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<p>Para abra com Grupos, Corpos e Teoria de Galois PAULO A. MARTIN IME - Instituto de Matemática e Estatística Editora Livraria da Física USP - Universidade de São Paulo São Paulo - 2010</p><p>Copyright 2010 Editora Livraria da Física 1a. Edição Editor: JOSÉ ROBERTO MARINHO Projeto gráfico e diagramação: CASA EDITORIAL MALUHY & Co. Capa: TYPOGRAPHY Impressão: GRÁFICA PAYM Texto em conformidade com as novas regras ortográficas do Acordo da Língua Portuguesa. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Martin, Paulo A. Grupos, corpos e teoria de galois / Paulo A. Martin São Paulo : Editora Livraria da Física, 2010. Bibliografia. ISBN 978-85-7861-065-4 1. Física matemática 2. Teoria de Galois 3. Teoria de grupos Título 10-02349 CDD-512.2 Índices para catálogo sistemático: 1. Teoria de Galois : Grupos : : Matemática 512.2 ISBN 978-85-7861-065-4 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n. 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Impresso no Brasil Printed in Brazil Livraria da Editora Livraria da Física Instituto de Tel./Fax: / 3936-3413 Matemática e Estatística Editora USP</p><p>PREFÁCIO Este livro, que agora apresentamos ao público, é o desenvolvimento de umas notas de aula de um curso de Álgebra III que ministramos no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, em Em 1996, um curso de mestrado nos permitiu a retomada daquelas notas de aula, e elas se transformaram na primeira versão deste livro. Finalmente, em 2007, mais dois cursos de álgebra nos deram ensejo para o desenvolvimento de um projeto mais ambicioso: um livro contendo uma larga introdução à Teoria dos Grupos, à Teoria dos Corpos e à Teoria de Galois. O projeto inicial tinha por meta principal o Teorema Fundamental da Teoria de Galois e suas consequências; tudo havia sido planejado para gravitar em torno desse objetivo e, de certa forma, essa gema preciosa que é Teoria de Galois con- tinua sendo um centro de convergência dos assuntos tratados neste livro. Como diz Artin no início de um artigo Depuis ma jeunesse mathématique, j'ai été sous l'influence d'un charme, celui de la théorie classique de Galois. Ce charme m'a forcé d'y revenir toujours et d'essayer de trouver des routes nouvelles pour les demonstrations de ces théorèmes fondamentaux. Esse "charme", que é a teoria de Galois, encanta os matemáticos há mais de um século, e continua vivo, não apenas nas tentativas novas de redemonstrar os seus teoremas fundamentais, mas também na tentativa original de resolver os inúmeros problemas que ainda permanecem sem resposta e que como dizia Hilbert são a prova da vitalidade de uma área da matemática. Porém, se a Teoria de Galois é o núcleo motivador e o centro de convergência das teorias aqui desenvolvidas, também é verdade que cada uma das três partes deste livro se desenvolveu de modo a manifestar uma relativa independência: por exemplo, ao conteúdo inicial da parte de grupos contendo os teoremas de as Sylow, os teoremas básicos de grupos abelianos finitos e finitamente gerados, 1. Artin, Collected Papers, Remarques concernant la théorie de Galois.</p><p>IV GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin noções acrescentamos de produto direto e como semidireto, grupos de permutações e grupos tópicos grupos livres (com uma prova do Banach-Tarski), extensões de grupos e cohomologia (à moda antiga, Paradoxo de S. Mac Lane). Na parte de corpos, acrescentamos um pouco de seguindo extensões transcendentes e corpos formalmente reais. Já na parte corpos da Galois acrescentamos um capítulo com um algoritmo para a determinação Teoria de grupo de Galois de um polinômio mônico com coeficientes inteiros, do introdução ao Problema Inverso da Teoria de Galois e um capítulo sobre uma o breve dos Números Mesmo aqueles tópicos que constavam da Corpo versão deste livro sofreram acréscimos substanciais. Uma diferença significativa primeira em relação à primeira versão é que a parte relativa à teoria clássica das ções algébricas foi inteiramente suprimida e deve ser objeto de uma publicação equa- separada. Este livro não contém muitos resultados originais; aqueles que conhecem o assunto reconhecerão os inúmeros empréstimos que fizemos aos muitos livros sobre teoria de Galois e teoria dos grupos. Desde já enumeramos os principais livros nos quais nos inspiramos: E. Artin, Galois Theory, University of Notre Dame Press, Sixth Printing, 1971 S. Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, Revised Third Edition, 2002. N. Jacobson, Basic Algebra I, II, Second Edition, Freeman, 1985. J. P. Tignol, Galois Theory of Equations, Longman, 1988. J. Rotman, An Introduction to the theory of Groups, Springer Verlag, 1999. D. L. Johnson, Presentation of Groups, London Mathematical Society, Student Texts 15, Cambridge University Press, 1997. Este livro se destina a alunos que cursaram alguma disciplina básica na área de álgebra e estão familiarizados com anéis, ideais, quocientes, polinômios, crité- rios de irredutibilidade (como de Eisenstein), divisibilidade euclidiana, lema de Gauss, teorema de Bézout, etc... Na seção sobre a teoria de Galois em dimensão infinita, o aluno terá que possuir alguns conhecimentos (básicos) sobre espaços topológicos. Aproveitamos a oportunidade para agradecer (in memoriam) à professora Nair A. Fernandes uma sugestão que simplificou a demonstração do teorema de Sylow; ao professor Daniel Tausk a elegante prova de que o grupo de Galois de um</p><p>PREPÁCIO compositum de extensões galoisianas é um produto fibrado, ao professor Raul Ferraz as correções e sugestões que ajudaram a melhorar o capítulo sobre grupos livres. ao aluno Danilo Elias Castro, por permititir a utilização das figuras do seu trabalho de formatura e pela ajuda com o Por fim, quero agradecer também ao professor César Polcino que, em novembro do ano passado, me parou no corredor e disse (embora de modo mais elegante), mais ou menos o seguinte: - Como é que é; quando, afinal, vai sair o seu livro? Se não fosse por ele eu ainda estaria interminavelmente corrigindo e recor- rigindo, ampliando e refazendo, cortando e acrescentando. O leitor benévolo poderá me enviar, para uma possível futura edição, correções e sugestões; por ora basta! Como disse Borges, Publicamos para não passar a vida a corrigir rascunhos. Quer dizer, a gente publica um livro para livrar-se dele. PAULO AGOZZINI MARTIN</p><p>SUMÁRIO Parte I. Grupos Capítulo 1 - Noções gerais, 3 1 - GRUPOS, 3 2 - SUBGRUPOS, 8 3 - COCLASSES, 11 4- - GRUPOS QUOCIENTES, 15 5 - HOMOMORFISMOS, 18 EXERCÍCIOS, 25 Capítulo 2 - Ações de grupos, 35 1 - AÇÕES, 35 2 - AÇÕES TRANSITIVAS, 39 3 - REPRESENTAÇÃO POR PERMUTAÇÕES, 42 4 - o LEMA DE BURNSIDE E TEOREMA DE JORDAN, 45 48 Capítulo 3 - Os Teoremas de Sylow, 53 1 - 54 2 - Os TEOREMAS DE SYLOW, 58 61 Capítulo 4 - Produtos, 65 1 - o PRODUTO DIRETO, 65 2 - PRODUTO SEMIDIRETO, 69 3 - - SEQUÊNCIAS EXATAS CURTAS, 73 4-0 - GRUPO DOS AUTOMORFISMOS DE G, 75 5 - EXEMPLOS DE PRODUTOS SEMIDIRETOS, 77 EXERCÍCIOS, 79</p><p>VIII GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin Capítulo 5 - Grupos livres, 83 I - GRUPOS LIVRES, 83 2 - O TEOREMA DE 91 3 - - PRODUTOS LIVRES, 96 4 - PARADOXO DE BANACH-TARSKI, 98 EXERCÍCIOS, 108 Capítulo 6 Extensões de grupos, 111 - ANATOMIA DE UMA EXTENSÃO, 117 2 - GRUPOS DE COHOMOLOGIA, 126 3 - EXTENSÕES E GRUPOS DE COHOMOLOGIA, 131 4 - ALGUMAS APLICAÇÕES, 137 146 Capítulo 7 - Grupos abelianos, 151 1 - GRUPOS ABELIANOS FINITOS, 151 2 - GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GERADOS, 