Distribuição de Probabilidades

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Distribuição de probabilidades 
 
Em diversas situações, não estamos interessados exatamente no resultado de um 
experimento aleatório, mas nas probabilidades associadas a cada possível resultado. 
Nesses casos, tratamos do conceito de distribuição de probabilidades, como uma 
extensão do cálculo probabilístico, considerando os diversos resultados prováveis e 
analisando a probabilidade associada a casos específicos, em geral para tomada de 
decisão. 
 
De uma maneira geral, em situações genéricas, podemos sempre calcular ou estimar 
a probabilidade associada a cada um dos eventos possíveis e, com isso, estimar como 
essa probabilidade se comporta como função dos valores. O interessante, porém, é 
que muitas situações bastante comuns podem ser modeladas teoricamente, e as suas 
probabilidades podem ser calculadas sem que seja necessário realizar, efetivamente, 
experimentos que nos permitam calculá-las. 
 
Nesta unidade, veremos as distribuições de probabilidade, de uma maneira geral, e 
algumas dessas distribuições teóricas que são muito usadas na prática: a Binomial, a 
de Poisson e a Normal. 
 
 
Objetivo 
 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
• Compreender as aplicações das distribuições de probabilidades 
no escopo da inferência estatística. 
• Aplicar os conceitos e técnicas referentes à Distribuição Binomial 
e à Distribuição de Poisson no cálculo de probabilidade. 
• Aplicar os conceitos e técnicas referentes à Distribuição Normal 
no cálculo de probabilidade 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas: 
• Tema 1 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade 
• Tema 2 - Distribuição de probabilidade discreta: Binomial e 
Poisson 
• Tema 3 - Distribuição de probabilidade contínua: Normal 
 
 
Um dos temas fundamentais no estudo da Estatística são os estudos sobre as 
distribuições de probabilidades. Entre elas, a mais comumente usada é a Distribuição 
Normal, pois diversos fenômenos naturais e sociais apresentam comportamento 
bastante próximo a essa distribuição. Uma curiosidade interessante a respeito da 
 
distribuição normal é que seu gráfico, em formato de sino, costuma ser chamado de 
curva Gaussiana, e a própria distribuição também é referenciada como Distribuição 
Gaussiana, em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss. 
 
Ocorre que os desenvolvimentos teóricos relacionados à descoberta e uso da 
Distribuição Normal começaram muito antes. Há registros de que o matemático 
francês Abraham de Moivre a apresentou num artigo, cerca de quarenta anos antes de 
Gauss nascer! 
 
Gauss, sem dúvida, foi muito importante para o desenvolvimento teórico neste campo, 
tendo desenvolvido e utilizado a equação da curva normal em pesquisas em 
Astronomia. Porém, esse mérito parece ser mais um dos vários exemplos de uma lei 
formulada por Stephen Stigler, lá pelos idos dos anos 1980. Segundo essa lei, 
chamada de Lei de Stigler da Eponímia, “nenhuma descoberta científica é designada 
com o nome do seu fundador original”. 
 
Independentemente de julgamentos acerca da designação, o fato é que compreender 
os fundamentos teóricos a respeito da distribuição normal e aplicá-los nos contextos 
adequados é de extrema importância. 
 
Como tomar decisões apropriadas, com base na correta estimativa de 
probabilidades, em casos em que é possível modelar a situação considerando 
uma distribuição normal de probabilidades? Que casos seriam estes? 
 
 
 
http://www.famous-mathematicians.com/carl-friedrich-gauss/
https://famous-mathematicians.com/abraham-de-moivre/
 
Tema 1 
Variáveis aleatórias e distribuições de 
probabilidade 
 
Como podemos representar os resultados de um 
experimento aleatório e reuni-los numa representação? 
 
 
Em diversas situações práticas, não estamos interessados num resultado específico 
de um evento aleatório, mas nas probabilidades associadas a cada um dos resultados 
possíveis. 
 
Por exemplo, se considerarmos o lançamento de duas moedas (não viciadas), podem 
ocorrer os quatro resultados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Se considerarmos X a quantidade de caras obtidas nesses dois lançamentos, os 
valores possíveis para X são: 0, 1, ou 2. Ao associarmos esses valores aos eventos 
correspondentes, temos: 
 
Moeda 1 Moeda 2 Resultado 
cara cara (cara, cara) 
cara coroa (cara, coroa) 
coroa cara (coroa, cara) 
coroa coroa (coroa, coroa) 
https://player.vimeo.com/video/337804509?badge=0&autopause=0&player_id=0&app_id=58479
 
X Significado Evento correspondente Quantidade de resultados 
0 Nenhuma ocorrência de cara A1={(coroa,coroa)} 1 
1 Uma ocorrência de cara A2={(cara,coroa),(coroa,cara)} 2 
2 Duas ocorrências de cara A3={(cara,cara)} 1 
 
O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral, e 
costumamos denotá-lo por Ω. Desta maneira, Ω={A1∪A2∪A3 }. 
 
Note que cada evento pertencente a esse espaço amostral está associado a um único 
número real, representado por um valor de X. Desta maneira, dizemos que X é uma 
“variável aleatória”. 
 
Podemos associar a probabilidade de X assumir cada um dos valores possíveis às 
probabilidades dos eventos correspondentes. Assim, teremos: 
 
 
 
Colocando numa tabela, teremos: 
X P(X) 
0 0,25 
1 0,5 
2 0,25 
 
Com isso, associamos cada valor de X à sua probabilidade. Essa associação é 
chamada de “distribuição de probabilidade” da variável aleatória X. Sendo assim, uma 
distribuição de probabilidade descreve os possíveis valores da variável aleatória a ela 
relacionada, assim como suas probabilidades. 
 
Vamos rever e aprofundar alguns conceitos já vistos na unidade anterior. Como vimos, 
existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas. 
 
Variáveis aleatórias discretas 
 
Uma variável aleatória é classificada como “discreta” quando possui um conjunto 
enumerável (finito ou infinito) de valores possíveis. Como vimos anteriormente, no 
caso do lançamento de duas moedas, temos quatro possíveis valores para a variável 
aleatória X=quantidade de caras. Como o conjunto de valores possíveis é enumerável 
(e, neste caso, finito), X é uma variável discreta. 
 
