SN_Parte1_ Conjuntos Nebulosos_2024_01

Prévia do material em texto

<p>Sistemas Nebulosos</p><p>Walmir Matos Caminhas</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRÔNICA</p><p>Breve Revisão de Conjuntos</p><p>Ordinários</p><p>Representação</p><p>• Listagem dos membros</p><p>• Método baseado em regra</p><p>A = {a1, a2, · · · , an}</p><p>A = {x|P (x)}</p><p>FUNÇÃO CARACTERÍSTICA</p><p>l Seja X o conjunto universo e x um</p><p>elemento qualquer de X e seja A um</p><p>subconjunto de X.</p><p>𝜇! 𝑥 = $0	ss𝑥 ∉ 𝐴</p><p>1	ss𝑥 ∈ 𝐴 µA(x) : X ! {0, 1}</p><p>Função Característica</p><p>• Propriedades</p><p>µX(x) = 1 e µ;(x) = 0</p><p>µA(x) : X ! {0, 1}</p><p>X : Conjunto Universo ou Universo de Discurso</p><p>; : Conjunto Vazio</p><p>Função Característica</p><p>A = {1, 2, 5}</p><p>Função Característica</p><p>A = {x|1  x  5}</p><p>Complemento</p><p>Ā = {x|x /2 A}</p><p>A = {x|0  x  4} B = {x|3  x  5}</p><p>Complemento Relativo</p><p>• Conjunto contendo todos os membros de B</p><p>que também não são membros de A.</p><p>B �A = {x|x 2 B and x /2 A}</p><p>União</p><p>A [B = {x|x 2 A ou x 2 B}</p><p>• Pode ser generalizado para n conjuntos</p><p>[</p><p>i2I</p><p>Ai = {x|x 2 Aipara algum i 2 I}</p><p>União</p><p>A = {x|0  x  4} B = {x|3  x  5}</p><p>Interseção</p><p>• Também pode ser generalizado para n conjuntos</p><p>A \B = {x|x 2 A e x 2 B}</p><p>\</p><p>i2I</p><p>Ai = {x|x 2 Aipara todo i 2 I}</p><p>Interseção</p><p>A = {x|0  x  4} B = {x|3  x  5}</p><p>Operadores</p><p>A [B =) µA[B(x) = max[µA(x), µB(x)]</p><p>A \B =) µA\B(x) = min[µA(x), µB(x)]</p><p>µĀ(x) = 1� µA(x)</p><p>Exercício Teórico 1</p><p>• Utilizando a função característica e os</p><p>operadores definidos, prove as propriedades</p><p>dos conjuntos clássicos listadas na tabela a</p><p>anterior.</p><p>Propriedades</p><p>Subconjunto</p><p>• Se todo elemento de A é também um elemento de B</p><p>• Pode ser escrito como</p><p>• Se e</p><p>x 2 A =) x 2 B</p><p>A ✓ B</p><p>A ✓ B B ✓ A</p><p>A = B</p><p>Cardinalidade</p><p>número de elementos de A</p><p>Exemplo:</p><p>|A| =</p><p>A = {1, 2, 5} =) |A| = 3</p><p>Potência</p><p>} = Conjunto de partes (power set)</p><p>A = {1, 2, 5} =) |A| = 3</p><p>}(A) = {;, {1}, {2}, {5}, {1, 2}, {1, 5}, {2, 5}, {1, 2, 5}}</p><p>|}(A)| = 2|A|</p><p>A = {1, 2, 5} =) }(A) = 2|A| = 23 = 8</p><p>Partição</p><p>• Conjuntos A e B são disjuntos se</p><p>• Partição = família de subconjuntos de A</p><p>• Tal que</p><p>A \B = ;</p><p>⇡(A) = {Ai|i 2 I, Ai ✓ A}</p><p>Ai \Aj = ;; 8i, j 2 I, i 6= j</p><p>[</p><p>i2I</p><p>Ai = Ae</p><p>Partição</p><p>U = Conjunto dos Automóveis do Brasil</p><p>Partições</p><p>Convexidade</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>r</p><p>st</p><p>Convexo Não Convexo</p><p>Seja A ✓ ↵}</p><p>↵A = {x|µA(x) � ↵}</p><p>para ↵ 2 [0, 1]</p><p>Conjunto α-cut</p><p>• Exemplo</p><p>Conjunto α-cut</p><p>α</p><p>α=0</p><p>α=1</p><p>Exercício</p><p>• Descreva analiticamente os conjuntos α-cut e</p><p>o α-cut forte do conjunto nebuloso A como</p><p>função de α</p><p>Altura</p><p>• Maior valor de pertinência obtido por qualquer</p><p>elemento do conjunto</p><p>• Conjunto é definido como normal se</p><p>h(A) = 1 or ↵A 6= ; α=1</p><p>Conjunto Suporte</p><p>• Sub-conjuntos dos pontos que