155 3 - - A ESTRUTURA DE (Z/nZ)*, 159 EXERCÍCIOS, 166 Capítulo 8 - Grupos de permutações, 169 1 - GRUPO 169 2 - O GRUPO ALTERNADO An., 171 3 - CLASSES DE 172 4 - An É UM GRUPO SIMPLES PARA n 5., 177 5 - CRITÉRIOS DE NÃO SIMPLICIDADE, 180 EXERCÍCIOS, 195 Capítulo 9 - Grupos solúveis, 199 1 - TEOREMA DE 199 2 - GRUPOS 204 3 - UMA GENERALIZAÇÃO DOS TEOREMAS DE SYLOW, 206 209 Capítulo 10 - Classificação de alguns grupos de ordem baixa, 211 1 - GRUPOS DE ORDEM 8, 212 2 - GRUPOS DE ORDEM 12, 215 EXERCÍCIOS, 216</p><p>IX Parte II. Corpos Capítulo 11 - Extensões Algébricas, 221 1- - GENERALIDADES, 221 2 - EXTENSÕES DE CORPOS, 222 3 - o FECHO ALGÉBRICO, 228 4 - EXTENSÕES DE MORFISMOS, 232 5 - CORPOS DE DECOMPOSIÇÃO, 234 6 - EXTENSÕES SEPARÁVEIS, 237 7- - ELEMENTO PRIMITIVO, 242 Capítulo 12 - Corpos finitos, 245 Capítulo 13 - Extensões transcendentes, 249 EXERCÍCIOS, 254 Parte III. Teoria de Galois Capítulo 14 Teoria de Galois, 261 1 - o TEOREMA FUNDAMENTAL, 261 2 - o TEOREMA DA BASE NORMAL, 277 3 - TEORIA DE GALOIS EM DIMENSÃO INFINITA, 283 EXERCÍCIOS, 287 Capítulo 15 - grupo de Galois de um polinômio, 291 1 - POLINÔMIOS SIMÉTRICOS, 291 2 - GRUPO DE GALOIS DA EQUAÇÃO GERAL DE GRAU n, 296 3 - POLINÔMIOS DE GRAU 4, 297 4 - GENERALIZAÇÕES, 306 5 - - POLINÔMIOS COM GRUPO DE GALOIS 312 6 - REDUÇÃO MOD p, 314 325 Capítulo 16 Um algoritmo para a determinação de Gal(f), 333 1 - o PROGRAMA DE TSCHIRNHAUSEN, 333 2 - 334 3 - ALGORITMO, 341 4 1 POLINÔMIOS DE GRAU 3 E 4, 342 5 - POLINÔMIOS DE GRAU 5, 346 351</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin Capítulo 17 - Extensões ciclotômicas, 353 1 - CORPOS 353 2 - EXTENSÕES DE KUMMER, 360 Capítulo 18 - Solubilidade por radicais, 365 1 - CRITÉRIO DE SOLUBILIDADE POR RADICAIS, 365 2 - SOLUBILIDADE POR RADICAIS REAIS, 370 3 - SOLUBILIDADE POR RADICAIS DAS RAÍZES DA UNIDADE, 372 4 - EQUAÇÕES DE GRAU PRIMO p, 378 EXERCÍCIOS, 384 Capítulo 19 - Corpos formalmente reais, 387 1 - CORPOS FORMALMENTE REAIS, 387 2 - CORPOS REAIS FECHADOS, 393 Capítulo 20 - Construtibilidade com régua e compasso, 401 Capítulo 21 - corpo dos números elementares, 411 Capítulo 22 - problema inverso da Teoria de Galois, 417 1 - SIMPLES, 417 2 - O TEOREMA DE HILBERT E PROGRAMA DE NOETHER, 419 Índice remissivo, 427</p><p>PARTE I Grupos</p><p>1 GERAIS Qu'est-ce que c'est qu'un groupe? Les algebristes nous enseignent un ensamble muni de deux operations. avec une pile d'axiomes qu'on oublie V.I. ARNOLD 1. Grupos DEFINIÇÃO I Um grupo consiste num conjunto não vazio G munido de uma operação binária G, denotada simplesmente que satisfaz os seguintes axiomas: (G1) tal que a = a, G. (G2) G, G tal que b.a=e. (G3) O primeiro axioma diz que a operação é associativa, o segundo axioma ga- rante a existência de uma identidade e o terceiro axioma diz que todo elemento possui um Vamos simplificar ainda mais a notação e escrever ab em vez de a.b (que, por sua vez, já é simplificação de Alguns grupos possuem uma propriedade adicional, a saber: a operação bi- nária é comutativa. Isso significa que ab = ba para quaisquer a, G. É comum, nesse caso, o emprego da notação aditiva para a operação binária. Na notação aditiva a identidade e é usualmente deno- tada por 0 e chamada de elemento neutro; o inverso de a é chamado de oposto de a, e denotado por notação usada na definição acima é chamada de notação multiplicativa.</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 4 O axioma da associatividade garante que, dados ordenadamente três elemen. tos de um grupo G, podemos inserir parêntesis de qualquer maneira (no existem apenas duas maneiras de e obter mesmo resultado ao caso, tiplicá-los. Porém, o que ocorre se tivermos mais do que três elementos? mul- exemplo, se formam uma lista ordenada de quatro elmentos de Por G, podemos inserir parênteses de várias maneiras: Será que, ao multiplicá-los, obtemos o mesmo resultado? LEMA 1.1 (Associatividade generalizada) Seja uma lista ordenada com n > 3 elementos de um grupo G. Então podemos inserir parêntesis no produto do modo que quisermos, sem alterar o resultado. PROVA: Vamos provar por indução em n. Para lema se reduz ao axioma (G1) da definição de grupo. Seja n > 3 e suponhamos que o resultado seja válido para qualquer lista com menos do que n elementos. Suponhamos que o produto tenha sido feito de modo a resultar num produto final de dois fatores onde os parêntesis intermediários já foram retirados, em virtude da hipótese de indução. Seja um outro resultado final de dois fatores, advindo de outra distribuição de parên- teses. Podemos supor que r S. Se r = S não há nada a provar. Se podemos escrever: = = Isso termina a prova do lema.</p><p>CAPÍTULO 1 EXEMPLOS DE GRUPOS 5 com 1) o grupo a operação aditivo binária de um (x,y) corpo K. Seja K um qualquer. Tomamos grupo por y (a soma do corpo K). Denotaremos esse K, 2) o grupo multiplicativo de um corpo K. Tomamos (o elementos não nulos de um corpo K) com a operação binária, (x,y) conjunto dos multiplicação de K). Denotaremos esse grupo por xy (a 3) grupo geral linear Tomamos G = o conjunto das nxn invertíveis com entradas num corpo K, munido da operação binária matrizes que é a multiplicação usual de matrizes (A,B) I AB. 4) A circunferência unitária. Tomamos o conjunto dos números comple- XOS de módulo 1, com a operação que é o produto usual de números complexos. 5) o grupo das permutações de um conjunto X. Tomamos G = G(X), o conjunto de todas as funções bijetoras : X - X, munido da operação de composição de funções. Então G(X) é um grupo, chamado o grupo das permutações de X. Se X for um conjunto finito com n elementos, denotamos G(X) simplesmente por Gn (também chamado de o grupo simétrico em n elementos). Se X = um elemento f de é uma função bijetora f : X - X, que pode ser descrita simplesmente declarando-se os valores que assume em cada inteiro de X: f(2) = a2, Alternativamente, podemos descrever essa permutação f por uma tabela: a a2 ... aj j n Isso facilita a manipulação do produto em Assim, por exemplo, podemos listar todas as permutações em 1 1 1 3 1 2 3 2 1 3 , 2 1 3 1 1. A ceito podem, neste momento, substituir K pelo conjunto dos números definição de corpo será dada no Capítulo 11. Aqueles que não estão familiarizados racionais, ou com pelo conjunto esse con- R dos números reais ou pelo conjunto C dos números complexos.</p><p>6 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Martin Paulo A. 6) Sejam V um K-espaço vetorial e G = munido da soma de vetores de V Então G é um grupo, chamado o grupo aditivo de V. 7) conjunto G = dos números reais positivos, munido da multiplicação usual dos números reais. 8) Seja (e,e) G = {e} um conjunto unitário munido da operação um grupo, chamado o grupo trivial, e denotado {el. 9) conjunto G = dos números inteiros, munido da adição 10) grupo ortogonal. Seja G o conjunto das matrizes quadradas A, de ordem com entradas reais, tais que AA' = (onde A' é a transposta da matriz a matriz identidade). Então G é um grupo, com a multiplicação usual de Esse grupo é denotado O(n,R) e é chamado grupo ortogonal. O próximo lema apresenta algumas das primeiras propriedades dos grupos, como a propriedade do cancelamento e a unicidade do elemento neutro e da inversa: LEMA 1.2 Sejam a, b, elementos quaisquer de um grupo G, cuja identidade ée. Valem as propriedades: (a) Se ab = ac então (b) Se aa = a então a=e. (c) Se ba = e então ab = e. (d) (e) O elemento G é único verificando (G2). (f) Dado G existe um único be G verificando (G3). Seja G tal que qa = e. Então = e, portanto, ou seja, eb = ec, o que implica b = Isso prova (a) e (b). Para provar (c), seja Z = ab. Então = = ab e assim, pelo item (b), Para item (e), suponhamos que exista outro ele- mento e' E G verificando e' a = a,</p><p>CAPÍTULO GERAIS 7 Então, em particular, por (b), Para o item (d), tomamos verificando qa = e. Então pelo item (c). Finalmente, se ba = ca = e então = = prova (f) e termina a prova do lema. OBSERVAÇÕES: 1) Nos exemplos de grupos dados acima, dizer, mais precisamente, que é um grupo, em vez de G é um grupo. Entretanto, sempre que a opera- ção binária ficar clara, vamos omiti-la. 2) Neste livro, usaremos preferencialmente a notação multiplicativa para a opera- ção binária de um grupo genérico. Entretanto, para maior comodidade do leitor, é preferível manter a notação aditiva naqueles grupos onde ela é tradicional- mente empregada, como no caso dos exemplos 1) e 9). 