Exercicio teodolito SWL

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<p>Extensão de Tete</p><p>Nome: Sinoia Wediasse Lassane</p><p>Forum II de Didáctica de Matemática IV</p><p>1- Um topografo, instala um teodolito (aparelho para medir ângulos) a uma altura de</p><p>1,70 m do solo e observa o topo de um prédio sob o angulo de 40º. Estando o teodolito e</p><p>o prédio em um mesmo terreno pleno e distando 80 m um do outro, determine a altura</p><p>do prédio.</p><p>Resolução:</p><p>Antes de tudo, vale esclarecer para os alunos que o teodolito é um instrumento utilizado</p><p>para realizar medidas de ângulos horizontais e verticais.</p><p>O cálculo da altura de um objeto utilizando um teodolito acontece em relação com o</p><p>Teorema de Pitágoras, porque com o uso das medidas é formado um triangulo</p><p>rectângulo. Então, sabemos que o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da</p><p>hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos (𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐).</p><p>Acontece também em associação com as relações trigonométricas. O teodolito utiliza as</p><p>relações trigonométricas do triângulo rectângulo: sen, cos e tg.</p><p>Para resolver este tipo de exercício deve-se:</p><p>1º Esboçar a figura conforme o pedido, neste caso o prédio e o teodolito com todas as</p><p>medidas apresentadas, como monstra a figura abaixo;</p><p>2º Neste caso, a distancia entre o prédio e o teodolito corresponde à medida do cateto</p><p>adjacente (CA) ao ângulo de 40° que é 80m, o lado do prédio é o cateto oposto (CO) ao</p><p>ângulo de 40°, então, como queremos calcular a altura do prédio que é o cateto oposto</p><p>ao ângulo dado, usando os conhecimentos sobre razões trigonométricas, vamos tentar</p><p>descobrir qual a razão que deve ser usado analisando de qual lado conhecemos o valor e</p><p>qual queremos descobrir em relação ao ângulo dado, sabendo que temos a medida do</p><p>ângulo de referência e do cateto adjacente, neste caso é o tgx, e 𝑡𝑔40° = 0,83909… ≃</p><p>0,84 , logo:</p><p>𝑡𝑔𝑥 =</p><p>𝐶𝑂</p><p>𝐶𝐴</p><p>⇒ 𝑡𝑔40° =</p><p>𝐶𝑂</p><p>80𝑚</p><p>⇒ 0,84 =</p><p>𝐶𝑂</p><p>80𝑚</p><p>⇒ 𝐶𝑂 = 0,84 ∙ 80𝑚 ⇒ 𝐶𝑂 = 67,2𝑚</p><p>3º Encontrada a medida do cateto oposto ao ângulo dado, deve-se calcular a altura total</p><p>do prédio somando a altura da base do teodolito (1,70m) com a medida do cateto</p><p>oposto que é o lado do prédio (67,2m).</p><p>ℎ = 1,70𝑚 + 67,2𝑚 = 68,9𝑚</p><p>A altura dom prédio é aproximadamente a 68,9m.</p><p>2- A hipotenusa de um triângulo rectângulo mede 10 m. Determine as medidas do</p><p>perímetro e da área desse triângulo, sabendo que um dos ângulos agudos mede 20º. Faça</p><p>os cálculos com aproximação de 0,01.</p><p>Para resolver este exercício vamos recorrer sempre as razoes trigonométricas.</p><p>1º Esboçar a figura com os dados apresentados;</p><p>2º Calcular as medidas dos catetos usando razões trigonométricas:</p><p>Para calcular o CO vamos usar a razão seno: 𝑠𝑒𝑛𝑥 =</p><p>𝐶𝑂</p><p>𝐻</p><p>⇒ 𝑠𝑒𝑛20° =</p><p>𝐶𝑂</p><p>10𝑚</p><p>⇒ 0,34 =</p><p>𝐶𝑂</p><p>10𝑚</p><p>⇒ 𝐶𝑂 = 0,34 ∙ 10𝑚 = 3,4𝑚 este é o valor do lado oposto ao ângulo de 20°.</p><p>Para calcular a medida do CA, como já temos o valor do CO e da Hipotenusa, podemos</p><p>usar razão 𝑡𝑔20° =</p><p>𝐶𝑂</p><p>𝐶𝐴</p><p>ou 𝑐𝑜𝑠20° =</p><p>𝐶𝐴</p><p>𝐻</p><p>o resultado é o mesmo, como podem ver a</p><p>seguir: 𝑡𝑔20° =</p><p>𝐶𝑂</p><p>𝐶𝐴</p><p>⇒ 0,36 =</p><p>3,4𝑚</p><p>𝐶𝐴</p><p>⇒ 𝐶𝐴 =</p><p>3,4𝑚</p><p>0,36</p><p>= 𝟗, 𝟒𝒎 Ou usando 𝑐𝑜𝑠20° teremos:</p><p>𝑐𝑜𝑠20° =</p><p>𝐶𝐴</p><p>𝐻</p><p>⇒ 0,94 =</p><p>𝐶𝐴</p><p>10𝑚</p><p>⇒ 𝐶𝐴 = 0,94 ∙ 10𝑚 = 𝟗, 𝟒𝒎.</p><p>Agora já temos todos dados para calcularmos o perímetro e a área deste triângulo e para</p><p>o perímetro é só somar as medidas dos catetos e da hipotenusa.</p><p>𝑃∆= 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 ⇒ 𝑃∆= 𝐻 + 𝐶𝑂 + 𝐶𝐴 ⇒ 𝑃∆= 10 + 3,4 + 9,4 ⇒ 𝑃∆= 22,8𝑚</p><p>O perímetro do triângulo é de 22,8m.</p><p>Sabendo que o cateto oposto ao ângulo de referência corresponde à altura do triângulo,</p><p>temos:</p><p>𝐴∆=</p><p>𝐶𝐴 ∙ 𝐶𝑂</p><p>2</p><p>⇒ 𝐴∆=</p><p>9,4𝑚 ∙ 3,4𝑚</p><p>2</p><p>=</p><p>31,96𝑚2</p><p>2</p><p>= 15,98𝑚2</p><p>A área do triângulo é de 15,98𝑚2.</p>