Estruturas Algébricas

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<p>Anselmo B. Raposo Jr.</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO</p><p>´Algebricas</p><p>Estruturas</p><p>Sumário</p><p>1 Grupos 1</p><p>1.1 A definição de grupo e alguns exemplos preliminares . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.3 Classes laterais e o Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.4 Subgrupos normais e grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5 Subgrupos gerados pela união de dois subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.6 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.7 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>1.8 Homomorfismos e automorfismos de grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>1.9 Classes de conjugação e o Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>1.10 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>2 Representações por Permutações 44</p><p>2.1 Grupos de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>2.2 Representação de um grupo por permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . 58</p><p>2.3 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>2.4 p-grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>2.5 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>3 Anéis 68</p><p>3.1 A definição de anel e alguns exemplos preliminares . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>3.2 Anéis de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>3.3 Domínios euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>3.4 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82</p><p>3.5 Domínios fatoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85</p><p>3.6 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>ii</p><p>Capı́tulo 1</p><p>Grupos</p><p>1.1 A definição de grupo e alguns exemplos prelimina-</p><p>res</p><p>Definição 1.1.1 Um conjunto não-vazio G munido de uma operação</p><p>∗ : G×G→ G</p><p>(a, b) 7→ a ∗ b</p><p>é um grupo relativamente a esta operação se as seguintes condições são satisfeitas:</p><p>(i) A operação ∗ é associativa, isto é,</p><p>a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ G;</p><p>(ii) Existe e ∈ G tal que, para todo a ∈ G,</p><p>a ∗ e = e ∗ a = a.</p><p>Um elemento e de G com esta propriedade é dito um elemento neutro de G</p><p>relativamente a ∗;</p><p>(iii) Para todo a ∈ G existe b ∈ G tal que</p><p>a ∗ b = b ∗ a = e.</p><p>O elemento b será dito, então, um elemento inverso de a relativamente à operação</p><p>∗.</p><p>Utilizaremos a notação (G, ∗) para indicar que, munido da operação ∗, G é um grupo.</p><p>Definição 1.1.2 Um grupo (G, ∗) será dito abeliano ou comutativo se a operação ∗ é</p><p>comutativa, isto é, se</p><p>a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ G.</p><p>1</p><p>2 1.1. A definição de grupo e alguns exemplos preliminares</p><p>OBSERVAÇÃO 1.1.3 (i) O elemento neutro de um grupo (G, ∗) é único. De fato, se e e</p><p>e′ são elementos neutros de G, então</p><p>e = e ∗ e′ = e′.</p><p>(ii) Se (G, ∗) é um grupo, vale também a unicidade do elemento inverso. Com efeito, se</p><p>b, b′ ∈ G são inversos de a ∈ G, então</p><p>b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ b′) = (b ∗ a) ∗ b′ = e ∗ b′ = b′.</p><p>O único inverso de a em G será denotado por a−1.</p><p>(iii) Segue da unicidade do inverso que, se a, b ∈ G, então a equação</p><p>a ∗ x = b</p><p>possui uma única solução, a saber, x = a−1 ∗ b. Com efeito, é evidente que a−1 ∗ b é</p><p>uma solução da equação dada. Por outro lado, se c ∈ G é uma solução da equação,</p><p>então a ∗ c = b e, consequentemente,</p><p>a−1 ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ c) =</p><p>(</p><p>a−1 ∗ a</p><p>)</p><p>∗ c = e ∗ c = c.</p><p>Verificamos de modo análogo que a equação</p><p>x ∗ a = b</p><p>possui uma única solução, a saber, b ∗ a−1.</p><p>(iv) Decorre da unicidade do elemento neutro de G que para estabelecermos que f ∈ G</p><p>é o elemento neutro de G, basta verificarmos que</p><p>f ∗ a = a</p><p>para algum a ∈ G.</p><p>(v) Notemos que</p><p>(a ∗ b) ∗</p><p>(</p><p>b−1 ∗ a−1</p><p>)</p><p>= a ∗</p><p>[</p><p>b ∗</p><p>(</p><p>b−1 ∗ a−1</p><p>)]</p><p>= a ∗</p><p>[(</p><p>b ∗ b−1</p><p>)</p><p>∗ a−1</p><p>]</p><p>= a ∗</p><p>(</p><p>e ∗ a−1</p><p>)</p><p>= a ∗ a−1 = e</p><p>e, portanto, da unicidade do elemento inverso,</p><p>(a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.</p><p>Quando não houver risco de ambiguidade, deixaremos de indicar a operação do grupo</p><p>escrevendo simplesmente G em vez de (G, ∗) e ab em vez de a ∗ b.</p><p>Exemplo 1.1.4 (Z,+), (Q,+), (R,+) e (C,+) são grupos abelianos aditivos. Do</p><p>mesmo modo, ({−1, 1} , ·), (Q \ {0} , ·), (R \ {0} , ·) e (C \ {0} , ·) são grupos abelianos</p><p>multiplicativos.</p><p>Capítulo 1. Grupos 3</p><p>Exemplo 1.1.5 Diremos que dois inteiros, a e b, são congruentes módulo n, com n ∈ N</p><p>e n > 1, e escreveremos</p><p>a ≡ bmodn</p><p>se n divide a diferença a − b ou, equivalentemente, se a e b deixam o mesmo resto na</p><p>divisão por n. Verificamos sem dificuldades que a relação “∼” dada por</p><p>x ∼ y ⇔ x ≡ ymodn</p><p>define, sobre Z, uma relação de equivalência. Denotemos por Zn o conjunto das classes de</p><p>equivalência resultantes. Como os possíveis restos na divisão por n são 0, 1, . . . , n−1, Zn é</p><p>um conjunto finito de n elementos. Representando por r a classe dos inteiros que deixam</p><p>resto r na divisão por n, r = 0, 1, . . . , n− 1, temos Zn =</p><p>{</p><p>0, 1, . . . , n− 1</p><p>}</p><p>. Definamos em</p><p>Zn a adição fazendo</p><p>+: Zn × Zn → Zn</p><p>(r, s) 7→ r + s.</p><p>Verifique que (Zn,+) é um grupo abeliano.</p><p>Exemplo 1.1.6 Definamos em Zn a multiplicação fazendo</p><p>· : Zn × Zn → Zn</p><p>(r, s) 7→ r · s.</p><p>Observamos sem dificuldades que a multiplicação assim definida é associativa, comutativa</p><p>e possui o 1 como elemento neutro. No entanto, como</p><p>r · 0 = 0 · r = 0,</p><p>para todo r ∈ Zn, segue que 0 não possui um inverso relativamente à multiplicação e,</p><p>consequentemente, (Zn, ·) não é um grupo. Denotemos então por Z∗</p><p>n o conjunto dos</p><p>elementos de Zn que possuem inverso multiplicativo. Notemos que Z∗</p><p>n é não-vazio pois</p><p>1 ∈ Z∗</p><p>n. Nestas condições, (Z∗</p><p>n, ·) é um grupo abeliano.</p><p>OBSERVAÇÃO 1.1.7 Dependendo do número natural n, 0 pode não ser o único elemento</p><p>não multiplicativamente invertível de Zn. Consideremos Z4. Notemos que</p><p>2 · 0 = 0</p><p>2 · 1 = 2</p><p>2 · 2 = 0</p><p>2 · 3 = 2</p><p>e, consequentemente, em Z4, 2 não é multiplicativamente invertível.