3) o item (e) do lema acima garante que a identidade e de um grupo é única, e o item (f) garante que o inverso de um elemento a também é único. Ele será denotado por quando a operação de grupo estiver em notação multiplicativa, e por a, quando a operação de grupo estiver em notação aditiva. 4) Se x, y E G são dois elementos tais que xy = yx, dizemos que eles comutam. Um grupo onde dois quaisquer elementos comutam é chamado de grupo comu- tativo ou grupo abeliano. Nos nossos exemplos, 1), 2), 4), 6), 8) e 9) são grupos abelianos. Ao lidarmos com os elementos de um grupo G é conveniente definirmos as potências de um elemento a E G, assim: (1) (2) Se E Z, n 1, então = an-1 a, (3) então a-" É um exercício simples provar o seguinte lema: LEMA 1.3 Se Z G então: (2)</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS - Paulo A. Martin 8 2. Subgrupos Um subconjunto H de um grupo G é dito um subgrupo de G se verificar: (S1) Hé não vazio. (S2) H, temos ab H. (S3) H, temos Se denotarmos por a operação binária que dá a G sua estrutura de grupo, a condição (S2) diz que podemos considerar a restrição H H - que, evidentemente, é uma operação binária em H. A condição (S1) garante que existe algum H, e, por ou seja, novamente por (S2), É fácil ver que H, munido da restrição da operação de G, satisfaz os axiomas de grupo. Usaremos a notação H para denotar que H é um de G. EXEMPLOS DE SUBGRUPOS 1) 2) 3) 4) Os subgrupos óbvios GeG</p><p>CAPÍTULO 1 - 9 por S, denotado (S), por: Se S é um subconjunto não vazio de um grupo G, definimos o subgrupo gerado Assim, (S) é o menor subgrupo de G que contém o subconjunto S. o lema acima garante que (S) é um subgrupo de G. Os seus elementos podem ser descritos explicitamente: LEMA 1.5 Se um subconjunto não vazio de um grupo G, então : PROVA: Na igualdade do enunciado, o subconjunto do lado direito é um subgrupo que contém S, e, portanto, contém (S). A inclusão oposta é clara. Um caso particular importante: PROPOSIÇÃO 1.1 Seja a um elemento de um grupo G. Então: (1) (a) = (2) Se am = e, para certo forem distintos, então (a) = Nesse caso, a" = se, e somente se, n p mod m, de onde = e se, e somente, se m PROVA: (1) é simplesmente o Lema 1.5 no caso particular em que S = Para provar (2), observe que, como = e, temos que = pela unicidade do Assim, basta mostrar que todas as potências positivas estão em Se k m, a divisão euclidiana fornece k = qm + r com de onde = = = Portanto, = Se a" = (podemos supor que então an-p = e, e, por hipótese, A divisão euclidiana fornece com m, obtemos ou seja, n III p mod m. Isso termina a prova da proposição.</p><p>10 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin Um subgrupo de G da forma (a) é chamado um subgrupo cíclico de Se G = dizemos que G é um grupo cíclico. Um grupo G é dito um grupo finito (g) como conjunto, for um conjunto finito. Nesse caso, o número de seus G, se elementos é denotado |G|, e chamado de a ordem de G. Dizemos que um elemento um elemento de ordem finita se (a) for um grupo finito. Nesse caso, o número é chamado de a ordem de a, e denotado Em vista da proposição acima, se a E G for um elemento de ordem finita, é o menor inteiro m > 1 tal que = e. EXEMPLOS DE GRUPOS CÍCLICOS 1) Z, o grupo dos números inteiros, é um grupo cíclico infinito: = 1,2,...). Ele pode ser gerado por a = 1 ou por 2) O grupo é um grupo infinito que possui subgrupos cíclicos finitos de todas as ordens: para cada n 1, consideremos o subgrupo formado pelas raízes n-ésimas da unidade, as raízes, em da equação 3) O subgrupo de GL3 (R) gerado pela matriz abaixo, 1 010 é um grupo cíclico de ordem 3. PROPOSIÇÃO 1.2 Um grupo não trivial G que só possui como subgrupos os subgrupos triviais, é um grupo finito cíclico cuja ordem é um número primo. PROVA: Se g E G, com g # e, então, por hipótese, G = (g), que prova que G é cíclico. Se G não fosse finito, então H = (g2) seria um subgrupo não trivial de G; portanto, G é finito. Se |G| = k = com pondo = então = e com 2 m pela Proposição 1.1. Como isso é impossível, k é primo. Mais adiante, veremos que a recíproca dessa proposição é verdadeira, como consequência do teorema de Lagrange.</p><p>CAPÍTULO 1 - GERAIS 11 3. Coclasses Consideremos inicialmente o problema de classificar todas as progressões arit- méticas (duplamente infinitas) de números inteiros, com razão 5. Podemos diatamente listar todas elas: -10, ...) -9, -4, 1, 6, -8, -3, 2, 7, 12, -7, -6, -1,4,9,14, Vamos denotar as progressões acima por onde, em geral, inteiro k é um representante da progressão [k]. Mas não é o único: qualquer elemento do conjunto representa, inequivocamente, a progressão Assim, Duas observações muito simples: progressões distintas nunca se interceptam e todo inteiro de Z se encontra em alguma progressão. Uma terceira observação: a progressão [0] é um subgrupo de e as demais são transladadas de [0]. Assim, onde a soma do lado direito deve ser entendida como sendo o conjunto das somas de 1 com cada elemento do conjunto [0]. Temos, portanto, exatamente cinco transladados distintos do subgrupo [0], cuja reunião cobre todo o grupo Cada transladado do subgrupo [0] é o que, a seguir, chamaremos de uma coclasse do subgrupo [0] em Z. Vejamos como fica o caso de um grupo arbitrário G (no lugar de Z) e de um subgrupo H de G (que generaliza a progressão aritmética [0]): se H é um subgrupo de um grupo o subconjunto de G é chamado de uma coclasse (à direita) de H em G. Analogamente, podemos (à definir uma coclase à esquerda de H em G. Quando o conjunto das coclasses de direita ou à esquerda) de H em G for finito, dizemos que H é um subgrupo</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 12 finito em G, e o número de coclasses é chamado o de H em denotado HI. OBSERVAÇÕES: 1) Se G for escrito com notação aditiva, uma coclasse de H em G se escreve: Por isso, dizemos que as coclasses são os transladados de H. 2) Se Hx é uma coclasse de H em G, dizemos que x é um representante da classe Hx. É claro que se x' = hx para certo h E H, então Hx' = Hx, e, portanto, x' é outro representante da mesma coclasse Hx. É fácil ver que qualquer repre- sentante da coclasse Hx é da forma x' acima. A razão da terminologia coclasse é clara: as coclasses são, evidentemente, as classes de equivalência da seguinte relação de equivalência em e somente se, 3) Se D e E denotam, respectivamente, o conjunto das coclasses à direita e à esquerda de H em G, a função f : D - E dada por Hx - H estabelece uma bijeção entre os dois conjuntos, de modo que a definição de índice independe de tomarmos coclasses à direita ou à esquerda. 