PDF 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA

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<p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Unidade 1</p><p>Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos</p><p>Aula 1</p><p>Juros simples e Taxa Equivalente</p><p>Juros simples e taxa equivalente</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta aula, você conhecerá alguns conceitos iniciais da Matemática Financeira como: juros</p><p>simples, taxa equivalente e montante, os quais podem ser encontrados em nosso dia a dia em</p><p>diversas situações, como cálculo de juros em um empréstimo ou na compra de um</p><p>eletrodoméstico, aplicação de taxas, entre outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Davi, que precisa comprar</p><p>alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento: compras</p><p>com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros simples de 2,7%</p><p>a.m.</p><p>Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você</p><p>estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos dar início ao</p><p>nosso estudo!</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a1_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros simples</p><p>O conceito de juros simples pode ser aplicado em situações do nosso dia a dia, como cálculo em</p><p>multas, cheque especial, impostos, entre outros.</p><p>De acordo com Moreira (2010), o conceito de juros surgiu há muito tempo quando o homem</p><p>relacionou o tempo com ganho de dinheiro, com processos de acumulação de capital e a</p><p>desvalorização da moeda. Na Matemática Financeira, para aprofundarmos sobre o cálculo dos</p><p>juros, primeiramente precisamos conhecer a de�nição de alguns termos:</p><p>Taxa de juros (i): é a unidade de medida dos juros, correspondente à remuneração paga</p><p>pelo uso, durante determinado tempo, apresentada nas situações pela porcentagem.</p><p>Por exemplo: um empréstimo com taxa de 2% ao mês:</p><p>Tal que, 2% referem-se à taxa percentual e 0,02 à taxa unitária. Uma observação importante é que</p><p>o mercado �nanceiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário colocá-</p><p>la na forma unitária para realizar os cálculos �nanceiros.</p><p>Tempo (n): prazo da operação �nanceira, o qual deve estar equivalente ao período da taxa.</p><p>Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação</p><p>�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado valor presente (VP) e</p><p>valor atual (VA).</p><p>Juros (J): é a remuneração do capital empregado, ou seja, se aplicarmos um determinado</p><p>valor durante um período de tempo, ao �m do prazo, obteremos um valor de juros.</p><p>Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de</p><p>operações �nanceiras realizadas com o capital.</p><p>O juro simples é calculado sempre sobre o valor do capital inicial. Os juros de cada período são</p><p>obtidos multiplicando a taxa de juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela</p><p>seguinte fórmula:</p><p>Para melhor compreender, observe o exemplo:</p><p>Joana emprestou R$ 1500,00 de uma instituição bancária para pagar daqui 4 meses, com uma</p><p>taxa de 2% a.m. no regime de juros simples. Quanto Joana pagará de juros para instituição</p><p>bancária?</p><p>Temos que:</p><p>2% = 2</p><p>100 = 0,02</p><p>J = C. i.n</p><p>C = 1500</p><p>n = 4 meses</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Montante</p><p>Com intuito de aprofundar ainda mais sobre o regime de capitalização de juros simples, vamos</p><p>abordar o cálculo do montante.</p><p>O montante também é conhecido como valor futuro e na língua inglesa, usa-se Future Value,</p><p>indicado nas calculadoras �nanceiras pela tecla FV. O cálculo do montante é a soma do capital</p><p>com os juros, ou seja, a partir da seguinte fórmula:</p><p>Observe um exemplo do cálculo do montante:</p><p>Marcos investiu R$ 10.500,00 a uma taxa simples de 12% a.a., quanto ele terá ao �nal de 12</p><p>meses?</p><p>Temos que o capital é:</p><p>O período é</p><p>E a taxa que está ao ano deverá ser convertida ao mês, para que se torne equivalente ao período</p><p>da taxa, logo:</p><p>Agora, deve-se substituir na fórmula:</p><p>i = 2% a.m =   2</p><p>100 = 0,02</p><p>J = C. i.n</p><p>J = 1500.0,02.4</p><p>J = 120,00</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = 10.500</p><p>n = 12 meses</p><p>i = 12% a. a = 1% a.m  1</p><p>100 = 0,01</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>M = 10 500(1 + 0,01.12)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o montante será R$ 11 760,00.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa equivalente</p><p>Para que possamos compreender sobre taxa equivalente, primeiramente, vamos abordar sobre o</p><p>período comercial, qual é utilizado em transações �nanceiras:</p><p>1 mês = 30 dias</p><p>1 ano = 12 meses</p><p>1 ano = 360 dias</p><p>Essas informações serão necessárias para toda nossa disciplina, pois antes de calcular qualquer</p><p>fórmula você deve se atentar se o período temporal da taxa de juros (i) e período (n) estão</p><p>equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano, o período (n) também deve estar ao ano.</p><p>Se por acaso esses períodos temporais estiverem diferentes, faz-se necessário o cálculo da taxa</p><p>equivalente. No regime de capitalização do juros simples a taxa equivalente i_eq é calculada da</p><p>seguinte forma: quando a taxa for apresentada numa referência maior que a solicitada, deverá</p><p>dividir pela proporção da referência. Quando a taxa for apresentada numa referência menor que a</p><p>solicitada, deverá multiplicar pela proporção da referência menor.</p><p>Por exemplo: Carmem emprestou um valor X de seu irmão comprometendo-se a pagar após 4</p><p>meses, com uma taxa de 15% a.a. no regime de juros simples. A taxa está equivalente com o</p><p>período? Como podemos deixá-la equivalente?</p><p>Observe que a taxa de juros está ao ano e o período de tempo está ao mês, logo, faz-se</p><p>necessário deixar a taxa equivalente. Para isso, como temos a taxa ao ano, um período de</p><p>referência maior que o período ao mês, vamos dividir a taxa por 12.</p><p>Logo, a taxa equivalente será</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>M = 10 500(1 + 0,12)</p><p>M = 10 500(1,12)</p><p>M = 11 760</p><p>i = 15% a. a =  ieq =</p><p>15%</p><p>12 = 1,25%a.m</p><p>ieq = 1, 25%a.m.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação Davi, que precisa comprar</p><p>alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento:</p><p>Compras com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros</p><p>simples de 2,7% a.m.</p><p>Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você</p><p>estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Primeiramente, temos que</p><p>calcular o valor da entrada, ou seja, 25% de 800:</p><p>Como a entrada é R$ 200,00, subtraindo do valor da compra de R$ 800,00, temos que o capital é:</p><p>O período é</p><p>E a taxa que está ao mês deverá ser convertida ao dia, para que se torne equivalente ao período</p><p>da taxa, logo:</p><p>Agora, deve-se substituir na fórmula:</p><p>Logo, João pagará no prazo �nal R$ 605,40.</p><p>Saiba mais</p><p>25% de 800 = 25</p><p>100 . 800 = 20000</p><p>100 = 200</p><p>C = 600</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>n = 10 dias.</p><p>ieq = 2,7% a.m =</p><p>2,7%</p><p>30 dias = 0,09% a. d =</p><p>0,09</p><p>100 = 0,0009</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>M = 600(1 + 0,0009.10)</p><p>M = 600(1 + 0,009)</p><p>M = 600(1,009)</p><p>M = 605,40</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para saber mais sobre o regime de capitalização de juros simples leia o artigo Uma breve</p><p>introdução à matemática �nanceira: juros simples de José Bonifácio de Araújo Júnior.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>Aula 2</p><p>Séries de Juros Simples</p><p>Séries de juros simples</p><p>Este conteúdo</p><p>Existem diferentes tipos de �nanciamento, mas o exemplo a ser estudado nesta seção é do</p><p>cálculo de parcelas iguais e periódicas no regime de capitação de juros compostos, ou seja, taxa</p><p>efetiva.</p><p>Cálculo de prestações</p><p>Para o cálculo de �nanciamentos com parcelas periódicas e iguais, podemos usar a fórmula do</p><p>valor presente:</p><p>Onde:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Tal fórmula apresenta uma vantagem em trabalhar com parcelamentos de número muito grande</p><p>de prestações iguais, como 60, 120, 180 parcelas. As parcelas sempre deverão ter vencimentos</p><p>periódicos, como mensais, bimestrais, semestrais, entre outros. Vejamos um exemplo:</p><p>Ana Alice comprou um aparelho celular em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 150,00 sob taxa</p><p>efetiva de 2,5% a.m. Qual o valor à vista do aparelho celular?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>V P = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>V P =?</p><p>parc = 150,00</p><p>n = 10 parcelas mensais e iguais.</p><p>i = 2,5% a.m = 0,025 a.m</p><p>VP = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i</p><p>]</p><p>AV = V P = 150[ 1−(1+0,025)−10</p><p>0,025</p><p>]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor à vista do aparelho celular é de R$ 1.312,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais</p><p>sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. Nesse cenário, qual é o  valor da parcela dessa proposta de</p><p>�nanciamento?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>n = 48 parcelas mensais e iguais.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Onde:</p><p>AV = V P = 150[ 1−(1,025)</p><p>−10</p><p>0,025 ]</p><p>AV = V P = 150[ 1−0,7812</p><p>0,025</p><p>]</p><p>AV = V P = 150[ 0,2188</p><p>0,025 ]</p><p>AV = V P = 150 ⋅ 8,752</p><p>AV = V P = 1 312,80</p><p>V P = AV = R$38.000,00</p><p>parc =?</p><p>i = 1,51% a.m = 0,0151 a.m</p><p>VP = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>38.000 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151</p><p>]</p><p>38.000 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o �nanciamento proposto pelo vendedor resultará em 48 parcelas mensais e iguais a R$</p><p>1.118,74.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo Matemática �nanceira: uma abordagem</p><p>sobre �nanciamentos de Nilo César Costa Fernandes.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. Dissertação</p><p>(Mestrado em Matemática em Rede Nacional). Centro de Ciências, Universidade Federal do</p><p>Ceará, Fortaleza, 2014. 2014. Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso</p><p>em: 18 nov. 2023.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Valor Presente - Financiamento com Entrada</p><p>Valor presente – �nanciamento com entrada</p><p>38.000 = parc[ 0,5129</p><p>0,0151 ]</p><p>38.000 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 38.000</p><p>33,9669 = 1.118,74</p><p>https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588</p><p>https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588</p><p>https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre �nanciamentos e empréstimos,</p><p>bem como o regime de capitalização de juros compostos com entrada. Tais conhecimentos são</p><p>aplicados em situações do nosso dia a dia, em �nanciamentos de habitação, móveis, entre</p><p>outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com</p><p>entrada de 20% do valor à vista.</p><p>Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de</p><p>�nanciamento. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com entrada</p><p>Você já sonhou em comprar um carro novo ou casa própria? Muitas pessoas almejam realizar</p><p>tais sonhos, assim como outros, e para isso optam pelo �nanciamento para viabilizar as</p><p>compras. Porém, é necessário tomar algumas decisões importantes nesse processo de tomada</p><p>de decisão e uma delas é escolher entre fazer um �nanciamento com maior entrada ou mais</p><p>parcelas.</p><p>Essas decisões, assim como a escolha da taxa de juros, são importantes porque in�uenciam o</p><p>valor �nal do �nanciamento. Dependendo do valor �nanciado, escolher entre uma maior entrada</p><p>ou mais parcelas pode economizar e muito seu dinheiro.</p><p>Neste sentido, lembre-se que o �nanciamento faz uso, na maioria das vezes, do regime de</p><p>capitalização de juros compostos e a utilização do pagamento de uma entrada como parte do</p><p>valor �nanciado pode ajudar muito, diminuindo o valor dos juros a serem pagos no �nanciamento</p><p>como todo.</p><p>Um exemplo pode ser o da compra de uma casa no valor de R$ 200.000,00, em que a pessoa</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a2_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>pode dar uma entrada de R$ 50.000,00 no ato da contratação, restando �nanciar somente R$</p><p>150.000,00 para incidência de juros.</p><p>Figura 1 | Financiamento de imóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Financiamento com entrada</p><p>Agora que você já compreendeu sobre a importância do pagamento de uma entrada no ato da</p><p>contratação de um �nanciamento, vamos conhecer a fórmula que nos auxilia para o cálculo do</p><p>valor das parcelas, o valor a ser �nanciado, a taxa de juros e quantidade de parcelas. Para isso,</p><p>vamos utilizar a fórmula do valor presente.</p><p>Substituindo “VP" por “AV-E" na equação passaremos a ter a equação que nos auxiliará a resolver</p><p>problemas de �nanciamento com entrada, como apresentado a seguir:</p><p>V P = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Um exemplo de utilização dessa fórmula pode ser para o cálculo das prestações de um</p><p>�nanciamento no valor X com taxa de 1,5% a.m. em 48 parcelas mensais e iguais.</p><p>Parcelamento</p><p>Quando realizamos um �nanciamento para adquirir algum bem, estamos emprestando um</p><p>capital para pagar em parcelas, nesse caso especí�co, iguais e periódicas, com incidência de</p><p>juros no regime de capitalização composto.</p><p>Observe um exemplo em que podemos utilizar a fórmula do valor presente com entrada para</p><p>cálculo de parcelamentos.</p><p>Lucas vai comprar um computador cujo valor é R$ 5.400,00 em 10 parcelas mensais e iguais, sob</p><p>regime de juros compostos de 3,2% a.m. e entrada igual ao valor da parcela. Qual o valor da</p><p>entrada?</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada, temos:</p><p>AV − E = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV : R$5.400,00</p><p>E :?</p><p>parc : E</p><p>n : 10</p><p>i : 3,2 %  a.m = 0,032</p><p>AV − E = parc. [ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1+0,032)−10</p><p>0,032</p><p>]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor da entrada será de R$ 571,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar em 48 vezes</p><p>mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00,</p><p>com entrada de 20% do valor à vista.</p><p>Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de</p><p>�nanciamento.