Tema 10 Fluxo de Caixa Financeiro e Juros - LIVRO MAT FINANCEIRA

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<p>Matemática</p><p>Financeira</p><p>Adriana Claudia Schmidt</p><p>Simbologia</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p> Identificar o fluxo de caixa.</p><p> Descrever a terminologia utilizada na matemática financeira.</p><p> Diferenciar os regimes de capitalização.</p><p>Introdução</p><p>Entender um fluxo de caixa, as simbologias utilizadas na matemática e</p><p>saber diferenciar entre capitalização simples e composta é extremamente</p><p>importante para o bom desempenho em várias atividades relacionadas</p><p>a cálculos financeiros.</p><p>Neste capítulo, você entenderá as diversas aplicabilidades da mate-</p><p>mática financeira, uma área da matemática que trabalha e desenvolve</p><p>assuntos relacionados diretamente com o dia a dia do administrador,</p><p>empreendedor, contador e demais profissionais. Por fim, relacionará con-</p><p>ceitos importantes dentro da matemática financeira e suas aplicabilidades.</p><p>Convenções básicas do fluxo de caixa</p><p>Para representar um fl uxo de caixa utiliza-se uma linha horizontal, que re-</p><p>presenta o tempo, com fl echas voltadas para cima e para baixo, em que as</p><p>fl echas voltadas para cima representam entradas, e as fl echas voltadas para</p><p>baixo, as saídas. Para Puccini e Puccini (2006, p. 1), “[...] denomina-se fl uxo de</p><p>caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo.</p><p>Podemos ter fl uxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de</p><p>operações fi nanceiras, etc.”. A Figura 1, a seguir, traz a representação de um</p><p>diagrama de fl uxo de caixa.</p><p>Figura 1. Representação de um fluxo de caixa.</p><p>Diversas situações que envolvem juros, capitais, montantes e rendas certas</p><p>(antecipadas, postecipadas e diferidas) têm uma resolução facilitada, desen-</p><p>volvendo um melhor entendimento por meio das representações por diagrama</p><p>de fluxo de caixa.</p><p>Os diagramas a seguir demonstram as diferentes situações de fluxos de</p><p>caixa, e os dois próximos exemplos correspondem a problemas que relacionam</p><p>capitais e montantes.</p><p>Tânia faz um investimento no valor de R$ 80.000,00. Após 5 meses, Tânia recebeu R$</p><p>100.000,00. O diagrama a seguir representa essa situação.</p><p>Simbologia2</p><p>O diagrama a seguir representa o empréstimo que Ana Maria adquiriu, no valor de R$</p><p>35.000,00, pelo qual terá de pagar R$ 50.000,00 após 6 meses.</p><p>O diagrama do exemplo a seguir descreve um capital com uma série de</p><p>termos de uma renda.</p><p>Carlos decide investir R$ 40.000,00 em novos produtos para a sua empresa, sendo</p><p>que este valor irá retornar em duas parcelas bimestrais de R$ 22.000,00, vencendo a</p><p>primeira após 4 meses do investimento. O diagrama a seguir representa essa situação.</p><p>Por meio das exemplificações dadas anteriormente, é possível afirmar que</p><p>um fluxo de caixa é a movimentação de recursos financeiros por determinado</p><p>período de tempo, ou seja, nada mais é do que a entrada e a saída de dinheiro.</p><p>Pode-se concluir também que o fluxo de caixa é a representação gráfica das</p><p>transações financeiras em um determinado espaço de tempo.</p><p>3Simbologia</p><p>Por meio do diagrama de um fluxo de caixa, é possível fazer análises e previsões de</p><p>investimentos, além de auxiliar nas tomadas de decisões.</p><p>Terminologias e suas aplicações</p><p>Dentro da matemática fi nanceira, muitos símbolos são utilizados, e é necessário</p><p>que você os reconheça. Neste capítulo, você identifi cará os principais símbolos,</p><p>abreviaturas e conceitos importantes da área fi nanceira.</p><p>Primeiramente, é preciso entender que, quando se fala em capitalização</p><p>simples e composta, fala-se de juros simples e compostos, e ambos utilizam</p><p>a mesma terminologia para capital, montante, juros, taxas de juros, período</p><p>de tempo, entre outros.