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**Explicação:** Utilizando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} 
= k \), onde \( k = 4 \), obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
65. Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( \frac{4}{15} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{4}{15} \) 
 **Explicação:** A integral representa a área de um quarto de círculo, resultando em \( 
\frac{4}{15} \). 
 
66. Qual é a solução da equação \( y' = 3y \)? 
 a) \( y = Ce^{3x} \) 
 b) \( y = Ce^{x} \) 
 c) \( y = Ce^{2x} \) 
 d) \( y = C \sin(3x) \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{3x} \) 
 **Explicação:** A equação é separável. Integrando, obtemos \( \int \frac{1}{y} \, dy = 3 
\int dx \), resultando em \( y = Ce^{3x} \). 
 
67. Calcule \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 
3x\right]_0^1 \). Avaliando, obtemos \( (0.2 - 0.5 + 3) - (0) = 2 \). 
 
68. Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{1} = 3 \). 
 
69. Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)? 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + 2x^2 + C \) 
 c) \( x^3 + \frac{2}{3}x^2 + C \) 
 d) \( 3x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada termo a termo, resultando em \( x^3 + x^2 + x + C 
\). 
 
70. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Utilizando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} 
= k \), onde \( k = 2 \), obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
71. Determine a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^6(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{5\pi}{16} \) 
 b) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 c) \( \frac{7\pi}{16} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5\pi}{16} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^6(x) = \sin^2(x)(1 - \cos^2(x))^2 \), a integral 
se torna \( \frac{5\pi}{16} \). 
 
72. Qual é a solução da equação \( y' = y^3 \)? 
 a) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 b) \( y = C e^{x} \) 
 c) \( y = C \tan(x) \) 
 d) \( y = C e^{-x} \) 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 **Explicação:** A equação é separável. Integrando, obtemos \( \int \frac{1}{y^3} \, dy = 
\int dx \), resultando em \( y = \frac{1}{C - x} \). 
 
73. Calcule \( \int_0^{\pi/2} \cos^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^4(x) = \left(\cos^2(x)\right)^2 = \left(\frac{1 
+ \cos(2x)}{2}\right)^2 \), a integral se torna \( \frac{3\pi}{8} \). 
 
74. Determine a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
 a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x) + \frac{x^3}{x} \) 
 c) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
 d) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
75. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 1} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \)