Resumo para Concurso - Geometria

Prévia do material em texto

<p>Ponto, Reta e Plano</p><p>A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o</p><p>que se sabe muito bem e aqui será o mais importante é sua representação</p><p>geométrica e espacial.</p><p>Representação, (notação)</p><p>→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…</p><p>→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…</p><p>→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex: β,∞,α,...</p><p>Representação gráfica</p><p>Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito</p><p>sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.</p><p>- Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.</p><p>- Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).</p><p>- Pontos colineares pertencem à mesma reta.</p><p>- Três pontos determinam um único plano.</p><p>- Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste</p><p>plano.</p><p>- Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.</p><p>Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.</p><p>Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois</p><p>pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente</p><p>contida no conjunto.</p><p>Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das</p><p>situações:</p><p>- Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);</p><p>- Um ponto e uma reta que não contem o ponto;</p><p>- Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;</p><p>- Duas retas paralelas que não se sobrepõe;</p><p>- Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;</p><p>- Duas retas concorrentes;</p><p>- Dois segmentos de reta concorrentes.</p><p>Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas,</p><p>concorrentes ou reversas.</p><p>Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e</p><p>elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de</p><p>uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.</p><p>Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano</p><p>em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma</p><p>de suas extremidades é perpendicular à reta.</p><p>Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s</p><p>inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.</p><p>Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano</p><p>é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma</p><p>extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção</p><p>entre o plano e o segmento.</p><p>Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.</p><p>Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.</p><p>Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.</p><p>Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um</p><p>diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo</p><p>diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por</p><p>quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.</p><p>Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).</p><p>Razão entre Segmentos de Reta</p><p>Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão</p><p>limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um</p><p>deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas</p><p>letras como, por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.</p><p>Exemplo</p><p>AB é um segmento de reta que denotamos por AB.</p><p>A _____________ B</p><p>Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível</p><p>realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.</p><p>Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:</p><p>A ________ B m(AB) = 2cm</p><p>C ______________ D m(CD) = 5 cm</p><p>A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida</p><p>como a razão entre as medidas desses segmentos, isto é: AB/CD = 2/5</p><p>Segmentos Proporcionais</p><p>Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma</p><p>semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível</p><p>estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas</p><p>desse segmentos.</p><p>Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos</p><p>de reta:</p><p>m(AB) = 2cm A______B P__________Q m(PQ) =4 cm</p><p>m(CD) = 3cm C__________D R___________________S m(RS) = 6cm</p><p>A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e</p><p>RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e</p><p>como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro</p><p>segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.</p><p>Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são</p><p>proporcionais se: AB/BC = CD/DE</p><p>Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e</p><p>CD são os segmentos meios.</p><p>A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção</p><p>entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:</p><p>m(AB)</p><p>m(BC )</p><p>=</p><p>m(CD)</p><p>m(DE)</p><p>Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de</p><p>segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto</p><p>das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)</p><p>Feixe de Retas Paralelas</p><p>Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de</p><p>retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta</p><p>transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam</p><p>um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.</p><p>Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas</p><p>transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura abaixo representa</p><p>uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortadas por duas</p><p>retas transversais.</p><p>Identificamos na sequência algumas proporções:</p><p>AB/BC = DE/EF</p><p>BC/AB = EF/DE</p><p>AB/DE = BC/EF</p><p>DE/AB = EF/BC</p><p>Exemplo</p><p>Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as</p><p>medidas dos segmentos indicadas em centímetros.</p><p>Assim:</p><p>BC/AB = EF/DE</p><p>AB/DE = BC/EF</p><p>DE/AB = EF/BC</p><p>Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se</p><p>um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão</p><p>pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.</p><p>Exercício</p><p>1. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3, -2, 3).</p><p>a) Obtenha equações de r nas formas vetorias paramétrica e simétrica</p><p>b) Verifique se o ponto P = (-9, 10, -9) pertence a r.</p><p>2. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:</p><p>a) Passa pelo ponto (-4, -5) e é PARALELA à reta cuja equação é 2x – 3y</p><p>+ 6 = 0.</p><p>b) Passa pelo ponto (-2, 3) e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é</p><p>2x – y – 2 = 0.</p><p>3. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t: 2x – 9y – 5 = 0.</p><p>4. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:</p><p>a) O INTERCEPTO Y é -4 e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é 3x</p><p>– 4y + 8</p><p>b) Passa pelo ponto (-3, -4) e é PARALELA ao EIXO Y.</p><p>5. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:</p><p>a) Passa pelo ponto (1, -7) e é PARALELA ao EIXO X.</p><p>b) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no</p><p>PRIMEIRO e TERCEIRO quadrantes.</p><p>c) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no</p><p>SEGUNDO e QUARTO quadrantes.</p><p>6. Dado os pontos A (-3; 1) e B (3; -5), determine o ponto que divide o</p><p>segmento AB na razão: k = 2.</p><p>7. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (0; 2) e</p><p>B (-3; 0).</p><p>8. Uma reta r tem a equação: x + 2y – 10 = 0.</p><p>a) Determine o ponto de r com abscissa 2.</p><p>b) Obtenha o ponto de r com ordenada 3.</p><p>9. Escreva a equação segmentada da reta r dada por 6x – 5y – 30 = 0.</p><p>10. Estude a posição relativa dos pares da reta: 2x – y – 5 = 0 e 4x – 2y</p><p>+ 6 = 0.</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>a) Seja P(x, y, z) um ponto genérico da reta r.</p><p>(I) equação vetorial de r:</p><p>P = A + t(B – A)</p><p>(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2)</p><p>(II) equações paramétricas de r:</p><p>Da eq. vetorial temos que,</p><p>(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2,</p><p>a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma</p><p>circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y -</p><p>b)2 - r2:</p><p>- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;</p><p>- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência;</p><p>- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.</p><p>Posição de uma reta em relação a uma circunferência</p><p>Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x -</p><p>a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :</p><p>Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma</p><p>circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência.</p><p>Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :</p><p>(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:</p><p>Assim:</p><p>Condições de tangência entre reta e circunferência</p><p>Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:</p><p>a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à</p><p>circunferência por P</p><p>b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela</p><p>por P</p><p>c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à</p><p>circunferência passando pelo ponto P</p><p>A Importância da Circunferência</p><p>A circunferência possui características não comumente encontradas em</p><p>outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser</p><p>rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também</p><p>a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de</p><p>simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do</p><p>conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia,</p><p>Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e</p><p>bastante utilizada nas residências das pessoas.</p><p>Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos</p><p>de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo</p><p>denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais</p><p>importante no contexto das aplicações.</p><p>Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja</p><p>distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.</p><p>Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião</p><p>da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No</p><p>gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a</p><p>região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com</p><p>a circunferência.</p><p>Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo</p><p>Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do</p><p>círculo que não estão na circunferência.</p><p>Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos</p><p>localizados fora do círculo.</p><p>Raio, Corda e Diâmetro</p><p>Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta</p><p>com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num</p><p>ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e</p><p>OC são raios.</p><p>Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas</p><p>extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC</p><p>e DE são cordas.</p><p>Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda</p><p>que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior</p><p>corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.</p><p>Posições relativas de uma reta e uma circunferência</p><p>Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta</p><p>intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também</p><p>que é a reta que contém uma corda.</p><p>Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que</p><p>intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como</p><p>ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto</p><p>de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à</p><p>circunferência.</p><p>Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas, mas</p><p>às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por</p><p>exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer</p><p>que o raio ON da circunferência mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.</p><p>- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para</p><p>denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode</p><p>significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas</p><p>também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os</p><p>pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que</p><p>contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A</p><p>ao ponto C.</p><p>Propriedades das secantes e tangentes</p><p>Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a</p><p>circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda</p><p>AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.</p><p>Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O,</p><p>intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a</p><p>perpendicular à reta s que passa pelo centro O da</p><p>circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.</p><p>Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro</p><p>e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao</p><p>raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.</p><p>Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular</p><p>ao raio no ponto de tangência.</p><p>Posições relativas de duas circunferências</p><p>Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao</p><p>mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas</p><p>tangentes comuns: a interna e a externa.</p><p>Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta</p><p>reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em</p><p>cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente</p><p>comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão</p><p>em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.</p><p>Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma</p><p>circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo</p><p>C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos</p><p>externos à outra.</p><p>Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o</p><p>mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.</p><p>Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo</p><p>plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no</p><p>mesmo ponto de tangência.</p><p>As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros</p><p>estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas</p><p>uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.