4) Um subconjunto T de G, que contém um e um só representante de cada co- classe de H em G, é chamado de um conjunto de representantes de coclasses ou um conjunto transversal. Em geral, a existência de um conjunto transversal depende do Axioma da Escolha. EXEMPLOS 1) Seja H = subgrupo trivial de um grupo finito G. Se x E G então a coclasse Hx é o conjunto unitário Assim, nesse caso, o índice de H em G coincide com a ordem de Ge T = G é único conjunto transversal. 2) Sejam G um grupo e H = G. Se G, a coclasse Hx é próprio G, e, portanto, o índice de H em 1. 2. Observe que a função Hx - xH não está bem definida (e, portanto, não é uma pois a imagem depende do representante da coclasse. Mostre que a função Hx H independe do</p><p>CAPÍTULO NOÇÕES GERAIS 13 3) Sejam G = Z o grupo aditivo dos números inteiros o subgrupo dos multiplos do inteiro m 2. Temos m coclasses distintas: e, assim, : H = m. Um transversal é 4) Sejam G o grupo aditivo do R-espaço vetorial e H o subgrupo aditivo de um subespaço unidimensional. As coclasses de H em G são os transladados de H por G: H+v H Nesse exemplo, um conjunto transversal é o eixo y. 5) Sejam H = e G = Se E G, a coclasse consiste nos elementos e o conjunto das coclasses pode ser identificado (por meio da escolha conveniente de um conjunto transversal) a uma semicircunferência sem uma das extremidades: 6) Seja H = e seja G=C*.A coclasse Hz é dada pelo conjunto Você é capaz de dar uma interpretação geométrica (por meio da da escolha adequada de um conjunto transversal) para o conjunto das coclasses de H em 7) [Exige conhecimento da medida de Consideremos as coclasses de em R+ Os reais y estão na mesma coclasse se Assim,</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 14 em coclasses diferentes. É claro que podemos escolher um conjunto transversal T (0,1 1). Seja S:=U(T+r) re(-1.1)nQ Não é difícil mostrar que a união acima é uma união disjunta e Se T fosse um subconjunto Lebesgue mensurável, então T+r seria que S (com mesma medida de T, pois a medida de Lebesgue é invariante mensurável por lação) e S, sendo união disjunta de subconjuntos mensuráveis, trans. mensurável. Como S (-1,2), a medida de S não pode superar 3. Isso seria que a medida de T teria que ser nula. Mas isso não é possível, pois é fácil ver que (0,1) S. Assim, T é um exemplo de um conjunto não 8) Sejam H = e As coclasses de H em G são as circunferências de raio positivo, centradas na origem. Um conjunto transversal é (0, +00). No que se segue, trabalharemos sempre com coclasses à direita (sem menção explícita), mas os resultados são igualmente válidos para coclasses à esquerda. TEOREMA 1.1 Seja H um subgrupo de um grupo G. Então: (a) Todo elemento de G está contido numa coclasse de H em G. (b) Duas coclasses distintas não possuem elementos em comum. (c) Duas coclasses quaisquer possuem a mesma cardinalidade. (d) Dois elementos G estão na mesma coclasse de H se, e somente se. E H. (e) O grupo G é particionado numa união disjunta de coclasses de H. PROVA: Se Hxn então = h'y, para certos H. Logo, Hx = = = Isso prova (b). As demais são evidentes. Se H é um subgrupo de um grupo G, é usual denotarmos o conjunto das co- classes de H em G por H. Em alguns contextos é mais conveniente utilizarmos a notação Decorre desse teorema o importante:</p><p>CAPÍTULO GERAIS 15 TEOREMA 1.2 (Lagrange) G é um grupo finito e H é um subgrupo de G então PROVA: Pelo item (e) do teorema anterior, G é particionado em |G: coclasses distintas e. pelo item (c), todas as coclasses possuem a mesma cardinalidade, a saber, COROLÁRIO 1.1 Se H é um subgrupo de um grupo finito G, então a ordem de H divide a or- dem de G. COROLÁRIO 1.2 Um grupo finito de ordem prima p é cíclico e só possui os subgrupos triviais. COROLÁRIO 1.3 Num grupo finito G a ordem de qualquer elemento a E G divide |G|. COROLÁRIO 1.4 Se G é um grupo finito de ordem m, então, para qualquer g G, temos que 4. Grupos quocientes Consideremos aqui o exemplo em que G é o grupo aditivo do R2 e H o grupo aditivo do subespaço {(x,x) : Vimos que o conjunto das coclasses de H em G é o conjunto de todas as retas do R2 que são paralelas à reta H. Vamos definir uma operação binária bastante natural, (denotada em assim: (H+v), A palavra natural acima se refere à "soma" de subconjuntos A, B de R2: A, B}. Assim, a soma de coclasses definida acima é a soma natural de subconjuntos do R2 no caso em que as parcelas são coclasses de H em G. Vejamos o resultado dessa soma:</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 16 resultado de somar naturalmente duas coclasses de H produziu uma coclasse de H. É imediato que o conjunto das coclasses munido dessa nova ração binária verifica os axiomas de grupo. O elemento neutro é oposto do elemento H + é o elemento Além disso, essa operação comutativa e, portanto, é um grupo abeliano. Esse exemplo suscita duas é questões importantes: 1) Será que o procedimento acima sempre pode ser efetuado para um par (H,G), onde H G, de modo que quociente G/H se torne um grupo? 2) Nos casos em que o procedimento for possível, como obter uma descrição mais "visualizável" do grupo quociente H? A segunda questão, bastante subjetiva e imprecisa, será tratada mais adiante. Para entendermos melhor o que está ocorrendo, retornemos ao caso geral de um grupo abstrato G, não necessariamente comutativo, e de um subgrupo H. Usaremos a notação multiplicativa. Queremos definir um produto "natural" no conjunto das coclasses G/H no sentido acima, isto é, se A e B são subconjuntos de G, A, be Gostaríamos que essa naturalidade se refletisse na fórmula: exatamente como no exemplo anterior. Desejamos a seguinte igualdade de con- juntos: = {h3xy h3 E É claro que essa igualdade é imediata no caso de G ser leitor deve observar também que o lado direito está contido no lado esquerdo. Assim, a igualdade acima é equivalente ao seguinte: para x E Gehe H existe E H tal que</p><p>CAPÍTULO GERAIS 17 De modo mais simples: H, AXE G. Se essa condição estiver satisfeita, teremos o produto "natural": que é claramente associativo, possui uma identidade, a saber H, e toda coclasse Hx possui uma coclasse inversa, a saber: DEFINIÇÃO Um subgrupo H de um grupo G diz-se normal em G se uma (e, portanto, todas) das condições equivalentes (verifique!) abaixo se verificar: 1) Hx=xH para todo G. 2) = H para todo 3) H para todo Escreveremos para dizer que H é um subgrupo normal de G. Note- -se que todo subgrupo de um grupo abeliano é automaticamente normal. Resumindo o que fizemos acima: TEOREMA 1.3 Se H é um subgrupo normal de um grupo G, então o conjunto das coclasses G/H tem estrutura de grupo relativamente ao produto natural elemento neutro é a coclasse Heo inverso da coclasse Hx é a coclasse Quando H G, o conjunto das coclasses, com essa estrutura de grupo, é cha- mado grupo quociente de G por H. No caso desse quociente ser um grupo finito, a sua ordem é o índice |G : H de H em G. Se próprio G for finito, o teorema de Lagrange nos garante que EXEMPLOS DE GRUPOS QUOCIENTES 1) Como C* é abeliano, é um subgrupo normal e, portanto, podemos tomar o grupo quociente Se pensarmos na representação polar de um complexo podemos compreender melhor esse quociente pois</p><p>CORPOS E TEORIA DE GALOIS 18 ou seja, a coclasse elimina a informação da fase (ou argumento) do complexo e preserva apenas a informação do seu 2) subgrupo de é normal pois, e A E = Qual será o quociente GL,(R)/SL,(R) ? O leitor deve observar que todos mentos de uma coclasse possuem o mesmo a os ele. det(A). Por outro lado, se B é outra matriz com det(B) = det(A), 1 e assim B = ou seja, B está na coclasse A Resumindo: ciente por apaga toda a informação matricial da matriz A, exceto 0 quo- seu determinante. Veremos, a seguir, como esses dois exemplos podem ser melhor compreendi- dos por meio da noção de homomorfismo de grupos. 