1-2 - ZEROS DE FUNCOES

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3 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 
 
Prof. Simone 
 
Introdução 
 
Nas mais diversas áreas das ciências exatas, ocorrem situações em que 
necessitamos determinar um número ξ, para o qual a função f(x) seja zero, ou seja 
f(ξ)= 0. Este número é chamado zero da função f(x) ou raiz da equação f(x) = 0. 
 
Começou-se a falar em equações como hoje conhecemos a partir do século XII. Com 
Bhaskara, tornou-se conhecida a fórmula para resolução de uma equação do 20 grau. 
 
Nicolo Fontana após muito estudo encontrou solução para as equações do 30 grau, cujo 
trabalho foi publicado por Jerônimo Cardano. Tais fórmulas como as do 40 grau são 
conhecidas como fórmulas de Cardano. 
 
Em 1824, Niels Abel provou que equações de grau superior a 4 não podem ser 
resolvidas de forma coerente. Este teorema, com o teorema fundamental da álgebra, 
enunciado por D’alembert em 1746 que diz: “Toda equação polinomial de grau n possui 
exatamente n raízes”, foi demonstrado por Gauss em 1799. 
 
A partir daí, os métodos para o cálculo das n raízes de um polinômio de grau n são 
voltados aos métodos iterativos, que também são aplicáveis às equações transcendentes. 
A idéia central desses métodos, é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em 
seguida “refinar” essa aproximação através de um processo iterativo. 
 
Esses métodos constam de duas fases: 
 
Fase 1: Localização ou isolamento das raízes. Nesta fase é feita uma análise teórica e 
gráfica da função f(x). 
 
Teorema 1: Seja f(x) uma função contínua em [a; b]. Se f(a). f(b) < 0 então existe pelo 
menos um ponto x = ξ, entre a e b, que é zero de f(x). 
 
f(x) 
 
a b
ξ1 ξ2 ξ3 x
f(a). f(b) <0 
 
2
A raiz ξ será definida e única se a derivada f ’(x) existir e preservar o sinal dentro do 
intervalo (a, b), isto é, se f ’(x) > 0 ou se f ’(x) < 0 para a < x < b. 
 
f(x) 
 
a b
ξ x
f ’(x) > 0 
 
Através dos resultados anteriores podemos localizar os intervalos que contém as 
raízes de f(x) da seguinte forma: Tabelar f(x) para vários valores de x, sempre levando 
em conta o domínio da função , e analisar as mudanças de sinal de f(x) e também o sinal 
da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. 
 
Exemplo 1: Seja f(x) = x3 – 6x2 –13x + 42 
 
Como o domínio de f(x) é D(f) = R, temos a seguinte tabela: 
 
x -∞ -100 -10 -5 -4 -2 0 1 3 4 6 8 10 … 
 
f(x) - - - - - + + + - - - + + … 
 
f(a)f(b) <0 f(a)f(b) <0 f(a)f(b) <0 
 
Assim como f(x) é contínua para qualquer x ∈ R e também observando que 
f(a)f(b)<0, temos os intervalos I1 = [-4, -2], I2 = [1, 3 ] e I3 = [6, 8] que contém pelo 
menos uma raiz de f(x). 
 
3
Exemplo2: Seja f(x) = xex −− 5
x
f(x) 
 
Uma outra maneira para se achar um intervalo que contenha só uma raiz é o 
método gráfico. 
Para se achar a raiz, fazemos o esboço da função f(x) e verificamos em que 
ponto do eixo dos x a função se anula. 
 
Exemplo 3: 
f(x) = ex – sen x – 2 
 
y
y = f(x) 
 
0 0,5 x
A função tem uma raiz ξ ∈ ( 1, 2) .
Também podemos resolver o problema é substituir f(x) = 0 por uma equação 
g(x) – h(x) = 0 que contenha as mesmas raízes de f(x). 
 
f(x) = g(x) – h(x) 
 
4
Fazendo os gráficos de y1 = g(x) e y2 = h(x), eles se interceptam em um ponto de 
Abcissa x = x0. Neste ponto, g(x0) = h(x0), logo: f (x0) = g(x0) - h(x0), portanto, 
concluímos que ξ = x0.
Y
y2 = h(x) 
 
y1 = g(x) 
 