</p><p>Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos</p><p>distintos em comum.</p><p>Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à</p><p>circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são</p><p>congruentes.</p><p>Polígonos circunscritos</p><p>Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados</p><p>tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência</p><p>está inscrita no polígono.</p><p>Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é</p><p>circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma</p><p>dos outros dois lados.</p><p>Arco de circunferência e ângulo central</p><p>Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de</p><p>circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto</p><p>indica que os raios de uma circunferência são segmentos</p><p>congruentes.</p><p>Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios</p><p>congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um</p><p>número.</p><p>Ângulo central:</p><p>Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo</p><p>vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um</p><p>ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central</p><p>determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo</p><p>AÔB.</p><p>Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não</p><p>são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão</p><p>dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha</p><p>vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.</p><p>Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são</p><p>extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora</p><p>do ângulo central cujos lados contêm os dois pontos. Na figura a parte azul é o</p><p>arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no</p><p>arco maior, mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três</p><p>letras para representar o arco maior.</p><p>Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de</p><p>um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos</p><p>lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da</p><p>circunferência de centro P e o arco RUS é outra.</p><p>Observações: Em uma circunferência dada, temos que:</p><p>- A medida do arco menor é a medida do ângulo</p><p>central correspondente a m(AÔB) e a</p><p>medida do arco maior é 360 graus menos a medida</p><p>do arco menor m(AÔB).</p><p>- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.</p><p>- Em circunferências congruentes ou em uma simples</p><p>circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos</p><p>congruentes.</p><p>- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D</p><p>e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)</p><p>+m(EF)=m(DF).</p><p>- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de</p><p>um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).</p><p>- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras</p><p>apresentadas.</p><p>Propriedades de arcos e corda</p><p>Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois</p><p>pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de</p><p>um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles</p><p>um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for</p><p>especificada, a expressão arco de uma corda se</p><p>referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre</p><p>teremos que especificar.</p><p>Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é</p><p>congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso,</p><p>qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do</p><p>arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o</p><p>centro da circunferência que contém o arco.</p><p>- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta</p><p>perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela</p><p>interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do</p><p>segmento OT cuja medida representa a distância entre o</p><p>ponto e a reta.</p><p>- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas</p><p>congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas</p><p>congruentes. (Situação 1).</p><p>- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e</p><p>também de seus dois arcos. (Situação 2).</p><p>- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas</p><p>que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).</p><p>Polígonos inscritos na circunferência</p><p>Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é</p><p>um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é</p><p>circunscrita ao polígono.</p><p>Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito</p><p>em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a</p><p>soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é</p><p>360 graus.</p><p> + Î = 180 graus</p><p>Ê + Ô = 180 graus</p><p> + Ê + Î + Ô = 360 graus</p><p>Ângulos inscritos</p><p>Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na</p><p>circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo</p><p>AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.</p><p>Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma</p><p>circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou</p><p>seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB)</p><p>Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um</p><p>ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um</p><p>triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um</p><p>lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e</p><p>esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.</p><p>Ângulo semi-inscrito e arco capaz</p><p>Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um</p><p>ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado</p><p>secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina</p><p>um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante</p><p>passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC</p><p>é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.</p><p>Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do</p><p>arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da</p><p>medida do arco AXB.</p><p>Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o</p><p>lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos</p><p>ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos</p><p>congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência</p><p>denominado arco capaz.</p><p>Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando</p><p>pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB</p><p>é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está</p><p>localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam</p><p>por A e B e têm vértices em V1, V2, V3,..., são todos congruentes (a mesma</p><p>medida).</p><p>Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de</p><p>vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o</p><p>dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)</p><p>Exercícios</p><p>1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular a razão</p><p>entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a equação da</p><p>circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e</p><p>B(6,3).</p><p>2. Dada o equação reduzida de uma circunferência (x ? 1)2 + (y + 4)2 = 9,</p><p>dizer qual a origem e o raio da circunferência:</p><p>3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 = 0, observar</p><p>posição relativa dos seguintes pontos</p><p>a) P(2, 1)</p><p>b) Q(5, 1)</p><p>4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 = 0 e a</p><p>circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5</p><p>5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que</p><p>sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0.</p><p>6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por uma de</p><p>suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da corda, sabendo</p><p>que o raio da circunferência é 50 cm.</p><p>7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um</p><p>número x real, qual é a forma dos outros números que também</p><p>correspondem a esse mesmo ponto?</p><p>8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se</p><p>representar os números e -12?</p><p>9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de</p><p>um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1</p><p>hora?</p><p>10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros</p><p>do relógio às 15h 15min.</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre</p><p>eles é o centro da circunferência. Encontrando então o centro temos h = (2 + 6)</p><p>/ 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1).</p><p>A</p><p>distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio.</p><p>Logo, R = dCB = = = = .</p><p>Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 + 12 – 2 =</p><p>0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.</p><p>2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica</p><p>reduzida de uma circunferência:</p><p>x0 = 1</p><p>y0 = -4</p><p>r2 = 9 → r = 3</p><p>Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.</p><p>3) Solução:</p><p>a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0</p><p>P é interno à circunferência</p><p>b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0</p><p>Q Percente à circunferência.</p><p>4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y</p><p>da reta e jogando na equação da circunferência teremos:</p><p>y = 2 ? 2x</p><p>x2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0</p><p>x2 + 2x +1 =0</p><p>Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o</p><p>que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência.</p><p>5) Solução:</p><p>Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja como de fato</p><p>está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo paralelas a s, manterão o</p><p>coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 ,</p><p>bastando, então, encontrar os valores de c:</p><p>As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):</p><p>dC,t = |c|/05 = 3</p><p>c =± 305</p><p>Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.</p><p>6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circunferencia tem que usar</p><p>essa formua C=2.π.r</p><p>Sendo π (pi) = 3,14</p><p>r = Raio</p><p>C=2×3,14×50</p><p>C=6,28×50</p><p>C=31,4.</p><p>7) Solução: Dado um número real x, fica determinado um ponto P da</p><p>circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem</p><p>como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que</p><p>difira do número x, por um número inteiro de vezes , irá corresponder a</p><p>esse mesmo ponto P.</p><p>Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse</p><p>mesmo ponto é .</p><p>8) Solução: Dado o número real , temos:</p><p>Portanto, para representá-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um</p><p>doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido</p><p>anti-horário.</p><p>Por outro lado, dado o número real -12, temos: , ou seja,</p><p>será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido</p><p>horário, já que o número dado é negativo.</p><p>9) Solução: Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5</p><p>cm.</p><p>Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no</p><p>relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.</p><p>Assim, o comprimento desse arco é cm.</p><p>10) Solução: Sabemos que, a cada hora, o ponteiro das horas se desloca</p><p>30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30'.</p><p>Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos.</p><p>Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30', às 15h e 15min.</p><p>Volumes de Sólidos Geométricos</p><p>Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir</p><p>que visualizem a seguinte figura:</p><p>a) A figura representa a planificação de um prisma reto;</p><p>b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela</p><p>altura do sólido, isto é</p><p>c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;</p><p>d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o</p><p>volume de um prisma reto.</p><p>Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da</p><p>mesma forma que as acima apresentadas:</p><p>Figuras Geométricas:</p><p>O conceito de cone</p><p>Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas),</p><p>fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado</p><p>pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e</p><p>a outra num ponto qualquer da região.</p><p>Elementos do cone</p><p>- Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva,</p><p>inclusive a própria curva.</p><p>- Vértice: O vértice do cone é o ponto P.</p><p>- Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o</p><p>segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.</p><p>- Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do</p><p>cone e a outra na curva que envolve a base.</p><p>- Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.</p><p>- Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os</p><p>segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que</p><p>envolve a base.</p><p>- Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral</p><p>com a base do cone que é o círculo.</p><p>- Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular</p><p>obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.</p><p>Classificação do cone</p><p>Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à</p><p>base, os cones podem ser classificados como retos ou</p><p>oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular</p><p>ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.</p><p>Ao lado apresentamos um cone oblíquo.</p><p>Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os</p><p>cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por</p><p>exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a</p><p>base é uma região elíptica.</p><p>Observações sobre um cone circular reto</p><p>1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela</p><p>rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos</p><p>2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um</p><p>plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região</p><p>triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.</p><p>3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si.