</p><p>Primeiramente, vamos calcular o valor da entrada:</p><p>20% do valor à vista:</p><p>Agora que temos o valor da entrada, vamos substituir os valores na fórmula do valor presente</p><p>com entrada:</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1,032)</p><p>−10</p><p>0,032 ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 1−0,7298</p><p>0,032</p><p>]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [ 0,2702</p><p>0,032 ]</p><p>5.400 − E = E ⋅ [8,4438]</p><p>5.400 − E = 8,4438E</p><p>5.400 = 8,4438E + E</p><p>5.400 = 9,4438E</p><p>5.400</p><p>9,4438 = E</p><p>E = 571,80</p><p>E = 20% ⋅ 38.000</p><p>E = 0,20 ⋅ 38.000</p><p>E = R$7.600,00</p><p>V P = R$38.000,00</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais a R$ 894,99.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre parcelamento, leia a dissertação Matemática Financeira: um</p><p>conhecimento necessário e importante para as pessoas de Ido José Schneider.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,</p><p>216 p.</p><p>SCHNEIDER, I. J. Matemática �nanceira: um conhecimento importante e necessário para a vida</p><p>das pessoas. Dissertação. Mestrado em Educação. Universidade de Passo Fundo, 2008.</p><p>E = R$7.600,00</p><p>parc =?</p><p>n = 48</p><p>i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m</p><p>AV − E = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>38.000 − 7.600 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151</p><p>]</p><p>30.400 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>30.400 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 30.400</p><p>33,9669</p><p>= 894,99</p><p>https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf</p><p>https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Aula 3</p><p>Valor Presente - Condições Especiais</p><p>Valor presente – condições especiais</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais nosso estudo sobre �nanciamentos, mais</p><p>especi�camente, quando temos condições especiais, ou seja, período de carência.</p><p>Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar</p><p>um veículo no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51%</p><p>a.m. com entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará. Para isso,</p><p>vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com condições especiais</p><p>Muitas pessoas acabam optando pelo �nanciamento para aquisição de algum bem, seja ele um</p><p>carro, uma casa ou apartamento, entre outros. Porém, a escolha do �nanciamento pode</p><p>in�uenciar muito no valor �nal pago. Depende do valor da taxa de juros, quantidade de parcelas e</p><p>em alguns casos até �nanciamentos com condições especiais.</p><p>Um exemplo disso é o �nanciamento com período de carência, em que o início dos pagamentos</p><p>das parcelas ocorre após determinado tempo (k).</p><p>Os juros cobrados no período de carência ocorrem quando a pessoa não paga nenhuma parcela</p><p>durante um determinado tempo e depois tal valor é diluído nas demais parcelas. Observe o</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a3_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>esquema a seguir, em que temos o AV como valor à vista e ele é reajustado em função de k -1,</p><p>em que k é o período de carência. Após esse período, temos o VP que é o novo valor à vista</p><p>reajustado.</p><p>Um exemplo disso é quando uma pessoa contrata um �nanciamento para pagar a primeira</p><p>parcela após 90 dias, ou seja, os juros cobrados nesses 3 meses serão diluídos nas próximas</p><p>parcelas mensais.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Parcelamento</p><p>Podemos ter �nanciamentos com período de carência também com valor de entrada no início da</p><p>sua contratação. Assim, além do pagamento da primeira parcela iniciar em um prazo maior,</p><p>também deve-se dar uma entrada. Para isso, usamos a seguinte fórmula:</p><p>Em que,</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>E: entrada.</p><p>Um exemplo dessa situação seria de uma pessoa que necessita fazer um empréstimo para</p><p>comprar uma motocicleta e dará um valor de entrada, mas pagará a primeira parcela mensal</p><p>somente após 2 meses, como período de carência.</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Período de carência</p><p>Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de</p><p>carência, ou seja, considerando juros compostos desde o ato da compra até a primeira parcela,</p><p>temos:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>Vejamos um exemplo: uma bicicleta no valor de R$ 3.000,00 foi �nanciada por Lucas em 5</p><p>parcelas mensais e iguais, sob taxa efetiva de 3% a.m., iniciando os pagamentos após 5 meses</p><p>do ato da compra. Sendo assim, qual o valor das parcelas do �nanciamento realizado pelo</p><p>Lucas?</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do �nanciamento com período de carência, temos:</p><p>AV (1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV = R$3 000,00</p><p>k = 5 meses</p><p>n = 5 parcelas</p><p>i = 3 %  a.m = 0,03 a.m</p><p>AV (1 + i)k−1 = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i</p><p>]</p><p>3.000(1 + 0,03)5−1 = parc[ 1−(1+0,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>3.000(1,03)5−1 = parc[ 1−(1,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor de cada parcela será R$ 737,23.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar um veículo</p><p>no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com</p><p>entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará.</p><p>Extraindo as informações do problema, temos:</p><p>n= 48 parcelas</p><p>Substituindo na fórmula do valor presente com condições especiais:</p><p>3.000(1,03)4 = parc[ 1−(1,03)</p><p>−5</p><p>0,03 ]</p><p>3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 1−0,8626</p><p>0,03</p><p>]</p><p>3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 0,1374</p><p>0,03 ]</p><p>3.376,5 = parc ⋅ 4,58</p><p>parc = 3.376,5</p><p>4,58</p><p>parc = 737,23</p><p>AV = R$38.000,00</p><p>E = R$7.600,00</p><p>k = 3 meses</p><p>i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1  = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>(38.000 − 7.600)(1 + 0,0151)3−1 = parc[ 1−(1+0,0151)−48</p><p>0,0151 ]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, esse �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais de R$</p><p>922,20.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, acesse o livro Matemática Financeira e Comercial de</p><p>Ulysses Sodré.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto Universidade Aberta, p. 8, 2007.</p><p>SODRÉ, U. Matemática comercial e �nanceira. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.</p><p>Aula 4</p><p>Determinação da Taxa de Juros do Valor Presente</p><p>Determinação da taxa de juros do valor presente</p><p>30.400 ⋅ 1,0304 = parc[ 1−0,4871</p><p>0,0151 ]</p><p>31.324,16 = parc ⋅ 33,9669</p><p>parc = 31.324,16</p><p>33,9669</p><p>= 922,20</p><p>http://uel.br/projetos/matessencial/superior/matfin/MatComFin.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário</p><p>que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá como determinar a taxa de juros num �nanciamento no regime de</p><p>capitalização de juros compostos com parcelas iguais e periódicas, tanto pelo método de</p><p>Newton-Raphson como pelo uso da calculadora HP12C.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, suponha que você pretenda �nanciar um veículo com</p><p>a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$ 30.000,00</p><p>em 48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros compostos que foi</p><p>aplicada a esse �nanciamento?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Valor presente</p><p>Quando estamos trabalhando com �nanciamentos no regime de capitalização nos juros</p><p>compostos com uma quantidade maior de parcelas periódicas e iguais, fazemos uso da fórmula</p><p>do valor presente. Porém, pode haver situações em que temos que determinar a taxa de juros</p><p>imposta num �nanciamento.</p><p>Para determinar a taxa de juros compostos de um �nanciamento, fazemos uso das séries</p><p>uniformes que têm como base os Métodos Numéricos, ou seja, Métodos Iterativos, pois obtemos</p><p>a resposta esperada a partir da repetição de cálculos algumas vezes.</p><p>Um exemplo disso pode ser um �nanciamento em que se tem o valor �nanciado, o valor das</p><p>parcelas, quantidade das parcelas periódicas e iguais, mas não se sabe a taxa de juros imposta.</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a4_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Figura 1 |  Financiamento de um imóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Método para cálculo de taxa no �nanciamento</p><p>Um dos métodos numéricos que utilizamos para determinação da taxa num �nanciamento, que</p><p>apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson. Para sua aplicação,</p><p>fazemos uso de uma série de funções, em que:</p><p>VP: Valor presente</p><p>parc: Valor da parcela periódica e igual</p><p>:Taxa de juros (chute)ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>A partir das funções acima, vamos conhecer o mecanismo do método:</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ( ).</p><p>2º passo: substituir i_j na função da taxa de juros compostos f ( ).</p><p>Se   então   é a taxa de juros compostos imposta no �nanciamento.</p><p>Se    então    não é a taxa de juros compostos imposta no</p><p>�nanciamento, vá para o 3º passo.</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>.</p><p>4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos (</p><p>), da função da taxa de juros compostos f (</p><p>) e da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>, calcule a próxima taxa de juros compostos (</p><p>).</p><p>5º passo: com a nova taxa (</p><p>), determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa</p><p>fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.</p><p>f(ij) = V P</p><p>parc ij + (1 + ij)</p><p>−n − 1</p><p>f'(ij) = V P</p><p>parc</p><p>− n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f '(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001 ij</p><p>|f(ij)| > 0, 0001 ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij+1</p><p>ij+1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que</p><p>Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de �nanciamento</p><p>Além do método de Newton-Raphson, podemos calcular a taxa de um �nanciamento com</p><p>parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas Tecla n</p><p>Digita valor da parcela Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Vejamos um exemplo: um computador custa R$ 2.000,00 e foi parcelado em 12 vezes mensais e</p><p>iguais a R$ 260,00, sob taxa de juros compostos. Determine a taxa de juros compostos aplicada</p><p>nesse �nanciamento.</p><p>Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor presente 2000 Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas 12 Tecla n</p><p>Digita valor da parcela 260 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor da taxa igual a 7,6062% a.m.</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>ij+1</p><p>ij+1</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, suponha que você pretenda �nanciar um veículo</p><p>com a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$</p><p>30.000,00 em 48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros</p><p>compostos que foi aplicada ao �nanciamento de seu amigo considerando uma taxa para chute</p><p>inicial de 2% a.m.?</p><p>Primeiramente, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, em que:</p><p>Substituindo na função taxa de juros, temos:</p><p>Agora, vamos considerar a função de Newton-Raphson a seguir:</p><p>Na sequência fazer as iterações até que tenhamos a condição de</p><p>Bloco 1</p><p>1º 2º 3º</p><p>Iterações</p><p>1ª 0,02 0,01461 19,7880</p><p>2ª 0,0126 0,0268 11,9914</p><p>3ª 0,0104 0,0039 9,0687</p><p>4ª 0,0100 0,0001 FIM</p><p>Bloco 2</p><p>4º</p><p>V P = 30000,00</p><p>parc = 789,89</p><p>ij = 2%a.m = 0,02 a.m</p><p>f '(ij) =</p><p>V P</p><p>parc</p><p>− n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>f(ij) = 37,98 − 48(1 + ij)</p><p>−49</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>ij</p><p>ij F(ij) F ′(ij)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>0,0126</p><p>0,0104</p><p>0,0100</p><p>De acordo com o quadro, a taxa utilizada na 4ª iteração é aproximadamente 0,01, ou seja, 1%</p><p>a.m.</p><p>Podemos também seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor presente 30 000 Tecla CHS e Tecla PV</p><p>Digita quantidade de parcelas 48 Tecla n</p><p>Digita valor da parcela 789,89 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor aproximado da taxa igual a 1% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre negociação, leia o artigo Utilização do método de Newton-Raphson para</p><p>análise de planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA de Manuel Costa.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>COSTA, M.; LIMA, R. C.; COSTA, J. F. S. Utilização do método de Newton-Raphson para análise de</p><p>planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA. Conjecturas, v. 21, n. 6, p. 99-</p><p>114, 2021.</p><p>GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática �nanceira. Curso de graduação em Administração a</p><p>Distância, v. 1, 2014.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>ij+1</p><p>http://conjecturas.org/index.php/edicoes/article/view/291</p><p>http://conjecturas.org/index.php/edicoes/article/view/291</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os diferentes tipos de</p><p>�nanciamento com o intuito de auxiliar na tomada de decisão que requer a escolha de um tipo de</p><p>�nanciamento é necessário abordar os seguintes conceitos:</p><p>O �nanciamento no regime de capitalização de juros compostos, com grande quantidade de</p><p>parcelas periódicas iguais, deve-se utilizar a seguinte fórmula do valor presente:</p><p>Onde:</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa</p><p>de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>Se substituirmos o “VP" por “AV-E" na equação, temos a fórmula para resolução de</p><p>�nanciamentos com entrada:</p><p>Podemos também ter �nanciamentos com período de carência, em que o pagamento da primeira</p><p>parcela iniciará em um prazo maior e os juros serão diluídos nas demais parcelas. Nesse caso,</p><p>temos a fórmula para cálculo com entrada:</p><p>V P = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>AV − E = parc. [</p><p>1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3enc_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que,</p><p>VP: valor presente, capital, valor à vista.</p><p>parc: parcela, prestações iguais.</p><p>n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.</p><p>i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.</p><p>k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).</p><p>E: entrada.