Notas de Aulas de Lógica

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<p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>1</p><p>Lógica</p><p>Existem muitas definições para a palavra “ lógica” , porém no caso do nosso estudo não é</p><p>relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de</p><p>vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do</p><p>pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é</p><p>matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo</p><p>Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois</p><p>a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da</p><p>estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formas</p><p>ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das</p><p>relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que</p><p>venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao</p><p>nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de</p><p>proposições denominadas premissas ou conclusões.</p><p>1 - DEFINIÇÃO:</p><p>1.1 - Proposição:</p><p>Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que</p><p>exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.</p><p>1) Exemplo:</p><p>a) O Professor Joselias é bonito.</p><p>b) O Brasil é um País da América do Sul.</p><p>c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.</p><p>Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ou</p><p>verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que</p><p>uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser</p><p>expressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemos</p><p>expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.</p><p>Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V)</p><p>ou falso(F).</p><p>2) Exemplo:</p><p>Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira então</p><p>representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V.</p><p>Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremos</p><p>o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F.</p><p>Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributo</p><p>verdadeiro ou falso.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>2</p><p>Portanto não serão proposições as seguintes expressões:</p><p>Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”.</p><p>Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminou</p><p>empatado?”.</p><p>Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”.</p><p>Paradoxos: “Esta proposição é falsa”.</p><p>Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:</p><p>1 – Princípio da não-contradição:</p><p>Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.</p><p>2 – Princípio do Terceiro Excluído:</p><p>Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F),</p><p>não podendo ter outro valor.</p><p>Logo, voltando ao exemplo anterior temos:</p><p>a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira.</p><p>b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.</p><p>c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.</p><p>As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . .</p><p>As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de</p><p>operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).</p><p>Os conectivos serão representados da seguinte forma: ¬ corresponde a “ não” ∧ corresponde a “e” (conjunção) ∨ corresponde a “ou” (disjunção) → corresponde a “então” (condicional) ↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional)</p><p>Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com</p><p>a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:</p><p>� Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)</p><p>Exemplo:</p><p>3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:</p><p>a ∧ b = “Chove e faz frio”</p><p>� Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b)</p><p>Exemplo:</p><p>4) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:</p><p>a ∨ b = “Chove ou faz frio”</p><p>� Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>3</p><p>Exemplo:</p><p>5) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:</p><p>a → b = “Se chove então faz frio”</p><p>� Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)</p><p>Exemplo:</p><p>6) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:</p><p>a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio”</p><p>Exemplo:</p><p>7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso”</p><p>Sejam as proposições:</p><p>p = “Cacilda é estudiosa”</p><p>q = “Ela passará no concurso”</p><p>Então poderemos representar a sentença da seguinte forma:</p><p>Se p então q ( ou p → q ).</p><p>1.2 - TABELA VERDADE</p><p>Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo</p><p>através da tabela verdade.</p><p>a. Valor verdade de ¬P</p><p>P ¬P</p><p>V F</p><p>F V</p><p>A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P é</p><p>falso, e vice-versa.</p><p>b. Valor verdade de P∧Q</p><p>P Q P∧Q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F F</p><p>O valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P)</p><p>e VAL (Q) são verdades.</p><p>c. Valor verdade de P∨Q</p><p>P Q P∨Q</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>4</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>O valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) e</p><p>VAL (Q) são falsos.</p><p>d. Valor verdade de P → Q</p><p>P Q P → Q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>O valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) =</p><p>V e VAL (Q) = F</p><p>e. Valor verdade de P ↔ Q</p><p>O valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) e</p><p>VAL (Q) tem os mesmos valores verdade.</p><p>Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinte</p><p>forma:</p><p>Exemplo:</p><p>8) Sejam as proposições p e q, tal que:</p><p>p = ”Está calor”</p><p>q = ”Está chovendo”</p><p>P Q P ↔ Q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>α β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ β</p><p>V V F V V V V</p><p>V F F F V F F</p><p>F V V F V V F</p><p>F F V F F V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>5</p><p>Descrever as seguintes proposições abaixo:</p><p>a) ¬p</p><p>b) p ∨ q</p><p>c) p ∧ q</p><p>d) p → q</p><p>e) p ↔ q</p><p>Solução:</p><p>a) ¬p = “Não está calor”</p><p>b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo”</p><p>c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo”</p><p>d) p → q = “Se está calor, então está chovendo”</p><p>e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo”</p><p>9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma das</p><p>seguintes afirmações em função de p e q:</p><p>a) “Joselias é magro ou bonito”</p><p>b) “Joselias é magro e bonito”</p><p>c) “Se Joselias é magro, então é bonito”</p><p>d) “Joselias não é magro, nem bonito”</p><p>Solução:</p><p>a) “Joselias é magro ou bonito” = p ∨ q</p><p>b) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ q</p><p>c) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → q</p><p>d) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q</p><p>10) Se p é uma proposição verdadeira, então:</p><p>a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição</p><p>premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que o</p><p>argumento não é válido.</p><p>d) NDA.</p><p>Solução</p><p>Temos o seguinte argumento:</p><p>Todas as proteínas são compostos orgânicos</p><p>Todas as enzimas são compostos orgânicos</p><p>Todas as enzimas são proteínas∴</p><p>Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamente</p><p>temos:</p><p>A B</p><p>C B</p><p>C A</p><p>Todas as proteínas são compostos orgânicos</p><p>Todas as enzimas são compostos orgânicos</p><p>Todas as enzimas são as proteínas∴</p><p>O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.:</p><p>Todo A é B</p><p>Todo C é B ∴Todo C é A</p><p>Resposta: C</p><p>Exemplo:</p><p>60) (ESAF)</p><p>Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não</p><p>estou furioso, não bebo. Logo,</p><p>a) não durmo, estou furioso e não bebo</p><p>b) durmo, estou furioso e não bebo</p><p>c) não durmo, estou furioso e bebo</p><p>d) durmo, não estou furioso e não bebo</p><p>e) não durmo, não estou furioso e bebo</p><p>Solução</p><p>Temos o seguinte argumento:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>49</p><p>Se não durmo, bebo</p><p>Se estou furioso, durmo</p><p>Se durmo, não estou furioso</p><p>Se não estou furioso, não bebo.</p><p>Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:</p><p>Não durmo bebo</p><p>Estou furioso durmo</p><p>Durmo não estou furioso</p><p>Não estou furioso não bebo.</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras:</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso</p><p>não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa</p><p>situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples</p><p>contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se</p><p>o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e</p><p>encontramos a resposta correta.</p><p>Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremos</p><p>então a seguinte situação nas premissas:</p><p>V</p><p>F</p><p>F</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:</p><p>VV</p><p>F F</p><p>F</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>50</p><p>Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa.</p><p>VV</p><p>F F</p><p>F</p><p>F</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa.</p><p>VV</p><p>F F</p><p>F</p><p>F F</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois não</p><p>podemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição</p><p>“Não estou furioso” falsa.</p><p>Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora que</p><p>a proposição “Não durmo” é falsa.</p><p>F</p><p>V</p><p>V</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos:</p><p>F</p><p>V</p><p>V V</p><p>V</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>51</p><p>FF</p><p>F V</p><p>V V</p><p>V V</p><p>Não durmo bebo (V)</p><p>Estou furioso durmo (V)</p><p>Durmo não estou furioso (V)</p><p>Não estou furioso não bebo (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Podemos deduzir as conclusões através das proposições verdadeiras:</p><p>Durmo. Não bebo. Não estou furioso.</p><p>Resposta: D</p><p>Exercícios Propostos</p><p>Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE):</p><p>Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou</p><p>respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor</p><p>(valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.</p><p>Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.</p><p>64) ¬ P ∨ Q é verdadeira.</p><p>65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.</p><p>66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.</p><p>67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.</p><p>ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃO</p><p>I p q⇒ , p q</p><p>II p q⇒ , q∼ p∼</p><p>III p q∨ , p∼ q</p><p>IV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨</p><p>68) Considerando os argumento acima podemos dizer que</p><p>(A) Todos são não válidos.</p><p>(B) Apenas um é válido.</p><p>(C) Apenas dois são válidos.</p><p>(D) Apenas três são válidos.</p><p>(E) Todos são válidos.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>52</p><p>69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.</p><p>Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto</p><p>concluir que</p><p>(A) quem não é corrupto é honesto.</p><p>(B) existem corruptos honestos.</p><p>(C) alguns honestos podem ser corruptos.</p><p>(D) existem mais corruptos do que desonestos.</p><p>(E)) existem desonestos que são corruptos.</p><p>70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro é</p><p>matemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que</p><p>(A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático.</p><p>(B) Pedro é estudioso e Ivo é músico.</p><p>(C) Pedro é também músico e Ivo é matemático.</p><p>(D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico.</p><p>(E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.</p><p>71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhum</p><p>aposentado é esportista". Portanto, nessa cidade,</p><p>(A) nenhum aposentado é físico.</p><p>(B) nenhum físico é aposentado.</p><p>(C) algum aposentado não é físico.</p><p>(D) algum físico é aposentado.</p><p>(E) algum físico não é aposentado.</p><p>72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que</p><p>(A) Angélica é loira.</p><p>(B) Angélica não é loira.</p><p>(C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica.</p><p>(D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira.</p><p>(E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.</p><p>(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F),</p><p>mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente</p><p>simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entre</p><p>outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A</p><p>é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida</p><p>como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração</p><p>F quando A é V. A expressão da forma A∧ B, lida como “A e B”, é uma proposição</p><p>que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.</p><p>Uma expressão da forma A∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>53</p><p>valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas</p><p>definições,</p><p>julgue os itens que se seguem.</p><p>73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as</p><p>mesmas valorações V ou F da proposição A→ B.</p><p>74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e</p><p>“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando</p><p>adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou</p><p>rica” é também verdadeira.</p><p>75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.</p><p>76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja</p><p>verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é</p><p>verdadeira.</p><p>(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como</p><p>verdadeira (V) ou falsa (F), mas nã o como ambas. As proposições são</p><p>usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por</p><p>exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela</p><p>preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma</p><p>P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,</p><p>é F. Se a conexão for feita pela prepos ição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P</p><p>e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é</p><p>simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.</p><p>Um argumento é uma seqüência de proposições P 1, P2, ..., Pn,</p><p>chamadas premissas, e uma propos ição Q, chamada conclusão. Um</p><p>argumento é válido, se Q é V sempre que P 1, P2, ..., Pn forem V, caso</p><p>contrário, não é argumento válido.</p><p>A partir desses conceitos, julgue o próximo item.</p><p>77) Considere as seguintes proposições:</p><p>P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”</p><p>Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou</p><p>Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha</p><p>dinheiro”.</p><p>78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos.</p><p>Logo</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>54</p><p>(A) todos os momorrengos são torminodoros.</p><p>(B) alguns torminodoros são momorrengos.</p><p>(C) todos os torminodoros são macerontes.</p><p>(D) alguns momorrengos são pássaros.</p><p>(E) todos os momorrengos são macerontes.</p><p>79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatro</p><p>tipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representam</p><p>sentenças. Os símbolos ¬, → e são conectivos lógicos usuais de negação, implicação</p><p>e disjunção, respectivamente.</p><p>Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativa</p><p>correta.</p><p>a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegados</p><p>desconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma dedução</p><p>do tipo III.</p><p>b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.</p><p>Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.</p><p>c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinado</p><p>acontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.</p><p>d) As tabelas verdade das proposições P Q e P→Q são iguais.</p><p>*e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas as</p><p>premissas forem verdadeiras.</p><p>80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:</p><p>_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser</p><p>superada.</p><p>_ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão</p><p>fantasiosos.</p><p>_ Os superávits serão fantasiosos.</p><p>Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:</p><p>(A) A crise econômica não demorará a ser superada.</p><p>(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.</p><p>(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.</p><p>(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.</p><p>(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.</p><p>81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é</p><p>justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou</p><p>Homero é honesto. Logo,</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>55</p><p>a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.</p><p>b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.</p><p>c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.</p><p>d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.</p><p>e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.</p><p>82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências</p><p>que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:</p><p>1) Se Homero é culpado, então João é culpado.</p><p>2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.</p><p>3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.</p><p>4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.</p><p>As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:</p><p>a) Homero, João e Adolfo são inocentes.</p><p>b) Homero, João e Adolfo são culpados.</p><p>c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.</p><p>d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.</p><p>e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.</p><p>83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoas</p><p>alegres”, então necessariamente,</p><p>a) Toda pessoa alegre é matemático.</p><p>b) Todo matemático é professor.</p><p>c) Algum professor é uma pessoa alegre.</p><p>d) Nenhuma pessoa alegre é professor.</p><p>e) Nenhum professor não é alegre.</p><p>84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é</p><p>necessário que:</p><p>a) todas as mulheres sejam cozinheiras.</p><p>b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras.</p><p>c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.</p><p>d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.</p><p>e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.</p><p>85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:</p><p>a) todo matemático seja louco.</p><p>b) todo louco seja matemático.</p><p>c) Algum louco não seja matemático.</p><p>d) Algum matemático seja louco.</p><p>e) Algum matemático não seja louco.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>56</p><p>86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.</p><p>Segue-se, portanto, necessariamente que</p><p>a) todo C é B</p><p>b) todo C é A</p><p>c) algum A é C</p><p>d) nada que não seja C é A</p><p>e) algum A não é C</p><p>Análise Combinatória</p><p>PROBLEMA DA CONTAGEM</p><p>Exemplos</p><p>Os candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 áreas (Auditoria, Julgamento,</p><p>Aduana e Administração) e em 8 regiões para cada área. Quantas opções são oferecidas</p><p>para os candidatos?</p><p>As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantos</p><p>carros podem ser licenciados?</p><p>Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamos</p><p>começar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge a</p><p>análise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando</p><p>assim a contagem.</p><p>PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM</p><p>Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado:</p><p>Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e,</p><p>para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n</p><p>maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da</p><p>ocorrência de B é m x n.</p><p>Exemplos:</p><p>1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis e 4 áreas possíveis par</p><p>concorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrição?</p><p>Solução</p><p>Temos</p><p>neste caso dois acontecimentos</p><p>A - Escolher a região (8 possibilidades)</p><p>B - Escolher a área (4 possibilidades)</p><p>Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>57</p><p>2. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se</p><p>vestir?</p><p>Solução</p><p>Evidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2</p><p>acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos.</p><p>Acontecimentos:</p><p>A - Escolher a blusa (10 possibilidades)</p><p>B - Escolher a saia (8 possibilidades)</p><p>C - Escolher o sapato (4 possibilidades)</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir.</p><p>3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?</p><p>Solução</p><p>Observe que temos três posições para preencher</p><p>Posição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)</p><p>Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)</p><p>Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números.</p><p>4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos</p><p>1, 3, 5, 6, 8, 9 ?</p><p>Solução</p><p>Seja o esquema:</p><p>Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos</p><p>primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares.</p><p>Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la em</p><p>primeiro lugar” Sendo assim, temos:</p><p>Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8)</p><p>Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)</p><p>Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números.</p><p>5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os</p><p>algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.</p><p>Solução</p><p>Seja o esquema:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>58</p><p>Na posição A: 6 possibilidades</p><p>Na posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidades</p><p>Na posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidades</p><p>Logo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números.</p><p>6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os</p><p>algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9</p><p>Solução</p><p>Primeiramente vamos satisfazer a condição do número ser par</p><p>Logo, na posição C, temos 2 possibilidades.</p><p>Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.</p><p>Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e A</p><p>Logo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números</p><p>7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando a</p><p>cidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas</p><p>linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas</p><p>vezes a mesma linha?</p><p>Solução</p><p>Ida de A para B - 3 possibilidades</p><p>Ida de B para C - 4 possibilidades</p><p>Volta de C para B - 3 possibilidades (porque?)</p><p>Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?)</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>59</p><p>8. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma</p><p>porta diferente é:</p><p>a. 5</p><p>b. 10</p><p>c. 15</p><p>d. 20</p><p>e. 30</p><p>Solução</p><p>Número de maneiras de entrar - 5</p><p>Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 números</p><p>Resposta D</p><p>9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits”</p><p>é:</p><p>a. inferior a 100</p><p>b. 100</p><p>c. um número entre 100 e 500</p><p>d. um número entre 500 e 1000</p><p>e. um número superior a 1000</p><p>Solução</p><p>Considere o esquema:</p><p>Resposta E</p><p>10. Quantos divisores tem o número 72?</p><p>Solução</p><p>Decompondo o número 72 obtemos 72 = 23 . 32, observe que os divisores de 72 são da</p><p>forma 2x . 3y onde x∈ {0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}. Portanto para achar o número de divisores</p><p>de 72 basta calcular o número possível de formar os pares (x, y) tal que x∈{0, 1, 2, 3} e</p><p>y∈ {0, 1, 2}, sendo assim temos:</p><p>Número de maneiras de escolher o x: 4 possibilidades</p><p>Número de maneiras de escolher o y: 3 possibilidades</p><p>pelo princípio da multiplicação temos 4 x 3 = 12 divisores.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>60</p><p>11. 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de uma</p><p>escada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentes</p><p>podemos dispor esse grupo?</p><p>a. 70.400</p><p>b. 128.000</p><p>c. 460.800</p><p>d. 332.000</p><p>e. 625</p><p>Solução</p><p>Vamos preencher os degraus consecutivamente</p><p>Logo, pelo princípio da multiplicação temos:</p><p>(5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.</p><p>OUTRA SOLUÇÃO</p><p>Outra resolução poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) são</p><p>as moças e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Como</p><p>somos cavalheiros vamos colocar primeiro as moças.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>61</p><p>Pelo princípio da multiplicação temos:</p><p>10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneiras</p><p>Resposta C</p><p>12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. Há 8</p><p>remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e B</p><p>só podem ocupar as posições ímpares e o remador C posição par. Os remadores D, E,</p><p>F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas</p><p>com o barco totalmente guarnecido?</p><p>Solução</p><p>Vamos satisfazer às restrições conforme a ordem</p><p>Resposta: 5760 configurações.</p><p>13. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismos</p><p>iguais?</p><p>Solução</p><p>São números da forma:</p><p>1135, 4779, 3336, ... 9999</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>62</p><p>Vamos calcular a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e a</p><p>quantidade de números de quatro algarismos diferentes.</p><p>Quantidade de números de quatro algarismos:</p><p>Possibilidades: 9 x10 x10 x10 = 9000</p><p>Quantidade de números de quatro algarismos diferentes:</p><p>Possibilidades: 9 x9 x8 x7 = 4.536</p><p>Logo temos: 9.000 - 4536 = 4.464 números.</p><p>14. Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: um</p><p>formado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e o</p><p>outro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha</p><p>que só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas</p><p>começando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas?</p><p>Solução</p><p>FATORIAL</p><p>Seja n um número natural maior que 1.</p><p>Chamamos de n fatorial e denotamos por n! a:</p><p>Exemplos</p><p>15. Calcule:</p><p>a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6</p><p>b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24</p><p>c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>63</p><p>d. n! = n (n-1)!</p><p>16. Simplificar:</p><p>6!</p><p>5!</p><p>Solução</p><p>6! 6 5!</p><p>6</p><p>5! 5!</p><p>×= =</p><p>17. Simplificar:</p><p>9!</p><p>8!</p><p>Solução</p><p>9! 9 8!</p><p>9</p><p>8! 8!</p><p>×= =</p><p>18. Simplificar:</p><p>10!</p><p>7!</p><p>Solução</p><p>10! 10 9 8 7!</p><p>10 9 8 720</p><p>7! 7!</p><p>× × ×= = × × =</p><p>19. Simplificar:</p><p>8! 9!</p><p>7!</p><p>+</p><p>Solução</p><p>8! 9! 8 7! 9 8 7! 8 7! 72 7! 80 7!</p><p>80</p><p>7! 7! 7! 7!</p><p>+ × + × × × + × ×= = = =</p><p>20. Simplificar:</p><p>!</p><p>( 1)!</p><p>n</p><p>n−</p><p>Solução</p><p>! ( 1)!</p><p>( 1)! ( 1)!</p><p>n n n</p><p>n</p><p>n n</p><p>× −= =− −</p><p>21. Simplificar:</p><p>!</p><p>( 2)!</p><p>n</p><p>n−</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>64</p><p>! ( 1) ( 2)!</p><p>( 1)</p><p>( 2)! ( 2)!</p><p>n n n n</p><p>n n</p><p>n n</p><p>× − × −= = × −− −</p><p>22. Calcule n sabendo que:</p><p>!</p><p>12</p><p>( 2)!</p><p>n</p><p>n</p><p>=−</p><p>Solução</p><p>!</p><p>12</p><p>( 2)!</p><p>n</p><p>n</p><p>=−</p><p>( 1) ( 2)!</p><p>12</p><p>( 2)!</p><p>n n n</p><p>n</p><p>× − × − =− ( 1) 12n n× − =</p><p>2 12 0n n− − =</p><p>3(não serve)</p><p>4</p><p>n</p><p>ou</p><p>n</p><p>= −⎧⎪⎨⎪ =⎩</p><p>Resposta: n = 4.</p><p>ARRANJOS SIMPLES</p><p>Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p≤n. Chamamos um</p><p>arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos</p><p>de A. Como o subconjunto é ordenado temos que são distintos quanto a ordem. Então</p><p>chamaremos de p</p><p>nA ao número de arranjo de n objetos, p a p.</p><p>Daí teríamos</p><p>A fórmula ( 1)( 2)...( 1)p</p><p>nA n n n n p= − − − + também pode ser escrita como</p><p>!</p><p>( )!</p><p>p</p><p>n</p><p>n</p><p>A</p><p>n p</p><p>= − .</p><p>Exemplos:</p><p>23. Calcule:</p><p>a) 2</p><p>4A</p><p>b) 3</p><p>5A</p><p>c) 4</p><p>7A</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>65</p><p>a) 2</p><p>6A</p><p>Solução</p><p>a) 2</p><p>4 4 3 12A = × =</p><p>b) 3</p><p>5 5 4 3 60A = × × =</p><p>c) 4</p><p>7 7 6 5 4 840A = × × × =</p><p>d) 2</p><p>6 6 5 30A = × =</p><p>24. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos</p><p>significativos?</p><p>Solução</p><p>Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)</p><p>Então teríamos:</p><p>Para a primeira posição - 9 possibilidades</p><p>Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades</p><p>Para a terceira posição, após preencher a primeira e a segunda posições – 7 possibilidades.</p><p>Daí pelo princípio da multiplicação</p><p>3</p><p>9 9 8 7 504A = × × =</p><p>25. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?