</p><p>A porcentagem tem um importante papel na matemática financeira, pois,</p><p>quando se trabalha com aplicação de fórmulas, é preciso trabalhar com a forma</p><p>decimal do número, diferentemente de quando se calcula com a calculadora</p><p>HP 12c, em que se introduz o número na forma percentual. É preciso ter</p><p>cuidado com o símbolo % (lê-se por cento), uma vez que ele representa uma</p><p>divisão por 100, ou seja, 4% corresponde a (taxa centesimal), que também</p><p>é o mesmo que 0,04 (taxa decimal ou unitária). O conceito de porcentagem é</p><p>extremamente importante para a aplicação nas taxas de juros.</p><p>Conforme Assaf Neto (2012, p. 2), “[...] a transformação da taxa percentual</p><p>em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual</p><p>por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por</p><p>100”. Desse modo, para transformar uma taxa percentual em unitária, basta</p><p>dividir o número por 100, ao passo que para transformar uma taxa decimal</p><p>em percentual, basta multiplicá-la por 100.</p><p>Taxa de juros</p><p>A taxa de juros tem uma importante função nas capitalizações simples e</p><p>compostas. De acordo com Assaf Neto (2012, p. 1), “[...] a taxa de juro é o</p><p>coefi ciente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital</p><p>utilizado durante certo tempo”.</p><p>Simbologia4</p><p>Outro cuidado que é preciso ter com as taxas de juros é com a determina-</p><p>ção conforme a unidade de tempo, que vem sempre definida com a seguinte</p><p>terminologia:</p><p> a.a. – ao ano;</p><p> a.m. – ao mês;</p><p> a.d. – ao dia;</p><p> a.b. – ao bimestre;</p><p> a.t. – ao trimestre;</p><p> a.q. – ao quadrimestre;</p><p> a.s. – ao semestre;</p><p> a.p. – ao período.</p><p>As mais usuais são ao mês e ao ano, e a terminologia “ao período” refere-se</p><p>a um período que não corresponde ao mês ou ao ano, mas sim a um tempo</p><p>não inteiro, como, por exemplo, ao período de 23 dias. É fundamental que</p><p>a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. Por exemplo, se a taxa estiver</p><p>ao mês, o tempo terá de ser mensal, se a taxa estiver ao ano, o tempo terá de</p><p>ser anual, e assim sucessivamente. Se não estiverem na mesma unidade de</p><p>tempo, você deverá transformar uma das unidades, deixando-as equivalentes.</p><p>A taxa de juros é representada pela letra “i”. Ao substituí-la em alguma</p><p>fórmula, utilize sempre a taxa unitária (centesimal), ou seja, se i = 2,5% a.s.,</p><p>na fórmula você utilizará 0,025 (2,5 ÷ 100).</p><p>Veja alguns exemplos de transformações de taxas.</p><p>1. Transforme as taxas percentuais em unitárias:</p><p>■ 22% = 22 ÷ 100 = 0,22</p><p>■ 15,3% = 15,3 ÷ 100 = 0,153</p><p>■ 0,8% = 0,8 ÷ 100 = 0,008</p><p>2. Escreva as taxas percentuais correspondentes a:</p><p>■ 0,6 = 0,6 × 100 = 60%</p><p>■ 3,31 = 3,31 × 100 = 331%</p><p>■ 4 = 4 × 100 = 400%</p><p>5Simbologia</p><p>Tempo</p><p>O tempo é o período de capitalização dos juros. Pode ser expresso em dias,</p><p>meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres e anos. Lembre-se de</p><p>que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa de juros; se não estiver,</p><p>você terá de transformá-lo. O tempo pode ser representado pela letra “n”</p><p>minúscula, que representa o número de períodos, ou “t”. É viável que você</p><p>utilize a letra n, pois é a tecla correspondente ao tempo na máquina HP 12c.</p><p>Veja os exemplos a seguir.</p><p>a) Um ano e meio corresponde a quantos meses? Dezoito meses.</p><p>b) Dois trimestres correspondem a quantos quadrimestres? Um quadrimestre e meio (1,5).</p><p>c) Seis meses correspondem a quantos bimestres? Três bimestres (pois cada bimestre</p><p>tem 2 meses).</p><p>Capital</p><p>Capital, valor principal, valor atual ou valor presente signifi cam a mesma</p><p>coisa, ou seja, é o valor que você tem hoje, o valor que quer aplicar, investir.