</p><p>Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g2</p><p>= h2 + R2</p><p>4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g</p><p>(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat = Pi R g</p><p>5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g</p><p>(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):</p><p>ATotal = Pi R g + Pi R2</p><p>Cones Equiláteros</p><p>Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua</p><p>seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste</p><p>caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da</p><p>base.</p><p>A área da base do cone é dada por:</p><p>ABase=Pi R2</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras temos:</p><p>(2R)2 = h2 + R2</p><p>h2 = 4R2 - R2 = 3R2</p><p>Assim:</p><p>h = R</p><p>Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela</p><p>altura, então:</p><p>V = (1/3) Pi R3</p><p>Como a área lateral pode ser obtida por:</p><p>ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2</p><p>então a área total será dada por:</p><p>ATotal = 3 Pi R2</p><p>O conceito de esfera</p><p>A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas</p><p>aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no</p><p>espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela</p><p>mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na</p><p>maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se</p><p>fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.</p><p>Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que</p><p>sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a</p><p>esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas</p><p>dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de</p><p>comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma</p><p>definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a</p><p>esfera na reta unidimensional:</p><p>So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}</p><p>Por exemplo, a esfera</p><p>S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }</p><p>é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na</p><p>origem do plano cartesiano.</p><p>Aplicação: volumes de líquidos</p><p>Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em</p><p>tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de</p><p>realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da</p><p>altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é</p><p>esférico, ele possui</p><p>um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é</p><p>introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a</p><p>vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida</p><p>corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um</p><p>problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.</p><p>A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas</p><p>para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.</p><p>A superfície esférica</p><p>A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão</p><p>localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo</p><p>chamado centro.</p><p>Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:</p><p>S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }</p><p>Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:</p><p>S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }</p><p>Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?</p><p>Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina</p><p>que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia</p><p>ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.</p><p>É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como</p><p>sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se</p><p>houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar</p><p>algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata</p><p>do detalhamento de tais situações.</p><p>O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão</p><p>localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco</p><p>esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido</p><p>esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o</p><p>disco esférico pode ser visto como toda a fruta.</p><p>Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo</p><p>ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:</p><p>x² + y² + z² = R²</p><p>e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém</p><p>a casca reunido com o interior, isto é:</p><p>x² + y² + z² < R²</p><p>Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo</p><p>ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:</p><p>(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²</p><p>e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém</p><p>a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em</p><p>R³ tal que:</p><p>(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²</p><p>Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser</p><p>construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a</p><p>coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os</p><p>eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).</p><p>Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas</p><p>superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o</p><p>conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o</p><p>hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da</p><p>esfera onde a cota z não é positiva.</p><p>Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em</p><p>(0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da</p><p>esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide</p><p>com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta</p><p>circunferência será:</p><p>x=0, y² + z² = R2</p><p>sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de</p><p>coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em</p><p>uma esfera.</p><p>Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos</p><p>a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de</p><p>revolução.</p><p>Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades</p><p>são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno</p><p>do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.</p><p>Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto</p><p>a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para</p><p>evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas</p><p>para a superfície.</p><p>A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo</p><p>que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no</p><p>primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades</p><p>dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da</p><p>esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.</p><p>De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com</p><p>uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica"</p><p>inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona</p><p>esférica, algumas vezes denominada zona esférica.</p><p>Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e</p><p>retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base</p><p>r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região</p><p>sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de</p><p>segmento esférico com bases paralelas.</p><p>No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície,</p><p>"calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula</p><p>R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos,</p><p>V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total.</p><p>Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos</p><p>Objeto Relações e fórmulas</p><p>Esfera</p><p>Volume = (4/3) Pi R³</p><p>A(total) = 4 Pi R²</p><p>Calota esférica</p><p>(altura h, raio da base r)</p><p>R² = h (2R-h)</p><p>A(lateral) = 2 Pi R h</p><p>A(total) = Pi h (4R-h)</p><p>V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6</p><p>Segmento esférico</p><p>(altura h, raios das bases r1>r²)</p><p>R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²</p><p>A(lateral) = 2 Pi R h</p><p>A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)</p><p>Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6</p><p>Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e</p><p>Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a</p><p>obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da</p><p>altura da mesma.</p><p>Volume de uma calota no hemisfério Sul</p><p>Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.</p><p>A equação desta esfera será dada por:</p><p>x² + y² + (z-R)² = R²</p><p>A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o</p><p>nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este</p><p>plano é dado pela circunferência</p><p>x² + y² = R² - (h-R)²</p><p>Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio</p><p>R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos</p><p>explicitar o valor de z em função de x e y para obter:</p><p>Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:</p><p>r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)</p><p>A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em</p><p>coordenadas polares através de:</p><p>0<m<R, 0<t<2Pi</p><p>A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é</p><p>dada por:</p><p>ou seja</p><p>Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:</p><p>Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:</p><p>ou seja:</p><p>Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:</p><p>Após alguns cálculos obtemos:</p><p>VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]</p><p>e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no</p><p>hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:</p><p>VC(h) = Pi h²(3R-h)/3</p><p>Volume de uma calota no hemisfério Norte</p><p>Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região</p><p>esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]</p><p>Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que</p><p>o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende</p><p>do</p><p>raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.</p><p>Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério</p><p>Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não</p><p>contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:</p><p>VC(d) = Pi d²(3R-d)/3</p><p>e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever ov</p><p>olume da calota vazia em função de h:</p><p>VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3</p><p>Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar</p><p>o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:</p><p>V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3</p><p>que pode ser simplificada para:</p><p>V(h) = Pi h²(3R-h)/3</p><p>Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R]</p><p>ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é</p><p>dado por:</p><p>V(h) = Pi h²(3R-h)/3</p><p>Poliedro</p><p>Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As</p><p>regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções</p><p>das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os</p><p>vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.</p><p>Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos</p><p>adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados</p><p>quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses</p><p>pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.</p><p>Poliedros Regulares</p><p>Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais</p><p>regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se</p><p>encontram em cada vértice.</p><p>Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro</p><p>Áreas e Volumes</p><p>Poliedro regular Área Volume</p><p>Tetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2]</p><p>Hexaedro 6 a2 a³</p><p>Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2]</p><p>Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])</p><p>Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])</p><p>Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.</p><p>Prisma</p><p>Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as</p><p>bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais,</p><p>os prismas podem ser retos ou oblíquos.</p><p>Prisma reto</p><p>As arestas laterais têm o mesmo comprimento.</p><p>As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.</p><p>As faces laterais são retangulares.</p><p>Prisma oblíquo</p><p>As arestas laterais têm o mesmo comprimento.</p><p>As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.</p><p>As faces laterais não são retangulares.</p><p>Bases: regiões</p><p>poligonais</p><p>congruentes</p><p>Altura: distância</p><p>entre as bases</p><p>Arestas laterais</p><p>paralelas:</p><p>mesmas medidas</p><p>Faces laterais:</p><p>paralelogramos</p><p>Prisma reto</p><p>Aspectos</p><p>comuns</p><p>Prisma oblíquo</p><p>Seções de um prisma</p><p>Seção transversal</p><p>É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo</p><p>às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das</p><p>bases.</p><p>Seção reta (seção normal)</p><p>É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.</p><p>Princípio de Cavaliere</p><p>Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a</p><p>mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com</p><p>seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.</p><p>Prisma regular</p><p>É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.</p><p>Exemplos:</p><p>Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo</p><p>equilátero.</p><p>Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.</p><p>Planificação do prisma</p><p>Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados</p><p>dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As</p><p>faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é</p><p>uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano.</p><p>Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta</p><p>envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada</p><p>por áreas congruentes às faces laterais e às bases.</p><p>A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.</p><p>Volume de um prisma</p><p>O volume de um prisma é dado por:</p><p>Vprisma = Abase . h</p><p>Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular</p><p>A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal</p><p>regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste</p><p>caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral</p><p>como:</p><p>Cilindros</p><p>Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos</p><p>também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem</p><p>esteja contido neste plano P.