</p><p>Solução</p><p>Os algarismos que podemos utilizar são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)</p><p>Para a primeira posição - 9 possibilidades (não pode ter o zero)</p><p>Para a segunda posição, após ter preenchido a primeira posição - 9 possibilidades</p><p>Logo pelo princípio da multiplicação temos 3</p><p>99 9 9 8 7 4536A× = × × × = .</p><p>26. Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De</p><p>quantas maneiras elas poderão se acomodar?</p><p>Solução</p><p>1ª pessoa - 20 modos</p><p>2ª pessoa - 19 modos</p><p>3ª pessoa - 18 modos</p><p>4ª pessoa - 17 modos</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>66</p><p>5ª pessoa - 16 modos</p><p>6ª pessoa - 15 modos</p><p>Logo 6</p><p>20 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 = 27.907.200A = .</p><p>PERMUTAÇÃO SIMPLES</p><p>Chamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses n</p><p>elementos tomados em qualquer ordem. Assim, teremos o número de permutação de n</p><p>objetos distintos, que denotamos por Pn a:</p><p>Logo</p><p>( 1)( 2)( 3)....1</p><p>!</p><p>n</p><p>n</p><p>P n n n n</p><p>P n</p><p>= − − −</p><p>=</p><p>27. Quantos anagramas possui a palavra FISCAL?</p><p>Solução</p><p>P6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas.</p><p>28. De quantos modos 4 pessoas podem se sentar em 4 cadeiras em fila?</p><p>Solução</p><p>P4 = 4x3x2x1 = 4! = 24</p><p>29. Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os</p><p>algarismos 2, 3, 4, 5, 6.</p><p>Solução</p><p>P5= 5! = 120</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>67</p><p>30.Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os</p><p>algarismos 2, 3, 4, 5, 6.</p><p>Solução</p><p>O número de parcelas é P5 = 5! = 120</p><p>Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem as</p><p>permutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4=4!=24 vezes Deste modo teremos</p><p>que a soma total dos algarismos em cada coluna é</p><p>Logo teremos: 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 + 6 x 24 = 480</p><p>PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>68</p><p>31. Quantos anagramas possui a palavra RECEITA?</p><p>Solução</p><p>1,2,1,1,1,1</p><p>7</p><p>7! 5040</p><p>2520</p><p>1!2!1!1!1!1! 2</p><p>P = = = anagramas</p><p>32. Quantas anagramas possui a palavra ARARA?</p><p>Solução</p><p>3,2</p><p>5</p><p>5! 120</p><p>10</p><p>3!2! 12</p><p>P = = = anagramas</p><p>33. Quantos anagramas possui a palavra PANACA, que começam por consoante?</p><p>Solução</p><p>Escolha da consoante para a primeira posição: 3 maneiras</p><p>Escolha das cinco posições restantes pelas cinco letras restantes após ter preenchido a</p><p>primeira posição:</p><p>3,1,1</p><p>5</p><p>5! 5 4 3 2</p><p>3 3 3 3 20 60</p><p>3!1!1! 3 2 1 1 1</p><p>P</p><p>× × ×× = × = × = × =× × × × anagramas.</p><p>PERMUTAÇÕES CIRCULARES</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>69</p><p>34. Exemplo</p><p>De quantos modos 3 crianças podem brincar de roda?</p><p>Solução</p><p>Suponhamos que temos 3 crianças A, B, C. Então, poderíamos visualizar as seguintes rodas</p><p>Observamos que as rodas (I, II e III) são idênticas, basta olhar os sentidos, e ainda temos</p><p>que as rodas (IV, V e VI) também são idênticas. Portanto, teríamos apenas duas rodas.</p><p>Logo, as crianças só podem brincar de roda de duas maneiras distintas.</p><p>Outra maneira de raciocínio: poderíamos fixar uma das três crianças e permutar as duas</p><p>restantes, logo, teríamos 2! = 2 maneiras</p><p>CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES CIRCULARES</p><p>Seja (PC)n, o número de permutações circulares, então fixamos um dos n objetos e</p><p>permutamos os (n-1) objetos restantes, logo ( ) ( 1)!</p><p>n</p><p>PC n= −</p><p>35. Exemplo</p><p>De quantos modos cinco pessoas podem brincar de roda?</p><p>Solução</p><p>(PC)5 = 4! = 24 modos</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>70</p><p>36. Exemplo</p><p>Quantos colares podem ser feitos com seis contas diferentes?</p><p>Os mais inocentes, poderiam pensar em 5! = 120, mas pela natureza do colar o número</p><p>correto seria</p><p>5! 120</p><p>60</p><p>2 2</p><p>= = , pois cada permutação pode ser rebatida conforme a figura</p><p>acima.</p><p>COMBINAÇÕES SIMPLES</p><p>Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação simples dos n</p><p>elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A.</p><p>Indicamos o número de combinações dos n elementos tomados k a k por:</p><p>!</p><p>!( )!</p><p>k</p><p>n</p><p>n</p><p>C</p><p>k n k</p><p>= − ou</p><p>!</p><p>!( )!</p><p>n n</p><p>k k n k</p><p>⎛ ⎞ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠</p><p>37. Exemplo</p><p>Calcule:</p><p>a) 2</p><p>5C</p><p>b) 3</p><p>7C</p><p>c) 5</p><p>8C</p><p>d) 2</p><p>3C</p><p>Solução</p><p>a) 2</p><p>5</p><p>5! 5! 5 4 3! 5 4</p><p>10</p><p>2!(5 2)! 2!3! 2!3! 2!</p><p>C</p><p>× × ×= = = = =−</p><p>b) 3</p><p>7</p><p>7! 7! 7 6 5 4! 7 6 5</p><p>7 5 35</p><p>3!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!</p><p>C</p><p>× × × × ×= = = = = × =−</p><p>c) 5</p><p>8</p><p>8! 8! 8 7 6 5! 8 7 6</p><p>8 7 56</p><p>5!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!</p><p>C</p><p>× × × × ×= = = = = × =−</p><p>d) ( )2</p><p>3</p><p>3! 3! 3 2! 3</p><p>3</p><p>2! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!</p><p>C</p><p>×= = = = =−</p><p>38. Exemplo</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>71</p><p>Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podemos formar?</p><p>Solução</p><p>3</p><p>5</p><p>5! 5! 5 4 3! 5 4</p><p>10</p><p>3!(5 3)! 3!2! 3!2! 2!</p><p>C</p><p>× × ×= = = = =−</p><p>Resposta: 10 comissões.</p><p>39. Exemplo</p><p>De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?</p><p>Solução</p><p>a) 2</p><p>6</p><p>6! 6! 6 5 4! 6</p><p>5</p><p>15</p><p>2!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!</p><p>C</p><p>× × ×= = = = =−</p><p>Resposta: 15 modos.</p><p>40. Exemplo</p><p>(F.G.V.) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas</p><p>podem ser formadas contendo 2 diretores e 3 gerentes?</p><p>Solução</p><p>3 diretores</p><p>Empresa</p><p>5 gerentes</p><p>⎧⎨⎩</p><p>2 diretores</p><p>Comissões</p><p>3 gerentes</p><p>⎧⎨⎩</p><p>Pelo Princípio Fundamental da Contagem temos:</p><p>2 3</p><p>3 5 3 10 30C C× = × = comissões.</p><p>Resposta: 30 comissões.</p><p>41. Exemplo</p><p>Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas</p><p>distintas?</p><p>Solução</p><p>5</p><p>8</p><p>8! 8! 8 7 6 5! 8 7 6</p><p>8 7 56</p><p>5!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!</p><p>C</p><p>× × × × ×= = = = = × =−</p><p>Resposta: 56 saladas.</p><p>42. Exemplo</p><p>Quantas diagonais possui o pentágono regular?</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>72</p><p>Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir dois</p><p>vértices; como possuo 5 vértices teremos 2</p><p>5C modos de unir</p><p>dois vértices, isto é, 10 modos. Por outro lado, quando</p><p>unimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos contando os lados do</p><p>pentágono, logo, o número de diagonais é 10 – 5 = 5</p><p>diagonais.</p><p>EQUAÇÕES LINEARES</p><p>Seja 1 2 3 ... kx x x x n+ + + + = onde *n∈ . Chamaremos de solução inteira da</p><p>equação acima a k-upla de inteiros 1 2 3( , , ,... )kα α α α tal que 1 2 3 ... k nα α α α+ + + + =</p><p>43. Exemplo</p><p>Seja x1 + x2 + x3 = 7 então temos que (1, 2, 4), (3, 1, 3), (4, 0, 3) etc são soluções inteiras.</p><p>Sendo assim, se todas as coordenadas são positivas (ex: (1, 2, 4), (3, 1, 3), (40, 3)) dizemos</p><p>que são inteiras positivas.</p><p>Se as coordenadas são maiores ou iguais a zero (ex: (4, 0, 3), (1, 0, 6), (2, 0, 5)) dizemos</p><p>que são inteiras não negativas.</p><p>44. Exemplos</p><p>Quantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?</p><p>Solução</p><p>Usaremos o artifício de escrever dez vezes o algarismo um como abaixo:</p><p>1 1 1 1 1 1 1 1 1 1</p><p>Observe que entre os algarismos existem 9 espaços que podem ser separados por barras</p><p>verticais para representar soluções inteiras, por exemplo:</p><p>1 1 1 1 1 1 1 1 1 1</p><p>representa a solução (2, 3, 5)</p><p>1 1 1 1 1 1 1 1 1 1</p><p>representa a solução (3, 3, 4)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>73</p><p>Portanto, o número de soluções inteiras é o número de se escolher duas posições dos nove</p><p>espaços para se colocar as duas barras, isto é,</p><p>2</p><p>9</p><p>9! 9! 9 8 7!</p><p>36</p><p>2!(9 2)! 2!7! 2!7!</p><p>C</p><p>× ×= = = =−</p><p>Logo temos 36 soluções inteiras positivas.</p><p>Podemos raciocinar do mesmo modo, e concluir que x1 + x2 + x3 + .... + xk = n possui</p><p>1</p><p>1</p><p>k</p><p>nC −− soluções inteiras positivas.</p><p>45. Exemplo</p><p>Quantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?</p><p>Solução</p><p>2</p><p>7</p><p>7! 7! 7 6 5!</p><p>21</p><p>2!(7 2)! 2!5! 2!5!</p><p>C</p><p>× ×= = = =−</p><p>46. Exemplo</p><p>Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?</p><p>Solução</p><p>Temos agora que, por exemplo (2, 0, 8), (4, 6, 0), (0, 1, 9), (3, 7, 0) são solução inteiras</p><p>não negativas.</p><p>Observe que se somamos um a todas as soluções inteiras não negativas, teremos por</p><p>exemplo:</p><p>(2, 0, 8) ⇔ (3, 1, 9)</p><p>(4, 6, 0) ⇔ (5, 7, 1)</p><p>(0, 1, 9) ⇔ (1, 2, 10)</p><p>(3, 7, 0) ⇔ (4, 8, 1)</p><p>Logo, concluímos que para cada solução inteira não negativa da solução x1 + x2 + x3 = 10,</p><p>corresponde uma solução inteira positiva da equação z1 + z2 + z3 = 13 e vice-versa, que é</p><p>2</p><p>12C . Logo, existem 2</p><p>12 66C = soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 = 10. Podemos</p><p>raciocinar do mesmo modo e concluir que x1 + x2 + x3 + .... xk = n, possui 1</p><p>1</p><p>k</p><p>n kC −+ − soluções</p><p>inteiras não negativas.</p><p>47. Exemplo</p><p>Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?</p><p>Solução</p><p>Observamos que n = 8 e k = 3</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>74</p><p>Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 3 1 2</p><p>8 3 1 10 45C C−+ − = = soluções.</p><p>Conclusão</p><p>1 2 3 kx + x + x + .... x = n (n N*)∈</p><p>Número de soluções inteiras positivas: 1</p><p>1</p><p>k</p><p>nC −−</p><p>Número de soluções inteiras não negativas: 1</p><p>1</p><p>k</p><p>n kC −+ −</p><p>48. Exemplo</p><p>De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em um bar que possui 4 tipos</p><p>diferentes?</p><p>Solução</p><p>Seja</p><p>x1 o número de refrigerantes do tipo A</p><p>x2 o número de refrigerantes do tipo B</p><p>x3 o número de refrigerantes do tipo C</p><p>x4 o número de refrigerantes do tipo D</p><p>Observe que x1 + x2 + x3 + x4 = 5 e que 1 0x ≥ , 2 0x ≥ , 3 0x ≥ e 4 0x ≥ , logo, como</p><p>queremos o número de soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 + x4 = 5 temos:</p><p>4 1 3</p><p>5 4 1 8 56C C−+ − = = modos.</p><p>TRIÂNGULO DE PASCAL</p><p>É o triângulo escrito com combinações da seguinte forma:</p><p>0</p><p>0C</p><p>0 1</p><p>1 1 C C</p><p>0 1 2</p><p>2 2 2 C C C</p><p>0 1 2 3</p><p>3 3 3 3 C C C C</p><p>0 1 2 3 4</p><p>4 4 4 4 4 C C C C C</p><p>. . . . .</p><p>. . . . .</p><p>. . . . .</p><p>. . . . .</p><p>0 1 2 3 4 n n n n nC C C C C n</p><p>nC</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>75</p><p>Observe que o triângulo de Pascal é</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1 2 1</p><p>1 3 3 1</p><p>1 4 6 4 1</p><p>1 5 10 10 5 1</p><p>. . . . . .</p><p>. . . . . .</p><p>. . . . . .</p><p>. . . . . .</p><p>� A soma de dois elementos consecutivos, na mesma linha dá o elemento na mesma coluna</p><p>e linha abaixo.</p><p>1 1</p><p>1</p><p>k k k</p><p>n n nC C C+ +++ =</p><p>49. Ex.:</p><p>a. 1 2 2</p><p>3 3 4 (3 3 6)C C C+ = + =</p><p>b. 2 3 3</p><p>3 3 4 (3 1 4)C C C+ = + =</p><p>� A soma de todos elementos da mesma linha é igual a 2n, onde n é o número da linha.</p><p>0 1 2 3 ... 2n n</p><p>n n n n nC C C C C+ + + + + =</p><p>50. Ex.:</p><p>a. 0 1 2 3 3</p><p>3 3 3 3 1 3 3 1 8 2C C C C+ + + = + + + = =</p><p>b. 0 1 2 3 4 4</p><p>4 4 4 4 4 1 4 6 4 1 16 2C C C C C+ + + + = + + + + = =</p><p>Exemplos:</p><p>51. (G.V.) Uma sala tem 10 portas. Calcular o número de maneiras diferentes que essa</p><p>sala pode ser aberta?</p><p>Solução</p><p>Das dez portas posso escolher 1 para abrir: 1</p><p>10C maneiras</p><p>Das dez portas posso escolher 2 para abrir: 2</p><p>10C maneiras</p><p>Das dez portas posso escolher 3 para abrir: 3</p><p>10C maneiras</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>76</p><p>Das dez portas posso escolher 10 para abrir: 10</p><p>10C maneiras</p><p>logo, teremos:</p><p>1 2 3 10</p><p>10 10 10 10...C C C C S+ + + + =</p><p>Mas, do exemplo anterior, sabemos que</p><p>0 1 2 3 10 10</p><p>10 10 10 10 10... 2C C C C C+ + + + + = temos</p><p>0 10</p><p>10 2C S+ =</p><p>10 101 2 2 1 1024 1S S S+ = ⇒ = − ∴ = −</p><p>S = 1023 maneiras</p><p>52. (MACK) De um grupo de 5 pessoas de quantas maneiras distintas posso convidar</p><p>uma ou mais para jantar?</p><p>Solução</p><p>Das 5 pessoas escolho 1: 1</p><p>5C</p><p>Das 5 pessoas escolho 2: 2</p><p>5C</p><p>Das 5 pessoas escolho 3: 3</p><p>5C</p><p>Das 5 pessoas escolho 4: 4</p><p>5C</p><p>Das 5 pessoas escolho 5: 5</p><p>5C</p><p>Logo, queremos</p><p>1 2 3 4 5</p><p>5 5 5 5 5C C C C C S+ + + + =</p><p>Sabemos que:</p><p>0 1 2 3 4 5 2</p><p>5 5 5 5 5 5 2C C C C C C+ + + + + =</p><p>0 5</p><p>5 2</p><p>1 32</p><p>32 1</p><p>C S</p><p>S</p><p>S</p><p>= =</p><p>+ =</p><p>= −</p><p>S = 31 maneiras</p><p>53. (GV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas</p><p>poderão ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?</p><p>Solução</p><p>Comissões com 1 diretor e 4 gerentes:  1 4</p><p>3 5C C× = 15</p><p>Comissões com 2 diretores e 3 gerentes: 2 3</p><p>3 5C C× = 30</p><p>Comissões com 3 diretores e 2 gerentes: 3 2</p><p>3 5C C× = 10</p><p>logo 15 + 30 + 10 = 55 comissões</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>77</p><p>54. (OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de salgadinhos</p><p>dos quais só 4 seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa</p><p>e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só dois tipos de</p><p>salgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o</p><p>garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando</p><p>as instruções?</p><p>Solução</p><p>4 quentes</p><p>Tipos de salgadinhos</p><p>6 frios</p><p>⎧⎨⎩</p><p>Travessa ⇒ 2 2</p><p>4 6 6 15 90C C× = × =</p><p>55. Calcular o valor de m de modo que: ( ) ( )1 ! 1 ! ! 576m m m− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦</p><p>Solução ( ) ( )</p><p>( ) [ ]</p><p>( ) [ ]</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>1 ! 1 ! ! 576</p><p>1 ! !( 1) ! 576</p><p>1 ! ! ( 1) 1 576</p><p>1 ! ! 576</p><p>! ! 576</p><p>! 576</p><p>! 576</p><p>! 24</p><p>4</p><p>m m m</p><p>m m m m</p><p>m m m</p><p>m m m</p><p>m m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦</p><p>− + − =</p><p>− + − =</p><p>− =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Resposta: m = 4</p><p>56. Escrevendo em ordem crescente, todos os números naturais de 4 algarismos</p><p>distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual a ordem</p><p>(número da posição) do número 4523?</p><p>Solução</p><p>Vamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 43, 451, 4521,</p><p>pois são certamente menores que 4523.</p><p>Começando por 1:</p><p>possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidades</p><p>Começando por 3:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>78</p><p>possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidades</p><p>Começando por 41:</p><p>possibilidades 1 x 1 x 4 x 3 = 12 possibilidades</p><p>Começando por 42:</p><p>possibilidades 1 x 1 x 4 x 3 = 12 possibilidades</p><p>Começando por 451:</p><p>possibilidades 1 x 1 x 1 x 3 = 3 possibilidades</p><p>Começando por 4521:</p><p>possibilidades 1 x 1 x 1 x 1 = 1 possibilidades</p><p>Logo, teremos 60 + 60 + 60 + 12 + 12 + 12 + 3 + 1 = 220</p><p>57. (PUC) O número N está para o número de seus arranjos 3 a 3, como 1 está para</p><p>240. Calcular o valor de N?</p><p>Solução</p><p>3</p><p>1</p><p>240N</p><p>N</p><p>A</p><p>=</p><p>( )( ) 1</p><p>1 2 240</p><p>N</p><p>N N N</p><p>=− −</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>79</p><p>( ) ( )1 2 240N N− × − =</p><p>17N =</p><p>58. (ITA) O número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:</p><p>Solução</p><p>x + y + z + w = 5</p><p>temos n= 5 e k= 4</p><p>Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 1</p><p>1</p><p>k</p><p>n kC −+ − , isto é 4 1 3</p><p>5 4 1 8 56C C−+ − = =</p><p>soluções.</p><p>59. (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em</p><p>ordem alfabética?</p><p>Solução</p><p>Sabemos que o total de permutações das letras da palavra CADERNO é P7 = 7! = 5040.</p><p>Porém temos todas as ordens das vogais A, E, O nas permutações P3 = 3! = 6 (AEO, AOE,</p><p>EAO, EOA, OAE, OEA)</p><p>Dessas 6 permutações apenas 1 delas está em ordem alfabética. Como todas elas</p><p>apresentam o mesmo número de vezes nas permutações da palavra CADERNO, vemos que</p><p>o total de permutações da palavra CADERNO em que as vogais estão em ordem alfabética</p><p>é</p><p>5040</p><p>840</p><p>6</p><p>= anagramas.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>87) (MACK) Se 28</p><p>2</p><p>n⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ então n é:</p><p>a. 7</p><p>b. 8</p><p>c. 14</p><p>d. 26</p><p>e. 56</p><p>Resposta: B</p><p>88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos:</p><p>I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X.</p><p>II. 240 permutações começando e terminando por vogal.</p><p>III. 10.080 permutações começando por vogal</p><p>Marque</p><p>a. Se todas as afirmativas são verdadeiras</p><p>b. Se todas as afirmativas são falsas</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>80</p><p>c. Se apenas a III é verdadeira</p><p>d. Se apenas a I e II são verdadeiras</p><p>e. Se apenas a I é verdadeira</p><p>Resposta: D</p><p>89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos</p><p>distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será:</p><p>a. 76ª</p><p>b. 78ª</p><p>c. 80ª</p><p>d. 82ª</p><p>e. n.d.a.</p><p>Resposta: A</p><p>90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam por</p><p>consoante é:</p><p>a. 120</p><p>b. 72</p><p>c. 48</p><p>d. 24</p><p>e. 12</p><p>Resposta: B</p><p>91) (F.C.CHAGAS) A sentença</p><p>2</p><p>10</p><p>n</p><p>n</p><p>+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ é verdadeira se, e somente se, n! for igual</p><p>a:</p><p>a. 1</p><p>b. 6</p><p>c. 18</p><p>d. 720</p><p>e. 6 ou 720</p><p>Resposta: B</p><p>92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as</p><p>cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta</p><p>entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?</p><p>a. 4! × 3!</p><p>b. 2-1 × 4! × 3!</p><p>c. 24</p><p>d. 12</p><p>e. 7</p><p>Resposta: C</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>81</p><p>93) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro</p><p>algarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5:</p><p>a. 20 números</p><p>b. 30 números</p><p>c. 60 números</p><p>d. 120 números</p><p>e. 180 números</p><p>Resposta: C</p><p>94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo</p><p>uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de</p><p>maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é:</p><p>a. 36</p><p>b. 48</p><p>c. 60</p><p>d. 72</p><p>e. 120</p><p>Resposta: D</p><p>95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com</p><p>algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é:</p><p>a. 54</p><p>b. 56</p><p>c. 58</p><p>d. 60</p><p>e. 64</p><p>Resposta: E</p><p>96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais</p><p>estudantes de um grupo de 6 estudantes é:</p><p>a. 56</p><p>b. 58</p><p>c. 60</p><p>d. 63</p><p>e. 65</p><p>Resposta: D</p><p>97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros de</p><p>matemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos os</p><p>livros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira de</p><p>estante, de modos diversos num total de:</p><p>a. A9,3</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>82</p><p>b. A9,3 × A9,3 × A9,2</p><p>c. P9</p><p>d. P4 × P3 × P2</p><p>e. P3 × P4 x P3 × P2</p><p>Resposta: E</p><p>98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos</p><p>distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.</p><p>Resposta: 72</p><p>99) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se</p><p>( ) ( )( )1 ! 2</p><p>1 !</p><p>n n</p><p>n</p><p>+ +</p><p>− obtém-se:</p><p>a. 2</p><p>b.</p><p>( )( )1 2</p><p>1</p><p>n n</p><p>n</p><p>+ +</p><p>−</p><p>c. (n+1) (n+2)</p><p>d. n (n+2)</p><p>e. n (n+1) (n+2)</p><p>Resposta: E</p><p>100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém um</p><p>determinado elemento é:</p><p>a. 21</p><p>b. 42</p><p>c. 56</p><p>d. 7</p><p>e. 27</p><p>Resposta: A</p><p>101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla</p><p>com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número</p><p>total de siglas possíveis é:</p><p>a. 10</p><p>b. 24</p><p>c. 30</p><p>d. 60</p><p>e. 120</p><p>Resposta: C</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>83</p><p>102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e</p><p>terminam por vogal é:</p><p>a. 24</p><p>b. 48</p><p>c. 96</p><p>d. 120</p><p>e. 144</p><p>Resposta: B</p><p>103) (MACK) Um</p><p>trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões</p><p>distintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que</p><p>o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o</p><p>número de modos diferentes de montar a composição é:</p><p>a. 120</p><p>b. 320</p><p>c. 500</p><p>d. 600</p><p>e. 720</p><p>Resposta: D</p><p>104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando</p><p>esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos as triângulos distintos</p><p>que se podem formar é:</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 9</p><p>d. 10</p><p>e. 15</p><p>Resposta: D</p><p>105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do</p><p>alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento é</p><p>zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam</p><p>ser representadas é:</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 7</p><p>d. 8</p><p>e. 9</p><p>Resposta: A</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>84</p><p>106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B,</p><p>deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?</p><p>a. 126</p><p>b. 858</p><p>c. 326</p><p>d. 954</p><p>e. 386</p><p>Resposta: A</p><p>107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga dois</p><p>vértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prisma</p><p>cujas bases são polígonos de n lados?</p><p>Resposta: n (n-3)</p><p>108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se</p><p>organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa</p><p>comissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designados</p><p>por números consecutivos?</p><p>a. 2</p><p>b. (n–2)</p><p>c. 2</p><p>nC</p><p>d. (n–2)n</p><p>e. (n–2)(n–3)</p><p>Resposta: E</p><p>109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se</p><p>organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa</p><p>comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por</p><p>números consecutivos?</p><p>a. (n–3)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>85</p><p>b. (n–1)(n–2)(n–3)</p><p>c.</p><p>(n-2)(n-3)(n-4)</p><p>6</p><p>d.</p><p>n(n-2)(n-3)</p><p>6</p><p>e.</p><p>n(n-3)</p><p>6</p><p>Resposta: C</p><p>110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retas</p><p>paralelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém na</p><p>rede assim distribuída é:</p><p>a. Cm,2 : Cn,2</p><p>b. Cm,2 - Cn,2</p><p>c. 2Cm,2 + 2Cn,2</p><p>d. Cn,2 + Cm,2</p><p>e. Cn,2 . Cm,2</p><p>Resposta: E</p><p>111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões do</p><p>Brasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposições</p><p>diferentes de cores pode-se obter?</p><p>a. 10.920</p><p>b. 1.421</p><p>c. 5.040</p><p>d. 3.360</p><p>e. n.r.a</p><p>Resposta: A</p><p>112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro</p><p>algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem ser</p><p>formados?</p><p>a. 196</p><p>b. 286</p><p>c. 340</p><p>d. 336</p><p>e. n.r.a.</p><p>Resposta: D</p><p>113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais</p><p>juntas é:</p><p>a) 744</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>86</p><p>b) 760</p><p>c) 796</p><p>d) 840</p><p>e) 900</p><p>Resposta: A</p><p>114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações desses</p><p>algarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados,</p><p>quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.</p><p>a) 3900900</p><p>b) 3900999</p><p>c) 3999960</p><p>d) 3999999</p><p>e) 4000000</p><p>Resposta: C</p><p>115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas</p><p>as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente,</p><p>qual o lugar ocupado pelo número 43521?</p><p>a) 70ª</p><p>b) 72ª</p><p>c) 80ª</p><p>d) 90ª</p><p>e) 96ª</p><p>Resposta: D</p><p>116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulos</p><p>que são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é:</p><p>a) 120</p><p>b) 140</p><p>c) 150</p><p>d) 160</p><p>e) 180</p><p>Resposta: A</p><p>117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos da</p><p>mão esquerda é:</p><p>a) 180</p><p>b) 190</p><p>c) 200</p><p>d) 210</p><p>e) 240</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>87</p><p>Resposta: D</p><p>118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente</p><p>20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número</p><p>de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores</p><p>situacionistas e 3 oposicionistas é:</p><p>a) 27720</p><p>b) 13860</p><p>c) 551</p><p>d) 495</p><p>e) 56</p><p>119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldados</p><p>podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder?</p><p>a) 1260</p><p>b) 1444</p><p>c) 1520</p><p>d) 1840</p><p>e) 1936</p><p>120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usando</p><p>os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o</p><p>3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?</p><p>a) 144</p><p>b) 180</p><p>c) 240</p><p>d) 288</p><p>e) 360</p><p>Probabilidade</p><p>CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE</p><p>1. DEFINIÇÃO - ESPAÇO AMOSTRAL</p><p>O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos resultados possíveis desse</p><p>experimento.</p><p>Seja S o espaço amostral.</p><p>Então, para cada resultado possível, do experimento, corresponde um, e somente um, ponto</p><p>w em S. Além disso, resultados distintos correspondem a pontos distintos em S.</p><p>01. Exemplo</p><p>Experimento 1.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>88</p><p>Lançar uma moeda equilibrada e observar a face superior.</p><p>Podemos garantir que só há dois resultados possíveis, cara (H) ou coroa (T). Se</p><p>representarmos este resultado por H e T , então cada resultado possível do experimento</p><p>corresponde exatamente a um elemento do conjunto (H;T) . Este conjunto de resultados</p><p>será chamado de espaço amostral para o experimento e representaremos por S = {(H;T )}.</p><p>Experimento 2.</p><p>Lançar um dado honesto e observar o número da face superior.</p><p>Evidentemente que o conjunto de todos os resultados possíveis neste caso é S = {1, 2, 3, 4,</p><p>5, 6}.</p><p>2. DEFINIÇÃO - EVENTO</p><p>Um evento é um subconjunto do espaço amostral S.</p><p>02. Exemplo</p><p>No experimento 2. Alguns dos eventos são:</p><p>A = observa-se um número ímpar</p><p>B = observa-se um número menor ou igual a 3</p><p>Observamos que A e B são subconjuntos de S, pois A = {1, 3, 5} e B= {1, 2, 3}.</p><p>Observação:</p><p>S: é chamado de evento certo ∅ : é chamado de evento impossível</p><p>3. DEFINIÇÃO - UNIÃO DE EVENTOS</p><p>A união de eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a pelo</p><p>menos um dos conjuntos A ou B.</p><p>{ }A ou B = A B = x | x A ou x BS∪ ∈ ∈ ∈</p><p>4. DEFINIÇÃO - INTERSECÇÃO DE EVENTOS</p><p>A intersecção dos eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a A e</p><p>B.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>89</p><p>{ }A ou B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∈</p><p>5. DEFINIÇÃO - EVENTO EXCLUSIVO (OU DISJUNTOS)</p><p>Se A B = ∩ ∅ , então os eventos são mutuamente exclusivos.</p><p>6. DEFINIÇÃO - EVENTO COMPLEMENTAR</p><p>O evento Ac é o conjunto de todos os pontos que não estão em A e é denominado</p><p>complemento de A.</p><p>{ }cA = x | x AS∈ ∉</p><p>7. DEFINIÇÃO - DIFERENÇA DE EVENTOS</p><p>A diferença de A e B ou complemento do evento B com relação ao evento A,</p><p>é o conjunto</p><p>de todos os pontos em S que pertencem ao evento A mas não pertencem ao B.</p><p>{ }cA - B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∉</p><p>Se A é um evento, no experimento 2 parece razoável definir:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>90</p><p>número de resultados favoráveis de A</p><p>P(A) =</p><p>número de resultados possíveis</p><p>isto é:</p><p>número de resultados favoráveis de A</p><p>P(A) =</p><p>6</p><p>Esta definição é coerente quando o S é finito e estamos indiferentes diante dos resultados</p><p>possíveis.</p><p>No experimento 2.</p><p>( )</p><p>1</p><p>;</p><p>6 iiP S= ∀ ∈</p><p>No experimento 1.</p><p>( )</p><p>1</p><p>;</p><p>2 ii wwP S= ∀ ∈</p><p>Suponha que para todo evento A está associado um número real P(A) chamado de</p><p>probabilidade de A, tal que:</p><p>1. P(A) ≥ 0</p><p>2. P(S) = 1</p><p>3. Se A e B são eventos aleatórios disjuntos, então, ( ( ) ( )P A B P A P B∪ = +</p><p>Obs.: Os eventos são disjuntos se são mutuamente exclusivos, i.e., A B = ∩ ∅</p><p>A função P satisfazendo 1, 2 e 3 é chamada probabilidade.