Notas-Grupos-Completo

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Notas de Curso
Teoria dos Grupos
Nivaldo Medeiros
Thiago Fassarella
Matemática
UFF
fevereiro 2021
Sumário
Introdução v
1 Conceitos Básicos 1
1.1 Primeiras definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Produtos de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 O produto direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.1 Conjugações em Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 O teorema da correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Grupos de matrizes 41
2.1 Grupo linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Grupo ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Grupo diedral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Grupo afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Grupo de transformações de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Grupos de matrizes sobre corpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 O produto semi-direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iii
3 Ações de grupos 65
3.1 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 A equação de classes de conjugação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.1 Grupos de ordem p2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Os teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Primeira aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Grupos de ordem pq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.3 Grupos de ordem pqr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Classificação de grupos de ordem ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Algumas palavras sobre p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Grupos simples e grupos solúveis 93
4.1 Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 An é simples, n > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 Critério de Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.3 PSL2(K) é simples, ∣K∣ > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.4 Sobre a classificação de grupos simples finitos . . . . . . . . . . 104
4.2 O teorema de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Introdução
Este texto está em preparação. Destina-se a contemplar a ementa do novo
curso de Teoria de Grupos do Bacharelado em Matemática da Universidade Fede-
ral Fluminense.
Aqui você encontrará os elementos básicos da teoria dos grupos: teorema de
Lagrange, subgrupos normais e quocientes, grupos simétricos, grupos de matri-
zes, o produto semi-direto. Nossa abordagem para os teoremas de Sylow é via
ação de grupos, que consideramos fundamental. Classificamos os grupos com or-
dem ≤ 15. E para terminar temos grupos solúveis, o Teorema de Jordan-Hölder e
resultados sobre a simplicidade do grupo alternado An (n ≥ 5) e PSL2(K) (K um
corpo com pelo menos 4 elementos).
É ainda uma versão bastante rudimentar. Sugestões e comentários são muito
bem-vindos.
Nivaldo, Thiago
Fevereiro, 2021.
v
Capítulo 1
Conceitos Básicos
1.1 Primeiras definições
Um grupo G é um conjunto com uma operação “⋅”, satisfazendo três proprie-
dades:
1. Associatividade:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), para quaisquer a, b, c ∈ G;
2. Elemento neutro: existe um elemento em G, denotado simplesmente por “1”,
que satisfaz:
1 ⋅ g = g ⋅ 1 = g, para todo g ∈ G;
3. Inversos: dado g ∈ G, existe h ∈ G tal que
g ⋅ h = h ⋅ g = 1.
O elemento neutro de G é único (verifique!). Dado g ∈ G, o inverso de g é único
(verifique!), e é denotado sugestivamente por g−1. Da associatividade, o elemento
gn ∶= g ⋅ g⋯g
´¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¶
(n vezes)
fica bem definido. Se n < 0, tomamos gn ∶= (g−1)−n e, para n = 0, g0 ∶= 1, para todo
g ∈ G. Com estas convenções,
gn ⋅ gm = gn+m para todos n, m ∈ Z e todo g ∈ G. (1.1)
1
2 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
É também comum denotar o elemento neutro por “e” e, principalmente em
textos introdutórios, a operação por “*”. Não seguiremos estas convenções aqui.
Exemplo 1.1.1. Alguns exemplos de grupos:
(1) Os números inteiros Z com a operação de soma; ou ainda Q, R ou C também
com a operação de soma.
(2) O anel Zn das classes residuais módulo n, com a operação de soma.
(3) O conjunto A∗ dos elementos invertíveis de um anel (A,+, ⋅), com a operação
de produto do anel. Em particular Q∗, R∗ ou C∗ com a operação de multipli-
cação. O elemento neutro é o ’1’.
(4) (O grupo linear). O conjunto GLn(K) das matrizes quadradas de ordem n in-
vertíveis, com entradas em um corpo K (por exemplo, K = C, R, Q ou Zp com
p um número primo), com o produto usual de matrizes. O elemento neu-
tro é a matriz identidade. Esse é o grupo dos elementos invertíveis do anel
(Mn(K),+, ⋅) formado por todas as matrizes quadradas de ordem n com ope-
ração usual de soma e multiplicação de matrizes.