5. Homomorfismos Vejamos, então, como responder a segunda questão colocada na seção anterior, da "descrição" de alguns quocientes G/H. Para tanto, retornemos ao exemplo das coclasses de H em G, onde e H = x) : Como G é abeliano, H é normal e, portanto, conjunto das coclasses G/H é um grupo. Já vimos que as coclasses são as retas do R2 paralelas a H. Qual será o grupo G/ H? significado dessa pergunta é seguinte: será que H é um grupo que já conhecemos, mas que se encontra, de certo modo, disfarçado? Se G, a coclasse H + encontra O eixo y no ponto É fácil calcular tv: implica: Assim, a soma das coclasses pode ser escrita mais simplesmente em termos desses representantes: H + Percebemos claramente que somar as coclasses H+veH+w não é nada mais que somar os números reais E, portanto, nalgum sentido, os grupos e R devem ser "iguais". Mais precisamente, consideremos a função</p><p>CAPÍTULO GERAIS 19 dada por H + tv, ou, explicitamente, H+(a,b) b - a. Pelas considerações vemos que a função A independe do particular representante de coclasse. portanto, está bem definida. Vemos também claramente que é uma bijeção de e, conjuntos. mais importante, é que seja, A é uma bijeção que preserva a operação de grupo; é uma espécie de tradução ou fiel de um grupo no outro. Sejam e (G', dois grupos. Uma função f : G G' satisfazendo para todos os a, b E G, é dita um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo de grupos que, como função, é injetor, será chamado um monomorfismo de grupos. Se ele for sobrejetor, será chamado de um epimorfismo de grupos. Se o homomorfismo f for uma bijeção, dizemos que f é um isomorfismo entre G e G' (dizemos também que G e G' são grupos isomorfos). Nesse caso, é simples verificar que a função inversa f-1 : G' G também é um homomorfismo de grupos. Se G e G' forem isomorfos escreveremos Vejamos outro exemplo de quociente: Que grupo é esse? As coclasses de R* são retas que passam pela origem, com a origem excluída: R* i R*1 R*(1+i) A identidade do quociente é R* 1 e o inverso de é (verifique!). Para das se ter uma ideia mais geométrica desse quociente, consideramos a intersecção intercepta coclasses com a circunferência unitária Temos que cada coclasse em dois pontos. Se escolhermos como representante de coclasse o ponto das que ex- tem parte imaginária > 0, obteremos uma semicircunferência com uma leva a tremidades removidas, exatamente como na figura da página 13. Isso nos</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 20 remos a função pensar que esse quociente deve ser isomorfo ao grupo De dada por = definida. Ela claramente Além independe do representante classe, e, portanto, está bem disso, é fácil ver que de conjuntos e verifica: = = = é um isomorfismo de grupos e C*/R* Vejamos exemplos de homomorfismos de grupos: - (2) - onde det(A) é determinante da matriz A. - C - a parte imaginária de (5) G - onde Hg. é chamada a projeção canônica no quociente. DEFINIÇÃO Se f: G G' é um homomorfismo de grupos, o subconjunto = é chamado de núcleo de f. (Acima, identidade de G'). Nos exemplos acima temos: (2) = (3) (1) (4) (5) H</p><p>1 - 21 TEOREMA 1.4 um grupos. Então: homomorfismo de = (c) então (d) Em particular, (e) = (f) Em particular, f é injetora se, e somente se, (g) Se então PROVA: exercício simples! Vale a pena ressaltar: no item (b) acima, quando o subgrupo f(G) é chamado de imagem do homomorfismo f, e é denotado Im(f). Os item (d), (e) e (f) garantem que ker(f) é um subgrupo que mede o quão longe f está de ser injetora. TEOREMA 1.5 (do Isomorfismo I) Seja f : G - G' um homomorfismo de grupos. Então: (a) ker(f) é um subgrupo normal de G. (b) Existe um único isomorfismo Im(f) que faz comutar o G G/ker(f) 3. Dizer que esse diagrama comuta é dizer que</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 22 PROVA: A parte (a) e a unicidade exercícios Provemos a existência de definição só pode ser: É claro que a definição independe do representante de que momorfismo de grupos. Se portanto, ker(f), donde f é injetora. Como f é claramente sobrejetora em temos 0 teorema. Aplicando esse resultado aos exemplos da página anterior, obtemos: (1) (2) R* (3) (4) (5) leitor poderá provar próximo lema como exercício: LEMA 1.6 Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Então: (a) = só se, HK=KH (b) (c) Se (d) então (S) TEOREMA 1.6 (do Isomorfismo II) Sejam H e K subgrupos de um grupo G com Então: (b)</p><p>CAPÍTULO GERAIS 23 PROVA: Lema 1.6, como H temos que Além disso é claro que H A homomorfismo 4 Como evidentemente, sobrejetor e ker(f) = temos item (a), e Teorema do Isomorfismo I implica o que OBSERVAÇÃO: o diagrama abaixo, onde os segmentos de reta indicam que grupo no nível inferior é subgrupo do grupo do nível superior, é muito útil para "visualizar" o resultado acima: KH K KnH Note que, se G for finito, então = |H| ou ainda, |KH|= K n H Mais adiante veremos5 que essa fórmula é verdadeira mesmo sem que H seja normal em G. Se f : G - G' é um homomorfismo de grupos e K é um subgrupo normal de G contido no núcleo de f, então f induz um homomorfismo GIK G', dado por É claro que neste caso f só será injetora caso K = ker(f). Vamos usar essa observação no próximo teorema. TEOREMA 1.7 (do Isomorfismo III) Sejam He K subgrupos normais de um grupo G com Lembre-se de que como H é normal, = 5. Veja Exercício 2.15.</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 24 PROVA: pela observação acima, a projeção induz um homomorfismo Consideremos a projeção canônica n : G - seu núcleo é H. Como KSH dado por (gK) = Como é sobrejetora, também é Teorema do Isomorfismo I, Porém é claro que Isso prova o teorema. HIK OBSERVAÇÃO: No caso de G ser um grupo finito, então o teorema acima implica que Esse resultado, porém, é verdadeiro mesmo sem a normalidade é convidado a prová-lo! Vamos agora analisar a seguinte questão: como podemos descrever os grupos de um grupo quociente G/H, em função dos de G? TEOREMA 1.8 (Teorema da Correspondência) Sejam H um subgrupo normal de um grupo G - a projeção Então induz uma correspondência bijetora entre o conjunto dos subgrupos de G que contém H e conjunto I dos subgrupos de dada por: Além disso, tem-se: (a) Se então (b) Se com então (c) Se então (d) Se V, com L, PROVA: Observamos inicialmente que, como então para todo e, portanto, é subgrupo de Além disso, é claro que = portanto, temos a função induzida por</p><p>GERAIS 25 = para então V = L. De fato, se temos yH para algum L, donde = yh para algum h E H, que mostra que V Analogamente mostra-se que L V. Isso prova que é injetora. Para a sobreje- tividade, sejam um subgrupo Teorema 1.4, (c), T é subgrupo de G. É claro que T e que = L. Isso estabelece a correspondência bijetora do enunciado. A afirmação (a) é clara. Para provar (b), consideremos a função dada por xV É fácil ver que f está bem definida e é uma Os demais são exercícios simples. Exercícios 1.1 Vimos no Lema 1.2 que os axiomas (G1), (G2) e (G3) da definição de grupo acarretaram: (A) Existe e E G tal que ae = a, G e (B) G, existe G tal que ab = e. É fácil ver que (G1), (A), (B) implicam, por sua vez, (G1), (G2), (G3). Dê um exemplo de um conjunto G munido de uma operação binária verificando (G1), (G2), (B) (ou (G1), (A), (G3)), e que não é um grupo. 1.2 Seja G um grupo no qual = e para todo a E G. Prove que G é necessaria- mente abeliano. 