteros;</p><p>e) la de todos los números pares;</p><p>d) la de todos Jos Iápíce~ puestos en una q1jetilla dada.</p><p>Todas esas colecciones serán conjunios.</p><p>S.i están señalados un objeto y cierto conjunto, pueden haber</p><p>do~ casos:</p><p>1) el objeto pertenece al conjunto que se considera;</p><p>2) el objeto no pertenece al conjunto q\le se considera.</p><p>11 La fórmula (5.14) era conocida mucho anteS' ~e Ne"'ton, en par1icular,</p><p>por Tartaglia de' quien se hu dicho yá. El nombre de Ncwton se</p><p>vincula con la fórmula en cuestión exclusivamente porque era quien indicó</p><p>en !676 el· ptocedímiento de su. generalización para el caso de exponente</p><p>racional arbitrario (incluso el ·negativo).</p><p>30</p><p>Ep el primer caso el objeto se llama elemento del conjunto</p><p>a consid~rar. P.or ~jcrnplQ, el número 3 es el elemento del</p><p>conjunto de todos los ·números enteros sin que lo . sea para el</p><p>conjuntó de todos i'os números pares.</p><p>Pued~ ·su~er que todos los elementos de cierto conjunto A</p><p>sean simultáneamente los elementos de !ID otro conjunto B (por</p><p>ejempl~, lodos los elementos del conjuntó de lodos los números</p><p>pares ·son los elementos del conjunto de todos los números</p><p>enteros). En este caso, .el conjunto A se llama parte o subconjunto</p><p>del. conjunt9 B. Es evid'ente que cada conjunto es parte de sí</p><p>mismo. Si el conjunto A es una parte del conjunto B y el</p><p>último e~ la del conjunto A, esto quiere decir que A y B se</p><p>componen por los mismos elel)'lentos, es decir, coinciden (constituyen</p><p>·"el mismo ·conjunto"). .</p><p>Los conjuntos. pueden ser )initos [los de \os ejemplos citados</p><p>más an:iba, en los pu.ntos a) y d) e infinitos [los de los ejemplos</p><p>·señalados en l~s. ·puntos b) y e)]. Los conjuntos .finitos (sólo</p><p>éstos serán. considerados en este párrafo) constituyen el objeto de</p><p>estudio de u~a disciplina materr¡ática especial que se llama teoría</p><p>combinatoria.</p><p>En~re los conjuntos finitos se distingue uno especial, a saber, un</p><p>c~n.Junto que no .contiene ningunos elementos; tal conjunto se llama</p><p>vacío. Por- l_o tatito, no se excluye la posibilidad de que al abrir</p><p>la cajetilla-, se -re_vele que el conjunto de lápices que ésta contiene, ··</p><p>esté vaqío. He . .. ¡~hí' 'o que ~scribe sobre el conjunto vacío</p><p>AJexándr.ov P. S. J);.</p><p>Al género de· conjuntos finitos se refiere también el conjunto</p><p>vado, es <Jecir, el . conjunto que no contiene ningún eleme~to; el</p><p>n(lmero de clem~ntos d.et conjunto vacío es cero. La conveniencia</p><p>de considerar ~~ conj1.1nto vacío se debe a que cuando se define,</p><p>de la forma. que se(l, el cónjunto, es posible que no se sepa de</p><p>antemano si és te contiene por lo menos un elemento. Por ejemplo,</p><p>es proba~le q·ue .. el coñjuoto de avestruces que en actualidad se</p><p>hallan tras et círculo polar, esté vacío; sin embargo, no se lo puede</p><p>afirmar acertadamente, ya que puede ser que algún capitán haya</p><p>llevado allá u·n avcstrui". El cqnjunto vacíp se tiene por parte de</p><p>t'odo conjunto.</p><p>1) AACI<éaiti>pil8 n .. C. Baeneuue B o6wyto 'reOpl:\10 MIJO)l(eCTB H ljlyHKUHH,</p><p>M .... Jl, foC'rex«3AaT, '!948, C'rp- 14. (Alexándrov P. S., Introducción a la</p><p>teoría .general de conjuntos y funciones. Moscú·Leningrad, Costejizqat,</p><p>1948, pág. 1.4, en rus9.)</p><p>31</p><p>Si ~1 conjunto es finito, sus elementos pueqen· cqntarse hallando,</p><p>por lo tanto, el número de los elementos del conjunto. El</p><p>conjunto compuesto por n elementos se llama "el de n elemel)tos''.