Por que a Teoria de Galois explica a não resolubilidade por radicais?

A Teoria de Galois explica a não resolubilidade por radicais ao relacionar as soluções de uma equação polinomial com a estrutura do grupo de simetrias das suas raízes. Quando um polinômio não é resolúvel por radicais, isso significa que não existe uma combinação de operações aritméticas e extração de raízes que possa expressar suas raízes. Galois mostrou que, se o grupo de Galois associado a um polinômio é um grupo não resolúvel (ou seja, não pode ser decomposto em subgrupos normais), então o polinômio não pode ser resolvido por radicais. Um exemplo clássico é o polinômio de quinto grau, que, em geral, não possui soluções expressáveis por radicais. Assim, a Teoria de Galois fornece uma conexão profunda entre a álgebra e a teoria dos grupos, explicando a estrutura das soluções de polinômios.