(5) O conjunto S1 dos números complexos z com módulo ∣z∣ = 1, com a operação
de produto.
(6) O conjunto GL(V) formado pelas transformações lineares invertíveis de um
espaço vetorial V em si mesmo, com a operação de composição de funções. O
elemento neutro é a função identidade.
(7) (Grupo das permutações) O conjunto Perm C das bijeções C → C, onde C é um
conjunto qualquer, com a operação de composição de funções. A notação para
conjuntos finitos é especial:
Sn ∶= Perm{1, 2, . . . , n}
é chamado grupo simétrico. É comum usar a notação matricial para elementos
de Sn, por exemplo ( 1 2 3 43 4 1 2 ) indica a bijeção σ ∶ {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} tal que
σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ(3) = 1 e σ(4) = 2.
1.1. PRIMEIRAS DEFINIÇÕES 3
(8) O conjunto das bijeções do plano em si mesmo que preservam distâncias, com
a operação de composição, é o grupo das isometrias do plano. É um fato notá-
vel que toda isometria do plano pode ser escrita como composição de transla-
ções, rotações e reflexões. Veja [1, Capítulo 5].
(9) O conjunto das isometrias do plano que preservam X ⊂ R2, isto é,
Sim(X) ∶= {σ é isometria ∣ σ(X) = X}
é o grupo das simetrias de X. ◻
Exemplo 1.1.2. (Grupos diedrais) O grupo de simetrias de um polígono regular P
de n lados é denominado o grupo diedral Dn.
O grupo Dn possui exatamente 2n elementos: n deles são rotações de ângulos
2kπ/n (k = 0, . . . , n − 1) em torno do baricentro o de P; os outros n elementos são
as reflexões com respeito aos n eixos do polígono: são as retas que ligam o aos
vértices e pontos médios dos lados de P (note que há 2n desses pontos). O grupo
diedral volta na Seção 2.3.
Seja ρθ e RL as isometrias R2 → R2 dadas pela rotação de um ângulo θ emtorno
da origem no sentido anti-horário e a reflexão sobre uma reta L, respectivamente.
Figura 1.1: Eixos de polígonos regulares
● n = 3: O grupo diedral D3 é o grupo de simetrias de um triângulo equilátero.
Escrevendo ρ = ρ2π/3 e Ri para a reflexão sobre os eixos passando pelo vértice
i para i = 1, 2, 3, temos:
D3 = {1, ρ, ρ2, R1, R2, R3}.
Note que ρ2 = ρ ○ ρ = ρ4π/3.
4 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
● n = 4: Já o grupo diedral D4 é o grupo de simetrias de um quadrado. De-
notando ρ = ρπ/2 e por Rd, Re, Rv e Rh as reflexões sobre os eixos /, /, ∣ e —,
respectivamente, temos:
D4 = {1, ρ, ρ2, ρ3, Rd, Re, Rv, Rh}.
Note que ρ2 = ρπ/2 e ρ3 = ρ3π/2.
◻
Exemplo 1.1.3. (O grupo dos quatérnios) Este é um exemplo importante e surge
em diversos contextos, tendo relevância na Física e na Geometria.
O conjunto Q = {±1,±i,±j,±k} de 8 elementos com a operação multiplicativa
definida pelas relações
i2 = j2 = k2 = i ⋅ j ⋅ k = −1
forma um grupo, conhecido como o grupo dos quatérnios. Estas relações são sufi-
cientes para deduzir todos os produtos possíveis no grupo: como exercício, veri-
fique que valem os produtos
i ⋅ j = k, j ⋅ i = −k
j ⋅ k = i, k ⋅ j = −i
k ⋅ i = j, i ⋅ k = −j
que correspondem a acompanhar a figura à direita no sentido indicado pelas setas,
trocando o sinal quando mudarmos a ordem no produto.