</p><p>Segundo Veras (2005, p. 53), “[...] qualquer quantidade de dinheiro, que esteja</p><p>disponível em certa data, para ser aplicado numa operação fi nanceira, recebe</p><p>o nome de capital, valor atual ou valor presente”. Em geral, é representado</p><p>pela letra C, P ou PV. Neste capítulo, utilizaremos o PV, pois é a simbologia</p><p>mais comum em cursos de graduação, por ser a mesma terminologia utilizada</p><p>nas máquinas fi nanceiras, como na HP 12c (Figura 2).</p><p>Figura 2. Imagem da máquina HP 12c.</p><p>Simbologia6</p><p>Juros</p><p>O juro é a remuneração em relação ao capital aplicado, ou seja, se você investir</p><p>certo valor durante um determinado tempo, receberá juros correspondente</p><p>a esse valor. O juro também pode ser o valor que você pagará em relação a</p><p>alguma dívida que tenha adquirido. Em caso</p><p>de atraso de pagamento, pagará</p><p>juros pela inadimplência. O juro é representado pela letra “j”, que pode ser</p><p>maiúscula ou minúscula.</p><p>Montante</p><p>O montante é o capital aplicado mais os rendimentos, ou mais os juros. Con-</p><p>forme Veras (2005, p. 55):</p><p>[...] quando um investidor aplica um capital por certo tempo a determinada</p><p>taxa, no final desse período de tempo ele tem a sua disposição não só o valor</p><p>inicial (valor presente ou capital) aplicado, mas também os juros que lhe são</p><p>devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado montante.</p><p>Por exemplo, se você aplicar certo valor a uma determinada taxa e durante</p><p>um certo período de tempo, o valor que resgatará será o valor aplicado mais</p><p>os juros, que pode ser chamado de montante ou valor final. O mesmo ocorre</p><p>quando se tem um valor a pagar e este não é quitado na data de vencimento,</p><p>visto que esse atraso gerará juros, de modo que, no momento do pagamento,</p><p>terá de ser quitado o valor principal mais os juros correspondentes ao período</p><p>de atraso, gerando um montante maior que o valor principal.</p><p>O montante ou valor final pode ser representado pela letra M ou FV.</p><p>Sugere-se o uso de FV, por ser a terminologia utilizada na máquina finan-</p><p>ceira HP 12c.</p><p>Para transformar taxas percentuais em unitárias, basta dividir a taxa por 100, ou seja,</p><p>deslocar a vírgula duas casas para a esquerda, ao passo que para transformar uma</p><p>taxa decimal em percentual, basta multiplicá-la por 100, ou seja, deslocar a vírgula</p><p>duas casas para a direita.</p><p>7Simbologia</p><p>Regimes de capitalização: simples e composto</p><p>Os regimes de capitalização são divididos em simples e compostos. Segundo</p><p>Almeida (2016), o regime de capitalização é o processo de formação dos juros.</p><p>Se os juros incidem somente sobre o valor inicialmente aplicado ou tomado</p><p>emprestado, trata-se de juros simples ou convenção linear. Em contrapartida,</p><p>se os juros incidem sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente,</p><p>trata-se de juros compostos ou convenção exponencial.</p><p>Almeida (2016) elucida a diferença entre os dois regimes. Nos juros simples,</p><p>o crescimento é linear, comportando-se como uma progressão aritmética (PA).</p><p>Já no regime de juros compostos, o crescimento é exponencial, tal qual uma</p><p>progressão geométrica (PG). Na Figura 3, a seguir, é possível observar que</p><p>os resultados no fim do 1º período são iguais nos dois regimes.</p><p>Figura 3. Revolução gráfica entre os sistemas de</p><p>juros simples e composto.</p><p>Juros simples</p><p>Os juros simples, na prática, é bastante limitado, visto que operam geralmente</p><p>em curto prazo. Em cálculos fi nanceiros, empréstimos bancários, cartões de</p><p>créditos, entre outros, o cálculo utilizado é sobre os juros compostos. Para</p><p>Assaf Neto (2012, p. 5):</p><p>[…] muitas taxas praticadas no mercado financeiro (nacional e internacional)</p><p>estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes das</p><p>operações processa-se exponencialmente (juros compostos). Por exemplo, a</p><p>Simbologia8</p><p>caderneta de poupança paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao ano</p><p>para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de</p><p>0,5%. A taxa referenciada para esta operação é linear, porém os rendimentos</p><p>são capitalizados Segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo</p><p>dos meses juros sobre juros.