0 x0 x
Exemplo 4: 
f(x) = ex – sen x – 2 
 
Sendo: g(x) = ex e h(x) = sen x + 2 
 
x g(x) h(x) 
0,0 
0,5 
1,0 
1,5 
2,0 
2,5 
1,0 
1,6 
2,7 
4,5 
7,4 
12,2 
2,0 
2,5 
2,8 
3,0 
2,9 
2,6 
y y = g(x) 
 
y = h(x) 
 
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x
Logo, a função tem uma raiz ξ ∈ ( 1, 2)
5
Grau de exatidão da raiz 
Depois de isolar a raiz no intervalo [a, b], passamos a determiná-la através de 
métodos numéricos. Estes métodos fornecerão uma seqüência {xi} de aproximações, 
cujo limite é a raiz exata ξ.
Teorema: 
Seja ξ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada de f(x) = 0, com ξ e xn
pertencentes ao intervalo [a, b] e f ‘(x)≥ m > 0 para x∈ [a, b], onde m = mín f ‘(x),
a ≤ x ≤ b
então, 
 f(xn)
xn - ξ≤ 
m
Exemplo 5: 
Sendo f(x) = x2 – 6, determinar o erro cometido com xn = 2,446 no intervalo [2, 3]. 
 
m = mín 2x = 4
2≤x≤ 4
f(xn) 0,017084 
 xn - ξ≤ � 2,446 - ξ≤ 
m 4
2,446 - ξ≤ 0,0043 � ξ = 2,446 ± 0,0043
Muitas vezes, o cálculo de m é muito trabalhoso, por esta razão, a tolerância ∈ é
avaliada por um dos critérios abaixo: 
 
f(xn)≤ ∈
xn – xn-1≤ ∈
xn – xn-1
≤ ∈
xn 
6
Em cada aproximação xn da raiz exata ξ usa-se um destes critérios e compara-se o 
resultado com a tolerância ∈ prefixada. 
 
Modelos iterativos para se obter zeros reais de funções 
Método da bissecção 
 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0. Vamos 
supor que o intervalo [a, b] contém uma única raiz da equação f(x) = 0. 
 
O objetivo do método é de reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até 
se atingir a precisão requerida (b – a) <∈, usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] 
ao meio. 
 
Graficamente: 
 
y y = f(x) 
a = a0 b = b0
As iterações são feitas da seguinte forma: 
 
f(a0) < 0 ξ ∈ [a0, x0]
2
00
0
bax += f(b0) > 0 a1 = a0
f(x0) > 0 b1 = x0
f(a1) < 0 ξ ∈ [x1, b1]
2
11
1
bax += f(b1) > 0 a2 = x1
f(x1) < 0 b2 = b1
7
f(a2) < 0 ξ ∈ [x2, b2]
2
22
2
bax += f(b2) > 0 a3 = x2
f(x2) < 0 b3 = b2
Exemplo 6: 
 
Achar a raiz da equação f(x) = xex −− 5 pelo método da bissecção, no qual tem uma 
raiz ξ∈[1, 2], com ∈=0, 05. 
 
f(1) < 0 ξ ∈ [1, 1,5] 
 5,12
21
0 =
+=x f(2) > 0 a1 = a0
f(1,5) =0, 109 > 0 b1 = x0
f(1) < 0 ξ ∈ [1.25, 1,5] 
 
25,12
5,11
1 =
+=x f(1,5) > 0 a2 = x1
f(1,25) = -0, 311 < 0 b2 = b1
f(1,25) < 0 ξ ∈ [1.375, 1,5] 
 
375,12
5,125,1
2 =
+=x f(1,5) > 0 a3 = x2
f(1,375) = -0, 09 < 0 b3= b2
8
f(1,375) < 0 ξ ∈ [1.375, 1,4375] 
 
4375,12
5,1375,1
3 =
+=x f(1,5) > 0 a4 = a3
f(1,4375) = 0,01 < ∈ b4= x3
Assim a solução aproximada é x = 1, 4375
Exemplo 7: 
 
Achar a raiz da equação f(x) = x logx - 1 pelo método da bissecção. 
 