</p><p>Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de</p><p>carência, temos a seguinte fórmula:</p><p>Continuando os estudos sobre �nanciamento também podemos ter situações que necessitam</p><p>do cálculo da taxa de juros. Nesse caso, um dos métodos numéricos que utilizamos, que</p><p>apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson.</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>A partir das funções acima, deve-se seguir os passos do método até encontrar a taxa adequada</p><p>ao problema.</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um �nanciamento com</p><p>parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. Observe o passo a</p><p>passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV</p><p>(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n</p><p>i ]</p><p>f(ij) = V P</p><p>parc</p><p>ij + (1 + ij)</p><p>−n − 1</p><p>f'(ij) = V P</p><p>parc − n(1 + ij)</p><p>−n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f '(ij)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Digita quantidade de parcelas Tecla n</p><p>Digita valor da parcela Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, nesta unidade abordamos sobre tipos de aplicações da fórmula do valor presente em</p><p>�nanciamentos, bem como suas principais características.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Raquel e Luís estão reformando sua casa e realizaram uma compra de materiais de construção</p><p>que foi �nanciada em 12 parcelas mensais e iguais de R$ 370,50, com taxa de juros compostos</p><p>de 4,3% a.m. e entrada de R$ 300,00. Sendo assim, qual é o valor à vista da compra desse casal?</p><p>Após os estudos realizados, responda:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Clique aqui e acesse os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada:</p><p>AV =?</p><p>E = 300,00</p><p>parc : 370,50</p><p>n : 12</p><p>i : 4,3 %  a.m = 0,043</p><p>AV − E = parc[ 1−(1+i)</p><p>−n</p><p>i ]</p><p>AV = parc[ 1−(1+i)−n</p><p>i ]+ E</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4_de_o_play_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor à vista da compra foi de R$ 3.717,23.</p><p>Figura 1 | Mapa mental - análise de �nanciamentos</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9,</p><p>2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>AV = 370,50[ 1−(1+0,043)</p><p>−12</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 1−0,6034</p><p>0,043</p><p>]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 0,3966</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50[ 0,3966</p><p>0,043 ]+ 300</p><p>AV = 370,50 ⋅ 9,2233 + 300</p><p>AV = 3.417,23 + 300</p><p>AV = 3.717,23</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Unidade 4</p><p>Investimento</p><p>Aula 1</p><p>Valor Futuro - Aplicações</p><p>Valor futuro e aplicações</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você se aprofundará nos estudos relacionados a investimentos, desde sua de�nição,</p><p>utilização e como podemos usar fórmulas matemáticas para calcular investimentos com</p><p>depósitos periódicos e iguais.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você fez uma aplicação para utilizar o</p><p>dinheiro em uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de R$</p><p>20.000,00, durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Investimentos</p><p>Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é um investimento, que é considerando</p><p>qualquer valor capaz de gerar um lucro, seja em um período de curto, médio ou longo prazo.</p><p>As pessoas optam por investir seu dinheiro para adquirir algo no futuro, seja uma viagem,</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a1_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>compra um imóvel ou móvel, para ter rendimentos, rendas, entre outros. Um investimento é toda</p><p>aplicação de dinheiro visando ganhos. Vejamos alguns exemplos de aplicação:</p><p>Caderneta de poupança.</p><p>Fundos.</p><p>Ações.</p><p>Antes de escolher um investimento, faz-se necessário planejar e estudar os demais tipos de</p><p>investimentos existentes no mercado. Para isso, alguns conceitos discutidos na Matemática</p><p>Financeira podem contribuir bastante.</p><p>Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Cálculo do valor futuro</p><p>Ao trabalharmos com investimentos, podemos utilizar o cálculo do valor futuro, que está</p><p>embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos. Para determinar o</p><p>valor futuro, usamos a seguinte fórmula matemática:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.</p><p>dep: refere-se ao valor do depósito.</p><p>n: número total de depósitos periódicos e iguais.</p><p>i: taxa de juros compostos.</p><p>Um exemplo disso pode ser uma pessoa que queira aplicar um determinado valor sempre no</p><p>mesmo dia, em uma aplicação que renda um valor x de taxa de juros compostos. Após um</p><p>determinado período de depósitos, se obtém o valor �nal, ou seja, o valor futuro.</p><p>Resultado de aplicações</p><p>Para encontrarmos o resultado de uma aplicação, ou seja, o valor futuro, ou valor de depósitos</p><p>periódicos e iguais, ou período, fazemos uso da fórmula do valor futuro. Para melhor</p><p>compreender, observe um exemplo:</p><p>Em uma determinada instituição �nanceira, uma aplicação que paga uma taxa de juros</p><p>compostos de 1,2% a.m. após dois anos apresentou um valor futuro de R$ 8.839,27. Sendo</p><p>assim, qual o valor dos depósitos mensais e iguais que foram realizados nesse período?</p><p>Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:</p><p>n: 24 depósitos periódicos e iguais.</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Temos,</p><p>VF = dep. [ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>V F :  R$ 8. 839, 27</p><p>dep :?</p><p>V F = dep[ (1+i)</p><p>n</p><p>−1</p><p>i ]</p><p>8 839,27 = dep[ (1+0,012)</p><p>24</p><p>−1</p><p>0,012 ]</p><p>8 839,27 = dep[ 0,3315</p><p>0,012</p><p>]</p><p>8 839,27 = dep ⋅ 27,6250</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor de cada depósito foi de R$ 319,97.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você fez uma aplicação para realização</p><p>de uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de R$ 20.000,00,</p><p>durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?</p><p>Primeiramente, vamos extrair</p><p>os valores do problema:</p><p>VF: Resultado �nal da aplicação.</p><p>dep: R$ 20.000,00 por mês.</p><p>n: 36 depósitos periódicos e iguais, pois trata-se de depósitos mensais durante três anos.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Temos,</p><p>Logo, o resultado da aplicação �nal é de R$ 894.000,00.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre investimentos, leia o artigo Análise de investimentos de Luiz Henrique</p><p>Figueira Marquezan.</p><p>dep = 8 839,27</p><p>27,6250</p><p>= 319,97</p><p>V F = dep[ (1+i)n−1</p><p>i</p><p>]</p><p>i : 1,20% a.m</p><p>VF = 20.000[ (1+0,012)</p><p>36</p><p>−1</p><p>0,012 ]</p><p>V F = 20.000[ 1,5364−1</p><p>0,012 ]</p><p>V F = 20.000 ⋅ 44,70</p><p>V F = R$894.000,00</p><p>https://periodicos.ufsm.br/contabilidade/article/view/21</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A.. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MARQUEZAN, L. H. F.; BRONDANI, G. Análise de investimentos. Revista eletrônica de</p><p>contabilidade, v. 3, n. 1, p. 35-35, 2006.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Determinação da Taxa de Juros do Valor Futuro</p><p>Determinação da taxa de juros do valor futuro</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seu conhecimento sobre os investimentos, sejam eles</p><p>para compra de um veículo, um imóvel, entre outros. Você vai também compreender sobre como</p><p>calcular o valor da taxa de juros imposta em um rendimento e fazer uso da calculado HP – 12C</p><p>para seu cálculo.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que o dono de uma multinacional pretende</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a2_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo</p><p>que essa mesma aplicação resultou, num período de quatro meses, no valor de R$ 48.763,64,</p><p>depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Taxa de juros no investimento</p><p>Quando estamos pensando em fazer um investimento, é necessário estar ciente da in�uência do</p><p>cenário econômico, assim como a taxa de juros também pode impactar diretamente a sua</p><p>estrutura. Além disso, a taxa de juros é bastante utilizada no mercado de crédito como um todo,</p><p>por esse motivo é importante estar atento às suas variações.</p><p>Compreender e conseguir determinar a taxa de juros pode contribuir para melhores resultados</p><p>nas aplicações �nanceiras, já que ela afeta de maneira direta a rentabilidade da maioria dos</p><p>investimentos disponibilizados no mercado.</p><p>Um exemplo disso pode ser de duas �nanceiras oferecendo taxas de juros distintas; mesmo que</p><p>o valor da diferença entre ela seja pequeno, opte sempre pela menor e as melhores condições,</p><p>pois isso pode impactar o seu rendimento futuro.</p><p>Figura 1 | Taxa de juros no investimento. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Métodos para o cálculo de taxa</p><p>Muitas vezes necessitamos determinar a taxa imposta em investimentos. Nesse caso, podemos</p><p>fazer uso do Método de Newton-Raphson para valor futuro, o qual apresenta o menor número de</p><p>iterações. Para sua aplicação, fazemos uso de uma série de funções, em que:</p><p>VF: valor futuro</p><p>parc: valor do depósito periódico e igual</p><p>: taxa de juros (chute)</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>Mecanismo do método:</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo</p><p>Se</p><p>ij</p><p>f(ij) = V F</p><p>dep ij − (1 + ij)</p><p>n</p><p>+ 1</p><p>f'(ij) = V F</p><p>dep − n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>ij</p><p>f(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Se</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos</p><p>5º passo: com a nova</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que:</p><p>Exemplo disso é quando pretende saber qual o valor dos depósitos periódicos e iguais, as</p><p>quantidades das parcelas e o resultado da aplicação.</p><p>Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de</p><p>investimento</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com</p><p>depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.</p><p>|f(ij)| > 0,0001</p><p>ij</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij+1)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Digita valor futuro Tecla CHS e Tecla FV</p><p>Digita quantidade de depósitos Tecla n</p><p>Digita valor do depósito Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Observe um exemplo:</p><p>João Lucas depositou todos os meses, durante 15 meses, o valor de R$ 2.000,00 em um</p><p>investimento. Esse investimento resultou um montante �nal de R$ 34.586,83. Qual é a taxa de</p><p>juros compostos paga por essa aplicação?</p><p>Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:</p><p>Digita o valor futuro 34 586,83 Tecla CHS e Tecla FV</p><p>Digita quantidade de depósitos 15 Tecla n</p><p>Digita valor do depósito 2 000 Tecla PMT</p><p>Tecla i</p><p>Logo, teremos o valor da taxa igual a 2% a.m.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que o dono de uma multinacional pretende</p><p>fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo</p><p>que essa mesma aplicação resultou, em um período de quatro meses, o valor de R$ 48.763,64,</p><p>depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?</p><p>1ª Etapa: determinando a taxa de juros compostos da aplicação:</p><p>n: 4</p><p>dep: R$ 12.000,00/mês</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos, temos?</p><p>V F : R$48.763,64</p><p>ij</p><p>f(ij) =</p><p>V F</p><p>dep</p><p>ij − (1 + ij)</p><p>n + 1</p><p>f(ij) =</p><p>48.763,64</p><p>12.000 ij − (1 + ij)</p><p>4 + 1</p><p>f(ij) = 4,0636ij − (1 + ij)</p><p>4</p><p>+ 1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos</p><p>Substituindo na função da taxa de juros compostos</p><p>Observe na tabela como �ca as iterações:</p><p>Bloco 1</p><p>1º 2º 3º</p><p>Iterações</p><p>1ª 0,02 -0,0012 -0,1812</p><p>2ª 0,0134 -0,0002 -0,0992</p><p>3ª 0,0114 -0,0001 FIM 9,0687</p><p>Bloco 2</p><p>4º</p><p>0,0134</p><p>0,0114</p><p>0,0100</p><p>Logo, a taxa imposta nesse investimento é de 1,14% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre investimentos, leia a dissertação O efeito dos atributos dos mercados na</p><p>escolha de investimentos de Simone Hilário da Silva Brasileiro.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo:</p><p>f'(ij) =</p><p>V F</p><p>dep</p><p>− n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>f'(ij) = 4,0636 − 4(1 + ij)</p><p>3</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>ij F(ij) F ′(ij)</p><p>ij+1</p><p>http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf</p><p>http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>BRASILEIRO, S. H. S. et al. O efeito dos atributos dos mercados na escolha de investimentos.</p><p>2018.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 3</p><p>Amortização</p><p>Amortização</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente</p><p>para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você conhecerá sobre os sistemas de amortização para �nanciamentos, seja de um</p><p>imóvel, um carro, entre outros. Abordaremos suas principais características, assim como vamos</p><p>aprender a realizar cálculos para o sistema SAC e PRICE.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4</p><p>parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema</p><p>de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a3_mat_finan_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Sistemas de amortização</p><p>É muito comum as pessoas optarem por �nanciamentos para compra da sua casa própria, carro,</p><p>para realizar uma viagem, algum item para sua casa, entre outros. Muito se discute sobre valores</p><p>abusivos de juros que podem ser cobrados em alguns �nanciamentos, por isso é necessário</p><p>conhecer e compreender os tipos de �nanciamentos para optar pelo melhor cenário.</p><p>No Brasil, para �nanciamentos, de uma forma geral, podemos utilizar diversos métodos, mas em</p><p>especí�co, nesta aula, abordaremos sobre os dois métodos de amortização da dívida de</p><p>compra:</p><p>SAC (Sistema de Amortização Constante).</p><p>PRICE (Sistema Francês de Amortização).</p><p>Um exemplo desses métodos pode ser o �nanciamento de uma casa pela SAC e um carro pelo</p><p>sistema PRICE.</p><p>Figura 1 | Financiamento de um automóvel. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Sistema SAC</p><p>O SAC - Sistema de Amortização Constante tem como característica a diminuição do valor das</p><p>parcelas ao longo do tempo. Para o cálculo de suas parcelas temos que primeiramente calcular o</p><p>valor da amortização, pois a parcela será composta sempre pela mesma amortização, a�nal ela</p><p>é constante, mais o valor dos juros.