</p><p>É importante que você tenha um bom entendimento sobre os juros simples,</p><p>para que tenha um bom desempenho nos cálculos de juros compostos. Veja,</p><p>a seguir, um exemplo prático do juro simples.</p><p>Ana fará um empréstimo no valor de R$ 5.000,00, pelo prazo de 6 meses, pagando</p><p>sob juros simples, com uma taxa de 1,5% ao mês. O quadro a seguir ilustra a operação</p><p>realizada por Ana.</p><p>Mês</p><p>Saldo no</p><p>início de cada</p><p>mês (R$)</p><p>Juros</p><p>auferidos a</p><p>cada mês (R$)</p><p>Saldo</p><p>devedor ao</p><p>fim de cada</p><p>mês (R$)</p><p>Crescimento</p><p>mensal</p><p>do saldo</p><p>devedor (R$)</p><p>Início do</p><p>1º mês</p><p>- - 5.000,00 -</p><p>Fim do</p><p>1º mês</p><p>5.000,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.075,00 75,00</p><p>Fim do</p><p>2º mês</p><p>5.075,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.150,00 75,00</p><p>Fim do</p><p>3º mês</p><p>5.150,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.225,00 75,00</p><p>Fim do</p><p>4º mês</p><p>5.225,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.300,00 75,00</p><p>Fim do</p><p>5º mês</p><p>5.300,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.375,00 75,00</p><p>Fim do</p><p>6º mês</p><p>5.375,00 0,015 ×</p><p>5.000 = 75</p><p>5.450,00 75,00</p><p>Por meio do quadro anterior, é possível verificar que os juros incidem exclusivamente</p><p>sobre o capital inicial de R$ 5.000,00, e apresentam valores iguais ao fim de cada mês</p><p>(0,015 × 5.000 = 75,00). Pode-se verificar, ainda, que os juros crescem linearmente; no</p><p>exemplo, R$ 75,00 por mês. Ao fim dos 6 meses, os juros atingem um total de R$ 450,00.</p><p>9Simbologia</p><p>Na Figura 4, a seguir, é possível entender que o juro é linear, ou seja, é</p><p>uma reta que cresce igualmente no decorrer dos meses.</p><p>Figura 4. Convenção linear.</p><p>Na capitalização simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial.</p><p>Para os cálculos da capitalização simples, são utilizadas as seguintes fórmulas.</p><p>Juro:</p><p>J = PV ∙ i ∙ n</p><p>Taxa de juros:</p><p>Tempo ou número de períodos:</p><p>Simbologia10</p><p>Capital ou valor principal:</p><p>ou ainda:</p><p>Montante ou valor fi nal:</p><p>FV = PV(1 + i ∙ n)</p><p>onde:</p><p>J = juro;</p><p>FV = valor fi nal;</p><p>PV = valor principal;</p><p>i = taxa de juros;</p><p>n = número de períodos.</p><p>Não esqueça que, muitas vezes, antes de resolver problemas, é importante</p><p>lembrar que: o montante é o capital mais o juro; o capital é o montante menos</p><p>o juro; e o juro é o montante menos o capital. Veja:</p><p>FV = PV + J</p><p>PV = FV – J</p><p>J = FV – PV</p><p>Lembre-se de que a taxa de juros “i” deve ser unitária, assim como o tempo e a taxa</p><p>devem estar na mesma unidade. Se o tempo estiver em dias, a taxa terá de ser diária;</p><p>se o tempo estiver em anos, a taxa terá de ser anual, e assim sucessivamente.</p><p>11Simbologia</p><p>O sistema de capitalização simples se detém na aplicação direta de conceitos</p><p>básicos da matemática, podendo muitas vezes ser resolvido de forma intuitiva.</p><p>Você adquiriu dívidas e deseja pagá-las, para isso, pedirá o valor emprestado a um</p><p>amigo. Você precisa de R$ 8.000,00, e seu amigo cobrará uma taxa de juros simples</p><p>de 0,8% a.m., sendo que você quitará a dívida com seu amigo somente daqui a um</p><p>ano. Qual valor você devolverá ao seu amigo?</p><p>Primeiramente, verifique as informações que o problema traz:</p><p> PV = 8.000,00;</p><p> i = 0,8%, que você transformará em taxa unitária, logo 0,8% ÷ 100 = 0,008;</p><p> n = 1 ano; como a taxa é mensal, você transformará um ano em 12 meses, logo, n = 12;</p><p> FV = o valor que você deve buscar.