1.3 Se G for um grupo finito de ordem par, mostre que existe um elemento G, tal que e. Mostre também que o número de tais elementos é 1.4 Mostre que a equação (xy)" = x" y" vale identicamente para todos n 1, X, G se, e somente se, G for abeliano. 1.5 Mostre que todo grupo de ordem abeliano. 1.6 (a) Para cada número natural n > seja = {kn : Mostre que nZ Z. Mostre que todo subgrupo de Z é dessa forma. Mostre que o quociente é cíclico de ordem n. (b) Seja subconjunto de formado pelas classes onde ke n são primos entre si. Defina um produto em assim:</p><p>26 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS - Paulo A. Martin Mostre que esse produto está bem definido, é um elemento de define aí uma estrutura de grupo abeliano. Mostre que a ordem do e (Z/nZ)* é onde é a função de Euler, que conta número grupo naturais n relativamente primos com n. de (c) Mostre que, se a é um inteiro relativamente primo com n, então mod n, onde é a função de Euler. 1.7 Seja g um elemento de ordem finita n de um grupo G. Mostre que a ordem de é onde (n,k) é maior divisor comum de e k. Deduza que se G for um grupo cíclico de ordem m, número de geradores de Gé dai igual à onde é a função de Euler. 1.8 Prove que todo subgrupo de índice 2 num grupo G é necessariamente mal. (Esse resultado será generalizado adiante, no capítulo 2) 1.9 Mostre que dois quaisquer dentre os grupos R, II não são 1.10 Dê exemplo de um grupo G tal que todo subgrupo seja isomorfo a G. Classifique os seus exemplos, no caso de G finito. Mostre que, no caso de G não finito, seu exemplo é único, a menos de isomorfismo (i.e., dois quaisquer tais exemplos são isomorfos). 1.11 (a) Seja conjunto de todas as raízes da unidade em i.e., : = 1, para algum m 1}. Prove que (b) Seja p um primo e defina = 1, para algum Mostre que é um subgrupo de e ache todos os seus subgrupos. 1.12 Seja G um grupo com a seguinte propriedade: dados dois subgrupos HeK de G, então ou H C K ou Será que G é necessariamente finito? 1.13 (a) Seja G um grupo com a propriedade do exercício anterior: dados dois subgrupos H e K de G, então ou HCK ou K C H. Mostre que existe um número primo p (chamado de a característica de G) tal que todo elemento de G tem por ordem uma potência de p.</p><p>CAPÍTULO GERAIS somente (b) Mostre se, que for um cíclico grupo de finito ordem G tem onde a propriedade p é um enunciada em (a) se, 27 e primo. (c) dade Seja enunciada p um primo. em (a), Mostre de característica que, se G for p, um então grupo infinito com a proprie- 1.14 Mostre G(X) é que, o grupo se X das é um conjunto com n elementos, então onde permutações de X. 1.15 Sejam Mostre H e K kh dois = subgrupos normais de um grupo G, tais que que hk para todo H e todo 1.16 Ache todos os subgrupos de 1.17 Prove que dois grupos cíclicos de ordem m são 1.18 Prove que todo subgrupo e todo quociente de um grupo cíclico é 1.19 Sejam A e B subgrupos de um grupo G. Se B tem índice finito em G então An B tem índice finito em A e |A : An B |G A igualdade vale se, e somente se, G = 1.20 Se a e b são dois elementos de um grupo G com ordens m e n respectiva- mente, mostre que, se a e b comutam, então a ordem de ab divide mí- nimo múltiplo comum de m e n. Mostre que, se m e n forem relativamente primos então a ordem de ab é exatamente esse mínimo múltiplo comum. Num grupo finito G, a ordem de ab é sempre igual a ordem de ba? 1.21 Seja H um subgrupo normal de um grupo finito G, tal que índice e a ordem de H são relativamente primos. Prove que H é o único subgrupo de G cuja ordem é 1.22 Sejam G um grupo (não necessariamente finito), H um subgrupo de ordem finita e N um subgrupo normal de G com índice Se a ordem de H e o índice de N forem relativamente primos então H C N. (Note que esse exercício generaliza exercício anterior.) 1.23 Mostre que, se H e K são subgrupos de um grupo G, de finitos e primos entre si, então G = HK. 1.24 Seja T um subgrupo cíclico normal num grupo G. Prove que todo subgrupo de T é normal em G.</p><p>28 CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin 1.25 Seja H um subgrupo de um grupo G, com que 1.26 Prove que C III R como grupos abelianos. Mostre grupos para todo natural SUGESTÃO: [Pense em C e em R como Q-espaços 1.27 Sejam H e K subgrupos de um grupo G (não necessariamente finito) com KCHCG Mostre que onde o produto é o produto de cardinais. 1.28 Suponhamos que dois grupos G e G2 sejam isomorfos e que possuam sub- grupos normais H1 e H2 (respectivamente) também Será ver- dade que os quocientes e são isomorfos? 1.29 Dizemos que um subgrupo G de GLn (R) é positivo se as entradas de cada elemento A = G forem não negativas. Dizemos que G é limitado em norma se, como subconjunto do espaço vetorial das matrizes nxn, for limitado em norma, relativamente a uma norma (por exemplo, a norma Euclidiana) desse espaço. 1) Dê um exemplo (não trivial) de subgrupo positivo de que seja finito e um que não seja finito. 2) Dê um exemplo não trivial de subgrupo limitado em norma de 3) Será que todo subgrupo de limitado em norma, é finito? 4) Mostre que todo subgrupo de positivo e limitado em norma, é 1.30 Suponhamos que um polinômio de grau n e coeficientes complexos 6. A notação significa conjunto dos elementos de que não estão</p><p>CAPÍTULO 1 GERAIS 29 tenha raízes complexas distintas formando um subgrupo de que 1.31 Existe algum subgrupo não trivial de que tenha índice finito? 1.32 Considere subconjunto B de formado pelas matrizes triangulares superiores, ou seja, pelas matrizes da forma b 0 com a, b, E R e ac Mostre que B é um subgrupo de que não é normal. Encontre um r em tal que 1.33 Para cada natural n > 2 encontre um subgrupo finito Hn de C*, cuja ordem seja n, tal que 1.34 Sejam = E C* Mostre que H é um grupo cíclico infinito. Considere a função: definida por (a) Mostre que é um homomorfismo de grupos. (b) Determine o núcleo e a imagem de 1.35 No exercício 29, vimos que todo subgrupo finito de C* é necessariamente cíclico. Seja G um subgrupo de ordem k do grupo multiplicativo K* de um corpo K. Prove que G é cíclico. SUGESTÃO: G = com defina m = e observe que = 1 para todo x E G. Se m = k, mostre que G é se m</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS - Paulo A. Martin 30 soma usual de funções. É usual Prove representarmos que de fato essa soma define ção de grupo em Gx. uma tal função formal onde os = são inteiros nulos exceto para um número finito mentos X. Se X = é um conjunto com n mostre de ele. que 1.37 Considere o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto dos números mos Use Teorema Fundamental da Aritmética para definir um cujo núcleo é 1.38 Considere o grupo abeliano livre gerado pelos pontos do corpo dos meros complexos C. Use o Teorema fundamental da para definir um epimorfismo do grupo multiplicativo do corpo das funções racionais na variável x no grupo D.f:C(x)* D cujo núcleo é 1.39 Será que o grupo aditivo do corpo dos números racionais é 0 grupo abeliano livre gerado por algum subconjunto de 1.40 Seja f R+ um homomorfismo de grupos. (a) Mostre que, para todo inteiro n E temos (b) Mostre que, para todo racional temos (c) Se mostre que existe R tal que (d) Mostre que se f for uma função contínua, então para todo x R. (e) Mostre que se f for contínua num único ponto da reta, contínua em todo ponto da reta. (f) Mostre que se f for Lebesgue mensurável, então f será em x=0. (g) Seja uma base de R como Q-espaço vetorial tal que Considere funcional linear F: R - definido pela projeção na = exp(F(x)) e mostre que f é um homomorfismo de grupos entre que verifica f(r) = para todo</p><p>CAPÍTULO 1 GERAIS 31 1.41 Sejam G um grupo e Aut(G) o conjunto dos automorfismos de G (um auto- morfismo de G é um isomorfismo de grupos f : G G). (a) Prove que Aut(G) é um grupo com a operação de composição de funções. (b) Para cada g € G, mostre que a G definida por = é um automorfismo de G (chamado de automorfismo interno de G). Seja In(G) o conjunto dos automorfismos internos de G. Mostre que In(G) é um subgrupo normal de Aut(G). (c) Defina : G - Aut(G) = Mostre que é um homomorfismo de grupos e deduza que GIZ(G) In(G), onde Z(G) é o subgrupo normal (mostre!) formado pelos elementos de G que comutam com todos os ele- mentos de G. 1.42 Seja G um grupo cíclico. (a) Se G for infinito, mostre que Aut(G) consiste da identidade e do automor- seja Aut(G) é cíclico de ordem 2. (b) Se |G| = n, mostre que Aut(G) consiste dos automorfismos definidos por onde k e n são relativamente primos. (c) Defina a função (Z/nZ)* Aut(G) por k Prove que é um isomorfismo de grupos e conclua que Aut(G) é um grupo abeliano de ordem onde é a função de Euler. 