</p><p>8. PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE</p><p>P1) ( ) 1 ( )cP A P A= −</p><p>P2) 0 ( ) 1P A≤ ≤</p><p>P3) Se A B P(A) P(B)⊂ ⇒ ≤</p><p>P4) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ +</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>91</p><p>P5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩</p><p>9. PROBABILIDADE CONDICIONAL</p><p>a. Definição</p><p>A probabilidade condicional de A dado B é representada por P(A/B) e definida por:</p><p>( )</p><p>( / )</p><p>( )</p><p>P A B</p><p>P A B</p><p>P B</p><p>∩= para ( ) 0P B ≠</p><p>Considere o diagrama de Venn:</p><p>Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A ∩ B são proporcionais às suas</p><p>probabilidades, então P(A/B) é a proporção do evento B ocupada pelo evento A.</p><p>Observe que:</p><p>( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ×</p><p>b. Teorema</p><p>Teorema da multiplicação ou teorema da probabilidade composta.</p><p>Então:</p><p>1. P(A ∩ B) = P(A) ×P(B / A) = P(B)×P(A / B)</p><p>2. P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1)× P(A2 / A1)</p><p>P(A3 / A1 ∩ A2) × P(A4 / A1 ∩ A2 ∩ A3)... P(An / A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A4n-1)</p><p>Exemplos</p><p>03. Considere o experimento:</p><p>Lançamento de duas moedas idênticas e equilibradas:</p><p>a. Qual a probabilidade condicional de obter duas caras dado que se obteve cara na primeira</p><p>moeda.</p><p>b. Determine a probabilidade condicional de obter duas caras, dado que se obteve pelo</p><p>menos uma cara.</p><p>Solução</p><p>Neste caso, o espaço amostral consiste de quatro pontos:</p><p>S={HH, HT, TH, TT} cada um com probabilidade 1/4</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = {obtenha cara na primeira moeda}</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>92</p><p>B = {obtenha cara na segunda moeda}</p><p>a. Queremos</p><p>1( ) 4 1( / ) 21( )</p><p>2</p><p>P A B</p><p>P A B A</p><p>P A</p><p>∩∩ = = =</p><p>b. Queremos</p><p>1( ) 4 1( / ) 33( )</p><p>4</p><p>P A B</p><p>P A B A B</p><p>P A B</p><p>∩∩ ∪ = = =∪</p><p>04. Suponha que a população de uma certa cidade é constituída por 40% de homens e</p><p>60% de mulheres. Suponha ainda que 50% dos homens e 30% das mulheres</p><p>trabalham. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada que trabalhe</p><p>seja homem.</p><p>Solução</p><p>Sejam os eventos:</p><p>H = {A pessoa selecionada é homem}</p><p>M= {A pessoa selecionada é mulher}</p><p>T = {A pessoa selecionada trabalha}</p><p>N = {A pessoa selecionada não trabalha}</p><p>daí, temos as seguintes probabilidades</p><p>P(H) = 4/10</p><p>P(M) = 6/10</p><p>P(T/H) = 1/2</p><p>P(T/M) = 3/10</p><p>Queremos:</p><p>a</p><p>( ) ( ) ( / )</p><p>( / ) (*)</p><p>( ) ( )</p><p>P H T P H P T H</p><p>P H T</p><p>P T P T</p><p>∩ ×= =</p><p>Mas observe que a pessoa que trabalha é homem ou mulher, logo temos:</p><p>( ) ( )T T H T M= ∩ ∪ ∩</p><p>daí temos que:</p><p>T H∩ e T M∩ são disjuntos, daí:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P T P T H P T M P T P H P T H P M P T M= ∩ + ∩ ⇒ = × + ×</p><p>daí voltando em * temos:</p><p>4 1( ) ( / ) 10 2( / )</p><p>6 34 1( ) ( / ) ( ) ( / )</p><p>10 2 10 10</p><p>P H P T H</p><p>P H T</p><p>P H P T H P M P T M</p><p>××= = =× + × × + ×</p><p>44 4 100 20202</p><p>18 384 20 38 38</p><p>20 100 100</p><p>= = = × =+</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>93</p><p>05. Selecionamos, ao acaso, três cartas de um baralho, sem reposição. Qual a</p><p>probabilidade de selecionar 3 reis?</p><p>Solução</p><p>Sejam os eventos aleatórios:</p><p>A1 = (selecionamos rei na primeira extração)</p><p>A2 = (selecionamos rei na segunda extração)</p><p>A3 = (selecionamos rei na terceira extração)</p><p>Queremos 1 2 3( )P A A A∩ ∩</p><p>Pelo teorema b) temos:</p><p>1 2 3 1 2 3 1 2</p><p>4 3 2</p><p>( ) ( ) ( / 1) ( / )</p><p>52 51 50</p><p>P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = × × ∩ = × ×</p><p>06. Em um experimento com n lançamentos de uma moeda com probabilidade de</p><p>ocorrer cara igual a p e 1 - p para coroa supomos que cada lançamento não influi nos</p><p>resultados dos outros lançamentos. Neste caso nosso espaço amostral é: { } { }1 2 i i, ,..., onde x 0 ou 1 e x 0nS x x x= = =</p><p>se o i-ésimo lançamento ocorreu coroa e xi = 1 se o i-ésimo lançamento ocorreu cara.</p><p>Se A i é o evento onde o i-ésimo lançamento ocorre cara, temos P ( Ai ) = p.</p><p>Queremos a probabilidade de ocorrer k caras nos n lançamentos.</p><p>Suponhamos (S.P.G) ocorreu k caras nos k primeiros lançamentos e n–k coroas nos</p><p>restantes. A probabilidade disto acontecer é:</p><p>1 2 1 1 1 2 1 1( ... ... ) ( ) ( )... ( )... ( )... ( ) (1 )c c c c c k n k</p><p>k k k k k k nP A A A A A P A P A P A P A P A p p−+ + + + +∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = × = −</p><p>Seja o evento Bk – ocorre exatamente k caras nos n lançamentos das moedas logo</p><p>( ) (1 )k n k</p><p>k</p><p>n</p><p>P B p p</p><p>k</p><p>−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (porque?)</p><p>10. DEFINIÇÃO</p><p>Sejam A1, A2, ... , An eventos aleatórios.</p><p>Suponhamos que os A i são mutuamente exclusivos e que: 1 i A Sn</p><p>iU= =</p><p>Então dizemos que A i são mutuamente exaustivos e que os A i formam uma partição do</p><p>espaço amostral S.</p><p>11. TEOREMA</p><p>Teorema da probabilidade total. Se a seqüência de eventos A1, A2, ..., An formar uma</p><p>partição do espaço amostral S então:</p><p>( )</p><p>1</p><p>( ( ) /</p><p>n</p><p>i iP B P A P B A= ∑ ×</p><p>para todo evento B ⊂ S tal que P (B) > 0</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>94</p><p>O teorema acima é evidente pois se os A i formam uma partição de S então: ( )1</p><p>n</p><p>i iB U A B== ∩</p><p>E como os A i são disjuntos, logo:</p><p>( )( ) ( ) ( ) ( )1</p><p>1 1</p><p>( ) /</p><p>n n</p><p>n</p><p>i i i i i</p><p>i i</p><p>P B P U A B P A B P A P A B= = == ∩ = ∑ ∩ = ∑</p><p>Usando este teorema podemos calcular:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>1</p><p>( ) /</p><p>/</p><p>( ) /</p><p>i i i</p><p>i n</p><p>j i</p><p>j</p><p>P A B P A P B A</p><p>P A B</p><p>P B P A P B A=</p><p>∩ ×= = ∑ ×</p><p>Esta fórmula é conhecida como fórmula de Bayes.</p><p>12. INDEPENDÊNCIA</p><p>1. Definição</p><p>Dois eventos aleatórios A e B são estatisticamente independentes se P (A∩ B)= P(A).P(B).</p><p>13. TEOREMA</p><p>Se A e B são dois eventos independentes em um espaço amostral S, então os pares de</p><p>eventos A e BC , AC e B , AC e BC também são independentes.</p><p>Observações:</p><p>1. Se P(A) = 0 então A é independente de qualquer outro evento aleatório.</p><p>2. Se P(A) = 1, então A é independente de qualquer outro evento aleatório.</p><p>3. Um evento A é independente de si mesmo s.s.s. P(A) = 0 ou P(A) =1</p><p>4. Se A ∩ B=∅ então não são independentes, a menos que P(A) ou P(B) seja 0 ou 1.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre</p><p>Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, qual</p><p>a probabilidade de César pertencer?</p><p>a.</p><p>3</p><p>4</p><p>b.</p><p>3</p><p>2</p><p>c.</p><p>2</p><p>4</p><p>d.</p><p>2</p><p>3</p><p>e.</p><p>3</p><p>6</p><p>Resposta: A.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>95</p><p>122) (FGV) Numa escola</p><p>existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são</p><p>selecionadas ao acaso.</p><p>a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa?</p><p>b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?</p><p>Resposta:</p><p>1 5</p><p>11 22</p><p>e</p><p>123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas</p><p>e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são</p><p>fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.</p><p>a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita e</p><p>fraudulenta?</p><p>b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita?</p><p>a. 1% e 52,75%</p><p>b. 2% e 53,66%</p><p>c. 4% e 52,63%</p><p>d. 2% e 52,63%</p><p>e. 5% e 25,36%</p><p>Resposta: D.</p><p>124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35.</p><p>a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta por</p><p>ou ímpar? Por que?</p><p>b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suas</p><p>etiquetas tenham números consecutivos.</p><p>Resposta: a. Ímpar; b. 8%.</p><p>125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2.</p><p>Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de</p><p>ele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2?</p><p>a. 2.10-9</p><p>b. 2.10-8</p><p>c. 2.10-7</p><p>d. 2.10-6</p><p>e.2.10-5</p><p>Resposta: C.</p><p>126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se</p><p>duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que</p><p>sejam de mesmo sabor é:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>96</p><p>a.</p><p>18</p><p>65</p><p>b.</p><p>19</p><p>66</p><p>c.</p><p>20</p><p>67</p><p>d.</p><p>21</p><p>68</p><p>e.</p><p>22</p><p>69</p><p>Resposta: B.</p><p>127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha é</p><p>sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma</p><p>segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que</p><p>a soma dos números sorteados seja superior a 2?</p><p>b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duas</p><p>bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2º</p><p>sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse</p><p>reposição?</p><p>Solução</p><p>a) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)}</p><p>n (S) =25</p><p>Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”.</p><p>A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)}</p><p>N (A) = 6</p><p>Logo a probabilidade pedida é</p><p>6</p><p>25</p><p>.</p><p>b) Com reposição:</p><p>Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2 resultados possíveis.</p><p>Sem reposição:</p><p>Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis.</p><p>Resposta: a)</p><p>6</p><p>25</p><p>; b) n2 e n(n-1)</p><p>128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado</p><p>sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números</p><p>sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados</p><p>nos dois últimos lançamentos.</p><p>a.</p><p>33</p><p>65</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>97</p><p>b.</p><p>31</p><p>66</p><p>c.</p><p>72</p><p>35</p><p>d.</p><p>35</p><p>72</p><p>e.</p><p>33</p><p>69</p><p>Resposta: D.</p><p>129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estão</p><p>no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, se</p><p>todos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o</p><p>apostador ganhar é:</p><p>a.</p><p>1</p><p>203</p><p>b.</p><p>1</p><p>507</p><p>c.</p><p>1</p><p>156</p><p>d.</p><p>1</p><p>280</p><p>e.</p><p>1</p><p>98</p><p>Resposta: A.</p><p>130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bons</p><p>pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito é</p><p>de 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter</p><p>cartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessa</p><p>comunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de:</p><p>a. 56%</p><p>b. 64%</p><p>c. 70%</p><p>d. 32%</p><p>e. 100%</p><p>Resposta: B.</p><p>131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que</p><p>P(A∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>98</p><p>a. 0,5</p><p>b.</p><p>5</p><p>7</p><p>c. 0.6</p><p>d.</p><p>7</p><p>15</p><p>e. 0,7</p><p>Resposta: B.</p><p>132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6</p><p>saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com a</p><p>freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?</p><p>a.</p><p>1</p><p>3</p><p>b.</p><p>2</p><p>3</p><p>c.</p><p>1</p><p>9</p><p>d.</p><p>2</p><p>9</p><p>e.</p><p>1</p><p>12</p><p>Resposta: C.</p><p>133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não</p><p>tem algarismos adjacentes iguais?</p><p>a. 59</p><p>b. 9×84</p><p>c. 8×94</p><p>d. 85</p><p>e. 95</p><p>Resposta: E.</p><p>134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse</p><p>lote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:</p><p>a.</p><p>68</p><p>95</p><p>b.</p><p>70</p><p>95</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>99</p><p>c.</p><p>72</p><p>95</p><p>d.</p><p>74</p><p>95</p><p>e.</p><p>76</p><p>95</p><p>Resposta: A.</p><p>135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em</p><p>anotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais:</p><p>a) Ao menos um dos eventos ocorre.</p><p>b) Exatamente um dos eventos ocorre.</p><p>Resposta: a) (A∪ B ∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .</p><p>136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A∩ B) = c.</p><p>Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z.</p><p>a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩</p><p>Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c.</p><p>137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A∩ B)</p><p>= P(C∩ B)=0 e P (A∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos</p><p>eventos A, B ou C ocorra.</p><p>a.</p><p>6</p><p>8</p><p>b.</p><p>5</p><p>8</p><p>c.</p><p>8</p><p>9</p><p>d.</p><p>5</p><p>9</p><p>e.</p><p>7</p><p>8</p><p>Resposta: B.</p><p>138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que</p><p>P(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p.</p><p>a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos?</p><p>b) Para que valor de p, A e B serão independentes?</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>100</p><p>Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3.</p><p>139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é</p><p>escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De</p><p>observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores</p><p>fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A</p><p>é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o</p><p>motor escolhido tenha sido fabricado em A.</p><p>a) 0,400</p><p>b) 0,030</p><p>c) 0,012</p><p>d) 0,308</p><p>e) 0,500</p><p>Resposta: A</p><p>140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e</p><p>Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu</p><p>sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio,</p><p>ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os</p><p>sorteados é igual a:</p><p>a) 0,8</p><p>b) 0,375</p><p>c) 0,05</p><p>d) 0,6</p><p>e) 0,75</p><p>Resposta: D</p><p>141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um</p><p>esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.</p><p>A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área</p><p>circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>101</p><p>disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de</p><p>múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem</p><p>de métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo</p><p>A e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente,</p><p>então n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B), onde n(A B) é o número de elementos que</p><p>pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine</p><p>o número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar o</p><p>esconderijo.</p><p>a) 33</p><p>b) 12</p><p>c) 45</p><p>*d) 41</p><p>e) 4</p><p>Resposta: D</p><p>Texto para os itens de 142 a 144</p><p>Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que as</p><p>populações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região que</p><p>apresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com</p><p>17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo</p><p>76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebem</p><p>remuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). O</p><p>percentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas.</p><p>Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idade</p><p>ocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bem</p><p>menor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992.</p><p>Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações).</p><p>Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que</p><p>trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileira</p><p>seja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região —</p><p>são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade</p><p>federativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência as</p><p>informações contidas no texto acima.</p><p>142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhões</p><p>de crianças e adolescentes com idade de até 17 anos.</p><p>Resposta: Correto</p><p>143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os</p><p>2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudeste</p><p>é superior a 0,2.</p><p>Resposta: Correto</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>102</p><p>144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no</p><p>Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e</p><p>adolescentes trabalham no campo.</p><p>Resposta: Errado</p><p>145) Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 contêm</p><p>tomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 contêm tomates secos no</p><p>recheio. Como todas as bolinhas são de mesmo tamanho, não é possível identificar o</p><p>recheio antes de abri-las. Se uma pessoa retirar, ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, a</p><p>probabilidade de ela ter tomates secos é</p><p>A)</p><p>7</p><p>23</p><p>.</p><p>B)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>C)</p><p>7</p><p>16</p><p>.</p><p>D)</p><p>4</p><p>7</p><p>.</p><p>E)</p><p>7</p><p>9</p><p>.</p><p>Opção correta: C.</p><p>146) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro.</p><p>Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria</p><p>guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite,</p><p>arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma</p><p>pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.</p><p>Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria</p><p>retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a</p><p>a) 1/3.</p><p>b) 1/5.</p><p>c) 9/20.</p><p>d) 4/5.</p><p>e) 3/5.</p><p>Opção correta: A</p><p>147) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus.</p><p>Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare.</p><p>A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>103</p><p>Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus,</p><p>Tertius e Quartus, é igual a</p><p>a) 0,500.</p><p>b) 0,375.</p><p>c) 0,700.</p><p>d) 0,072.</p><p>e) 1,000.</p><p>Resposta: C</p><p>148) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas</p><p>e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das</p><p>outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer.</p><p>Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que</p><p>se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás</p><p>mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas</p><p>não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do</p><p>que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a</p><p>porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não</p><p>abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta</p><p>que conduz à barra de ouro é igual a</p><p>a) 1/2.</p><p>b) 1/3.</p><p>c) 2/3.</p><p>d) 2/5.</p><p>e) 1.</p><p>Resposta: C</p><p>149) (Julgue certo ou errado) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas</p><p>no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho.</p><p>Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e um</p><p>candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessas</p><p>condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das</p><p>varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>Resposta: Correto.</p><p>150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-se</p><p>que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem</p><p>mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente.</p><p>Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>104</p><p>sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um</p><p>processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a</p><p>3</p><p>5</p><p>.</p><p>Resposta: Correto.</p><p>151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um dos</p><p>eventos A ou B ocorra. Verifique que ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦ .</p><p>SEQÜÊNCIAS</p><p>Seqüências Especiais</p><p>Dizemos que a seqüência de números reais a1, a2, a3,....., an é uma progressão</p><p>aritmética(P.A.) de ordem k se a k-ésima diferença é constante.</p><p>Exemplo:</p><p>1) 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois</p><p>.....</p><p>3 3 3 3 3 3 ......... k = 1</p><p>2) 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois</p><p>......</p><p>3, 5, 7, 9, 11, .........</p><p>......</p><p>2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2</p><p>Proposição:</p><p>Se um seqüência é uma progressão aritmética</p><p>q.</p><p>b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.</p><p>c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.</p><p>d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.</p><p>e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.</p><p>Solução</p><p>a) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a</p><p>proposição (p → q) falsa.</p><p>b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa.</p><p>c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a</p><p>proposição (p ↔ q) falsa.</p><p>d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q)</p><p>sempre verdadeira.</p><p>e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p)</p><p>sempre falsa.</p><p>Opção correta: D.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>6</p><p>11) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que:</p><p>a) p é uma proposição verdadeira.</p><p>b) q é uma proposição verdadeira.</p><p>c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira.</p><p>d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira.</p><p>e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa.</p><p>Solução</p><p>a) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)</p><p>verdadeira.</p><p>b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)</p><p>verdadeira.</p><p>c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)</p><p>verdadeira.</p><p>d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa.</p><p>e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição p</p><p>necessariamente falsa.</p><p>Opção correta: E.</p><p>12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo</p><p>Solução</p><p>Desenvolvendo a tabela verdade teremos:</p><p>p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q</p><p>V V F F V V</p><p>V F F V V F</p><p>F V V F V F</p><p>F F V V F F</p><p>13) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo</p><p>p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q</p><p>V V V</p><p>V F F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q</p><p>V V F</p><p>V F V</p><p>F V V F</p><p>F F V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>7</p><p>Solução</p><p>Desenvolvendo a tabela verdade teremos:</p><p>p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q</p><p>V V F F V V V</p><p>V F F V F V F</p><p>F V V F V F F</p><p>F F V V V V V</p><p>14) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo</p><p>p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q</p><p>V V F V V F</p><p>V F F</p><p>F V V V F</p><p>F F V V V</p><p>Solução</p><p>Desenvolvendo a tabela verdade teremos:</p><p>p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q</p><p>V V F F V V F F</p><p>V F F V V F F V</p><p>F V V F V F F V</p><p>F F V V F F V V</p><p>15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) =</p><p>V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.</p><p>Solução</p><p>P Q R p ∧ q (P ∧ Q) →R</p><p>V V V V V</p><p>V V F V F</p><p>V F V F V</p><p>F V V F V</p><p>V F F F V</p><p>F V F F V</p><p>F F V F V</p><p>F F F F V</p><p>Logo o VAL(P ∧ Q) →R) = F</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>8</p><p>1.3 - Exercícios Propostos</p><p>Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE)</p><p>Considere as sentenças abaixo.</p><p>I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.</p><p>II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.</p><p>III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.</p><p>IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então</p><p>fumar deve ser proibido.</p><p>V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser</p><p>proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.</p><p>Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,</p><p>julgue os itens seguintes.</p><p>1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ ( ¬ T).</p><p>2) A sentença II pode ser corretamente representada por ( ¬ P) ∧ ( ¬ R).</p><p>3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.</p><p>4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ ( ¬ T)) → P.</p><p>5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→(( ¬ R) ∧ ( ¬ P)).</p><p>Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE)</p><p>Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ , ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,</p><p>ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um</p><p>único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca</p><p>ambos.</p><p>Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.</p><p>6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ¬ P) ∨ ( ¬ Q)</p><p>também é verdadeira.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>9</p><p>7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:</p><p>(I) O BB foi criado em 1980.</p><p>(II) Faça seu trabalho corretamente.</p><p>(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.</p><p>8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( ¬ T)</p><p>é falsa.</p><p>9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.</p><p>10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição</p><p>(P ∧ R) → ( ¬ Q) é verdadeira.</p><p>11) Determine o valor verdade da sentença</p><p>[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].</p><p>Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V</p><p>Resposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F</p><p>Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.</p><p>12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:</p><p>VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V</p><p>Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F</p><p>TAUTOLOGIA</p><p>São moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos</p><p>valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se uma</p><p>proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valores</p><p>da proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia.</p><p>Exemplo:</p><p>16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias.</p><p>a) (p ∨ ¬p)</p><p>b) (p → p)</p><p>c) ¬(¬p) ↔ p</p><p>Solução</p><p>a) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:</p><p>p ¬p p ∨ ¬p</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>10</p><p>b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:</p><p>p p → p</p><p>V V</p><p>F V</p><p>c) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:</p><p>p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ p</p><p>V F V V</p><p>F V F V</p><p>CONTRADIÇÕES</p><p>São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições</p><p>(átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a</p><p>tabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem falsos teremos uma</p><p>contradição.</p><p>Exemplo:</p><p>17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições.</p><p>a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p)</p><p>Solução</p><p>a) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:</p><p>p ¬p p ∧ ¬p</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>b) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:</p><p>p ¬p p ↔ ¬p</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>CONTINGÊNCIA</p><p>São moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos).</p><p>Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade da</p><p>proposição.</p><p>de ordem k então o termo geral é de grau</p><p>k em n.</p><p>Exemplo:</p><p>3) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,...., e qual o 15ª termo?</p><p>Solução</p><p>2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois</p><p>.....</p><p>3 3 3 3 3 3 ......... k = 1</p><p>Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B = 2 (equação 1)</p><p>n = 2 2A+ B = 5 (equação 2)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3.</p><p>Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1</p><p>Logo o termo geral é an = 3n -1</p><p>O 15ª termos será a15 = 3x15 -1 = 45-1 = 44.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>105</p><p>Exemplo:</p><p>4) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,......, e qual o 15ª termo?</p><p>Solução</p><p>1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois</p><p>......</p><p>3, 5, 7, 9, 11, .........</p><p>......</p><p>2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2</p><p>Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B + C = 1 (equação 1)</p><p>n = 2 4A + 2B + C = 4 (equação 2)</p><p>n = 3 9A + 3B + C = 9 (equação 3)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:</p><p>3A + B = 3 (equação 4)</p><p>8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5)</p><p>Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:</p><p>A = 1</p><p>Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0.</p><p>Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0.</p><p>Logo o termo geral é:</p><p>an = An2 + Bn + C</p><p>an = 1n2 + 0n + 0</p><p>an = n2</p><p>O 15ª termos será a15 = 152 = 225.