</p><p>Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e</p><p>paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.</p><p>Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, mas muitas</p><p>vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do</p><p>cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas,</p><p>isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.</p><p>A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica</p><p>no plano do "chão" é a diretriz.</p><p>Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do "chão", o</p><p>cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for</p><p>perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.</p><p>Objetos geométricos em um "cilindro"</p><p>Num cilindro, podemos identificar vários elementos:</p><p>- Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num</p><p>cilindro existem duas bases.</p><p>- Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".</p><p>- Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos</p><p>que contêm as bases do "cilindro".</p><p>- Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não</p><p>estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre</p><p>apoiada sobre a curva diretriz.</p><p>- Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral</p><p>reunido com os pontos das bases do cilindro.</p><p>- Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro.</p><p>- Área total É a medida da superfície total do cilindro.</p><p>- Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela</p><p>interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o</p><p>cilindro.</p><p>Classificação dos cilindros circulares</p><p>Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos</p><p>planos das bases.</p><p>Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das</p><p>bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é</p><p>gerado pela rotação de um retângulo.</p><p>Cilindro eqüilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um</p><p>quadrado.</p><p>Volume de um "cilindro"</p><p>Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.</p><p>V = Abase × h</p><p>Se a base é um círculo de raio r, então:</p><p>V = r2 h</p><p>Áreas lateral e total de um cilindro circular reto</p><p>Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:</p><p>Alat = 2 r h</p><p>onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.</p><p>Atot = Alat + 2 Abase</p><p>Atot = 2 r h + 2 r2</p><p>Atot = 2 r(h+r)</p><p>Exercícios</p><p>1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a</p><p>área total.</p><p>2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm.</p><p>Calcular a área lateral, área total e o seu volume.</p><p>3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma</p><p>quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual</p><p>ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.</p><p>4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata</p><p>cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha.</p><p>Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a</p><p>casquinha de sorvete?</p><p>Respostas</p><p>1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral</p><p>e a área total é dada por:</p><p>Alat = 2 r. 2r = 4 r2</p><p>Atot = Alat + 2 Abase</p><p>Atot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2</p><p>V = Abase h = r2. 2r = 2 r3</p><p>2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2</p><p>Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 =</p><p>20 cm2</p><p>Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12</p><p>cm33</p><p>3) Solução:</p><p>hprisma = 12</p><p>Abase do prisma = Abase do cone = A</p><p>Vprisma = 2 Vcone</p><p>A hprisma = 2(A h)/3</p><p>12 = 2.h/3</p><p>h =18 cm</p><p>4) Solução:</p><p>V = Vcilindro - Vcone</p><p>V = Abase h - (1/3) Abase h</p><p>V = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 h</p><p>V = (2/3) Pi R2 h cm3</p><p>Elementos de um polígono</p><p>Classificação dos polígonos quanto ao número de lados</p><p>Classificação dos polígonos</p><p>Propriedades dos polígonos</p><p>Outros polígonos</p><p>Estrelado</p><p>Entrelaçado</p><p>Esboço dos Polígonos citados acima</p><p>Para um polígono convexo qualquer de n lados:</p><p>Soma dos ângulos Internos</p><p>Soma dos ângulos Externos</p><p>Número de Diagonais</p><p>Polígonos regulares</p><p>6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por uma de suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da corda, sabendo que o raio da circunferência é 50 cm.</p><p>2)</p><p>= (1 + 2t , -2t , 1 + 2t)</p><p>Então, as eqs. paramétricas de r são</p><p>x = 1 + 2t</p><p>y = – 2t</p><p>z = 1 + 2t</p><p>(III) equações simétricas de r:</p><p>Das paramétricas</p><p>x = 1 + 2t → t = (x – 1)/2</p><p>y = – 2t → t = – y/2</p><p>z = 1 + 2t → t = (z – 1)/2</p><p>Logo,</p><p>(x – 1)/2 = – y/2 = (z – 1)/2</p><p>b) P(-9, 10, -9) pertence a r ?</p><p>Substituindo nas equações simétricas de r temos</p><p>(-9 – 1)/2 = – 10/2 = (-9 – 1)/2</p><p>- 5 = – 5 = -5</p><p>Logo, P in r.</p><p>2) Solução:</p><p>a) -3y = -2x – 6</p><p>y = 2x/3 + 2</p><p>-5 = (2/3)(-4) + b</p><p>b = -5 + 8/3</p><p>b = -7/3</p><p>y = (2/3)x - 7/3</p><p>b) y = 2x – 2</p><p>a . 2 = -1</p><p>a = -1/2</p><p>3 = (-1/2)(-2) + b</p><p>b = 2</p><p>y = (-1/2)x + 2</p><p>3) Resposta “43”.</p><p>Solução:</p><p>t: 2x – 9y – 5 = 0 p(k,9)</p><p>2k 9 . 9 – 5 = 0</p><p>t: 2k – 81 – 5 = 0</p><p>t: 2k – 86 = 0</p><p>2k = 86 → k = 86/2 → k = 43.</p><p>4) Solução:</p><p>a) 4y = 3x + 8</p><p>y = (3/4)x + 2</p><p>a.(3/4) = -1</p><p>a = -4/3</p><p>b = -4</p><p>y = (-4/3)x – 4</p><p>b) x = -3.</p><p>5) Solução:</p><p>a) y = -7</p><p>b) y = x</p><p>c) y = -x</p><p>6) Solução:</p><p>Como conhecemos as coordenada A e B e o valor da razão k, basta</p><p>substituirmos esses valores nas formas deduzidas. Assim:</p><p>xc</p><p>xa+k . xb</p><p>1+k</p><p>=</p><p>−3+2 .3</p><p>1+2</p><p>=1 e</p><p>yc</p><p>ya+k . yb</p><p>1+k</p><p>=</p><p>1+2 .(−5)</p><p>1+2</p><p>=−3</p><p>7) Solução: Sendo P (x; y) um ponto genérico da reta, temos:</p><p>x y 1</p><p>0 2 1</p><p>−3 0 1</p><p>= 0 → 2x – 3y + 6 = 0</p><p>Logo, a equação procurada é 2x – 3y + 6 = 0.</p><p>8) Solução:</p><p>a) Seja A (2; ya) o ponto de r com abscissa 2. Como as coordenadas de A</p><p>satisfazem a equação de r, então:</p><p>2 + 2 . ya – 10 = 0 → ya = 4 → A (2; 4)</p><p>b) Seja B (xb; 3) o ponto de r com ordenada 3. Da mesma forma, podemos</p><p>escrever:</p><p>xb + 2 . 3 – 10 = 0 → xb = 4 → B (4; 3)</p><p>9) Solução:</p><p>6x – 5y – 30 = 0 → 6x – 5y = 30 →</p><p>6 x−5 y</p><p>30</p><p>=</p><p>30</p><p>30</p><p>→</p><p>6 x</p><p>30</p><p>−</p><p>5 y</p><p>30</p><p>=1→</p><p>x</p><p>5</p><p>−</p><p>y</p><p>6</p><p>=1→</p><p>x</p><p>5</p><p>+</p><p>y</p><p>−6</p><p>=1</p><p>Logo, a equação segmentária é</p><p>x</p><p>5</p><p>+</p><p>y</p><p>−6</p><p>=1.</p><p>10) Solução:</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>−1</p><p>−2</p><p>≠</p><p>−5</p><p>6</p><p>as retas são paralelas.</p><p>Geometria Plana</p><p>A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas</p><p>propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não</p><p>existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras</p><p>geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que</p><p>sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o</p><p>dado que sugere um cubo.</p><p>As Figuras Básicas</p><p>Aproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos, para mencionar</p><p>três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano.</p><p>No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis</p><p>têm em comum apenas o ponto A.</p><p>Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não</p><p>chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca</p><p>bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C,</p><p>etc.</p><p>Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas</p><p>faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A</p><p>e B.</p><p>O segmento AB (“tem</p><p>começo e fim”)</p><p>Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta</p><p>BA, de origem B.</p><p>A semi-reta AB A semi-reta BA</p><p>(sua origem é A e “ela não tem fim”) (sua origem é B e “ela não tem fim”)</p><p>A seguir, indicamos a reta AB.</p><p>A reta AB</p><p>(“não tem começo nem fim”)</p><p>Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las,</p><p>além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t,</p><p>etc.</p><p>Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções,</p><p>como indica a próxima figura, temos um plano.</p><p>O plano α</p><p>Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas,</p><p>principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).</p><p>Perímetro</p><p>Entendendo o que é perímetro.</p><p>Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.</p><p>Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala,</p><p>sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?</p><p>A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura</p><p>da porta, ou seja:</p><p>P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1</p><p>P = 26 – 1</p><p>P = 25</p><p>Colocaríamos 25m de rodapé.</p><p>A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.</p><p>Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.</p><p>Área</p><p>Área é a medida de uma superfície.</p><p>A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).</p><p>Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha</p><p>quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se</p><p>cada quadrado for uma unidade de área:</p><p>Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.</p><p>A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros</p><p>quadrados), e outros.</p><p>Se tivermos uma figura do tipo:</p><p>Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área</p><p>aproximada dessa figura será de 4 unidades.</p><p>No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada</p><p>figura há uma fórmula pra calcular a sua área.</p><p>Área do Retângulo</p><p>Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os</p><p>lados diferentes.</p><p>No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:</p><p>Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde</p><p>cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24</p><p>quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é</p><p>a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1</p><p>cm de dimensões é a área do retângulo.</p><p>O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que</p><p>representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar</p><p>também da seguinte forma:</p><p>A = 6 . 4</p><p>A = 24 cm2</p><p>Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:</p><p>A = b . h</p><p>Quadrado</p><p>É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área</p><p>também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir</p><p>essa fórmula:</p><p>Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a</p><p>altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:</p><p>A = .</p><p>Área do Trapézio</p><p>A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada</p><p>utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).</p><p>2</p><p>Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes</p><p>(elementos utilizados no cálculo da sua área):</p><p>Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e</p><p>por uma altura (h).</p><p>Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois</p><p>triângulos, veja como:</p><p>Primeiro: completamos as alturas no trapézio:</p><p>Segundo: o dividimos em dois triângulos:</p><p>A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois</p><p>triângulos (∆CFD e ∆CEF).</p><p>Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente</p><p>observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.</p><p>Cálculo da área do ∆CEF:</p><p>A∆1 = B . h</p><p>2</p><p>Cálculo da área do ∆CFD:</p><p>A∆2 = b . h</p><p>2</p><p>Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um</p><p>trapézio qualquer:</p><p>AT = A∆1 + A∆2</p><p>AT = B . h + b . h</p><p>2 2</p><p>AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo</p><p>comum aos dois fatores. 2</p><p>AT = h (B + b)</p><p>2</p><p>Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>A = h (B + b)</p><p>2</p><p>h = altura</p><p>B = base maior do trapézio</p><p>b = base menor do trapézio</p><p>Área do Triângulo</p><p>Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal:</p><p>A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a</p><p>área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um</p><p>triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:</p><p>A = b . h</p><p>2</p><p>Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre</p><p>perpendicular à base</p><p>do triângulo.</p><p>No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo,</p><p>e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).</p><p>Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma</p><p>reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a</p><p>altura do triângulo.</p><p>Observe o exemplo:</p><p>Observe o triângulo equilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área.</p><p>Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor,</p><p>para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:</p><p>42 = h2 + 22</p><p>16 = h2 + 4</p><p>16 – 4 = h2</p><p>12 = h2</p><p>h = √12</p><p>h = 2√3 cm</p><p>Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da</p><p>base e da altura. 2</p><p>A = 4 . 2√3</p><p>2</p><p>A = 2 . 2√3</p><p>A = 4 √3 cm2</p><p>Exercícios</p><p>1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :</p><p>a) m é um número primo</p><p>b) m é primo e par</p><p>c) m é um quadrado perfeito</p><p>d) m = 0</p><p>e) m < 4</p><p>2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então</p><p>podemos afirmar que :</p><p>a) r é um número natural</p><p>b) r = - 3</p><p>c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0</p><p>d) r é um número inteiro menor do que - 3.</p><p>e) não existe r nestas condições.</p><p>3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de</p><p>k2 é:</p><p>a) 200</p><p>b) 196</p><p>c) 144</p><p>d) 36</p><p>e) 0</p><p>4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os</p><p>pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC</p><p>sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:</p><p>a) (3,0)</p><p>b) (0, -1)</p><p>c) (0,4)</p><p>d) (0,5)</p><p>e) (0, 3)</p><p>5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo</p><p>ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:</p><p>a) 25</p><p>b) 32</p><p>c) 34</p><p>d) 44</p><p>e) 16</p><p>6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0.