Equações Modulares questões resolvidas

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<p>Equações modulares: questões resolvidas</p><p>Prof. Edilson Machado</p><p>Setembro de 2024</p><p>Definição 1. Para x ∈ R, o módulo de x, denotado por |x|, é definido por:</p><p>|x| =</p><p>{</p><p>−x, se x ≤ 0,</p><p>x, se x > 0.</p><p>Exemplos:</p><p>Exemplo 1. Resolva a equação:</p><p>|x+ 1|+ |x− 2|+ |x− 5| = 7</p><p>Solução Os pontos cŕıticos desta equação modular são −1, 2 e 5.</p><p>Para x < −1:</p><p>|x+ 1| = −(x+ 1) = −x− 1</p><p>|x− 2| = −(x− 2) = −x+ 2</p><p>|x− 5| = −(x− 5) = −x+ 5</p><p>|x+ 1|+ |x− 2|+ |x− 5| = 7</p><p>−x− 1− x+ 2− x+ 5 = 7 =⇒ −3x+ 6 = 7 =⇒ −3x = 1 =⇒ x = −1</p><p>3</p><p>Como −1</p><p>3 > −1 a equação não possui solução neste intervalo.</p><p>Para 1 ≤ x < 2:</p><p>|x+ 1| = x+ 1</p><p>|x− 2| = −(x− 2) = −x+ 2</p><p>|x− 5| = −(x− 5) = −x+ 5</p><p>|x+ 1|+ |−x− 2|+ |−x+ 5| = 7</p><p>x+ 1− x+ 2− x+ 5 = 7 =⇒ −x+ 8 = 7 =⇒ −x = −1 =⇒ x = 1</p><p>Como 1 /∈ [1, 2) a equação possui solução x = 1 neste intervalo.</p><p>Para 2 ≤ x < 5:</p><p>|x+ 1| = x+ 1</p><p>|x− 2| = x− 2</p><p>|x− 5| = −(x− 5) = −x+ 5</p><p>1</p><p>|x+ 1|+ |x+ 2|+ |−x− 5| = 7</p><p>x+ 1 + x− 2− x+ 5 = 7 =⇒ x+ 4 = 7 =⇒ x = 3</p><p>Como 3 ∈ (2, 5] a equação possui a solução x = 3 neste intervalo.</p><p>Para x ≥ 5:</p><p>|x+ 1| = x+ 1</p><p>|x− 2| = x− 2</p><p>|x− 5| == x− 5</p><p>|x+ 1|+ |x− 2|+ |x− 5| = 7</p><p>x+ 1 + x− 2 + x− 5 = 7 =⇒ 3x− 6 = 7 =⇒ 3x = 13 =⇒ x =</p><p>13</p><p>3</p><p>Como −13</p><p>3 < 5 a equação não possui solução neste intervalo.</p><p>Logo, o conjundo solução da equação é S = {1, 3}</p><p>Exemplo 2. Para x ∈ R esolva a equação:</p><p>x2 + 5 |x− 1|+ 11 = 0</p><p>Solução</p><p>Se x− 1 ≤ 0, |x− 1| = −x+ 1</p><p>x2 + 5 |x− 1|+ 11 = x2 − 5x+ 5 + 11 = x2 − 5x+ 16</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>x =</p><p>5±</p><p>√</p><p>25− 64</p><p>2× 1</p><p>x =</p><p>5±</p><p>√</p><p>−39</p><p>2</p><p>Como</p><p>√</p><p>−39 /∈ R a equação não possui solução neste intervalo.</p><p>Se x− 1 > 0 =⇒ x > 1, |x− 1| = x− 1</p><p>x2 + 5 |x− 1|+ 11 = x2 + 5x+ 6 = 0</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>x =</p><p>−5±</p><p>√</p><p>25− 24</p><p>2× 1</p><p>x =</p><p>−5±</p><p>√</p><p>1</p><p>2</p><p>x1 =</p><p>−5 + 1</p><p>2</p><p>=</p><p>−4</p><p>2</p><p>= −2</p><p>x2 =</p><p>−5− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>−6</p><p>2</p><p>= −3</p><p>Como estas raizes não são maiores que 1, esta equação não possui solução real.</p><p>2</p><p>Exemplo 3. Para x ∈ R esolva a equação:∣∣x2 − 3x</p><p>∣∣ = x− 1</p><p>Solução</p><p>Primeiramente vamos estudar os sinais da equação x2− 3x = 0, isro é, em quais</p><p>intervalos ela é positiva ou negativa.</p><p>x2 − 3x = 0 =⇒ x(x− 3) = 0 =⇒ x1 = 0 ou x2 = 3</p><p>Como a = 1 > 0 seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima.</p><p>Tal que:</p><p>x ≤ 0 ou x > 3 =⇒ x2 − 3x ≥ 0</p><p>Então: ∣∣x2 − 3x</p><p>∣∣ = x2 − 3x</p><p>A equação neste caso é:</p><p>x2 − 3x = x− 1 =⇒ x2 − 4x+ 1 = 0</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>x =</p><p>4±</p><p>√</p><p>16− 4</p><p>2× 1</p><p>x =</p><p>4±</p><p>√</p><p>12</p><p>2</p><p>x1 =</p><p>4 + 2</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>= 2 +</p><p>√</p><p>3</p><p>x2 =</p><p>4− 2</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>= 2−</p><p>√</p><p>3</p><p>A raiz x1 = 2 +</p><p>√</p><p>3 > 3 ela é nossa primeira raiz.</p><p>Para 0 < x ≤ 3 =⇒ x2 − 3x ≤ 0 =⇒ x2 − 3x = −x2 + 3x.</p><p>A equação neste caso é:</p><p>−x2 + 3x = x− 1 =⇒ x2 − 2x− 1 = 0</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>x =</p><p>2±</p><p>√</p><p>4 + 4</p><p>2× 1</p><p>x =</p><p>2±</p><p>√</p><p>8</p><p>2</p><p>x1 =</p><p>2 + 2</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>= 1 +</p><p>√</p><p>2</p><p>3</p><p>x2 =</p><p>2 + 2</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>= 1−</p><p>√</p><p>2</p><p>Apenas a raiz x2 = 1 +</p><p>√</p><p>2 pertence ao intervalo (0, 3]. Esta é nossa segunda</p><p>solução.</p><p>A equação dada tem como conjunto solução: S =</p><p>{</p><p>1 +</p><p>√</p><p>2 , 2 +</p><p>√</p><p>3</p><p>}</p><p>.</p><p>Exerćıcios:</p><p>Exerćıcio 1. Para x ∈ R resolva a equação x+</p><p>∣∣ 5</p><p>x+1 − 3</p><p>∣∣ = 6</p><p>Exerćıcio 2. Para x ∈ R resolva a equação x | x |+ 4x+ 3 = 0</p><p>Exerćıcio 3. Para x ∈ R resolva a equação | x | = x− 6</p><p>Exerćıcio 4. Para x ∈ R resolva a equação | x+ 1 |+ | x− 2 |+ | x− 5 | = 4</p><p>Exerćıcio 5. Resolva para x ∈ R− {0, 1} a equação:</p><p>| x |</p><p>x</p><p>=</p><p>| x− 1 |</p><p>x− 1</p><p>4</p>