</p><p>Exemplo:</p><p>5) Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas 4 pessoas; juntando duas</p><p>mesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6 pessoas; juntando-se três mesas,</p><p>acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim sucessivamente, como é mostrado na</p><p>figura abaixo:</p><p>Nas mesmas condições, juntando 16 mesas, o número de pessoas que poderão ser</p><p>acomodadas é:</p><p>a) 32</p><p>b) 34</p><p>c) 36</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>106</p><p>d) 38</p><p>e) 40</p><p>Solução</p><p>4, 6, 8, 10, 12, 14,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois</p><p>.....</p><p>2 2 2 2 2 2 ......... k = 1</p><p>Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B = 4 (equação 1)</p><p>n = 2 2A+ B = 6 (equação 2)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.</p><p>Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2</p><p>Logo o termo geral é an = 2n +2</p><p>O 16ª termos será a16 = 2x16+2 = 32 +2 = 34</p><p>Resposta: B</p><p>Exemplo:</p><p>6) Mariana resolveu construir quadrados com palitos de fósforo. Para construir</p><p>um quadrado 1 x 1 ela utilizou 4 palitos. Para fazer um 2 x 2 ela utilizou 12 palitos.</p><p>a) Quantos palitos serão necessários para a construção de um quadrado 10x10?</p><p>b) Quantos quadrados haverá nessa construção?</p><p>Veja que na 1ª figura abaixo, só há um quadrado, mas na 2ª há cinco.</p><p>Solução</p><p>a) 4, 12, 24, 40, 60, 84 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois</p><p>......</p><p>8 12, 16, 20, 24, .........</p><p>......</p><p>4, 4, 4, 4, 4,...... k = 2</p><p>Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B + C = 4 (equação 1)</p><p>n = 2 4A + 2B + C = 12 (equação 2)</p><p>n = 3 9A + 3B + C = 24 (equação 3)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:</p><p>3A + B = 8 (equação 4)</p><p>8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>107</p><p>Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:</p><p>A = 2</p><p>Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2.</p><p>Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0.</p><p>Logo o termo geral é:</p><p>an = An2 + Bn + C</p><p>an = 2n2 + 2n + 0</p><p>an = 2n2 + 2n</p><p>O 10ª termos será a10 = 2x102 + 2x10 = 200 + 20 = 220</p><p>b) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, 81 ....</p><p>1 5 14 30 ........</p><p>1, 5, 14, 30, 55, 91 .. . é uma P.A. de 3ª ordem pois</p><p>......</p><p>4 9, 16, 25, 36, .........</p><p>......</p><p>5, 7, 9, 11, 13,......</p><p>......</p><p>2, 2, 2, 2, 2,...... k = 3</p><p>Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D (3ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B + C +D = 1 (equação 1)</p><p>n = 2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2)</p><p>n = 3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3)</p><p>n = 4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4)</p><p>Fazendo cada equação menos a anterior temos:</p><p>7A + 3B + C = 4 (equação 5)</p><p>19A + 5B + C = 9 (equação 6)</p><p>37A + 7B + C = 16 (equação 7)</p><p>Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos:</p><p>12A + 2B = 5 (equação 8)</p><p>30A + 4B = 12 (equação 9)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>108</p><p>Resolvendo o sistema em A e B temos:</p><p>A = 1/3 e B = ½</p><p>Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6.</p><p>Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0.</p><p>Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D e portanto o termo</p><p>geral será:</p><p>3 2</p><p>3 2</p><p>3 2 6</p><p>2 3</p><p>6</p><p>n</p><p>n</p><p>n n n</p><p>a</p><p>n n n</p><p>a</p><p>= + +</p><p>+ +=</p><p>Logo</p><p>3 2</p><p>10</p><p>2.10 3.10 10 2000 300 10 2310</p><p>385</p><p>6 6 6</p><p>a</p><p>+ + + += = = =</p><p>Exemplo:</p><p>7) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos</p><p>a) 23.</p><p>b) 22.</p><p>c) 21.</p><p>d) 24.</p><p>e) 25.</p><p>Solução</p><p>Resposta: A</p><p>Exemplo:</p><p>8) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .</p><p>a) 14</p><p>b) 15</p><p>c) 17</p><p>d) 19</p><p>e) 21</p><p>Solução</p><p>É a seqüência dos números primos</p><p>Resposta: C</p><p>Seqüência de Fibonacci</p><p>A seqüência de números naturais 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... é chamada se seqüência</p><p>de Fibonacci. Logo cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores, e o termo</p><p>geral(an) da seqüência de Fibonacci é:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>109</p><p>n</p><p>n-2 n-1</p><p>0 , se n = 1</p><p>a = 1 , se n = 2</p><p>a +a , se n = 3,4,5,6,...</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩</p><p>9) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .</p><p>a) 15</p><p>b) 17</p><p>c) 21</p><p>d) 22</p><p>e) 25</p><p>Solução</p><p>Esta seqüência é conhecida como seqüência de Fibonacci cada termo é a soma dos dois</p><p>termos anteriores ( 8 + 13 = 21).</p><p>Resposta: C</p><p>10) Calcule o valor de x.y, sabendo que x e y são termos da seqüência abaixo:</p><p>1, 2, 3, x, 6, 8, 9, 12, y, 24, 36, 72</p><p>a) 48</p><p>b) 64</p><p>c) 68</p><p>d) 72</p><p>e) 90</p><p>Solução</p><p>Os números são os divisores de 72. Logo x = 4 e y = 18, portanto x � y = 72</p><p>Resposta: D</p><p>11) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, . . .</p><p>a) 12</p><p>b) 13</p><p>c) 14</p><p>d) 15</p><p>e) 16</p><p>Solução</p><p>2 + 2 = 4</p><p>4 + 1 = 5</p><p>5 + 2 = 7</p><p>7 + 1 = 8</p><p>8 + 2 = 10</p><p>10 + 1 = 11</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>110</p><p>11 + 2 = 13</p><p>13 + 1 = 14</p><p>Resposta: C</p><p>12) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, . . .</p><p>a) 29</p><p>b) 30</p><p>c) 32</p><p>d) 34</p><p>e) 36</p><p>Solução</p><p>Os termos são os divisores positivos de 36.</p><p>Resposta: E</p><p>13) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 6, 12, 20, 31, 46, . . .</p><p>a) 48</p><p>b) 50</p><p>c) 54</p><p>d) 56</p><p>e) 66</p><p>Solução</p><p>Vamos calcular as diferenças</p><p>Resposta: E</p><p>Seqüência dos Números triangulares</p><p>A seqüência de números naturais 1, 3, 6, 10, 15, 21,... é chamada se seqüência de números</p><p>triangulares, e o termo geral(an) da seqüência de números triangulares é:</p><p>n</p><p>n(n+1)</p><p>a =</p><p>2</p><p>14) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .</p><p>a) 18</p><p>b) 20</p><p>c) 24</p><p>d) 26</p><p>e) 28</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>111</p><p>Temos a seqüência de números triangulares onde o sétimo será</p><p>n</p><p>7(7+1) 7 8 56</p><p>a = 28</p><p>2 2 2</p><p>×= = =</p><p>Resposta: E</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão</p><p>de figuras compostas por triângulos:</p><p>Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta</p><p>de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é</p><p>a) 45</p><p>b) 49</p><p>c) 51</p><p>d) 57</p><p>e) 61</p><p>Resposta: C</p><p>153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . .</p><p>a) 33</p><p>b) 34</p><p>c) 35</p><p>d) 36</p><p>e) 39</p><p>Resposta: D</p><p>154) Qual o próximo termo da seqüência:</p><p>1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . .</p><p>a)14</p><p>b)15</p><p>c) 25</p><p>d) 28</p><p>e) 29</p><p>Resposta: B</p><p>155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .</p><p>a) 30</p><p>b) 31</p><p>c) 32</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>112</p><p>d) 33</p><p>e) 34</p><p>Resposta: E</p><p>156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .</p><p>a) 48</p><p>b) 49</p><p>c) 54</p><p>d) 64</p><p>e) 81</p><p>Resposta: B</p><p>157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . .</p><p>a) 22</p><p>b) 23</p><p>c) 24</p><p>d) 25</p><p>e) 26</p><p>Resposta: E</p><p>158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um</p><p>triângulo segundo determinado critério.</p><p>Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de</p><p>acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de</p><p>interrogação é</p><p>a) P</p><p>b) Q</p><p>c) R</p><p>d) S</p><p>e) T</p><p>Resposta: E</p><p>159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas</p><p>segundo determinado critério.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>113</p><p>Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então,</p><p>segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que</p><p>deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é</p><p>a) C</p><p>b) I</p><p>c) O</p><p>d) P</p><p>e) R</p><p>Resposta: D</p><p>160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temos</p><p>a) 236.</p><p>b) 244.</p><p>c) 246.</p><p>d) 254.</p><p>e) 256.</p><p>Resposta: B</p><p>161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos,</p><p>respectivamente,</p><p>a) O, P.</p><p>b) I, O.</p><p>c) E, P.</p><p>d) L, I.</p><p>e) D, L.</p><p>Resposta: D</p><p>162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos</p><p>a) 23.</p><p>b) 22.</p><p>c) 21.</p><p>d) 24.</p><p>e) 25.</p><p>Resposta: A</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>114</p><p>163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados</p><p>sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.</p><p>Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é</p><p>a) 210</p><p>b) 206</p><p>c) 200</p><p>d) 196</p><p>e) 188</p><p>Resposta: A</p><p>164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células</p><p>obedecendo a um determinado padrão.</p><p>Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que</p><p>a) X > 100</p><p>b) 90</p><p>0</p><p>c) 1</p><p>d) 499</p><p>e) 500</p><p>Resposta: B</p><p>178) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei</p><p>de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um</p><p>número compreendido entre</p><p>(A) 150 e 170</p><p>(B) 130 e 150</p><p>(C) 110 e 130</p><p>(D) 90 e 110</p><p>(E) 70 e 90</p><p>Opção A.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>119</p><p>179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a</p><p>partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de</p><p>acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser</p><p>(A) P</p><p>(B) R</p><p>(C) S</p><p>(D) T</p><p>(E) U</p><p>Resp. A</p><p>180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.</p><p>O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é</p><p>(A) 5 151</p><p>(B) 5 050</p><p>(C) 4 950</p><p>(D) 3 725</p><p>(E) 100</p><p>Resp. B</p><p>181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que</p><p>cada termo é composto de um número seguido de uma letra:</p><p>A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ...</p><p>Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de</p><p>acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é</p><p>(A) J</p><p>(B) L</p><p>(C) M</p><p>(D) N</p><p>(E) O</p><p>Resp. A</p><p>Texto para os itens de 44 a 48</p><p>Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas</p><p>verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais</p><p>como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V,</p><p>nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q</p><p>forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será V</p><p>somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P,</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>120</p><p>que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é</p><p>um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.</p><p>A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.</p><p>44 As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬P são iguais.</p><p>45 As proposições (P ∨ Q) → S e (P → S) ∨ (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.</p><p>46 O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com</p><p>exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.</p><p>SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE)</p><p>Considere as sentenças abaixo.</p><p>I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.</p><p>II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.</p><p>III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.</p><p>IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então</p><p>fumar deve ser proibido.</p><p>V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser</p><p>proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.</p><p>Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,</p><p>julgue os itens seguintes.</p><p>1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ ( ¬ T).</p><p>Solução</p><p>(ERRADO) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.</p><p>( P ∧ T )</p><p>2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ ( ¬ R).</p><p>Solução</p><p>(CERTO) Fumar não deve ser proibido E fumar faz bem à saúde</p><p>( ¬ P ) ∧ ( ¬ R )</p><p>3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>121</p><p>Solução</p><p>(CERTO) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.</p><p>R → P</p><p>4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ ( ¬ T)) → P.</p><p>Solução</p><p>(CERTO) ( R ∧ (¬ T ) ) → P</p><p>5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→(( ¬ R) ∧ ( ¬ P)).</p><p>Solução</p><p>(ERRADO) (¬ R ∧ ¬ P) → T</p><p>Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE)</p><p>Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ , ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,</p><p>ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um</p><p>único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca</p><p>ambos.</p><p>Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.</p><p>6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ¬ P) ∨ ( ¬ Q)</p><p>também é verdadeira.</p><p>Solução</p><p>( ¬ P) ∨ ( ¬ Q)</p><p>( ¬ V) ∨ ( ¬ V)</p><p>F ∨ F</p><p>F</p><p>Resposta: Errado.</p><p>7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:</p><p>(I) O BB foi criado em 1980.</p><p>(II) Faça seu trabalho corretamente.</p><p>(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.</p><p>Solução</p><p>(I) O BB foi criado em 1980. É PROPOSIÇÃO.</p><p>(II) Faça seu trabalho corretamente. NÃO É PROPOSIÇÃO.</p><p>(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. É PROPOSIÇÃO.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>122</p><p>Temos duas proposições.</p><p>Resposta: Certo.</p><p>8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( ¬ T)</p><p>é falsa.</p><p>Solução</p><p>R → ( ¬ T)</p><p>F → ( ¬ V)</p><p>F → F</p><p>V</p><p>Resposta: Errado.</p><p>9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.</p><p>Solução</p><p>Queremos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ . Como temos 3 proposições simples</p><p>temos 23=8 linhas na tabela verdade.Primeiro vamos fazer a tabela verdade de</p><p>( )P Q∧ :</p><p>P Q R ( )P Q∧</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V F</p><p>F V V F</p><p>V F F F</p><p>F V F F</p><p>F F V F</p><p>F F F F</p><p>Agora vamos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ :</p><p>P Q R ( )P Q∧ ( )P Q R∧ ∨</p><p>V V V V V</p><p>V V F V V</p><p>V F V F V</p><p>F V V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V F F F</p><p>F F V F V</p><p>F F F F F</p><p>Passou 5 avaliações verdadeiras.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>123</p><p>Resposta: Errado.</p><p>10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição</p><p>(P ∧ R) → ( ¬ Q) é verdadeira.</p><p>Solução</p><p>(P ∧ R) → ( ¬ Q)</p><p>(V ∧ F) → ( ¬ V)</p><p>(V ∧ F) → F</p><p>F → F</p><p>V</p><p>Resposta: Certo.</p><p>11) Determine o valor verdade da sentença</p><p>[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].</p><p>Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V</p><p>Solução</p><p>[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]</p><p>[V ∧ (F → V)] ↔ [¬ V ∧ (F ∨ V)]</p><p>[V ∧ V] ↔ [F ∧ V]</p><p>V ↔ F</p><p>F</p><p>Resposta: VAL{[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F</p><p>Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.</p><p>12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:</p><p>VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V</p><p>Solução</p><p>A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)]</p><p>V → [(¬ F ↔F) ∧ (F ∨ V)]</p><p>V → [(V ↔F) ∧ (F ∨ V)]</p><p>V → [F ∧ V]</p><p>V → F</p><p>F</p><p>Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F</p><p>13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:</p><p>a) O Professor Joselias é bonito.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>124</p><p>b) O Brasil é um País da América do Sul.</p><p>c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.</p><p>d) Que belo dia!</p><p>e) Boa sorte!</p><p>f) Joselias é um bom professor?</p><p>g) Que horas são?</p><p>h) O jogo terminou empatado?</p><p>i) Faça seu trabalho corretamente.</p><p>j) Estude e limpe o quarto.</p><p>l) Esta proposição é falsa</p><p>m) 2 + 3 > 5</p><p>n) x + y > 5</p><p>o) A terra é um planeta.</p><p>p) x é um planeta.</p><p>Solução</p><p>a) O Professor Joselias é bonito. (É PROPOSIÇÃO)</p><p>b) O Brasil é um País da América do Sul. (É PROPOSIÇÃO)</p><p>c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. (É PROPOSIÇÃO)</p><p>d) Que belo dia! (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>e) Boa sorte! (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>f) Joselias é um bom professor? (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>g) Que horas são? (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>h) O jogo terminou empatado? (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>i) Faça seu trabalho corretamente. (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>j) Estude e limpe o quarto. (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>l) Esta proposição é falsa. (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>m) 2 + 3 > 5. (É PROPOSIÇÃO)</p><p>n) x + y > 5. (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>o) A terra é um planeta. (É PROPOSIÇÃO)</p><p>p) x é um planeta. (NÃO É PROPOSIÇÃO)</p><p>14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução</p><p>¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é a tautologia de Morgan.</p><p>Resposta: C</p><p>15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>125</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan.</p><p>Resposta: C</p><p>16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução</p><p>(¬p ∨ q) ↔ (p → q) é tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução</p><p>(p → q) ↔ (¬q → ¬p) é a tautologia chamada contra-positiva.</p><p>Resposta: C</p><p>18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução</p><p>(p ∨ ¬p) é tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>126</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução</p><p>(p ∧ ¬p) é contradição</p><p>Resposta: A</p><p>20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução ¬ (¬p) ↔ p é tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>Solução ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p é tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:</p><p>a) Q é condição suficiente para P.</p><p>b) P é condição necessária para Q.</p><p>c) Q não é condição necessária para P</p><p>d) P é condição suficiente para Q.</p><p>e) P não é condição suficiente nem necessária para Q.</p><p>Solução</p><p>P é condição suficiente para Q.</p><p>Q é condição necessária para P.</p><p>Resposta: D</p><p>23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é</p><p>solteira.” é:</p><p>a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>127</p><p>b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.</p><p>c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.</p><p>d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.</p><p>e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.</p><p>Solução</p><p>(Se Pedro é economista, então Luisa é solteira)</p><p>( )p q→</p><p>é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬</p><p>(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista)</p><p>Resposta: E</p><p>24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente</p><p>equivalente a dizer que:</p><p>a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.</p><p>b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.</p><p>c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro</p><p>d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.</p><p>e) André não é artista e Bernardo é engenheiro</p><p>Solução</p><p>(André é artista ou Bernardo não é engenheiro)</p><p>A expressão acima é equivalente a:</p><p>(Bernardo não é engenheiro ou André é artista) ( )p q¬ ∨</p><p>é equivalente a ( )p q→</p><p>(Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista)</p><p>Resposta: D</p><p>25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,</p><p>o mesmo que dizer que:</p><p>a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro</p><p>c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>Solução</p><p>(Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>128</p><p>( )p q¬ ∨</p><p>é equivalente a ( )p q→</p><p>(Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista)</p><p>Resposta: A</p><p>26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-</p><p>chuva” é:</p><p>a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva</p><p>b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva</p><p>c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva</p><p>d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva</p><p>e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva</p><p>Solução</p><p>(Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva) ( )p q¬ →</p><p>é equivalente a ( )p q∧ ¬</p><p>(Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva)</p><p>Resposta: E</p><p>27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é</p><p>equivalente a</p><p>Solução</p><p>( )p q¬ → é equivalente a ( )p q∧ ¬</p><p>Resposta: B</p><p>28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a</p><p>é</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>129</p><p>Solução ( )p q→ é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬</p><p>Resposta: A</p><p>29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é</p><p>a) ~(p ∨ q) b) (~p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)</p><p>Solução ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan.</p><p>Resposta: A</p><p>30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é</p><p>a) ~(p ∨ q)</p><p>b) ~ (p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q)</p><p>d) (p ∧ ~q)</p><p>e) (~p ∨ q)</p><p>Solução ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨¬q) é a tautologia de Morgan.</p><p>Resposta: B</p><p>31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.</p><p>a) (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>b) (p ∨ q) → q</p><p>c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)</p><p>d) p→ (p ∧ q)</p><p>e) p→ (p ∨ q)</p><p>Solução</p><p>Observe que:</p><p>A proposição (~p ∨ p) é uma tautologia, portanto é sempre verdadeira.</p><p>A proposição (~p ∧ p) é uma contradição, portanto é sempre falsa.</p><p>Sendo assim a proposição (~p ∨ p) → (~p ∧ p) é sempre falsa.</p><p>Resposta: C</p><p>32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.</p><p>a) (~p ∨ p) → q</p><p>b) (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q) → q</p><p>d) p→ (p ∧ q)</p><p>e) p→ (p ∨ q)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>130</p><p>Solução</p><p>A condiciona é falsa apenas quando temos V→ F, e a disjun��ão é sempre verdadeira se</p><p>pelo menos uma das proposições é verdadeira. Então a proposição p→ (p ∨ q) será sempre</p><p>verdadeira , pois se p é verdade então (p ∨ q) também será.</p><p>Resposta: E</p><p>33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∧ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas na terceira linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Nessa mesma linha a proposição p é falsa( então considere ~p) e a proposição q é</p><p>verdadeira(então considere q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ q).</p><p>Resposta: D</p><p>34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∧ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>131</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>Nessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q é</p><p>falsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q).</p><p>Resposta: B</p><p>35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua</p><p>tabela-verdade é</p><p>p q r s</p><p>V V V F</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V V F</p><p>V F F F</p><p>F V F F</p><p>F F V F</p><p>F F F F</p><p>Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças</p><p>equivalentes a s. Uma dessas sentenças é</p><p>a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]</p><p>c) [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]</p><p>d) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]</p><p>e) ~ [p ∧ q ∧ r]</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas a segunda e terceira linha da tabela verdade de s são verdadeiras.</p><p>p q r s</p><p>V V V F</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V V F</p><p>V F F F</p><p>F V F F</p><p>F F V F</p><p>F F F F</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>132</p><p>Na segunda linha p é verdadeira e q é verdadeira e r é falsa, logo temos p∧ q ∧ (~r).</p><p>Na terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos p ∧ (~q) ∧ r.</p><p>Como s é verdadeira na segunda ou na terceira linha teremos:</p><p>[p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]</p><p>Resposta: C</p><p>36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>p q ?</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∨ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor falso na coluna ?.</p><p>p q ?</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Nessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q é</p><p>falsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q). Como o valor da</p><p>proposição ? é falso temos ~ (~p ∧ ~q). Usando a equivalência de Morgan obtemos (p∨q).</p><p>Resposta: A</p><p>37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua</p><p>tabela-verdade é</p><p>p q r s</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V F</p><p>F V V F</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>133</p><p>F F F V</p><p>Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças</p><p>equivalentes a s. Uma dessas sentenças é</p><p>a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]</p><p>c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]</p><p>d) [p ∨ q ∨ r]</p><p>e) ~ [p ∧ q ∧ r]</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas a terceira e quarta linha da tabela verdade de s são falsas.</p><p>p q r s</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V F</p><p>F V V F</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F V V</p><p>F F F V</p><p>Na terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos ~ (p∧ ~q ∧ r) pois a</p><p>tabela é falsa.</p><p>Na quarta linha p é falsa e q é verdadeira e r é verdadeira, logo temos ~ (~p ∧q ∧ r) pois a</p><p>tabela é falsa.</p><p>Como s é falsa na terceira e na quarta linha é falsa teremos:</p><p>~ (p∧ ~q ∧ r) ∧ ~ (~p ∧q ∧ r) que é equivalente por Morgan a:</p><p>[(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>Resposta: A</p><p>38) Considere as afirmações abaixo.</p><p>I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.</p><p>II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.</p><p>III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .</p><p>É verdade o que se afirma APENAS em</p><p>(A) I.</p><p>(B) II e III</p><p>(C) I e III.</p><p>(D) I e II.</p><p>(E) I, II e III.</p><p>Solução</p><p>Vamos fazer a tabela verdade dos itens I e II:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>134</p><p>p q q∼ ( )p q↔∼ p q↔ ( )p q↔∼ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼</p><p>V V F F V F V</p><p>V F V V F V V</p><p>F V F V F V V</p><p>F F V F V F V</p><p>Logo I) ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é tautologia.</p><p>p q ( )p q→ q∼ ( ) )p q q→ ∨ ∼</p><p>V V V F V</p><p>V F F V V</p><p>F V V F V</p><p>F F V V V</p><p>Logo II) ( ) )p q q→ ∨ ∼ é tautologia.</p><p>Conforme vimos no material a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .</p><p>Resposta: E</p><p>39) Considere as afirmações abaixo.</p><p>I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .</p><p>II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .</p><p>III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .</p><p>É verdade o que se afirma APENAS em</p><p>(A) I.</p><p>(B) II e III</p><p>(C) I e III.</p><p>(D) I e II.</p><p>(E) I, II e III.</p><p>Solução</p><p>I, II e III são corretas.</p><p>Resposta: E</p><p>40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>135</p><p>Solução</p><p>Como ( )p q↔∼ é equivalente a ( ) ( )p q p q∧ ∨ ∧∼ ∼ , a proposição</p><p>( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ é tautologia. Isto significa que a</p><p>negação do “se e somente se” é o “ou exclusivo”.</p><p>Resposta: C</p><p>41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>Solução</p><p>p q p¬ q¬ p q↔ p q¬ ↔ ¬ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ¬ ↔ ¬</p><p>V V F F V V V</p><p>V F F V F F V</p><p>F V V F F F V</p><p>F F V V V V V</p><p>Logo a proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>42) Considere a seguinte declaração:</p><p>Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.</p><p>a) Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente</p><p>sabia.</p><p>b) Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.</p><p>c) Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o</p><p>presidente sabia.</p><p>d) Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.</p><p>e) Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.</p><p>Solução ¬ (Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos).</p><p>( )p q¬ ∨</p><p>é equivalente a(negação do ou exclusivo)</p><p>p q↔</p><p>é equivalente a (ver questão 41)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>136</p><p>p q¬ ↔ ¬</p><p>(o presidente sabia se e somente se não houve desacato)</p><p>Resposta: C</p><p>43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>Solução</p><p>p q r p q→ ( )p r∧ ( )p r q∧ → ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ →</p><p>V V V V V V V</p><p>V V F V F V V</p><p>V F V F V F V</p><p>F V V V F V V</p><p>V F F F F V F</p><p>F V F V F V V</p><p>F F V V F V V</p><p>F F F V F V V</p><p>Resposta: B</p><p>44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os</p><p>aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”.