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<p>O Cálculo de limites</p><p>2</p><p>Olá, seja bem-vindo(a)! Neste tópico iremos relembrar as propriedades de</p><p>limites e quando não for possível obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo</p><p>indiretamente com o Teorema do Confronto!</p><p>Nos casos em que, por aplicação direta dos teoremas sobre limites, somos</p><p>conduzidos a uma indeterminação, então será necessário utilizar artifícios algébricos.</p><p>Vamos lá?</p><p>1 PROPRIEDADES DE LIMITES</p><p>Até agora usamos tabelas com valores e gráficos de função nas proximidades de</p><p>𝑥 = 𝑎 para nos ajudar, de forma intuitiva, a calcular o limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se</p><p>aproxima de 𝑎. Porém, isso nem sempre é tarefa fácil, por isso estudamos as propriedades</p><p>de limites, que tornam os cálculos mais fáceis!</p><p>Vamos relembrar as principais propriedades?</p><p>Se lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) e lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) existem, e 𝑘 é um número real qualquer, então:</p><p>a. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) ± lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>b. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>c. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) . lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>d. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>, lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) ≠ 0</p><p>e. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑘 = 𝑘</p><p>f. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑥 = 𝑎</p><p>O Cálculo de limites</p><p>3</p><p>2 TEOREMA DO CONFRONTO</p><p>Se não for possível obter o limite diretamente pelas propriedades, talvez possamos</p><p>obter esse limite indiretamente com o Teorema do confronto.</p><p>O Teorema se refere a uma função 𝑓 cujos valores estão limitados entre os valores</p><p>de outras duas funções, 𝑔 e ℎ.</p><p>Vamos analisar o limite de uma determinada função indiretamente, cujos valores</p><p>estão limitados pelo gráfico:</p><p>FONTE: SOARES (2021)</p><p>Para um determinado valor de 𝑥, vamos obter os valores das funções 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)</p><p>e ℎ(𝑥). Reparem que o valor da função 𝑓(𝑥) esta entre o valor da função ℎ(𝑥) e o valor</p><p>da função 𝑔(𝑥). Escrevemos da seguinte forma:</p><p>𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)</p><p>Qualquer valor da função 𝑓(𝑥) é maior que os valores de 𝑔(𝑥) e menor que os</p><p>valores de ℎ(𝑥), ou seja, a função 𝑓(𝑥) está limitada pelas funções 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥).</p><p>Vamos supor que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para qualquer x em um intervalo aberto</p><p>contendo a, gráfico 1, exceto em x = a.</p><p>** Mas por que exceto em 𝐚? Vimos que não nos interessa para o cálculo de</p><p>limites quando 𝐱 é exatamente igual a "𝐚", o que nos interessa é o valor que a função</p><p>irá assumir quando os valores de 𝐱, cada vez mais, se aproximarem do valor 𝐚.**</p><p>O Cálculo de limites</p><p>4</p><p>FONTE: ADAPTADO DE STEWART (2005)</p><p>É possível observar no gráfico que quanto mais me aproximo de a, tanto pela</p><p>direita quanto pela esquerda, mais o valor se aproxima de L. Cada vez mais as funções</p><p>g(x) e h(x) espremem a função f(x) (teoria da espremedura), fazendo com que f(x)</p><p>jamais vá para cima ou para baixo dos valores das função g(x) e h(x). Então:</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>ℎ(𝑥) = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿</p><p>Vamos resolver alguns exemplos?</p><p>Exemplo 1: Sendo 1 −</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 +</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>para qualquer 𝑥 ≠ 0 , determine</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥).</p><p>Podemos definir que 1 −</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= ℎ(𝑥) e 1 +</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= 𝑔(𝑥), então 𝑓(𝑥) está entre as</p><p>funções ℎ(𝑥) e 𝑔(𝑥).