</p><p>O próximo exercício estabelece uma condição necessária e suficiente para que r ∈ Zn</p><p>seja multiplicativamente invertível.</p><p>4 1.1. A definição de grupo e alguns exemplos preliminares</p><p>Exercício 1.1 Mostre que r ∈ Zn possui inverso multiplicativo se, e somente se,</p><p>mdc (r, n) = 1. Conclua então que Z∗</p><p>n possui φ (n) elementos onde φ : N → N é a função</p><p>de Euler.</p><p>Exercício 1.2 Mostre que o conjunto G das matrizes reais n × n que possuem</p><p>determinante não-nulo é um grupo relativamente ao produto de matrizes. Dê um</p><p>contraexemplo que comprove que este grupo não é abeliano.</p><p>O grupo definido no exercício acima é chamado de grupo linear geral e é denotado</p><p>por GLn (R).</p><p>Exercício 1.3 Seja C um conjunto não-vazio qualquer. Considere o conjunto</p><p>Bij (C) = {f : C → C : f é bijetora} .</p><p>Prove que (Bij (C) , ◦), onde ◦ é a composição de funções, é um grupo (não-abeliano em</p><p>geral).</p><p>OBSERVAÇÃO 1.1.8 Caso o conjunto C tenha um número finito n de elementos, Bij (C)</p><p>será denotado por Sn e será chamado de grupo simétrico ou grupo das permutações</p><p>de n elementos. É fácil ver que card (Sn) = n!.</p><p>Exemplo 1.1.9 Representando por (</p><p>1 2 3</p><p>a b c</p><p>)</p><p>a função definida por f (1) = a, f (2) = b e f (3) = c, observamos que S3 é o conjunto</p><p>constituído por (</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>,(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 2 1</p><p>)</p><p>.</p><p>Fazendo α =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)</p><p>e β =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>, temos</p><p>α2 =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)</p><p>,</p><p>α3 =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>)</p><p>= id ,</p><p>β2 =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>)</p><p>= id ,</p><p>βα =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>,</p><p>αβ =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 2 1</p><p>)</p><p>,</p><p>Capítulo 1. Grupos 5</p><p>α2β =</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>.</p><p>Observamos acima que α e β geram o grupo S3, isto é, todos os elementos de S3 são</p><p>produtos finitos de fatores iguais a α ou a β. Verificamos ainda que α3 = id = β2</p><p>disjuntos. De fato,</p><p>α (1) = 1, α (2) = 4, α (3) = 7, α (4) = 3, α (5) = 2, α (6) = 6, α (7) = 5, α (8) = 8,</p><p>β (1) = 6, β (2) = 2, β (3) = 3, β (4) = 4, β (5) = 5, β (6) = 8, β (7) = 7, β (8) = 1.</p><p>Já os ciclos γ = (1, 3, 5) e δ = (4, 7, 8, 3) não são disjuntos pois</p><p>γ (3) = 5 e δ (3) = 4.</p><p>Exercício 2.1 Sejam α, β ∈ Sn dois ciclos disjuntos. Mostre que αβ = βα.</p><p>Exercício 2.2 Mostre que, se α ∈ Sn é um r-ciclo, então O (α) = r.</p><p>Exercício 2.3 Sejam α1, . . . , αt ∈ Sn ciclos disjuntos de comprimento r1, . . . , tt, respec-</p><p>tivamente. Mostre que O (α1 · · · ar) = mmc (r1, . . . , rt).</p><p>Teorema 2.1.6 Seja α ∈ Sn \ {id}. Então α é um produto de ciclos disjuntos de</p><p>comprimento ≥ 2. Tal fatoração é única a menos da ordem dos fatores.</p><p>Demonstração: Como α ̸= id, existe um j1 ∈ [n] tal que α (j1) ̸= j1. Consideremos a</p><p>sequência j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . .. Evidentemente, existe 2 ≤ r1 ≤ n tal que os elementos</p><p>j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . . , α</p><p>r1−1 (j1) são dois a dois distintos e</p><p>αr (j1) ∈</p><p>{</p><p>j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . . , α</p><p>r1−1 (j1)</p><p>}</p><p>.</p><p>Neste caso, verificamos facilmente que αr1 (j1) = j1. De fato, se isso não ocorresse, existiria</p><p>1 ≤ k ≤ r1 − 1 tal que</p><p>αr1 (j1) = αk (j1) ,</p><p>de onde seguiria que</p><p>αr1−k (j1) = j1, 1 ≤ r1 − k ≤ r − 1</p><p>Mobile User</p><p>46 2.1. Grupos de permutações</p><p>o que, evidentemente, seria uma contradição. Logo, a restrição de α a</p><p>I1 =</p><p>{</p><p>j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . . , α</p><p>r1−1 (j1)</p><p>}</p><p>coincide com o r1-ciclo δ1 = (j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . . , α</p><p>r1−1 (j1)), isto é,</p><p>α|I1 =</p><p>(</p><p>j1, α (j1) , α</p><p>2 (j1) , . . . , α</p><p>r1−1 (j1)</p><p>)</p><p>.</p><p>Se a restrição de α a [n] \ I1 coincide com a identidade, então α = δ1 e o resultado está</p><p>provado. Se, no entanto, isto não ocorre, existe j2 ∈ [n]\I1 tal que α (j2) ̸= j2. Procedendo</p><p>como anteriormente, obtemos um r2-ciclo δ2 = (j2, α (j2) , α</p><p>2 (j2) , . . . , α</p><p>r2−1 (j2)) tal que</p><p>α|I2 =</p><p>(</p><p>j2, α (j2) , α</p><p>2 (j2) , . . . , α</p><p>r2−1 (j2)</p><p>)</p><p>.</p><p>onde</p><p>I2 =</p><p>{</p><p>j2, α (j2) , α</p><p>2 (j2) , . . . , α</p><p>r2−1 (j2)</p><p>}</p><p>.</p><p>Se a restrição de α a [n]\ (I1 ∪ I2) coincide com a identidade, então α = δ1δ2 e o resultado</p><p>está provado. Caso contrário, existe j3 ∈ [n] \ (I1 ∪ I2) tal que α (j3) = j3. Procedendo</p><p>com este argumento, após um número finito de etapas, evidentemente, obtemos ciclos dois</p><p>a dois disjuntos δ1, . . . , δt, de comprimento ≥ 2, tais que</p><p>α = δ1 · · · δt.</p><p>Agora, sejam τ1, . . . , τu ciclos dois a dois disjuntos, de comprimento ≥ 2, tais que</p><p>α = τ1 · · · τu.</p><p>Como</p><p>τ1 · · · τu (i1) = α (i1) ̸= i1</p><p>e, como os ciclos τk são dois a dois disjuntos, existe um único τk tal que</p><p>τk (i1) = α (i1) .</p><p>Como os ciclos τk comutam entre si, podemos supor k = 1. Vejamos que τ1 = δ1.</p><p>Segue do fato de os ciclos τk serem dois a dois disjuntos, juntamente com o fato de que</p><p>τk (i1) = α (i1) que, se k ≥ 2, então τk (α (j1)) = α (j1) e, portanto,</p><p>α2 (j1) = α (α (j1)) = τ1τ2 · · · τu (α (j1)) = τ1 (τ2 · · · τu (α (j1))) = τ1 (α (j1)) .</p><p>Procedendo deste modo, concluímos que</p><p>τ1</p><p>(</p><p>αr−1 (j1)</p><p>)</p><p>= αr (j1) ,</p><p>para todo r ≥ 1, ou seja, que τ1 = δ1. Do mesmo modo, trabalhando com j2 em vez</p><p>de j1, a menos de reordenação, concluímos que τ2 = δ2. Continuando com este processo,</p><p>obteremos u = t e que, a menos de reordenação, τk = δk para todo k = 1, . . . , t. ■</p><p>Corolário 2.1.7 Todo elemento de Sn é um produto de transposições. Em outras</p><p>palavras, se T é a coleção das transposições de Sn, então Sn = ⟨T ⟩.</p><p>Capítulo 2. Representações por Permutações 47</p><p>Demonstração: Notemos que</p><p>id = (1, 2) (1, 2) .</p><p>Se α = (j1, . . . , jr) é um r-ciclo, então</p><p>α = (j1, jr) (j1, jr−1) · · · (j1j2) .