No Exercício 1.40 veremos como construir concretamente este grupo usando
matrizes. ◻
Assim, em cada uma dessas situações, temos um conjunto com uma operação
que satisfaz as três propriedades exigidas para um grupo. É comum usar o sím-
bolo “⋅” para a operação do grupo. Porém muitas vezes escrevemos apenas gh no
lugar de g ⋅ h quando não há risco de confusão sobre a operação envolvida. Note a
abordagem abstrata que desenvolvemos. Qualquer teorema ou conceito que apre-
sentarmos, se não impusermos restrições, se aplica a qualquer um dos exemplos
apresentados.
1.2. SUBGRUPOS 5
É tradicional utilizar uma notação especial para o caso dos grupos nos quais a
operação é comutativa, isto é gh = hg para quaisquer g, h. Tais grupos são chama-
dos abelianos, ou aditivos. A simbologia com respeito à operação é convencionada
assim: trocamos “⋅” por “+”, g−1 por −g; o elemento neutro é denotado por 0; e,
finalmente, substituímos gn por ng. No Exemplo 1.1.1, os grupos em (a), (b) e (d)
são abelianos. Já os grupos diedrais e os quatérnios não são abelianos.
A ordem de um grupo G é simplesmente a sua cardinalidade e a denotamos
por ∣G∣. Por exemplo, os grupos Sn e Zn são finitos, e suas ordens são n! e n,
respectivamente.
1.2 Subgrupos
Dado um grupo G, um subconjunto H ⊂ G é um subgrupo de G se é não-vazio
e se é fechado com respeito a inversos e produtos de seus elementos, isto é, se
h−1 ∈ H e h ⋅ h′ ∈ H para todo h, h′ ∈ H.
Em particular, 1 ∈ H. Quando H é um subgrupo de G escrevemos H < G. Note
que, herdando o produto de G, o subgrupo H é também um grupo.
Exemplo 1.2.1.
(1) Para qualquer grupo G, os subconjuntos {1} e G são subgrupos, apelidados
subgrupos triviais.
(2) Z é um subgrupo do grupo aditivo Q;
(3) S1 é um subgrupo do grupo multiplicativo C∗;
(4) O grupo linear especial
SLn(R) = {A ∈ GLn(R) ∣ det A = 1}
formado pelas matrizes de determinante 1, é um subgrupo de GLn(R);
(5) O grupo das matrizes ortogonais
On(R) = {A ∈ GLn(R) ∣ At = A−1}
é um subgrupo de GLn(R). O grupo ortogonal estará de volta na Seção 2.2.
6 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
(6) Zn não é um subgrupo aditivo de Z.
(7) As translações e as rotações (em torno de um centro fixado) são subgrupos das
isometrias do plano. Já o conjunto das reflexões não: a composição de duas
reflexões com respeito a retas distintas não é uma reflexão, já que a composta
de duas reflexões preserva orientação.
Dado um subconjunto S de um grupo G, definimos o subgrupo gerado por S,
denotado por ⟨S⟩, como o menor subgrupo de G que contém S. Formalmente: ⟨S⟩
é, por definição, a interseção de todos os subgrupos de G que contém S.
De maneira equivalente, quando S é não-vazio, o subgrupo gerado por S é o
conjunto de todos os produtos finitos de elementos de S ou seus inversos:
⟨S⟩ = {s1s2⋯sn ∣ n ∈ N, si ∈ S ∪ S−1}.
No caso particular em que S = {g} é um conjunto unitário, temos
⟨{g}⟩ = {gn ∣ n ∈ Z}
que denotamos simplesmente por ⟨g⟩. Pode acontecer que este subgrupo seja
finito, uma vez que pode ocorrer gi = gj mesmo que i ≠ j.
A ordem de g, denotada o(g), é definida como o menor inteiro positivo n tal
que gn = 1, caso tal inteiro exista; caso contrário, definimos o(g) ∶= ∞. É um fato
básico que este número coincide com a cardinalidade de ⟨g⟩, como provaremos a
seguir.
Proposição 1.2.2. o(g) = ∣⟨g⟩∣.