Imaginemos, agora, que haja interesse em estudar a chegada de carros a uma praça 
de pedágio numa rodovia, num intervalo de uma hora. Sendo X = quantidade de 
carros que chegam em um intervalo de uma hora, essa variável aleatória pode assumir 
qualquer valor inteiro não negativo. Não sabemos, a priori, qual é o maior valor 
possível, mas podemos enumerar facilmente esse conjunto. 
 
Assim, a variável aleatória X, descrita desta maneira, é infinita, porém enumerável, 
logo, também é uma variável discreta. 
 
Variáveis aleatórias contínuas 
Por sua vez, uma variável aleatória é chamada de contínua quando o conjunto de 
valores possíveis é infinito, não enumerável. Por exemplo, se nos interessa estudar a 
performance de atletas olímpicos da modalidade de lançamento de dardos, a variável 
X = distância alcançada pelo dardo em um lançamento pode assumir uma infinidade 
de valores, e, por isso, dizemos que X é uma variável aleatória contínua. 
 
Para ilustrar essa diferença entre os dois tipos de variáveis aleatórias, vamos 
considerar uma pesquisa nos domicílios de uma região. Uma das perguntas poderia 
ser a respeito da idade do chefe da família, enquanto outra poderia ser relativa à renda 
familiar. Por mais que seja possível encontrar pessoas com mais de cem anos de 
idade, os valores possíveis para a primeira variável aleatória X=idade do chefe da 
família são enumeráveis. Por sua vez, os valores possíveis para a segunda variável 
aleatória Y=renda familiar são inúmeros, não enumeráveis, o que justifica que ela seja 
considerada contínua. 
 
 
 
Cálculo de probabilidades com variáveis aleatórias 
A partir do conhecimento da distribuição de probabilidades da variável aleatória 
analisada, é possível fazer cálculosde probabilidades. Esses cálculos são um pouco 
 
diferentes, caso a variável seja discreta ou contínua. Vamos começar com as 
variáveis discretas. 
 
 
Para complementar o conteúdo apresentado, sugerimos leitura do capítulo 3 
(pp. 32-36) do livro MONTGOMERY, Douglas. Estatística Aplicada e 
Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2021. ISBN 978-8-
521-63743-1. Disponível no acervo da Minha Biblioteca. 
 
Função de probabilidade – variáveis discretas 
Para explicarmos o conceito de função de probabilidade, considerando variáveis 
discretas, vamos usar um exemplo simples. 
 
Uma universidade fez uma pesquisa com alunos do primeiro período de um curso, na 
qual, entre outras informações, buscou saber a quantidade de disciplinas em que 
estavam matriculados. Sendo assim, teremos a variável aleatória discreta 
X=quantidade de disciplinas em que está matriculado. Após receber os formulários 
preenchidos, foi possível elaborar a seguinte tabela com os resultados, chamada de 
tabela de distribuição de frequências: 
 
X Frequência 
1 15 
2 20 
3 45 
4 50 
5 60 
Total 190 
 
Notamos que os valores possíveis da variável X são {0,1,2,3,4 e 5}, conforme 
observamos na primeira coluna da tabela. Na segunda coluna, temos a contagem da 
quantidade de vezes que cada valor ocorreu na pesquisa. 
 
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta é chamada de 
“função (massa) de probabilidade”. Nesse caso, podemos especificar a probabilidade 
de a variável X ser igual a um determinado valor x, que representamos por pX (x) ou 
P(X=x). Calculando para cada um dos valores possíveis da variável X, podemos 
construir a tabela de distribuição de probabilidades: 
 
 
 
X Frequência P(X = x) 
0 0 
 
1 15 
 
2 20 
 
3 45 
 
4 50 
 
5 60 
 
Total 190 1,00 
Clique na tabela para ver os cálculos feitos para se chegar aos valores da coluna P(X = x). 
Nessa tabela, a terceira coluna, também chamada de frequência relativa, é o resultado 
da divisão da frequência de cada valor pelo total de casos contados (190). Sendo 
assim, representa a probabilidade de que, sorteando-se um aluno qualquer que tenha 
respondido à pesquisa, sua resposta tenha sido cada um dos valores da variável X. 
 
Além da probabilidade associada a cada um dos valores da variável aleatória, também 
é possível calcular probabilidades para intervalos ou expressões lógicas que 
representem combinações dos eventos associados a cada valor de X. Por exemplo, se 
quisermos saber qual a probabilidade de sortearmos aleatoriamente um aluno que 
tenha se matriculado em menos de três disciplinas, isso corresponderia a: 
 
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)=0,08 + 0,11 = 0,19 
 
Poderíamos estar interessados em avaliar a probabilidade de sortear aleatoriamente 
um aluno que tenha se matriculado em mais de uma disciplina. Ou seja: 
 
P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 
P(X > 1) = 0,11 + 0,24 + 0,26 + 0,31 = 0,92 
 
Porém, poderíamos ter pensado que: 
 
P(X > 1) = 1-P(X ≤ 1) = 1-[P(X = 0) + P(X = 1)] = 1-0,08 = 0,92 
 
Que é o mesmo resultado encontrado anteriormente. 
 
Função densidade de probabilidade – variáveis contínuas 
 
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é chamada de 
“função densidade de probabilidade”. Como a quantidade de valores possíveis de uma 
variável aleatória contínua é infinita (ou, pelo menos, não enumerável), não faz sentido 
calcular a probabilidade de um valor específico. 
 
Sendo assim, no caso de variáveis aleatórias contínuas, calculamos a probabilidade 
de a variável X estar num intervalo, como acima de um valor a, representado por P(a < 
X), abaixo de um valor b, representado por P(X < b), ou entre os valores a e b, que 
representamos por P(a < X < b). Como não faz sentido calcular P(X = a) ou P(X = b), a 
probabilidade de X estar no intervalo entre a e b pode, também, ser expressa por P(a≤ 
X ≤b). 
 