</p><p>A condição necessária e suficiente para</p><p>que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte</p><p>proposição:</p><p>(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.</p><p>(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>Solução</p><p>A negação de todos é existe algum( pelo menos um). Portanto a negação será Pelo menos</p><p>um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>Resposta: C</p><p>45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>137</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>Solução</p><p>Vamos fazer a tabela verdade.</p><p>p p∼ p p→∼ ( )p p p→ ↔∼</p><p>V F V V</p><p>F V F V</p><p>Logo ( )p p p→ ↔∼ é uma tautologia.</p><p>Resposta: C</p><p>46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em</p><p>Paris” é logicamente equivalente à afirmação:</p><p>(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.</p><p>(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.</p><p>(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.</p><p>(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.</p><p>(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.</p><p>Solução</p><p>“Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris”</p><p>Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→</p><p>Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→</p><p>Não é verdade que ( )p q→</p><p>é equivalente a</p><p>Não é verdade que ( )p q¬ ∨</p><p>é equivalente a</p><p>Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”</p><p>Resposta: D</p><p>47) Sendo " "x∈ a proposição “x é um número real” e " "x∈ a proposição “x é</p><p>um número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os números</p><p>reais são naturais” e:</p><p>a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉</p><p>b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉</p><p>c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈</p><p>d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉</p><p>e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>138</p><p>Solução</p><p>( )( )x x x¬ ∀ ∈ → ∈</p><p>é equivalente a</p><p>( ) ( )x x x∃ ¬ ∈ → ∈</p><p>( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉</p><p>Resposta: D</p><p>48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições</p><p>compostas de três átomos é:</p><p>a) 3</p><p>b) 4</p><p>c) 6</p><p>d) 8</p><p>e) 9</p><p>Solução</p><p>O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposições</p><p>simples é2n</p><p>. Logo o número de linha será</p><p>32 8= linhas.</p><p>Resposta: D</p><p>49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições</p><p>compostas de n átomos é:</p><p>a) 2</p><p>b) 2n</p><p>c) 2n</p><p>d) 3n</p><p>e) 3n</p><p>Solução</p><p>O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposições</p><p>simples é 2n</p><p>.</p><p>Resposta: C</p><p>50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + x então 2=y . Podemos daí concluir que:</p><p>a) Se 4x .</p><p>d) Se 2≠y então 4≤x .</p><p>e) Se 2≠y então 4x então 2=y</p><p>( )p q→</p><p>é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬</p><p>é equivalente</p><p>Se 2≠y então 4≤x</p><p>Resposta: D</p><p>57) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua</p><p>tabela-verdade é</p><p>p q r s</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V V V</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F V V</p><p>F F F F</p><p>Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças</p><p>equivalentes a s. Uma dessas sentenças é</p><p>a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]</p><p>c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]</p><p>d) [p ∨ q ∨ r]</p><p>e) ~ [p ∧ q ∧ r]</p><p>Solução</p><p>Observe que apenas a oitava linha da tabela verdade de s é falsa.</p><p>p q r s</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>142</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F V V</p><p>F F F F</p><p>Na oitava linha p é falsa e q é falsa e r é falsa, logo temos ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) pois a tabela é</p><p>falsa.Temos que ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) é equivalente por Morgan a: [p ∨ q ∨ r]</p><p>Resposta: D</p><p>58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧</p><p>c) " 3 2"x y= ∨ ≥</p><p>d) " 2 3"x y≠ ∧</p><p>≠ então 3x ≠</p><p>d) se 7y > então 3x =</p><p>e) 3x ≠ ou 7y ≠</p><p>Solução</p><p>(se 3x = então 7y = ) ( )p q→</p><p>é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬</p><p>é equivalente</p><p>se 7y ≠ então 3x ≠</p><p>Resposta: C</p><p>60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou</p><p>Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>143</p><p>(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.</p><p>(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.</p><p>(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.</p><p>(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.</p><p>(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.</p><p>Solução</p><p>Pela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e, coma a negação</p><p>das proposições. Logo é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar</p><p>basquete.</p><p>Resposta: D</p><p>61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:</p><p>(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.</p><p>(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.</p><p>(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.</p><p>(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.</p><p>(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.</p><p>Solução</p><p>A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” será “João, às vezes, não vai</p><p>de carro para o trabalho”.</p><p>Resposta: C</p><p>62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:</p><p>(A) não sabe matemática e sabe português.</p><p>(B) não sabe matemática e não sabe português.</p><p>(C) sabe matemática ou sabe português.</p><p>(D) sabe matemática e não sabe português.</p><p>(E) sabe matemática ou não sabe português.</p><p>Solução</p><p>(não sabe matemática ou sabe português)¬</p><p>é equivalente a (Morgan)</p><p>(sabe matemática e não sabe português)</p><p>Resposta: D</p><p>A expressão ( ) ( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de</p><p>predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as</p><p>suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.</p><p>Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.</p><p>63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o</p><p>predicado P(x, y) é interpretado como x</p><p>nos demais casos, é V. Com base nessas</p><p>definições, julgue os itens que se seguem.</p><p>73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as</p><p>mesmas valorações V ou F da proposição A→ B.</p><p>Solução</p><p>Basta saber que ¬ (A → B) é equivalente a (A ∧ ¬ B)</p><p>Resposta: Correto.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>148</p><p>74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e</p><p>“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando</p><p>adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou</p><p>rica” é também verdadeira.</p><p>Solução</p><p>Trata-se da falácia conhecida como negação do antecedente.</p><p>Resposta: Errado.</p><p>75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.</p><p>Solução</p><p>Vamos fazer a tabela verdade de (A → B) → (B→ A)</p><p>A B (A B) (B A) (A B) (B A)</p><p>V V V V V</p><p>V F F V V</p><p>F V V F F</p><p>F F V V V</p><p>Resposta: Correto.</p><p>76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja</p><p>verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é</p><p>verdadeira.</p><p>Solução</p><p>Podemos ter a proposição verdadeira de modo que:</p><p>FV</p><p>V</p><p>S i lv i a a m a J o a q u i m S i lv i a a m a T a d e u∨</p><p>Resposta: Errada.</p><p>(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como</p><p>verdadeira (V) ou falsa (F), mas nã o como ambas. As proposições são</p><p>usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por</p><p>exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela</p><p>preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma</p><p>P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,</p><p>é F. Se a conexão for feita pela prepos ição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>149</p><p>e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é</p><p>simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.</p><p>Um argumento é uma seqüência de proposições P 1, P2, ..., Pn,</p><p>chamadas premissas, e uma propos ição Q, chamada conclusão. Um</p><p>argumento é válido, se Q é V sempre que P 1, P2, ..., Pn forem V, caso</p><p>contrário, não é argumento válido.</p><p>A partir desses conceitos, ju lgue os próximos itens.</p><p>77) Considere as seguintes proposições:</p><p>P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”</p><p>Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou</p><p>Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha</p><p>dinheiro”.</p><p>Solução</p><p>Argumento:</p><p>¬P ∨ Q (V)</p><p>¬P (V)</p><p>∴ ¬Q</p><p>Suponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então:</p><p>¬P ∨ Q (V)</p><p>¬P (V)</p><p>∴ ¬Q</p><p>Temos que a proposição ¬Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento é NÃO</p><p>VÁLIDO</p><p>Resposta: Errado</p><p>78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo</p><p>(A) todos os momorrengos são torminodoros.</p><p>(B) alguns torminodoros são momorrengos.</p><p>(C) todos os torminodoros são macerontes.</p><p>(D) alguns momorrengos são pássaros.</p><p>(E) todos os momorrengos são macerontes.</p><p>Solução</p><p>È evidente que alguns torminodoros são momorrengos.</p><p>Resposta: B</p><p>79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatro</p><p>tipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representam</p><p>sentenças. Os símbolos ¬, → e são conectivos lógicos usuais de negação, implicação</p><p>e disjunção, respectivamente.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>150</p><p>Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativa</p><p>correta.</p><p>a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegados</p><p>desconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma dedução</p><p>do tipo III.</p><p>b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.</p><p>Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.</p><p>c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinado</p><p>acontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.</p><p>d) As tabelas verdade das proposições P Q e P→Q são iguais.</p><p>e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas as</p><p>premissas forem verdadeiras.</p><p>Solução</p><p>Se as premissas são verdadeiras implica que a conclusão também é verdadeira. Temos neste</p><p>caso um argumento válido.</p><p>Resposta: E</p><p>80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:</p><p>_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser</p><p>superada.</p><p>_ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão</p><p>fantasiosos.</p><p>_ Os superávits serão fantasiosos.</p><p>Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:</p><p>(A) A crise econômica não demorará a ser superada.</p><p>(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.</p><p>(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.</p><p>(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.</p><p>(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.</p><p>Solução</p><p>Vamos usar a contra positiva. Temos pela terceira premissa que os superávits serão</p><p>fantasiosos. Logo pela contra positiva da segunda premissa podemos afirmar que as metas</p><p>de inflação não são reais. Usando a afirmação do antecedente na primeira premissa temos</p><p>que crise econômica não demorará a ser superada.</p><p>Resposta: E</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>151</p><p>81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é</p><p>justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou</p><p>Homero é honesto. Logo,</p><p>a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.</p><p>b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.</p><p>c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.</p><p>d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.</p><p>e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.</p><p>Solução</p><p>Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras.</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>Beto não é bondoso Homero é honesto (V)</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>∨</p><p>Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos um proposição</p><p>com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hipótese sobre alguma delas.</p><p>Se a hipótese for correta encontraremos a resposta final, se não for correta chegaremos a</p><p>um absurdo e nesse caso trocamos a hipótese e teremos a resposta.</p><p>Suponhamos que a proposição “Homero não é honesto” é verdadeira.</p><p>Então pela hipótese teremos:</p><p>V</p><p>F</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>Beto não é bondoso Homero é honesto</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>∨</p><p>F</p><p>(V)</p><p>Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição “Beto não é bondoso” tem</p><p>que ser verdadeira. Então teremos:</p><p>V</p><p>F F</p><p>F</p><p>V</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>Beto não é bondoso</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>F</p><p>Homero é honesto (V)∨</p><p>Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição “Júlio não é justo” tem que</p><p>ser verdadeira. Então teremos:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>152</p><p>V F</p><p>F FF</p><p>F V</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>B</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>V F</p><p>eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨</p><p>Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas e a premissa é</p><p>verdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a proposição “Homero não é</p><p>honesto” deve ser falsa. Mudando a nossa hipótese inicial teremos que a proposição</p><p>“Homero não é honesto” é falsa. Sendo assim vamos refazer o exercício com a nova</p><p>hipótese correta:</p><p>F</p><p>V</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>Beto não é bondoso Homero é honesto</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>∨</p><p>V</p><p>(V)</p><p>Temos pela primeira premissa que “Júlio é justo” tem que ser verdadeira.</p><p>F V</p><p>V V</p><p>F</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>Beto não é bondos</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>V</p><p>o Homero é honesto (V)∨</p><p>Temos pela primeira premissa que “Beto é bondoso” tem que ser verdadeira.</p><p>F V</p><p>V VV</p><p>V F</p><p>Homero não é honesto Júlio é justo (V)</p><p>Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)</p><p>Beto é bondoso Júlio não é justo (V)</p><p>B</p><p>∨</p><p>∨ ∨</p><p>∨</p><p>F V</p><p>eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨</p><p>Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto é</p><p>bondoso.</p><p>Resposta: C</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>153</p><p>82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências</p><p>que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:</p><p>1) Se Homero é culpado, então João é culpado.</p><p>2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.</p><p>3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.</p><p>4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.</p><p>As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:</p><p>a) Homero, João e Adolfo são inocentes.</p><p>b) Homero, João e Adolfo são culpados.</p><p>c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.</p><p>d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.</p><p>e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.</p><p>Solução</p><p>Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras.</p><p>Homero é culpado João é culpado (V)</p><p>Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)</p><p>Adolfo é inocente João é inocente (V)</p><p>Adolfo é culpado Homero é culpado (V)</p><p>→</p><p>→ ∨</p><p>→</p><p>→</p><p>Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso</p><p>não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa</p><p>situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples</p><p>contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se</p><p>o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e</p><p>encontramos a resposta correta.</p><p>Vamos supor então que a proposição “Homero é culpado” é verdadeira(chute).</p><p>Teremos então a seguinte situação nas premissas:</p><p>V</p><p>Homero é culpado João é culpado (V)</p><p>Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)</p><p>Adolfo é inocente João é inocente (V)</p><p>Adolfo é culpado Homero é culpa</p><p>F</p><p>→</p><p>→ ∨</p><p>→</p><p>→</p><p>V</p><p>do (V)</p><p>Como a primeira premissa é verdadeira e o seu antecedente “Homero é culpado” também é</p><p>verdadeira, o conseqüente “ João é culpado” tem que ser verdadeira. Teremos então</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>154</p><p>V V</p><p>F</p><p>Homero é culpado João é culpado (V)</p><p>Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)</p><p>Adolfo é inocente João é inocente (V)</p><p>Adolfo é culpado</p><p>F</p><p>→</p><p>→ ∨</p><p>→</p><p>V</p><p>Homero é culpado (V)→</p><p>Como a terceira premissa é verdadeira e o seu conseqüente “João é inocente” é falso, o</p><p>antecedente “ Adolfo é inocente” tem que ser falso. Teremos então</p><p>V V</p><p>F F</p><p>Homero é culpado João é culpado (V)</p><p>Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)</p><p>Adolfo é inocente João é inocente</p><p>F V</p><p>→</p><p>→ ∨</p><p>→</p><p>V V</p><p>(V)</p><p>Adolfo é culpado Homero é culpado (V)→</p><p>Portanto as conclusões são: Homero é culpado. João é culpado.Adolfo é culpado.</p><p>Resposta: B</p><p>83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoas</p><p>alegres”, então necessariamente,</p><p>a) Toda pessoa alegre é matemático.</p><p>b) Todo matemático é professor.</p><p>c) Algum professor é uma pessoa alegre.</p><p>d) Nenhuma pessoa alegre é professor.</p><p>e) Nenhum professor não é alegre.</p><p>Solução</p><p>Vamos denotar Professores, Matemáticos e Pessoas Alegres por P, M e A respectivamente.</p><p>Podemos concluir que algum professor é uma pessoa alegre.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>155</p><p>Resposta: C</p><p>84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é</p><p>necessário que:</p><p>a. todas as mulheres sejam cozinheiras.</p><p>b. algumas mulheres sejam boas cozinheiras.</p><p>c. Nenhum homem seja bom cozinheiro.</p><p>d. Todos os homens sejam maus cozinheiros.</p><p>e. Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.</p><p>Solução</p><p>A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc.</p><p>Sendo assim para que a afirmação “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa é</p><p>necessário que “Pelo menos um homem seja mau cozinheiro”.</p><p>Resposta: E</p><p>85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:</p><p>a. todo matemático seja louco.</p><p>b. todo louco seja matemático.</p><p>c. Algum louco não seja matemático.</p><p>d. Algum matemático seja louco.</p><p>e. Algum matemático não seja louco.</p><p>Solução</p><p>A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc.</p><p>Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta que</p><p>“Algum matemático não seja louco”.</p><p>Resposta: E</p><p>86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.</p><p>Segue-se, portanto, necessariamente que</p><p>a. todo C é B</p><p>b. todo C é A</p><p>c. algum A é C</p><p>d. nada que não seja C é A</p><p>e. algum A não é C</p><p>Solução</p><p>Pelo diagrama temos:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>156</p><p>Podemos concluir que algum A é C.</p><p>Resposta: C</p><p>87) (MACK) Se 28</p><p>2</p><p>n⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ então n é:</p><p>a. 7</p><p>b. 8</p><p>c. 14</p><p>d. 26</p><p>e. 56</p><p>Solução</p><p>28</p><p>2</p><p>n⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠</p><p>( 1)</p><p>28</p><p>2</p><p>n n− =</p><p>n (n – 1) = 56</p><p>n2 – n – 56 = 0</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, temos as seguintes raízes:</p><p>n’ = -7 (não comvém) e n” = 8 (ok)</p><p>Resposta: B</p><p>88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos:</p><p>I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X.</p><p>II. 240 permutações começando e terminando por vogal.</p><p>III. 10.080 permutações começando por vogal</p><p>Marque</p><p>a. Se todas as afirmativas são verdadeiras</p><p>b. Se todas as afirmativas são falsas</p><p>c. Se apenas a III é verdadeira</p><p>d. Se apenas a I e II são verdadeiras</p><p>e. Se apenas a I é verdadeira</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>157</p><p>Solução</p><p>- O número de permutações que terminam com X é:</p><p>X</p><p>6!</p><p>1</p><p>6! × 1 = 720 permutações.</p><p>- O número de permutações começando e terminando com vogal é:</p><p>2</p><p>6!</p><p>1</p><p>2 ×5! ×1 = 2 ×120 ×1 = 240 permutações.</p><p>- O número de permutações começando por vogal é:</p><p>2</p><p>6!</p><p>2 ×6! = 2 ×720 = 1.440 permutações.</p><p>Resposta: D</p><p>89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos</p><p>distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será:</p><p>a. 76ª</p><p>b. 78ª</p><p>c. 80ª</p><p>d. 82ª</p><p>e. n.d.a</p><p>Solução</p><p>Vamos contar a quantidade de números até chegar no número 61.473.</p><p>- A quantidade de números começando com o algarismo 1 é: 4! = 24 números.</p><p>- A quantidade de números começando com o algarismo 3 é: 4! = 24 números.</p><p>- A quantidade de números começando com o algarismo 4 é: 4! = 24 números.</p><p>- A quantidade de números começando com o algarismo 613 é: 2! = 4 números.</p><p>Os próximos números serão 61.437 e 61.673.</p><p>Antes do número 61.473 temos: 24 + 24 + 24 + 4 + 1 = 75 números. Logo o número 61.473</p><p>é o 76º número.</p><p>Resposta: A</p><p>90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam por</p><p>consoante é:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>158</p><p>a. 120</p><p>b. 72</p><p>c. 48</p><p>d. 24</p><p>e. 12</p><p>Solução</p><p>2</p><p>4!</p><p>3 ×4! = 3 ×24 = 72 anagramas.</p><p>Resposta: B</p><p>91) (F.C.CHAGAS) A sentença</p><p>2</p><p>10</p><p>n</p><p>n</p><p>+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ é verdadeira se, e somente se, n! for igual</p><p>a:</p><p>a. 1</p><p>b. 6</p><p>c. 18</p><p>d. 720</p><p>e. 6 ou 720</p><p>Solução</p><p>2</p><p>10</p><p>n</p><p>n</p><p>+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>n+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠</p><p>( 2)( 1)</p><p>10</p><p>2</p><p>n n+ + =</p><p>( 2)( 1) 20n n+ + =</p><p>2 3 18 0n n+ − =</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, as raízes: n’ = -6 (não convém) e n” = 3 (ok)</p><p>O valor de n é 3, logo n! = 3! = 6</p><p>Resposta: B</p><p>92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as</p><p>cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta</p><p>entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?</p><p>a. 4! × 3!</p><p>b. 2-1 × 4! × 3!</p><p>c. 24</p><p>d. 12</p><p>e. 7</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>159</p><p>Solução</p><p>Podemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa.</p><p>4 3</p><p>R T</p><p>×</p><p>ou</p><p>3 4</p><p>T R</p><p>×</p><p>Temos 12 12 = 24 modos.</p><p>Resposta: C</p><p>93) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro</p><p>algarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5:</p><p>a. 20 números</p><p>b. 30 números</p><p>c. 60 números</p><p>d. 120 números</p><p>e. 180 números</p><p>Solução</p><p>Vamos contar a quantidade de números que terminam com o algarismo 5.</p><p>5</p><p>5×4 ×3 ×1 = 60 números</p><p>Resposta: C</p><p>94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo</p><p>uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de</p><p>maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é:</p><p>a. 36</p><p>b. 48</p><p>c. 60</p><p>d. 72</p><p>e. 120</p><p>Solução</p><p>Número de maneiras de escolher a posição da opção correta: 3 modos (a, b ou c).</p><p>Número de maneiras de permutar as opções erradas: 4! = 24 modos.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem 3 ×24 = 72 modos.</p><p>Resposta: D</p><p>95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com</p><p>algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é:</p><p>a. 54</p><p>b. 56</p><p>c. 58</p><p>d. 60</p><p>e. 64</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>160</p><p>Com um algarismo temos 4 números.</p><p>Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números.</p><p>Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números.</p><p>Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números.</p><p>Total: 64 números com os algarismos distintos.</p><p>Resposta: E</p><p>96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais</p><p>estudantes de um grupo de 6 estudantes é:</p><p>a. 56</p><p>b. 58</p><p>c. 60</p><p>d. 63</p><p>e. 65</p><p>Solução</p><p>Poderá escolher 1, ou 2, ou 3, ou ....., ou 6.</p><p>Logo 1 2 3 4 5 6 6</p><p>6 6 6 6 6 6 2 1 64 1 63modC C C C C C os+ + + + + = − = − =</p><p>Resposta: D</p><p>97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros de</p><p>matemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos os</p><p>livros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira de</p><p>estante, de modos diversos num total de:</p><p>a. A9,3</p><p>b. A9,3 × A9,3 × A9,2</p><p>c. P9</p><p>d. P4 × P3 × P2</p><p>e. P3 × P4 x P3 × P2</p><p>Solução</p><p>O número de maneiras de um professor permutar os livros de matemática: P4.</p><p>O número de maneiras de um professor permutar os livros de física: P3.</p><p>O número de maneiras de um professor permutar os livros de química: P2.</p><p>O número de maneiras de um professor permutar as disciplinas: P3.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem temos: P4 × P3 × P2 × P3</p><p>Resposta: E</p><p>98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos</p><p>distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.</p><p>Solução</p><p>Para o número ser múltiplo de três a soma dos algarismos terá que ser múltiplo de 3.</p><p>15 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 21</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>161</p><p>Soma 15 2, 3, 4, 6 24</p><p>Soma 18 2, 3, 4, 9 24</p><p>Soma 21 2, 4, 6, 9 24</p><p>Total 72 números</p><p>Resposta: 72</p><p>99) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se</p><p>( ) ( )( )1 ! 2</p><p>1 !</p><p>n n</p><p>n</p><p>+ +</p><p>− obtém-se:</p><p>a. 2</p><p>b.</p><p>( )( )1 2</p><p>1</p><p>n n</p><p>n</p><p>+ +</p><p>−</p><p>c. (n+1) (n+2)</p><p>d. n (n+2)</p><p>e. n (n+1) (n+2)</p><p>Solução ( ) ( )( )1 ! 2</p><p>1 !</p><p>n n</p><p>n</p><p>+ +</p><p>− =</p><p>( ) ( ) ( )( )1 1 ! 2</p><p>1 !</p><p>n n n n</p><p>n</p><p>+ − +</p><p>− = ( ) ( )1 2n n n+ +</p><p>Resposta: E</p><p>100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém um</p><p>determinado elemento é:</p><p>a. 21</p><p>b. 42</p><p>c. 56</p><p>d. 7</p><p>e. 27</p><p>Solução</p><p>Se contém um determinado elemento precisamos apenas escolher dois elementos entre os</p><p>outros SETE elementos.</p><p>2</p><p>7</p><p>7 6</p><p>21</p><p>2</p><p>C</p><p>×= = combinações.</p><p>Resposta: A</p><p>101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla</p><p>com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número</p><p>total de siglas possíveis é:</p><p>a. 10</p><p>b. 24</p><p>c. 30</p><p>d. 60</p><p>e. 120</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>162</p><p>Solução</p><p>O número de permutações das letras A, A, R, R, E é:</p><p>5! 120</p><p>30</p><p>2!2!1! 4</p><p>= = siglas.</p><p>Resposta: C</p><p>102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e</p><p>terminam por vogal é:</p><p>a. 24</p><p>b. 48</p><p>c. 96</p><p>d. 120</p><p>e. 144</p><p>Solução</p><p>O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:</p><p>2</p><p>4!</p><p>1</p><p>Pelo Princípio fundamental da Contagem temos: 2 x 4! x 1 = 2 x 24 x 1 = 48 anagramas.</p><p>Resposta: B</p><p>103) (MACK) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões</p><p>distintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que</p><p>o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o</p><p>número de modos diferentes de montar a composição é:</p><p>a. 120</p><p>b. 320</p><p>c. 500</p><p>d. 600</p><p>e. 720</p><p>Solução</p><p>O número de maneiras de escolher um lugar para a locomotiva(só pode ir na frente): 1</p><p>maneira.</p><p>O número de maneiras de escolher um lugar para o restaurante: 5 maneiras.</p><p>O número de maneiras de arrumar os outros cinco vagões: 5! = 120 maneiras.</p><p>Pelo Princípios Fundamental da Contagem temos: 1 x 5 x 120 = 600 maneiras.</p><p>Resposta:</p><p>Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremos</p><p>uma contingência.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>11</p><p>Exemplo:</p><p>18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências.</p><p>a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ q</p><p>Solução</p><p>a) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela</p><p>verdade:</p><p>b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:</p><p>EQUIVALÊNCIA LÓGICA</p><p>Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificar</p><p>se duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se as</p><p>tabelas forem iguais elas são equivalentes.