Demonstração. Suponha que g tem ordem finita n. Dado um inteiro a, perfazemos
a divisão euclidiana por n, obtendo a = qn+ r com 0 ≤ r ≤ n− 1. Daí ga = (gn)q ⋅ gr =
gr, donde concluímos
⟨g⟩ = {1, g, g2, . . . , gn−1}.
Caso a ordem seja infinita, então gi ≠ gj sempre que i ≠ j: caso contrário (digamos
j > i), tem-se gj−i = 1, contradição. Logo ⟨g⟩ é infinito neste caso.
Exemplo 1.2.3.
1.3. CLASSES LATERAIS 7
(1) É claro que se G é um grupo finito, então todo elemento de G tem ordem finita.
A recíproca não vale: todo elemento do grupo infinito
Z2 ×Z2 ×Z2 ×⋯
possui ordem 2 (veja seção 1.7).
(2) Todo inteiro não nulo possui ordem infinita em Z.
(3) O grupo multiplicativo GL2(R) das matrizes 2 × 2 invertíveis com entradas
reais é infinito; entretanto, toda matriz idempotente, isto é, as matrizes A para
as quais existe n tal que An = I, possui ordem finita (você pode encontrar
alguma?).
(4) Pode ocorrer que g e h possuam ordem finita mas gh seja um elemento de
ordem infinita! Procure por exemplos no grupo GL2(R) do item anterior.
(5) No grupo Q dos quatérnios: o(1) = 1, o(−1) = 2 e todos os outros elementos
tem ordem 4.
1.3 Classes laterais
A operação de um grupo G diz respeito a seus elementos. Mas naturalmente
podemos estendê-la para subconjuntos: dados A, B ⊆ G, definimos
AB = {a ⋅ b ∣ a ∈ A, b ∈ B} e A−1 = {a−1 ∣ a ∈ A}.
Note que
A(BC) = (AB)C e (AB)−1 = B−1A−1
uma vez que estas propriedades são válidas para elementos. Quando um dos
conjuntos é unitário, abreviamos {a}B por aB. Produtos de conjuntos são muito
úteis e serão utilizados frequentemente a seguir.
Seja H um subgrupo de um grupo G. Associamos a H duas relações de equi-
valência. A primeira delas:
x ∼e y se xH = yH,
8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
para x, y ∈ G. Assim, x ∼e y se e somente se x ∈ yH ou ainda se e somente se
y−1x ∈ H. O conjunto dos elementos que são equivalentes a x é portanto xH, e é
denominado a classe lateral à esquerda de x. A segunda relação de equivalência é
definida por
x ∼d y se Hx = Hy.
Analogamente, o conjunto dos elementos equivalentes a x sob esta relação é Hx, e
é chamado classe lateral à direita de x. Com frequência mencionamos apenas “classe
lateral”, omitindo “à esquerda” ou “à direita” sempre que o contexto o permitir.
Em geral, as classes laterais à esquerda e à direita de um elemento g ∈ G não
coincidem. Por exemplo, tome H como sendo o subgrupo gerado por uma refle-
xão qualquer em D3 e considere as classes laterais de uma rotação r ≠ 1; então
rH ≠ Hr. Se G é abeliano, então gH = Hg para todo subgrupo H e todo elemento
x ∈ G (porém esta propriedade não caracteriza um grupo abeliano; veja o exemplo
dos quatérnios). Portanto, os conjuntos quocientes
G/∼e∶= {classes laterais à esquerda de H em G}
e
G/∼d∶= {classes laterais à direita de H em G}
não coincidem em geral. Ainda assim, a aplicação
xH ↦ Hx−1
está bem definida e define uma bijeção entre estes dois conjuntos. Isto nos permite
definir o índice de H em G, que denotamos por (G ∶ H), como sendo o número (ou,
melhor, a cardinalidade) de classes laterais à esquerda (ou à direita, tanto faz). O
índice de um subgrupo pode ser finito ou infinito.