Sendo b > a, teremos que P(X < b) = P(a < X) + P(a ≤ X ≤ b). Ou seja, a probabilidade 
de X ser menor que b é a soma da probabilidade de X ser maior que a somada à 
probabilidade de X estar no intervalo entre a e b. Resolvendo para a probabilidade de 
X estar no intervalo entre a e b, teremos: 
 
P(a≤ X ≤b) = P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) =P(X ≤ b) - P(X ≤ a) 
 
Chamamos a probabilidade de X ser menor ou igual a um determinado valor a de 
“função de distribuição acumulada” até a, e representamos por F(a). Assim, podemos 
reescrever a probabilidade de X estar no intervalo entre a e b: 
 
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a) 
 
Em termos matemáticos mais explícitos, dizemos que: 
 
 
 
 
 
Isso corresponde à área sob a curva da função densidade de probabilidade, conforme 
vemos na figura a seguir: 
 
 
Com a distribuição de probabilidade definida, podemos calcular algumas estatísticas 
de resumo, tais como a média e a variância. 
 
Média ou valor esperado 
A “média” (ou “valor esperado”, ou ainda “esperança” matemática) de uma variável 
aleatória X, denotada por E(X), é uma medida que dá uma ideia de qual valor de X que 
seria esperado, caso o experimento ao qual a variável está associada fosse repetido 
inúmeras vezes. 
 
Em termos matemáticos, para uma variável aleatória discreta, o valor esperado E(X) é 
a média ponderada de todos os possíveis valores de X com pesos iguais às 
respectivas probabilidades desses valores. 
 
 
Já para o caso de variáveis aleatórias contínuas, o valor esperado é calculado pela 
seguinte fórmula: 
 
Felizmente, as principais distribuições contínuas apresentam cálculos bem 
simplificados para o valor esperado. Assim, não precisamos ficar resolvendo integrais 
quando as utilizamos. 
 
Retomando o exemplo da pesquisa feita pela universidade com seus alunos do 
primeiro período, podemos calcular o valor esperado da variável X=quantidade de 
 
disciplinas em que está matriculado, com o auxílio de mais uma coluna na tabela de 
distribuição de probabilidades construída anteriormente. 
 
X Frequência P(X = x) x.P(X = x) 
0 0 0,00 0 . 0 = 0,00 
1 15 0,08 1 . 0,08 = 0,08 
2 20 0,11 2. 0,11 = 0,22 
3 45 0,24 3 . 0,24 = 0,72 
4 50 0,26 4 . 0,26 = 1,04 
5 60 0,31 5 . 0,31 = 1,55 
Total 190 1,00 3,61 
Clique na tabela para ver os cálculos feitos para se chegar aos valores da coluna x.P(X = x). 
Cada célula na quarta coluna dessa nova tabela corresponde à multiplicação do valor 
de X pela sua probabilidade P(X=x). Portanto, o valor de 3,61, correspondente à soma 
dos valores da quarta coluna, é exatamente o valor esperado da variável X. 
 
Vale observar que 3,61 é o valor esperado (ou seja, a média), da quantidade de 
disciplinas em que um aluno se matriculou, porém, esse nem é um valor possível para 
a variável X. Se sortearmos um aluno da amostra que respondeu à pesquisa, jamais 
encontraremos um que tenha sido matriculado em 3.61 disciplinas. No entanto, se 
sorteássemos muitos alunos e calculássemos a média da quantidade de disciplinas 
em que eles estavam matriculados, o valor obtido seria muito próximo a 3,61. 
 
Variância 
A “variância” de uma variável aleatória X é uma medida de sua dispersão estatística, e 
corresponde ao valor esperado do quadrado de quanto ela se afasta de seu valor 
esperado. O valor dado por X-E(X) corresponde ao desvio de X em relação a sua 
média. Logo, para calcular a variância, usamos as seguintes fórmulas: 
 
Var(X) = E [(X-E(X))2] = E (X2 ) - [E(X)]2 
 
Quando X é uma variável aleatória contínua, recorremos ao cálculo integral: 
 
 
Também no caso da variância, as principais distribuições contínuas apresentam 
cálculos bem simplificados, o que evita a necessidade de ficarmos resolvendo 
integrais quando as utilizamos. 
 
 
Novamente, voltando ao exemplo da pesquisa feita pela universidade, vamos incluir 
algumas colunas na tabela anterior para auxílio no cálculo da variância da quantidade 
de disciplinas em que os alunos se matricularam.X Frequência P(X=x) x.P(X=x) (x-E(X))2 (x-E(X))2.P(X=x) 
0 0 0,00 0,00 (0-3,61)2 =13,03 13,03 .0,00=0,00 
1 15 0,08 0,08 (1-3,61)2 =6,81 6,81 .0,08=0,54 
2 20 0,11 0,22 (2-3,61)2 =2,59 2,59 .0,11=0,29 
3 45 0,24 0,72 (3-3,61)2 0,37 0,37 .0,24=0,29 
4 50 0,26 1,04 (4-3,61)2 =0,15 0,15 .0,26=0,29 
5 60 0,31 1,55 (5-3,61)2 =1,93 1,93 .0,31=0,29 
Total 190 1,00 3,61 1,56 
 
Na quinta coluna dessa tabela, calculamos o quadrado da diferença entre cada valor 
assumido pela variável X e o valor esperado de X. Na sexta coluna, multiplicamos 
esse resultado pela probabilidade associada a cada um desses itens, que é 
exatamente a mesma probabilidade associada a cada valor de X. O valor de 1,56, 
correspondente à soma dos valores da sexta coluna é exatamente a variância da 
variável X. 
 
Vamos fazer um exercício para fixar os conceitos? 
 
 
Exercício 
 
Suponha que o gerente de uma revendedora de motores elétricos de alta 
potência tenha contratado você para ajudá-lo a analisar as vendas de sua 
equipe. Então, seguindo sua orientação, ele levantou os dados históricos 
de vendas e construiu uma tabela de frequências para a variável aleatória 
X=quantidade de motores vendidos por dia, como apresentado na tabela a 
seguir: 
 
 
 
Ele quer saber, primeiramente, o valor esperado e o desvio padrão das 
vendas por dia. Adicionalmente, ele gostaria de saber a probabilidade de 
que, num dia, sua equipe consiga vender exatamente quatro motores. 
Finalmente, ele também quer saber qual a probabilidade da equipe realize 
vendas de no máximo dois motores. 
 