</p><p>Deste modo, dado α ∈ Sn, segue do acabamos de provar e do Teorema 2.1.6 que α é um</p><p>produto de transposições. ■</p><p>Teorema 2.1.8 Se T1 = {(1, 2) , (1, 3) , . . . , (1, n)} e T2 = {(1, 2) , (2, 3) , . . . , (n− 1, n)},</p><p>então</p><p>Sn = ⟨T1⟩ = ⟨T2⟩ .</p><p>Demonstração: Segue do Corolário 2.1.7 que, para mostrarmos que Sn = ⟨T1⟩ = ⟨T2⟩, é</p><p>suficiente estabelecermos que (i, j) ∈ ⟨T1⟩ e (i, j) ∈ ⟨T2⟩ qualquer que seja a transposição</p><p>(i, j). Pois bem: notemos que</p><p>(i, j) = (1, i) (1, j) (1, i) ,</p><p>o que mostra que (i, j) ∈ ⟨T1⟩. Por outro lado, se 2 ≤ i ≤ n− 1, então</p><p>(1, i+ 1) = (1, i) (i, i+ 1) (1, i) .</p><p>Isto mostra que (1, i+ 1) ∈ ⟨T2⟩ sempre que (1, i) ∈ ⟨T2⟩, para todo i = 2, . . . , n−1. Como</p><p>(1, 2) ∈ ⟨T2⟩, concluímos então que (1, i) , (1, 3) , . . . , (1, n) ∈ ⟨T2⟩ e, consequentemente,</p><p>Sn = ⟨T1⟩ ⊂ ⟨T2⟩ ⊂ ⟨Sn⟩ ,</p><p>isto é, ⟨T2⟩ = Sn e o resultado segue. ■</p><p>Exercício 2.4 Seja p um número primo. Mostre que, se α ∈ Sp é um elemento de ordem</p><p>p, então α é um p-ciclo.</p><p>Exercício 2.5 Seja p um número primo. Mostre que Sp não possui elemento de ordem</p><p>kp com k ≥ 2.</p><p>Exercício 2.6 Sejam n, p e t inteiros positivos. Mostre que, se p é primo, então Sn possui</p><p>elementos de ordem pt se, e somente se, n ≥ pt.</p><p>Exercício 2.7 Mostre que se α ∈ S7, então |⟨α⟩| ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12}.</p><p>Exercício 2.8 Mostre que se α ∈ Sn pode ser escrito como um produto de transposições</p><p>disjuntas se, e somente se, O (α) = 2.</p><p>A decomposição de um elemento α de Sn como produto de transposições não é</p><p>única, mesmo diante da exigência de um número mínimo de transposições. Por exemplo,</p><p>(1, 2, 3) = (1, 3) (1, 2) = (2, 3) (1, 3). Contudo, a paridade do número de transposições em</p><p>uma decomposições é algo bem definido.</p><p>48 2.1. Grupos de permutações</p><p>Teorema 2.1.9 Seja α ∈ Sn. Se α1 · · ·αr e δ1 · · · δs são duas decomposições de α como</p><p>produto de transposições, então r e s possuem a mesma paridade.</p><p>Demonstração: Para cada polinômio p (x1, . . . , xn) em n variáveis e cada permutação</p><p>σ ∈ Sn, consideremos o novo polinômio σp definido por</p><p>σp (x1, . . . , xn) = p</p><p>(</p><p>xσ(1), . . . , xσ(n)</p><p>)</p><p>.</p><p>Evidentemente, para quaisquer ρ, σ ∈ Sn vale</p><p>(ρσ) p = ρ (σp) . (2.1)</p><p>Consideremos o polinômio particular P (x1, . . . , xn) definido por</p><p>P (x1, . . . , xn) =</p><p>∏</p><p>i</p><p>do teorema acima, diremos que α é uma permutação par se εα = 1</p><p>e que é uma permutação ímpar se εα = −1.</p><p>Lema 2.1.10 A coleção An das permutações pares de Sn é um subgrupo de Sn tal que</p><p>(Sn : An) = 2.</p><p>50 2.1. Grupos de permutações</p><p>Demonstração: Seja φ : Sn → {−1, 1} a função definida por</p><p>φ (α) = εα.</p><p>Então φ é um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é exatamente An. Logo, An é um</p><p>subgrupo (normal) de Sn e, do Teorema dos Isomorfismos,</p><p>(Sn : An) = |Sn/An| = |{−1, 1}| = 2.</p><p>Isto conclui a prova. ■</p><p>Exercício 2.9 Seja H um subgrupo de Sn. Mostre que H 1. Seja p um divisor primo de m. Neste caso, τ = σm/p</p><p>é um elemento de H de ordem p. Seja</p><p>τ = ρ1 · · · ρs</p><p>a decomposição de τ como produto de ciclos disjuntos. Assim,</p><p>p = O (τ) = mmc (O (ρ1) , . . . ,O (ρs))</p><p>e, sendo assim, ρ1, . . . , ρs são p-ciclos.</p><p>Caso I: p = 2.</p><p>54 2.1. Grupos de permutações</p><p>Neste caso, ρi é uma transposição para todo i = 1, . . . , s e s ≥ 2 é par já que τ ∈ H e</p><p>{id} ̸⊂ H ⊂ An. Façamos</p><p>ρ1 = (a, b) e ρ2 = (c, d) .</p><p>Se δ = (a, b, c), então</p><p>δρ1ρ2δ</p><p>−1 =</p><p>(</p><p>δρ1δ</p><p>−1</p><p>) (</p><p>δρ2δ</p><p>−1</p><p>)</p><p>= (δ (a) , δ (b)) (δ (c) , δ (d)) = (b, c) (a, d) .</p><p>Como as permutações δ−1, ρ3, . . . , ρs são disjuntas, elas comutam e, consequentemente,</p><p>δτδ−1 = δρ1 · · · ρsδ−1 = δρ1ρ2δ</p><p>−1ρ3 · · · ρs = (b, c) (a, d) ρ3 · · · ρs ∈ H</p><p>pois δ ∈ An, τ ∈ H e H ◁ An. Como τ−1 ∈ H, temos</p><p>δτδ−1τ−1 = (b, c) (a, d) ρ3 · · · ρsρ−1</p><p>s · · · ρ−1</p><p>3 ρ−1</p><p>2 ρ−1</p><p>1</p><p>= (b, c) (a, d) (c, d) (a, b)</p><p>= (a, c) (b, d) ∈ H.</p><p>Agora, tomando k /∈ {a, b, c, d} (o que é possível visto que n ≥ 5), temos</p><p>(a, k) (b, d) = (a, k, c) (a, c) (b, d) (a, k, c)−1 ∈ H</p><p>pois (a, k, c) ∈ An, (a, c) (b, d) ∈ H e H ◁ An. Logo,</p><p>(a, c) (b, d) (a, k) (b, d) ∈ H,</p><p>e, como</p><p>(a, c) (b, d) (a, k) (b, d) = (a, c) (a, k) (b, d) (b, d) = (a, c) (a, k) = (a, k, c) ,</p><p>o resultado segue.</p><p>Caso II: p > 3.</p><p>Escrevendo ρ1 = (a1, a2, a3, a4, . . . , ap), temos</p><p>τ = (a1, a2, a3, a4, . . . , ap) ρ2 · · · ρs.</p><p>Assim, se δ = (a1, a2, a3), então os</p><p>ciclos δ, ρ2, . . . , ρs são disjuntos e, consequentemente,</p><p>δτδ−1 = δρ1 · · · ρsδ−1</p><p>= δρ1δ</p><p>−1ρ2 · · · ρs</p><p>= (δ (a1) , . . . , δ (ap)) ρ2 · · · ρs</p><p>= (a2, a3, a1, a4, . . . , ap) ρ2 · · · ρs ∈ H.</p><p>Logo, como τ−1 ∈ H, concluímos que</p><p>δτδ−1τ−1 = (a2, a3, a1, a4, . . . , ap) ρ2 · · · ρsρ−1</p><p>s · · · ρ−1</p><p>2 ρ−1</p><p>1</p><p>= (a2, a3, a1, a4, . . . , ap) (a1, a2, a3, a4, . . . , ap)</p><p>−1</p><p>Capítulo 2. Representações por Permutações 55</p><p>= (a2, a3, a1, a4, . . . , ap) (ap, ap−1, . . . , a2, a1) ∈ H.</p><p>Uma verificação imediata mostra que</p><p>(a2, a3, a1, a4, . . . , ap) (ap, ap−1, . . . , a2, a1) = (a1, a2, a4)</p><p>e, portanto, H contém um 3-ciclo.</p><p>Caso III: p = 3.</p><p>Se s = 1, então τ é um 3-ciclo e o resultado está provado. Se s ≥ 2, escrevendo</p><p>ρ1 = (a, b, c) e ρ2 = (d, e, f) ,</p><p>temos</p><p>τ = (a, b, c) (d, e, f) ρ3 · · · ρs.</p><p>Se δ = (b, c, d), então é evidente que os ciclos δ, ρ3, . . . , ρs são disjuntos e, portanto,</p><p>δτδ−1 = δρ1 · · · ρsδ−1 = δρ1ρ2δ</p><p>−1ρ3 · · · ρs</p><p>= δρ1 · · · ρsδ−1 =</p><p>(</p><p>δρ1δ</p><p>−1</p><p>) (</p><p>δρ2δ</p><p>−1</p><p>)</p><p>ρ3 · · · ρs</p><p>= (δ (a) , δ (b) , δ (c)) (δ (d) , δ (e) , δ (f)) ρ3 · · · ρs</p><p>= (a, c, d) (b, e, f) ρ3 · · · ρs ∈ H</p><p>e, como τ−1 ∈ H, temos</p><p>δτδ−1τ−1 = (a, c, d) (b, e, f) ρ3 · · · ρsρ−1</p><p>s · · · ρ3 (d, e, f)−1 (a, b, c)−1</p><p>= (a, c, d) (b, e, f) (d, f, e) (a, c, b)</p><p>= (a, d, b, c, e) ∈ H.</p><p>Encontramos em H um 5-ciclo e, sendo assim, do caso anterior, H possui um 3-ciclo e a</p><p>prova está finalizada. ■</p><p>Vejamos o que ocorre para n = 4.</p><p>Teorema 2.1.18 Seja K = {id, (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3)} o grupo de Klein.