possuem valor</p><p>de pertinência maior que 0</p><p>Conjunto Nebuloso Singleton</p><p>• Conjunto cujo suporte é um único ponto em</p><p>X, com valor de pertinência igual a 1</p><p>Convexidade</p><p>• Um conjunto nebuloso é convexo se e</p><p>somente se</p><p>• Caso todos os cojuntos α-cuts sejam convexos,</p><p>o conjunto é convexo</p><p>µA(�x1 + (1� �)x2) � min(µA(x1), µA(x2))</p><p>Convexidade</p><p>Convexidade</p><p>Subconjunto</p><p>• Dados dois conjuntos nebulosos A e B</p><p>A ✓ B () µA(x)  µB(x)</p><p>Cardinalidade</p><p>• A cardinalidade de um conjunto nebuloso é</p><p>definida como:</p><p>|A| =</p><p>X</p><p>x2X</p><p>µA(x)</p><p>Funções de Pertinência mais utilizadas</p><p>Triangular</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>x = (0:0.2:10)';</p><p>y1 = trimf(x, [3 4 5]);</p><p>y2 = trimf(x, [2 4 7]);</p><p>y3 = trimf(x, [1 4 9]);</p><p>subplot(211), plot(x, [y1 y2 y3]);</p><p>y1 = trimf(x, [2 3 5]);</p><p>y2 = trimf(x, [3 4 7]);</p><p>y3 = trimf(x, [4 5 9]);</p><p>subplot(212), plot(x, [y1 y2 y3]);</p><p>set(gcf, 'name', 'trimf', 'numbertitle', 'off');</p><p>÷÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>çç</p><p>è</p><p>æ</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>= 0,,minmax]),,[,(</p><p>bc</p><p>xc</p><p>ab</p><p>axcbaxtrimf</p><p>Trapezoidal</p><p>x = (0:0.1:10)';</p><p>y1 = trapmf(x, [2 3 7 9]);</p><p>y2 = trapmf(x, [3 4 6 8]);</p><p>y3 = trapmf(x, [4 5 5 7]);</p><p>y4 = trapmf(x, [5 6 4 6]);</p><p>plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>set(gcf, 'name', 'trapmf','numbertitle', 'off');</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>0.3</p><p>0.4</p><p>0.5</p><p>0.6</p><p>0.7</p><p>0.8</p><p>0.9</p><p>1</p><p>µ(x; a, b, c, d) =</p><p>8</p><p>>>>>>>>>>>>:</p><p>0, x  a</p><p>x�a</p><p>b�a , a  x  b</p><p>1, b  x  c</p><p>c�x</p><p>c�b , c  x  d</p><p>0, c  x</p><p>÷÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>çç</p><p>è</p><p>æ</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>= 0,,1,minmax]),,,[,(</p><p>cd</p><p>xd</p><p>ab</p><p>axdcbaxtrapmf</p><p>Gaussiana</p><p>µ(x; c,�) = e�</p><p>1</p><p>2 (</p><p>x�c</p><p>� )2</p><p>x = (0:0.1:10)';</p><p>y1 = gaussmf(x, [0.5 5]);</p><p>y2 = gaussmf(x, [1 5]);</p><p>y3 = gaussmf(x, [2 5]);</p><p>y4 = gaussmf(x, [3 5]);</p><p>subplot(211); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>y1 = gaussmf(x, [1 2]);</p><p>y2 = gaussmf(x, [1 4]);</p><p>y3 = gaussmf(x, [1 6]);</p><p>y4 = gaussmf(x, [1 8]);</p><p>subplot(212); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>set(gcf, 'name', 'gaussmf', 'numbertitle','off');</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>Sino Generalizada</p><p>µ(x; a, b, c) =</p><p>1</p><p>1 +</p><p>��x�c</p><p>a</p><p>��2b</p><p>x = (0:0.1:10)';</p><p>y1 = gbellmf(x, [1 2 5]);</p><p>y2 = gbellmf(x, [2 4 5]);</p><p>y3 = gbellmf(x, [3 6 5]);</p><p>y4 = gbellmf(x, [4 8 5]);</p><p>subplot(211); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>y1 = gbellmf(x, [2 1 5]);</p><p>y2 = gbellmf(x, [2 2 5]);</p><p>y3 = gbellmf(x, [2 4 5]);</p><p>y4 = gbellmf(x, [2 8 5]);</p><p>subplot(212); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>set(gcf, 'name', 'gbellmf', 'numbertitle', 