Para responder ao gerente da loja que o contratou, você deve inicialmente 
elaborar a seguinte tabela: 
 
 
 
Com isso, concluir que o valor esperado da quantidade de vendas por dia é 
de 1,55 unidades, a variância é de 1,25 e o desvio padrão é de 
 =1,12 unidades. 
 
A probabilidade de que a equipe venda exatamente quatro motores em um 
dia corresponde ao valor calculado na terceira coluna desta tabela, para a 
linha correspondente ao valor X=4. Ou seja, P(X = 4) = 0,05. 
 
Para o último caso, devemos pensar que “vender no máximo dois motores” 
significa “vender um motor” ou “vender dois motores”. A probabilidade 
procurada, então, é a soma das probabilidades correspondentes às linhas 
de X=1 e X=2. Ou seja, P(X = 0 ou X=1 ou X=2) = P (X=0) + P(X=1) + 
P(X=2) = 0,20 + 0,30 + 0,30 =0,80. 
 
 
 
 
 
Tema 2 
Distribuição de probabilidade discreta: Binomial 
e Poisson 
 
Por que o profissional que necessita inferir as chances 
de ocorrência de um determinado fato investigado 
pertinente à sua área de conhecimento necessita dos 
conceitos e técnicas de cálculo probabilístico 
abordados na Distribuição Binomial e na Distribuição 
de Poisson? 
 
 
Vimos anteriormente o cálculo das probabilidades associadas a fenômenos que 
podem ser descritos por distribuições de probabilidade — discretas ou contínuas. Da 
maneira como abordamos o problema, tivemos uma visão bastante genérica dos 
conceitos e métodos. No entanto, o trabalho de análise é bastante extenso nos casos 
gerais. Felizmente, em várias situações de interesse prático, os fenômenos podem ser 
descritos — aproximada ou exatamente — por distribuições facilmente modeladas 
matematicamente. Abordaremos a seguir duas das principais distribuições discretas 
de probabilidade, que encontram vasta aplicação em diversos contextos: as 
distribuições Binomial e de Poisson. 
 
Distribuição Binomial 
Em muitas situações práticas, lidamos com fenômenos que apresentam duas 
possibilidades excludentes de resultados, cada qual com uma probabilidade 
associada. Certo/errado, preto/branco, verdadeiro/falso, doente/saudável, 
perfeito/defeituoso etc. 
 
Porém, não é incomum ser mais importante saber não apenas a probabilidade de 
ocorrência de um único resultado, mas de uma combinação de várias repetições do 
https://player.vimeo.com/video/337804723?badge=0&autopause=0&player_id=0&app_id=58479
 
fenômeno que leva a eles. Por exemplo, vamos imaginar que uma linha de produção 
seja capaz de gerar peças sem defeitos com 99% de probabilidade. Um possível 
problema de interesse para a área de controle de qualidade é estimar qual a 
quantidade de peças defeituosas que será encontrada em um lote com 1000 unidades. 
 
 
 
Com certeza, podemos afirmar que a quantidade de peças defeituosas vai estar entre 
zero e 1000. Contudo, qual a probabilidade de cada um desses valores possíveis? 
Qual o valor esperado da quantidade de peças defeituosas? Se o cliente recusar o lote 
de 1000 peças caso haja mais de dez peças defeituosas, será que a probabilidade de 
haver problemas é muito alta? 
Esse fenômeno é modelado perfeitamente pela Distribuição Binomial, e a variável 
aleatória discreta associada à situação descrita é X = quantidade de peças defeituosas 
em um lote de 1000 unidades. A propósito, a distribuição que modela o fenômeno 
descrito por “fabricar uma peça sem defeitos”, que está na base da situação analisada 
e cujos resultados possíveis são {sem defeito, com defeito}, é chamada de 
Distribuição de Bernoulli. 
 
 
Para aprofundar seu conhecimento acerca da Distribuição de Bernoulli, 
sugerimos leitura do capítulo 3 (pp. 169-180), ROSS, Sheldon. 
Probabilidade: um curso moderno com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 
2010. Disponível no acervo da Minha Biblioteca. 
 
Então, um fenômeno modelado pela Distribuição Binomial baseia-se em um outro 
fenômeno, “unitário”, para o qual existem dois possíveis resultados excludentes. Um 
deles, que será tratado como “sucesso”, com probabilidade p e o outro, “fracasso”, 
com probabilidade (1-p). Cada “unidade” do fenômeno base se repete por n vezes, de 
maneira independente. A variável aleatória do fenômeno de interesse é, então, a 
quantidade de vezes, dentre as n repetições do fenômeno base, em que o resultado 
correspondeu a “sucesso”. Representamos da seguinte maneira: 
 
X~Bin(n; p) 
 
Dizemos, então, que X tem Distribuição Binomial, com parâmetros n e p. 
 
Para compreendermos melhor as fórmulas da Distribuição Binomial, vamos imaginar 
uma situação não muito prática, mas bastante simples e de fácil compreensão. 
Jogamos um dado não viciado e, caso o resultado seja o número seis, ganhamos. 
Caso contrário, perdemos. Vamos repetir essa jogada por três vezes. 
Os possíveis resultados de cada jogada são {igual a seis,diferente de seis}, sendo que 
o resultado “igual a seis” corresponde ao “sucesso”. É fácil perceber que a 
probabilidade associada ao sucesso é , o que resulta 
em . 
 
 
 
Na tabela a seguir, listamos todas as possibilidades de combinações dos resultados 
das três jogadas do dado e contamos quantas vezes obtivemos “sucesso” em cada 
uma delas. 
 