</p><p>Então {id}, K e A4 são os únicos subgrupos normais de A4.</p><p>Demonstração: Escrevendo os elementos de S4 como produto de ciclos disjuntos,</p><p>observamos que</p><p>A4 = {3-ciclos} ∪K.</p><p>Sendo o único subgrupo de ordem 4 de A4, concluímos que K ◁A4. Agora, seja H</p><p>é injetora. Além disso,</p><p>Tg</p><p>(</p><p>g−aH</p><p>)</p><p>= gg−1aH = aH,</p><p>o que assegura a sobrejetividade de Tg. Logo, Tg ∈ Bij (C) e T é bem definida. Vejamos</p><p>que T é um homomorfismo. Notemos que, dados x, y ∈ G, temos</p><p>T (xy) (aH) = Txy (aH) = xyaH = Tx (yaH) = Tx (Ty (aH)) = (Tx ◦ Ty) (aH)</p><p>e, da arbitrariedade da classe aH, inferimos que</p><p>T (xy) = Tx ◦ Ty.</p><p>Fica assim estabelecido que T é uma representação de G em Bij (C).</p><p>Exemplo 2.2.6 Sejam G um grupo, H,K 0, concluímos também que p| |CG (x0)|. A arbitrariedade de x0 ∈ G\Z (G)</p><p>garante então que</p><p>p| |CG (x)| para todo x ∈ G \ Z (G)</p><p>e, portanto, da equação de classes,</p><p>|Z (G)| = |G| −</p><p>∑</p><p>xk /∈Z(G)</p><p>|Cxk</p><p>|</p><p>é uma diferença entre múltiplos de p e, portanto, |Z (G)| é um múltiplo de p. Segue,</p><p>então, do Teorema de Cauchy que existe um subgrupo H0 de Z (G) tal que |H0| = p.</p><p>Como todo grupo cuja ordem é um número primo é cíclico, existe h0 ∈ Z (G) tal que</p><p>H0 = ⟨h0⟩. Obviamente, ⟨h0⟩ ◁ G, de sorte que podemos cosiderar o grupo quociente</p><p>G/ ⟨h0⟩. Naturalmente, à luz do Teorema de Lagrange, |G/ ⟨h0⟩| = pm−1b e, portanto,</p><p>pn−1| |G/ ⟨h0⟩|. Assim, da hipótese de indução, existe um subgrupo K0 de G/ ⟨h0⟩ tal que</p><p>|K| = pn−1. Sejam π : G→ G/ ⟨h0⟩ a projeção canônica e H = π−1 (K). Então ⟨h0⟩</p><p>S| = pr e, daí, denotando |S| = pm, temos</p><p>|⟨x⟩S| = |⟨x⟩| · |S|</p><p>|⟨x⟩ ∩ S|</p><p>=</p><p>pk · pm</p><p>pr</p><p>= pm+k−r,</p><p>ou seja, ⟨x⟩S é um p-grupo. Contudo, como ⟨x⟩ e S estão ambos contidos em ⟨x⟩S,</p><p>concluímos que S é um subgrupo próprio de ⟨x⟩S e, neste caso,</p><p>pm = |S| m, contrariando a maximalidade de m dado que S é um</p><p>p-subgrupo de Sylow. ■</p><p>64 2.3. Teoremas de Sylow</p><p>Teorema 2.3.8 (Segundo Teorema de Sylow) SejamG um grupo finito, p um número</p><p>primo e S um p-subgrupo de Sylow de G. Se P é um p-subgrupo de G, então existe um</p><p>conjugado de S que contém P .</p><p>Demonstração: Seja C = {gSg−1 : g ∈ G} a coleção dos conjugados de S. Consideremos</p><p>a seguinte representação de P :</p><p>I : P → Bij (C)</p><p>x 7→ Ix : C → C</p><p>gSg−1 7→ xgSg−1x−1.</p><p>Sejam g1, . . . , gn ∈ G tais que, se Sk = gkSg</p><p>−1</p><p>k , então {O (S1) , . . . ,O (Sn)} é a coleção de</p><p>todas as órbitas desta representação. Assim,</p><p>O (Si) ∩O (Sj) = ∅ se i ̸= j e C =</p><p>n⋃</p><p>k=1</p><p>O (Sk)</p><p>e, portanto, do Princípio Aditivo,</p><p>|C| =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>|O (Sk)| . (2.4)</p><p>Notemos que, para todo k = 1, . . . , n, temos</p><p>E (Sk) = {a ∈ P : aSka = Sk} = P ∩NG (Sk)</p><p>Consequentemente, segue do Teorema 2.2.7 e do Lema 2.3.7 que</p><p>|O (Sk)| = (P : E (Sk)) = (P : P ∩NG (Sk)) = (P : P ∩ Sk) (2.5)</p><p>Por outro lado, segue do Exemplo 2.2.9 que</p><p>|C| = (G : NG (S)) . (2.6)</p><p>De (2.4), (2.5) e (2.6), temos</p><p>(G : NG (S)) =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>(P : P ∩ Sk) . (2.7)</p><p>Como P é um p-subgrupo de G e, para todo k = 1, . . . , n, (P : P ∩ Sk) | |P |, de G, para</p><p>todo k = 1, . . . , n existe um inteiro não-negativo nk tal que</p><p>(P : P ∩ Sk) = pnk . (2.8)</p><p>Seja m o maior inteiro não-negativo tal que pm| |G|. Neste caso, |S| = pm e |G| = pmb</p><p>para algum inteiro positivo b tal que mdc (p, b) = 1. Como S</p><p>que x ∈ A \ {0} é um divisor de zero se existe y ∈ A \ {0}</p><p>tal que</p><p>xy = 0 ou yx = 0.</p><p>Quando A não possui divisores de zero, isto é, quando xy ̸= 0 sempre que x e y são não-</p><p>nulos, dizemos que A é um anel com integridade. Quando (D,+, ·) é um anel comutativo</p><p>com unidade e integridade, dizemos que D é um domínio de integridade. Dizemos que</p><p>um elemento não-nulo x de um anel com unidade A possui inverso multiplicativo se</p><p>existe y ∈ A \ {0} tal que</p><p>xy = 1.</p><p>Um corpo é um domínio de integridade (K,+, ·) no qual todo elemento não-nulo possui</p><p>inverso multiplicativo, ou seja, (K,+, ·) é um corpo se, e somente se, (K,+) e (K \ {0} , ·)</p><p>são grupos abelianos.</p><p>OBSERVAÇÃO 3.1.3 Seja D um domínio de integridade.</p><p>(i) Sejam x, y, z ∈ D, com x ̸= 0. Se xy = xz, então y = z. Com efeito,</p><p>xy = xz ⇒ xy − xz = 0 ⇒ xy + x (−z) = 0 ⇒ x (y − z) = 0 ⇒ y − z = 0 ⇒ y = z.</p><p>70 3.1. A definição de anel e alguns exemplos preliminares</p><p>(ii) Se D é finito, então D é um corpo. De fato, se x ∈ D \ {0}, segue da finitude de D</p><p>que existem inteiros positivos m</p><p>︷︷ ︸</p><p>j termos</p><p>= ej.</p><p>Assim, denotando x = e1, dado o polinômio (a0, a1, . . . , an, 0, 0, 0, . . .) ∈ A, temos</p><p>(a0, a1, . . . , an, 0, 0, 0, . . .) = (a0, 0, 0, 0, . . .) + (0, a1, 0, 0, 0, . . .) + (0, . . . , 0, an, 0, 0, 0, . . .)</p><p>= a0 + a1e1 + · · ·+ anen</p><p>= a0 + a1x+ · · ·+ anx</p><p>n.</p><p>Então</p><p>A =</p><p>{</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>aix</p><p>i : n ∈ N e ai ∈ A para todo i = 1, . . . , n</p><p>}</p><p>.</p><p>O anel (A,+, ·), nestas condições, será denotado por A [x] e denominado de anel de</p><p>polinômios em uma variável sobre A.</p><p>Definição 3.2.2 Seja p (x) = a0 + a1x + · · · + anx</p><p>n ∈ A [x] com an ̸= 0. O inteiro</p><p>positivo n é dito o grau do polinômio p (x) e o coeficiente an é dito o seu coeficiente</p><p>líder. Quando o coeficiente líder de um polinômio é igual a 1, dizemos que o polinômio</p><p>em questão é mônico.</p><p>Observamos que não foi definido o grau do polinômio identicamente nulo. Podemos</p><p>definir recursivamente o anel de polimômios em k + 1 variáveis, k ≥ 1, sobre o anel A</p><p>fazendo</p><p>A [x1, . . . , xk, xk+1] = (A [x1, . . . , xk]) [xk+1] .</p><p>Capítulo 3. Anéis 75</p><p>Para fixar ideias, examinemos A [x1, x2]. Por definição, temos</p><p>A [x1, x2] = (A [x1]) [x2]</p><p>e, sendo assim, um elemento de A [x1, x2] é do tipo</p><p>((a0n)</p><p>∞</p><p>n=0 , (a1n)</p><p>∞</p><p>n=0 , . . . , (akn)</p><p>∞</p><p>n=0 , . . .) = ((akn)</p><p>∞</p><p>n=0)</p><p>∞</p><p>k=0</p><p>com akn ∈ A para todo k e todo n e (akn)</p><p>∞</p><p>n=0 = 0 para todo k a partir de um certo k0.</p><p>Seguindo o que já foi estabelecido anteriormente, observamos que x1 pode ser representado</p><p>por</p><p>(x1, 0, 0, 0, . . .) = ((0, 1, 0, 0, 0, . . .) , (0, 0, 0, . . .) , (0, 0, 0, . . .) , . . .)