</p><p>El conjuntq de páginas de e~te folleto es, pot ejemplo, el de 39</p><p>elementos, el conjunto vado es el de O clementQs.</p><p>Ejemplo·. Consideraremos un conjunto·compuesto por tres objetos:</p><p>lápiz, pluma y gom~ de borrar. Hallemo~ tod~s sus partes: Se</p><p>tiene exactamente una parte de cero elementos~ o sea, un conjunto</p><p>vacío. Hay exactamente tres partes· de un elem~~to:</p><p>~</p><p>~</p><p>Hay exactamente tres partes de dos elementoi:</p><p>32</p><p>Por fin, hay exact¡l.mentc una parte de tres elementos (que</p><p>coincide con todo el c9njunto): .</p><p>Por consiguiente, en total, este conjunto tiene ocho partes.</p><p>Que esté dado un conjunto compuesto por n elementos.</p><p>Toda su parte de k eiementos se llama· combinación de n elementos</p><p>dados pór k. (Son las mísmas combinaciones que se exponen en el</p><p>curso escolar de álgebra, (!n el apartado. "Ordenación"~ Es evidente</p><p>que el núm~ro de combinaciones de n elementos dados por k no</p><p>depende de cuáles. ·son los ri ·elementos que se han dado, sino</p><p>sOlamente de los )lúmeros n y k, motivo por e{ cual este número</p><p>Sé llama: brevemente como número de combinaciones de n elementos</p><p>por k y se design~ mediante</p><p>e~.</p><p>En ·ot~as palabras, C! es el número de p..artes de k elementos</p><p>del conjunto de n .elementos. Suele consid~rarse que la expresión</p><p>·e! tíen·e sentido cuando n =O, l, 2,, ... , O~ k~ n °.</p><p>El número de todas las partes del conjunto de n elementos</p><p>se denotará por e,., así que</p><p>e,. = e~ + C! + ... + e:. (6. 1)</p><p>¿A qué son equivalentes, pues, los números c •. e~? A algunas</p><p>de estas preguntas ' Se les podría dar una respuesta inmediata.</p><p>Del ejemplo recién examinado se desprende que C3 = 8, cg =</p><p>== e~ = t. Cl = e~ = 3.</p><p>•1 Mientras tanto, es natural creer que la expresión C~ tiene sentido</p><p>también con k > n y es equivalente en este caso a oero (ya que aquí</p><p>no hay del todo partes de k ele~entos).</p><p>33</p><p>Luego tiene lugar lo siguiente.</p><p>Primera propiedad del número de combinaciones:</p><p>C~=C:::= 1. ,. (6.2)</p><p>Demonstración. Efectivamente, el conjunto de m eleme~tos tiene</p><p>exa.ctamente una parte de O elementos (conjunto vacío) y exactamente</p><p>una parte de m elementos (el propio conjunto E).</p><p>Establezcamos ahora, SÍ!l calcular los propios números C~,</p><p>otras dos propiedades de estos nú~eros. El establecimiento de la</p><p>segunda propiedad será un ejercicio ·útil p~ra la asimilación de</p><p>las nociones expuestas en este párrafo'; en lo que se refiere a .la</p><p>tercera propiedad, es precisamente</p><p>el1a que junto cc;m la pri111era</p><p>constituirá la base para los <;álculos .de los números e:.</p><p>Segunda propieda.d del número de combinaciones:</p><p>(6.3)</p><p>Demonstrac'tón. Con~ideremos cierto conjunto M compuesto. por n</p><p>elementos. Debe demostrar~ que el nümero de sus partes de k</p><p>elementos es equivalente al de sus partes de (n-k) elementos.