 
Primeira 
jogada 
J1 
Segunda 
jogada 
J2 
Terceira jogada 
J3 
Resumo das 
jogadas 
Número 
de 
“sucessos” Frequência 
Igual a seis 
(1 face 
possível) 
Igual a seis (1 
face possível) 
Igual a seis (1 face 
possível) 
J1: 6 
J2: 6 
J3: 6 
3 1 
Diferente de seis (5 
faces possíveis) 
J1: 6 
J2: 6 
J3: 1, 2, 3, 4 ou 5 
2 5 
Diferente de 
seis (5 faces 
possíveis) 
Igual a seis (1 face 
possível) 
J1: 6 
J2: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J3: 6 
2 5 
Diferente de seis (5 
faces possíveis) 
J1: 6 
J2: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J3: 1, 2, 3, 4 ou 5 
1 25 
Diferente 
de seis (5 
faces 
possíveis) 
Igual a seis (1 
face possível) 
Igual a seis (1 face 
possível) 
J1: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J2: 6 
J3: 6 
2 5 
Diferente de seis (5 
faces possíveis) 
J1: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J2: 6 
J3: 1, 2, 3, 4 ou 5 
1 25 
Diferente de 
seis (5 faces 
possíveis) 
Igual a seis (1 face 
possível) 
J1: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J2: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J3: 6 
1 25 
Diferente de seis (5 
faces possíveis) 
J1: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J2: 1, 2, 3, 4 ou 5 
J3: 1, 2, 3, 4 ou 5 
0 125 
A primeira linha desta tabela correspondente à situação de conseguir 6 na primeira 
jogada, 6 na segunda e 6 na terceira, ou seja, obtermos 3 “sucessos”. Essacombinação ocorre apenas uma vez. Com isto, a frequência associada a ela é 1(última 
coluna). Já a segunda linha correspondente à situação de conseguir 6 na primeira 
jogada, 6 na segunda, mas não conseguir 6 na terceira, o que acontece quando se 
obtém os valores de 1 a 5. Nestes casos, temos 2 “sucessos” e percebemos que esta 
situação ocorre 5 vezes. Sendo assim, completamos a última coluna desta linha com o 
valor 5. Esse mesmo raciocínio vale para as demais linhas da tabela. 
 
Podemos resumir todos estes casos, somando as frequências associadas a cada valor 
possível para a quantidade de “sucessos” nestas diversas situações relacionadas 
acima. Com isto, criamos uma tabela de frequências, para a variável aleatória 
X=quantidade de vezes que saiu 6, apresentada a seguir: 
 
 
X Frequência P(X=x) 
0 125 
 
1 75 
 
2 15 
 
3 1 
 
 
Esse processo de contagem, apesar de ser fácil, é muito trabalhoso, principalmente 
quando temos muitas repetições. No entanto, podemos recorrer aos conhecimentos de 
teoria de probabilidade para chegarmos a uma fórmula geral para a Distribuição 
Binomial. 
A função de probabilidade da Distribuição Binomial é dada por: 
 
O termo indica a probabilidade de exatamente x sucessos ocorrerem nas n 
observações em uma determinada sequência de resultados. E o termo indica a 
quantidade de combinações existentes de x sucessos ocorrerem em sequências de n 
observações, que é calculado pela fórmula (o símbolo “!” significa fatorial 
de cada um dos números; o cálculo do fatorial foi visto em unidade anterior). Por isso, 
a probabilidade de x sucessos é dada pelo produto do número de todas as sequências 
possíveis multiplicado pela probabilidade de sucesso de uma determinada sequência. 
Para a Distribuição Binomial, temos 
 
 
 
Isso ocorre porque as variáveis X1,X2, ⋯ ,Xn~Be(p) e todas elas são independentes 
entre si. 
Vamos então comparar os resultados da aplicação da fórmula com aqueles que 
obtivemos anteriormente, pela contagem dos resultados possíveis. 
 
 
 
 
Como vemos, os resultados são exatamente os mesmos, como era de se esperar! 
 
O valor esperado, nessa situação, será: 
 
 
 
E a variância será: 
 
 
 
Para facilitar o entendimento do conteúdo apresentado, vamos ver um outro exercício. 
Exercício 
 
Numa fábrica, a probabilidade de o processo produtivo gerar uma peça 
defeituosa é de 5%. Qual a probabilidade de que, num lote de 100 peças, 
haja 5 peças defeituosas? 
 
É dado no enunciado que p=0,05, que corresponde à probabilidade de 
haver “sucesso”, definido, neste caso, por mais estranho que possa 
parecer, como “fabricar uma peça defeituosa” – pois a pergunta que 
queremos responder é sobre “peças defeituosas”. Logo, q=1-p=0,95. 
Como são lotes de 100 peças, temos n=100. Finalmente, como estamos 
interessados na probabilidade correspondente a 5 peças defeituosas, 
queremos saber P(X=5). 
 
Substituindo os valores na fórmula da binomial, temos: 
 
 
 
Ou seja, há uma probabilidade de 18% de que haja 5 peças defeituosas 
num lote de 100 peças. 
 
Teste com outros valores: compare este resultado, por exemplo, com a 
probabilidade de haver duas peças defeituosas. Talvez você se 
surpreenda com o fato de que a probabilidade de que haja cinco peças 
defeituosas num lote de 100 peças fabricadas é maior que a probabilidade 
de haver duas! Confira os cálculos! Veja que a probabilidade de haver 
duas peças defeituosas é de 8,1%. 
 
 
Distribuição de Poisson 
A Distribuição de Poisson é adequada para modelar fenômenos quando não estamos 
interessados exatamente na quantidade de sucessos em uma determinada quantidade 
de repetições, mas na frequência de sucessos, calculada pela quantidade de sucessos 
em um determinado intervalo de tempo ou distância. No caso, a ocorrência de novos 
sucessos é independente da quantidade de sucessos obtidos previamente. 
 
Essa distribuição tem como parâmetro apenas a frequência média de sucesso (λ) no 
intervalo de tempo considerado, e é representada da seguinte maneira: 
 
X~Poi(λ) 
 
A função de probabilidade da Distribuição de Poisson é dada por: 
 
 
 
Nessa fórmula, e é o número de Napier, ou número neperiano, cujo valor é 
aproximadamente 2,718. 
 