</p><p>Fórmula para cálculo da Amortização</p><p>Em que,</p><p>Am: Amortização</p><p>VP: Valor presente</p><p>n: Quantidade parcelas</p><p>Fórmula para cálculo da Parcela</p><p>Em que,</p><p>Am: amortização</p><p>: valor da parcela</p><p>: juros</p><p>Fórmula para cálculo dos Juros</p><p>Em que,</p><p>i: taxa de juros</p><p>Am</p><p>Am = V P</p><p>n</p><p>Pk</p><p>Pk = Am+ Jk</p><p>Pk</p><p>Jk</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Jk</p><p>Dk−1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Fórmula para cálculo da Dívida</p><p>Em que,</p><p>: dívida atual</p><p>: dívida</p><p>Am: amortização</p><p>Um exemplo desse tipo de sistema é para �nanciamento de compra de imóveis.</p><p>Sistema PRICE</p><p>O PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem iguais.</p><p>Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.</p><p>Fórmula para cálculo da Parcela:</p><p>Em que,</p><p>parc: valor da parcela</p><p>VP: valor presente</p><p>n: quantidade parcelas</p><p>i: taxa de juros</p><p>Fórmula para cálculo da Amortização</p><p>Em que,</p><p>Amk: amortização</p><p>parc: valor da parcela</p><p>: valor dos juros</p><p>Dk</p><p>Dk+1 = Dk −Am</p><p>D(k+ 1)</p><p>Dk</p><p>parc =</p><p>V P .i.(1+i)n</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>−1</p><p>Am</p><p>Amk = parc− Jk</p><p>Jk</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Fórmula para cálculo dos Juros</p><p>Em que:</p><p>: juros</p><p>: dívida anterior</p><p>I: taxa de juros</p><p>Fórmula para cálculo da Dívida</p><p>Em que,</p><p>: dívida anterior</p><p>: dívida</p><p>Amk: amortização</p><p>Um exemplo desse tipo de método são �nanciamentos de veículos, em que as parcelas são</p><p>constantes ao longo de todo �nanciamento.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4</p><p>parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema</p><p>de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas?</p><p>Dívida ( ) Amortização</p><p>(Am)</p><p>Juros ( ) Parcela ( )</p><p>306 000,00 76 500,00</p><p>229 500,00 76 500,00 11 199,60 87 699,60</p><p>153 000,00 76 500,00 8 399,70 84 899,70</p><p>76 500,00 76 500,00 5 599,80 82 099,80</p><p>0,00 76 500,00 2 799,90 79 288,90</p><p>306 000,00   333 999,00</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Jk</p><p>Dk−1</p><p>Dk</p><p>Dk = Dk−1 −Amk</p><p>Dk−1</p><p>Dk</p><p>Dk</p><p>Dk+1 = Dk −Am</p><p>Am = V P</p><p>n</p><p>Jk</p><p>Jk = Dk−1. i</p><p>Pk</p><p>Pk = Am+  Jk</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para melhor compreender a nossa tabela:</p><p>Observe que a nossa dívida inicial  =306 000.</p><p>Para calcularmos a amortização (coluna II), dividimos o valor do �nanciamento por R$</p><p>306.000,00 pela quantidade de parcelas (4).</p><p>Na terceira coluna, temos que o cálculo dos juros será a multiplicação da dívida anterior</p><p>pela taxa de juros.</p><p>E, por �m, na quarta coluna, somamos a amortização e valor dos juros para determinação</p><p>do valor das parcelas.</p><p>Sendo assim, o valor das parcelas será R$ 87.699,60; R$ 84.899,70; R$ 82.099,80; R$ 79.288,90;</p><p>R$ 333.999,00.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo SAC ou PRICE? de Debora Borges Ferreira.</p><p>Referências</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FERREIRA, D. B. Sac ou PRICE? Revista do Professor de Matemática, n. 85, p. 42-45, SBM, Rio de</p><p>Janeiro, 2014.</p><p>FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. 2014.</p><p>Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso em: 18 nov. 2023.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 4</p><p>Método Hamburguês</p><p>Método Hamburguês</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Dk</p><p>https://rpm.org.br/rpm/img/conteudo/files/85_SAC%20ou%20PRICE.pdf</p><p>https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá sobre o cheque especial, bem como utilizar o método hamburguês</p><p>para calcular valor de juros do cheque especial. Para melhor compreender sobre o tema, imagine</p><p>que você controla todo �uxo de caixa de uma empresa. Observe o extrato bancário:</p><p>Data Histórico Movimento Saldo</p><p>01 Transporte   1.000,00 +</p><p>03 Clientes 400.000,00 +</p><p>05 Fornecedores 150.000,00 -</p><p>05 Funcionários 100.000,00 -</p><p>10 Encargos �scais 170.000,00 -</p><p>13 Clientes 50.000,00 +</p><p>15 Pagamento de</p><p>reforma</p><p>17.541,51 -</p><p>22 Pagamento de</p><p>manutenção</p><p>20.000,00 -</p><p>28 Pagamento de</p><p>material de</p><p>construção</p><p>85.000,00 -</p><p>30 Clientes 100.000,00 +</p><p>30 Juros do cheque</p><p>especial</p><p>A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual</p><p>o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa</p><p>no último dia do mês?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a4_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Conta garantida</p><p>Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é uma conta garantida, pois trata-se de um</p><p>empréstimo rotativo destinado às empresas clientes da instituição �nanceira. O dinheiro �ca</p><p>disponível da conta bancária do cliente e a empresa, de acordo com o limite contratado, pode</p><p>fazer seu uso para suprir eventuais necessidades de �uxo de caixa.</p><p>Porém, quando o dinheiro é utilizado, são cobrados valores de juros que incidem somente sobre</p><p>os valores utilizados nos dias úteis, sendo debitados mensalmente da conta garantida e o limite</p><p>utilizado pode ser coberto a qualquer momento, por meio de créditos na conta garantida.</p><p>Podemos dizer que a conta garantida é quase a mesma coisa que cheque especial, com a</p><p>diferença que conta garantida é um produto especí�co para pessoas jurídicas. É comum</p><p>também, na pessoa jurídica, que</p><p>a conta garantida seja separada da conta da pessoa física.</p><p>Um exemplo de conta garantida é quando uma empresa faz uso do dinheiro disponibilizado pela</p><p>instituição bancária para pagamentos de salários e depois de alguns dias cobre esse dinheiro e</p><p>mais o adicional dos juros pelo período utilizado.</p><p>Figura 1 | Empréstimo bancário. Fonte: Freepik.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Cheque especial</p><p>Hoje em dia, com tantos imprevistos, muitas vezes, o nosso dinheiro não é su�ciente para sanar</p><p>as despesas do mês, bem como podem aparecer alguns gastos de emergência. Diante desse</p><p>contexto, o cheque especial é um tipo de crédito que o banco disponibiliza em sua conta</p><p>corrente, como se fosse um empréstimo pré-aprovado que �ca ali disponível diretamente na</p><p>conta para usar a qualquer momento.</p><p>Algumas instituições bancárias também oferecem um período no qual aquele limite disponível</p><p>pode ser utilizado sem a aplicação de juros, por até 10 dias sem incidência de juros.</p><p>A partir do cheque especial, o limite �ca disponível para usar sempre que a pessoa precisar, fácil</p><p>e prático, mas é necessário cautela, pois muitas pessoas cometem o erro de usar o limite do</p><p>cheque especial como se fosse uma extensão da conta corrente, o que pode ocasionar num</p><p>endividamento fora do controle.</p><p>Cálculo dos juros do cheque especial</p><p>Com intuito de contribuir para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta</p><p>garantida, a serem cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque</p><p>especial, podemos utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:</p><p>Em que,</p><p>J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.</p><p>i: taxa de juros simples ao dia.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras ao dia.</p><p>SD: saldo devedor.</p><p>d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você controla todo �uxo de caixa de</p><p>uma empresa. Observe o extrato bancário:</p><p>Data Histórico Movimento Saldo</p><p>01 Transporte   1.000,00 +</p><p>J = (i+ IOF)∑SD. d</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>03 Clientes 400.000,00 +</p><p>05 Fornecedores 150.000,00 -</p><p>05 Funcionários 100.000,00 -</p><p>10 Encargos �scais 170.000,00 -</p><p>13 Clientes 50.000,00 +</p><p>15 Pagamento de</p><p>reforma</p><p>17.541,51 -</p><p>22 Pagamento de</p><p>manutenção</p><p>20.000,00 -</p><p>28 Pagamento de</p><p>material de</p><p>construção</p><p>85.000,00 -</p><p>30 Clientes 100.000,00 +</p><p>30 Juros do cheque</p><p>especial</p><p>A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual</p><p>o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa</p><p>no último dia do mês?</p><p>Ao analisar o extrato bancário, vamos adicionar os valores positivos, subtrair os valores</p><p>negativos e quando o saldo �car negativo multiplicar cada valor pela quantidade de dias que o</p><p>saldo se manteve negativo.</p><p>Sendo assim, temos que:</p><p>Substituindo os valores na fórmula:</p><p>Logo, os juros a serem cobrados serão de R$ 1.313,01.</p><p>∑SD. d = 279 364,08</p><p>i = 0,47% a. d = 0,0047 a. d</p><p>IOF = 0,07 %  a. d = 0,0007 a. d</p><p>J = (i + IOF)∑SD. d</p><p>J = (0,0047 + 0,0007 ). 279364,08</p><p>J = 0,0047.279364,08</p><p>J = R$1.313,01</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre conta garantida e cheque especial, leia o artigo Gestão do capital de giro</p><p>de pequenas empresas de Valdineide Santos Araújo.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista</p><p>Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>investimentos e os diferentes tipos sistemas de amortização a �m de aplicá-los na resolução de</p><p>problemas �nanceiros, é necessário abordar os seguintes conceitos:</p><p>https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259</p><p>https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4enc_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Ao trabalharmos com investimentos com depósitos iguais e periódicos, podemos utilizar o</p><p>cálculo do valor futuro, a partir da seguinte fórmula matemática:</p><p>Em que:</p><p>VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.</p><p>dep: refere-se ao valor do depósito.</p><p>n: número total de depósitos periódicos e iguais.</p><p>i: taxa de juros compostos.</p><p>Além dessa fórmula do valor futuro, às vezes precisamos determinar a taxa imposta em</p><p>investimentos. Nesse caso, podemos fazer uso do Método de Newton-Raphson:</p><p>VF: valor futuro.</p><p>parc: valor do depósito periódico e igual.</p><p>: taxa de juros (chute).</p><p>Função da taxa de juros compostos:</p><p>Função marginal da taxa de juros compostos:</p><p>Função de Newton-Raphson:</p><p>Mecanismo do método</p><p>1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo  .</p><p>2º passo: substituir i_j  na função da taxa de juros compostos  .</p><p>Se  , então   é a taxa de juros compostos imposta na aplicação.</p><p>Se  , então   não é a taxa de juros compostos imposta na aplicação,</p><p>vá para o 3º passo.</p><p>3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos</p><p>VF = dep. [ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>ij</p><p>f(ij) = V F</p><p>dep ij − (1 + ij)</p><p>n + 1</p><p>f'(ij) = V F</p><p>dep</p><p>− n(1 + ij)</p><p>n−1</p><p>ij+1 = ij −</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001 ij</p><p>|f(ij)| > 0,0001 ij</p><p>ij</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>.</p><p>4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos</p><p>, da função da taxa de juros compostos</p><p>, e da função marginal da taxa de juros compostos</p><p>, calcule a próxima taxa de juros compostos (i_(j+1) ), que deverá substituir a última taxa</p><p>que não deu certo.</p><p>5º passo: com a nova</p><p>determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse</p><p>a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.</p><p>Os passos deverão ser repetidos até que:</p><p>Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com</p><p>depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C.</p><p>Agora, em nosso dia a dia, podemos optar por diversos tipos de �nanciamentos, dois deles são o</p><p>SAC e o PRICE. O SAC – Sistema de Amortização Constante tem como característica ter suas</p><p>parcelas num comportamento decrescente, ou seja, as parcelas diminuem ao longo do tempo.</p><p>Já o PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem</p><p>iguais. Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.</p><p>E, por �m, para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta garantida, a serem</p><p>cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque especial, podemos</p><p>utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>ij</p><p>f'(ij)</p><p>(ij)</p><p>f(ij)</p><p>f'(ij)</p><p>(i(j+ 1))</p><p>|f(ij)| ≤ 0,0001</p><p>https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que,</p><p>J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.</p><p>i: taxa de juros simples ao dia.</p><p>IOF: Imposto sobre operações �nanceiras ao dia.</p><p>SD: Saldo devedor.</p><p>d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário</p><p>que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Carlos pretende realizar uma viagem cujo custo é de R$ 6.400,00. Ele tem R$ 450,00 para aplicar</p><p>mensalmente num investimento, que paga uma taxa de juros compostos de 1,07% a.m. Sendo</p><p>assim, quantos depósitos mensais deverão ser feitos para atingir o valor da viagem?</p><p>Ao �nal dos estudos, responda:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em casa situação problema?</p><p>Você extrai as informações dos problemas de forma correta?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Dê o Play!</p><p>Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>VF: R$ 6.400,00</p><p>dep: 400,00</p><p>n: ?</p><p>i: 1,07% a.m = 0,0107 a.m</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>J = (i+ IOF)∑SD. d</p><p>V F = dep[ (1+i)n−1</p><p>i ]</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4_de_o_play_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para tombar expoente, vamos multiplicar por ln</p><p>Logo, serão necessários aproximadamente 13 meses de depósitos para atingir o valor</p><p>necessário para a viagem.</p><p>Figura 1 | Mapa mental - investimentos</p><p>ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista</p><p>Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.</p><p>ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:</p><p>Editora Atlas, 2012.</p><p>6400 = 450[ (1+0,0107)n−1</p><p>0,0107 ]</p><p>6400</p><p>450</p><p>= [ (1,0107)n−1</p><p>0,0107</p><p>]</p><p>14,22.  0,0107 + 1 = (1,0107)n</p><p>1,1522 = (1,0107)n</p><p>ln1,1522 = ln(1,0107)</p><p>n</p><p>ln1,1522 = n. ln1,0107</p><p>0,1417 = n. 0,0106</p><p>n = 0,1417</p><p>0,0106</p><p>= 13,37</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Bioesfera, v. 6, n. 9,</p><p>2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização</p><p>de juros simples, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o</p><p>parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os</p><p>juros simples com e sem entrada.