Por outro lado, dado g ∈ G, a aplicação
H → gH
h ↦ gh
define uma bijeção; consequentemente, todas as classes laterais possuem a mesma
cardinalidade, igual a ordem de H. Veja a figura 1.2. Como G é a união disjunta
desuas (G ∶ H) classes laterais (à esquerda, digamos), fica demonstrado então o
teorema a seguir.
1.4. SUBGRUPOS NORMAIS 9
Figura 1.2: As classes laterais tem o mesmo tamanho, isto é, ∣H∣ = ∣aH∣ = ⋯. Aqui
o índice é (G ∶ H) = 4.
Teorema 1.3.1. Seja G um grupo finito. Então
∣G∣ = ∣H∣ (G ∶ H).
Corolário 1.3.2. (Lagrange) Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então a
ordem de H divide a ordem de G. Em particular, o(g) divide ∣G∣ para todo g ∈ G.
O corolário acima foi provado por Lagrange quando G é um grupo simétri-
co. Foi Jordan quem, percebendo na prova de Lagrange os elementos essenciais,
provou o Teorema 1.3.1.
Como ilustração, em um grupo de ordem 20 podemos ter subgrupos apenas
de ordens 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Nada nos garante que existam subgrupos com cada
uma dessas ordens. De fato a recíproca do Teorema de Lagrange não vale! Por
exemplo, o grupo A4 de permutações pares tem ordem 12 mas não possui nenhum
subgrupo de ordem 6 (veja o Exemplo 1.9.7).
1.4 Subgrupos normais
Seja H um subgrupo de um grupo G. É relativamente rara a situação em que
as classes laterais à esquerda e à direita de H em G coincidam. Os casos em isto
acontece são importantes e os estudamos agora.
10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Dizemos que o subgrupo H é normal em G, o que indicamos por H ⊲ G, se,
para todo elemento de G, suas classes laterais à esquerda e à direita coincidem;
mais precisamente, se Hg = gH para todo g ∈ G.
Este conceito pode ser reformulado de outras maneiras.
Proposição 1.4.1. São equivalentes:
(a) H é normal em G, isto é, gH = Hg para todo g ∈ G;
(b) gHg−1 = H, para todo g ∈ G;
(c) gHg−1 ⊆ H, para todo g ∈ G.
Demonstração. É imediato que (a) é equivalente a (b) e que (b) Ô⇒ (c). Mostremos
então que (c) Ô⇒ (b): seja g um elemento de G. Aplicando (c) para g−1 no
lugar de g, obtemos g−1Hg ⊆ H e daí segue H ⊆ gHg−1. A outra inclusão decorre
diretamente de (c) e portanto vale a igualdade em (b).
Na proposição acima, a formulação mais útil sem dúvida é a do item (c); nos
diz que um subgrupo é normal se e somente se é fechado por conjugações. Em
termos ainda mais explícitos: H é normal em G se e somente se ghg−1 ∈ H para
todo g ∈ G, h ∈ H.
Uma pergunta que surge naturalmente é se o conjunto de classes laterais G/∼e
é um grupo, para isso precisamos definir uma operação “⋅” entre duas classes
laterais qualquer xH e yH, e como você já deve ter percebido uma forma natural
de definir essa operação seria
(xH) ⋅ (yH) ∶= xyH.
Mas a vida não é tão simples: essa operação nem sempre está bem definida pois o
resultado do lado direito pode depender dos representantes x e y escolhidos, ou
seja, mesmo que aH = xH e bH = yH pode acontecer abH ≠ xyH. Porém quando
H é um subgrupo normal de G, o resultado independe dos representantes e a
operação está bem definida, como veremos agora. Seja H um subgrupo normal
de um grupo G. Então os conjuntos quocientes G/∼e e G/∼d são iguais; denotemo-
los por G/H. Se xH e yH são classes laterais, então temos as igualdades (como
conjuntos)
(xH)(yH) = (xH)(Hy) = x(HH)y = x(Hy) = xyH (1.2)
1.4. SUBGRUPOS NORMAIS 11
Figura 1.3: Como H é normal em G, o produto de classes está bem definido.
dado que H é normal em G e tendo em vista o Exercício 1.16. Isto nos leva a definir
uma operação em G/H, a saber,
(xH) ⋅ (yH) ∶= (xy)H. (1.3)
Por (1.2) esta operação está bem definida, i.e., independe dos representantes x e y
escolhidos. Veja a figura 1.3.
