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Curso: Módulo: Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas Código do Módulo Nível: V Formador: dr ESMAIL Nome de formando/a: Número: ___ Turma: _____ Título da Unidade de Competência Descrição da Unidade de Competência: optimização usando limites e derivadas. Código: UC HG 03502171 Campo: Habilidades Genéricas Data de Registo: CÁLCULO DIFERENCIAL Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas Código do Módulo: UC HG 03502171 ESMAIL HENRIQUES Nome de formando/a: ____________________________ BEIRA, 2022 Competência Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas. Descrição da Unidade de Competência: Nesta unidade o candidato fica apto a resolver problemas de optimização usando limites e derivadas. 03502171 Nível do QNQP: Habilidades Genéricas Sub Campo Data de Revisão do Registo Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas. Nesta unidade o candidato fica apto a resolver problemas de 5 Matemática Registo 2 1. HABILIDADES DE ESTUDO Caro estudante \ formandos! Para frequentar com sucesso este módulo terá que buscar através de uma leitura cuidadosa das fontes de consulta a maior parte da informação ligada ao assunto abordado. Para o efeito, no fim de cada unidade \ resultados de aprendizagem apresenta-se uma sugestão \ dúvidas de livros para leitura complementar. Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante \ formandos deve certificar se de ter compreendido a questão colocada; É importante questionar se as informações colhidas na literatura são relevantes para a abordagem do assunto ou resolução de problemas; Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentada no texto. Desejamos - lhe muitos sucessos! 1.2. PRECISA DE APOIO? Dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo. Em caso de dúvida numa matéria tente consultar os manuais e Docentes \ formadores disponíveis na instituição onde se encontra. Se tiver dúvidas na resolução de algum exercício, procure estudar os exemplos semelhantes apresentados no manual. Se a dúvida persistir, consulte seus colegas que entendera a matéria. Se a dúvida persistir, veja a resolução do exercício. Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua disposição na tua instituição. Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham compreendido ou feito a cadeira de cálculo diferencial “Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas”, vizinhos e até estudantes de universidades que vivam na sua zona e tenham ou estejam a fazer cadeiras relacionadas com cálculo diferencial. 1.3. AVALIAÇÃO O Módulo de Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas terá 4 avaliações que deverá ser feito na instituição onde se encontra. A avaliação visa não só informar-nos sobre o seu desempenho nas lições, mas também estimular-lhe a rever alguns aspectos e a seguir em frente. Durante o estudo deste módulo o estudante será avaliado com base na realização de avaliação, caso se não alcança terá que reavaliação ou autoavaliação previstas em cada resultado de aprendizagem ou unidade. 3 LIMITES INTRODUÇÃO O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efectuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos representar esse resultado por: Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, electricidade, mecânica, construção civil, etc. Breve histórico Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de recta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, directa ou indirectamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir. Lxf x )( lim 0 4 Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão. Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite. O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que diferenciam o cálculo da álgebra e da trigonometria No curso de cálculo e suas aplicações procuramos apresentar a definição de limites de diferentes formas. Pois, quando procuramos o limite de uma função nos interessa os valores f(x) de uma função dada que estejam próximos de um número a, mais que não sejam necessariamente iguais a a. Para compreender melhor o conceito de limites, vamos apresentar inicialmente a noção intuitiva, ou seja, como era pensado o limite no desenvolvimento do cálculo no século XVIII. ... 5 RESULTADO DE APRENDIZAGEM 1 2. NOCAO DE LIMITES Nesta lição, você deverá prestar muita atenção aos seguintes termos e conceitos de limite: Noção intuitiva de limite, Interpretação numérica de limites, Interpretação gráfica de limites e limites laterais. OBJECTIVOS Explica limite duma função quando a variável tende para um valor finito. CONCEITO DE LIMITES O conceito de limite de uma função f é uma das idéias fundamentais que diferenciam o cálculo da álgebra e da trigonometria No curso de cálculo e suas aplicações procuramos apresentar a definição de limites de diferentes formas. Pois, quando procuramos o limite de uma função nos interessa os valores f(x) de uma função dada que estejam próximos de um número a, mais que não sejam necessariamente iguais a a. Para compreender melhor o conceito de limites, vamos apresentar inicialmente a noção intuitiva, ou seja, como era pensado o limite no desenvolvimento do cálculo no século XVIII. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos: L)x(flim px Aplicando o conceito de Limites apresentamos alguns exemplos: Nesses exemplos,analise os valores f(x) de uma função dada, que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE LIMITES Consideremos a função f definida por x xf 1 )( e analisemos, mediante uma tabela, o seu comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos. x 4 1 3 1 2 1 1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 4 3 2 1 2 1 3 1 4 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é igual a zero”. x )(xf x 0)(lim xf x x x 6 Observação: Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de valores positivos, escrevemos: “ ”. Devemos enfatizar que não é um número real. O símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente . Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável decrescem ilimitadamente através de valores negativos. x - 4 1 - 3 1 - 2 1 -1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 -4 -3 -2 -1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 Observando a tabela anterior verificamos que à medida que os valores de decrescem ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 0)(lim xf x , que se lê: “limite de f de , quando tende a menos infinito, é igual a zero. Pelo gráfico da função x xf 1 )( cujo esboço é indicado pela figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever ou 0 1 lim xx . Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim xf x ou 0 1 lim xx x x x x )(xf x x x x x x 0)(lim xf x x 7 Exemplos 1: 1) Observe o gráfico da função x xf 1 1)( apresentado na Figura a seguir: Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende para o infinito. Isto é, 1y quando .x Denotamos por 1 1 1lim xx Exemplo 2: x xf 1 )( Com 0a Neste caso, a não está no domínio de f, isto é, f (0) não é definido. Observe que a medida que x está cada vez mais próximo de 0, com 0x , para qual valor tende f (x)? Inicialmente vamos construir duas tabelas de valores de ))(,( xfx . Na primeira, x aproximando de zero por valores negativos e na segunda, x aproximando de zero por valores positivos x ... -3 -2 -1 1/2 1/4 1/8 1/16 .. 