</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros simples, considere a situação da</p><p>Ana, que para compra de uma máquina nova para sua empresa, parcelou em 3 vezes mensais</p><p>uma quantia de R$ 4.500,00 com taxa de juros simples de 5% a.m. Determine o valor de cada</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a2_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>parcela que Ana vai pagar.</p><p>Antes de resolver o problema da Ana, vamos realizar um estudo sobre parcelamento!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Parcelamento</p><p>Muitas vezes, você, ao comprar um móvel, imóvel ou qualquer outra coisa �nanciada, precisa</p><p>calcular o valor das parcelas a serem pagas. Você já viu o seguinte tipo de anúncio: Taxa de juros</p><p>de 0,89%! Saberia veri�car se o valor da parcela pago pelo produto foi calculado exatamente com</p><p>essa taxa de juros?</p><p>Para isso, vamos aprender o conceito de séries, que utilizamos em situações que envolvem</p><p>parcelamento e prestações. Essa fórmula das séries deve ser aplicada em problemas que</p><p>envolvam poucas parcelas.</p><p>As séries de juros simples são compostas a partir da equação geral do montante de juros</p><p>simples, da seguinte forma:</p><p>Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de</p><p>uma compra é o capital, temos:</p><p>Logo,</p><p>Tal que:</p><p>Então:</p><p>Tal que,</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = M</p><p>(1+i.n)</p><p>C1 = M1/(1 + i.n1)′′′′;C2 = M2</p><p>(1+i.n2)</p><p>;… ;Cj =</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = C1 + C2 +…+ Cj</p><p>C = M1</p><p>(1+i.n1)</p><p>+ M2</p><p>(1+i.n2)</p><p>+…+</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>C: capital</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>Siga em Frente...</p><p>Juros simples no parcelamento</p><p>Quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime de capitalização de juros simples,</p><p>deve-se utilizar a fórmula de série:</p><p>Tal que C refere-se ao capital, M é o resultado do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros, n</p><p>o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir:</p><p>João pretende comprar uma televisão em 2 vezes mensais e iguais, tal que o preço à vista é R$</p><p>740,00. Se o parcelamento será realizado sob a taxa de juros simples de 4% a.m., qual o valor das</p><p>parcelas?</p><p>Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (Cada uma delas vale</p><p>M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que</p><p>equivale ao capital (C) é igual a R$ 740,00.</p><p>A taxa de juros simples é igual a i = 4% a.m. Lembre-se que, conforme vimos na seção anterior,</p><p>temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.</p><p>Aplicando a equação da série de juros simples:</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>M</p><p>1+0,04∙1</p><p>+ M</p><p>1+0,04∙2</p><p>= 740</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos colocar o M em evidência,</p><p>Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.</p><p>Séries de juros simples</p><p>Utilizamos a série de juros simples em situações que necessitam do cálculo de prestações e</p><p>parcelamentos, em tal regime de capitalização. Agora, vamos continuar abordando este tema,</p><p>porém quando temos o pagamento de uma entrada, na seguinte fórmula:</p><p>Tal que,</p><p>AV: valor à vista</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>E: valor da entrada</p><p>Observe um exemplo:</p><p>Uma impressora está em promoção com duas parcelas iguais a R$ 400,00, vencendo em dois</p><p>meses, com entrada de R$ 200,00. Sabendo que esses valores foram obtidos sob taxa de juros</p><p>simples de 60% a.a., determine o valor à vista da impressora.</p><p>( 1</p><p>1,04 + 1</p><p>1,08 )M = 740</p><p>(0,9615 + 0,9259)M = 740</p><p>1,8874M = 740</p><p>M = 740</p><p>1,8874 = 392,07</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Primeiramente, temos que deixar nossa taxa equivalente, uma vez que está ao ano e precisamos</p><p>passar para ao mês.</p><p>Na sequência, é preciso substituir os valores na fórmula da série de juros simples com entrada.</p><p>Portanto, o valor à vista da impressora é R$ 911,47.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Ana, que parcelou em 3</p><p>vezes mensais uma quantia de R$ 4.500,00, com taxa de juros simples de 5% a.m., para compra</p><p>de uma máquina nova para sua empresa. Determine o valor de cada parcela que Ana vai pagar.</p><p>Logo, Ana pagará R$ 1.647,69 em cada parcela.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre parcelamento e séries de juros simples, leia o artigo Sistema de</p><p>prestações constantes no regime de juros simples de Clovis de Faro e Gerson Lachtermacher.</p><p>Referências</p><p>ieq =</p><p>60%</p><p>12 = 5% a.m</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>AV − 200 = 400</p><p>1+0,0⋅2 + 400</p><p>1+0,05⋅3</p><p>AV = 400</p><p>1,1 + 400</p><p>1,15 + 200</p><p>AV = 363,64 + 347,83 + 200</p><p>AV = 911,47</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>1+inj</p><p>4500 = M</p><p>1+0,05⋅1</p><p>+ M</p><p>1+0,05⋅2</p><p>+ M</p><p>1+0,05⋅3</p><p>https://repositorio.fgv.br/bitstreams/ce78d8b3-706c-41eb-af25-612cbcde4883/download</p><p>https://repositorio.fgv.br/bitstreams/ce78d8b3-706c-41eb-af25-612cbcde4883/download</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>FARO, C.; LACHTERMACHER, G. Sistema de prestações constantes no regime de juros simples.</p><p>Revista Estudos e Negócios Academics, v. 3, n. 5, p. 3-13, 2023.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>Aula 3</p><p>Juros compostos e Taxa Equivalente</p><p>Juros compostos e taxa equivalente</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai conhecer o regime de capitalização de juros compostos, que difere do</p><p>regime de capitalização de juros simples, pois considera o resgate dos juros a cada período. Os</p><p>juros são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de juros varia</p><p>exponencialmente em função do tempo.</p><p>Para colocar em prática o cálculo do montante dos juros compostos, considere a situação da</p><p>Alana que comprou um aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagá-lo no prazo de 2 meses,</p><p>a partir da seguinte condição de pagamento:</p><p>Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de</p><p>42,58% a.a.</p><p>Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses? Antes de resolver</p><p>essa situação, vamos abordar os conceitos relacionados ao regime de capitalização de juros</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a3_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>compostos, desde cálculo do montante e taxa equivalente.</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos</p><p>O juro composto é calculado sobre o montante relativo ao período anterior, em que os juros são</p><p>incorporados, a cada período de capitalização, ao principal. Para seu cálculo também</p><p>utilizaremos as seguintes nomenclaturas:</p><p>Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação</p><p>�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado como valor presente (VP)</p><p>e valor atual (VA).</p><p>Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de</p><p>operações �nanceiras realizadas com o capital.</p><p>Juros (J): são as compensações �nanceiras nas operações realizadas, representando um</p><p>acréscimo.</p><p>Taxa (i): taxa de juros aplicadas sobre o capital (C).</p><p>Período (prazo) (n): período de tempo da incidência da taxa de juros sobre o capital (C).</p><p>Os juros compostos são bem mais utilizados que juros simples em nosso dia a dia,</p><p>especialmente em aplicações, investimentos, empréstimos, cálculos de prestações,</p><p>�nanciamentos, entre outros.</p><p>Geralmente, nas mais diversas situações, temos que considerar o prazo n de acordo com a</p><p>unidade de tempo da taxa, ou vice-versa, o que se faz necessário calcular as taxas equivalentes</p><p>para diferentes períodos.</p><p>Montante</p><p>Quando pretendemos trabalhar com cálculo do montante, o resultado futuro de operações</p><p>�nanceiras realizadas com o capital, no regime de capitalização de juros compostos, é calculado</p><p>por meio da fórmula do montante:</p><p>Em que:</p><p>M: montante ou valor futuro</p><p>C: capital ou valor presente</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de tempo ou prazo da operação �nanceira</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Observe o exemplo a seguir para melhor compreender o cálculo do montante para regime de</p><p>capitalização de juros compostos.</p><p>Sonia emprestou R$ 1.000,00 de uma instituição bancária a uma taxa de juros compostos de 4%</p><p>a.m. (ao mês), para pagar após dois meses. Determine o valor que ela pagará no �nal para</p><p>instituição bancária.</p><p>Substituindo os valores na fórmula do montante,</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa equivalente</p><p>As taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes do</p><p>prazo da operação �nanceira, ou vice-versa. Quando estas são aplicadas a um mesmo principal</p><p>durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no regime de juros</p><p>compostos. Para isso, no período comercial, sempre devemos considerar o seguinte:</p><p>M = C(1 + i)n</p><p>M = 1000(1 + 0,04)2</p><p>M = 1000 ⋅ 1,04²</p><p>M = 1000 ⋅ 1,0816</p><p>M = 1 081,60</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>1 ano = 6 bimestres</p><p>1 ano = 4 trimestres</p><p>1 ano = 3 quadrimestres</p><p>1 ano = 2 semestres</p><p>1 biênio = 2 anos</p><p>1 triênio = 3 anos</p><p>Para o cálculo da taxa equivalente no regime de capitalização dos juros compostos, considere a</p><p>seguinte fórmula:</p><p>Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.</p><p>Vejamos um exemplo para melhor compreensão:</p><p>Lucas emprestou um valor X para seu irmão a uma taxa de juros compostos de 14% a.a. para</p><p>pagar em 12 meses.</p><p>Nesta situação, a taxa de juros está ao ano e o prazo da operação �nanceira está ao mês, logo,</p><p>faz-se necessário deixar as taxas equivalentes. Para isso, primeiramente, temos que calcular</p><p>com a menor unidade, ou seja, o mês.</p><p>A fórmula a ser utilizada será a de taxa equivalente para juros compostos:</p><p>Logo, a taxa equivalente a 14% a.a. ao mês será i = 1,1% a.m.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Alana que comprou um</p><p>aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagar no prazo de 2 meses, a partir da seguinte</p><p>condição de pagamento:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,14)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,14)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,14)</p><p>0,0833</p><p>− 1</p><p>ieq = 1,011 − 1</p><p>ieq = 0,011 a.m</p><p>ieq = 1,1 %  a.m</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de</p><p>42,58% a.a.</p><p>Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses?</p><p>Considerando as informações extraídas do problema, antes de calcularmos o montante,</p><p>devemos deixar a taxa i = 42,58% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de</p><p>taxa equivalente de juros compostos:</p><p>Em que,</p><p>i = 42,58% a.a. = 0,4258 a.a.</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)p/a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,4258)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,4258)1/12 − 1</p><p>ieq = (1,4258)0,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0300 − 1</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3% a.m., ou seja, i = 0,03 a.m. Substituindo os valores na</p><p>fórmula do montante:</p><p>Portanto, o valor a ser pago após 2 meses por Alana será de R$ 954,81.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre o regime de capitalização dos juros compostos leia o artigo Sistema de</p><p>Juros Compostos de Wilson de Oliveira.</p><p>Referências</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>Aula 4</p><p>Séries de Juros Compostos</p><p>Série de juros compostos</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>ieq = 0,0300 a.m</p><p>ieq = 3 %  a.m</p><p>M = C(1 + i)n</p><p>M = 900(1 + 0,03)2</p><p>M = 900 ⋅ 1,0609</p><p>M = R$954,81</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/635</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/635</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização</p><p>de juros compostos, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o</p><p>parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os</p><p>juros compostos com e sem entrada.</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição</p><p>de pagamento da loja MM:</p><p>Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.</p><p>Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas</p><p>mensais de R$ 500,00? Vamos lá!</p><p>M=7401,8861=392,34Vamos Começar!</p><p>Parcelamento</p><p>Com os juros simples, para o cálculo de parcelamento em juros compostos também vamos</p><p>utilizar as séries. Em situações que envolvem parcelamento, prestações em pequenas</p><p>quantidades, vamos utilizar a fórmula das séries. Para cálculos com quantidades maiores de</p><p>parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual veremos mais adiante em nosso livro.</p><p>Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de</p><p>uma compra é o capital, temos:</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>C = M</p><p>(1+i) n</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a4_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo,</p><p>Tal que:</p><p>Então:</p><p>Tal que,</p><p>C: capital</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>Juros compostos no parcelamento</p><p>Conforme vimos na seção anterior, quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime</p><p>de capitalização de juros compostos deve-se utilizar a fórmula de série:</p><p>Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros,</p><p>n o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir:</p><p>Carla pretende comprar um equipamento eletrônico que custa R$ 740,00. Ela vai pagar em duas</p><p>parcelas mensais e iguais. Sabendo que o parcelamento será realizado sob a taxa de juros</p><p>compostos de 4% a.m., determine o valor das parcelas.</p><p>Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (cada uma delas vale</p><p>M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que</p><p>equivale ao capital (C)</p><p>é igual a R$ 740,00.</p><p>A taxa de juro composto é igual a i = 4% a.m. Lembre-se, que conforme vimos na seção anterior,</p><p>temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.