9
Método das Cordas 
 
Seja f(x) uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante 
no intervalo [a, b] , tal que f(a).f(b) < 0 e que existe somente um número ξ ∈ [a, b] tal 
que f(ξ) = 0.
Esse método divide o intervalo [a, b] em partes proporcionais na razão 
-f(a)/f(b), ou seja: 
 
)()(
)(1
bfaf
af
ab
h
+−
−=−
Conduzindo assim a um valor aproximado da raiz 
 
x1 = a + h1
)()()(
)(
1 abafbf
afax −−−=
Interpretação geométrica: 
y
f(b) B 
 
a=x0 x1 x2 b
0 ∈ x
f(a) A 
 
10
Equação Geral 
 
)()()(
)(
1 cxcfxf
xfxx n
n
n
nn −−−=+
com n = 0, 1, 2, ... e c o ponto extremo do intervalo [a, b] onde a função apresenta o 
mesmo sinal de f”(x) , i.e., 
 
f(c).f”(c ) > 0 
 
Critério de parada 
 
ε≤−+ nn xx 1
Exemplo 8: 
 
Achar pelo menos uma raiz da equação f(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 pelo método das 
cordas, no qual tem uma raiz ξ∈[1.4 , 2.2], com ∈=0, 01. 
 
f’(x) = 3x2 –8x + 1 
f’(x) = 6x-8 
 
f(1.4) > 0 
f(2.2) < 0 
f”(1.4) > 0 
f”(2.2) > 0 
 
Assim f(1.4). f”(1.4) > 0 logo c= 1.4 e x0 = 2.2
n=0 
 
)()()(
)(
0
0
0
01 cxcfxf
xfxx −−−=
054.2)4.12.2(304.2)512.0(
)512.0(2.21 =−−−
−−=x
11
n=1 
 
)()()(
)(
1
1
1
12 cxcfxf
xfxx −−−=
x2 = 2.012
n= 2 
 
)()()(
)(
2
2
2
23 cxcfxf
xfxx −−−=
x 3 = 2.002
ε<=− 009.023 xx
Assim a solução aproximada é x = 2.002 
 
Exemplo 9: 
 
Achar pelo menos uma raiz da equação f(x) = e x – sen x - 2 pelo método das cordas, 
no qual tem uma raiz ξ∈[1.0 , 1.2], com ∈=0, 001. 
 
12
Método NewtonRaphson 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e ξ o seu único zero neste intervalo. As 
derivadas f ‘(x) (f ‘(x) ≠ 0) e f “(x) também devem ser contínuas. 
 
Fazendo uma expansão em série de Taylor para f(x) = 0, encontramos uma aproximação 
xn para a raiz ξ.
))((')()( nnn xxxfxfxf −+=
0))((')()( 11 =−+= ++ nnnnn xxxfxfxf
))((')( 1 nnnn xxxfxf −−= +
nn
n
n xxxf
xf −=− +1)('
)(
)('
)(
1
n
n
nn xf
xfxx −=+ n = 0, 1, 2, 3, ... 
 
onde xn+1 é uma aproximação de ξ.
Interpretação geométrica: 
O método de Newton equivale a substituir um pequeno arco da curva y = f(x) por uma 
reta tangente, traçada a partir de um ponto da curva. 
 
São possíveis quatro situações: 
 
f ’ (x) > 0 caso I 
 f ” (x) > 0 
 f ’ (x) < 0 caso II 
 
f ’ (x) > 0 caso III 
 f ” (x) < 0 
 f ’ (x) < 0 caso IV 
 
Deduziremos a equação do Método de Newton para o caso I. 
 
13
A figura a seguir mostra a equação original f(x) = 0; a raiz desejada x é a abcissa do 
ponto em que a curva corta o eixo dos x. 
 
y
B0
y = f(x) 
 B1
a ξ β α b = x0
0 x2 x1 x1, x
A
Supondo que na figura tomamos uma escolha inicial x0. Para obtermos um novo valor 
x1, traçamos a partir do ponto B0 [x0, f(x0)] uma reta tangente à curva y = f(x) que 
intercepta o eixo dos x. Para obtermos x2, traça-se a partir do ponto B1 [x1, f(x1)] outra 
reta tangente à curva que corta o eixo dos x. Repetimos o processo até que se encontre 
ξ = xn-1 com tolerância requerida. 
 
Geometricamente: 
)(')( 0
10
0 xfxx
xftg =−=α
)('
)(
0
0
10 xf
xfxx =− � )('
)(
0
0
01 xf
xfxx −=
)(')( 1
21
1 xfxx
xftg =−=β
)('
)(
1
1
21 xf
xfxx =− � )('
)(
1
1
12 xf
xfxx −=
Por indução, 
 
)('
)(
1
n
n
nn xf
xfxx −=+ n = 0, 1, 2, 3, ... 
14
Escolha de x0:
É condição suficiente para a convergência do método de Newton: 
 
f ’(x) ≠ 0
f ”(x) ≠ 0
e preserve o sinal em (a, b) e x0 seja tal que: 
 
f (x0) . f ”(x0) > 0
Obs.: O Método da Bissecção, tem convergência lenta, deve ser usado para diminuir o 
intervalo que contém a raiz. 
 