1/256 ... -1/2048 ... 0 y=f(x) ... 1/3 1/2 -1 -2 -4 -8 -16 ... -256 ... -2048 ... f(0) não é definida x ... 3 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 1/256 ... 1/2048 ... 0 y=f(x) ... 1/3 ½ 1 2 4 8 16 .. 256 .... 2048 ... f(0) não é definida Observem as duas tabelas: Quando 0x por valores negativos, y e escrevemos xx 1 lim 0 , denominado de limite a esquerda do número real a. Quando 0x por valores positivos, y e escrevemos xx 1 lim 0 , denominado de limite à direita do número real a. Considerando ainda a função x 1 2 3 y =f(x) 1 1/2 1/3 x -1 - 2 - 3 y =f(x) -1 -1/2 -1/3 Vejam que: Quando x , Quando x , y Como em ambos os casos y Observe o gráfico da função Dizemos que a função f(x) escrevemos: L)x(flim px Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de estudaremos estes casos precisamente em limites laterais. Exemplo 2: 1) Seja a função f(x) = 2x+1, Solução: Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) Considerando ainda a função x xf 1 )( , elaboramos outras tabelas. 4 5 ... 100 ... 1000 1/4 1/5 ... 1/100 1/1000 - 4 - 5 ... 100 ... 1000 -1/4 -1/5 ... -1/100 -1/1000 0y 0y 0y podemos escrever 0 1 lim xx Observe o gráfico da função x xf 1 )( f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos estes casos precisamente em limites laterais. f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) 8 ... 100000 ... 1/100000 ... 100000 ... -1/100000 0 tende para o número p, e direita ou pela esquerda, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, )1x2(lim 2x . Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) 9 Esquerda Direita x 2x+1 x 2x+1 1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 ... ... ... ... 2 5 2 5 Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) se aproxima de 5. Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos 5122)12(lim 2 x x estudaremos estes casos precisamente em interpretação numérica. INTERPRETAÇÃO NUMÉRICA DE LIMITES 2) )4x(lim 2 1x =12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais 3) 422)2x(lim 2x )2x)(2x( lim 2x 4x lim 2x2x 2 2x , pois }2{)f(D 4) 4 1 4 32 4 3x 4 lim )3x)(2x( )2x(4 lim 6x5x 8x4 lim 2x2x22x , pois }3 2,{)f(D 5) 63339)3x(lim )9x( )3x)(9x( lim )3x)(3x( )3x)(9x( lim 3x 9x lim 9x9x9x9x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 e ix o d a s a b s c is s a s , X e ix o d a s o rd e n a d a s , Y Y = 2 X + 1 10 6) 6 1 6 23 6 2 6 lim )3()2( )3(6 lim )3()2( 186 lim 333 xxx x xx x xxx 7) 5 3 10 6 55 6 5 6 lim )5()5( )5(6 lim 25 306 lim 5525 xxx x x x xxx LIMITES LATERAIS Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a. O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. Estes limites, são chamados limites laterais. Limite à esquerda: )(lim xf ax , teremos x < a logo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno. Limite à direita: )x(flim ax , teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno. Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definidapor várias sentenças fica simples calcular os limites laterais. Perceba que o limite dessa função para x tendendo a existe, embora a função não esteja definida no ponto x = a De forma genérica, escrevemos: Lxf ax )(lim De acordo com os exemplos apresentados anteriormente no limite intuitiva, nota-se que a ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. Nota: L Lxf Lxf Lxf ax ax ax , )(lim )(lim )(lim Exemplos 2: 1. Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: )(lim))(lim) 1 1 xfbxfa xx 11 Solução: Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim 1 1 xfexf xx Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 2. Seja a função: 2 x para ,x-9 2 xpara , 2 2x para, 1 )( 2 2x xf Calcule: )(lim (c) )(lim)( )(lim)( 2 2 2 xf xfb xfa x x x Solução: a) Quando 2x significa x > 2 logo 29)( xxf assim 52-9 x-9lim 22 2 x b) Quando 2x significa x < 2 logo 1)( 2 xxf assim 512 1xlim 22 2 x c) Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim 2 xf x Exemplo 2: Considera a função 3,,73 3,,1 )( xsex xsex xf Quando tomamos valores de x cada vez mais próximos x = 3 pelo seu lado esquerdo, o valor de f(x) aproxima de 2. e podemos escrever 2)1(lim)(lim 33 xxf xx Quando tomamos valores de x cada vez mais próximos de x = 3 pelo seu lado direito, o valor de f(x) aproxima também de 2 e podemos escrever 2)73(lim)(lim 33 xxf xx 12 No caso de 2)(lim 3 xf x , pode-se dizer que Lxf x )(lim 3 , portanto o limite existe, caso a contrario o limite não existe nesse ponto definido. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 RESULTADO DE APRENDIZAGEM 2 3. CALCULO LIMITES DE FUNÇÕES SIMPLES Nesta lição, você deverá prestar muita atenção em: Propriedades dos limites, Cálculo de limites e Problemas que se traduzem por um cálculo de limites. OBJECTIVOS a) Calcular limites simples quando a variável tende para um número finito; b) Resolver problemas usando o cálculo de limites. Discute e interpreta o resultado. PROPRIEDADES DE LIMITES A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a pesquisa do número que aparece na definição de limite. Propriedade 1: Teorema da Unicidade do limite Se 1)(lim Lxf ax e 2)(lim Lxf ax , então .21 LL Propriedade 2: limite de um constante Sejam a e c números reais quaisquer, então cc ax lim isto é o limite de uma constante é a própria constante. Exemplo: lim�→� 4 = 4 Propriedade 3: limite de um polinómio do 1ª grau Se a, b, m são números reais, então: bmabmx ax )(lim Exemplo: 754.3)53(lim 4 x x Propriedade 3: Se ,)(lim e )(lim MxgLxf axax então: 1. Limites de adição de duas funções diferentes )]()([lim MLxgxf ax Ou )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax Exemplo: 2. Limites de produto de duas funções diferentes )]()([lim MLxgxf ax Ou )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf axaxax Exemplo: 71.7)43.(7)4)1(3).(81()43(lim).8(lim)43).(8(lim 111 xxxx xxx 14 3. Limites de quociente de duas funções diferentes 0M que desde M L = )( )( lim xg xf ax Ou )(lim )(lim )( )( lim xg xf xg xf ax ax ax , desde que 0)(lim xg ax Exemplo: 7 17 32.2 72.5 )32(lim )75(lim 32 75 lim 2 2 2 x x x x x x x 4. Limites de uma potência n) positivo inteiro p/ ( )(lim nn ax Lxf Exemplo: )1)(1).(1).(1(lim1lim 3 4 3 xxxxx xx = 2564.4.4.4)13).(13).(13).(13()1(lim).1(lim).1(lim).1(lim 3333 xxxx xxxx 5. Limites de um radical par n p/ 0 L que desde ,)(lim nn ax Lxf Ou Se 0)(lim xf ax e n um número inteiro ou se 0)(lim xf ax e n é um número inteiro positivo Impar, n ax n ax xfxf )(lim)(lim Exemplo: 4649207595.45.3)943(lim943lim 333 23 2 5 3 2 5 xxxx xx 6. Limites de exponencial 0 L que desde , .ln)(ln lim Lxf ax Ou Se 0)(lim xf ax , )(limln)(lnlim xfxf axax Exemplo: )4ln()31ln(31ln3limln3lnlim 22 1 2 1 xx xx Exemplo: Determine o seguinte limite: )13(lim 2 2 xx x 112.321lim3limlim 2 2 2 2 2 2 3 P xxx P xx CÁLCULO DE LIMITES Muitas funções podem ser obtidas fazendo somas, diferenças, produtos, quocientes, e potencias de funções mais simples. Para fazer o cálculo de limites temos propriedades que podem ser usadas para simplificar funções mais elaboradas. 