1.43 Seja G um grupo. Mostre que a função f : G - G definida por é um automorfismo de G se, e somente se, G for abeliano. 1.44 Sejam G um grupo finito e f E Aut(G) um automorfismo sem pontos fixos (i.e., se f(x) = x então e tal que f2 = (f2 é a composta de f com f e é o automorfismo identidade). Prove que G é necessariamente 1.45 Se G for um grupo finito não abeliano e f Aut(G) for tal que = então existe x # e tal que f(x) = 1.46 Liste todos os subgrupos de G3. 1.47 Prove que Conclua daí que existem bijeções que f(a) tem mesma ordem que a, mas que não são homomorfismos.</p><p>GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS - Paulo A. Martin 32 SUGESTÃO: f E mostre que f permuta está os 3 subgrupos de ordem 2 Além disso, mostre que a cada associado um único elemento de de 1.48 Considere o quociente número primo. Defina em G= a seguinte multiplicação (a) Mostre que esse produto está bem definido (i.e., independe dos repre. sentantes). (b) Mostre que G, munido desse produto, é um grupo. (c) Conclua que, para todo inteiro não nulo a, temos a congruência a mod p. (d) Mostre que com a adição usual e com produto definido satisfaz os axiomas de corpo. Esse corpo será denotado, ou ou Fp. É um corpo finito com p elementos. 1.49 Sejam grupos. No produto cartesiano defi- nimos a seguinte operação binária: (a) Mostre que é um grupo. Esse grupo é chamado o produto direto exterior de (b) Mostre que existem subgrupos normais H e de isomorfos, respec tivamente, a H e tais que (c) Se H e K forem abelianos, mostre que G será abeliano. (d) Seja p um primo. Se H for cíclico de ordem p" e K for cíclico de orden mostre que G contém pelo menos 3 subgrupos de ordem p. (e) Se L é um grupo que possui dois subgrupos normais Ue V tais mostre que L é isomorfo ao produto direto</p><p>GERAIS 33 1.50 Sejam K,H,L três grupos e f : H - L, g : K - L dois homomorfismos de grupos. Definimos o seguinte conjunto (o produto fibrado de H e K) (a) Mostre que um subgrupo do produto direto (b) Mostre que as projeções PH: H e são homo- morfismos de grupos que tornam o diagrama abaixo comutativo: H PK f K L g (c) Mostre que é o único grupo satisfazendo a seguinte propriedade universal: se G for um : G-H, G - K forem homomorfismos tais que existe um único homomorfismo G tal que G 0 H PH f K L g 1.51 (a) Seja K = subgrupo de Será que existe algum subgrupo H de tal (b) Será que existe algum homomorfismo não trivial (c) Mostre que definido por é um epimorfismo de grupos. (d) Existe algum subgrupo próprio de de índice finito? 1.52 Mostre que existe um monomorfismo SUGESTÃO: o espaço vetorial R", com a base defina uma transformação linear To cuja ação na base é: =</p><p>2 AÇÕES DE GRUPOS 1. Ações o grupo G(X) das permutações de um conjunto X possui um papel singular entre todos os grupos: ele "vem equipado" com um conjunto X de elementos que são "transformados" pelos elementos de Com outras palavras, podemos dizer que o grupo de permutações G(X) age naturalmente no conjunto X via a avaliação de E num elemento x X. Mais precisamente, temos a função X, ou, abreviadamente, A função identidade e: X - X fixa cada ele- mento de X, ou seja: Além disso, como f(g(x)) = temos generalização dessa relação natural entre o grupo G(X) e o conjunto X é feita por meio do conceito de ação de um grupo (abstrato) G num conjunto X: DEFINIÇÃO Uma ação (à esquerda) de um grupo G num conjunto X é uma função satisfazendo: Ag, h E G, Axe X. (A2) = G é a identidade de G). Essa definição traduz a ideia de que grupos operam ou agem em certos con- juntos, mudando os seus elementos de lugar. Utilizaremos a notação simplifi- cada para a função : em vez de escreveremos simplesmente g.x. Com essa notação os axiomas acima ficam: (A1) (A2)</p><p>36 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin conjunto Analogamente, X. podemos definir uma ação (à direita) de um grupo num EXEMPLOS DE AÇÕES DE GRUPOS um vetor (coluna) 1) G = GLn(R) e ação é a multiplicação usual de uma 2) Sejam G um grupo e ação é a multiplicação à esquerda: 3) Sejam H um subgrupo de um grupo G e X = o conjunto das coclasses (à esquerda) de H em G. Então (g, tH) I gtH define uma ação de Gem X ação é comumente chamada de ação por translação nas 0 exemplo Essa anterior é o caso em que H={e}. 4) Sejam G = e X = C. A função define uma ação de em C. 5) Sejam G um grupo e X = G. A função (g,x) define uma ação de Gem G chamada ação por conjugação. 6) Sejam G = e X = o anel dos polinômios nas indeterminadas com coeficientes complexos. Então define uma ação de G em X. Se um grupo G age num conjunto X exe X, o subconjunto de X, = é chamado de órbita de Nos exemplos acima: 1) Se denotar o vetor nulo do então = Se for um vetor não nulo, é fácil ver que 2) Se x E G então o(x) = 3) Se tH E G/H, 4) Se Z C* então = é a circunferência centrada na raio Se a chamada classe de conjugação</p><p>CAPÍTULO 2 DE GRUPOS 37 6) E sua órbita sob é: + 7) Seja B conjunto de todos os subgrupos de um grupo finito G. Considere- mos a ação de G em B por conjugação: Se o(H) Os subgrupos cuja órbita é um conjunto unitário são precisamente os subgrupos normais em G. LEMA 2.1 Se Gé um grupo agindo num conjunto X, então: (b) Se X. ou o(x) no(y) = PROVA: Como x E o(x) temos (a). Suponhamos que para certos h E G. Então, por (g- portanto, o(y). Invertendo o argumento, temos que o(x), e isso prova DEFINIÇÃO Um subconjunto T de X que corta cada órbita da ação de G em X em um único ponto é chamado um conjunto de representantes de órbitas ou de um transver- sal. (Tal conjunto sempre existe, pelo Axioma da Escolha.) Denotaremos conjunto das órbitas da ação de G em X por É claro que existe uma bijeção entre T e G\X dada por o(x) E Outra forma de se ver G\X é como o quociente de X pela relação de equivalência DEFINIÇÃO Se G age num conjunto Xexe X, subgrupo de G é chamado estabilizador de ou grupo de isotropia de X. Se para algum E X tivermos = G, diz-se um ponto fixo pela ação de G. O conjunto dos pontos fixos de X é denotado Fix(X). Assim, Fix(X) =</p><p>38 GRUPOS. CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin Nos exemplos anteriores: 1) G = e G\X possui dois elementos e 2) G = X, G agindo em X por translação à esquerda. G\X possui apenas elemento e Fix(X) (Estamos supondo G # 3) G agindo por translação nas coclasses de H; X = Aqui possui apenas um elemento e Fix(X) (Estamos supondo G # H). 4) agindo em X = C. G\ X está em bijeção com o conjunto Não existem pontos fixos dessa ação. 5) G agindo em X = G por conjugação. conjunto dos elementos E G que comutam com todos os elementos de G. subgrupo de G, chamado de centro de e denotado Z(G). 