Para a Distribuição de Poisson, temos: 
 
E(X)=Var(X)=λ 
 
Por exemplo, vamos considerar que a fila da secretaria da universidade tenha, em 
média, 4 alunos a cada hora no horário de pico. Isso significa que, considerando que 
esse fenômeno seja descrito pela Distribuição de Poisson, λ=4. Sendo a variável 
aleatória X = quantidade de alunos por hora, podemos representar da seguinte 
maneira: 
 
X~Poi(4) 
 
Além disso, E(X)=Var(X)=4. 
 
 
Podemos calcular probabilidades associadas a essa distribuição. Por exemplo, a 
gerente responsável pela operação da secretaria poderia estar interessada em saber a 
probabilidade de não haver quaisquer alunos por hora na fila. Usando a fórmula 
apresentada, teremos: 
 
 
 
Esses cálculos podem ser muito facilitados com o uso de planilhas eletrônicas e 
calculadoras científicas. 
 
 
 
Tema 3 
Distribuição de probabilidade contínua: Normal 
 
Por que o profissional que necessita inferir as chances 
de ocorrência de um determinado fato investigado 
pertinente à sua área de conhecimento utiliza os 
conceitos e técnicas de cálculo probabilístico 
referentes à Distribuição Normal? 
 
 
 
Muitos fenômenos naturais e sociais podem ser descritos por meio de uma distribuição 
Normal de probabilidades. Além disso, um importante resultado teórico, enunciado 
como o Teorema Central do Limite, mostra que amostras retiradas de populações que 
apresentem quaisquer distribuições apresentam distribuições amostrais de 
probabilidade normais, desde que tenham um número suficientemente grande de 
elementos. Sendo assim, a distribuição Normal é uma das mais utilizadas em todas as 
aplicações práticas e teóricas da Estatística. 
 
Para definir completamente uma distribuição normal, são necessários dois parâmetros: 
a média e o desvio-padrão. É uma distribuição contínua, infinita para os dois lados, 
cujo gráfico tem formato de sino, simétrico ao redor da média e com uma largura que 
depende do desvio-padrão. 
 
https://player.vimeo.com/video/337804924?badge=0&autopause=0&player_id=0&app_id=58479
 
 
 
Representamos a variável X com distribuição normal da seguinte maneira: 
 
X~N(μ,σ2) 
 
Onde μ é a média e σ, o desvio-padrão. 
 
A função densidade de probabilidade da distribuição normal é dada por: 
 
 
 
Quando aumentamos o valor da média, deslocamos o gráfico para a direita. Se 
diminuirmos, o gráfico desloca-se para a esquerda. Quando o desvio-padrão é grande, 
a curva é larga, espalhada em torno da média, dando ao gráfico um formato 
“achatado”. Quando o desvio-padrão é pequeno, a largura da curva é pequena, e o 
gráfico tem um formato mais alto e magro. 
 
Podemos perceber isso na figura abaixo. As curvas A e B têm mesma média, porém o 
desvio-padrão de A é maior que o desvio-padrão de B, logo, a curva A é mais 
achatada que a curva B. As curvas B e C têm o mesmo desvio-padrão, então têm o 
mesmo formato. Porém, a média de C é superior à média de B, então a curva C está 
mais à direita. 
 
 
 
 
Como observamos no gráfico, os valores de X se estendem pelo intervalo (-∞,+∞), e a 
probabilidade associada a eles vai diminuindo conforme se afastam da média, de tal 
forma que é muito pequena (mas nunca igual a zero) quando os valores são extremos. 
Isso significa que é muito improvável encontrar valores muito distantes da média, tanto 
para direita quanto para esquerda. Na prática, nem sempre vamos encontrar situações 
em que o intervalo de valores da variável aleatória seja estritamente infinito em ambos 
os sentidos. Porém, pela característica explicada anteriormente, em muitas situações 
podemos considerar a Distribuição Normal uma boa aproximação para a faixa de 
valores observada.Para a Distribuição Normal, temos: 
 
E(X)=μ 
Var(X)=σ2 
 
Uma importante característica observada empiricamente na Distribuição Normal é a 
porcentagem da probabilidade total coberta em determinados intervalos medidos em 
quantidades de desvios-padrão em relação à média. 
 
• Cerca de 68,26% da probabilidade total está entre μ-σ e μ+σ. 
• Cerca de 95,44% da probabilidade total está entre μ-2σ e μ+2σ. 
• Cerca de 99,74% da probabilidade total está entre μ-3σ e μ+3σ. 
Sabemos que, para variáveis aleatórias contínuas, não podemos calcular a 
probabilidade associada a um valor específico, apenas probabilidades acumuladas. No 
caso da Normal, isso envolve cálculos pouco amigáveis. Uma das possibilidades para 
se lidar com isso é usar ferramentas computacionais. Outra é o uso de tabelas com os 
valores de probabilidade acumulada da distribuição. O problema é que não 
conseguimos criar tabelas com todos os valores para todas as combinações de média 
e desvio-padrão possíveis. A saída, neste caso, é o uso de uma distribuição normal 
padrão, e a tabulação das probabilidades acumuladas dessa distribuição, conforme 
descrito a seguir. 
 
Distribuição Normal Padrão 
A padronização da Normal é feita usando-se uma nova variável, chamada z-score, de 
tal forma que cada valor x da variável X está associado a um valor z da variável Z pela 
seguinte fórmula: 
 
 
Assim, a nova variável tem média zero e desvio-padrão 1. Dizemos, portanto, que: 
Z~N(0,12) 
 
Para compreendermos melhor o uso da Distribuição Normal e da Normal Padrão, 
vamos acompanhar um exemplo. 
 