A operação em (1.3) faz do conjunto G/H um grupo. Com efeito, esta operação
herda a associatividade do grupo G; o elemento neutro é a classe 1H = H; e o
inverso da classe xH é a classe x−1H. O grupo (G/H, ⋅) é denominado o grupo
quociente de G por H.
Exemplo 1.4.2. Dado um grupo G, o centro de G, denotado por Z(G), é o conjunto
dos elementos de G que comutam com todos os outros, ou seja,
Z(G) = {x ∈ G ∣ gx = xg, para todo g ∈ G}.
O centro de G é sempre um subgrupo normal. Note que G é abeliano se e somente
se G = Z(G). ◻
Exemplo 1.4.3. O subgrupo dos comutadores de G é definido por
G′ = [G, G] ∶= ⟨{x−1y−1xy ∣ x, y ∈ G}⟩
12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
ou seja, G′ é o menor subgrupo de G que contém todos os comutadores
[x, y] ∶= x−1y−1xy.
Este é um subgrupo normal de G e, além disso, o quociente G/G′ é abeliano. Veja
o Exercício 1.31. Note que G é abeliano se e somente se G′ = {1}. ◻
Exemplo 1.4.4 (Centralizador e normalizador). Dado um subgrupo H de G defi-
nimos o centralizador de H em G por
CG(H) = {g ∈ G ∣ gh = hg, para todo h ∈ H}.
Quando H = ⟨x⟩, dizemos que
CG(x) = CG(⟨x⟩) = {g ∈ G ∣ gx = xg}.
é o centralizador de x em G. O normalizador de H em G é definido por
NG(H) = {g ∈ G ∣ gHg−1 = H}.
Claramente temos:
1. CG(H) < NG(H) < G;
2. H ⊲ NG(H) e NG(H) é o maior subgrupo de G com essa propriedade (Exer-
cício 1.30).
Além disso vale
CG(H) ⊲ NG(H)
veja o Exercício 1.62.
1.5 Produtos de subgrupos
Sejam A, B, subgrupos de um grupo G. Perguntamos: o produto
AB = {ab ∣ a ∈ A, b ∈ B}
é um subgrupo de G? Em geral, a resposta é não (busque um contra-exemplo
em S3: tome duas transposições distintas). Ainda assim, podemos determinar a
ordem do conjunto AB:
1.6. HOMOMORFISMOS 13
Proposição 1.5.1. Sejam A, B subgrupos finitos de um grupo G. Então
∣AB∣ =
∣A∣ ∣B∣
∣A ∩ B∣
. (1.4)
Demonstração: Considere a função A × B → AB dada por (a, b) ↦ ab. Dados a ∈ A
e b ∈ B, tudo que precisamos fazer é mostrar que a imagem inversa de ab possui
exatamente ∣A ∩ B∣ elementos, pois segue daí que
∣A × B∣ = ∣A ∩ B∣ ∣AB∣ .
Para tal fim, escrevemos A ∩ B = {g1, . . . , gn} e definimos ai = agi e bi = g−1i b. Então
aibi = ab, para cada i. Por outro lado, se x ∈ A e y ∈ B são tais que xy = ab, então
a−1x = by−1 ∈ A ∩ B e logo x = ai e y = bi para algum i.
Felizmente não é difícil caracterizar as situações em que o produto de subgru-
pos ainda é um subgrupo.
Proposição 1.5.2. AB é um subgrupo de G se e somente se AB = BA.
Demonstração: Suponha que AB é um subgrupo de G. Então, pelo Exercício 1.16,
BA = (A−1B−1)−1 = (AB)−1 = AB
como desejado. Reciprocamente, se AB = BA, então
(AB)(AB) = A(BA)B = A(AB)B = (AA)(BB) = AB e
(AB)−1 = B−1A−1 = BA = AB
e daí decorre AB é um subgrupo, mais uma vez pelo Exercício 1.16.