</p><p>Imaginémos la siguiente construcción. Cortemos. de p~pel tantos</p><p>cuadrados cuantas partes de k 'elementos h~ya, en este conjunto</p><p>(es decir, ~) representando. por cada uno de ellos una ae estas</p><p>partes de modo que cada pa.rte de k elementos esté representada</p><p>en uno de ros cuadrados. A continuación, cortemos de· papel</p><p>q-A círculos y expresemos cada una de las partes de (n -k)</p><p>elementos exactamente por uno de estos círculos. Nos basta ahora</p><p>revelar que hay igual cant~dad de círculos y cuadrados. Con este</p><p>propósito coloquemos todos Jos cuadrados sobre ·¡a mesa (?Oniendo</p><p>sobre cada cuadrado un círculo ·conforme a la sigujente regla: si por</p><p>medio del cuadradó está representada cierta parte del conjunto M</p><p>compuesta por k elementos, se ha de colocar s9bre .este cuadrado</p><p>el circulo que represente la parte del conjunto M compuesta por</p><p>los demás n -k elementos, es decir, por tod~s- aql!ellos elementos</p><p>del conjunto M que no hayan integrado la parte. representada</p><p>en el . cuadrado (la fig. 8 ofrece varios cuadrad.os junto con</p><p>compuesto por cinco el~mentos a, b., e, d, e), Es eviden~e que</p><p>sobre cada cuadrado se pondrá exactamente· un cir.culo y cada</p><p>círcul.o se colocará exactamente sobre un cuadrado. Esto significa</p><p>que el número de círculos es equivalente al d~ cuadrados.</p><p>Antes de pasar a la tercera propiedad demostremos el siguiente</p><p>lema. ·</p><p>34</p><p>LEMA. E.scojamos en ·· el conjunto de· (n + 1) elementos cierto</p><p>elemento . . El número. de las partes de k elementos de esw conjunto</p><p>que contienen es(e ele~?Jento escogido, es equiva,le11te a c~- 1 •</p><p>De.mtmstr_ación. Volvamos a efectuar el ·experimento menta\ con</p><p>cir.culgs Y. cuadrado~. Cortemos de papQl tantos cuadrados cuanto</p><p>R</p><p>l:_:j</p><p>·F\</p><p>\:_:_)</p><p>·conjunto</p><p>vo~io</p><p>00</p><p>DO</p><p>FJG. 8</p><p>haya partes- de. k· ~!ementos, que contengan el elemento escogido,</p><p>y representemos en. cada uno de ellos una parte tal que estén</p><p>expresada.~ todas las partes. Cortemos de papel e~- 1 círculos y</p><p>rcpres~nteínos e.n cada círculo una de las partes de (k - 1) elementos</p><p>del conjunto de todos los elementos no separados de modo que todas</p><p>'tttles partes C<Stén representadas (hay n elementos no escogidos,</p><p>motivo por el ct.ial hay exactamente e~- 1 tales partes). Pongamos</p><p>~obre cada éucú:lrado un. círculo conforme a la siguiente regla:</p><p>·si el cuadrado representa cierto conjunto A, ha de colocarse</p><p>sobr,c ~~ un, circulo· que tenga representado el conjunto obtenido</p><p>.de A eliminando el elemento escogido. Es ·evidente que sobre</p><p>·cada cuadrado se pondrá exactamente un círculo y cada circul9</p><p>se cqloc;:trá exá~amente sobre un cuadrado. Esto significa que el</p><p>número de cl!.a9P:ldós es equivalente al d€; círculos, es decir,</p><p>e!- 1• P,ero, han 'sido cortados exactamente tantqs cuadrados,</p><p>cuantas partes de k elementos del conjunto de (n + 1) elementos</p><p>contienen el efemeritq escogido. Por lo tanto, el número de tales</p><p>pa:rte's· es equíval~nte a e!- r, lo que queda demostrado.</p><p>i>asem.os ahora: a la tercera propiedad del n~mero e~ .</p><p>.Terc.era propiedad del nítmero de combinaciones;</p><p>(6.4)</p><p>'</p><p>35</p><p>Demonstr"á<:ión. Tomemos el conjunto arbitrario M de (n + 1)</p><p>elementos y compongamos todas sus ·partes de k elementos.</p><p>Escojamos en M cierto elemento ·denotándolo con :¡a letr~.</p><p>minúscula a. Designemos por la letra mayúscull:) X el número de</p><p>aquellas partes de k elementos del conjunto M que contengan el</p><p>elemento a y por la Y el de aquellas partes de k ele.mentos</p><p>del conjunto M que no contengan a. Enionces</p><p>C~+ 1 =X+ Y. (6.5)</p><p>Pero, según el lema, X = e~- 1</p><p>• En lo qúe atañe. a Y, esto ·es</p><p>el número de combinaciones por k de n elementos no escogidos,</p><p>es decir; C~. Por eso,</p><p>e!t- 1 = ~- 1· + C!, (6.6)</p><p>lo que queda demostrado.