</p><p>e x2 pode ser representado por</p><p>(0, 1, 0, 0, 0, . . .) = ((0, 0, 0, . . .) , (1, 0, 0, 0, . . .) , (0, 0, 0, . . .) , . . .) .</p><p>Assim, qualquer elemento ((a0n)</p><p>∞</p><p>n=0 , (a1n)</p><p>∞</p><p>n=0 , . . . , (akn)</p><p>∞</p><p>n=0 , . . .) de A [x1, x2] pode ser</p><p>representado por</p><p>p (x1, x2) = p0 (x1) + p1 (x1)x2 + · · ·+ pm (x1)x</p><p>m</p><p>2</p><p>onde</p><p>pk (x1) = (akn)</p><p>∞</p><p>n=0 = ak0 + ak1x1 + ak2x</p><p>2</p><p>1 + · · · , k = 0, 1, 2, . . . ,m.</p><p>Um mesmo elemento de um anel de polinômios A [x1, x2] pode ser escrito de várias</p><p>formas. Por exemplo, em Z [x1, x2] se</p><p>p (x1, x2) =</p><p>(</p><p>1 + x1 + x21 + 2x31</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>2− x1 − 4x21</p><p>)</p><p>x2 + (3 + x1)x</p><p>2</p><p>2 + (3)x32</p><p>então</p><p>p (x1, x2) =</p><p>(</p><p>1 + 2x2 + 3x22 + 3x32</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>1− x2 + x22</p><p>)</p><p>x1 + (1− 4x2)x</p><p>2</p><p>1 + (2)x31</p><p>= (1) + (x1 + 2x2) +</p><p>(</p><p>x21 − x1x2 + 3x22</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>2x31 − 4x21x2 + x1x</p><p>2</p><p>2 + 3x32</p><p>)</p><p>.</p><p>Note que, no primeiro caso, p (x1, x2) pode ser visto como um polinômio na variável x2</p><p>com coeficientes em A [x1]; no segundo caso p (x1, x2) pode ser visto como um polinômio</p><p>na variável x1 com coeficientes em A [x2]; definindo o grau do monômio axi1x</p><p>j</p><p>2 como sendo</p><p>i+ j, observamos que, no terceiro caso, os termos de mesmo grau estão agrupados.</p><p>OBSERVAÇÃO 3.2.3 Dado p (x) =</p><p>n∑</p><p>j=0</p><p>ajx</p><p>j ∈ A [x], podemos considerar a função</p><p>polinomial associada p̃ : A→ A, definida por</p><p>p̃ (a) =</p><p>n∑</p><p>j=0</p><p>aja</p><p>j.</p><p>Notemos que um polinômio não-nulo pode ter a função identicamente nula como função</p><p>polinomial associada. De fato, é o que ocorre com p (x) = 1x+ 1x2 ∈ Z2 [x], pois</p><p>p̃</p><p>(</p><p>0</p><p>)</p><p>= 1 · 0 + 1 · 02 = 0,</p><p>p̃</p><p>(</p><p>1</p><p>)</p><p>= 1 · 1 + 1 · 12 = 1 + 1 = 0.</p><p>Veremos adiante que isto não ocorre se A é um domínio de integridade com um número</p><p>infinito de elementos.</p><p>76 3.3. Domínios euclidianos</p><p>3.3 Domínios euclidianos</p><p>No que segue, denotaremos por N0 o conjunto dos inteiros não negativos, isto é,</p><p>N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}.</p><p>Definição 3.3.1 Um domínio euclidiano (D,+, ·, φ) é um domínio de integridade</p><p>(D,+, ·) juntamente com uma função φ : D \ {0} → N0 que possui as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>(i) Para quaisquer a, b ∈ D, b ̸= 0, existem t, r ∈ D tais que</p><p>a = bt+ r, com φ (r) 0, então |a| = a e</p><p>a = t0 |b|+ r0 =</p><p>{</p><p>t0b+ r0, se b > 0,</p><p>(−t0) b+ r0 se b 0 e (t, r) = (−t0, r0) se b 0,</p><p>t0b− r0 se b 0 e (t, r) = (t0,−r0) se b 0 e, sendo assim, temos</p><p>0 0} ≠ ∅.</p><p>O Princípio da Boa Ordenação garante, então, que I+ possui um elemento mínimo n. É</p><p>evidente que nZ ⊂ I. Vejamos que vale a inclusão contrária. Pois bem: seja a ∈ I. Segue</p><p>do algoritmo de Euclides que existem inteiros t e r, com 0 ≤ r</p><p>dado α = a+ ib ∈ Z [i], temos</p><p>N (α) ≤ N (α)N (b) = ∥α∥2 ∥β∥2 = N (αβ)</p><p>Agora, sejam α, β ∈ Z [i], β ̸= 0. Digamos que α = a+ ib e β = c+ id, com a, b, c, d ∈ Z.</p><p>Desejamos determinar τ, ρ ∈ Z (i) tais que</p><p>α = βτ + ρ, com 0 ≤ N (ρ) Grau (a1 (x)) > Grau (a2 (x)) > · · ·</p><p>após um número finito de passos obtemos um polinômio ak (x) tal que ak (x) = 0 ou</p><p>Grau (ak) 0,</p><p>−1B ⊕−1B ⊕ · · · ⊕ −1B (n parcelas), se n 0, então</p><p>ψ (n) = ψ (1 + 1 + · · ·+ 1)</p><p>= ψ (1)⊕ ψ (1)⊕ · · · ⊕ ψ (1)</p><p>= 1B ⊕ 1B ⊕ · · · ⊕ 1B = φ (n)</p><p>Além disso,</p><p>φ (0) = 0B = ψ (0)− ψ (0) = ψ (0 + 0)− ψ (0) = ψ (0) + ψ (0)− ψ (0) = ψ (0)</p><p>e, portanto,</p><p>0B = ψ (0) = ψ (−1 + 1) = ψ (−1) + ψ (1) = ψ (−1) + 1B</p><p>Capítulo 3. Anéis 83</p><p>de onde segue que</p><p>ψ (−1) = −1B = φ (−1) .</p><p>Finalmente, se n</p><p>∈ A são tais que a = b, então φ (a) = φ (b). De fato, nestas condições, temos</p><p>a = b⇒ a− b = 0A</p><p>⇒ 0B = f (0A) = φ</p><p>(</p><p>0A</p><p>)</p><p>= φ</p><p>(</p><p>a− b</p><p>)</p><p>= f (a− b) = f (a)− f (b)</p><p>⇒ f (a) = f (b)</p><p>⇒ φ (a) = φ</p><p>(</p><p>b</p><p>)</p><p>e isto comprova a boa definição de φ. A sobrejetividade de φ é evidente. Notemos agora</p><p>que, se a e b são elementos arbitrários de ker f , então</p><p>φ</p><p>(</p><p>a+ b</p><p>)</p><p>= φ</p><p>(</p><p>a+ b</p><p>)</p><p>= f (a+ b) = f (a)⊕ f (b) = φ (a)⊕ φ</p><p>(</p><p>b</p><p>)</p><p>,</p><p>φ</p><p>(</p><p>a · b</p><p>)</p><p>= φ</p><p>(</p><p>a · b</p><p>)</p><p>= f (a · b) = f (a)⊙ f (b) = φ (a)⊙ φ</p><p>(</p><p>b</p><p>)</p><p>,</p><p>φ</p><p>(</p><p>1A</p><p>)</p><p>= f (1A) = 1B</p><p>e φ é um homomorfismo. Resta-nos estabelecer a injetividade de φ. Pois bem: dado</p><p>a ∈ A/ ker f , observamos que</p><p>φ (a) = 0B ⇒ f (a) = 0B ⇒ a ∈ ker f ⇒ a = 0A,</p><p>ou seja, φ é injetora. ■</p><p>Capítulo 3. Anéis 85</p><p>Teorema 3.4.10 (Teorema Chinês dos Restos) Sejam m1,m2, . . . ,mr inteiros posi-</p><p>tivos dois a dois coprimos. Então a aplicação</p><p>∆: Z → Zm1 × Zm2 × · · · × Zmr</p><p>x 7→ (x, x, . . . , x)</p><p>é sobrejetora.</p><p>Demonstração: É imediata a verificação de que ∆ é um homomorfismo de anéis. Além</p><p>disso</p><p>ker∆ =</p><p>{</p><p>x ∈ Z : ∆ (x) =</p><p>(</p><p>0, 0, . . . , 0</p><p>)}</p><p>= {x ∈ Z : x ≡ 0modm1, x ≡ 0modm2, . . . , x ≡ 0modmr}</p><p>= {x ∈ Z : x é múltiplo comum de m1,m2, . . . ,mr}</p><p>= {x ∈ Z : x é múltiplo de mmc (m1,m2, . . . ,mr)}</p><p>= {x ∈ Z : x é múltiplo de m1m2 . . .mr} = m1m2 . . .mrZ,</p><p>sendo esta última igualdade decorrente do fato de que m1,m2, . . . ,mr são coprimos dois</p><p>a dois. Segue do Teorema dos Isomorfimos que ∆ induz um isomorfismo</p><p>∆: Z/ ker∆ = Zm1m2...mr → Im∆</p><p>o que assegura, em particular, que</p><p>|Zm1m2...mr | = |Im∆| ,</p><p>isto é, assegura que</p><p>|Im∆| = m1m2 . . .mr.</p><p>Contudo,</p><p>|Zm1 × Zm2 × · · · × Zmr | = m1m2 . . .mr</p><p>e, consequentemente, como Im∆ ⊂ Zm1 × Zm2 × · · · × Zmr , inferimos que</p><p>Im∆ = Zm1 × Zm2 × · · · × Zmr ,</p><p>ou seja, concluímos que ∆ é sobrejetora. ■</p><p>3.5 Domínios fatoriais</p><p>Sejam D um anel e a ∈ D. Dizemos que b ∈ D é um divisor de a em D se existe</p><p>c ∈ D tal que a = bc. Alternativamente, dizemos nesta ocasião que b divide a ou que a</p><p>é um múltiplo de b e denotamos este fato simbolicamente por b|a.