</p><p>Exemplo:</p><p>19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes.</p><p>a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)</p><p>b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)</p><p>c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)</p><p>d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)</p><p>Solução</p><p>a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.</p><p>p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q</p><p>V V F F F</p><p>V F F V V</p><p>F V V F V</p><p>F F V V V</p><p>p q ¬p ¬p ∨ q</p><p>V V F V</p><p>V F F F</p><p>F V V V</p><p>F F V V</p><p>p q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q)</p><p>V V V F F F F</p><p>V F F V F V V</p><p>F V F V V F V</p><p>F F F V V V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>12</p><p>b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.</p><p>c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.</p><p>d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais.</p><p>p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p)</p><p>V V V F F V</p><p>V F F V F F</p><p>F V V F V V</p><p>F F V V V V</p><p>Observações:</p><p>Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta a</p><p>proposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção,</p><p>pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois o</p><p>não(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨</p><p>têm prioridade sobre o → e o ↔.</p><p>É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalências</p><p>importantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências:</p><p>EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES:</p><p>a) (p∨q) é equivalente a (q∨p)</p><p>b) (p∧q) é equivalente a (q∧p)</p><p>c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p)</p><p>d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)</p><p>e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)</p><p>p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q)</p><p>V V V F F F F</p><p>V F V F F V F</p><p>F V V F V F F</p><p>F F F V V V V</p><p>p q (p→q) ¬p (¬p∨q)</p><p>V V V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V V V V</p><p>F F V V V</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>13</p><p>f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)</p><p>g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)</p><p>h) ¬(¬p) é equivalente a p</p><p>i) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p)</p><p>j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q)</p><p>l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q)</p><p>Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem a</p><p>mesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentes</p><p>através do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos uma</p><p>tabela das principais tautologias para os concursos públicos:</p><p>TAUTOLOGIAS IMPORTANTES:</p><p>a) (p ∨ ¬p)</p><p>b) (p → p)</p><p>c) (p ↔ p)</p><p>c) ¬(¬p) ↔ p</p><p>d) (p→q) ↔ (¬p∨q)</p><p>e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva)</p><p>f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan)</p><p>g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan)</p><p>h) ¬(¬p) ↔ p</p><p>i) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q)</p><p>j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)</p><p>Exercícios Propostos</p><p>13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:</p><p>a) O Professor Joselias é bonito.</p><p>b) O Brasil é um País da América do Sul.</p><p>c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.</p><p>d) Que belo dia!</p><p>e) Boa sorte!</p><p>f) Joselias é um bom professor?</p><p>g) Que horas são?</p><p>h) O jogo terminou empatado?</p><p>i) Faça seu trabalho corretamente.</p><p>j) Estude e limpe o quarto.</p><p>l) Esta frase é falsa</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>14</p><p>m) 2 + 3 > 5</p><p>n) x + y > 5</p><p>o) A terra é um planeta.</p><p>p) x é um planeta.</p><p>14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>15</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:</p><p>a. Contradição</p><p>b. Contingência</p><p>c. Tautologia</p><p>d. Paradoxo</p><p>e. N.R.A</p><p>22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:</p><p>a. Q é condição suficiente para P.</p><p>b. P é condição necessária para Q.</p><p>c. Q não é condição necessária para P</p><p>d. P é condição suficiente para Q.</p><p>e. P não é condição suficiente nem necessária para Q.</p><p>23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é</p><p>solteira.” é:</p><p>a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.</p><p>b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.</p><p>c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.</p><p>d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.</p><p>e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.</p><p>24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente</p><p>equivalente a dizer que:</p><p>a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.</p><p>b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.</p><p>c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro</p><p>d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.</p><p>e) André não é artista e Bernardo é engenheiro</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>16</p><p>25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,</p><p>o mesmo que dizer que:</p><p>a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro</p><p>c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-</p><p>chuva” é:</p><p>a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva</p><p>b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva</p><p>c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva</p><p>d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva</p><p>e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva</p><p>27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é</p><p>equivalente a</p><p>28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a</p><p>é</p><p>29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é</p><p>a) ~(p ∨ q)</p><p>b) (~p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q)</p><p>d) (p ∧ ~q)</p><p>e) (~p ∨ q)</p><p>IMPLICAÇÕES</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>D</p><p>104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando</p><p>esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos os triângulos distintos</p><p>que se podem formar é:</p><p>a. 5</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>163</p><p>b. 6</p><p>c. 9</p><p>d. 10</p><p>e. 15</p><p>Solução</p><p>O numero de triângulos que podemos formar è 3</p><p>5 10C = triângulos.</p><p>Resposta: D</p><p>105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do</p><p>alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento é</p><p>zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam</p><p>ser representadas é:</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 7</p><p>d. 8</p><p>e. 9</p><p>Solução</p><p>Com um elemento podemos representar 21 = 2 letras.</p><p>Com dois elementos podemos representar 22 = 4 letras.</p><p>Com três elementos podemos representar 23 = 8 letras.</p><p>Com quatro elementos podemos representar 24 = 16 letras.</p><p>Com cinco elementos podemos representar 25 = 32 letras.</p><p>Resposta: A</p><p>106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B,</p><p>deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?</p><p>a. 126</p><p>b. 858</p><p>c. 326</p><p>d. 954</p><p>e. 386</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>164</p><p>Solução</p><p>Cada caminho terá quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para a direita</p><p>(D). Logo o número de caminhos será o número de permutações de nove elementos, sendo</p><p>4 iguais a C e 5 iguais a D.</p><p>4,5</p><p>9</p><p>9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6</p><p>126</p><p>4!5! 4!5! 4!</p><p>P</p><p>× × × × × × ×= = = = caminhos.</p><p>Resposta: A</p><p>107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga dois</p><p>vértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prisma</p><p>cujas bases são polígonos de n lados?</p><p>Solução</p><p>Número de maneiras de escolher um vértice em uma face: n modos.</p><p>Número de maneiras de escolher um outro vértice em outra face: (n – 3) modos.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem temos: n× (n – 3).</p><p>Resposta: n× (n-3)</p><p>108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se</p><p>organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa</p><p>comissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designados</p><p>por números consecutivos?</p><p>a. 2</p><p>b. (n–2)</p><p>c. 2</p><p>nC</p><p>d. (n–2)n</p><p>e. (n–2)(n–3)</p><p>Solução</p><p>Podemos ter: ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>1,2,3 , 1,2,5 ,....., 1, 2, 3 .</p><p>ou 2,3,5 , 2,3,6 ,....., 2,3, 4 .</p><p>ou 3,4,6 , 3,4,7 ,....., 3, 4, 5 .</p><p>. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .</p><p>n n comissões</p><p>n n comissões</p><p>n n comissões</p><p>→ −</p><p>→ −</p><p>→ −</p><p>→</p><p>( )( )2 3</p><p>2</p><p>. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .</p><p>n n</p><p>⎫⎪⎪ − −⎪⎬⎪⎪⎪→ ⎭</p><p>( )3, 2, 1 comissão.n n n− − →</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>165</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>ou 1,3,4 , 1,4,5 ,....., 1, 1, 3 .</p><p>2,4,5 , 2,5,6 ,....., 2, 1, 4 .</p><p>3,5,6 , 3,6,7 ,....., 3, 1, 5 .</p><p>. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . .</p><p>n n n comissões</p><p>n n n comissões</p><p>n n n comissões</p><p>− → −</p><p>− → −</p><p>− → −</p><p>→</p><p>( )( )2 3</p><p>2</p><p>. .</p><p>. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .</p><p>n n</p><p>⎫⎪⎪ − −⎪⎬⎪⎪⎪→ ⎭</p><p>( )3, 1, 1 comissão.n n n− − →</p><p>Logo, o total é: (n-2)(n-3) comissão.</p><p>Resposta: E</p><p>109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se</p><p>organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa</p><p>comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por</p><p>números consecutivos?</p><p>a. (n–3)</p><p>b. (n–1)(n–2)(n–3)</p><p>c.</p><p>(n-2)(n-3)(n-4)</p><p>6</p><p>d.</p><p>n(n-2)(n-3)</p><p>6</p><p>e.</p><p>n(n-3)</p><p>2</p><p>Solução</p><p>Vamos subtrair do número total de comissões o número de comissões com dois e com três</p><p>alunos designados por números consecutivos.</p><p>Total de comissões sem restrição: 3</p><p>nC .</p><p>Total de comissões com 2 alunos consecutivos: (n-2)(n-3).</p><p>Total de comissões com 3 alunos consecutivos: (n-2).</p><p>( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( )( )( )</p><p>3</p><p>2 2</p><p>1 2</p><p>2 3 2 2 3 2</p><p>6</p><p>2 2</p><p>1 6 3 6 1 6 18 6</p><p>6 6</p><p>2 2</p><p>6 18 6 7 12</p><p>6 6</p><p>2 3 4</p><p>6</p><p>n</p><p>n n n</p><p>C n n n n n n</p><p>n n</p><p>n n n n n n</p><p>n n</p><p>n n n n</p><p>n n n</p><p>− −− − − − − = − − − − − =</p><p>− −− − − − = − − + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦</p><p>− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦</p><p>− − −</p><p>Resposta: C</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>166</p><p>110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retas</p><p>paralelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém na</p><p>rede assim distribuída é:</p><p>a. Cm,2 : Cn,2</p><p>b. Cm,2 - Cn,2</p><p>c. 2Cm,2 + 2Cn,2</p><p>d. Cn,2 + Cm,2</p><p>e. Cn,2 . Cm,2</p><p>Solução</p><p>O número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das m retas paralelas</p><p>é: 2</p><p>mC .</p><p>O número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das n retas paralelas é:</p><p>2</p><p>nC .</p><p>Logo: 2</p><p>nC × 2</p><p>mC</p><p>Resposta: E</p><p>111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões do</p><p>Brasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposições</p><p>diferentes de cores pode-se obter?</p><p>a. 10.920</p><p>b. 1.421</p><p>c. 5.040</p><p>d. 3.360</p><p>e. n.r.a</p><p>Solução</p><p>Primeiramente vamos contar os casos onde todas as cores são distintas:</p><p>7x6x5x4x3 = 2520 modos com as cores distintas.</p><p>Agora vamos contar os caso com exatamente uma cor repetida:</p><p>Primeiro vamos escolher as duas regiões que terão a mesma cor:</p><p>2</p><p>5 10 modos.C =</p><p>Vamos pintar(escolher a cor) da primeira região com a cor escolhida(que será repetida):</p><p>7 modos .</p><p>Vamos escolher a cor da segunda região com cor repetida: 1 modo.</p><p>Vamos agora pintar as outras três regiões com cores distintas: 6x5x4 = 120 modos.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem temos: 10x7x1x120 = 8400 modos.</p><p>Portanto temos o total do cores distintas e com exatamente um cor repetida: 2520 + 8400 =</p><p>10920 modos.</p><p>Resposta: A</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>167</p><p>112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro</p><p>algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem ser</p><p>formados?</p><p>a. 196</p><p>b. 286</p><p>c. 340</p><p>d. 336</p><p>e. n.r.a.</p><p>Solução</p><p>Primeiramente vamos calcular o total de números de quatro algarismos distintos:</p><p>6x5x4x3 = 360 números.</p><p>Vamos calcular a quantidade de números de quatro algarismos distintos e diferentes de “4”</p><p>e de “5”: 4x3x2x1 = 24 números.</p><p>Logo a quantidade de números de quatro algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou</p><p>“5” é 360 – 24 = 336 números.</p><p>Resposta: D</p><p>113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais</p><p>juntas é:</p><p>a) 744</p><p>b) 760</p><p>c) 796</p><p>d) 840</p><p>e) 900</p><p>Resposta: A</p><p>Solução</p><p>O números total de anagramas é</p><p>3,1,1,1,1</p><p>7</p><p>7!</p><p>840</p><p>3!1!1!1!1!</p><p>P = = anagramas.</p><p>O número de anagramas com as vogais juntas é</p><p>3,1</p><p>4</p><p>4!</p><p>4! 4! 24 4 96</p><p>3!1!</p><p>P = = × = anagramas.</p><p>Logo o número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é</p><p>840 – 96 = 744 anagramas.</p><p>Resposta: A</p><p>114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações desses</p><p>algarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados,</p><p>quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.</p><p>a) 3900900</p><p>b) 3900999</p><p>c) 3999960</p><p>d) 3999999</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>168</p><p>e) 4000000</p><p>Solução</p><p>O número de parcelas é P5 = 5! = 120</p><p>1 2 3 4 5</p><p>1 2 3 5 4</p><p>... ... ... ... ... 120</p><p>... ... ... ... ...</p><p>5 4 3 2 1</p><p>parcelas</p><p>⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭</p><p>Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem as</p><p>permutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4 = 4! = 24 vezes Deste modo teremos</p><p>que a soma total dos algarismos em cada coluna é</p><p>24 24 24 24</p><p>1 1 ... 1 2 2 ... 2 3 3 ... 3 ..... 5 5 ... 5</p><p>vezes vezes vezes vezes</p><p>+ + + + + + + + + + + + + + + +</p><p>Logo teremos: 1 x 24 + 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 = 360.</p><p>Logo a soma total será:</p><p>Soma das unidades: 360</p><p>Soma das dezenas: 3600</p><p>Soma das centenas: 36000</p><p>Soma das unidades de milhar: 360000</p><p>Soma das dezenas de milhar: 3600000</p><p>Total: 3999960</p><p>Resposta: C</p><p>115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas</p><p>as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente,</p><p>qual o lugar ocupado pelo número 43521?</p><p>a) 70ª</p><p>b) 72ª</p><p>c) 80ª</p><p>d) 90ª</p><p>e) 96ª</p><p>Solução</p><p>Vamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 431, 432, 4351,</p><p>pois são certamente menores que 43521.</p><p>Começando por 1: 4! = 24 números.</p><p>Começando por 2: 4! = 24 números.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>169</p><p>Começando por 3: 4! = 24 números.</p><p>Começando por 41: 3! = 6 números.</p><p>Começando por 42: 3! = 6 números.</p><p>Começando por 431: 2! = 2 números.</p><p>Começando por 432: 2! = 2 números.</p><p>Começando por 4351: 1! = 1 número.</p><p>Total: 89 números.</p><p>Temos 89 números antes do números “43521”. Logo Colocando esses números em</p><p>ordem crescente o lugar ocupado pelo número 43521 é o 90ª.</p><p>Resposta: D</p><p>116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulos</p><p>que são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é:</p><p>a) 120</p><p>b) 140</p><p>c) 150</p><p>d)160</p><p>e) 180</p><p>Solução</p><p>O número de pontos de intersecção será 2</p><p>5 10C = pontos. Logo o número de triângulos com</p><p>vértices nesses pontos é 3</p><p>10 120C = .</p><p>Resposta: A</p><p>117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos da</p><p>mão esquerda é:</p><p>a) 180</p><p>b) 190</p><p>c) 200</p><p>d) 210</p><p>e) 240</p><p>Solução</p><p>Seja xi= ao número de anéis no i-ésimo dedo. i = 1, 2, 3, 4, 5</p><p>Temos então 1 2 3 4 5 3x x x x x+ + + + = onde 0ix ≥</p><p>O número de soluções inteiras não negativas da equação acima é 4</p><p>7</p><p>7!</p><p>4!3!</p><p>C = = 35.</p><p>Como os três anéis são diferentes devemos permutar as suas posições, então temos 35x3! =</p><p>35x6 = 210 modos.</p><p>Resposta: D</p><p>118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente</p><p>20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>170</p><p>de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores</p><p>situacionistas e 3 oposicionistas é:</p><p>a) 27720</p><p>b) 13860</p><p>c) 551</p><p>d) 495</p><p>e) 56</p><p>Solução</p><p>12 da situação</p><p>20 vereadores</p><p>8 da oposição</p><p>⎧⎨⎩</p><p>4 3</p><p>12 8</p><p>12! 8! 12 11 10 9 8 7 6</p><p>11 5 9 8 7 27720</p><p>4!8! 3!5! 4 3 2 1 3 2</p><p>C C</p><p>× × × × × ×× = × = = × × × × =× × × × × .</p><p>Resposta: A</p><p>119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldados</p><p>podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder?</p><p>a) 1260</p><p>b) 1444</p><p>c) 1520</p><p>d) 1840</p><p>e) 1936</p><p>Solução</p><p>O total de equipes com cinco soldados será 5</p><p>10C . Em cada equipe temos cinco modos de</p><p>escolher um líder. Logo temos 5</p><p>10</p><p>10! 10 9 8 7 6</p><p>5 5 5 10 9 2 7 1260</p><p>5!5! 5 4 3 2 1</p><p>C</p><p>× × × ×× = × = × = × × × =× × × × .</p><p>Resposta: A</p><p>120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usando</p><p>os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o</p><p>3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?</p><p>a) 144</p><p>b) 180</p><p>c) 240</p><p>d) 288</p><p>e) 360</p><p>Solução</p><p>Quantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes: 5!x2!.</p><p>Quantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes e também com</p><p>os algarismos 1 e 2 adjacentes:: 4!x2!x2!.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>171</p><p>Logo a quantidade de números nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas</p><p>o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é 5!x2! – 4!x2!x2! = 240 – 96 = 144</p><p>números.</p><p>Resposta: A</p><p>121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre</p><p>Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, qual</p><p>a probabilidade de César pertencer?</p><p>a.</p><p>3</p><p>4</p><p>b.</p><p>3</p><p>2</p><p>c.</p><p>2</p><p>4</p><p>d.</p><p>2</p><p>3</p><p>e.</p><p>3</p><p>6</p><p>Solução</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = “César pertence a comissão”</p><p>B = “Denise não pertence a comissão”</p><p>"César pertence a comissão Denise não pertence a comissão"A B∩ = ∧</p><p>2</p><p>4( ) 1 6n A C= × =</p><p>3</p><p>4( ) 4n B C= =</p><p>2</p><p>3( ) 1 3n A B C∩ = × =</p><p>3</p><p>5( ) 10n S C= =</p><p>Queremos calcular ( | )P A B .</p><p>3</p><p>( ) 310( | )</p><p>4( ) 4</p><p>10</p><p>P A B</p><p>P A B</p><p>P B</p><p>∩= = =</p><p>Resposta: A.</p><p>122) (FGV) Numa escola existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são</p><p>selecionadas ao acaso.</p><p>a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa?</p><p>b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>172</p><p>a) Número de casos favoráveis: 1</p><p>6 1 6C × =</p><p>Número de casos possíveis: 2</p><p>12 66C =</p><p>Logo a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa é</p><p>6 1</p><p>66 11</p><p>= .</p><p>b) Número de casos favoráveis: 2</p><p>6 15C =</p><p>Logo a probabilidade de selecionarmos dois homens é</p><p>15 5</p><p>66 22</p><p>= .</p><p>Resposta:</p><p>1 5</p><p>11 22</p><p>e</p><p>123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas</p><p>e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são</p><p>fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.</p><p>a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita e</p><p>fraudulenta?</p><p>b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita?</p><p>a. 1% e 52,75%</p><p>b. 2% e 53,66%</p><p>c. 4% e 52,63%</p><p>d. 2% e 52,63%</p><p>e. 5% e 25,36%</p><p>Solução</p><p>Seja os eventos:</p><p>S = “A declaração é suspeita”</p><p>F = “A declaração é fraudulenta”</p><p>( ) 10% 0,1P S = =</p><p>( | ) 20% 0,2P F S = =</p><p>( | ) 2% 0,02cP F S = =</p><p>( ) 90% 0,9cP S = =</p><p>a) ( ) ( | ) ( ) 0, 2 0,1 0,02 2%P S F P F S P S∩ = × = × = =</p><p>b)</p><p>( | ) ( )</p><p>( | )</p><p>( | ) ( ) ( | ) ( )c c</p><p>P F S P S</p><p>P S F</p><p>P F S P S P F S P S</p><p>×= × + × (Teorema de Bayes)</p><p>( | ) ( ) 0,2 0,1</p><p>( | )</p><p>( | ) ( ) ( | ) ( ) 0,2 0,1 0,02 0,9</p><p>0,02 0,02</p><p>( | ) 0,5263 52,63%</p><p>0,02 0,018 0,038</p><p>c c</p><p>P F S P S</p><p>P S F</p><p>P F S P S P F S P S</p><p>P S F</p><p>× ×= =× + × × + ×</p><p>= = = =+</p><p>Resposta: D.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>173</p><p>124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35.</p><p>a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta por</p><p>ou ímpar? Por que?</p><p>b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suas</p><p>etiquetas tenham números consecutivos.</p><p>Solução</p><p>a) 35 etiquetas =</p><p>12</p><p>13</p><p>pares</p><p>ímpares</p><p>⎧⎨⎩</p><p>Logo a probabilidade</p><p>de obter uma etiqueta com número ímpar é maior.</p><p>b) O número de maneiras de retirar duas etiquetas com números consecutivos é:</p><p>24 maneiras{(11,12) , (12, 13), ..., (34, 35)}.</p><p>Logo a probabilidade pedida é:</p><p>24</p><p>0,08 8%</p><p>300</p><p>= =</p><p>Resposta: a. Ímpar; b. 8%.</p><p>125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2.</p><p>Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de</p><p>ele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2?</p><p>a. 2.10-9</p><p>b. 2.10-8</p><p>c. 2.10-7</p><p>d. 2.10-6</p><p>e.2.10-5</p><p>Solução</p><p>6 7</p><p>6 6</p><p>102 0,2</p><p>0,2 10 2 10</p><p>510 10 10</p><p>− −= = × = ××</p><p>Resposta: C.</p><p>126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se</p><p>duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que</p><p>sejam de mesmo sabor é:</p><p>a.</p><p>18</p><p>65</p><p>b.</p><p>19</p><p>66</p><p>c.</p><p>20</p><p>67</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>174</p><p>d.</p><p>21</p><p>68</p><p>e.</p><p>22</p><p>69</p><p>Solução</p><p>O número de maneiras de selecionar duas bolas (espaço amostral) é:</p><p>2</p><p>12 66C = maneiras.</p><p>O número de maneiras de selecionar duas balas de mesmo sabor:</p><p>Hortelã: 2</p><p>4 6C = maneiras</p><p>Morango: 2</p><p>5 10C = maneiras</p><p>Anis: 2</p><p>3 3C = maneiras</p><p>Total: 19 maneiras</p><p>Logo a probabilidade pedida é</p><p>19</p><p>66</p><p>.</p><p>Resposta: B.</p><p>127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha é</p><p>sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma</p><p>segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que</p><p>a soma dos números sorteados seja superior a 2?</p><p>b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duas</p><p>bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2º</p><p>sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse</p><p>reposição?</p><p>Solução</p><p>a) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)}</p><p>n (S) =25</p><p>Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”.</p><p>A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)}</p><p>N (A) = 6</p><p>Logo a probabilidade pedida é</p><p>6</p><p>25</p><p>.</p><p>b) Com reposição:</p><p>Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2 resultados possíveis.</p><p>Sem reposição:</p><p>Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis.</p><p>Resposta:</p><p>128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado</p><p>sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>175</p><p>sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados</p><p>nos dois últimos lançamentos.</p><p>a.</p><p>33</p><p>65</p><p>b.</p><p>31</p><p>66</p><p>c.</p><p>72</p><p>35</p><p>d.</p><p>35</p><p>72</p><p>e.</p><p>33</p><p>69</p><p>Solução</p><p>Número de casos possíveis: 64 = 1.296.</p><p>Número de casos favoráveis:</p><p>1º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são iguais: 6 1 5 5 150× × × = .</p><p>2º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são distintos: 6 5 4 4 480× × × = .</p><p>Os números de casos favoráveis é: 150 + 480 = 630.</p><p>Logo a probabilidade pedida é:</p><p>630 35</p><p>1.296 72</p><p>=</p><p>Resposta: D.</p><p>129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estão</p><p>no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, se</p><p>todos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o</p><p>apostador ganhar é:</p><p>a.</p><p>1</p><p>203</p><p>b.</p><p>1</p><p>507</p><p>c.</p><p>1</p><p>156</p><p>d.</p><p>1</p><p>280</p><p>e.</p><p>1</p><p>98</p><p>Solução</p><p>Número de casos possíveis: 6</p><p>30</p><p>30!</p><p>6!24!</p><p>C =</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>176</p><p>Número de casos favoráveis: 3 3</p><p>3 27</p><p>27!</p><p>3!24!</p><p>C C =</p><p>A probabilidade será:</p><p>27!</p><p>6! 27! 120 13!24!</p><p>30! 3! 30! 30 29 28 203</p><p>6!24!</p><p>×= = =× × ×</p><p>Resposta: A.</p><p>130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bons</p><p>pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito é</p><p>de 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter</p><p>cartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessa</p><p>comunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de:</p><p>a. 56%</p><p>b. 64%</p><p>c. 70%</p><p>d. 32%</p><p>e. 100%</p><p>Solução</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = “O comprador é bom pagador”</p><p>B = “O comprador tem cartão de crédito”</p><p>( ) 80% 0,8P A = =</p><p>( ) 20% 0,2cP A = =</p><p>( | ) 70% 0,7P B A = =</p><p>( | ) 30% 0,3cP B A = =</p><p>( | ) 40% 0,4cP B A = =</p><p>( | ) 60% 0,6c cP B A = =</p><p>Pelo teorema da probabilidade total temos:</p><p>( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )</p><p>( ) 0,7 0,8 0, 4 0, 2 0,56 0,08 0,64</p><p>c cP B P B A P A P B A P A</p><p>P B</p><p>= × + ×</p><p>= × + × = + =</p><p>Resposta: B.</p><p>131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que</p><p>P(A∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:</p><p>a. 0,5</p><p>b.</p><p>5</p><p>7</p><p>c. 0.6</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>177</p><p>d.</p><p>7</p><p>15</p><p>e. 0,7</p><p>Solução</p><p>A e B são independentes.</p><p>Logo P(A ∩ B) = P(A) ×P(B) = 0,3P(B)</p><p>Mas: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)</p><p>0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3P(B)</p><p>0,8 – 0,3 = 0,7P(B)</p><p>P(B) =</p><p>5</p><p>7</p><p>Resposta: B.</p><p>132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6</p><p>saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com a</p><p>freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?</p><p>a.</p><p>1</p><p>3</p><p>b.</p><p>2</p><p>3</p><p>c.</p><p>1</p><p>9</p><p>d.</p><p>2</p><p>9</p><p>e.</p><p>1</p><p>12</p><p>Solução</p><p>P(1) = p</p><p>P(2) =</p><p>1</p><p>6</p><p>P(3) =</p><p>1</p><p>6</p><p>P(4) =</p><p>1</p><p>6</p><p>P(5) =</p><p>1</p><p>6</p><p>P(6) = 2p</p><p>Logo:</p><p>P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>178</p><p>p +</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 2p = 1</p><p>3p +</p><p>4</p><p>6</p><p>= 1</p><p>3p +</p><p>2</p><p>3</p><p>= 1</p><p>3p = 1-</p><p>2</p><p>3</p><p>3p =</p><p>1</p><p>3</p><p>p =</p><p>1</p><p>9</p><p>Resposta: C.</p><p>133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não</p><p>tem algarismos adjacentes iguais?</p><p>a. 59</p><p>b. 9×84</p><p>c. 8×94</p><p>d. 85</p><p>e. 95</p><p>Solução</p><p>Seja o número A B C D E. Para a posição de A podemos escolher 9 algarismos.</p><p>Para a posição de B podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo</p><p>de A.</p><p>Para a posição de C podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo</p><p>de B.</p><p>Para a posição de D podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo</p><p>de C.</p><p>Para a posição de podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo de</p><p>D.</p><p>Portanto pelo princípio fundamental da contagem temos: 9×9×9×9×9 = 95</p><p>Resposta: E.</p><p>134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse</p><p>lote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:</p><p>a.</p><p>68</p><p>95</p><p>b.</p><p>70</p><p>95</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>179</p><p>c.</p><p>72</p><p>95</p><p>d.</p><p>74</p><p>95</p><p>e.</p><p>76</p><p>95</p><p>Solução</p><p>A probabilidade será</p><p>3</p><p>18</p><p>3</p><p>20</p><p>18 17 16 4 17 68</p><p>20 19 18 5 19 95</p><p>C</p><p>C</p><p>× × ×= = =× × ×</p><p>Resposta: A.</p><p>135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em</p><p>anotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais:</p><p>a) Ao menos um dos eventos ocorre.</p><p>b) Exatamente um dos eventos ocorre.</p><p>Solução</p><p>a) Pelo menos um significa a união de todos os eventos, logo temos (A∪ B∪ C).