15 Há certos limites mesmos aplicando propriedade encontramos no final desta natureza � � � ; 0�; 1�;+∞−∞; 0 × ∞ ; � � � e este tipo de solução chama-se indeterminação. A seguir veremos cada tipo de indeterminada e seus exemplos. LIMITES INDETERMINADOS Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 0 0 ou . Exemplo: 1) Calcular o limite abaixo: 4 2 lim 2 2 2 x xx x Solução: Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. Então: f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 Assim, ao substituirmos directo teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 , logo tal procedimento não pode ser utilizado. No caso de indeterminações do tipo 0 0 ou há vários métodos que podem ser aplicados de acordo com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital. Quando efectuando alguns cálculos se determina o limites diz-se que se levantou a indeterminação. LIMITE CUJA INDETERMINAÇÃO É INFINITOS “LIMITES FINITOS” Dicas “Bits” Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra no numerador o limite é igual +∞, se “� → −∞" é igual −∞ e se “� → ∞" é igual a ∞. Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra no denominador o limite é igual �, se “� → −∞" é igual� e se “� → ∞" é igual a �. Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra no numerador o limite é igual a coeficiente , se “ � → −∞" é igual a ����� ����������� e se “� → ∞" é igual a �����������. 16 Indeterminação +∞−∞ Normalmente, a indeterminação +∞−∞ surge no cálculo do limite de uma função polinomial ou de uma função irracional. A estratégia passa levantar a indeterminação depende do caso em estudo. A expressão algébrica da função é uma função polinomial racional. Exemplo: lim�→��(3� � − 2� + 7) = [∞ −∞] Resolução: Colocando em evidencia a maior potencia de x vem: lim �→�� (3�� − 2� + 7) = lim �→�� �3�� �1 − 2 3� + 2 3�� �� = 3(+∞)� × (1 − 0 + 0) = +∞ Em geral, teremos: Consideremos a função polinomial 13764)( 23 xxxxP , podemos escrevê-la na seguinte forma: 32 3 4 13 4 7 4 6 14)( xxx xxP Portanto, 32 3 4 13 4 7 4 6 1lim)4(lim)(lim xxx xxP xxx Ora, é claro que: 1 4 13 4 7 4 6 1lim 32 xxxx Temos, então: )4(lim)(lim 3xxP xx Assim, temos dois casos: )4(lim)(lim 3xxP xx e )4(lim)(lim 3xxP xx Generalizando, sendo 01 2 2 1 1 ...)( axaxaxaxaxP n n n n , podemos sempre escrever: n n xx xaxP lim)(lim Uma função polinomial admite, quando � → +∞ ou quando � → −∞ ou ainda quando � → ∞, o mesmo limite que seu monómio de maior grau. A expressão algébrica da função é uma função polinomial irracional. Para levantar a indeterminação, usa-se a estratégia de multiplicar e dividir a expressão pelo binómio conjugado. Dada a função racional )( )( )( xQ xP xf , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 01 2 2 1 1 ...)( axaxaxaxaxP n n n n e 01 2 2 1 1 ...)( bxbxbxbxbxQ m m m m Sendo 0na e .0mb Tem-se então que: 17 mn x m n m m n n xm m x n n x x x xx x b a xb xa xb xa xQ xP xQ xP xf limlim lim lim )(lim )(lim )( )( lim)(lim Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 1o) )(lim xfmn x 2o) 0)(lim xfmn x 3o) m n x b a xfmn )(lim Exemplos: 1) x x x xx xxx xxx lim 9 10 9 10 lim 4109 115810 lim 2 3 2 23 2) 0015 1 lim15 15 lim 21012 1196815 lim 4 3 24 23 xx x xxx xxx xxx 3) 5 7 1lim 5 7 5 7 lim 58145 21187 lim 3 3 23 23 xxx x x xxx xxx 4) Calcule 1 lim 2 x x x Solução: Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx ( ,0x pois )x e então dividimos o numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 222 2 2 2 2 2 2 xxx x x x x x x x xxxx 5) Calcule xxx x 43lim 2 Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx 432 , temos: xxx x xxx xxx xxx xxx xxxxxx xxxx 43 43 lim 43 43 lim 43 43 43lim43lim 22 22 2 2 22 Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 2 3 11 3 1 43 1 4 3 lim 43 43 lim43lim 2222 2 2 xx x x x xx x x x xx x xxx xxx 18 Indeterminação ∞ ∞ Esta indeterminação resulta do calculo do limite quando � → ∞ de uma função racional. Exemplos: lim�→�∞ ������ ��������� Solução: Antes de partir para calculo, observa só, o expoente