Considere que as notas obtidas na disciplina de Estatística possam ser aproximadas 
por uma Distribuição Normal, com média μ=6,5 e desvio-padrão σ=1,5. Ou 
seja, X~N(6,5,1,52). O professor pretende dar parabéns para os alunos que tirarem 
uma nota igual ou superior a oito. Qual a probabilidade de um aluno receber parabéns 
do professor? 
Começamos calculando o z-score para o ponto de interesse (x=8): 
 
 
 
Traduzindo a situação-problema para linguagem estatística, queremos calcular: 
 
Vale lembrar que a tabela normal padronizada nos dá a probabilidade acumulada 
entreZ=0 e o valor Z procurado. Ou seja, ao consultarmos a Tabela da Distribuição 
Normal padronizada, encontramos P(0 ≤ Z ≤ z). Além disso, sabemos que a 
distribuição normal é simétrica em relação à média, e que, no caso da normal 
padronizada, temos que a média é zero. Logo, a probabilidade acumulada à direita da 
média é igual à probabilidade à esquerda. Numa linguagem estatística, podemos 
escrever: 
P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 0,5 
 
Porém, 
P(Z ≤ z) = P(Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ z) 
 
P(Z ≤ z) = 0,5 + P(0 ≤ Z ≤ z) 
 
Ou seja, para calcularmos P(Z ≤ z) usando uma tabela de distribuição normal 
padronizada devemos somar 0,5 ao valor encontrado. 
 
Além disso, devemos lembrar que a distribuição normal é simétrica. Logo, se no lugar 
de P(Z ≤ z) quisermos calcular P(Z ≥ z), vamos lembrar que: 
 
P(Z ≥ z) = 1 - P(Z ≤ z) 
Considerando o valor do exemplo, consultamos uma tabela da distribuição normal 
padronizada, e obtemos o valor: 
 
P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413 
Logo, concluímos que 
P(Z ≤ 1) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413 
 
Porém, como queremos calcular P(Z ≥ 1), teremos: 
 
 
 
 
A figura a seguir ilustra este raciocínio. A área azul riscada é o que obtemos 
consultando a tabela da distribuição normal padrão, correspondente à probabilidade 
acumulada entre zero e o z-score procurado. A área azul sem riscos é a probabilidade 
à esquerda da média e é igual a 0,5. As duas áreas azuis somadas nos dão a 
probabilidade acumulada até o ponto procurado. A área branca é a área que nos 
interessa, e igual a 1 menos a soma das duas áreas azuis. 
 
 
Considere agora que os alunos que tirarem menos de cinco serão chamados para 
fazer aulas de recuperação. Qual a porcentagem da turma que deve ir para 
recuperação? 
 
De novo, escrevendo em linguagem estatística, temos: 
 
 
 
Antes de prosseguirmos, tentando encontrar o valor deste z-score na tabela da 
distribuição normal padrão, devemos lembrar de uma propriedade fundamental da 
distribuição normal: como ela é simétrica, P(Z ≤ - 1) = P(Z ≥ 1). Como calculamos 
anteriormente P(Z ≥ 1), o resultado que desejamos agora é imediato: 
P(X ≤ 5) = P(Z ≤ -1) = P(Z ≥ 1) = P(X ≥ 8) = 0,1587 
 
Ou seja, espera-se que 15,87% da turma seja encaminhada para recuperação. 
 
A figura abaixo ilustra este raciocínio. A área azul à esquerda de X=5 (que 
corresponde a Z=-1) é a probabilidade que queremos calcular, e, por simetria, ela é 
igual à área azul à direita de X=8 (que corresponde a Z=1). 
 
 
 
 
 
Vamos considerar ainda que o professor vai oferecer aos alunos que tirarem entre 
cinco e seis a possibilidade de também frequentarem as aulas de recuperação. A que 
porcentagem da turma deverá ser oferecida esta alternativa? 
 
Para resolver esta situação, devemos pensar no seguinte: como a nota cinco é menor 
que a nota seis, a probabilidade de que a nota do aluno seja menor que seis engloba a 
probabilidade de ela ser menor que cinco, o que não serve para o nosso cálculo. 
Então, a probabilidade que estamos procurando encontrar é a da nota ser menor que 
seis, mas temos que tirar deste valor a probabilidade dela ser menor que cinco. Ou 
seja, escrevendo em linguagem estatística, podemos resumir este raciocínio com a 
seguinte expressão: 
 
P(5 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) - P(X ≤ 5) 
 
Vamos colocar os z-scores na expressão acima, para calcularmos a probabilidade 
desejada. 
 
 
=P(Z ≤ - 0,5) - P(Z ≤ -1) 
 
Na tabela de distribuição normal padronizada, temos probabilidades para z-scores 
positivos. Portanto, devemos lembrar da propriedade de simetria da distribuição 
normal: 
 
P(Z ≤ -z) = P(Z ≥ z) 
 
Além disso, como vimos no primeiro exemplo, P(Z ≥ z) = 1 - P(Z ≤ z). Logo, 
 
P(Z ≤ -z) = (Z ≥ z) = 1 - P(Z ≤ z) 
 
 
Lembrando que a tabela de distribuição normal padronizada nos dá o valor da 
probabilidade acumulada P(0 ≤ Z ≤ z) e que para encontrarmos P(Z ≤ z) usando a 
tabela devemos usar que P(Z ≤ z) = 0,5 + P(0 ≤ Z ≤ z), teremos: 
 
P(Z ≤ -z) = (Z ≥ z) = 1 - P(Z ≤ z) = 1-(0,5 + P(0 ≤ Z ≤ z)) 
P(Z ≤ -z) = (Z ≥ z) = 0,5 - P(0 ≤ Z ≤ z) 
 
Isto nos dá um método genérico para calcular probabilidades, usando a tabela de 
distribuição normal padronizada. Chamando de PT o valor encontrado na tabela: 
 
Quando o z-score é positivo: 
 
Para encontrar P(Z ≤ zpos): 
Usamos o próprio valor de z para procurar na tabela o valor PT correspondente, e 
somamos 0,5 
P(Z ≥ zpos) = 0,5 - PT 
Para encontrar P(Z ≥ zpos ): 
Usamos o próprio valor de z para procurar na tabela o valor PT correspondente, e 
subtraímos de 0,5 
P(Z ≥ zpos ) = 0,5 - PT 
 
Quando o z-score é negativo: 
 
Para encontrar P(Z ≤ zneg): 
 
Usamos o valor absoluto de z (ou seja, tiramos o sinal) para procurar na tabela o valor 
PT correspondente, e subtraímos de 0,5 
 