</p><p>La tercera propiedad igual como la primera señala que la lfnea ·</p><p>eo el en'i<l</p><p>n+!• n+l• ... , 11+l . .(6.7)</p><p>se obtiene de la</p><p>e~. e~ . ... , e~ (6.8)</p><p>de acuerdo con la ley de Pascal. Puesto que con n = O la línea</p><p>eg (6.9) .</p><p>coincide, en virtud de (6.2), con la línea cero de Pascal, también</p><p>para 11 arbitrario la línea (6.8) coincidirá con 'la n~~ima !Íneá</p><p>de Pascal, y por eso,</p><p>(6.10)</p><p>Por consiguiente, ya sabemos calcular el núm.ero de las partes</p><p>de k elementos del conjunto de n elementos: por lo tanto; el'</p><p>número de combinaciones de n eiementos por k (la fÓrmula· (6 .. 10)</p><p>da la solución del " Problema sobre el .número de combínacione~"</p><p>a condición de que la operación de Pascal se teriga por ''uni~</p><p>versalmcnte admitida" ll ).</p><p>En lo que se refiere al número de todas las partés (lei' conjunto</p><p>de n elementos, las relaciones (6.1) y (6.10) señala~ que este</p><p>nümero es equivalente a la suma de los términos de la n-ésirna</p><p>linea de Pascal, la cual, corno se sabe, es equiva,Iente a 2n.</p><p>Definí ti vamente,</p><p>.(6.\1)</p><p>11 El lector hallará en el ~ 7 otra resolución, con empleo de otras</p><p>operaciones "universalmente admitidas".</p><p>36</p><p>§ 7.</p><p>VÍNCULO</p><p>CON FACTORIALES</p><p>En el § 4 se dan dos procedimientos para calcular el</p><p>número ~ con n y k prefijados: el procedi(!1iento m~~ "mecánico"</p><p>(pero, que lleva a cálculos adicionales) de construción gradual del</p><p>triángulo de Pa5cal y el más "económico" por la cantidad de</p><p>operaciones (pero, que exige una organización determinada de</p><p>cálculos) que consiste en utilizar las relaciones (4.1) - (4.3). Ambos</p><p>procédimient~s sop muy semejantes y, en Jo fundament~l, se deducen</p><p>d'irectamente de los números dados ~ por medio de la ley de Pascal.</p><p>Sin embargq, existe ~ambién otro procedimiento para hallar ~ que</p><p>se señala a continuación. ,</p><p>Introduzcamos al principio una designación. Supongamos que</p><p>O!::::: O,</p><p>y para todo m entero</p><p>m! =(m - 1) ! m.</p><p>Por consiguiente, cuando m > O,</p><p>m!= 1·2 ... m.</p><p>· La -expresión m! se lee así: "factorial del número m" o en forma</p><p>más breve: ... 1fl factorial".</p><p>~?'presemos. ahqra la operación de Pascal por la de cálculo</p><p>de la factorial y las .operaciqnes aritméticas. <;;on est.e propósito</p><p>se considerará la siguiente expresión:</p><p>. m!</p><p>q!(m- q)!.</p><p>Designemos esta expresión por f~. Es evide11te que la expresión</p><p>F! tiene sentido con m ~ O, O ~ q ~ m. Anotemos que</p><p>o O!</p><p>Fo = 0!0! =l.</p><p>Luego,</p><p>o . m! F'" - m! - -~</p><p>F,. = O!'m! = l, m- m!O! - .</p><p>37</p><p>Por fin,</p><p>Fk-1 pk n!</p><p>" ·+ ,.== (k- l)!(n -k+ 1)!</p><p>+ n!</p><p>k! (n-k)!</p><p>;:: fl! + ":':"""-~";."'11~! ....._-:-:-~ =</p><p>(k- 1) !(11- k) ! (n-k+ 1) , (k~ 1) !k.(n - k)!</p><p>= 11! [ .. 1 + _!_] = · n! x</p><p>(k-l)!(n-k)! n-k+ I k (k -l)!(n- k)!.</p><p>n+ l</p><p>X 7k-;--(ll---'k:--+--:-l:-}</p><p>Así pues, la línea</p><p>(n + l) ! = F~+ t.</p><p>k! (n + 1 - k) !</p><p>F8</p><p>es la línea cero de Pascal, y la "(n + l)"-ésima _línba</p><p>F~+~> F~+t• ... , F~tJ</p><p>se obtiene de la "n''-ésima</p><p>F~. F~ • ... , F~</p><p>según la ley de Pascal. Por eso con todo m = O, l, 2, ... la línea</p><p>F~. F~, ... , F::;</p><p>coincide con la m-é,sima línea de Pascal y</p><p>F~ = T:!,.</p><p>De ahí</p><p>T9- m!</p><p>m - q! (m - q) ! .</p><p>..