</p><p>Segundo o Teorema do confronto, 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>ℎ(𝑥) = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿 ,</p><p>precisamos calcular os limites das função 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥).</p><p>Calculando lim</p><p>𝑥→0</p><p>ℎ(𝑥) e aplicando a propriedade básica, lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑥 = 𝑎:</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>1 −</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= 1 −</p><p>02</p><p>4</p><p>= 1</p><p>Calculando lim</p><p>𝑥→0</p><p>ℎ(𝑥) e aplicando a propriedade básica, lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑥 = 𝑎</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>1 +</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= 1 +</p><p>02</p><p>4</p><p>= 1</p><p>O Cálculo de limites</p><p>5</p><p>Aplicando o Teorema do confronto, chegamos no seguinte resultado:</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→𝑎</p><p>ℎ(𝑥) = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→0</p><p>1 −</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→0</p><p>1 +</p><p>𝑥2</p><p>4</p><p>= lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥) = 1</p><p>Plotando o gráfico da função, podemos observar as funções ℎ(𝑥) e 𝑔(𝑥)</p><p>espremendo a função 𝑓(𝑥):</p><p>FONTE: SOARES (2021)</p><p>Exemplo 2: Determine o limite da função 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>, quando 𝑥 tende a 0.</p><p>Primeiro vamos tentar determinar o limite a partir das propriedades de limites.</p><p>Sabemos que lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) . lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥), então:</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑥2. 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑥2 . lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>Aplicando a propriedade lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑥 = 𝑎:</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>02 . lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>0</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>02 = 0</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>0</p><p>= ∄</p><p>O Cálculo de limites</p><p>6</p><p>Não conseguimos obter diretamente esse limite, então resolvemos indiretamente,</p><p>utilizando o Teorema do confronto, para tal precisamos relembrar que o seno jamais será</p><p>menos que −1ou maior que 1, ou seja, o seno de qualquer ângulo sempre estará entre −1</p><p>e 1:</p><p>−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>≤ 1</p><p>Podemos observar que a função original é 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>, e para obtermos a equação</p><p>correta precisamos multiplicar a −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>≤ 1 por 𝑥2 para podermos seguir com os</p><p>cálculos de limites, afinal não queremos o limite da função 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>e sim o limite da função</p><p>𝑥2. 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>:</p><p>(−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>≤ 1) . 𝑥2 = −𝒙𝟐 ≤ 𝒙𝟐. 𝒔𝒆𝒏</p><p>𝟏</p><p>𝒙</p><p>≤ 𝒙𝟐</p><p>Agora sim, temos a função 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>! Identificando as outras função temos</p><p>𝑔(𝑥) = −𝑥2 e ℎ(𝑥) = 𝑥2, satisfazendo o Teorema do confronto, onde 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤</p><p>ℎ(𝑥).</p><p>Calculando os limites das funções 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥):</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑔(𝑥) = lim</p><p>𝑥→0</p><p>−𝑥2 = −02 = 0</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>ℎ(𝑥) = lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑥2 = 02 = 0</p><p>Então:</p><p>𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎</p><p>𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎</p><p>𝒉(𝒙) = 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎</p><p>𝒇(𝒙)</p><p>O Cálculo de limites</p><p>7</p><p>3 INDETERMINAÇÃO EM LIMITES</p><p>Nos casos em que, por aplicação direta dos teoremas sobre limites, somos</p><p>conduzidos aos símbolos:</p><p>FONTE: SOARES (2021)</p><p>A que se chama símbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para</p><p>procurar, se existir, o limite, isto é, “levantar a indeterminação”.