</p><p>7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à</p><p>equação sen(x – y) = 0 constituem:</p><p>a) uma reta</p><p>b) uma senóide</p><p>c) uma elipse</p><p>d) um feixe de retas paralelas</p><p>e) nenhuma das respostas anteriores</p><p>8. A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas</p><p>cartesianas:</p><p>a) uma hipérbole</p><p>b) uma elipse</p><p>c) uma circunferência</p><p>d) uma parábola</p><p>e) duas retas</p><p>9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura.</p><p>Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x.</p><p>a) 15º</p><p>b) 20º</p><p>c)30º</p><p>d)40º</p><p>e)45º</p><p>http://www.juliolemos.co.cc/wp-content/uploads/2011/03/31.png</p><p>10. Na figura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente.</p><p>Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD:</p><p>Respostas</p><p>1) Resposta “C”.</p><p>Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então a sua</p><p>abscissa é nula.</p><p>Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a</p><p>alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).</p><p>2) Resposta “C”.</p><p>Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem abscissa e</p><p>ordenada iguais entre si.</p><p>Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.</p><p>Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma</p><p>vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 , ou seja:</p><p>(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.</p><p>3) Resposta “B”.</p><p>Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.</p><p>Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.</p><p>Logo, a alternativa correta é a letra B.</p><p>4) Resposta “D”.</p><p>http://www.juliolemos.co.cc/wp-content/uploads/2011/03/12.png</p><p>Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir</p><p>que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o</p><p>quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto,</p><p>podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que</p><p>se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,</p><p>considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no</p><p>problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:</p><p>AB2 = (0 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 + (y - 3)2</p><p>AC2 = (0 - (-4))2 + (y - 1)2 = 16 + (y - 1)2</p><p>BC2 = (2 - (-4))2 + (3 - 1)2 = 40</p><p>Substituindo, vem: 4 + (y - 3)2 + 16 + (y - 1)2 = 40 \ (y - 3)2 + (y - 1)2 = 40 - 4 -</p><p>16 = 20</p><p>Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y -</p><p>5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois</p><p>foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo.</p><p>Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a</p><p>alternativa correta é a letra D.</p><p>5) Resposta “C”.</p><p>Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao</p><p>segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a</p><p>mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto</p><p>médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto</p><p>médio de BC será o ponto M(3, 5).</p><p>Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os</p><p>pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja,</p><p>raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a</p><p>concluir que a resposta correta está na alternativa C.</p><p>6) Solução:</p><p>t: 2x-9y-5=0 p(k,9)</p><p>2k 9.9-5=0</p><p>t: 2k -81 -5 = 0</p><p>t: 2k-86 = 0</p><p>2k = 86 k = 86/2 k = 43.</p><p>7) Resposta “D”.</p><p>Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p ,</p><p>4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo:</p><p>sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp.</p><p>Daí, vem:</p><p>y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z.</p><p>Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de</p><p>mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:</p><p>...................................................................</p><p>k = - 1 reta: y = x + p</p><p>k = 0 reta: y = x</p><p>k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.</p><p>...................................................................</p><p>Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).</p><p>8) Resposta “E”.</p><p>Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever:</p><p>(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;</p><p>Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2</p><p>Fatorando, fica:</p><p>(x + y) (x – y + 1) = 0</p><p>Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:</p><p>x + y = 0 ou x – y + 1 = 0;</p><p>Logo,</p><p>y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à</p><p>alternativa E.</p><p>9) Resposta “E”.</p><p>Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da figura dobrada,</p><p>Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido</p><p>anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o</p><p>quadrilátero ABCD. Trace a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta</p><p>bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o</p><p>ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a</p><p>45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a</p><p>reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°.</p><p>Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos</p><p>internos, portanto tem a mesma medida.</p><p>Portanto, a resposta é letra “e”.</p><p>10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por</p><p>2 = 20,5</p><p>É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7</p><p>Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′</p><p>Ângulos</p><p>Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de</p><p>duas semi-retas de mesma origem não colineares.</p><p>Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º.</p><p>Ângulo Central:</p><p>- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência;</p><p>- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos</p><p>lados passam por vértices consecutivos do polígono.</p><p>Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência</p><p>e os lados são tangentes à ela.</p><p>Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e</p><p>seus lados são secantes a ela.</p><p>Ângulo Obtuso:</p><p>É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.</p><p>Ângulo Raso:</p><p>- É o ângulo cuja medida é 180º;</p><p>- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas.</p><p>Ângulo Reto:</p><p>- É o ângulo cuja medida é 90º;</p><p>- É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendiculares.</p><p>Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma</p><p>das suas medidas é 900.</p><p>Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida.</p><p>Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se</p><p>os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.</p><p>Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma</p><p>das suas medidas é 3600.</p><p>Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma</p><p>das suas medidas de dois ângulos é 180º.</p><p>Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando</p><p>ângulos.</p><p>Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes</p><p>iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência</p><p>denominamos de grado.</p><p>Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais,</p><p>cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de</p><p>grau.</p><p>Exercícios</p><p>1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â,</p><p>nos seguintes casos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?</p><p>3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do</p><p>triângulo:</p><p>a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?</p><p>5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é</p><p>igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.</p><p>6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento</p><p>mede 38 graus. Qual é esse angulo?</p><p>7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco</p><p>ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3,</p><p>4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.</p><p>8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade</p><p>do ângulo z. Calcule y.</p><p>9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.</p><p>10. Determine o valor de a na figura seguinte:</p><p>Respostas</p><p>1) Resposta</p><p>a) 55˚</p><p>b) 74˚</p><p>c) 33˚</p><p>2) Resposta “130”.</p><p>Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha</p><p>paralela às retas "a" e "b".</p><p>Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.</p><p>Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de</p><p>130° na reta b.</p><p>Logo, î = 80° + 50° = 130°.</p><p>3) Solução:</p><p>a) 160° - 3x = x + 100°</p><p>160° - 100° = x + 3x</p><p>60° = 4x</p><p>x = 60°/4</p><p>x = 15°</p><p>Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°</p><p>b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°</p><p>6x + 2x = 180° -15° - 5°</p><p>8x = 160°</p><p>x = 160°/8</p><p>x = 20°</p><p>Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°</p><p>c) Sabemos que a figura tem 90°.</p><p>Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°</p><p>4x + 50° = 90°</p><p>4x = 40°</p><p>x = 40°/4</p><p>x = 10°</p><p>d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são</p><p>exatamente a metade de um círculo.</p><p>Então, 138° + x = 180°</p><p>x = 180° - 138°</p><p>x = 42°</p><p>Logo, o ângulo x mede 42°.</p><p>4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.</p><p>Então, 6x + 4x + 2x = 180°</p><p>12x = 180°</p><p>x = 180°/12</p><p>x = 15°</p><p>Os ângulos são: 30° 60° e 90°.</p><p>a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles</p><p>vale 360º.</p><p>5) Resposta “144˚”.</p><p>Solução:</p><p>- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º</p><p>- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b</p><p>É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, substituímos na</p><p>primeira equação:</p><p>2b/3 + b = 90</p><p>5b/3 = 90</p><p>b = 3/5 * 90</p><p>b = 54 → a = 90 – 54 = 36º</p><p>Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º.</p><p>6) Resposta “80˚”.</p><p>Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu</p><p>[complemento] mede 38º.</p><p>[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38</p><p>a/2 – 90/5 + a/5 = 38</p><p>a/2 + a/5 = 38 + 90/5</p><p>7a/10 = 38 + 18</p><p>a = 10/7 * 56</p><p>a = 80º</p><p>7) Resposta “180˚”.</p><p>Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a,</p><p>b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 3, 4, 5 e 6:</p><p>a/2 = x → a = 2x</p><p>b/3 = x → b = 3x</p><p>c/4 = x → c = 4x</p><p>d/5 = x → d = 5x</p><p>e/6 = x → e = 6x</p><p>Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º</p><p>Agora a soma das retas: 20x</p><p>Então: 20x = 360º → x = 360°/20</p><p>x = 18°</p><p>Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.</p><p>8) Resposta “135˚”.</p><p>Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a</p><p>metade do ângulo z. Calcule y.</p><p>Então vale lembrar que:</p><p>x + y = 180 então y = 180 – x.</p><p>E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z</p><p>E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a</p><p>metade do ângulo z. Calcule y.</p><p>x = y/6 + z/2</p><p>Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z</p><p>Então:</p><p>x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:</p><p>6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x</p><p>6x – 2x = 180°</p><p>4x = 180°</p><p>x=180°/4</p><p>x=45º</p><p>Agora achar y, sabendo que y = 180° - x</p><p>y=180º - 45°</p><p>y=135°.</p><p>9) Resposta “11º; 159º”.</p><p>Solução:</p><p>3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.</p><p>3m - 12º = m + 10º</p><p>3m - m = 10º + 12º</p><p>2m = 22º</p><p>m = 22º/2</p><p>m = 11º</p><p>m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a</p><p>180º.</p><p>(m + 10º) + n = 180º</p><p>(11º + 10º) + n = 180º</p><p>21º + n = 180º</p><p>n = 180º - 21º</p><p>n = 159º</p><p>Resposta: m = 11º e n = 159º.</p><p>10) Resposta “45˚”.</p><p>É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.</p><p>Triângulos</p><p>Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor</p><p>número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo</p><p>triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos,</p><p>alturas, medianas e bissetrizes.</p><p>Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.</p><p>1. Vértices: A,B,C.</p><p>2. Lados: AB,BC e AC.</p><p>3. Ângulos internos: a, b e c.</p><p>Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a</p><p>encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura</p><p>do triângulo.</p><p>Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.</p><p>BM é uma mediana.</p><p>Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O</p><p>ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.</p><p>Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo</p><p>possui três ângulos internos.</p><p>Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo</p><p>prolongamento do lado adjacente (ao lado).</p><p>Classificação dos triângulos quanto ao número de lados</p><p>Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) =</p><p>m(CA)</p><p>Triângulo Isóscele: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) =</p><p>m(CA)</p><p>Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes.</p><p>Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos</p><p>Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as</p><p>medidas dos ângulos são menores do que 90º.</p><p>Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um</p><p>ângulo com medida maior do que 90º.</p><p>Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).</p><p>Medidas dos Ângulos de um Triângulo</p><p>Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar</p><p>com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em</p><p>alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os</p><p>ângulos.</p><p>A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180</p><p>graus, isto é: a + b + c = 180º</p><p>Exemplo</p><p>Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x =</p><p>180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.