1.6 Homomorfismos
Uma aplicação f ∶G → H entre dois grupos é um homomorfismo se
f (x ⋅ y) = f (x) ⋅ f (y) ∀x, y ∈ G.
Note que o produto do lado esquerdo é feito em G, enquanto o do lado direito é
realizado em H.
14 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Decorre da definição que
f (1G) = 1H e f (x−1) = f (x)−1.
Sejam A e B subconjuntos de G e H, respectivamente. A imagem de A por f é
definida da maneira usual
f (A) = { f (g) ∣ g ∈ G}
Em contrapartida, a imagem inversa de B por f é o subconjunto dos elementos de
G que são levados em B:
f −1(B) = {g ∈ G ∣ f (g) ∈ B}.
Proposição 1.6.1. Se A e B são subgrupos de G e H, então f (A) é um subgrupo de H e
f −1(B) é um subgrupo de G.
Demonstração: Dados x, y em f (A), tome a, b em A tais que x = f (a) e y = f (b).
Então xy = f (a) f (b) = f (ab) e x−1 = f (a)−1 = f (a−1). Como A é um subgrupo,
temos ab e a−1 em A e logo xy e x−1 estão em f (A).
Tome agora a, b em f −1(B) e sejam x = f (a), y = f (b), que estão no subgrupo B.
Logo xy = f (ab) e x−1 = f (a−1) estão em B, donde concluímos que ab e a−1 estão
f −1(B), o que termina a prova.
Um isomorfismo é, por definição, um homomorfismo bijetor. Um fato impor-
tante é que função inversa f −1 de um isomorfismo f é também um homomor-
fismo. Veja o Exercício 1.36.
Observe que um homomorfismo injetor induz um isomorfismo de G sobre sua
imagem f (G). Por este motivo, um homomorfismo injetor é por vezes chamado
um mergulho.
Como usual, o núcleo N de um homomorfismo f ∶G → H é definido como o
conjunto dos elementos de G que são levados no elemento neutro de H, ou seja,
núcleo f = {g ∈ G ∣ f (g) = 1H}.
Também é comum denotar por ker( f ) para o núcleo de f , sigla que vem do inglês
kernel. O núcleo de um homomorfismo é um subgrupo de G. Mais ainda, se n
pertence ao núcleo de f e g ∈ G é arbitrário,
f (gng−1) =f (g) f (n) f (g−1) = f (gg−1) = 1H
1.6. HOMOMORFISMOS 15
ou seja, gNg−1 ⊆ N. Portanto, o núcleo é um subgrupo normal de G.
E vale a recíproca: todo subgrupo normal é de fato o núcleo de algum homo-
morfismo: dado N normal em G, temos a projeção canônica π∶G → G/N, dada por
g ↦ gN, um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é exatamente N.
Dois elementos x, y em G definem a mesma classe lateral com respeito ao nú-
cleo se e só se possuem a mesma imagem pelo homomorfismo f :
xN = yN ⇐⇒ y−1x ∈ N ⇐⇒ f (x) = f (y).
Temos portanto uma aplicação induzida do grupo quociente G/N no grupo H,
xN ↦ f (x), que analisamos a seguir.
Teorema 1.6.2 (Teorema dos Homomorfismos). Seja f ∶G → H um homomorfismo de
grupos, N o seu núcleo. Então a aplicação
ϕ∶G/N → H
xN ↦ f (x)
é um homomorfismo injetor. Em particular, os grupos G/N e f (G) são isomorfos.
Demonstração: Temos
ϕ(xN ⋅ yN) = ϕ(xyN) = f (xy) = f (x) f (y) = ϕ(xN) ⋅ ϕ(yN)
e logo a aplicação é realmente um homomorfismo. Se ϕ(xN) = ϕ(yN), então
1H = ϕ(xN)ϕ(yN)−1 = ϕ((xN)(yN)−1) = ϕ(xy−1N) = f (xy−1)
e logo xy−1 ∈ N, isto é, xN = yN, mostrando a injetividade e terminando a de-
monstração.