</p><p>FV = PV (1 + i ∙ n)</p><p>FV = 8.000 (1 + 0,008 ∙ 12)</p><p>FV = 8.000 ∙ 1,096</p><p>FV = 8.768</p><p>Então, o valor que você pagará ao seu amigo daqui a um ano será R$ 8.768,00.</p><p>Juros compostos</p><p>Diferentemente do juro simples, em que o juro incide somente sobre o capital</p><p>empregado, no juro composto, os juros de cada período são sempre somados</p><p>ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes (PUCCINI;</p><p>PUCCINI, 2006). Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem</p><p>juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente</p><p>no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial aplicado.</p><p>Para identificar a diferença entre os juros simples e composto, você acom-</p><p>panhará o desenvolvimento do exemplo anterior, em que Ana realiza um</p><p>empréstimo, mas agora sob o sistema de capitalização composta.</p><p>Simbologia12</p><p>Ana fará um empréstimo no valor de R$ 5.000,00, pelo prazo de 6 meses, pagando</p><p>sob juros compostos, a uma taxa de 1,5% ao mês. O quadro a seguir ilustra a operação</p><p>realizada por Ana.</p><p>Mês</p><p>Saldo no início</p><p>de cada mês (R$)</p><p>Juros auferidos</p><p>a cada mês (R$)</p><p>Saldo devedor ao</p><p>fim de cada mês (R$)</p><p>Início do</p><p>1º mês</p><p>- - 5.000,00</p><p>Fim do</p><p>1º mês</p><p>5.000,00 0,015 × 5.000 = 75 5.075,00</p><p>Fim do</p><p>2º mês</p><p>5.075,00 0,015 × 5.075 = 76,13 5.151,13</p><p>Fim do</p><p>3º mês</p><p>5.151,13 0,015 × 5.151,13 = 77,27 5.228,40</p><p>Fim do</p><p>4º mês</p><p>5.228,40 0,015 × 5.228,40 = 78,43 5.306,83</p><p>Fim do</p><p>5º mês</p><p>5.306,83 0,015 × 5.306,83</p><p>= 79,60</p><p>5.386,43</p><p>Fim do</p><p>6º mês</p><p>5.386,43 0,015 × 5.386,43</p><p>= 80,80</p><p>5.467,23</p><p>Pelo quadro anterior, pode-se</p><p>observar que os juros não incidem unicamente</p><p>sobre o capital inicial de R$ 5.000,00, mas sobre o saldo total existente no</p><p>início de cada mês. Esse saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os</p><p>juros incorridos em períodos anteriores, e o crescimento dos juros evolui de</p><p>forma exponencial ao longo do tempo.</p><p>Para os cálculos da capitalização composta, são utilizadas as seguintes</p><p>fórmulas.</p><p>13Simbologia</p><p>Juro:</p><p>J = PV[(1 + i)n – 1]</p><p>Taxa de juros:</p><p>Tempo ou número de períodos:</p><p>Capital ou valor principal:</p><p>ou ainda:</p><p>PV = FV(1 + i)–n</p><p>Montante ou valor fi nal:</p><p>FV = PV(1 + i)n</p><p>onde:</p><p>J = juro;</p><p>FV = valor fi nal;</p><p>PV = valor principal;</p><p>i = taxa de juros;</p><p>n = número de períodos.</p><p>Simbologia14</p><p>Assim como na capitalização simples, na capitalização composta também</p><p>são válidas as seguintes fórmulas:</p><p>FV = PV + J</p><p>PV = FV – J</p><p>J = FV – PV</p><p>É importante ressaltar que, para a resolução das questões de juros com-</p><p>postos, é preciso ter uma calculadora científica em mãos ou a calculadora</p><p>financeira.</p><p>Você deseja realizar uma viagem daqui a 3 anos e, para tanto, resolveu aplicar R$</p><p>3.250,00 em um título de capitalização composta que rende 1,7% a.m. Quanto você</p><p>terá guardado ao fim desse período?</p><p>As informações são:</p><p> PV = 3.250,00;</p><p> i = 1,7%, que você transformará em taxa unitária, logo 1,7% ÷ 100 = 0,017;</p><p> n = 3 anos; como a taxa é mensal, você transformará 3 anos em 36 meses, logo n = 36;</p><p> FV = o valor que você terá após esse período.</p><p>FV = PV (1 + i)n</p><p>FV = 3.250 (1 + 0,017)36</p><p>FV = 5.962,63</p><p>Lembre-se de que o valor final pode ter uma pequena diferença, se você tirar os</p><p>valores da máquina calculadora. Além disso, se fizer os cálculos pela calculadora HP</p><p>12c, você trabalhará com uma taxa percentual, e não unitária.</p><p>ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de janeiro: LTC, 2016.</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.</p><p>PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-</p><p>raiva, 2006.</p><p>VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.</p><p>15Simbologia</p>