</p><p>Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no</p><p>desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as</p><p>respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.</p><p>Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos</p><p>internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C =</p><p>a+b</p><p>Exemplo</p><p>No triângulo desenhado:</p><p>x=50º+80º=130º.</p><p>Congruência de Triângulos</p><p>A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm</p><p>a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.</p><p>Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a</p><p>notação: ABC ~ DEF</p><p>Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência entre os lados,</p><p>tal que:</p><p>AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T</p><p>Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST</p><p>Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são</p><p>ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada</p><p>triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.</p><p>Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber</p><p>a medida de todos os seis elementos, basta conhecerem três elementos, entre</p><p>os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo,</p><p>indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos</p><p>gráficos iguais.</p><p>Casos de Congruência de Triângulos</p><p>LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.</p><p>Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados</p><p>congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.</p><p>LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo</p><p>Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os</p><p>ângulos formados por eles também são congruentes.</p><p>ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado</p><p>Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos</p><p>adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.</p><p>LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e</p><p>um ângulo oposto ao lado.</p><p>Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo</p><p>adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente.</p><p>Semelhança de Triângulos</p><p>A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a</p><p>mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.</p><p>Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.</p><p>Exemplo</p><p>As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os</p><p>triângulos:</p><p>os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T</p><p>Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem</p><p>lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é</p><p>proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos</p><p>homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.</p><p>Realmente:</p><p>AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2</p><p>BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2</p><p>AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2</p><p>Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado</p><p>razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo</p><p>ABC é semelhante ao triângulo RST.</p><p>Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados</p><p>correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a</p><p>analisar.</p><p>Casos de Semelhança de Triângulos</p><p>Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos</p><p>correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.</p><p>Se A~D e C~F então: ABC~DEF</p><p>Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados</p><p>correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também</p><p>são congruentes, então os triângulos são semelhantes.</p><p>Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2</p><p>Então ABC ~ EFG</p><p>Exemplo</p><p>Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o</p><p>outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.</p><p>Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos.</p><p>Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados</p><p>correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.</p><p>Exercícios</p><p>1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:</p><p>2. Determine os valores literais indicados na figura:</p><p>3. Determine os valores literais indicados na figura:</p><p>4. Determine os valores literais indicados na figura:</p><p>5. Determine os valores literais indicados na figura:</p><p>6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.</p><p>7. Determine x nas figuras.</p><p>8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.</p><p>9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo</p><p>que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5</p><p>10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10</p><p>b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8</p><p>c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6</p><p>b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4</p><p>2) Solução:</p><p>13² = 12² + x²</p><p>169 = 144 + x²</p><p>x² = 25</p><p>x = 5</p><p>5.12 = 13.y</p><p>y = 60/13</p><p>3) Solução:</p><p>4) Solução:</p><p>5) Solução:</p><p>6) Solução:</p><p>7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.</p><p>8) Solução:</p><p>9) Solução:</p><p>10) Solução:</p><p>Teorema de Pitágoras</p><p>O teorema de Pitágoras</p><p>Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade</p><p>de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema</p><p>observando um mosaico como o da ilustração a seguir</p><p>Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:</p><p>Triângulo</p><p>ABC</p><p>Triângulo</p><p>A`B`C`</p><p>Triângulo</p><p>A``B``C``</p><p>Área do quadrado</p><p>construído sobre a</p><p>4 8 16</p><p>hipotenusa</p><p>Área do quadrado</p><p>construído sobre um</p><p>cateto</p><p>2 4 8</p><p>Área do quadrado</p><p>construído sobre o</p><p>outro cateto</p><p>2 4 9</p><p>Como 4 = 2 + 2,8 = 4 + 4,16 = 8 + 8, Pitágoras observou que:</p><p>A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas</p><p>dos quadrados construídos sobre os catetos.</p><p>A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o</p><p>triângulo retângulo isósceles.</p><p>Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica</p><p>descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos retângulos.</p><p>Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e</p><p>construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as</p><p>seguintes figuras:</p><p>= 1 unidade de comprimento</p><p>= 1 unidade de área</p><p>25 = 16 + 9 ou 52 = 42 + 32</p><p>Nessas condições, confirma-se a relação: a área do quadrado construído</p><p>sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre</p><p>os dois catetos.</p><p>Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas</p><p>da matemática.</p><p>Teorema de Pitágoras</p><p>Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à</p><p>soma dos quadrados da medida dos catetos.</p><p>Demonstrando o teorema de Pitágoras</p><p>Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras.</p><p>Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas</p><p>planas.</p><p>Consideremos o triângulo retângulo da figura.</p><p>a = medida da hipotenusa</p><p>b = medida de um cateto</p><p>c = medida do outro cateto</p><p>Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois</p><p>o lado de cada quadrado mede (b+c).</p><p>- Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo</p><p>RNS) . 4</p><p>- Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado</p><p>GHJK + (área do retângulo DIJH).2</p><p>- Área do quadrado RSVT = a2</p><p>- Área do triângulo RNS=</p><p>b.c</p><p>2</p><p>- Área do quadrado IELJ=c2</p><p>- Área do quadrado GHJK=b2</p><p>- Área do retângulo DIJK=b.c</p><p>Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever:</p><p>a2+</p><p>( bc2 ).</p><p>42=c2+b2 + (bc) . 2</p><p>a2 + 2bc = c2 + b2 + 2bc</p><p>Cancelando 2bc, temos:</p><p>a2=b2+c2</p><p>A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante.</p><p>Pense & Descubra</p><p>Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três</p><p>ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a figura. Calcule, em metros,</p><p>o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1.</p><p>De acordo com os dados do problema, temos b = 96 m e c = 180 m.</p><p>Aplicando o teorema de Pitágoras:</p><p>a2 = b2 + c2 a2 = 41616</p><p>a</p><p>2 = (96)2 + (180)2 a = √41616</p><p>a2 = 9216 + 32400 a = 204</p><p>Então, a frente do terreno para a rua 1 tem</p><p>204 m de comprimento.</p><p>Teorema de Pitágoras no quadrado</p><p>Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação</p><p>importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado.</p><p>d= medida da diagonal</p><p>l= medida do lado</p><p>Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:</p><p>d2=l2+l2 d= √2l2</p><p>d2=2 l2</p><p>Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero</p><p>d=l √2</p><p>Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação</p><p>importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo</p><p>equilátero.</p><p>l= medida do lado</p><p>h= medida da altura</p><p>No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto</p><p>médio do lado BC .</p><p>No triângulo retângulo AHC, H</p><p>¿̂</p><p>¿ é ângulo reto. De acordo com o teorema</p><p>de Pitágoras, podemos escrever:</p><p>l2=h2+</p><p>( l2 )</p><p>2</p><p> h2=l2-</p><p>l2</p><p>4  h2=</p><p>3 l2</p><p>4  h= √ 3 l</p><p>2</p><p>4 </p><p>Exercícios</p><p>1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um</p><p>triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:</p><p>a) a = 6; b = 7 e c = 13;</p><p>b) a = 6; b = 10 e c = 8.</p><p>2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>3. A figura representa um barco à vela.</p><p>h=</p><p>l √3</p><p>2</p><p>Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.</p><p>4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:</p><p>A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.</p><p>Qual o comprimento do balance?</p><p>5. Qual era a altura do poste?</p><p>6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.</p><p>7. Calcule a área da seguinte figura.</p><p>8. Calcule a área da seguinte figura.</p><p>9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a</p><p>seguir.</p><p>10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:</p><p>Respostas</p><p>1) Solução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o</p><p>Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".</p><p>Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos</p><p>triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>2) Solução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>3) Solução:</p><p>4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado</p><p>forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.</p><p>Então vem:</p><p>1,8 m = 180 cm</p><p>Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m.</p><p>5) Solução:</p><p>h = 4 + 5 = 9</p><p>Logo, a altura do poste era de 9 m.</p><p>6) Solução:</p><p>Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.</p><p>7) Solução:</p><p>8) Solução:</p><p>9) Solução:</p><p>x² = 9² + 12²</p><p>x² = 81 + 144</p><p>x² = 225</p><p>√x² = √225</p><p>x = 15</p><p>10) Solução:</p><p>x² + 20² = 25²</p><p>x² + 400 = 625</p><p>x² = 625 – 400</p><p>x² = 225</p><p>√x² = √225</p><p>x = 15</p><p>Trigonometria no Triângulo Retângulo</p><p>Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo</p><p>Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de</p><p>triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas</p><p>propriedades.</p><p>A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de</p><p>medida 90º ou</p><p>π</p><p>2 rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo</p><p>retângulo.</p><p>Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três</p><p>ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado,</p><p>dizemos que:</p><p>α+ β+900=1800⇒α+β=900</p><p>Com isso, podemos concluir:</p><p>- Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas</p><p>medidas somam 90º;</p><p>- Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º.</p><p>Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e</p><p>dois agudos, complementares entre si.</p><p>De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do</p><p>triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.</p><p>Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo</p><p>reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do</p><p>Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de</p><p>um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou,</p><p>em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado</p><p>da hipotenusa de um triângulo retângulo”.</p><p>Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o</p><p>teorema seria expresso como segue:</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo</p><p>A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico,</p><p>classificação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele</p><p>Pitágoras enunciou seu Teorema.</p><p>De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento)</p><p>satisfazem a sentença 52 = 32 + 42.</p><p>Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as</p><p>relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer triângulo</p><p>retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão</p><p>comparados adiante.</p><p>Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um</p><p>triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir:</p><p>Seno do ângulo =</p><p>catetooposto aoângulo</p><p>hipotenusa</p><p>Co-seno do ângulo =</p><p>cateto adjacenteao ângulo</p><p>hipotenusa</p><p>Tangente do ângulo =</p><p>cateto oposto aoângulo</p><p>cateto adjacenteao ângulo</p><p>A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo</p><p>α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:</p><p>sen α =</p><p>3</p><p>5 = 0,6</p><p>cos α =</p><p>4</p><p>5 = 0,8</p><p>tg α =</p><p>3</p><p>4 = 0,75</p><p>Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da</p><p>Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são</p><p>semelhantes.</p><p>Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo</p><p>pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo</p><p>o Teorema de Pitágoras.</p><p>Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o</p><p>triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.</p><p>Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos</p><p>internos do triângulo recém-construído.