</p><p>Por consiguiente, hemos expresado la operación de Pascal por las</p><p>operaciones de cálculo de la factorial, la sustracción, multiplicación</p><p>y división en el sentido de que hemos encontrado para r:, la</p><p>expresión que contiene, además de m y q, .sólo los signos de las</p><p>operaciones señaladas. Esto .otorga la posibilidl,ld de calcular T~. ya</p><p>que sabemos calcular las factoriales, las diferencias, los productos</p><p>y cocientes.</p><p>De la fórmula recién haflada para r::,· se puede .sacar una</p><p>serie de consecuencias.</p><p>38</p><p>Cons.ecuencia l. Simplificando ~n la expresión hallada para</p><p>r:. el numerad()r y den·ominador: en (m - q)! resulta</p><p>P= m(m- J") ... [m-(q-l))</p><p>m 1·2 ... q ·</p><p>Consecuencia 2. Que sea m~ 1, 1 ~ q. EJ producto de q</p><p>factores ~(m - 1) ... [m - (e¡ - J.)] se divide siempre por el producto</p><p>de-q multiplicadores</p><p>f. 2 .... q.</p><p>E.fe9tivamente, en virtud de la consecuencia 1, la relación de</p><p>estos productos es equivalente a T!,, y T!, es un número entero.</p><p>·Consecuencia 3. De ·1~ relación (4.15) se deduce</p><p>1000!</p><p>H1 oqo = q!(IOOO _ q)! ·</p><p>Esta ~s la nueva forma para la resolución del problema del</p><p>§ l.</p><p>(:oi1secuencía 4. De la relación (5.1~) se obtiene</p><p>(~)'- n!</p><p>k - k!(n- k)!'</p><p>1 •</p><p>n(n - 1} ... [ti' - (k- 1))</p><p>1·2...k .</p><p>~sta es . la e~presió~ "escolar,. tradicionaj p;ua el coeficiente</p><p>'binomia_l.</p><p>C{Jn~ecu~neia .5. De la. relación (5.14) y .la con~ecuencia 1 se</p><p>deduce que ·</p><p>(J + x)~' =: l + fiX + 11'(11 ~-~)Xz + ... +</p><p>.+ .. n(n- 1) ... [n- (k- 1)] . .k+ + ,</p><p>··2 k Á ... X. 1 ...</p><p>Esta es la forma "esoolar" tradicional de la fórmula del binomio</p><p>de Newton.</p><p>Consecu"e~ci_á 6. La ·relación (6.10) ofrece la fórmula . "escolar"</p><p>tradicional para el número de combinaciones</p><p>'</p><p>·n! el..-. . ·-</p><p>"-:- k!(n-k)!</p><p>n(n- l) ... [n- (k- 1)]</p><p>1·2 ... k</p><p>A NUESTOS LECfORES:-</p><p>"Mir" edila .libros sovié.ticos traducidos al ~pañol, inglés, francés,</p><p>árabe y otros idiomas extranjeros. Entre ello~ figuran -las mejores· obras</p><p>de las distintas ramas. de la ciencia y la técnica: manunles para los</p><p>centros ·de ensenanza superior y escuelas· tecnológicas¡ literatura sobre</p><p>ciencias naturales y médicas. También se incluyen_ monografías, li!>ros de</p><p>divulgación cientírica y ciencia-ficción.</p><p>Dirijan sus opiniones a la Editorial ''Mir'', 1 RÍzhskf per,. '2, 129 820,</p><p>Moscú. 1·110, GSP. URSS.</p><p>En 1978 la Editorial Mír publica :</p><p>Lúbich. Yu., Shor L.</p><p>MÉTODO ClNEMÁ TICO</p><p>EN LOS PROBLEMAS</p><p>GEOMÉTR~COS</p><p>Smogorzhevski A.</p><p>ACERCA DE LA GEOMETRÍA</p><p>DE LOBACHEVSKI</p><p>•••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••• • •••••• •</p><p>leccio·nes populares</p><p>de matemáticas</p><p>• • •</p><p>.----------------------------------------------------• • • • • • • • • • • • • • • • • • •</p><p>• • • • • • • • • • • •</p><p>En 1978 editorial Mir publica:</p><p>Lidski V. y otros</p><p>Problemas de matemática elemental</p><p>Lubich Yu., Shor L.</p><p>Método cinemático</p><p>en los problemas geométricos</p><p>Smogorzhevski A.</p><p>Acerca de la geometría</p><p>de Lobachevski</p><p>• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .</p><p>• • • • • • • .</p><p>• • • • • • • •</p><p>• • • . . -------------------- - ----- ------- ------ · • • • • • • • •</p><p>: Editorial MIR Moscú : • • • • • • • • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••• •••••••</p>