</p><p>Neste tópico vamos trabalhar com a forma indeterminada</p><p>0</p><p>0</p><p>.</p><p>A propriedade sobre quociente de limiteslim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>, lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) ≠ 0, só é</p><p>válida quando o limite da função que aparece no denominador é diferente de zero no</p><p>ponto em questão. Agora vamos considerar o seguinte limite:</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2 − 1</p><p>𝑥 − 1</p><p>Intuitivamente, calculamos esse limite analisando tabelas e gráficos, pois se</p><p>tentarmos calcular esse limite aplicando a propriedade veremos que:</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2 − 1</p><p>𝑥 − 1</p><p>=</p><p>12 − 1</p><p>1 − 1</p><p>=</p><p>0</p><p>0</p><p>Neste caso, dizemos que o quociente</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥−1</p><p>quando 𝑥 → 1 tem a forma</p><p>indeterminada do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>. O problema com esses limites é que eles podem assumir qualquer</p><p>valor ou não existir. Porém, algumas vezes, é possível fator e simplificar as funções</p><p>algébricas para encontrar o limite das formas indeterminadas do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>.</p><p>O Cálculo de limites</p><p>8</p><p>Algumas fórmulas que poderão nos auxiliar neste processo de simplificação são:</p><p>- Fator comum: 𝑎𝑥 ± 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 ± 𝑦)</p><p>- Trinômio do 2° grau: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ↔ 𝑎. (𝑥 − 𝑥’). (𝑥 − 𝑥′′) ou a fórmula de</p><p>Bhaskara 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 e 𝑥 =</p><p>−𝑏±√∆</p><p>2.𝑎</p><p>.</p><p>Vamos ver alguns exemplos?</p><p>Exemplo 3: Calcule lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥−1</p><p>Vimos que se aplicarmos</p><p>diretamente a propriedade de limites chegaremos a uma</p><p>forma indeterminada do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>. Diante disso, fatoramos o numerador para realizar</p><p>possíveis simplificações e, assim, podermos aplicar as propriedades de limites.</p><p>Fatorando o numerador 𝑥2 − 1, aplicando a fórmula de Bhaskara encontramos as</p><p>raízes da equação: 𝑥′ = 1 e 𝑥′′ = −1, então 𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1). (𝑥 + 1), substituindo no</p><p>limite:</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2 − 1</p><p>𝑥 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑥→1</p><p>(𝑥 − 1). (𝑥 + 1)</p><p>𝑥 − 1</p><p>Desta forma podemos simplificar os termos (𝑥 − 1) do numerador com o termo</p><p>do denominador, pois são iguais, nos restando:</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥 + 1</p><p>Aplicando as propriedades de limites obtemos:</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑜 lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2 − 1</p><p>𝑥 − 1</p><p>= 2</p><p>Exemplo 4: Calculo o lim</p><p>𝑥→2</p><p>2𝑥2−2𝑥−4</p><p>𝑥2−4</p><p>O Cálculo de limites</p><p>9</p><p>Aplicando o cálculo de limites diretamente pelas propriedades, verificamos que</p><p>esse limite é uma forma indeterminada do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>, conforme demostrado a seguir:</p><p>lim</p><p>𝑥→2</p><p>2𝑥2 − 2𝑥 − 4</p><p>𝑥2 − 4</p><p>=</p><p>2.22 − 2.2 − 4</p><p>22 − 4</p><p>=</p><p>0</p><p>0</p><p>Diante disso, fatoramos o numerador e o denominar para realizar possíveis</p><p>simplificações e, assim, podermos aplicar as propriedades de limites.</p><p>Colocando em evidência o número 2 e fatorando o numerador 2𝑥2 − 2𝑥 − 4,</p><p>aplicamos a fórmula de Bhaskara, ou outro método que deseje, para encontrar as raízes</p><p>desta equação: 𝑥′ = 2 e 𝑥′′ = −1, igualando essas duas raízes a zero obtemos que:</p><p>2𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 2(𝑥2 − 2𝑥 − 4) = 2. [(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)]</p><p>**Tire a prova real e garanta que fez corretamente. Pode aplicar a distributiva na</p><p>equação encontrada, 2. [(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)], e verificar se encontra a equação original,</p><p>2𝑥2 − 2𝑥 − 4.