O Método de Newton Raphson requer o cálculo da derivada, mas sua convergência é 
rápida. 
 
Exemplo 10: 
 
Calcular a raiz negativa de f(x) = x3 – 5x2 + x + 3, com ∈ ≤ 10-5, Método de 
Newton., onde ξ ∈ [-2,44; -0,38] 
 
f’(x) = 3x2 – 10x +1 
 
f’’(x) = 6x – 10 < 0 ∀ x < 5/3 
 
f(-2,44) = - 43,73478 < 0 
 x0 = 2,44 pois f(-2,44).f” (2,44) > 0 
 f(-0,38) = 1,84313 > 0 
 
n xn f(xn) ∈
0
1
2
3
4
5
6
-2,44000 
-1,42904 
-0,88937 
-0,68167 
-0,64673 
-0,64575 
-0,64575 
-4,373E+01 
-1,156E+01 
-2,548E+00 
-3,218E-01 
-8,558E-03 
6,676E-06 
0,000E+00 
 
-1,011E+00 
-5,397E-01 
-2,077E-01 
-3,494E-02 
-9,812E-04 
-7,666E-07 
Assim a solução aproximada é x = -0,64575 
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Exemplo 11: 
 
Calcular pelo menos uma raiz real da equação f(x) = xlnx – 2 , com ∈ ≤ 10-5,
Método de Newton., onde ξ ∈ [2, 3] 
 
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Lista 3 de exercícios 
1) Localizar os intervalos que contem as raízes das equações transcendentes: 
a) f(x) = x2 – sen x – 1 
b) f(x) = 3x – cos x 
c) f(x) = senx – ln x 
d) f(x) = cos x – ln x + 2 
 
2) Calcular pelo menos uma raiz da equação f(x) = senx – lnx = 0, com ∈ = 0,005,
passo a passo, pelo Método da Bissecção.
3) Calcular pelo menos uma raiz da equação f(x) = cosx – lnx =0, com precisão < 10-3,
passo a passo, pelo Método de Newton-Raphson.
4) Calcular pelo menos uma raiz da equação f(x) = 2x3 + lnx –7 =0, com precisão< 10-3,
passo a passo, pelo Método das cordas. 
5) Calcular pelo menos uma raiz da equação f(x) = x lnx - 1 = 0, com precisão< 10-3,
passo a passo, pelo 3 métodos anteriores. 
 
6) Calcular pelo menos uma raiz das equações f(x) = ex + cosx -1= 0 e f(x)= 3x–cosx=0, 
com precisão< 10-5, usando processos computacionais por qualquer processo. 
 
	Nicolo Fontana após muito estudo encontrou solução para as equações do 30 grau, cujo trabalho foi publicado por Jerônimo Cardano. Tais fórmulas como as do 40 grau são conhecidas como fórmulas de Cardano.
	Em 1824, Niels Abel provou que equações de grau superior a 4 não podem ser resolvidas de forma coerente. Este teorema, com o teorema fundamental da álgebra, enunciado por D’alembert em 1746 que diz: “Toda equação polinomial de grau n possui exatamente n raízes”, foi demonstrado por Gauss em 1799.
	A partir daí, os métodos para o cálculo das n raízes de um polinômio de grau n são voltados aos métodos iterativos, que também são aplicáveis às equações transcendentes. A idéia central desses métodos, é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida “refinar” essa aproximação através de um processo iterativo.
	Esses métodos constam de duas fases:
	Fase 1: Localização ou isolamento das raízes. Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x).
	Teorema 1: Seja f(x) uma função contínua em [a; b]. Se f(a). f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = (, entre a e b, que é zero de f(x).
	Através dos resultados anteriores podemos localizar os intervalos que contém as raízes de f(x) da seguinte forma: Tabelar f(x) para vários valores de x, sempre levando em conta o domínio da função , e analisar as mudanças de sinal de f(x) e também o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
	Uma outra maneira para se achar um intervalo que contenha só uma raiz é o método gráfico.
	Equação Geral
	Critério de parada
	n=0
	 A