</p><p>Denotando a coleção dos elementos invertíveis em D por D∗, dizemos que a, b ∈ D são</p><p>associados em D se existe u ∈ D∗ tal que a = ub.</p><p>Um elemento não-invertível a ∈ D \ {0} é dito irredutível em D se a possui apenas</p><p>fatoração trivial em D, isto é, se b, c ∈ D são tais que a = bc, então b ∈ D∗ ou c ∈ D∗.</p><p>86 3.5. Domínios fatoriais</p><p>OBSERVAÇÃO 3.5.1 Notemos que os únicos divisores de um elemento irredutível a ∈ D</p><p>são os elementos associados a a e os elementos em D∗.</p><p>Um elemento não-invertível p ∈ D é dito primo se sempre que p divide um produto</p><p>ab de elementos de D, então p é divisor de pelo menos um dos fatores deste produto.</p><p>Sejam a1, a2, . . . , an ∈ D. Um elemento d deD será dito um máximo divisor comum</p><p>de a1, a2, . . . , an se possui as seguintes propriedades:</p><p>(i) d|ai para todo i = 1, 2, . . . , n;</p><p>(ii) se c|ai para todo i = 1, 2, . . . , n, então c|d.</p><p>O máximo divisor comum de a1, a2, . . . , an pode não existir.</p><p>OBSERVAÇÃO 3.5.2 SejaD um domínio e sejam a1, a2, . . . , an ∈ D. Se d1, d2 são máximos</p><p>divisores comuns de a1, a2, . . . , an, então d1 e d2 são associados em D. De fato, nestas</p><p>condições, devem existir k, ℓ ∈ D tais que d1 = kd2 e d2 = ℓd1. Assim,</p><p>d1 = kℓd1 ⇒ d1 − kℓd1 = 0 ⇒ d1 (1− kℓ) = 0 ⇒ 1− kℓ = 0 ⇒ kℓ = 1.</p><p>Logo, k e ℓ são invertíveis e, consequentemente, d1 e d2 são associados. Segue daqui</p><p>que, se D é um domínio, então, a menos de multiplicação por elementos invertíveis, há</p><p>a unicidade do mdc. Em um anel arbitrário, em geral, não há essa unicidade. Assim,</p><p>dadas as circunstâncias, consideraremos o mdc apenas em domínios. Neste ambiente</p><p>denotaremos o mdc entre os elementos a1, a2, . . . , an por mdc (a1, a2, . . . , an). Os elementos</p><p>a1, a2, . . . , an serão ditos primos entre si ou coprimos ou relativamente primos se</p><p>mdc (a1, an, . . . , an) = 1.</p><p>OBSERVAÇÃO 3.5.3 Em geral o conjunto dos elementos irredutíveis de um domínio não</p><p>é conhecido.</p><p>Exemplo 3.5.4 Em Z:</p><p>• Z∗ = {n ∈ Z : n é invertível} = {−1, 1};</p><p>• Para todo a ∈ Z, {n ∈ Z : n é associado a a} = {−a, a};</p><p>• {n ∈ Z : n é irredutível} = {±p : p é primo}.</p><p>Exemplo 3.5.5 Em Z+ iZ:</p><p>• Z∗ = {α ∈ Z+ iZ : α é invertível} = {±1,±i};</p><p>• Para todo α ∈ Z, {β ∈ Z+ iZ : β é associado a α} = {±α,±iα};</p><p>• {α ∈ Z+ iZ : N (α) é primo} ⊂ {α ∈ Z : α é irredutível}.</p><p>Teorema 3.5.6 Seja a e b elementos não-nulos de um domínio euclidiano (D,+, ·, φ).</p><p>Então:</p><p>Capítulo 3. Anéis 87</p><p>(i) φ (b) = φ (ba) se, e somente se, a é invertível;</p><p>(ii) φ (b) φ (1)} .</p><p>Então</p><p>{a ∈ D : φ (a) = δ} ⊂ {a ∈ D : a é irredutível} .</p><p>Demonstração: Seja a ∈ D tal que φ (a) = δ. Como δ > φ (1), concluímos que a é</p><p>não-invertível. Vejamos que a possui apenas fatorações triviais. De fato, se a = bc com c</p><p>não-invertível, então, segue do resultado anterior que</p><p>φ (b)</p><p>= 27 · 5 + 1 e 641 = 24 + 54.</p><p>Conclua a partir da primeira que 228 · 54 ≡ 1mod 641 e, em seguida, adicione 232 a ambos</p><p>os membros desta congruência.]</p><p>Capítulo 3. Anéis 89</p><p>Exercício 3.10 Seja n um inteiro positivo composto. Mostre que o anel (Zn,+, ·) não é</p><p>um corpo.</p><p>Exercício 3.11 Mostre que todo ideal não trivial de Z [i] contém algum elemento positivo</p><p>de Z.</p><p>Exercício 3.12 Seja (A,+, ·) um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A é dito</p><p>um ideal primo se é uma parte própria de A e, além disso, sempre que x, y ∈ A são tais</p><p>que xy ∈ P , pelo menos um destes elementos pertence a P . Um ideal M de A é dito um</p><p>ideal maximal se é uma parte própria de A tal que, sempre que I é um ideal de A que</p><p>contém P propriamente, temos I = A.</p><p>a) Mostre que um ideal I de A é primo se, e somente se, o anel quociente A/I é um</p><p>domínio.</p><p>b) Mostre que um ideal I de A é maximal se, e somente se, o anel quociente A/I é um</p><p>corpo.</p><p>c) Conclua que todo ideal maximal é um ideal primo.</p><p>Exercício 3.13 Seja F (R) o conjunto das funções f : R → R. Consideremos sobre</p><p>F (R) as operações usuais de soma e produto de funções (isto é, se f, g ∈ F (R), então</p><p>f + g e fg são as funções definidas pontualmente por (f + g) (x) = f (x) + g (x) e</p><p>(fg) (x) = f (x) g (x), respectivamente.) Mostre que, para todo r ∈ R,</p><p>Mr = {f ∈ F (R) : f (r) = 0}</p><p>é um ideal maximal de F (R).</p><p>Exercício 3.14 Exiba dois elementos α, β do anel Z [i], β ̸= 0, para os quais é possível</p><p>fazer a divisão de α por β de quatro maneiras distintas.</p><p>Exercício 3.15 Fixado m ∈ Z tal que |m| seja um número primo, sejam</p><p>Z+</p><p>√</p><p>mZ =</p><p>{</p><p>a+ b</p><p>√</p><p>m : a, b ∈ Z</p><p>}</p><p>e</p><p>φ : Z+</p><p>√</p><p>mZ → N0</p><p>a+ b</p><p>√</p><p>m 7→</p><p>∣∣a2 −mb2</p><p>∣∣ .</p><p>a) Mostre que φ (α · β) = φ (α) · φ (β), para quaisquer α, β ∈ Z+</p><p>√</p><p>mZ.</p><p>b) Mostre que (Z+</p><p>√</p><p>mZ,+, ·, φ) é um domínio euclidiano para m = −2, 2, 3.</p><p>Exercício 3.16 Seja (K,+, ·) um corpo e seja φ : K → N a função identicamente nula.</p><p>Mostre que (K,+, ·, φ) é um domínio euclidiano e mostre que o quociente e o resto são</p><p>univocamente determinados e efetivamente calculáveis.</p><p>90 3.6. Exercícios complementares</p><p>Exercício 3.17 Sejam φ : A1 → A2 um homomorfismo de anéis e a2 ∈ A2. Mostre que</p><p>existe um único homomorfismo de anéis φ̃ : A1 [x] → A2 com φ̃ (x) = φ (x) para todo</p><p>x ∈ A1 tal que φ (x) = a2.</p><p>Exercício 3.18 Mostre que R [x] / (x2 + 1) é um corpo isomorfo a C.</p><p>Exercício 3.19 Mostre que Z [x] / (x2 + 1) é um domínio isomorfo a Z [i].</p><p>Exercício 3.20 Sejam A um anel e φ : Z → A o único homomorfismo de Z em A. Como</p><p>kerφ é um ideal de Z, existe um único inteiro não-negativo c tal que kerφ = cZ. Este</p><p>inteiro c é denominado a característica do anel A.</p><p>a) Mostre que a característica de um domínio ou é igual a zero ou é igual a um número</p><p>primo.</p><p>b) Mostre que a característica do anel Zm × Zn é igual a mmc (m,n).</p><p>Exercício 3.21 Sejam A um anel e I um ideal de A.</p><p>a) Mostre que</p><p>φ : A [x] → (A/I) [x]</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>aix</p><p>i 7→</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>aix</p><p>i</p><p>é um homomorfismo de anéis.