</p><p>C1 = M1</p><p>(1+i) n1</p><p>;C2 = M2</p><p>(1+i) n2</p><p>;… ;Cj =</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>C = C1 + C2 +…+ Cj</p><p>C = M1</p><p>(1+i) n1</p><p>+ M2</p><p>(1+i) n2</p><p>+…+</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i) nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Aplicando a equação da série de juros compostos:</p><p>Vamos colocar o M em evidência,</p><p>Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Séries de juros compostos</p><p>Agora, vamos continuar abordando este tema, porém quando temos o pagamento de uma</p><p>entrada, na seguinte fórmula:</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>M</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>740 = M</p><p>(1+0,04)</p><p>1 + M</p><p>(1+0,04)</p><p>2</p><p>740 = M</p><p>(1,04)</p><p>1 + M</p><p>(1,04)</p><p>2</p><p>( 1</p><p>1,04 + 1</p><p>1,0816 )M = 740</p><p>(0,9615 + 0,9246)M = 740</p><p>1,8861M = 740</p><p>M = 740</p><p>1,8861 = 392,34</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Tal que,</p><p>AV: valor à vista</p><p>M: montante (parcelas)</p><p>i: taxa de juros</p><p>n: período de cada parcela</p><p>E: valor da entrada</p><p>Observe um exemplo:</p><p>Raquel comprou um móvel que custa R$ 900,00 e terá que pagar 25% do valor à vista de entrada</p><p>e mais 2 parcelas iguais e mensais, sob taxa de juros compostos de 3,6% a.m. Qual valor de cada</p><p>parcela?</p><p>Temos que,</p><p>AV = R$ 900,00</p><p>E = 25% de 900 = 225</p><p>i = 3,6% a.m = 0,0360 a.m.</p><p>Substituindo os valores na fórmula da série de juros compostos com entrada, temos:</p><p>Colocando o M em evidência,</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)nj</p><p>900 − 225 = M</p><p>(1+0,0360)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0360)2</p><p>675 = M</p><p>1,0360</p><p>+ M</p><p>1,0733</p><p>( 1</p><p>1,0360</p><p>+ 1</p><p>1,0733</p><p>)M = 675</p><p>(0,9653 + 0,9317)M = 675</p><p>1,8970M = 675</p><p>M = 675</p><p>1,8970</p><p>M = R$355,82</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, Raquel pagará uma entrada de R$ 225,00 e mais duas parcelas de R$ 355,82.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição</p><p>de pagamento da loja MM:</p><p>Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.</p><p>Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas</p><p>mensais de R$ 500,00? Vamos lá!</p><p>Considerando as informações do problema, antes de calcularmos o valor da compra, devemos</p><p>deixar a taxa i = 56% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de taxa</p><p>equivalente de juros compostos:</p><p>Em que,</p><p>i = 56% a.a. = 0,56 a.a.</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo,</p><p>Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3,77% a.m., ou seja, i = 0,0377 a.m. Substituindo na fórmula</p><p>das séries dos juros compostos, temos:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,56)</p><p>1</p><p>12 − 1</p><p>ieq = (1,56)0,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0377 − 1</p><p>ieq = 0,0377</p><p>ieq = 3,77% a.m.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor da compra foi de R$ 1.393,64.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre a série de juros compostos, leia o artigo Matemática �nanceira: juros</p><p>compostos de José Bonifácio de Araújo Júnior.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Matemática �nanceira: juros compostos. Revista Processus</p><p>Multidisciplinar, v. 1, n. 2, p. 46-51, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>M</p><p>(1+i)</p><p>n</p><p>C = 500</p><p>(1+0,0377)1</p><p>+ 500</p><p>(1+0,0377)2</p><p>+ 500</p><p>(1+0,0377)3</p><p>C = 500</p><p>(1,0377)1</p><p>+ 500</p><p>(1,0377)2</p><p>+ 500</p><p>(1,0377)3</p><p>C = 500</p><p>1,0377</p><p>+ 500</p><p>1,0768</p><p>+ 500</p><p>1,1174</p><p>C = 481,83 + 464,34 + 447,47</p><p>C = 1.393,64</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/657</p><p>https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/657</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Olá, estudante!</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>juros e parcelamento para aplicá-los na resolução de problemas �nanceiros, é preciso diferenciar</p><p>os regimes de capitalização de juros simples e compostos.</p><p>Importante ressaltar que quando estamos nos referindo aos juros simples, estamos calculando</p><p>os juros sempre sobre o valor do capital inicial, ou seja, eles são obtidos multiplicando a taxa de</p><p>juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela seguinte fórmula:</p><p>Além disso, devemos nos atentar para a taxa equivalente, em que o período temporal da taxa de</p><p>juros (i) e período (n) devem estar equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano o</p><p>período (n) também deve estar ao ano.</p><p>Quando somamos o capital inicial ao juro aplicado encontramos o valor do montante, que nos</p><p>juros simples pode ser calculado a partir da seguinte fórmula:</p><p>Ainda no regime de capitalização dos juros simples, podemos calcular valores de prestações</p><p>considerando algumas situações de �nanciamento, em que cada parcela ou prestação</p><p>corresponde a pequenos montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o capital, a partir da</p><p>fórmula das séries:</p><p>Assim como nos juros simples, também temos diversos pontos a nos atentar sobre os juros</p><p>compostos, pois estes são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de</p><p>juros varia exponencialmente em função do tempo, ou seja, a taxa de juros é aplicada a cada</p><p>período.</p><p>Para o cálculo do montante (M) nos juros compostos, faz-se uso da seguinte fórmula:</p><p>J = C. i.n</p><p>M = C(1 + i.n)</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i.nj)</p><p>M = C. (1 + i) n</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1enc_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Também deve-se atentar para as taxas equivalentes, pois o período de tempo da taxa de juros</p><p>deve ser o mesmo do prazo da operação �nanceira, assim, utiliza-se a seguinte fórmula para o</p><p>regime de capitalização de juros compostos:</p><p>Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.</p><p>Por �m, podemos calcular valor de prestações em �nanciamentos com uso da fórmula da série</p><p>dos juros compostos, em que cada parcela ou prestação corresponde a pequenos montantes (M)</p><p>e o valor à vista de uma compra é o capital.</p><p>Essa fórmula deve ser utilizada para situações com pequenas quantidades de parcelas, pois ao</p><p>apresentar uma quantidade maior de parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual</p><p>será visto mais adiante na disciplina.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>A loja de departamento disparou um pan�eto promocional contendo a seguinte informação:</p><p>ieq = (1 + i)</p><p>p</p><p>a − 1</p><p>C = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Sabendo que Mônica comprou um produto e vai pagar uma entrada de R$ 200,00 e mais duas</p><p>parcelas iguais de R$ 400,00, vencendo em dois meses. Qual o valor à vista deste produto?</p><p>Re�ita sobre as perguntas a seguir:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Primeiramente vamos extrair as informações do problema:</p><p>E (entrada) = 200,00</p><p>M (2 parcelas) =</p><p>400,00</p><p>Vence em dois meses, então (n) começa em 2 meses.</p><p>AV (valor a vista) = ?</p><p>i = 60% a.a. = 0,60 a.a</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1_de_o_play_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.</p><p>p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.</p><p>Substituindo os valores na fórmula, temos:</p><p>Logo, temos que a taxa a ser utilizada será i = 3,99% a.m. Agora, vamos utilizar a fórmula das</p><p>séries de juros compostos com entrada:</p><p>Substituindo,</p><p>Portanto, o valor do produto era R$ 925,60.</p><p>Figura 1 | Mapa mental dos juros e parcelamentos</p><p>ieq = (1 + i)p/a − 1</p><p>ieq = (1 + 0,6)1/12 − 1</p><p>ieq = 1,60,0833 − 1</p><p>ieq = 1,0399 − 1</p><p>ieq = 0,0399 a.m</p><p>ieq = 3,99% a.m</p><p>AV − E = ∑j</p><p>j=1</p><p>Mj</p><p>(1+i)</p><p>nj</p><p>AV − 200 = 400</p><p>(1+0,0399)</p><p>2 + 400</p><p>(1+0,0399)</p><p>3</p><p>AV = 400</p><p>1,0814 + 400</p><p>1,1245 + 200</p><p>AV = 369,89 + 355,71 + 200</p><p>AV = 925,60</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>Unidade 2</p><p>Aplicações dos Conceitos Básicos</p><p>Aula 1</p><p>Capital de Giro - Desconto Bancário</p><p>Capital de giro - desconto bancário</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá algumas aplicações de conceitos básicos da Matemática Financeira</p><p>como: capital de giro, desconto bancário e valor nominal, os quais podem ser encontrados em</p><p>aplicações do nosso cotidiano, como: antecipar recebimentos de títulos para garantir capital de</p><p>giro de uma empresa ou até mesmo antecipação de recebimento do 13º salário, entre outros.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa</p><p>empresa de telefonia; faltam três dias para ele receber a segunda parcela do 13º salário e ele vai</p><p>solicitar antecipação desse pagamento para quitar algumas dívidas. O salário de Lindolfo é R$</p><p>1.800,00. Diante deste contexto, sabendo que uma instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a1_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>nominal de 0,7% a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo?</p><p>Se você estivesse no lugar do Lindolfo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos</p><p>dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Capital de giro</p><p>No mercado de trabalho, muitas vezes, é o capital de giro que garante a saúde �nanceira das</p><p>empresas. De acordo com Padoveze (2004), o termo “giro” vem da ideia de movimentação</p><p>contínua dos principais elementos formadores das transações da empresa, em que ela</p><p>basicamente forma seus lucros.</p><p>Em outras palavras, ainda para Pandoveze (2004), da movimentação dos capitais aplicados no</p><p>giro é que há a formação tradicional do lucro, ou seja, capital de giro é a terminologia utilizada</p><p>para designar os valores investidos no ativo circulante, conjunto de bens e direitos que podem</p><p>ser convertidos em dinheiro no considerado ano �scal da empresa.</p><p>Segundo Gonçalves (2007), a expressão giro refere-se aos recursos em curto prazo da empresa,</p><p>normalmente de�nidos como aqueles capazes de serem convertidos em dinheiro no prazo</p><p>máximo de um ano (ciclo operacional) e que o capital de giro demonstra, em sentido amplo, o</p><p>valor total dos recursos demandados pela empresa para �nanciar seu ciclo operacional, que</p><p>reúne as necessidades circulantes identi�cadas desde a aquisição da matéria-prima até o</p><p>recebimento das vendas.</p><p>Um exemplo de se obter o capital de giro e uma das formas de gerenciar esse capital é a partir</p><p>do desconto bancário, o qual refere-se à obtenção de capital por meio antecipação de títulos, que</p><p>podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou serviços prestados a clientes que</p><p>pagarão numa relação futura.</p><p>Desconto bancário</p><p>O desconto bancário refere-se à antecipação no período em dias do recebimento de um título,</p><p>seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma instituição �nanceira. Nos</p><p>dias atuais, trata-se de uma operação comum entre pessoas jurídicas, que são empresas de</p><p>grande, médio e pequeno porte, assim como também pessoas físicas.</p><p>A pessoa jurídica, ou seja, instituição com responsabilidades jurídicas, empresas, associações,</p><p>companhias, entre outras, pode realizar antecipações de diversos títulos, veja alguns exemplos:</p><p>Promissórias;</p><p>Duplicatas;</p><p>Boletos;</p><p>Cheques;</p><p>Faturas de cartão de crédito.</p><p>A pessoa física, ou seja, todo indivíduo, homem ou mulher, identi�cado por um CPF (Cadastro de</p><p>Pessoa Física), também pode fazer uso dessa operação �nanceira, observe alguns exemplos:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>13º salário – 1ª e 2ª parcela.</p><p>Restituição de Imposto de Renda.</p><p>O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade, pois a instituição �nanceira</p><p>cobra uma taxa administrativa pela realização dessa operação. O desconto bancário refere-se ao</p><p>valor resultante da antecipação de um título, ou seja, é a quantia a ser abatida do valor nominal</p><p>(valor do título).</p><p>Figura 1 | Desconto bancário. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Valor nominal</p><p>O valor nominal (N) é denominado como valor do título que será antecipado, e as antecipações</p><p>de títulos ocorrem geralmente a poucos dias do vencimento dos títulos, isso para que o valor</p><p>resgatado (V_B ) seja o mais próximo do valor nominal (N), ou seja, do valor do título.</p><p>A taxa nominal é uma taxa de juros simples, então se necessitarmos convertê-la de mês para dia,</p><p>ou de ano para dia, devemos usar o conceito de taxa equivalente em juros simples.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o</p><p>desconto racional, é dado por:</p><p>Em que:</p><p>N é o valor nominal.</p><p>d corresponde a taxa de juros simples ao dia.</p><p>n é o período de antecipação.</p><p>Agora, para o cálculo do valor resgatado (V_B), que é o valor nominal menos o desconto racional,</p><p>fazemos uso da seguinte fórmula:</p><p>Para melhor compreender, observe um exemplo:</p><p>Ana, gerente de uma loja de roupas, necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o</p><p>recebimento de uma duplicada no valor de R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias. A instituição</p><p>�nanceira que fará a antecipação da duplicata cobra uma taxa nominal administrativa de 17,1%</p><p>a.m. Qual valor Ana resgatará pela duplicata?</p><p>Primeiramente, temos que uma taxa nominal (d) de 17,1% a.m., mas trabalhamos com taxa</p><p>nominal ao dia. Logo, precisamos deixá-la equivalente, lembrando que a taxa nominal é taxa de</p><p>juros simples:</p><p>Assim, temos:</p><p>Substituindo na fórmula do valor resgatado:</p><p>D = N ⋅ d ⋅ n</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>ieq =</p><p>0,171</p><p>30</p><p>= 0,0057 a. d = 0,57% a. d</p><p>d = 0,57% a. d</p><p>N = R$ 1000,00</p><p>n = 7 dias</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = 1100(1 − 0,0057.7)</p><p>VB = 1100(1 − 0,0399)</p><p>VB = 1100(0,9601)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor a ser resgatado por Ana é de R$ 1056,11.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa</p><p>empresa de telefonia e faltam três dias para receber a segunda parcela do 13º salário. O salário</p><p>de Lindolfo é R$ 1.800,00 e ele vai antecipar o seu recebimento para pagar algumas dívidas.</p><p>Diante deste contexto, sabendo que a instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7%</p><p>a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo?</p><p>A segunda parcela do 13º salário, nesse caso, é título a ser antecipado, então:</p><p>N = R$ 1.800,00.</p><p>A instituição cobra uma taxa nominal de 0,7% a.d. = d.</p><p>Lindolfo está a três dias de receber a segunda parcela do 13º salário e decide antecipar o seu</p><p>recebimento, então n = 3. Substituindo na fórmula do valor resgatado:</p><p>Portanto, pela antecipação do 13º salário em 3 dias, Lindolfo receberá R$ 1.762,20.