6) agindo em nos índices. Veremos mais adiante que Fix(X) = onde Xn são os polinômios simétricos elementares em n variáveis. 7) Seja B o conjunto de todos os subgrupos de um grupo finito G. Considere mos a ação de G em B por conjugação: = Se H E o seu estabiliza- dor é denotado por subgrupo é usualmente chamado de normalizador de H Se Gage num conjunto Xexe Fix(X), então é claro que o(x) = qualquer conjunto de representantes de órbitas contém Fix(X). pelo Lema 2.1, se X for um conjunto finito, podemos escrever a equação das classes</p><p>CAPÍTULO 2 DE GRUPOS 39 2. Ações transitivas portanto, todas) das condições equivalentes: Uma ação de um grupo três G num conjunto X diz-se transitiva se ocorrer uma (e, (1) X tal que = X. (2) X, 3g E G tal que (3) EXEMPLOS DE AÇÕES TRANSITIVAS 1) G 2) G agindo por translação nas coclasses 3) G = agindo em X = {1,2,..,n}. 4) G = O(n,R) (o grupo ortogonal) agindo no conjunto de todas as bases orto- normais do (com o produto interno canônico). Se um grupo G age num conjunto X e Y X, dizemos que Y é G-estável se Y, E G, g y E Y. Nesse caso podemos falar que G age em Y por restrição da ação de G em X. É claro que cada órbita da ação de X é um subconjunto G-estável no qual G age transitivamente. Consideremos uma ação transitiva de um grupo G num conjunto X e fixemos um elemento arbitrário x E X. Então a função definida por sobrejetora. então E Gx. Isso significa que a função induz uma função definida nas coclasses de Gx em G: por = g x, que é, evidentemente, uma bijeção, e que torna comutativo o seguinte diagrama: 0 G X n</p><p>Paulo A. 40 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS - Martin Como X = o(x), temos uma bijeção o(x) X, não 12 G/Gx. Em geral, quando uma ação de um grupo G num conjunto necessariamente temos já vimos que onde T é um conjunto de representantes de órbitas, e, portanto, a união acima disjunta. Assim, se X for um conjunto finito, a decomposição de X na união de órbitas se traduz na seguinte contagem: Essa igualdade será chamada de equação das classes. Vamos resumir o que fizemos acima no: TEOREMA 2.1 Sejam G um grupo agindo transitivamente num conjunto X e um elemento qualquer de X. Então existe uma bijeção f: G/Gx X dada por Em particular, se G é finito, Além disso, se X, os estabilizadores conjugados em G. PROVA: Falta provar a última afirmação. A transitividade da ação garante que existe tal que x = g y. Assim, se temos que y, ou seja, Gy. Se então = x, de onde concluímos que Gxg = Gy. Algumas observações: bre 1) O leitor atento deve ter notado uma certa semelhança do resultado acima so- ações transitivas e o Teorema 1.5 do capítulo anterior. De fato, o Teorema 1.5 pode de ser facilmente enquadrado na nova terminologia: dado um homomorfismo naturalmente grupos G G', já vimos que X = Im(f) é um subgrupo de G'. Ora, G age em X via f, assim:</p><p>CAPÍTULO 2 AÇÕES DE GRUPOS 41 claro que essa ação é transitiva. Se tomarmos = claro X coincidirá com f. É claro também que estabilizador de x será que exatamente G ker(f). 2) teorema de Lagrange, que vimos no capítulo 1, diz que, para um grupo finito Ge um subgrupo H, temos : Vamos redemonstrar esse teorema por meio das ações de grupos: consideremos a ação de H em G por translação, i.e., (h,g) hg. Com essa ação, a órbita de um elemento g G é precisamente a coclasse Hg. Aplicando a equação das classes, Obtemos assim onde T é um conjunto de representantes de órbitas, e, portanto, |T| = H|. 3) Definimos anteriormente o centro Z(G) de um grupo G como o conjunto da- queles elementos de G que comutam com todos os elementos de G,i.e., = Vimos que Z(G) é o conjunto dos pontos fixos da ação de G em G por conjugação. Essa ação é especialmente útil para lidar com certas questões de comutativi- dade. Nessa ação, o estabilizador Gx de um elemento x E G recebe tradicional- mente um outro nome e uma outra notação: é chamado de centralizador de X e denotado A órbita de x recebe nome de classe de conjugação de Assim, = A equação das classes para essa ação pode ser reescrita: Um grupo finito G chama-se um p-grupo se para algum primo algum natural m 1. TEOREMA 2.2 Se G for um p-grupo de ordem então p divide</p><p>42 GRUPOS, CORPOS E TEORIA DE GALOIS Paulo A. Martin PROVA: Se o centro de G fosse trivial, a equação das classes daria: onde, pelo teorema de Lagrange, |G = É claro caso contrário = G e assim x estaria no centro, o que não é pois senão = {el, o que acarretaria pois Assim, a equação das classes implicaria 1, o que é absurdo. Assim, COROLÁRIO 2.1 Todo grupo de ordem com p primo, é abeliano. Pelo teorema acima, um grupo não abeliano de ordem teria centro de ordem p. Se x E G não estiver no centro, então CG(x) conterá propriamente o centro Z(G), e, portanto, pelo teorema de Lagrange, = G, o que significa que Z(G), uma contradição. Assim, G é abeliano. 3. Representação por permutações Seja G um grupo, não necessariamente finito. Cada elemento g E G induz uma G G definida por = gx. Pelas propriedades elementares dos grupos, vistas no capítulo anterior, é fácil ver que é uma função bijetora de G em G, ou seja, é um elemento do grupo das permutações de G, denotado Além disso, é simples verificar que a função: é um homomorfismo de grupos que é injetor. Ou seja, dado um grupo abstrato G, existe uma imersão (i.e., um monomorfismo de grupos) de G num grupo de Esse é o conteúdo do TEOREMA 2.3 (Cayley) Todo grupo abstrato G é isomorfo a um subgrupo de um grupo de permutações. Em particular, todo grupo finito de m elementos é isomorfo a um subgrupo de 1) É fácil ver que se A e B são dois conjuntos com a mesma então S(A) e, portanto, se G possui m elementos,</p><p>CAPÍTULO 2 DE GRUPOS 43 2) Teorema de Cayley é um exemplo de uma situação comum tica: um determinado assunto (por exemplo, a teoria dos grupos) em matemá- situação concreta (grupos de permutações) e depois sofre um nasce de uma tração que conduz a uma axiomatização. Em princípio, poderiam processo existir de abs- que obedecessem aos axiomas, sem serem do tipo do que deu início à objetos Teorema de Cayley diz, no fundo, que não existe nenhum grupo que teoria. não o um grupo de permutação. Algo semelhante ocorre com o conceito de seja suave do a teoria nasceu com objetos que, localmente, são gráficos superfície de fun- ções infinitamente deriváveis de duas variáveis. Depois passou-se ao conceito abstrato de variedade n-dimensional suave e, finalmente, temos o análogo do Teorema de Cayley: toda variedade n-dimensional suave pode ser mergulhada como subvariedade fechada do problema de achar o menor inteiro k tal que um grupo finito G de ordem n possa ser imerso em não é simples. 3) O Teorema de Cayley explica, em parte, o desprezo de Arnold (reveja a citação no início do primeiro capítulo) pela pilha de axiomas qu'on oublie facilment. Se todo grupo é subgrupo de um grupo de permutações, basta estudar os grupos de permutações! Entretanto, como deve ter ficado claro a esta altura, a pilha de axiomas tem sido muito útil para estudar grupos de permutações. Se olharmos para a prova do teorema de Cayley com mais cuidado, descobri- remos que ela é caso particular de uma situação geral: se um grupo G age num conjunto X via (g,x) g.x, então, como acima, g E G induz uma função bijetora X X, dada por = g.x. Assim, E G(X). De fato, temos um homomorfismo de grupos: (1) O leitor deve verificar que, reciprocamente, dado um homomorfismo ele induz uma ação de G em Y dada por (g,y) Retornando ao morfismo (1), temos monomorfismo induzido:</p>