</p><p>b) Exatamente um dos eventos ocorre significa que ocorre somente</p><p>o evento A, ou</p><p>somente o evento B, ou somente o evento C, logo temos</p><p>( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .</p><p>Resposta: a) (A∪ B ∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .</p><p>136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A∩ B) = c.</p><p>Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z.</p><p>a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩</p><p>Solução</p><p>a) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo ( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B c∪ = ∩ = − ∩ = −</p><p>b) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B b c∩ = − ∩ = −</p><p>c) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B P A P A B∪ = ∩ = − ∩ = − + ∩</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>180</p><p>( ) 1P A B a c∪ = − +</p><p>d) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∩ = ∪ logo ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P A P B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − − + ∩</p><p>( ) 1P A B a b c∩ = − − +</p><p>Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c.</p><p>137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A∩ B)</p><p>= P(C∩ B)=0 e P (A∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos</p><p>eventos A, B ou C ocorra.</p><p>a.</p><p>6</p><p>8</p><p>b.</p><p>5</p><p>8</p><p>c.</p><p>8</p><p>9</p><p>d.</p><p>5</p><p>9</p><p>e.</p><p>7</p><p>8</p><p>Solução ( )Pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra ( )P P A B C= ∪ ∪</p><p>Mas</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩</p><p>Como ( ) ( )A B C A B∩ ∩ ⊂ ∩ ( ) ( )0 0P A B C P A B≤ ∩ ∩ ≤ ∩ =</p><p>Logo temos que ( ) 0P A B C∩ ∩ = .</p><p>Voltando a fórmula temos:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩</p><p>1 1 1 1 5</p><p>( ) 0 0 0</p><p>4 4 4 8 8</p><p>P A B C∪ ∪ = + + − − − + =</p><p>Resposta: B.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>181</p><p>138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que</p><p>P(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p.</p><p>a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos?</p><p>b) Para que valor de p, A e B serão independentes?</p><p>Solução</p><p>a) A e B são disjuntos. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +</p><p>0,8 0, 4</p><p>0, 4</p><p>p</p><p>p</p><p>= +</p><p>=</p><p>b) A e b são independentes. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×</p><p>( ) 0, 4P A B p∩ = ×</p><p>Mas ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩</p><p>0,8 0,4 0,4</p><p>0,8 0,4 0,6</p><p>0,6 0,4</p><p>2</p><p>3</p><p>p p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>= + −</p><p>= +</p><p>=</p><p>=</p><p>Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3.</p><p>139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é</p><p>escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De</p><p>observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores</p><p>fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A</p><p>é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o</p><p>motor escolhido tenha sido fabricado em A.</p><p>a) 0,400</p><p>b) 0,030</p><p>c) 0,012</p><p>d) 0,308</p><p>e) 0,500</p><p>Solução</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A = “o motor foi produzido pela fábrica A”</p><p>B = “o motor foi produzido pela fábrica B”</p><p>C = “o motor é defeituoso”</p><p>O enunciado forneceu:</p><p>P(A) = 40% = 0,4</p><p>P(B) = 60% = 0,6</p><p>P(D/A) = 2% = 0,02</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>182</p><p>P(D/B) = 3% = 0,03</p><p>O enunciado informa que o motor selecionado apresenta defeito. Pergunta-se:</p><p>P(A/D) =?</p><p>Logo P(A/D) = ( )( ) ( ) ( )( )DP</p><p>AP.A/DP</p><p>DP</p><p>DAP =∩</p><p>Vamos calcular o P(D):</p><p>Como:</p><p>D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ...... União de eventos disjuntos</p><p>Logo:</p><p>P(D) = P((A ∩ D) ∪ (B ∩ D))</p><p>P(D) = P(A ∩ D) + (B ∩ D)</p><p>P(D) = P(A/D) . P(A) + P(D/B) . P(B)</p><p>Logo:</p><p>P(D) = 0,02 x 0,4 + 0,03 x 0,6 = 0,008 + 0,018</p><p>P(D) = 0,026</p><p>Voltando a pergunta do problema:</p><p>( ) ( ) ( )( ) 308,0</p><p>13</p><p>4</p><p>026,0</p><p>08,0</p><p>026,0</p><p>4,0x02,0</p><p>DP</p><p>AP.A/DP</p><p>D/AP =====</p><p>Resp. A</p><p>140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e</p><p>Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu</p><p>sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio,</p><p>ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os</p><p>sorteados é igual a:</p><p>a) 0,8</p><p>b) 0,375</p><p>c) 0,05</p><p>d) 0,6</p><p>e) 0,75</p><p>Solução</p><p>A probabilidade de que Pedro e Sérgio sejam sorteados será:</p><p>2 1</p><p>2 3</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>10</p><p>C xC</p><p>C</p><p>=</p><p>A probabilidade de que Teodoro e Quintino sejam sorteados será:</p><p>2 1</p><p>2 3</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>10</p><p>C xC</p><p>C</p><p>=</p><p>Como os eventos são disjuntos temos : 0,3+0,3 = 0,6. Opção correta D.</p><p>Observação: Esta solução está supondo que cada sobrinho sorteado recebeu de</p><p>herança apenas um casa.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>183</p><p>141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um</p><p>esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.</p><p>A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área</p><p>circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além</p><p>disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de</p><p>múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem</p><p>de métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo</p><p>A e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente,</p><p>então n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B), onde n(A B) é o número de elementos que</p><p>pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine</p><p>o número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar o</p><p>esconderijo.</p><p>a) 33</p><p>b) 12</p><p>c) 45</p><p>*d) 41</p><p>e) 4</p><p>Solução</p><p>Seja A o conjunto dos múltiplos positivos de 3.</p><p>Seja B o conjunto dos múltiplos positivos de 8.</p><p>Então temos: { }3,6,9,...99A = ( ) 33n A =</p><p>{ }8,16, 24,...96B = ( ) 12n B =</p><p>{ }24, 48,72,96A B∩ = ( ) 4n A B∩ =</p><p>Temos então que:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) 33 12 4 41</p><p>n A B n A n B n A B</p><p>n A B</p><p>∪ = + − ∩</p><p>∪ = + − =</p><p>Portanto a equipe deverá tentar 41círculos.</p><p>Resposta: D</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>184</p><p>Texto para os itens de 142 a 144</p><p>Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que as</p><p>populações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região que</p><p>apresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com</p><p>17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo</p><p>76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebem</p><p>remuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). O</p><p>percentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas.</p><p>Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idade</p><p>ocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bem</p><p>menor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992.</p><p>Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações).</p><p>Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que</p><p>trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileira</p><p>seja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região —</p><p>são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade</p><p>federativa da região Centro-Oeste —, julgue</p><p>os itens seguintes, tendo como referência as</p><p>informações contidas no texto acima.</p><p>142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhões</p><p>de crianças e adolescentes com idade de até 17 anos.</p><p>Solução</p><p>Seja o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil</p><p>igual a 2.899.800.</p><p>Vamos calcular o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que</p><p>trabalham na região Nordeste:</p><p>9</p><p>2.899.800 966.600</p><p>27</p><p>× = crianças ou adolescentes.</p><p>Logo o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade na região Nordeste é</p><p>aproximadamente:</p><p>966600 966600</p><p>6.079.245 6</p><p>15,9% 0,159</p><p>= = > milhões</p><p>Resposta: Correto</p><p>143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os</p><p>2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudeste</p><p>é superior a 0,2.</p><p>Solução</p><p>Considerando a distribuição das unidades federativas brasileiras por região,temos:</p><p>Região Norte: 6 unidades</p><p>Região Nordeste: 9 unidades</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>185</p><p>Região Sul: 3 unidades</p><p>Região Sudeste: 4 unidades</p><p>Região Centro-Oeste: 5 unidades</p><p>Portanto a probabilidade solicitada será:</p><p>9 1</p><p>0,333... 0, 2</p><p>27 3</p><p>= = ></p><p>Resposta: Correto</p><p>144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no</p><p>Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e</p><p>adolescentes trabalham no campo.</p><p>Solução</p><p>Seja o número de crianças com idades entre 5 e 9 anos, que trabalham no Brasil igual a:</p><p>20% 2.899.800 579.960× = crianças.</p><p>Logo o número de crianças e adolescentes nessa faixa que está no campo será aproximadamente:</p><p>76,7% 579.960 444.829 450.000× = =</p><p>Resposta: Correto.</p><p>150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-se</p><p>que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem</p><p>mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente.</p><p>Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com</p><p>sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja</p><p>um</p><p>processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a</p><p>3</p><p>5</p><p>.</p><p>Solução</p><p>10 20 30 60 3</p><p>100 100 5</p><p>+ + = =</p><p>Resposta: Correto.</p><p>151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um dos</p><p>eventos A ou B ocorra. Verifique que ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦ .</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>189</p><p>Solução</p><p>Os eventos ( )A B∩ e ( )B A∩ são disjuntos.</p><p>Logo ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) 2 ( )</p><p>P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B</p><p>P A B B A P A P B P A B</p><p>⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = − ∩ + − ∩⎣ ⎦</p><p>⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦</p><p>152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão</p><p>de figuras compostas por triângulos:</p><p>Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta</p><p>de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é</p><p>a) 45</p><p>b) 49</p><p>c) 51</p><p>d) 57</p><p>e) 61</p><p>Solução</p><p>Com 1 triângulo temos 3 palitos (2 x 1 + 1)</p><p>Com 2 triângulo temos 5 palitos (2 x 2 + 1)</p><p>Com 3 triângulo temos 7 palitos (2 x 3 +1)</p><p>Com 4 triângulo temos 9 palitos (2 x 4 + 1)</p><p>Logo, com 25 triângulos teremos: 2 x 25 + 1 = 50 + 1 = 51 palitos</p><p>Resposta: C</p><p>153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . .</p><p>a) 33</p><p>b) 34</p><p>c) 35</p><p>d) 36</p><p>e) 39</p><p>Solução</p><p>É só somarmos 30 + 6 = 36.</p><p>Resposta: D</p><p>154) Qual o próximo termo da seqüência:</p><p>1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . .</p><p>a)14</p><p>b)15</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>190</p><p>c) 25</p><p>d) 28</p><p>e) 29</p><p>Solução</p><p>Basta observar a seqüência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15</p><p>Resposta: B</p><p>155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .</p><p>a) 30</p><p>b) 31</p><p>c) 32</p><p>d) 33</p><p>e) 34</p><p>Solução</p><p>Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 34.</p><p>Resposta: E</p><p>156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .</p><p>a) 48</p><p>b) 49</p><p>c) 54</p><p>d) 64</p><p>e) 81</p><p>Solução</p><p>Evidente que a opção correta é 72 = 49.</p><p>Resposta: B</p><p>157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . .</p><p>a) 22</p><p>b) 23</p><p>c) 24</p><p>d) 25</p><p>e) 26</p><p>Solução</p><p>Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 26.</p><p>Resposta: E</p><p>158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um</p><p>triângulo segundo determinado critério.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>191</p><p>Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de</p><p>acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de</p><p>interrogação é</p><p>a) P</p><p>b) Q</p><p>c) R</p><p>d) S</p><p>e) T</p><p>Solução</p><p>Basta observar que cada letra ocorre 3 vezes, logo teremos:</p><p>P</p><p>P Q</p><p>P R S</p><p>Q R S T</p><p>Q R S T T</p><p>Resposta: E</p><p>159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas</p><p>segundo determinado critério.</p><p>Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então,</p><p>segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que</p><p>deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é</p><p>a) C</p><p>b) I</p><p>c) O</p><p>d) P</p><p>e) R</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>192</p><p>É a ordem alfabética começando pela base do triângulo.</p><p>P</p><p>O N</p><p>M L J</p><p>I H G F</p><p>E D C B A</p><p>Resposta: D</p><p>160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temos</p><p>a) 236.</p><p>b) 244.</p><p>c) 246.</p><p>d) 254.</p><p>e) 256.</p><p>Solução</p><p>Observe que:</p><p>3 x 4 – 2 = 10</p><p>3 x 10 – 2 = 28</p><p>3 x 28 – 2 = 82</p><p>3 x 82 – 2 = 244</p><p>Resposta: B</p><p>161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos,</p><p>respectivamente,</p><p>a) O, P.</p><p>b) I, O.</p><p>c) E, P.</p><p>d) L, I.</p><p>e) D, L.</p><p>Solução</p><p>É o alfabeto alternado em ordem crescente e decrescente: F, N, G, M, H, L , I .</p><p>Resposta: D</p><p>162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos</p><p>a) 23.</p><p>b) 22.</p><p>c) 21.</p><p>d) 24.</p><p>e) 25.</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>193</p><p>Resposta: A</p><p>163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados</p><p>sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.</p><p>Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é</p><p>a) 210</p><p>b) 206</p><p>c) 200</p><p>d) 196</p><p>e) 188</p><p>Solução</p><p>A seqüência é 0, 6, 24, 60, 120,...</p><p>Isto é, 0x6; 4x6; 10x6; 20x6,...</p><p>Observe a seqüência:</p><p>Logo teremos:</p><p>Logo o termo que falta é 35 x 6 = 210</p><p>Resposta: A</p><p>164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células</p><p>obedecendo a um determinado padrão.</p><p>Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>194</p><p>a) X > 100</p><p>b) 90</p><p>é an = 4n +1</p><p>O 25ª termos será a25 = 4x25+1 = 100 +1 = 101.</p><p>Resposta: C</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>196</p><p>167)</p><p>Solução</p><p>2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois</p><p>......</p><p>5, 8, 11, 14, 17, .........</p><p>......</p><p>3, 3, 3, 3, 3,...... k = 2</p><p>Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B + C = 2 (equação 1)</p><p>n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)</p><p>n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:</p><p>3A + B = 5 (equação 4)</p><p>8A + 2B = 13 (equação 5)</p><p>Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:</p><p>A = 3/2</p><p>Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.</p><p>Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.</p><p>Logo o termo geral é:</p><p>an = An2 + Bn + C</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>n n</p><p>a</p><p>n n</p><p>a</p><p>= +</p><p>+=</p><p>http://imageshack.us/</p><p>http://imageshack.us/</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>197</p><p>2</p><p>40</p><p>3 40 40 3 1600 40 4840</p><p>2420</p><p>2 2 2</p><p>x x</p><p>a</p><p>+ += = = =</p><p>168) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte</p><p>sucessão de figuras compostas por triângulos:</p><p>Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta</p><p>de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é</p><p>a) 45</p><p>b) 49</p><p>c) 51</p><p>d) 57</p><p>e) 61</p><p>Solução</p><p>3, 5, 7, 9, 11, 13,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois</p><p>.....</p><p>2 2 2 2 2 ......... k = 1</p><p>Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).</p><p>Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:</p><p>n = 1 A + B = 3 (equação 1)</p><p>n = 2 2A+ B = 5 (equação 2)</p><p>Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.</p><p>Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1</p><p>Logo o termo geral é an = 2n +1</p><p>O 25ª termos será a25 = 2x25+1 = 50 +1 = 51.</p><p>Resposta: C</p><p>169) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos no</p><p>monitor. Inicialmente escuro, conforme padrão pré-estabelecido. Na 1ª etapa</p><p>surgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos na</p><p>tela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro do</p><p>número de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se esse</p><p>padrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontos</p><p>luminosos igual a :</p><p>a) 4k2 – 8 k + 6</p><p>b) 2k2 – 12 k + 12</p><p>c) 2 . 3k-1</p><p>d) 3 . 2k-1</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>198</p><p>e) 2k + 3 (k – 1)</p><p>Solução</p><p>Temos a seqüência 2, 4, 12, 18, 36, .... .</p><p>Sendo assim os totais de pontos no fim da 1ª, 2ª, 3ª, ... etapas serão 2, 6, 18, 54, .... .</p><p>Vamos obter o termo geral dessa seqüência.</p><p>Seja ka o total de pontos luminosos ao final da k-ésima etapa.</p><p>Temos então:</p><p>1 12k k ka a a− −= +</p><p>13k ka a −= , para k = 1, 2, 3, 4, .... onde 2 6a = e 1 2a = .</p><p>Podemos então verificar que:</p><p>2 13a a=</p><p>3 23a a= 2</p><p>3 1 13.3. 3 .a a a= = .</p><p>4 33a a= 2 3</p><p>4 1 13.3 . 3 .a a a= = .</p><p>5 43a a= 3 4</p><p>5 1 13.3 . 3 .a a a= = . e assim sucessivamente</p><p>...............................................</p><p>13k ka a −= 2 1</p><p>1 13.3 . 3 .k k</p><p>ka a a− −= = .</p><p>Portanto temos que 1</p><p>13 .k</p><p>ka a−= .</p><p>Como 1 2a = temos 12.3k</p><p>ka −= , k = 1, 2, 3, 4, .....</p><p>Resposta: C</p><p>170) (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram</p><p>colocadas obedecendo a um determinado padrão.</p><p>Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será</p><p>a) 101</p><p>b) 99</p><p>c) 97</p><p>d) 83</p><p>e) 81</p><p>Solução</p><p>Figura I → 32 – 4 = 9 – 4 = 5 células brancas</p><p>Figura II → 52 – 8 = 25 – 8 = 17 células brancas</p><p>Figura III → 72 – 12 = 49 – 12 = 37 células brancas</p><p>Figura IV → 92 – 16 = 81 – 16 = 65 células brancas</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>199</p><p>Figura V → 112 – 20 = 121 – 20 = 101 células brancas</p><p>Resposta: A</p><p>171) (Mack) Na função f dada por</p><p>(0) 1</p><p>4 ( ) 1</p><p>( 1)</p><p>4</p><p>f</p><p>f n</p><p>f n</p><p>=⎧⎪⎨ ++ =⎪⎩</p><p>em que n é um número natural, f (44) vale:</p><p>a)</p><p>43</p><p>4</p><p>b) 13</p><p>c)</p><p>45</p><p>4</p><p>d) 12</p><p>e) 15</p><p>Solução</p><p>Temos</p><p>4 ( ) 1</p><p>( 1)</p><p>4</p><p>f n</p><p>f n</p><p>++ =</p><p>para n = 0, 1, 2, ....., 44.</p><p>4 ( 1) 4 ( ) 1</p><p>4 ( 1) 4 ( ) 1</p><p>f n f n</p><p>f n f n</p><p>+ = +</p><p>+ − =</p><p>Fazendo n = 0, 1, 2, 3, 4, .....,44 temos:</p><p>4 (1) 4 (0) 1</p><p>4 (2) 4 (1) 1</p><p>4 (3) 4 (2) 1</p><p>4 (4) 4 (3) 1</p><p>.............................</p><p>4 (43) 4 (42) 1</p><p>4 (44) 4 (43) 1</p><p>f f</p><p>f f</p><p>f f</p><p>f f</p><p>f f</p><p>f f</p><p>− =⎧⎪ − =⎪⎪ − =⎪ − =⎨⎪⎪ − =⎪⎪ − =⎩</p><p>Somando-se as parcelas observamos que vários fatores cancelam-se e o resultado da</p><p>soma é</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>200</p><p>4 (44) 4 (0) 44</p><p>4 (44) 4 1 44</p><p>4 (44) 4 44</p><p>4 (44) 44 4</p><p>4 (44) 48</p><p>48</p><p>(44) (44) 12</p><p>4</p><p>f f</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f f</p><p>− =</p><p>− × =</p><p>− =</p><p>= +</p><p>=</p><p>= → =</p><p>Resposta: D</p><p>172) (NCE)Considere a seqüência abaixo:</p><p>–</p><p>– – –</p><p>– – – – – –</p><p>– – – – – – – – – –</p><p>(1) (2) (3) (4) ..........</p><p>Quantos pontos totais haverá nos triângulos formados com a soma do oitavo com o</p><p>nono termo da seqüência ?</p><p>a) 9</p><p>b) 81</p><p>c) 90</p><p>d) 99</p><p>e) 100</p><p>Solução</p><p>Temos a seqüência de números triangulares. Logo a8 + a9 = 92 = 81</p><p>Resposta: B</p><p>173) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 6, 7, 8, 9, ....</p><p>a)11</p><p>b)12</p><p>c)17</p><p>d)18</p><p>e)20</p><p>Solução</p><p>2 - dois - 4 letras</p><p>3 - três - 4 letras</p><p>6 - seis - 4 letras</p><p>7 - sete - 4 letras</p><p>8 - oito - 4 letras</p><p>9 - nove - 4 letras</p><p>11 - onze - 4 letras</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>201</p><p>Resposta: A</p><p>174) Qual o próximo termo da seqüência: B, D, F, H : D, F, H, ...</p><p>a) I</p><p>b) J</p><p>c) K</p><p>d) L</p><p>e) M</p><p>Solução</p><p>Comparando os termos temos:</p><p>de B para D, 2 letras (C, D)</p><p>de D para F, 2 letras (E, F)</p><p>de F para H, 2 letras (G, H)</p><p>Logo H avançando 2 letras (I, J), a próxima letra que falta na segunda seqüência é J</p><p>Resposta: B</p><p>175) Descobrir o número que falta</p><p>3 ?</p><p>14</p><p>10</p><p>69</p><p>7</p><p>5</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 6</p><p>d) 9</p><p>e) 18</p><p>Solução</p><p>A resposta é 18, pois os números são o dobro de seus imediatamente opostos.</p><p>Resposta: E</p><p>176) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 5, 11, 17, 23, 37, ...</p><p>a) 31</p><p>b) 37</p><p>c) 41</p><p>d) 43</p><p>e) 45</p><p>Solução</p><p>Observe a seqüência de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43</p><p>Resposta: D</p><p>177) Considere a seguinte fórmula recursiva:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>202</p><p>f (0) = 500</p><p>f (n + 1) = f (n) – 1, n ≥ 0, inteiro.</p><p>Então o valor de f (500) é:</p><p>a) –1</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) 499</p><p>e) 500</p><p>Solução</p><p>f ( 1 ) = f ( 0 + 1 ) = f ( 0 ) – 1 = 500 – 1 = 499</p><p>f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = f ( 1 ) – 1 = 499 – 1 = 498</p><p>f ( 3 ) = f ( 2 + 1 ) = f ( 2 ) – 1 = 498 – 1 = 497</p><p>.........................................................................</p><p>.........................................................................</p><p>Logo: f (500) = 0</p><p>Resposta: B</p><p>178) Considere que</p><p>os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei</p><p>de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um</p><p>número compreendido entre</p><p>(A) 150 e 170</p><p>(B) 130 e 150</p><p>(C) 110 e 130</p><p>(D) 90 e 110</p><p>(E) 70 e 90</p><p>Solução</p><p>Some 1 ao anterior, e depois multiplique o anterior por três alternadamente.</p><p>1) 0 = 0</p><p>2) 0+1 = 1</p><p>3) 1x3 = 3</p><p>4) 3+1 = 4</p><p>5) 4x3 = 12</p><p>6) 12+1 = 13</p><p>7) 13x3 = 39</p><p>8) 39+1 = 40</p><p>9) 40x3 = 120</p><p>10) 120+1=121</p><p>A soma do oitavo com o décimo será 40+121 = 161</p><p>Opção A.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>203</p><p>179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a</p><p>partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de</p><p>acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser</p><p>(A) P</p><p>(B) R</p><p>(C) S</p><p>(D) T</p><p>(E) U</p><p>Solução</p><p>Observe com facilidade a seqüência:</p><p>E F G</p><p>H J I</p><p>L M N</p><p>O Q P</p><p>Resp. A</p><p>180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.</p><p>O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é</p><p>(A) 5 151</p><p>(B) 5 050</p><p>(C) 4 950</p><p>(D) 3 725</p><p>(E) 100</p><p>Solução</p><p>Observe a seqüência:</p><p>1, 3, 6, 10, 15, .......</p><p>Temos entãoa seqüência de números triangulares:</p><p>1 = 1</p><p>3 = 1 + 2</p><p>6 = 1 + 2 + 3</p><p>10 = 1 + 2 + 3 + 4</p><p>15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5</p><p>Queremos 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + ... + 100</p><p>Então:</p><p>100 101</p><p>5.050</p><p>2</p><p>× =</p><p>Resp. B</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>204</p><p>181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que</p><p>cada termo é composto de um número seguido de uma letra:</p><p>A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ...</p><p>Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de</p><p>acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é</p><p>(A) J</p><p>(B) L</p><p>(C) M</p><p>(D) N</p><p>(E) O</p><p>Solução</p><p>A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – D7 – H8 – E9 – I10 – F11 – J12</p><p>Resp. A</p><p>Dados do professor Joselias S. da Silva.</p><p>Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela Escola Nacional de</p><p>Ciências Estatísticas(ENCE). Foi Diretor de Orçamentos do Tribunal</p><p>Regional Federal(TRF-3ªRegião) e atualmente é professor em</p><p>universidades paulistas e cursinhos preparatórios para concursos</p><p>públicos.</p><p>Livro de sua autoria: É autor do livro Matemática Para</p><p>Concursos Públicos com Teoria e 500 Questões Resolvidas e</p><p>Comentadas-Editora Policon.</p><p>VISITE O MEU HD-VIRTUAL:</p><p>http://discovirtual.uo l.com.br/disco_virtual/joselias/Apostilas</p><p>A senha é joselias</p><p>Joselias</p><p>Boa Sorte!</p><p>Joselias</p><p>http://discovirtual.uol.com.br/disco_virtual/joselias/Apostilas</p><p>Logo a probabilidade de serem selecionados Primus e Secundos é 3/10 (*)</p><p>Logo a probabilidade de serem selecionados Tertius e Quintus é 3/10 (**)</p><p>Logo a probabilidade de serem selecionados Secundos, Tértius e Quartus é 1/10 (***)</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>17</p><p>(p → q)</p><p>Condições necessárias e suficientes:</p><p>Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente e</p><p>a proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição</p><p>suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de</p><p>condição necessária para p.</p><p>Exemplo:</p><p>19) Sejam as proposições:</p><p>p = “ Joselias é carioca”.</p><p>q = “Joselias é brasileiro”.</p><p>Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é carioca</p><p>então Joselias é brasileiro”.</p><p>Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para a</p><p>sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” é</p><p>condição necessária para a sentença “Joselias é carioca”.</p><p>A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue:</p><p>a) Se p, então q.</p><p>b) Se p, q.</p><p>c) q, se p</p><p>d) p implica q.</p><p>e) p acarreta q.</p><p>f) p é suficiente para q.</p><p>g) q é necessário para p.</p><p>h) p somente se q.</p><p>i) p apenas se q.</p><p>Exemplo:</p><p>20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também das</p><p>seguintes maneiras:</p><p>a) “Se ele me ama, então casa comigo”.</p><p>b) “Se ele me ama, casa comigo”.</p><p>c) “Ele casa comigo, se ele me ama”.</p><p>d) “Ele me ama implica em casa comigo”.</p><p>e) “Ele me ama carreta casa comigo”.</p><p>f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”.</p><p>g) “ Casar comigo é necessário para me amar”.</p><p>h) “Ele me ama somente se casa comigo”.</p><p>i) “Ele me ama apenas se casa comigo”.</p><p>Recíproca contrária e contra-positiva:</p><p>Se p e q são proposições então:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>18</p><p>a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p).</p><p>b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q).</p><p>c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p).</p><p>Exemplo:</p><p>21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias é</p><p>brasileiro”. Temos então:</p><p>a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”.</p><p>b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”.</p><p>c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”.</p><p>Equivalência de (p → q):</p><p>Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das mais</p><p>freqüentes:</p><p>a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q).</p><p>Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos então</p><p>afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não me</p><p>ama ou casa comigo”.</p><p>b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva)</p><p>Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”.</p><p>Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente</p><p>a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.</p><p>c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q)</p><p>Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q).</p><p>Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é</p><p>equivalente a “Ele me ama e não casa comigo”</p><p>BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA)</p><p>(p ↔ q)</p><p>Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e a</p><p>proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição</p><p>necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é</p><p>chamada de condição necessária e suficiente para p.</p><p>Exemplo:</p><p>22) Sejam as proposições:</p><p>p = “ Joselias é carioca”.</p><p>q = “Joselias é brasileiro”.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>19</p><p>Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se e</p><p>somente se Joselias é brasileiro”.</p><p>Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária e</p><p>suficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é</p><p>brasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”.</p><p>A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue:</p><p>a) p se e somente se q.</p><p>b) p se e só se q.