P(Z ≤ zneg) = 0,5 - PT 
 
Para encontrar P(Z ≥ zneg): 
 
Usamos o valor absoluto de z (ou seja, tiramos o sinal) para procurar na tabela o valor 
PT correspondente, e somamos 0,5 
 
P(Z ≥ zneg) = 0,5 + PT 
 
Resolvendo a situação proposta, vamos, então, ter o seguinte: 
 
P(5 ≤ X ≤ 6) = P(Z ≤ -0,5) -P(Z ≤ -1) 
 
Consultamos a tabela normal padronizada para os valores z=0,5 e z=1, obtendo, 
respectivamente, 0,1915 e 0,3413. Como os z-scores que estamos testando são 
negativos, vamos ter: 
 
P(Z ≤ -0,5) = 0,5 - 0,1915 = 0,3085 
P(Z ≤ -1) = 0,5 - 0,3413 = 0,1587 
 
 
O que vai resultar em: 
 
P(5 ≤ X ≤ 6) = 0,3085 - 0,1587 = 0,1498 
 
Ou seja, espera-se que 14,98% da turma seja convidada a fazer a recuperação. 
 
Vamos aplicar estes conhecimentos, mostrando outro exemplo que ilustra o uso da 
distribuição Normal. 
 
Considere uma distribuição normal, com média 1.000 e desvio padrão 40. Calcule: 
 
a) P(X ≥ 1.060) 
b) P(X ≤ 960) 
c) P(976 ≤ X ≤ 1.016) 
Vamos começar a solução calculando osz-scores de cada item. 
 
 
 
No primeiro caso, temos P(X ≥ 1.060) = P(Z ≥ 1,5). Como o z-score é positivo, usamos 
seu próprio valor para procurar a probabilidade correspondente na tabela de 
distribuição normal padronizada, encontrando PT=0,4332. Para calcular P(Z ≥ 1), 
então, vamos fazer: 
 
P(X ≥ 1.060) = P(Z ≥ 1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0662 
 
No segundo caso, temos P(X ≤ 960) = P(Z ≤ -1). Como o z-score, neste caso, é 
negativo, usamos seu valor absoluto (ou seja, z=1) para procurar a probabilidade 
correspondente na tabela de distribuição normal padronizada, encontrando 
 PT= 0,3413. Para calcular P(Z ≥ 1), então, vamos fazer: 
 
P(X ≤ 960) = P(Z ≤ -1) = 0,5 - 0,3413 = 0,1587 
 
No terceiro caso, temos 
 
P(976 ≤ X ≤ 1.016) = P(-0,6 ≤ Z ≤ 0,4) = P(Z ≤ 0,4) - P(Z ≤ -0,6) 
 
 
Como o primeiro z-score é positivo, usamos seu próprio valor para procurar a 
probabilidade correspondente na tabela de distribuição normal padronizada, 
encontrando PT=0,1554. Para calcular P(Z ≤ 0,4), então, vamos fazer: 
 
P(Z ≤ 0,4) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 
 
segundo z-score é negativo, então vamos usar seu valor absoluto (ou seja, z = -0,6) 
para procurar a probabilidade correspondente na tabela de distribuição normal 
padronizada, encontrando PT=0,2257. Para calcular P(Z ≥ -0,6), então, vamos fazer: 
 
P(Z ≤ -0,6) = 0,5 - 0,2257 = 0,2743 
 
Com isso, 
 
P(976 ≤ X ≤ 1.016) = 0,6554 - 0,2743 = 0,3811 
 
 
 
 
 
 
Encerramento 
 
Como podemos representar os resultados de um 
experimento aleatório e reuni-los numa representação? 
 
Por meio da variável aleatória que está associada aos possíveis resultados, cujas 
chances de ocorrência são representadas por uma função denominada distribuição de 
probabilidades 
 
Por que o profissional que necessita inferir as chances 
de ocorrência de um determinado fato investigado 
pertinente à sua área de conhecimento necessita dos 
conceitos e técnicas de cálculo probabilístico 
abordados na Distribuição Binomial e na Distribuição 
de Poisson? 
 
Porque os modelos probabilísticos permitem a esse profissional lidar com 
circunstâncias práticas muito comuns, e são divididos em dois tipos. O primeiro 
consiste nos casos em que os resultados pertencem a duas categorias relevantes, tais 
como aceitável/não aceitável ou boa/defeituosa, por exemplo. Nesse caso, trata-se da 
Distribuição Binomial. O outro contempla as situações em que se verifica a ocorrência 
de fatos ao longo de intervalos especificados de tempo ou distância, por exemplo. 
Nesses casos, considera-se a Distribuição de Poisson. 
 
Por que o profissional que necessita inferir as chances 
de ocorrência de um determinado fato investigado 
pertinente à sua área de conhecimento utiliza os 
conceitos e técnicas de cálculo probabilístico 
referentes à Distribuição Normal? 
 
Porque a Distribuição Normal consiste na distribuição contínua de probabilidades mais 
comumente utilizada em situações de cunho prático inerentes a diversas áreas de 
formação profissional. 
 
 
 
Resumo da Unidade 
 
Nesta unidade, abordamos as distribuições de probabilidade. Iniciamos 
apresentando o conceito de maneira genérica, apontando para a utilização das 
tabelas de frequências, que são a base para a construção das tabelas de 
distribuição de probabilidade. Com elas, calculamos probabilidades associadas a 
eventos. Além disso, identificamos que há variáveis aleatórias discretas e 
contínuas, e definimos algumas das principais distribuições de probabilidade. No 
caso das distribuições discretas, abordamos a Distribuição Binomial e a de 
Poisson, enquanto que, no caso das contínuas, falamos sobre a Distribuição 
Normal. Definimos e caracterizamos cada uma delas, apresentando exemplos 
típicos de sua utilização e abordando o método geral para cálculo de 
probabilidades em cada caso. 
 
 
Para aprofundar e aprimorar os seus conhecimentos sobre os assuntos 
abordados nessa unidade, não deixe de consultar as referências 
bibliográficas básicas e complementares disponíveis no plano de ensino 
publicado na página inicial da disciplina.