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre capital de giro, leia o artigo Necessidade de capital de giro e sua</p><p>aplicabilidade prática de José Bonifácio de Mateus Benatti.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:</p><p>VB = 1 056,11</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = 1800(1 − 0,007.3)</p><p>VB = 1800(1 − 0,021)</p><p>VB = 1800(0,979)</p><p>VB = 1762,20</p><p>https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y</p><p>https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y</p><p>http://www.esacam.edu.br/jornal</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>04 abr. 2024.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 2</p><p>Desconto Bancário com IOF</p><p>Desconto bancário com IOF</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre as aplicações de conceitos básicos</p><p>da Matemática Financeira como: antecipações de títulos, Imposto sobre Operações Financeiras</p><p>(IOF) e títulos de alto porte, os quais podem ser utilizados em antecipações de recebimentos de</p><p>clientes.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do gerente Paulo, que precisa</p><p>trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a</p><p>antecipação de um título de valore nominal:</p><p>Título: R$ 23.650,00</p><p>O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa</p><p>nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?</p><p>Se você estivesse no lugar do Paulo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos</p><p>dar início ao nosso estudo!</p><p>https://mdstrm.com/embed/658b194f1e8a183e1d17f5ce</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Antecipação de títulos</p><p>Nos dias atuais, a antecipação de títulos pode ser uma ferramenta útil para os gestores de</p><p>empresas dos mais diversos setores, uma vez que os desa�os na gestão de uma empresa são</p><p>inúmeros, sejam eles, fatores internos ou externos, de modo que o planejamento �nanceiro não</p><p>ocorre da forma esperada.</p><p>A antecipação de títulos consiste em receber de forma antecipada valores de títulos de crédito</p><p>como duplicatas, notas promissórias, cheques, entre outros, com vencimentos futuros, para que</p><p>a empresa possa ter esse dinheiro em caixa para movimentações �nanceiras.</p><p>Em outras palavras, a antecipação de títulos permite que um valor a ser creditado no futuro seja</p><p>realocado para o presente. No caso de um negócio que realiza vendas a prazo, a antecipação de</p><p>títulos possibilita acesso aos recursos de maneira imediata, sem ser necessário esperar o</p><p>vencimento desses títulos.</p><p>Uma observação importante é que as antecipações de títulos ocorrem geralmente a poucos dias</p><p>do pagamento dos clientes, isso para que o valor resgatado seja o mais próximo do valor</p><p>nominal, ou seja, do valor do título.</p><p>Veja um exemplo: João vai receber a primeira parcela do seu 13º salário no dia 30 de novembro,</p><p>mas irá antecipar esse recebimento para o dia 10 de novembro, logo ele terá um desconto do</p><p>valor nominal devido aos 20 dias de antecipação.</p><p>IOF</p><p>O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) foi criado pela Lei nº 5.143, de 1966, com intuito de</p><p>substituir o imposto sobre transferência para o exterior. O IOF envolve operações de câmbio,</p><p>crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários. Quando estamos trabalhando com</p><p>desconto bancário, antecipação de títulos, promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta</p><p>conforme a fórmula a seguir:</p><p>Em que:</p><p>VB: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.</p><p>N: valor nominal, valor do título antecipado.</p><p>d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>n: período de antecipação do título, geralmente em dias.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>Importante ressaltar que a taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples, então se</p><p>necessitarmos convertê-las de mês para dia, ou de ano para dia, usaremos o conceito de Taxa</p><p>Equivalente em Juros Simples.</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Um exemplo de antecipação de títulos com incidência do IOF são títulos de alto porte, que</p><p>veremos a seguir.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Títulos de alto porte</p><p>Os títulos que têm incidência do IOF são denominados como alto porte, identicamente à taxa de</p><p>desconto, este percentual é calculado sobre o valor nominal do título juntamente com uma taxa</p><p>nominal cobrada no ato da liberação dos recursos, de forma antecipada (SANTOS, 2016).</p><p>De acordo com Santos (2016), as operações de desconto praticadas pelas instituições</p><p>�nanceiras costumam apresentar encargos �nanceiros, os quais são geralmente cobrados sobre</p><p>o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos à vista (descontados no momento da</p><p>liberação dos recursos).</p><p>Vejamos um exemplo de como podemos aplicar o conceito de antecipação em títulos de alto</p><p>porte.</p><p>Marina pretende antecipar um título de alto porte no valor de R$ 17.500,00 em 15 dias e</p><p>consultou que o valor do resgate seria de R$ 12.000,00. Sabendo que o IOF cobrado foi de 0,05%</p><p>a.d., qual a taxa nominal cobrada nessa antecipação?</p><p>Primeiramente, vamos utilizar a fórmula da antecipação de títulos com IOF.</p><p>Na sequência, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Depois, vamos substituir os seguintes valores:</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>Vb = 12000</p><p>N = 17500</p><p>d =?</p><p>n = 15 dias</p><p>IOF = 0, 05% = 0, 0005 a. d.</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>12. 000 = 17. 500[1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>12.000</p><p>17.500 = [1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, a taxa nominal cobrada nessa antecipação foi de 1,88% a.d.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do gerente Paulo, que precisa</p><p>trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a</p><p>antecipação de um título de valor nominal R$ 23.650,00.</p><p>O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa</p><p>nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?</p><p>Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:</p><p>Substituindo os valores na fórmula:</p><p>0, 7 = [1 − (d+ 0, 0005)15]</p><p>0, 7 = [1 − (15d+ 0, 0075)]</p><p>0, 7 = [1 − 15d− 0, 0075]</p><p>0, 7 = 0, 9925 − 15d</p><p>15d = 0, 9925 − 0, 7</p><p>15d = 0, 2925</p><p>15d = 0, 2925</p><p>d = 0,2925</p><p>15</p><p>d = 0, 0188 a. d</p><p>d = 1, 88% a. d</p><p>Vb =?</p><p>N = 23650</p><p>d = 0, 12% a. d = 0, 0012 a. d</p><p>n = 17 dias</p><p>IOF = 0, 017% = 0, 00017 a. d.</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Logo, o valor resgatado será de R$ 23.099,19.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre IOF, leia o artigo Imposto sobre operações �nanceiras, câmbio e a</p><p>novíssima Lei Nº 14.286 de 2021  de Luiz Henrique Nicolau.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível</p><p>em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:</p><p>04 abr. 2024.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4. ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,</p><p>216 p.</p><p>Aula 3</p><p>Taxa Efetiva e Nominal</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>VB = 23. 650[1 − (0, 0012 + 0, 00017)17]</p><p>VB = 23. 650[1 − (0, 00137)17]</p><p>VB = 23. 650[1 − 0, 02329]</p><p>VB = 23. 650. 0, 9767</p><p>VB = 23099, 19</p><p>https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581</p><p>https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581</p><p>http://www.esacam.edu.br/jornal</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Taxa efetiva e taxa nominal</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você compreenderá sobre a importância da utilização de forma adequada das taxas</p><p>equivalentes nos regimes de capitalização de juros simples e juros compostos, ou seja, a taxa</p><p>efetiva e taxa nominal.</p><p>Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que</p><p>precisa �nanciar a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a</p><p>seguinte condição de pagamento:</p><p>Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal</p><p>de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da</p><p>proposta de pagamento da Lilian. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Taxa equivalente</p><p>A taxa equivalente, seja no regime de capitalização de juros simples ou compostos, tem como</p><p>função adequar a taxa à relação temporal de trabalho. Para uma melhor compreensão, observe</p><p>um exemplo:</p><p>Se temos uma situação em que as parcelas são mensais, a taxa de juros também precisa estar</p><p>ao mês (a.m.). O mesmo ocorre se as parcelas estiverem ao ano (a.a.), logo, é necessário</p><p>converter a taxa de juros também ao ano, utilizando os conceitos de taxas equivalentes para</p><p>cada regime de capitalização.</p><p>Importante relembrar que no período comercial, temos o seguinte:</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a3_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>1 mês = 30 dias</p><p>1 ano = 12 meses</p><p>1 ano = 360 dias</p><p>1 bimestre = 2 meses</p><p>1 trimestre = 3 meses</p><p>semestre = 6 meses</p><p>Sendo assim, a taxa equivalente só altera a relação temporal, pois quando temos alteração de</p><p>regime de capitalização de juros simples para compostos, ou vice-versa, trabalhamos com taxa</p><p>efetiva ou nominal.</p><p>Figura 1 | Cálculo de taxas. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxa efetiva</p><p>A taxa efetiva refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do</p><p>período de capitalização especí�co para o regime de juros compostos. Para converter uma taxa</p><p>nominal em efetiva usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias.</p><p>d: taxa nominal.</p><p>Observe um exemplo:</p><p>José vai realizar um �nanciamento em regime de juros compostos, o qual apresentou taxa</p><p>nominal de 32% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento ao ano?</p><p>Como se trata de um �nanciamento em juros compostos, a taxa de trabalho não pode ser a taxa</p><p>nominal, pois ela é taxa de juros simples; então deveremos trabalhar com taxa efetiva. Extraindo</p><p>informações da situação, temos:</p><p>n = 360 dias.</p><p>f = 360 dias.</p><p>d = 32% = 0,32</p><p>Substituindo na fórmula:</p><p>Logo, a taxa efetiva para o �nanciamento é 38,24% a.a.</p><p>Taxa nominal</p><p>A taxa nominal refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do</p><p>período de capitalização dos juros simples. Para converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a</p><p>seguinte fórmula:</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( d</p><p>n + 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,32</p><p>360 + 1)</p><p>360</p><p>− 1</p><p>ief = (0,0009 + 1)360 − 1</p><p>ief = 1,3824 − 1</p><p>ief = 0,3824 a. a = 38,24% a. a</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias.</p><p>d: taxa nominal.</p><p>: taxa efetiva.</p><p>Para melhor compreender, observe um exemplo:</p><p>Alana vai realizar um �nanciamento em regime de juros simples, mas como o parcelamento é a</p><p>curto prazo, apresentou taxa efetiva de 27% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento</p><p>ao ano?</p><p>Como se trata de um �nanciamento em juros simples, a taxa de trabalho não pode ser a taxa</p><p>efetiva, pois ela é taxa de juros compostos; então deveremos trabalhar com taxa nominal.</p><p>n =  360 dias</p><p>f = 360 dias</p><p>Substituindo na fórmula, temos:</p><p>Portanto, a taxa de trabalho, que é a taxa nominal é de 25,2% a.a.</p><p>ief</p><p>ief = 27% = 0,27</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>d = [(0,27 + 1)</p><p>1</p><p>360 − 1]360</p><p>d = [(1,27)0,0028 − 1]360</p><p>d = [1,0007 − 1]360</p><p>d = [1,0007 − 1]360</p><p>d = 0,0007.360</p><p>d = 0,252 a. a</p><p>d = 25,2% a. a</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que precisa �nanciar</p><p>a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a seguinte condição</p><p>de pagamento:</p><p>Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal</p><p>de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.</p><p>Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da</p><p>proposta de pagamento da Lilian.</p><p>Como a proposta trata de um �nanciamento em parcelas mensais e iguais em regime de juros</p><p>compostos, não calcularemos as parcelas com a taxa nominal, pois ela é uma taxa de juros</p><p>simples, por isso vamos converter a taxa dada em taxa efetiva ao mês.</p><p>n = 360 dias</p><p>f = 30 dias</p><p>d = 13,2% = 0,132</p><p>Substituindo na fórmula, temos:</p><p>Portanto, a taxa de que iremos usar para calcular as parcelas mensais e iguais da proposta, que é</p><p>a taxa efetiva, será de 1,21% a.m.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre taxas, acesse o livro Matemática �nanceira de Ernesto Coutinho Puccini.</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,132</p><p>360 + 1)</p><p>30</p><p>− 1</p><p>ief = ( 0,132</p><p>360 + 1)</p><p>30</p><p>− 1</p><p>ief = (0,0004 + 1)30 − 1</p><p>ief = 1,0121 − 1</p><p>ief = 0,0121 a.m = 1,21% a.m</p><p>https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/643232/2/Matem%C3%A1tica%20Financeira%20e%20An%C3%A1lise%20de%20Investimentos.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto universidade aberta, 2007.</p><p>Aula 4</p><p>Negociação com Juros Simples e Compostos</p><p>Negociação de juros simples e compostos</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você aprenderá sobre negociação em regime de juros simples e compostos, bem</p><p>como analisar propostas e contrapropostas, aplicando conceitos de séries de ambos os regimes</p><p>de capitalização.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação de Kátia, que pretende comprar</p><p>um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma</p><p>taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. A loja fez uma</p><p>contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a</p><p>taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso, qual é o valor de cada parcela da proposta</p><p>de Kátia?</p><p>Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a4_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Vamos Começar!</p><p>Negociação em juros simples</p><p>O ato de negociar faz parte de nossas vidas, pois a partir disso é que adquirimos bens de</p><p>consumo dentro de nossas reais possibilidades, sem depreciar o valor real do bem. A negociação</p><p>tem como princípio um fundamento básico: o capital numa situação A deve ser o mesmo numa</p><p>situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o mesmo do proposto, independentemente</p><p>da forma de pagamento e regime de juros.