Cálculo Numérico - Métodos de Zero

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<p>UNIFEI</p><p>Instituto de Matemática e Computação</p><p>LISTA 2-P1</p><p>Profs. Nancy Chachapoyas e José Vidarte</p><p>MAT00N CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Observação: O objetivo dessa lista é auxiliar e direcionar aos estudos. Muitos de estes exercícios não</p><p>são triviais e não creio serem suficientes para sua avaliação. Além disso, essa lista não conta com um</p><p>gabarito, a resolução vai por conta do leitor. Procure outros exercícios em outras referências.</p><p>Observação: Coloque a calculadora no modo radianos.</p><p>Zero de funções: Localização</p><p>Localize as raízes das equações a seguir:</p><p>1. 4 cos(x)− e2x = 0</p><p>2. 1− x ln(x) = 0</p><p>3. 2x − 3x = 0</p><p>4. x3 + x− 1000 = 0</p><p>Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.</p><p>Zero de funções: Refinamento</p><p>1. Seja f(x) = x3 − 9x+3. Dado que o intervalo inicial é I = [0, 1], encontre o zero desta função, neste</p><p>intervalo, pelo o método da bissecção com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0.01</p><p>2. Seja f(x) = x3 − 9x+3. Dado que o intervalo inicial é I = [0, 1], encontre o zero desta função, neste</p><p>intervalo, pelo o método da falsa posição com precisões ϵ1 = 0.01 e ϵ2 = 0.000001</p><p>3. Seja f(x) = x3 − 9x + 3 e x0 = 0, 5. Dado que o intervalo inicial é I = [0, 1], encontre o zero</p><p>desta função, neste intervalo, pelo o método do ponto fixo com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0.01. Sugestão:</p><p>Considere a função de interação :φ(x) =</p><p>x3 + 3</p><p>9</p><p>.</p><p>4. Seja f(x) = x3 − 9x + 3 e x0 = 0, 5. Dado que o intervalo inicial é I = [0, 1], encontre o zero desta</p><p>função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0.01.</p><p>5. Seja f(x) = x3 − 9x+3, x0 = 0, 5, x1 = 0, 7. Dado que o intervalo inicial é I = [0, 1], encontre o zero</p><p>desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões ϵ1 = 0.01 e ϵ2 = 0.000001.</p><p>6. Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2, 3], encontre-a usando o método da</p><p>bisseção com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0, 01.</p><p>1</p><p>7. Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0, 0001.</p><p>8. Considere o problema de encontrar um zero de uma função f(x) no intervalo [0, 1] com precisão</p><p>ϵ1 = ϵ2 = 0, 01 pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.</p><p>9. Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão ϵ1 = ϵ2 = 0, 0001 :</p><p>a) f(x) = x3 − sen(x) = 0</p><p>b) f(x) = 3x− cos(x) + 1 = 0</p><p>c) f(x) = ln(x)− sen(x) = 0</p><p>10. Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão ϵ1 = ϵ2 = 0, 0001 :</p><p>a) f(x) = x− sen(x) = 0</p><p>b) f(x) = sen(x)− x− 1 = 0</p><p>c) f(x) = 2x− e−x = 0</p><p>11. As raízes de f(x) = ln(x)− x+ 2 = 0 podem ser determinadas usando o MPF</p><p>Considerando os processo iterativos:</p><p>a) xi+1 = φ(xi) = 2 + ln(xi)</p><p>b) xi+1 = exi−2</p><p>Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e</p><p>verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial</p><p>dada, determine as raízes.</p><p>12. Seja f(x) = ex − 4x2 e ξ ∈ (0, 1). Se x0 = 0, 5, encontre ξ com ϵ1 = ϵ2 = 10−4, usando:</p><p>(a) o MPF com φ(x) = 1</p><p>2e</p><p>x</p><p>2 , verifique as condições de convergência.</p><p>b) o método de Newton.</p><p>Compare a rápidez de convergência.</p><p>13. O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:</p><p>(a) sen(x) = 0</p><p>b) cos(x) + 1 = 0</p><p>Aplique o método de Newton com x0 = 3 e precisão 10−7 em cada caso e compare os resultados</p><p>obtidos.</p><p>14. Seja f(x) = sen(x)− kx.</p><p>(a) Encontre os valores positivos de k para que f tenha apenas uma raiz estritamente positiva.</p><p>b) Encontre os valores positivos de k para que f tenha três raízes estritamente positivas.</p><p>Bom trabalho a todos!!!.</p><p>2</p>