de numerador e de denominador são iguais que é 3, de acordo com dica o limite a coeficiente, o coeficiente do limite é � � , esta é solução final, mas toma cuidado mesmo tender a mais infinito se o coeficiente é negativa e a solução é negativa, (lim�→�∞ ������� ��������� = − � � ) e se (lim�→�∞ ������ ��������� = − � � ) e se (lim�→�∞ ������� ��������� = � � ), sempre tem tomar cuidado nesse tipo de caso. Agora vamos ao cálculo da nossa questão. lim �→�∞ 2�� − 3� 5�� + 3�� + 1 Tem vários métodos para calcular este limite tais como: simplificação, L’Hospital, levantar indeterminação … Vamos levantar indeterminação lim �→�∞ 2�� − 3� 5�� + 3�� + 1 = � ∞ ∞ � lim �→�∞ 2�� �� − 3� �� 5�� �� + 3�� �� + 1 �� = 2 − 0 5 + 0 + 0 = 2 5 Indeterminação � � Se depois de efectuar os cálculos possíveis obtemos uma indeterminação do tipo � � é porque a fracção não é irredutível. O valor para o qual x esta a tender é raiz do numerador e do denominador. Normalmente, consegue-se levantar a indeterminação, simplificando a fracção, multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado ou pondo em evidência a menor potência de x. Exemplo: lim�→� ���� ��� Solução: lim �→� �� − 1 1 − � = � � � � Usando método de simplificação teremos: lim �→� �� − 1 1 + � = (� − 1)(� + 1) −(1 − �) = � + 1 −1 = 1 + 1 −1 = 2 −1 = −2 19 Limites de expressões com exponenciais e logaritmos Propriedade 1. lim�→� ���� � = 1 2. lim�→�∞ �� �� = +∞ , � ∈ � 3. lim�→� ��� ��� = 0 4. lim�→� ��(���) � = 1 5. lim�→�∞ �� � � = 0 Limites notáveis Propriedade 1. lim�→� ���� � = 1 2. lim�→� ��� � = 1 3. lim�→�∞ �1 + � � � � = � O Número “e”. No estudo dos logaritmos (no modulo Resolver problemas de crescimento logarítmico) já nos referimos ao número e. Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: n n n a 1 1 Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos: 2 1 1 1 1 1 1 an 25,2 2 1 1 2 2 2 an ... ean n , Ou seja: Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou ainda: ...5907182818284,2 1 1lim e x x x Limite Exponencial Fundamental Teorema: .......718281828,2 1 1lim x e x x Lembre-se: O número “e” é irracional. Dois limites podem ser obtidos como consequência do limite exponencial fundamental. Primeira Consequência: De fato, fazendo x u 1 , e observando que quando , ficamos com: ex x x 1 lim 1 0 x u 1 u 0x 20 Que é o próprio limite exponencial fundamental. Segunda Consequência: Fazendo , e é evidente que quando 0.u ,0 x Daí, Exemplos: Calcule Solução: 1. Podemos escrever: Fazendo ,ukx resulta que se 0u 0x portanto, ficamos com: ku ux eukx x k 1 0 0 1 lim1 lim 1 2. Calcule Solução: Façamos Quando logo: O limite ����→�� �� + � � � � ou ����→�(� + �) � � é mais um exemplo de indeterminação do tipo �∞. Para levantar esta indeterminação, geralmente, utiliza-se a seguir formula: ���[� �→� (�)]�(�) = � ���[� �→� (�)]×�(�) LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e u x x x 1 1 lim 1 lim u u 1 0 1 1e lim x 0 xx )1ln(11 uxueue xx u 1000 x 0 )1ln( 1 lim )1ln( u 1 1 lim 1)(uln u lim 1e lim uu x uuux 1 1 1 ln 1 u)(1 limln 1 u)ln(1 lim 1 u 1 0 u 1 0 e uu .,1 lim * 0 1 kkx x x k kxkx k x kxkxkx 11 111 . 1 ln lim 1 x x x .11 uxxu ,01 ux .1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln 1 lim )1(ln lim 1 ln lim 1 0 1 0001 euuu uu u x x u u u uuux 21 (Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja um arco de x radianos, com . 