</p><p>= capital numa situação “A”</p><p>= capital numa situação “B”</p><p>Podemos ter situações que envolvem o pagamento de entrada, daí temos a seguinte situação:</p><p>Observe um exemplo: uma loja de departamento masculina está anunciando um terno por duas</p><p>parcelas iguais de R$ 300,00 a cada sete dias, sob regime e taxa de juros simples de 0,035% a.d.</p><p>Ricardo tem muito interesse pelo terno e apresentou uma proposta de pagar em três parcelas</p><p>iguais, vencendo a cada dez dias, sob a mesma taxa e o mesmo regime imposto pela loja. Qual é</p><p>o valor das parcelas propostas pelo Ricardo?</p><p>Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta:</p><p>Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 200,67.</p><p>CA = CB</p><p>CA</p><p>CB</p><p>AVA = AVB</p><p>AVA</p><p>AVB</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>1+iPropostanjProposta</p><p>300</p><p>(1+0,00035.7)</p><p>+ 300</p><p>(1+0,00035.14)</p><p>= M</p><p>(1+0,00035.10)</p><p>+ M</p><p>(1+0,00035.20)</p><p>+ M</p><p>(1+0,00035.30)</p><p>597,81 = 2,9791M</p><p>597,81</p><p>2,9791 = M</p><p>M = 200,67</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Siga em Frente...</p><p>Negociação em juros compostos</p><p>Assim como vimos na negociação de juros simples, podemos utilizar os mesmos conceitos para</p><p>os juros compostos, com a diferença da utilização da série de juros compostos.</p><p>Exemplo: um aparelho celular está sendo anunciado por duas parcelas mensais e iguais a R$</p><p>600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m. Carlos pretende comprar o aparelho</p><p>celular, mas ofereceu a seguinte condição: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob</p><p>taxa e regime de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o valor das parcelas propostas por Carlos?</p><p>Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta.</p><p>Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.</p><p>Negociação em juros simples e compostos</p><p>Podemos ter também numa mesma negociação ambos os regimes de capitalização, juros</p><p>simples e juros compostos. Veja o exemplo:</p><p>Renata está vendendo um aparelho eletrônico por duas parcelas de R$ 150,00 a cada 12 dias,</p><p>sob regime e taxa de juros simples de 0,043% a.d. Joana quer pagar em duas parcelas mensais e</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta = ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>600</p><p>(1+0,018)</p><p>1 + 600</p><p>(1+0,018)</p><p>2 = M</p><p>(1+0,02)</p><p>2 + M</p><p>(1+0,02)</p><p>3 + M</p><p>(1+0,02)</p><p>5</p><p>600</p><p>1,018</p><p>+ 600</p><p>1,0363</p><p>= M</p><p>1,0404</p><p>+ M</p><p>1,0612</p><p>+ M</p><p>1,1041</p><p>589,39 + 578,98 = ( 1</p><p>1,0404</p><p>+ 1</p><p>1,0612</p><p>+ 1</p><p>1,1041</p><p>)M</p><p>1168,37 = (0,9612 + 0,9423 + 0,9057)M</p><p>1168,37 = 2,8092M</p><p>1168,37</p><p>2,8092 = M</p><p>M = 415,91</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>iguais sob regime e taxa de juros compostos de 1,32% a.m. Qual é o valor das parcelas que</p><p>Joana está disposta a pagar?</p><p>Portanto, o valor das parcelas propostas por Joana é de R$ 151,80.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Kátia, que pretende comprar</p><p>um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma</p><p>taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. Mas a loja fez uma</p><p>contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a</p><p>taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso, qual valor de cada parcela da proposta de</p><p>Kátia?</p><p>Primeiramente, temos o valor anunciado e valor proposto:</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>150</p><p>1+0,0043⋅12</p><p>+ 150</p><p>1+0,0043⋅24</p><p>= M</p><p>(1+0,0132)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0132)2</p><p>297,70 = 1,9611M</p><p>M = 297,70</p><p>1,9611</p><p>M = R$151,80</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= EProposta +∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>22.000</p><p>1+0,0004⋅10 + 22.000</p><p>1+0,0004⋅20 + 22.000</p><p>1+0,0004⋅30 =</p><p>= 25.670,40 + M</p><p>(1+0,0121)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,0121)2</p><p>+ M</p><p>(1+0,0121)3</p><p>65.476,88 = 25.670,40 +M( 1</p><p>1,0121 + 1</p><p>1,0243 + 1</p><p>1,0367 )</p><p>65.476,88 − 25.670,40 = M(0,9880 + 0,9763 + 0,9646)</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Portanto, o valor das parcelas propostas é de R$ 13.590,93.</p><p>Saiba mais</p><p>Para saber mais sobre negociação, leia o livro Matemática �nanceira de Fernando Guerra e Inder</p><p>Jeet Taneja.</p><p>Referências</p><p>ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista</p><p>Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática Financeira. Curso de graduação em Administração a</p><p>Distância, v. 1, 2014.</p><p>PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.</p><p>São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>39.806,48 = 2,9289M</p><p>M = 39.806,48</p><p>2,9289</p><p>M = R$13.590,93</p><p>https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/17372616022012Matematica_Financeira_Aula_1.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a</p><p>descontos e à taxa efetiva e nominal a �m de utilizá-los na resolução de problemas que envolvam</p><p>negociações �nanceiras, é necessário elencar os conhecimentos a seguir.</p><p>Quando trabalhamos com desconto bancário, nos referimos à antecipação do recebimento de</p><p>títulos no período em dias, seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma</p><p>instituição �nanceira.</p><p>Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o</p><p>desconto racional, utilizamos a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>N: valor nominal.</p><p>d: corresponde a taxa de juros simples ao dia.</p><p>n: período de antecipação.</p><p>Agora, para o cálculo do valor resgatado (</p><p>Também podemos trabalhar com desconto bancário de títulos de alto porte, ou seja, com IOF, a</p><p>partir da seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>D = N ⋅ d ⋅ n</p><p>VB</p><p>VB = N(1 − dn)</p><p>VB = N [1 − (d+ IOF)n]</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2enc_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.</p><p>N: valor nominal, valor do título antecipado.</p><p>d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>n: período de antecipação do título, geralmente em dias.</p><p>IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.</p><p>Outro tema importante para área refere-se às conversões das taxas equivalentes, em que a taxa</p><p>de juros e o período precisam estar na mesma unidade tempo. Para o regime de juros compostos</p><p>utilizamos a taxa efetiva e para sua conversão usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias</p><p>d: taxa nominal</p><p>A</p><p>taxa nominal refere-se a uma taxa no regime de capitalização dos juros simples. Para converter</p><p>uma taxa efetiva em nominal usa-se a seguinte fórmula:</p><p>Em que:</p><p>n: período da taxa nominal, em dias.</p><p>f: período da taxa efetiva, em dias</p><p>d: taxa nominal</p><p>: taxa efetiva</p><p>Por �m, temos que a negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital numa</p><p>situação A deve ser o mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o</p><p>mesmo do proposto, independentemente da forma de pagamento e regime de juros.</p><p>Para negociação com anúncio e proposta em juros simples usa-se a fórmula:</p><p>Para negociação com anúncio e proposta em juros compostos usa-se a fórmula:</p><p>VB</p><p>ief = ( d</p><p>n</p><p>+ 1)</p><p>f</p><p>− 1</p><p>d = [(ief + 1)</p><p>1</p><p>f − 1]n</p><p>ief</p><p>AV Anunciado = AV Proposto</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>1+iPropostanjProposta</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Para negociação com anúncio em juros simples e proposta em juros compostos usa-se a</p><p>fórmula:</p><p>Importante ressaltar que podemos ter anúncio em juros compostos e proposta em juros simples</p><p>também. Tais conceitos vistos nesta unidade além de contribuir para o avanço dos conteúdos da</p><p>disciplina também visam contribuir para resolução de problemas do nosso dia a dia.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!</p><p>Dona Maria alugou um forno para sua padaria e vai pagar duas parcelas mensais e iguais a R$</p><p>650,00 sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m. Senhor José, dono da padaria</p><p>ao lado, também tem interesse em alugar a mesma máquina, mas tem condição para pagar em</p><p>três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m.</p><p>Sendo assim, qual o valor de cada parcela Seu José vai pagar?</p><p>Após o estudo, re�ita sobre as seguintes perguntas:</p><p>Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?</p><p>Você extrai as informações de forma correta dos problemas?</p><p>Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode</p><p>te ajudar?</p><p>Dê o Play!</p><p>Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!</p><p>Primeiramente temos que:</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta = ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjAnunciada</p><p>1+iAnunciadanjAnunciado</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjProposta</p><p>(1+iProposta)</p><p>njProposta</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2_de_o_play_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Situação A (Anúncio): duas parcelas mensais e iguais a R$ 650,00 sob regime de juros</p><p>compostos e taxa efetiva de 4% a.m.</p><p>Situação B (Proposta): três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa</p><p>efetiva de 4% a.m.</p><p>Observe que não será necessário converter as taxas, pois temos taxa efetiva no regime de juros</p><p>compostos. Neste caso, temos tanto o anúncio quanto a proposta em regime de juros</p><p>compostos, então vamos utilizar a seguinte fórmula:</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>Logo, o valor de cada parcela da proposta do sr. José é R$ 441,77.</p><p>∑j</p><p>j=1</p><p>MjA</p><p>(1+iA)</p><p>njA</p><p>= ∑j</p><p>j=1</p><p>MjB</p><p>(1+iB)</p><p>njB</p><p>650</p><p>(1+0,04)1</p><p>+ 650</p><p>(1+0,04)2</p><p>= M</p><p>(1+0,04)1</p><p>+ M</p><p>(1+0,04)2</p><p>+ M</p><p>(1+0,04)3</p><p>650</p><p>1,04</p><p>+ 650</p><p>1,0816</p><p>= M</p><p>1,04</p><p>+ M</p><p>1,0816</p><p>+ M</p><p>1,1249</p><p>625 + 600,96 = M( 1</p><p>1,04</p><p>+ 1</p><p>1,0816</p><p>+ 1</p><p>1,1249</p><p>)</p><p>1.225,96 = M(0,9615 + 0,9246 + 0,8890)</p><p>1.225,96 = 2,7751M</p><p>M = 1.225,96</p><p>2,7751</p><p>M = 441,77</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Figura 1 | Mapa mental dos cálculos de juros e parcelamentos (desconto bancário e</p><p>taxa efetiva)</p><p>CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:</p><p>FGV, 2009.</p><p>MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.</p><p>OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,</p><p>2020.</p><p>,</p><p>Unidade 3</p><p>Análise de Financiamentos</p><p>Aula 1</p><p>Valor Presente - Financiamento</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Valor presente – �nanciamento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo</p><p>computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir mesmo sem conexão à internet.</p><p>Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender</p><p>conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!</p><p>Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Nesta aula, você fará uma análise sobre �nanciamentos, sejam eles de um veículo, um imóvel,</p><p>entre outros, além de compreender sobre características de um �nanciamento e a utilização da</p><p>fórmula do valor presente para seu cálculo.</p><p>Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo</p><p>valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais</p><p>sob a taxa efetiva de 1,51% a.m.</p><p>Qual será o valor da parcela dessa proposta de �nanciamento e como você faria para resolver</p><p>essa situação? Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!</p><p>Vamos Começar!</p><p>Juros compostos no �nanciamento com mais parcelas</p><p>Em nosso dia a dia, muitas vezes, somos colocados em situações nas quais são oferecidas</p><p>diversas formas de pagar alguma compra, como parcelar em valores mensais e iguais uma</p><p>geladeira, uma casa, um carro, entre outros. Mas, a�nal, como são realizados os cálculos em</p><p>diferentes �nanciamentos?</p><p>O �nanciamento tem como base de cálculo a série de juros compostos, que também pode ser</p><p>chamado de valor presente. Utilizamos a série de juros compostos quando estamos fazendo</p><p>cálculos de parcelas e prestações, mas com quantidades pequenas de parcelas, que não</p><p>precisam ser periódicas e nem iguais.</p><p>Já no caso de �nanciamento em juros compostos, com grande quantidade de parcelas</p><p>periódicas iguais, fazemos uso da fórmula do valor presente, um caso particular de séries de</p><p>juros compostos. O valor presente refere-se ao �nanciamento em juros compostos e por se tratar</p><p>de uma relação �nanceira a longo prazo, geralmente, suas parcelas ocorrem em relação mensal.</p><p>https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a1_mat_fin_1p.pdf</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>No cálculo do valor presente, ou seja, no �nanciamento, faz-se uso da taxa de juros compostos, o</p><p>que consequentemente nos leva ao uso da taxa efetiva. Por isso, importante ressaltar que a taxa</p><p>nominal deve ser convertida para efetiva quando necessário fazer esse tipo de cálculo.</p><p>Um exemplo para compreender sobre o valor presente pode ser situação de um �nanciamento</p><p>imobiliário com 300 parcelas iguais e mensais sob uma taxa efetiva de 7,8% a.a. Neste caso,</p><p>temos uma quantidade grande de parcelas periódicas e iguais, além de trabalharmos com uma</p><p>taxa efetiva.</p><p>Figura 1 | Juros. Fonte: Freepik.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Financiamentos</p><p>Em nosso cotidiano é comum usar �nanciamentos para aquisição de bens. Um �nanciamento é</p><p>quando alguém empresta uma determinada quantia em dinheiro a uma pessoa ou a uma</p><p>empresa. Quando acontece um empréstimo de dinheiro, por exemplo, quem empresta cobra uma</p><p>porcentagem de juros sobre o valor emprestado, o que exige conhecimento para escolha da</p><p>melhor taxa de juros para cada situação.</p><p>É muito comum fazer uso de empréstimos de instituições bancárias, com um período pré-</p><p>determinado para sua liquidação e nessas situações o valor dos juros é calculado de acordo com</p><p>o valor do empréstimo, bem como conforme a taxa percentual aplicada pelo banco.</p><p>Muito se fala na aquisição de bens sem a necessidade de �nanciamentos, no entanto, tudo</p><p>depende do cenário e contexto de cada um, pois muitas vezes se realiza um �nanciamento para</p><p>Disciplina</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>a expansão de negócios lucrativos, �nanciamento de equipamentos, instalações, entre outros, o</p><p>que pode compensar no �nal das contas.</p>