</p><p>b) Mostre que I [x] =</p><p>{</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>aix</p><p>i : ai ∈ I e n ∈ N0</p><p>}</p><p>é um ideal de A [x] e que os anéis</p><p>A [x] /I [x] e (A/I) [x] são isomorfos.</p><p>Exercício 3.22 Sejam D um domínio fatorial e a, b elementos não-nulos de D. Mostre</p><p>que mdc (a, b) existe.</p><p>Índice Remissivo</p><p>órbita, 60</p><p>índice, 13</p><p>adição, 68</p><p>Algoritmo de Euclides, 76</p><p>anel, 68</p><p>característica de um, 90</p><p>com integridade, 69</p><p>com unidade, 68</p><p>comutativo, 68</p><p>de polinômios, 74</p><p>dos inteiros de Gauss, 70</p><p>associatividade, 1, 68</p><p>automorfismo</p><p>de grupos, 30</p><p>interno, 31</p><p>característica de um anel, 90</p><p>centralizador, 39</p><p>centro de um grupo, 9</p><p>ciclo, 44</p><p>classe</p><p>de conjugação, 39</p><p>lateral à direita, 13</p><p>lateral à esquerda, 13</p><p>comprimento de um ciclo, 44</p><p>congruência módulo n, 3</p><p>conjugado, 39</p><p>conjunto</p><p>das classes laterais à direita, 13</p><p>das classes laterais à esquerda, 13</p><p>corpo, 69</p><p>distributividade, 68</p><p>divisor, 85</p><p>domínio</p><p>de fatoração única, 88</p><p>euclidiano, 76</p><p>fatorial, 88</p><p>domínio de integridade, 69</p><p>elemento</p><p>irredutível, 85</p><p>primo, 86</p><p>elemento neutro, 1</p><p>elemento(s)</p><p>coprimos, 86</p><p>primos entre si, 86</p><p>relativamente primos, 86</p><p>elementos associados, 85</p><p>equação das classes, 39</p><p>função polinomial , 75</p><p>grupo</p><p>abeliano, 1</p><p>cíclico, 10</p><p>comutativo, 1</p><p>das permutações, 4</p><p>das simetrias espaciais</p><p>de um quadrado, 6</p><p>de um triângulo equilátero, 5</p><p>de Klein, 55</p><p>linear geral, 4</p><p>ordem de um, 11</p><p>quociente, 19</p><p>simétrico, 4</p><p>simples, 42, 52</p><p>homomorfismo</p><p>de anéis, 82</p><p>de grupos, 22</p><p>ideal, 71</p><p>91</p><p>92 ÍNDICE REMISSIVO</p><p>maximal, 89</p><p>primo, 89</p><p>inverso</p><p>à direita, 70</p><p>à esquerda, 70</p><p>multiplicativo, 69</p><p>ismorfismo de anéis, 84</p><p>isomorfismo</p><p>de grupos, 26</p><p>múltiplo, 85</p><p>multiplicação, 3, 68</p><p>n-ésima projeção, 83</p><p>normalizador, 61</p><p>ordem</p><p>de um elemento, 11</p><p>de um grupo, 11</p><p>p-grupo, 63</p><p>p-subgrupos de Sylow, 63</p><p>permutação</p><p>ímpar, 49</p><p>par, 49</p><p>polinômio, 71</p><p>coeficiente líder de um, 74</p><p>grau de um, 74</p><p>mônico, 74</p><p>produto direto, 70</p><p>projeção canônica, 22, 82</p><p>representação, 58</p><p>por conjugação, 60</p><p>transitiva, 60</p><p>simétrico, 68</p><p>sinal de uma permutação, 49</p><p>subgrupo, 7</p><p>característico, 32</p><p>de torção, 12</p><p>dos comutadores, 10</p><p>gerado por um subconjunto não-vazio,</p><p>10</p><p>normal, 18</p><p>Teorema</p><p>Chinês dos Restos, 37, 85</p><p>de Cauchy, 40</p><p>de Euler, 14</p><p>de Fermat, 14</p><p>de Lagrange, 13</p><p>de Wilson, 42</p><p>dos Isomorfismos, 28, 84</p><p>tipo de decomposição de uma permutação,</p><p>50</p><p>transposição, 44</p><p>zero, 68</p><p>divisor de, 69</p><p>Grupos</p><p>A definição de grupo e alguns exemplos preliminares</p><p>Subgrupos</p><p>Classes laterais e o Teorema de Lagrange</p><p>Subgrupos normais e grupos quocientes</p><p>Subgrupos gerados pela união de dois subgrupos</p><p>Homomorfismos de grupos</p><p>Grupos cíclicos</p><p>Homomorfismos e automorfismos de grupos cíclicos</p><p>Classes de conjugação e o Teorema de Cauchy</p><p>Exercícios complementares</p><p>Representações por Permutações</p><p>Grupos de permutações</p><p>Representação de um grupo por permutações</p><p>Teoremas de Sylow</p><p>p-grupos finitos</p><p>Exercícios complementares</p><p>Anéis</p><p>A definição de anel e alguns exemplos preliminares</p><p>Anéis de polinômios</p><p>Domínios euclidianos</p><p>Homomorfismo de anéis</p><p>Domínios fatoriais</p><p>Exercícios complementares</p><p>e que</p><p>βα = α2β ̸= αβ.</p><p>Exercício 1.4 Construa a tabela de multiplicação de S3.</p><p>Exemplo 1.1.10 O grupo S△ das simetrias espaciais de um triângulo equilátero.</p><p>Seja ABC um triângulo equilátero. Coloquemos o centro de gravidade do triângulo na</p><p>origem O do espaço e denotemos por r1, r2 e r3 as retas do espaço que passam pelas</p><p>medianas do triângulo como mostra a Figura 1.1.</p><p>Figura 1.1</p><p>As transformações espaciais que preservam o triângulo são:</p><p>• id, R 2π</p><p>3</p><p>, R 4π</p><p>3</p><p>: as rotações planas centradas na origem O, no sentido anti-horário, de</p><p>ângulos 0,</p><p>2π</p><p>3</p><p>e</p><p>4π</p><p>3</p><p>, respectivamente.</p><p>• R1, R2, R3: as rotações espaciais de ângulo π com eixos r1, r2 e r3, respectivamente.</p><p>É fácil ver que S△ =</p><p>{</p><p>id, R 2π</p><p>3</p><p>, R 4π</p><p>3</p><p>, R1, R2, R3</p><p>}</p><p>, com a composição de funções, é um</p><p>grupo. O grupo não é abeliano pois</p><p>Figura 1.2</p><p>6 1.1. A definição de grupo e alguns exemplos preliminares</p><p>isto é, R1 ◦R2 = R 2π</p><p>3</p><p>e</p><p>Figura 1.3</p><p>ou seja, R2 ◦R1 = R 4π</p><p>3</p><p>.</p><p>Exemplo 1.1.11 O grupo D□ das simetrias espaciais de um quadrado. Seja</p><p>ABCD um quadrado. Coloquemos o centro de gravidade do quadrado na origem O do</p><p>espaço e denotemos por r1, r2, r3 e r4 as retas determinadas pelas diagonais e pelas</p><p>mediatrizes do quadrado, conforme a Figura 1.4.</p><p>Figura 1.4</p><p>As transformações espaciais que preservam o quadrado são:</p><p>• id, Rπ</p><p>2</p><p>, Rπ, R 3π</p><p>2</p><p>: as rotações planas centradas na origem O, no sentido anti-horário,</p><p>de ângulos 0,</p><p>π</p><p>2</p><p>, π e</p><p>3π</p><p>2</p><p>, respectivamente.</p><p>• R1, R2, R3, R4: as rotações espaciais de ângulo π com eixos r1, r2, r3 e r4,</p><p>respectivamente.</p><p>É fácil ver que S△ =</p><p>{</p><p>id, Rπ</p><p>2</p><p>, Rπ, R 3π</p><p>2</p><p>, R1, R2, R3, R4</p><p>}</p><p>, com a composição de funções, é</p><p>um grupo. O grupo não é abeliano pois</p><p>Capítulo 1. Grupos 7</p><p>Figura 1.5</p><p>isto é, R1 ◦R2 = R 3π</p><p>2</p><p>e</p><p>Figura 1.6</p><p>ou seja, R2 ◦R1 = Rπ</p><p>2</p><p>.</p><p>Exercício 1.5 Mostre que se (G1, ·) e (G2, ∗) são grupos então G = G1 ×G2 munido da</p><p>operação “⊙” definida por</p><p>(a, b)⊙ (c, d) = (a · c, b ∗ d)</p><p>também o é. Generalize.</p><p>1.2 Subgrupos</p><p>Definição 1.2.1 Seja H um subconjunto não-vazio de um grupo G. Diremos que H é um</p><p>subgrupo de G, e escreveremos H</p><p>Teorema 1.2.16 Sejam g um elemento de um grupo G e ⟨g⟩ o subgrupo gerado por g.</p><p>As seguintes condições são equivalentes:</p><p>(i) O (g) = n.</p><p>(ii) Existe t > 0 tal que gt = e.