2 0 x Na figura a seguir: .e,ˆ ATxtgPMxsenMAx Lembre-se: Área do triângulo AlturaBaseA 2 1 Área do sector ArcoRaioASetor 2)( 2 1 Observe que o triângulo está contido no sector circular o qual por sua vez está contido no triângulo .oAT Assim, podemos afirmar que: área oAM área sector área oAT isto é: Mas, 1oA Logo: ATxPM ou, Dividindo termo a termo por ,xsen temos: xsen xtg xsen x xsen xsen xxsen x cos 1 1 Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: 1coscos1 x xsen xx x xsen Sabemos que, quando .1cos,0 xx Então, para x tendendo a zero, x xsen permanece entre xcos e 1 E, portanto: A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: x (em radianos) 0,2 0,1 5,0 2,0 1,0 001,0 ... x 0 x xsen xf )( 0,4546 0,8414 0,9588 0,9933 0,9983 0,9999 ... f(x) 1 Assim, quando x 0 (emradianos), temos que: f (x) 1, ou seja, .1lim 0 x xsen x Exemplos: 1lim 0 x sen xx M oAM ,oAM oAM AToAxoAPMoA 2 1 )( 2 1 2 1 2 xtgxxsen 22 1) Calcule . x lim 0 xsenx Solução: 2) Calcule . xtg lim 0 xx Solução: 3) 1lim 3 3 lim 00 u usen x xsen ux . Nota: 4) . Nota: 5) 1limlim 02 2 0 x xsen x xsen x xsen xx . 6) Calcule x x x cos1 lim 0 . Solução: )cos1( lim )cos1( )cos1( lim )cos1( )cos1()cos1( lim cos1 lim 2 0 2 000 xx xsen xx x x x x x x x xxxx 001 11 0 1 0cos1 0 1 cos1 limlim cos1 lim 000 sen x xsen x xsen x xsen x xsen xxx 7) Calcule x xsen x 5 3 lim 0 . Solução: 5 3 1 5 3 3 3 lim 5 3 5 3 3 3 lim 5 3 lim 000 x xsen x xsen x xsen xxx 1 1 1 lim 11 lim x lim 0 0 0 x xsen x xsenxsen x xx 1 1 1 1 cos 1 lim lim cos 1 x xsen lim 1 xcos xsen lim xcos xsen lim xtg lim 0 0 0 0 0 0 xx xsen xxxx xxxxxx 00,3 uxxu * 00 k ,1limlim u usen kx kxsen ux 00, uxkxu 23 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule os seguintes limites a) 5x 4x5x lim 2 2 3x b) 35 23 lim 2 x x x c) 62 3 lim 2 x x x d) x x x 2 34 lim e) 2x 10x7x lim 2 2x f) 3x 3x2x lim 2 3x g) xx x2x5xx3 lim 2 234 0x h) 1x2x 3x4x lim 5 3 1x i) 6x 36x lim 2 6x j) 2x3x 1x lim 2 2 1x k) 2x 32x lim 5 2x l) 27x54x36x10x 27x18x8x lim 234 234 3x m) 4x2 2x lim 2x n) 2x 4x lim 4x o) x42 x lim 0x p) x22 x lim 0x q) 1x x32 lim 1x r) 11x x lim 0x s) 2x 3x21 lim 4x t) 11x5x3 22x3x2 lim 2 2 2x Respostas: a) 8 b) 4 c) - 5 - 26 d) 5 e) -3 f) -4 g) -2 h) – 0,33 i) 12 j) -2 k) 80 l) 2 m) 0 n) 4 o) 4 p) 22 q) -0,25 r) 2 s) 1,33 t) 1,35 2. Calcule os limites indicados a) 43 3 lim 2 2 x xx x b) 5724)( 23 xxxxf c) )1x2x2x4(lim 23 2x d) 5x 4x5x lim 2 2 3x e) xx x 1lim 2 f) xxx x 2lim g) xx 1 lim h) xx 1 2lim i) 4lim 2 xx x j) 2 2 1lim xx k) 3 1 1lim xx l) 3 1 1lim xx m) x x e 1 3lim n) 1lnlim 2 x x o) 1lnlim 2 x x 24 2) 3. A variável tende para um valor infinito a) )1x2x3x5(lim 23 x b) )1x2xx2(lim 245 x c) )1x2x3(lim 24 x d) )8x5x3(lim 24 x e) )2x3x5(lim 3 x f) )2x3x(lim 2 x g) 3xx 1xx3x2 lim 2 23 x h) 1x 1x2 lim 2 2 x i) 3x x3 lim 2x j) 3xx5x9 1x2x5x3 lim 23 23 x k) 2x 32x lim 5 2x l) 7x8x4 8x5x2 lim 5 23 x m) 7x 1x2x5 lim 23 x n) 33 2 x x)1x( 1xx lim o) )1x4)(1x3(x2 )2x3( lim 3 x p) 1x 1xx lim 2 x q) 1x 1xx lim 2 x r) 1x 5x3x2 lim 4 2 x s) )1x2x3x5(lim 23 x t) )1x2xx2(lim 245 x u) )1x2xx2(lim 245 x 3) 1. Calcule os seguintes limites trigonométricas a) x2 x3sen lim 0x b) xsen.x xcos1 lim 0x c) 20x x xsec1 lim d) x xsentgx lim 0x e) tgx1 xcosxsen lim 4 π x f) x asen)axsen( lim 0x g) x acos)axcos( lim 0x h) xπ 2 x sen1 lim πx i) 20x x3 x2cos1 lim j) x5tg x3tg lim 0x k) xsen x2senx3sen lim 0x l) x4sen x3cosx5cos lim 0x m) x3senx x2senx lim 0x n) x3sen x4sen lim 0x o) x3 x2tg lim 0x p) xsenx xsenx lim 0x q) xsenxcos x2cos lim 4 π x r) xsen xsentgx lim 20x s) x4 xsen lim 0x t) x4 xsen lim 0x u) x xcos1 lim 0x 25 4) Calcule os seguintes limites: a) xtg x lim 0 x b) 2xsen lim 0 xx c) xsenx 5 4xsen lim 0 d) 3 hsen lim 0 hh e) 2 2 0 cos-1 lim x x x f) 1 cos x- lim 2 2 0 xx g) xx cos1 senxx lim 0 Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1 g) 2 5) Calcule os seguintes limites: a) 2 n 1 1 lim n n b) n 3 1 lim n n c) x1 x lim x x d) x 5 1 lim 1 x x e) xsen xsen x 1 1 lim Resposta: a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 6) Calcule os limites abaixo: a) x 1 ln 2 x lim Fazer x+ 1 = u x+1 b) x 2 ln 3 x lim Fazer x+ 2 = u x+2 c) x x 0 2 1 lim x d) senx x 0 e 1 lim senx e) x 0 sen5x lim tg4x f) x 2 cos x lim x 2 g) 2 x 0 ln 1 x lim x h) 3 x 1 ln x lim x 1 i) cossec x x 0 lim 1+senx ( Fazer sen x = u) j) 2 x 0 1 cos x lim x k) 3 x 0 tgx senx lim x l) 1 x 4 x 4 1+x lim 5 m) x x x 0 10 1 lim 5 1 (dividir por x Num. e Den.) n) x x 2 lim 1+ x Resposta: a) 1 b) 1 c) 1/ e2log d) 1 e) 5/4 f) 1 g) 2 h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 1/ 5log n) e2 26 PROBLEMAS QUE SE TRADUZEM POR UM CÁLCULO DE LIMITES Usamos a palavra limite no nosso quotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. Exemplos: 1. Injectando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. 2. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta. 3. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. 4. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de 1 30 40)( x xP unidades monetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45. b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses. d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x )? Resposta: P(x) $ 40 quando x . 5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de milhares t tP 1 6 20)( . a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano? c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares. b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes. c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes. Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 27 ALGUMAS APLICAÇÕESDE LIMITES Área de um círculo Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir. Seja An a área do polígono Pn. Então, nTn AnA , onde nT A é a área do triângulo de base ln e altura hn, da figura a seguir. Como 2 nn T hl A n é o perímetro do polígono Pn é dado por nn lnp , vem: 22 nnnn n hphl nA Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n , o polígono Pn torna-se uma aproximação do círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo r2 e a altura hn aproxima-se do raio r. Nesta condição, temos, 2 2 2 lim r rr An n que á a área do círculo. 28 Velocidade Média e Velocidade Instantânea Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média: horakm decorridotempo percorridadistância vm /80 5,2 200 A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade constante num percurso tão longo. Lembremos o que é velocidade instantânea. Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na recta numérica, isto é, s(t) indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo ],[ ttt é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido. t tstts t s vm )()( A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média t s quando t tende para 0: t tstts t s tvv tt )()( limlim)( 00 Exemplo: 4) Seja ttts 103)( 2 a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4]. b) A velocidade instantânea no instante t = 2. Solução: a) Velocidade média: sm ss vm /28 2 56 2 20124048 2 )21023()41043( 24 )2()4( 22 29 b) A velocidade instantânea no instante t = 2. t tt t sss v tt )21023()2(10)2(3 lim )2()2( lim 22 00 smt t ttt tt /22]223[lim 2012102043)(343 lim 0 2 0 No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo: dt ds tv )( Que veremos no quarto resultado de aprendizagem “4 RA” Exercícios propostos 1) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. 2. Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura ambiente. Pergunta-se: a) Qual é o significado físico de ?)(lim 0 tf t b) Qual é o significado físico de ?)(lim tf t 30 RESULTADO DE APRENDIZAGEM 3:
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