</p><p>Lançando Mao das medidas dos novos lados A1B ,BC1 e A1C1</p><p>(respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, para o</p><p>ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:</p><p>sen α =</p><p>8</p><p>10 = 0,6</p><p>cos α =</p><p>8</p><p>10 = 0,8</p><p>tg α =</p><p>6</p><p>8 = 0,75</p><p>Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não</p><p>importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações definidas como</p><p>seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que</p><p>calculados para os mesmo ângulos.</p><p>Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos</p><p>ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.</p><p>Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante</p><p>Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-</p><p>tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo</p><p>através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:</p><p>cot do ângulo =</p><p>catetoadjacenteao ângulo</p><p>cateto oposto aoângulo</p><p>sec do ângulo =</p><p>hipotenusa</p><p>cateto adjacenteao ângulo</p><p>cosec</p><p>do ângulo =</p><p>hipotenusa</p><p>catetooposto aoângulo</p><p>Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de</p><p>comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,</p><p>cotg α =</p><p>4</p><p>3</p><p>sec α =</p><p>5</p><p>4</p><p>cosec α =</p><p>5</p><p>3</p><p>Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares</p><p>Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são</p><p>complementares.</p><p>α+ β=90o</p><p>Sabemos ainda que:</p><p>sen α =</p><p>b</p><p>a sen β =</p><p>c</p><p>a</p><p>cos α =</p><p>c</p><p>a cos β =</p><p>b</p><p>a</p><p>tg α =</p><p>b</p><p>c tg β =</p><p>c</p><p>b</p><p>cotg</p><p>α =</p><p>c</p><p>b cotg β =</p><p>b</p><p>c</p><p>Verifica-se facilmente que:</p><p>sen α = cos β; cos α = sen β;</p><p>tg α = cotg β; cotg α = tg β.</p><p>Exemplo</p><p>Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm.</p><p>Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.</p><p>Resolução</p><p>Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da</p><p>hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169</p><p>Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos</p><p>para seno, co-seno e tangente dos</p><p>ângulos da Figura, os seguintes valores:</p><p>sen α=</p><p>5</p><p>13</p><p>cosα=</p><p>12</p><p>13</p><p>tg α=</p><p>5</p><p>12</p><p>sen β=</p><p>12</p><p>13</p><p>cos β=</p><p>5</p><p>13</p><p>tg β=</p><p>12</p><p>5</p><p>Ângulos Notáveis</p><p>Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis</p><p>Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos</p><p>agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus</p><p>valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais</p><p>e encontrados facilmente em situações cotidianas.</p><p>Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento,</p><p>tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com</p><p>uma mesma velocidade de tiro, é de 45o-; uma colméia é constituída,</p><p>interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada</p><p>um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60o;</p><p>facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não</p><p>há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.</p><p>Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar</p><p>ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a</p><p>trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.</p><p>Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado</p><p>divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e</p><p>que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do</p><p>triângulo equilátero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades em que</p><p>este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.</p><p>Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado</p><p>(identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triângulo equilátero (figura 5).</p><p>Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos,</p><p>podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles.</p><p>Para o meio-quadrado, temos que:</p><p>D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2</p><p>∴d=a√2</p><p>Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:</p><p>l</p><p>2=</p><p>( 12 )</p><p>2</p><p>+h2⇒h2=l2−</p><p>l2</p><p>4</p><p>⇒h2=</p><p>3 l2</p><p>4</p><p>⇒∴h=</p><p>l √3</p><p>2</p><p>Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem</p><p>catetos de medida a e hipotenusa a √2 . Para o outro triângulo sombreado,</p><p>teremos catetos e medidas</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>l√3</p><p>2 , enquanto sua hipotenusa tem</p><p>comprimento l.</p><p>Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de</p><p>30om 45o e 60o.</p><p>Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o.</p><p>Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhecendo as</p><p>medidas de seus lados, temos:</p><p>sen 30o=</p><p>l</p><p>2</p><p>l</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>1</p><p>l</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>cos 30o=</p><p>h</p><p>l</p><p>=</p><p>l√3</p><p>2</p><p>l</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>tg 30o=</p><p>l</p><p>2</p><p>h</p><p>=</p><p>l</p><p>2</p><p>l√3</p><p>2</p><p>=</p><p>l</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>l √3=</p><p>1</p><p>√3</p><p>. √</p><p>3</p><p>√3</p><p>=</p><p>√3</p><p>3</p><p>sen 60o=</p><p>h</p><p>l</p><p>=</p><p>l √3</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>cos 60o=</p><p>l</p><p>2</p><p>l</p><p>=</p><p>l</p><p>2</p><p>.</p><p>1</p><p>l</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>tg 60o=</p><p>h</p><p>l</p><p>2</p><p>=</p><p>l√3</p><p>2</p><p>l</p><p>2</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>=√3</p><p>Seno, Co-seno e Tangente de 45o</p><p>A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a √2 ,</p><p>podemos calcular:</p><p>sen 45o=</p><p>a</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>a√2</p><p>=</p><p>1</p><p>√2</p><p>. √</p><p>2</p><p>√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>cos 45o=</p><p>a</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>a√2</p><p>=</p><p>1</p><p>√2</p><p>. √</p><p>2</p><p>√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>tg 45o=</p><p>a</p><p>a</p><p>=1</p><p>Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de</p><p>valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será</p><p>extremamente útil.</p><p>30o 45o 60o</p><p>sen 1</p><p>2</p><p>√2</p><p>2</p><p>√3</p><p>2</p><p>cos √3</p><p>2</p><p>√2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>tg √3</p><p>3</p><p>1 √3</p><p>Identidades Trigonométricas</p><p>É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um</p><p>ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar</p><p>expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um</p><p>mesmo ângulo.</p><p>Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste</p><p>tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.</p><p>Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma</p><p>identidade.</p><p>Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para</p><p>quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem as condições de</p><p>existência de expressão.</p><p>Por exemplo, a igualdade</p><p>x+</p><p>2</p><p>x</p><p>=</p><p>2 x2+4</p><p>2 x é uma identidade em x, pois é</p><p>verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou</p><p>inexistente).</p><p>Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já</p><p>estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A,</p><p>retângulo em A.</p><p>Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a</p><p>seguinte igualdade:</p><p>b2 + c2 = a2</p><p>Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim,</p><p>teremos:</p><p>b2</p><p>a2</p><p>+</p><p>c2</p><p>a2</p><p>=</p><p>a2</p><p>a2</p><p>⇒( ba )</p><p>2</p><p>+( ca )</p><p>2</p><p>=1</p><p>Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao</p><p>nosso triângulo, que:</p><p>sen2α + cos2α = 1 e cos2β + sen2 β = 1</p><p>Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de</p><p>um ângulo x é igual à unidade, ou seja:</p><p>Sen2x + cos2x = 1</p><p>Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações</p><p>co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em</p><p>1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo,</p><p>co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)</p><p>Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo</p><p>indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse</p><p>ângulo.</p><p>Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de</p><p>razão, podemos dizer que:</p><p>co-razão x = razão (90o –x)</p><p>Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na figura</p><p>A, que:</p><p>sen α=cos β sen β=cos α</p><p>tg α=cotg β tg β=cotg α</p><p>sec α=cossec β sec β=cossec α</p><p>Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do</p><p>triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α,</p><p>obtemos:</p><p>senα</p><p>cos β</p><p>=</p><p>b</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>=</p><p>b</p><p>a</p><p>.</p><p>a</p><p>c</p><p>=</p><p>b</p><p>c</p><p>=tg α</p><p>De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β.</p><p>Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0,</p><p>tg x=</p><p>sen x</p><p>cos x</p><p>Podemos observar, também, que a razão</p><p>b</p><p>c , que representa tg α, se</p><p>invertida (passando a</p><p>c</p><p>b ), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e</p><p>aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para</p><p>todo ângulo x de seno não-nulo:</p><p>cotg x =</p><p>1</p><p>tg x</p><p>=</p><p>cos x</p><p>sen x</p><p>Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno,</p><p>secante e co-secante. Vejamos que:</p><p>{senα=</p><p>a</p><p>b</p><p>¿¿¿¿</p><p>e</p><p>{cosα=</p><p>c</p><p>a</p><p>¿ ¿¿¿</p><p>Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β.</p><p>Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,</p><p>sec x =</p><p>1</p><p>cox x</p><p>cosec x =</p><p>1</p><p>sen x</p><p>Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos</p><p>membros dessas identidades não serem nulos.</p><p>Exercícios</p><p>1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana</p><p>relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um</p><p>triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a</p><p>representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse</p><p>triângulo.</p><p>2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro.</p><p>Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do</p><p>quadrado. Determine o valor da razão h/d.</p><p>3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as</p><p>medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da</p><p>hipotenusa e o perímetro desse triângulo.</p><p>4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, b = 10 e B</p><p>= 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo</p><p>C.</p><p>5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e</p><p>o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o</p><p>comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.</p><p>6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo</p><p>interno desse triângulo vale:</p><p>a) 11 / 24</p><p>b) - 11 / 24</p><p>c) 3 / 8</p><p>d) - 3 / 8</p><p>e) - 3 / 10</p><p>7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar</p><p>que</p><p>A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:</p><p>a) 0</p><p>b) ½</p><p>c) 3/2</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.</p><p>9. Qual o domínio</p><p>e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?</p><p>10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado</p><p>da tangente vale 2.</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>2) Solução:</p><p>3) Solução:</p><p>4) Solução:</p><p>Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 = 2R . sen(30) e desse</p><p>modo R = 10 .</p><p>Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º,</p><p>calcularemos o ângulo A.</p><p>Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10 .</p><p>sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = /2</p><p>Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º.</p><p>Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e</p><p>temos duas possibilidades:</p><p>1. A = 45º e C = 105º</p><p>2. A = 135º e C = 15º.</p><p>5) Solução:</p><p>No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58º</p><p>A lei dos cossenos:</p><p>b² = a² + c² - 2ac cos(B)</p><p>garante que:</p><p>b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)</p><p>Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do</p><p>paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.</p><p>6) Resposta “B”.</p><p>Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior</p><p>ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6.</p><p>Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:</p><p>62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e,</p><p>portanto, a alternativa correta é a letra B.</p><p>http://www.paulomarques.com.br/arq10-13.htm</p><p>Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de</p><p>um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do</p><p>produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.</p><p>7) Resposta “E”.</p><p>Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:</p><p>A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y</p><p>Organizando convenientemente a expressão, vem:</p><p>A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny</p><p>A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny</p><p>A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny</p><p>Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º \ y = 90º -</p><p>x.</p><p>Substituindo, vem:</p><p>A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)</p><p>Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de</p><p>um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é</p><p>igual ao seno do seu complemento.</p><p>Logo, substituindo, fica:</p><p>A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx</p><p>A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta</p><p>é a letra E.</p><p>8) Solução:</p><p>Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:</p><p>Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x</p><p>= 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:</p><p>(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.