</p><p>c) p é condição necessária e suficiente para q</p><p>e p é equivalente a q</p><p>Exemplo:</p><p>23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciada</p><p>também das seguintes maneiras:</p><p>a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”.</p><p>b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”.</p><p>c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”.</p><p>d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”.</p><p>Equivalência de (p ↔ q):</p><p>Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das mais</p><p>freqüentes:</p><p>a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p).</p><p>Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q</p><p>então p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa</p><p>comigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo então</p><p>ele me ama”.</p><p>b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva)</p><p>Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se</p><p>não p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa</p><p>comigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”.</p><p>c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca)</p><p>Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”.</p><p>Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é</p><p>equivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”.</p><p>d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária)</p><p>Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não</p><p>q)” . Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é</p><p>equivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo”</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>20</p><p>d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q)</p><p>Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se</p><p>somente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se e</p><p>somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”.</p><p>OU EXCLUSIVO</p><p>p∨ q</p><p>(ou p ou q mas não ambos)</p><p>A proposição p∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significa</p><p>ou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será F quando</p><p>ambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim</p><p>teremos a seguinte tabela verdade:</p><p>p q p∨ q</p><p>V V F</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Exemplo:</p><p>24) Sejam as proposições:</p><p>p = “Eu trabalho”</p><p>q = “Eu estudo”</p><p>A proposição p∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”.</p><p>Equivalência de p∨ q:</p><p>Entre as equivalências da proposição p∨ q destacamos algumas das mais</p><p>freqüentes:</p><p>a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).</p><p>Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não p</p><p>e q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas não</p><p>ambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casa</p><p>comigo”.</p><p>b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p∨ q.</p><p>Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q,</p><p>mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>21</p><p>somente se casa comigo” é</p><p>equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas não</p><p>ambos”.</p><p>NEGAÇÃO</p><p>(¬, ~)</p><p>A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p é</p><p>verdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição ¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu não</p><p>estudo”.</p><p>Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme o</p><p>quadro abaixo:</p><p>PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO</p><p>p ¬p</p><p>(¬p) p</p><p>(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q)</p><p>(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q)</p><p>( p→ q) ( p ∧ ¬q )</p><p>(p ↔ q) (p ↔ ¬q)</p><p>(p ↔ q) p ∨ q.</p><p>Exemplos:</p><p>25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma:</p><p>a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho”</p><p>b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo”</p><p>c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”.</p><p>d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não</p><p>estudo”.</p><p>e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se</p><p>somente se não estudo”.</p><p>f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ou</p><p>estudo, mas não ambos”.</p><p>26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamo</p><p>André, então eu passo no vestibular.” é:</p><p>(A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular.</p><p>(B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André.</p><p>(C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André.</p><p>.(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André.</p><p>(E) Eu passo no vestibular e não me chamo André.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>22</p><p>Solução</p><p>Sejam as proposições:</p><p>p = “Eu me chamo André”.</p><p>q = “Eu passo no vestibular”.</p><p>Sendo assim a sentença:</p><p>“Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.”</p><p>( p → q)</p><p>é equivalente a</p><p>(¬q → ¬p)</p><p>(Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André).</p><p>Resposta: D</p><p>27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é:</p><p>(A) hoje não chove e fico em casa.</p><p>.(B) hoje chove e não fico em casa.</p><p>(C) hoje chove ou não fico em casa.</p><p>(D) hoje não chove ou fico em casa.</p><p>(E) se hoje chove então não fico em casa.</p><p>Solução</p><p>Sejam as proposições:</p><p>p = “Hoje chove”.</p><p>q = “Fico em casa”.</p><p>Sendo assim a negação da sentença sentença:</p><p>¬ (Se hoje chove então fico em casa)</p><p>¬ ( p → q)</p><p>é equivalente a</p><p>( p ∧ ¬q )</p><p>(Hoje chove e não fico em casa)</p><p>Resposta: B</p><p>28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas:</p><p>I - (p ∧ q) → p</p><p>II - (p ∨ q) → p</p><p>III - (p ∧ q) → (p ∨ q)</p><p>É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):</p><p>(A) I, somente.</p><p>(B) II, somente.</p><p>(C) III, somente.</p><p>(D) I e III, somente.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>23</p><p>(E) I, II e III.</p><p>Solução</p><p>Considere a tabela verdade abaixo:</p><p>p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q)</p><p>V V V V V V V</p><p>V F F V V V V</p><p>F V F V V F V</p><p>F F F F V V V</p><p>Observe que somente I e III são tautologias.</p><p>Resposta: D</p><p>Exercícios Propostos</p><p>30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é</p><p>a) ~(p ∨ q)</p><p>b) ~ (p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q)</p><p>d) (p ∧ ~q)</p><p>e) (~p ∨ q)</p><p>31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.</p><p>a) (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>b) (p ∨ q) → q</p><p>c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)</p><p>d) p→ (p ∧ q)</p><p>e) p→ (p ∨ q)</p><p>32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.</p><p>a) (~p ∨ p) → q</p><p>b) (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q) → q</p><p>d) p→ (p ∧ q)</p><p>e) p→ (p ∨ q)</p><p>33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>24</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∧ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>p q ?</p><p>V V F</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∧ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua</p><p>tabela-verdade é</p><p>p q r s</p><p>V V V F</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V V F</p><p>V F F F</p><p>F V F F</p><p>F F V F</p><p>F F F F</p><p>Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças</p><p>equivalentes a s. Uma dessas sentenças é</p><p>a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]</p><p>c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]</p><p>d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]</p><p>e. ~ [p ∧ q ∧ r]</p><p>36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>25</p><p>p q ?</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é</p><p>a) (p ∨ q)</p><p>b) (~p ∧ ~q)</p><p>c) (p ∧ ~q)</p><p>d) (~p ∧ q)</p><p>e) (p → q)</p><p>37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua</p><p>tabela-verdade é</p><p>p q r s</p><p>V V V V</p><p>V V F V</p><p>V F V F</p><p>F V V F</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>F F V V</p><p>F F F V</p><p>Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças</p><p>equivalentes a s. Uma dessas sentenças é</p><p>a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]</p><p>b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]</p><p>c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]</p><p>d. [p ∨ q ∨ r]</p><p>e. ~ [p ∧ q ∧ r]</p><p>38) Considere as afirmações abaixo.</p><p>I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.</p><p>II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.</p><p>III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .</p><p>É verdade o que se afirma APENAS em</p><p>a. I.</p><p>b. II e III</p><p>c. I e III.</p><p>d. I e II.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>26</p><p>e. I, II e III.</p><p>39) Considere as afirmações abaixo.</p><p>I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .</p><p>II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .</p><p>III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .</p><p>É verdade o que se afirma APENAS em</p><p>a. I.</p><p>b. II e III</p><p>c. I e III.</p><p>d. I e II.</p><p>e. I, II e III.</p><p>40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa</p><p>um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>42) Considere a seguinte declaração:</p><p>Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.</p><p>a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente</p><p>sabia.</p><p>b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.</p><p>c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o</p><p>presidente sabia.</p><p>d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.</p><p>e. Se o presidente sabia então houve desacato a</p><p>autoridade.</p><p>43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>27</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os</p><p>aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para</p><p>que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte</p><p>proposição:</p><p>(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.</p><p>(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:</p><p>(A) Contradição</p><p>(B) Contingência</p><p>(C) Tautologia</p><p>(D) Dilema</p><p>(E) Inconsistência</p><p>46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em</p><p>Paris” é logicamente equivalente à afirmação:</p><p>(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.</p><p>(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.</p><p>(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.</p><p>(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.</p><p>(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.</p><p>Sentenças Abertas e Sentenças Gerais</p><p>Conforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podem</p><p>receber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições:</p><p>a) Joselias é um professor.</p><p>b) 2 é um número natural.</p><p>c) 4 + 6 > 10</p><p>Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo</p><p>verdadeiro ou falso:</p><p>1) X é um professor.</p><p>2) n é um número natural.</p><p>3) x + y >10</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>28</p><p>Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças</p><p>abertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e c</p><p>respectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em</p><p>proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.</p><p>Quantificador universal: ∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”.</p><p>Quantificador Existencial: ∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”.</p><p>Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em</p><p>proposições falsas ou verdadeira, por exemplo:</p><p>a) A sentença “ n∃ ∈ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira.</p><p>b) A sentença “ ( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + > ” é uma proposição falsa.</p><p>As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais.</p><p>As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira:</p><p>Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x.</p><p>Então temos:</p><p>( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬</p><p>( ) ( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬</p><p>( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬</p><p>( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬</p><p>( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬</p><p>Número de linha da tabela verdade</p><p>È comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabela</p><p>verdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas no</p><p>capítulo de análise combinatória:</p><p>O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n</p><p>proposições simples é2n</p><p>.</p><p>Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições não</p><p>equivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é</p><p>22</p><p>n</p><p>.</p><p>Exemplos:</p><p>29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases:</p><p>I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>29</p><p>II.</p><p>5</p><p>x y+</p><p>é um número inteiro.</p><p>III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.</p><p>É verdade que APENAS</p><p>(A)) I e II são sentenças abertas.</p><p>(B) I e III são sentenças abertas.</p><p>(C) II e III são sentenças abertas.</p><p>(D) I é uma sentença aberta.</p><p>(E) II é uma sentença aberta.</p><p>Solução</p><p>I é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo.</p><p>II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não.</p><p>Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição.</p><p>Opção correta A</p><p>30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual:</p><p>a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + y.</p><p>(B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y.</p><p>(C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y.</p><p>(D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y.</p><p>(E) existem x∈A e y∈B tais que x ≥ y.</p><p>Solução ( )para todo x A, existe y B tal que x</p><p>equivalentes de três átomos é:</p><p>a) 16</p><p>b) 32</p><p>c) 64</p><p>d) 128</p><p>e) 256</p><p>55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições</p><p>não equivalentes de n átomos é:</p><p>a) n</p><p>b) 2n</p><p>c) 2n</p><p>d) 22</p><p>n</p><p>e) 22 n</p><p>56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que:</p><p>a) Se 4x .</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>32</p><p>d) Se 2≠y então 4≤x .</p><p>e) Se 2≠y então 4</p><p>c) " 3 2"x y= ∨ ≥</p><p>d) " 2 3"x y≠ ∧ então 3x =</p><p>e) 3x ≠ ou 7y ≠</p><p>60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou</p><p>Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:</p><p>(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.</p><p>(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.</p><p>(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>33</p><p>(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.</p><p>(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.</p><p>61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:</p><p>(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.</p><p>(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.</p><p>(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.</p><p>(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.</p><p>(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.</p><p>62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:</p><p>(A) não sabe matemática e sabe português.</p><p>(B) não sabe matemática e não sabe português.</p><p>(C) sabe matemática ou sabe português.</p><p>(D) sabe matemática e não sabe português.</p><p>(E) sabe matemática ou não sabe português.</p><p>A expressão ( ) ( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de</p><p>predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as</p><p>suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.</p><p>Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.</p><p>63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o</p><p>predicado P(x, y) é interpretado como x</p><p>que ultrapassam as</p><p>fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos</p><p>válidos ou não válidos para argumentos indutivos.</p><p>ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS</p><p>Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos</p><p>argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e</p><p>não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter</p><p>um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir</p><p>exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.</p><p>AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE</p><p>O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do</p><p>antecedente” , (também conhecido como modus ponens).</p><p>Então vejamos:</p><p>Exemplo:</p><p>42)</p><p>Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.</p><p>José foi reprovado no concurso.</p><p>∴ José será demitido do serviço.</p><p>Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:</p><p>Se p, então q.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>37</p><p>p. ∴ q.</p><p>ou</p><p>p q→</p><p>p</p><p>∴ q</p><p>NEGAÇÃO DO CONSEQUENTE</p><p>Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como</p><p>modus tollens).</p><p>Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Esta</p><p>equivalência é chamada de contra-positiva.</p><p>Exemplo:</p><p>43)</p><p>“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então</p><p>ele não me ama”.</p><p>Então vejamos o exemplo do modus tollens.</p><p>Exemplo:</p><p>44)</p><p>• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.</p><p>• Não há inflação ∴Não aumentamos os meios de pagamentos.</p><p>Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:</p><p>Se p, então q.</p><p>Não q. ∴ Não p.</p><p>ou</p><p>p q→</p><p>q¬</p><p>∴ p¬</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>38</p><p>Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmente</p><p>este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas</p><p>indesejáveis.</p><p>Exemplo:</p><p>45)</p><p>João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus</p><p>colegas de trabalho estão torcendo por ele.</p><p>Eis o dilema de João:</p><p>� Ou João passa ou não passa no concurso.</p><p>– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.</p><p>– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. ∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de</p><p>trabalho.</p><p>Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:</p><p>p ou q.</p><p>Se p então r.</p><p>Se q então s. ∴ r ou s</p><p>ou</p><p>p q∨</p><p>p r→</p><p>q s→</p><p>∴ r s∨</p><p>ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS</p><p>Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas</p><p>de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por</p><p>exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as</p><p>premissas não sustentam a conclusão.</p><p>Exemplo:</p><p>46)</p><p>Todos os mamíferos são mortais. ( V )</p><p>Todos os gatos são mortais. ( V )</p><p>∴Todos os gatos são mamíferos. ( V )</p><p>Este argumento tem a forma:</p><p>Todos os A são B</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>39</p><p>Todos os C são B</p><p>∴Todos os C são A</p><p>Podemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não</p><p>sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a</p><p>conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por</p><p>cobra.</p><p>Todos os mamíferos são mortais. ( V )</p><p>Todos os as cobras são mortais. ( V )</p><p>∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F )</p><p>FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTE</p><p>Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido,</p><p>então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. A</p><p>seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. O</p><p>primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de</p><p>“falácia da afirmação do conseqüente”.</p><p>Exemplo:</p><p>47)</p><p>Se ele me ama então ele casa comigo.</p><p>Ele casa comigo. ∴Ele me ama.</p><p>Podemos escrever este argumento como:</p><p>Se p, então q.</p><p>q. ∴ p.</p><p>ou</p><p>p q→</p><p>q</p><p>∴ p</p><p>Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.</p><p>FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTE</p><p>Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do</p><p>antecedente”.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>40</p><p>Exemplo:</p><p>48)</p><p>Se João parar de fumar ele engordará.</p><p>João não parou de fumar. ∴João não engordará.</p><p>Observe que temos a forma:</p><p>Se p, então q.</p><p>Não p. ∴ Não q.</p><p>ou</p><p>p q→</p><p>p¬</p><p>∴ q¬</p><p>Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão</p><p>falsa.</p><p>PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES</p><p>As proposições serão classificadas em:</p><p>� universais</p><p>� particulares</p><p>As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do</p><p>conjunto.</p><p>Exemplo:</p><p>49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.</p><p>Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.</p><p>Exemplo:</p><p>50)“O cão é mamífero”.</p><p>As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte</p><p>do conjunto.</p><p>Exemplo:</p><p>51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.</p><p>PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS</p><p>As proposições também se classificam em:</p><p>� afirmativas</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>41</p><p>� negativas</p><p>No caso de negativa podemos ter:</p><p>1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S</p><p>é P”.</p><p>2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por</p><p>“algum S não é P”.</p><p>No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposição</p><p>categórica na forma típica as proposições dos tipos: “ Todo S é P”, “algum S é P”, “algum</p><p>S não é P” e “nenhum S é P”.</p><p>Então teremos a tabela:</p><p>SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA</p><p>Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento</p><p>formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas</p><p>são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).</p><p>Teremos também três termos:</p><p>� Termo menor – sujeito da conclusão.</p><p>� Termo maior – predicado da conclusão.</p><p>� Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na</p><p>conclusão.</p><p>Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que</p><p>contém o termo menor.</p><p>Exemplo:</p><p>52)</p><p>Todas as mulheres são bonitas.</p><p>Todas as princesas são mulheres. ∴ Todas as princesas são bonitas.</p><p>Termo menor: as princesas</p><p>Termo maior: bonitas</p><p>Termo médio: mulheres</p><p>Premissa menor: todas as princesas são mulheres.</p><p>Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>42</p><p>ALGUMAS REGRAS PARA A VAL IDADE DE UM SILOGISMO:</p><p>1. Todo silogismo deve conter somente três termos;</p><p>2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;</p><p>3. O termo médio não pode</p><p>constar na conclusão;</p><p>4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é</p><p>válido.</p><p>5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;</p><p>6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;</p><p>7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.</p><p>DIAGRAMA DE EULER</p><p>Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>43</p><p>Exemplo:</p><p>53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:</p><p>Todos os A são B</p><p>Todos os C são A</p><p>∴Todos os C são B</p><p>Solução</p><p>Se as duas premissas são verdadeiras teremos:</p><p>Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.</p><p>Portanto o argumento é válido.</p><p>Exemplo:</p><p>54) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:</p><p>Todo A é B</p><p>Todo C é B</p><p>∴Todo C é A</p><p>Solução</p><p>Observe que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumento</p><p>não é válido.</p><p>Exemplo:</p><p>55) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:</p><p>Algum A é B</p><p>Todo B é C</p><p>∴Algum A é C</p><p>Solução</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>44</p><p>Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.</p><p>Portanto o argumento é válido.</p><p>Exemplo:</p><p>55) (FGV) – Considere as seguintes proposições:</p><p>I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”.</p><p>II. “Ser ou não ser, eis a questão”.</p><p>III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais</p><p>belo que o rio que corre pela minha aldeia”.</p><p>É correto então afirmar-se que:</p><p>a)Em I está presente uma tautologia.</p><p>b)Em II está presente uma contradição.</p><p>c)Em III está presente um dilema.</p><p>d) I e II são contradições.</p><p>e) Nenhuma da opções anteriores</p><p>Solução</p><p>Observe que:</p><p>I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é um</p><p>dilema.</p><p>II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia.</p><p>III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo</p><p>que o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição.</p><p>Resposta: E</p><p>Exemplo:</p><p>56) Sejam as declarações:</p><p>Se o governo é bom então não há desemprego.</p><p>Se não há desemprego então não há inflação.</p><p>Ora, se há inflação podemos concluir que:</p><p>a. A inflação não afeta o desemprego.</p><p>b. Pode haver inflação independente do governo.</p><p>c. O governo é bom e há desemprego.</p><p>d. O governo é bom e não há desemprego.</p><p>e. O governo não é bom e há desemprego.</p><p>Solução</p><p>Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>45</p><p>O governo é bom não há desemprego (V)</p><p>Não há desemprego não há inflação (V)</p><p>Há inflação (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Como a terceira premissa é verdadeira temos:</p><p>F</p><p>V</p><p>O governo é bom não há desemprego (V)</p><p>Não há desemprego não há inflação (V)</p><p>Há inflação (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso,</p><p>sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos:</p><p>FF</p><p>V</p><p>O governo é bom não há desemprego (V)</p><p>Não há desemprego não há inflação (V)</p><p>Há inflação (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Conseqüentemente obtemos:</p><p>F</p><p>FF</p><p>V</p><p>O governo é bom não há desemprego (V)</p><p>Não há desemprego não há inflação (V)</p><p>Há inflação (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) é</p><p>falso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logo</p><p>temos:</p><p>F F</p><p>FF</p><p>V</p><p>O governo é bom não há desemprego (V)</p><p>Não há desemprego não há inflação (V)</p><p>Há inflação (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras:</p><p>Há inflação.(V)</p><p>Há desemprego.(V)</p><p>O governo não é bom.(V)</p><p>Resposta: E</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>46</p><p>Exemplo:</p><p>57) Sejam as declarações:</p><p>Se ele me ama então ele casa comigo.</p><p>Se ele casa comigo então não vou trabalhar.</p><p>Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:</p><p>a. Ele é pobre mas me ama.</p><p>b. Ele é rico mas é pão duro.</p><p>c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.</p><p>d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar.</p><p>e. Ele não me ama e não casa comigo.</p><p>Solução</p><p>Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:</p><p>Ele me ama ele casa comigo (V)</p><p>Ele casa comigo não vou trabalhar (V)</p><p>Vou trabalhar (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Como a terceira premissa é verdadeira temos:</p><p>F</p><p>V</p><p>Ele me ama ele casa comigo (V)</p><p>Ele casa comigo não vou trabalhar (V)</p><p>Vou trabalhar (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso,</p><p>sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:</p><p>FF</p><p>V</p><p>Ele me ama ele casa comigo (V)</p><p>Ele casa comigo não vou trabalhar (V)</p><p>Vou trabalhar (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Conseqüentemente obtemos:</p><p>F</p><p>FF</p><p>V</p><p>Ele me ama Ele casa comigo (V)</p><p>Ele casa comigo não vou trabalhar (V)</p><p>Vou trabalhar (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso,</p><p>sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>47</p><p>F F</p><p>FF</p><p>V</p><p>Ele me ama Ele casa comigo (V)</p><p>Ele casa comigo não vou trabalhar (V)</p><p>Vou trabalhar (V)</p><p>→</p><p>→</p><p>Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão</p><p>as conclusões:</p><p>Vou trabalhar.(V)</p><p>Ele não casa comigo.(V)</p><p>Ele não me ama.(V)</p><p>Resposta: E</p><p>Exemplo:</p><p>58) (ESAF) – Das premissas:</p><p>A: “Nenhum herói é covarde”.</p><p>B: “Alguns soldados são covardes”.</p><p>Pode-se corretamente concluir que:</p><p>a)Alguns heróis são soldados</p><p>b)Alguns soldados não são heróis</p><p>c)Nenhum herói é soldado</p><p>d)Alguns soldados são heróis</p><p>e)Nenhum soldado é herói</p><p>Solução</p><p>Vamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e S</p><p>respectivamente. Temos então o seguinte diagrama:</p><p>Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis.</p><p>Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposição</p><p>particular a conclusão será particular.</p><p>Resposta: B</p><p>Exemplo:</p><p>59) (FGV) – Analise o seguinte argumento:</p><p>Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas são</p><p>proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos.</p><p>a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como sua</p><p>conclusão.</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>NOTAS DE AULAS DE LÓGICA</p><p>Professor Joselias – joselias@uol.com.br</p><p>www.concurseiros.org</p><p>48</p><p>b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa.</p><p>c) Mesmo sem saber se as</p>