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Universidade Federal de Goia´s Instituto de Informa´tica Sistemas de Informac¸a˜o Lista 2 - Te´cnicas de Demonstrac¸o˜es 1. Prove que para x um inteiro. Enta˜o, x e´ par se e somente se x+1 e´ ı´mpar. 2. Demonstre que se n e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o n e´ ı´mpar se e somente se 5n+ 6 for ı´mpar. 3. Use uma demonstrac¸a˜o por contraposic¸a˜o para demonstrar que se n e´ um nu´mero inteiro e 3n+ 2 e´ par, enta˜o n e´ par. 4. Mostre que se n e´ um nu´mero inteiro par, enta˜o n2 e´ um nu´mero inteiro par. 5. Demonstre que se m+ n e n+ p sa˜o nu´meros inteiros pares, em que m,n e p sa˜o nu´meros inteiros, enta˜o m + p e´ par. Que tipo de demonstrac¸a˜o voceˆ utilizou? 6. Mostre que se n e´ um nu´mero inteiro e n3+5 e´ ı´mpar, enta˜o n e´ par. Que tipo de demonstrac¸a˜o voceˆ utilizou? 7. Sejam a, b, c e d nu´meros inteiros. Prove que se a|b, b|c e c|d, enta˜o a|d. 8. Sejam a, b e c nu´meros inteiros. Prove que se a|b e b|c, enta˜o a|c. 9. Demonstre que se m e n sa˜o nu´meros inteiros e mn e´ par, enta˜o m e´ par ou n e´ par. 10. Prove, por contradic¸a˜o, que inteiros consecutivos na˜o podem ser ambos pares. 11. Prove, por contradic¸a˜o, que inteiros consecutivos na˜o podem ser ambos ı´mpares. 12. Refute: Se a e b, com a|b, enta˜o a ≤ b. 13. Prove que se n e´ um inteiro e n3 + 5 e´ ı´mpar, enta˜o n e´ par. 14. Refute: Se a, b e c sa˜o inteiros positivos com a|(bc), enta˜o a|b ou a|c. 15. Demonstre que se n e´ um nu´mero inteiro e 3n+ 2 e´ par, enta˜o n e´ par. 16. Se n e´ um inteiro positivo, enta˜o n e´ ı´mpar se e somente se n2 e´ ı´mpar. 17. Demonstre ou refute que o produto de dois nu´meros irracionais e´ irra- cional. 1
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