</p><p>Demonstração: (i) ⇒ (ii). Suponhamos que O (g) = n. Escrevendo ⟨g⟩ =</p><p>{g1, g2, . . . , gn}, consideremos o conjunto {g, g2, . . . , gn, gn+1}. Da definição de ⟨g⟩, temos{</p><p>g, g2, . . . , gn, gn+1</p><p>}</p><p>⊂ ⟨g⟩</p><p>e, consequentemente, do Princípio das Casas de Pombo, existem i, j ∈ N, 1 ≤ i 0 tal que gt = e.</p><p>(ii) ⇒ (i). Supondo que {t ∈ N : gt = e} ≠ ∅, seja n o elemento mínimo deste</p><p>conjunto. É lógico que {g, g2, . . . , gn} ⊂ ⟨g⟩. Seja m ∈ Z. Segue do algoritmo da</p><p>divisão de Euclides que existem e são únicos os inteiros q e r tais que m = nq + r e</p><p>0 ≤ r ≤ n− 1. Assim,</p><p>gm = gnq+r = (gn)q gr = egr = gr ∈</p><p>{</p><p>g, g2, . . . , gn</p><p>}</p><p>e, consequentemente, ⟨g⟩ ⊂ {g, g2, . . . , gn}. Daqui, ⟨g⟩ = {g, g2, . . . , gn}. ■</p><p>OBSERVAÇÃO 1.2.17 Notemos que, na demonstração do Teorema 1.2.16, ficou estabele-</p><p>cido que se g é um elemento de ordem finita do grupo G, então</p><p>O (g) = min</p><p>{</p><p>t ∈ N : gt = e</p><p>}</p><p>.</p><p>Consequentemente, se O (g) = n, então gt = e se, e somente se, n|t; e gr = gr+kn,</p><p>quaisquer que sejam k, r ∈ Z.</p><p>Exercício 1.13 Mostre que m gera (Zn,+) se, e somente se, mdc (m,n) = 1, isto é,</p><p>⟨m⟩ = (Zn,+) se, e somente se, m ∈ Z∗</p><p>n.</p><p>12 1.3. Classes laterais e o Teorema de Lagrange</p><p>Exercício 1.14 Sejam G um grupo e g ∈ G, g ̸= e.</p><p>a) Mostre que O (g) = 2 se, e somente se, g = g−1.</p><p>b) Mostre que se O (g) = mn, então O (gm) = n.</p><p>c) Mostre que O (g−1) = O (g).</p><p>Exercício 1.15 Mostre que se O (g) = 2 para todo g ∈ G, g ̸= e, então G é abeliano.</p><p>Exercício 1.16 Seja G um grupo abeliano e considere o subconjunto</p><p>T (G) = {g ∈ G;O (g) 1, sejam</p><p>m = pα1</p><p>1 · · · pαk</p><p>k p</p><p>αk+1</p><p>k+1 · · · pαr</p><p>r</p><p>n = pβ1</p><p>1 · · · pβk</p><p>k p</p><p>βk+1</p><p>k+1 · · · pβr</p><p>r</p><p>com βi r.</p><p>Do Teorema 1.3.12 segue que existe c ∈ G tal que O (c) = n, fato que contradiz a</p><p>maximalidade de r. ■</p><p>Exercício 1.19 Seja G = S3.</p><p>a) Determine todos os subgrupos de G e suas respectivas ordens.</p><p>b) Determine para cada H</p><p>do Teorema 1.5.1, HK</p><p>e x ∈ ker f , como f (eG1) = eG2 ,</p><p>devemos ter x = eG1 e, portanto, ker f = {eG1}. Reciprocamente, suponha que</p><p>ker f = {eG2} e sejam x1, x2 ∈ G1 tais que f (x1) = f (x2). Então</p><p>f</p><p>(</p><p>x1 · x−1</p><p>2</p><p>)</p><p>= f (x1) ∗ f</p><p>(</p><p>x−1</p><p>2</p><p>)</p><p>= f (x2) ∗ f (x2)−1 = eG2</p><p>e x1 · x−1</p><p>2 ∈ ker f . Da hipótese feita sobre ker f segue que x1 · x−1</p><p>2 = eG1 , o que acontece</p><p>se, e somente se, x1 = x2. Daqui, f é injetora. ■</p><p>Teorema 1.6.19 Seja f : (G1, ·) → (G2, ∗) um homomorfismo de grupos. Se O (x)</p><p>(</p><p>gx1g</p><p>−1</p><p>)</p><p>g = g−1</p><p>(</p><p>gx1g</p><p>−1</p><p>)</p><p>g</p><p>⇔</p><p>(</p><p>g−1g</p><p>)</p><p>x1</p><p>(</p><p>g−1g</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>g−1g</p><p>)</p><p>x2</p><p>(</p><p>g−1g</p><p>)</p><p>⇔ x1 = x2</p><p>e Ig é injetora. Se y ∈ G, fazendo x = g−1yg, observamos que x ∈ G e</p><p>Ig (x) = gxg−1 = g</p><p>(</p><p>g−1yg</p><p>)</p><p>g−1 =</p><p>(</p><p>gg−1</p><p>)</p><p>y</p><p>(</p><p>gg−1</p><p>)</p><p>= y</p><p>e Ig é sobrejetora.</p><p>Definição 1.6.31 Sejam G é um grupo e g ∈ G. O automorfismo Ig é denominado</p><p>automorfismo interno.</p><p>O conjunto dos automorfismos internos de um grupo G será representado por I (G).</p><p>Lema 1.6.32 Seja G um grupo. Então (I (G) , ◦) ◁ (Aut (G) , ◦).</p><p>Demonstração: Sejam g1, g2, g ∈ G. Então, dado x ∈ G,</p><p>(Ig1 ◦ Ig2) (x) = Ig1 (Ig2 (x))</p><p>= Ig1</p><p>(</p><p>g2xg</p><p>−1</p><p>2</p><p>)</p><p>= g1</p><p>(</p><p>g2xg</p><p>−1</p><p>2</p><p>)</p><p>g−1</p><p>1</p><p>= (g1g2)x (g1g2)</p><p>−1 = Ig1g2 (x)</p><p>e, da arbitrariedade de x, Ig1 ◦ Ig2 = Ig1g2 ∈ I (G). Percebemos facilmente que id = Ie.</p><p>Assim, desta última igualdade obtida segue que</p><p>Ig ◦ Ig−1 = Igg−1 = Ie = Ig−1g = Ig−1 ◦ Ig,</p><p>ou seja, para todo g ∈ G, I−1</p><p>g = Ig−1 ∈ I (G). Concluímos, portanto, que I (G) 0} ≠ ∅</p><p>e, consequentemente, do Princípio da Boa Ordenação, existe n = minH+. É lógico que</p><p>nZ ⊂ H. Suponhamos, para fins de contradição, que exista h ∈ H tal que h /∈ nZ. Então</p><p>n não divide h e, do Teorema de Euclides, existem e são únicos os inteiros q e r tais que</p><p>h = qn+ r, 0 0, temos r ∈ H+, contrariando a minimalidade de n. Logo, H = nZ.</p><p>(ii) Se m divide n, então n = km para algum k ∈ Z. Neste caso, para todo h ∈ Z,</p><p>temos</p><p>hn = h (km) = (hk)m,</p><p>ou seja, nZ ⊂ mZ. Reciprocamente, se nZ ⊂ mZ, então, em particular, n ∈ mZ e,</p><p>consequentemente, n = km para algum k ∈ Z, isto é, m divide n. ■</p><p>Exercício 1.28 Mostre que se K 0 pois, caso contrário, teríamos</p><p>h = at = aqm = (am)q ∈ ⟨am⟩ .</p><p>Observemos, agora, que</p><p>ar = at−qm = at ∗ a−qm ∈ H</p><p>e, consequentemente, r ∈ S, contrariando a minimalidade de m. Daqui, H = ⟨am⟩.</p><p>(ii) Se d é um divisor de n, fazendo k =</p><p>n</p><p>d</p><p>, seja H =</p><p>〈</p><p>ak</p><p>〉</p><p>. Notemos que O</p><p>(</p><p>ak</p><p>)</p><p>≤ d</p><p>pois (</p><p>ak</p><p>)d</p><p>= akd = an = e.</p><p>Capítulo 1. Grupos 35</p><p>Se fosse O</p><p>(</p><p>ak</p><p>)</p><p>= d′ k, teríamos q, r ∈ Z, com 0</p><p>O (b)</p><p>√</p><p>|G|</p><p>e |K| ></p><p>√</p><p>|G|. Mostre que |H ∩K| > 1.</p><p>Exercício 1.44 Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos. Mostre que f (G′</p><p>1) ⊆</p><p>(f (G1))</p><p>′.</p><p>Exercício 1.45 Sejam G um grupo e ψ : G → G a aplicação definida por ψ (x) = x−1.</p><p>Mostre que G é abeliano se, e somente se, a aplicação ψ é um homomorfismo.</p><p>Exercício 1.46 Seja G um grupo finito tal que |G| = mn, com mdc (m,n) = 1. Suponha</p><p>que exista um subgrupo H de G tal que |H| = n. Mostre que H é o único subgrupo normal</p><p>de G se, e somente se, H é normal em G. [Dica: Se K é um outro subgrupo de G de</p><p>ordem n, considere o conjunto HK.]</p><p>Exercício 1.47 Sejam G1, . . . , Gn grupos e H1 ◁G1, . . . , Hn ◁Gn. Mostre que H1× · · ·×</p><p>Hn ◁ G1 × · · · ×Gn e que</p><p>G1 × · · · ×Gn</p><p>H1 × · · · ×Hn</p><p>≃ G1</p><p>H1</p><p>× · · · × Gn</p><p>Hn</p><p>.</p><p>Exercício 1.48 Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos, onde G2 é um grupo</p><p>abeliano. Mostre que todos os subgrupos de G1 que contém ker f são subgrupos normais</p><p>de G1.</p><p>Exercício 1.49 Sejam G um grupo e (Hn)</p><p>∞</p><p>n=1 uma sequência de subgrupos de G tal que</p><p>Hn</p>