</p><p>Agora vamos fatorar o denominador 𝑥2 − 4, encontrando as raízes da equação</p><p>obtemos:</p><p>𝑥2 − 4 = (𝑥 − 2). (𝑥 + 2)</p><p>Substituindo na equação original os fatores das equações:</p><p>lim</p><p>𝑥→2</p><p>2𝑥2 − 2𝑥 − 4</p><p>𝑥2 − 4</p><p>= lim</p><p>𝑥→1</p><p>2[(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)]</p><p>(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)</p><p>Assim podemos simplificar os termos em comum, (𝑥 − 2), ficando:</p><p>lim</p><p>𝑥→2</p><p>2(𝑥 + 1)</p><p>(𝑥 + 2)</p><p>=</p><p>2𝑥 + 2</p><p>(𝑥 + 2)</p><p>O Cálculo de limites</p><p>10</p><p>Agora aplicamos as propriedades de limites da função simplificada para</p><p>encontrarmos o limite da função</p><p>2𝑥2−2𝑥−4</p><p>𝑥2−4</p><p>:</p><p>lim</p><p>𝑥→2</p><p>2𝑥2 − 2𝑥 − 4</p><p>𝑥2 − 4</p><p>= lim</p><p>𝑥→2</p><p>2𝑥 + 2</p><p>(𝑥 + 2)</p><p>=</p><p>2.2 + 2</p><p>(2 + 2)</p><p>=</p><p>6</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>Exemplo 5: Calcule lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥−4</p><p>√𝑥−2</p><p>Aplicando o cálculo de limites diretamente pelas propriedades, verificamos que</p><p>esse limite é uma forma indeterminada do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>, conforme demostrado a seguir:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥 − 4</p><p>√𝑥 − 2</p><p>=</p><p>4 − 4</p><p>√4 − 2</p><p>=</p><p>0</p><p>0</p><p>O método adequado para simplificar essa forma indeterminada é racionalizar o</p><p>denominador da função, assim:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥 − 4</p><p>√𝑥 − 2</p><p>= lim</p><p>𝑥→4</p><p>(𝑥 − 4)</p><p>(√𝑥 − 2)</p><p>.</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>Desenvolvendo a distributiva no denominador obtemos:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>(𝑥 − 4)</p><p>(√𝑥 − 2)</p><p>.</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>=</p><p>(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)</p><p>(√𝑥)</p><p>2</p><p>+ 2√𝑥 − 2√𝑥 − 4</p><p>Agora podemos simplificar os termos (√𝑥)</p><p>2</p><p>, ficando 𝑥, e os termos 2√𝑥 e −2√𝑥</p><p>se anulam, ficando da seguinte forma:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>(𝑥 − 4)</p><p>(√𝑥 − 2)</p><p>.</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>=</p><p>(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)</p><p>𝑥 − 4</p><p>O Cálculo de limites</p><p>11</p><p>Com isso podemos simplificar mais uma vez os termos em comum, 𝑥 − 4 do</p><p>denominador e do numerador, ficando:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>(𝑥 − 4)</p><p>(√𝑥 − 2)</p><p>.</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>(√𝑥 + 2)</p><p>= √𝑥 + 2</p><p>Agora podemos aplicar as propriedades de limites para obtermos o limite da</p><p>função lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥−4</p><p>√𝑥−2</p><p>,</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>√𝑥 + 2 = √4 + 2 = 4</p><p>Então:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥−4</p><p>√𝑥−2</p><p>=4</p><p>Para desenvolver as demais indeterminações que envolvem infinito, ∞ − ∞ ;</p><p>0 × ∞ e</p><p>∞</p><p>∞</p><p>, será necessário o estudo dos limites que envolvem o infinito.</p><p>No estudo dos limites no infinito vamos estudar o que acontece com o valor da</p><p>função quando 𝑥 tende a +∞ e a − ∞.</p><p>Já no estudo dos limites infinitos vamos estudar quando o resultado do limite é</p><p>+∞ ou −∞, ou seja, quando o valor da função tende a um valor muito grande ou um</p><p>valor muito pequeno, a medida em que o 𝑥 se aproxima de um certo valor.</p><p>O Cálculo de limites</p><p>12</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>FACCIN, Giovani Manzeppi. Elementos de cálculo diferencial e integral. [livro</p><p>eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 2015.</p><p>FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian. Cálculo A. [livro eletrônico]. São</p><p>Paulo: Pearson, 2006.</p><p>STEWART, James. Cálculo. Volume I. Edição 4. São Paulo: Pioneira Thomson</p><p>Learning, 2005.</p>