</p><p>9. Solução:</p><p>Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:</p><p>Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].</p><p>Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.</p><p>Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].</p><p>10) Solução:</p><p>Seja x o arco. Teremos:</p><p>tg2x = 2</p><p>Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco.</p><p>Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x</p><p>Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3</p><p>Como sabemos que:</p><p>secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:</p><p>sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1</p><p>Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é</p><p>igual à unidade.</p><p>Resposta: 1</p><p>Quadrilátero</p><p>Quadriláteros e a sua classificação</p><p>Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros</p><p>são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.</p><p>No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos:</p><p>- Os vértices são os pontos: A, B, C e D.</p><p>- Os ângulos internos são A, B, C e D.</p><p>- Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.</p><p>Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer,</p><p>obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos</p><p>internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.</p><p>Classificação dos Quadriláteros</p><p>Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num</p><p>paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais</p><p>importantes recebem nomes especiais:</p><p>- Losango: 4 lados congruentes</p><p>- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)</p><p>- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.</p><p>Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos.</p><p>Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).</p><p>- AB é paralelo a CD</p><p>- BC é não é paralelo a AD</p><p>- AB é a base maior</p><p>- DC é a base menor</p><p>Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm</p><p>características semelhantes. Um trapézio pode ser:</p><p>- Retângulo: dois ângulos retos</p><p>- Isósceles: lados não paralelos congruentes</p><p>- Escaleno: lados não paralelos diferentes</p><p>Exercícios</p><p>1. Determine a medida dos ângulos indicados:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17°; x +</p><p>37°; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.</p><p>3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.</p><p>4. A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida</p><p>da diagonal , da diagonal e o perímetro do triângulo BMC.</p><p>5. No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:</p><p>6. Determine as medidas dos ângulos do trapézio da figura abaixo:</p><p>7. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam</p><p>medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a,</p><p>b, c.</p><p>8. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base</p><p>menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5</p><p>cm, determine as medidas de x e y.</p><p>9. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura</p><p>respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro</p><p>paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro</p><p>paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?</p><p>10. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>a) x + 105° + 98º + 87º = 360º</p><p>x + 290° = 360°</p><p>x = 360° - 290°</p><p>x = 70º</p><p>b) x + 80° + 82° = 180°</p><p>x + 162° = 180°</p><p>x = 180º - 162º</p><p>x = 18°</p><p>18º + 90º + y + 90º = 360°</p><p>y + 198° = 360°</p><p>y = 360º - 198°</p><p>y = 162º</p><p>c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º</p><p>(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2</p><p>10a = 720º</p><p>a = 720° / 10</p><p>a = 72°</p><p>72° + b + 90° = 180°</p><p>b + 162° = 180°</p><p>b = 180° - 162°</p><p>b = 18°.</p><p>2) Solução:</p><p>x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°</p><p>4x + 112° = 360°</p><p>4x = 360° - 112°</p><p>x = 248° / 4</p><p>x = 62°</p><p>Então, os ângulos são:</p><p>x + 17° = 79°</p><p>x + 37° = 99°</p><p>x + 45° = 107º</p><p>x + 13° = 75°.</p><p>3) Solução:</p><p>9y + 16° = 7y + 40°</p><p>9y = 7y + 40° - 16°</p><p>9y = 7y + 24°</p><p>9y - 7y = 24°</p><p>2y = 24°</p><p>y = 24º /2</p><p>y = 12°</p><p>Então:</p><p>x + (7 * 12° + 40°) = 180°</p><p>x = 180º - 124°</p><p>x = 56°</p><p>4) Solução:</p><p>x = 15</p><p>y = 20</p><p>= 20 + 20 = 40</p><p>= 15 + 15 = 30</p><p>BMC = 15 + 20 + 25 = 60.</p><p>5) Solução:</p><p>12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°</p><p>17 x + 5° = 90°</p><p>17 x = 90° - 5°</p><p>17 x = 85°</p><p>x = 85° / 17° = 5°</p><p>y = 5x + 3°</p><p>y = 5 (5°) + 3°</p><p>y = 28°</p><p>6) Solução:</p><p>x + 27° + 90° = 180°</p><p>x + 117° = 180°</p><p>x = 180° - 117°</p><p>x = 63°</p><p>y + 34° + 90° = 180°</p><p>y + 124° = 180°</p><p>y = 180° - 124°</p><p>y = 56°</p><p>As medidas dos ângulos são:</p><p>63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124°.</p><p>7) Solução:</p><p>c = 117°</p><p>a + 117° = 180°</p><p>a = 180° - 117°</p><p>a = 63°</p><p>b = 63°</p><p>8) Solução:</p><p>x + y = 11</p><p>x - y = 5</p><p>__________</p><p>2x + 0 = 16</p><p>2x = 16/2</p><p>x = 8</p><p>x + y = 11</p><p>8 + y = 11</p><p>y = 11 – 8</p><p>y = 3</p><p>9) Solução:</p><p>A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1</p><p>10) Solução:</p><p>Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.</p><p>Polígonos</p><p>Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal</p><p>fechada. A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e</p><p>ângulos (gon).</p><p>Linhas poligonais e polígonos</p><p>Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-</p><p>colineares, dois a dois. Classificam-se em:</p><p>Linha poligonal fechada simples</p><p>Linha poligonal fechada não-simples</p><p>Linha poligonal aberta simples</p><p>Linha poligonal aberta não-simples</p><p>Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que</p><p>se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.</p><p>Elementos de um polígono</p><p>Um polígono possui os seguintes elementos:</p><p>- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos:</p><p>, , , , , .</p><p>- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.</p><p>- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: ,</p><p>, , ,</p><p>- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , ,</p><p>, .</p><p>- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do</p><p>lado a ele consecutivo: , , , , .</p><p>Classificação dos polígonos quanto ao número de lados</p><p>Nome</p><p>Número</p><p>de</p><p>lados</p><p>Nome</p><p>Número</p><p>de</p><p>lados</p><p>triângulo 3 quadrilátero 4</p><p>pentágono 5 hexágono 6</p><p>heptágono 7 octógono 8</p><p>eneágono 9 decágono 10</p><p>hendecágono 11 dodecágono 12</p><p>tridecágono 13 tetradecágono 14</p><p>pentadecágono 15 hexadecágono 16</p><p>heptadecágono 17 octodecágono 18</p><p>eneadecágono 19 icoságono 20</p><p>triacontágono 30 tetracontágono 40</p><p>pentacontágono 50 hexacontágono 60</p><p>heptacontágono 70 octacontágono 80</p><p>eneacontágono 90 hectágono 100</p><p>quilógono 1000 googólgono 10100</p><p>Classificação dos polígonos</p><p>A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:</p><p>Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira</p><p>simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e</p><p>externa), caso o contrário é denominado complexo.</p><p>Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo</p><p>interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.</p><p>Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou</p><p>polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma</p><p>circunferência.</p><p>Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos</p><p>os seus ângulos forem congruentes.</p><p>Alguns polígonos regulares:</p><p>- triângulo equilátero</p><p>- quadrado</p><p>- pentágono regular</p><p>- hexágono regular</p><p>Propriedades dos polígonos</p><p>De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).</p><p>O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o</p><p>número de lados do polígono.</p><p>A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é</p><p>dada por .</p><p>A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é</p><p>igual a .</p><p>Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por</p><p>diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2.</p><p>A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada</p><p>por .</p><p>A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada</p><p>por .</p><p>A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados</p><p>(Sc) é igual a 360º.</p><p>A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada</p><p>por .</p><p>Outros polígonos</p><p>Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados</p><p>cruzados, são eles:</p><p>Estrelado</p><p>Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:</p><p>Falso: Pela sobreposição de Polígonos</p><p>Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples</p><p>Entrecruzado</p><p>Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.</p><p>Entrelaçado</p><p>Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam</p><p>Esboço dos Polígonos citados acima</p><p>Ângulos de um Polígono Regular</p><p>Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e</p><p>todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono,</p><p>a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.</p><p>Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) =</p><p>Exemplos</p><p>Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos</p><p>internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°</p><p>Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°</p><p>O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.</p><p>Para um polígono convexo qualquer de n lados:</p><p>Soma dos ângulos Internos</p><p>SÎ = (n-2) . 180º</p><p>Soma dos ângulos Externos</p><p>Sê = 360º</p><p>Número de Diagonais</p><p>d= n(n-3) / 2</p><p>Polígonos regulares</p><p>São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos</p><p>congruentes.</p><p>Î = (n-2).180º /n ê=360º/n</p><p>Î + ê =180º</p><p>Exercícios</p><p>1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono?</p><p>2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º?</p><p>3. Ache o valor de x na figura:</p><p>4. Um quadrilátero possui:</p><p>a) Quantos vértices?</p><p>b) Quantos Lados?</p><p>c) Quantos lados internos e externos?</p><p>5. De o nome do polígono que possui:</p><p>a) 8 lados</p><p>b) 5 vértices</p><p>6. De o nome do polígono que possui:</p><p>a) 3 ângulos externos</p><p>b) 22 ângulos internos</p><p>7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?</p><p>8. Determine o número de diagonais do octógono.</p><p>9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do</p><p>número de lados.</p><p>10. Quantos ângulos internos possui um decágono?</p><p>Respostas</p><p>1) Solução:</p><p>n = 12</p><p>2) Solução:</p><p>3) Solução:</p><p>A soma dos ângulos internos do pentágono é:</p><p>4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados.</p><p>Portanto:</p><p>a) 4 vértices</p><p>b) 4 lados</p><p>c) 4 ângulos internos e externos.</p><p>5) Solução:</p><p>a) Octógono</p><p>b) Pentágono</p><p>6) Solução:</p><p>a) Triângulo</p><p>b) Polígono de 22 lados.</p><p>7) Solução:</p><p>3 lados.</p><p>8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8</p><p>n .(n−3)</p><p>2</p><p>=</p><p>8 .(8−3)</p><p>2</p><p>=</p><p>8 .5</p><p>2</p><p>=</p><p>40</p><p>2</p><p>=20.</p><p>9) Solução:</p><p>n número de lados: n</p><p>n de diagonais: d =</p><p>n .(n−3)</p><p>2</p><p>Pelo dado do problema: d = 2n</p><p>n .(n−3)</p><p>2</p><p>=2n→n. (n−3 )=4n→</p><p>n.(n−3)</p><p>n</p><p>=</p><p>4n</p><p>n</p><p>→n−3=4→n=4+3=7.</p><p>Logo, o polígono é o heptágono.</p><p>10) Solução:</p><p>10 ângulos</p><p>Circunferência, Círculo e seus Elementos Respectivos</p><p>Equações da circunferência</p><p>Equação reduzida</p><p>Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de</p><p>um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:</p><p>Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,</p><p>a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:</p><p>Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e</p><p>permite determinar os elementos essenciais para a construção da</p><p>circunferência: as coordenadas do centro e o raio.</p><p>Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)),</p><p>a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.</p><p>Equação Geral</p><p>Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da</p><p>circunferência:</p><p>Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de</p><p>centro C(2, -3) e raio r = 4.</p><p>A equação reduzida da circunferência é:</p><p>( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16</p><p>Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:</p><p>Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação</p><p>geral</p><p>Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de</p><p>fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação</p><p>reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.</p><p>Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:</p><p>- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;</p><p>- Não deve existir o termo xy.</p><p>Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação</p><p>geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.</p><p>Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.</p><p>Assim:</p><p>1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo</p><p>independente</p><p>x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6</p><p>2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos</p><p>nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas</p><p>correspondentes</p><p>3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos</p><p>( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16</p><p>4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio</p><p>Posição de um ponto em relação a uma circunferência</p><p>Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto</p><p>P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:</p><p>a) P é exterior à circunferência</p><p>b) P pertence à circunferência</p><p>c) P é interior à circunferência</p><p>Assim, para determinar</p>