'off');</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>Sigmoidal</p><p>µ(x; a, c) =</p><p>1</p><p>1 + e�a(x�c)</p><p>x = (0:0.2:10)';</p><p>y1 = sigmf(x, [-1 5]);</p><p>y2 = sigmf(x, [-3 5]);</p><p>y3 = sigmf(x, [4 5]);</p><p>y4 = sigmf(x, [8 5]);</p><p>subplot(211); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>y1 = sigmf(x, [5 2]);</p><p>y2 = sigmf(x, [5 4]);</p><p>y3 = sigmf(x, [5 6]);</p><p>y4 = sigmf(x, [5 8]);</p><p>subplot(212); plot(x, [y1 y2 y3 y4]);</p><p>set(gcf, 'name', 'sigmf', 'numbertitle', 'off');</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>Operadores de Zadeh</p><p>• Complemento</p><p>• União</p><p>• Interseção</p><p>Ā = X �A () µĀ(x) = 1� µA(x)</p><p>A [B () µA[B(x) = max(µA(x), µB(x))</p><p>A \B () µA\B(x) = min(µA(x), µB(x))</p><p>Exercício</p><p>• Utilizando os operadores clássicos de união,</p><p>interseção e complemento, verifique se as</p><p>seguintes propriedades são válidas para</p><p>conjuntos nebulosos</p><p>¯̄A = A</p><p>A [ (A \B) = A</p><p>A [B = Ā \ B̄</p><p>Propriedades do max e min</p><p>max(f1(x), f2(x)) =</p><p>1</p><p>2</p><p>[f1(x) + f2(x) + |f1(x)� f2(x)|]</p><p>max(f1(x), f2(x)) =</p><p>1</p><p>2</p><p>[f1(x) + f2(x)� |f1(x)� f2(x)|]min</p><p>Operadores Nebulosos</p><p>• Operadores de Zadeh</p><p>– Operadores Padrão</p><p>– Não são os únicos operadores possíveis</p><p>• Outros operadores devem atender a</p><p>requirementos específicos de cada operação</p><p>• Operadores de Interseção = t-normas</p><p>• Operadores de União = t-conormas ou s-normas</p><p>Complemento Nebuloso</p><p>• Função que calcula o</p><p>complemento de uma função de pertinência:</p><p>• Exemplo:</p><p>N : [0, 1] ! [0, 1]</p><p>µĀ(x) = N(µA(x))</p><p>µĀ(x) = 1� µA(x)</p><p>Exemplo</p><p>• Conjunto Idosos = complemento Jovem</p><p>Complemento Nebuloso</p><p>N(0) = 1 e N(1) = 0</p><p>N(N(a)) = a</p><p>Axioma n1:</p><p>Axioma n2:</p><p>Axioma n3:</p><p>Axioma n4:</p><p>N(a) é cont́ınua (opcional)</p><p>(opcional)</p><p>N(a) � N(b) se a  b</p><p>Exemplos de Operadores de Complemento</p><p>N(a) = 1� a</p><p>N(a) =</p><p>1� a</p><p>1 + sa</p><p>N(a) = (1� aw)1/w</p><p>Zadeh</p><p>Sugeno</p><p>Yager:</p><p>s 2 (�1,1)</p><p>w 2 (0,1)</p><p>Exemplos de Operadores de Complemento</p><p>Exercício</p><p>Prove que o operador de complemento de</p><p>Sugeno atende aos axiomas n1, n2 e n4</p><p>N(0) = 1 e N(1) = 0</p><p>N(N(a)) = a</p><p>N(a) � N(b) se a  b</p><p>N(a) =</p><p>1� a</p><p>1 + sa</p><p>s 2 (�1,1)</p><p>Interseção Nebulosa</p><p>• Função que agrega duas</p><p>funções de pertinência:</p><p>• Geralmente denominada t-norma (norma</p><p>triangular)</p><p>T : [0, 1]⇥ [0, 1] ! [0, 1]</p><p>µA\B(x) = T (µA(x), µB(x))</p><p>Interseção Nebulosa</p><p>Axioma t1:</p><p>Axioma t2:</p><p>Axioma t3:</p><p>Axioma t4:</p><p>T (0, 0) = 0, T (a, 1) = T (1, a) = a</p><p>T (a, b) = T (b, a)</p><p>T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c)</p><p>T (a, b)  T (a, d) se b  d</p><p>Interseção Nebulosa</p><p>Axioma t5:</p><p>Axioma t6:</p><p>(opcional)</p><p>(opcional)</p><p>Uma t-norma atende os axiomas t1-t4</p><p>T (a) é cont́ınua</p><p>T (a, a) = a</p><p>Exemplos de t-normas</p><p>Mínimo (t1-t6)</p><p>Produto (t1-t5)</p><p>Produto Limitado (t1-t5)</p><p>Produto Drástico (t1-t4)</p><p>T (a, b) = min(a, b)</p><p>T (a, b) = ab</p><p>T (a, b) = max(0, a+ b� 1)</p><p>T (a, b) =</p><p>8</p><p>>:</p><p>a, se b = 1</p><p>b, se a = 1</p><p>a, caso contrario0</p><p>Exercício</p><p>Prove que o mínimo atende aos axiomas t1-t4</p><p>T (0, 0) = 0, T (a, 1) = T (1, a) = a</p><p>T (a, b) = T (b, a)</p><p>T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c)</p><p>T (a, b) = min(a, b)</p><p>T (a, b)  T (a, d) se b  d</p><p>Exemplos de t-normas</p><p>Mínimo Produto</p><p>Exemplos de t-normas</p><p>Produto Limitado Produto Drástico</p><p>União Nebulosa</p><p>• Função que agrega</p><p>duas funções de pertinência:</p><p>• Geralmente denominada s-norma (ou t-</p><p>conorma)</p><p>S : [0, 1]⇥ [0, 1] ! [0, 1]</p><p>µA[B(x) = S(µA(x), µB(x))</p><p>União Nebulosa</p><p>Axioma s1:</p><p>Axioma s2:</p><p>Axioma s3:</p><p>Axioma s4:</p><p>S(0, 0) = 0 S(a, 0) = S(0, a) = a</p><p>S(a, b) = S(b, a)</p><p>S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)</p><p>S(a, b)  S(a, d) se b  d</p><p>União Nebulosa</p><p>Axioma s5:</p><p>Axioma s6:</p><p>S(a) é cont́ınua</p><p>S(a, a) = a</p><p>(opcional)</p><p>(opcional)</p><p>Uma s-norma deve atender os axiomas s1 a s4</p><p>Exemplos de s-normas</p><p>Máximo (s1-s6)</p><p>Soma Probabilística (s1-s5)</p><p>Soma Limitada (s1-s5)</p><p>Soma Drástica (s1-s4)</p><p>S(a, b) = max(a, b)</p><p>S(a, b) = a+ b� ab</p><p>S(a, b) = min(1, a+ b)</p><p>S(a, b) =</p><p>8</p><p>>:</p><p>a, se b = 0</p><p>b, se a = 0</p><p>1, caso contrario</p><p>Exercício</p><p>Prove que a soma probabilística atende aos</p><p>axiomas s1-s4</p><p>S(0, 0) = 0 S(a, 0) = S(0, a) = a</p><p>S(a, b) = S(b, a)</p><p>S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)</p><p>S(a, b) = a+ b� ab</p><p>S(a, b)  S(a, d) se b  d</p><p>Exemplos de s-normas</p><p>Máximo Soma Probabilística</p><p>Exemplos de s-normas</p><p>Soma Limitada Soma Drástica</p><p>Leis de De-Morgan</p><p>• Uma t-norma T e uma s-norma S são duais em</p><p>relação ao complemento nebuloso N se e</p><p>somente se</p><p>Exercício Teórico</p><p>1. Prove que o operador de complemento de Sugeno</p><p>atende aos axiomas n1, n2 e n4</p><p>1. Prove que o mínimo atende aos axiomas t1-t4</p><p>1. Prove que a soma probabilística atende aos axiomas</p><p>s1-s4</p><p>1. Prove que a soma probabilística e o produto são</p><p>operadores duais em relação ao operador de</p><p>complemento de Zadeh</p><p>Exercício Computacional 1</p><p>1. Complemento nebuloso</p><p>Implemente os operadores de complemento nebuloso: Zadeh, Yager e Sugeno. Escolha uma função de pertinência e efetue as operações.</p><p>Plote da função de pertinência e dos complementos em relação “x”. Plote os gráficos dos complementos em relação à função escolhida.</p><p>2. União nebulosa</p><p>Implemente os operadores de união nebulosa: máximo, soma probabilística, soma limitada e soma drástica. Escolha duas funções de</p><p>pertinência e efetue as operações. Plotar os gráficos da função e dos operadores em relação a "x”.</p><p>3. Interseção nebulosa</p><p>Implemente os interseção nebulosa: mínimo, produto algébrico, produto limitado e produto drástico.</p><p>Escolha duas funções de pertinência e efetue as operações. Plotar os gráficos da função e dos operadores em relação a “x”</p>