Exemplo 1.6.3. O teorema dos homomorfismos é uma ferramenta eficaz para des-
crever quocientes de grupos em termos de isomorfismos. Na prática, para mostrar
que A/B ≅ C, tudo o que você necessita é um homomorfismo sobrejetor A → C cujo
núcleo seja exatamente B. Vejamos alguns exemplos.
(1) O núcleo do homomorfismo R → S1 dado por t ↦ e2πit é exatamente o grupo
dos inteiros Z. Como esta aplicação é sobrejetora, segue do Teorema 1.6.2 que
R/Z ≅ S1. Da mesma forma, mostra-se que o quociente R2/Z2 é isomorfo ao
toro S1 × S1.
16 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
(2) O determinante det∶GLn(R)→ R∗ é um homomorfismo sobrejetor, cujo núcleo
é SLn(R), as matrizes de determinante 1. Assim, vale que
GLn(R)/SLn(R) ≅ R∗.
(3) Suponha que H e N são subgrupos de G, e que N é normal. Então HN é ainda
um subgrupo de G. Por outro lado, a aplicação H → HN/N dada por h ↦ hN
é um homomorfismo sobrejetor, cujo núcleo é H ∩ N. Segue daí que
H
H ∩ N
≅
HN
N
(compare com a Proposição 1.5.1).
1.7 O produto direto
A maneira mais simples de construir um grupo a partir de dois grupos G e H é
através do produto direto: como conjunto, consiste do produto cartesiano G × H.
O produto é feito coordenada a coordenada:
(g1, h1) ⋅ (g2, h2) ∶= (g1g2, h1h2)
com g1, g2 ∈ G, h1, h2 ∈ H. O elemento neutro é (1G, 1H). O inverso de (g, h)
é (g−1, h−1). Nessa construção, observe que, identificando G = G × {1H} e H =
{1G}× H, temos
G ⊲ G × H, H ⊲ G × H, G ∩ H = {1} e GH = G × H.
O produto direto de uma família finita de grupos G1, G2, . . . , Gk é definido de
maneira análoga.
O produto direto de uma família infinita {Gλ}λ∈Λ é definido como sendo o sub-
conjunto dos elementos (gλ) ∈ ∏λ∈Λ Gλ tais que gλ ≠ 1 somente para um número
finito de índices λ.
Em Álgebra Linear há uma situação parecida: se U e V são subespaços vetori-
ais de um espaço W tais que U +V = W e U ∩V = {0}, então W = U ⊕V, ou seja,
é a soma direta dos subespaços. Em particular, cada vetor de W se escreve, de
maneira única, como soma de vetores de U e V.
Vale algo similar para grupos, desde que seja acrescida, naturalmente, a hipó-
tese de que os subgrupos envolvidos sejam normais.
1.8. GRUPOS CÍCLICOS 17
Proposição 1.7.1. Sejam A, B subgrupos normais de um grupo G, tais que AB = G e
A ∩ B = {1}. Então ϕ∶A × B → G dada por (a, b) ↦ ab é um isomorfismo. Em particular,
todo elemento de G se escreve, de maneira única, como produto de elementos de A e B.
Demonstração: Para começar, note que se a ∈ A e b ∈ B, então ab = ba. Para isto,
basta mostrar que aba−1b−1 ∈ A ∩ B = {1}, o que de fato ocorre: por um lado,
aba−1 ∈ B uma vez que B é normal; por outro ba−1b−1 ∈ A, pois A é normal.
Agora, como a aplicação do enunciado é sobrejetora, basta mostrar que se trata
de um homomorfismo injetor. Se x = (a, b) e y = (a′, b′), então
ϕ(xy) = ϕ(aa′, bb′) = aa′bb′ = aba′b = ϕ(x)ϕ(y)
onde vale a penúltima igualdade vale pois mostramos que os elementos de A e B
comutam entre si. Finalmente:
1 = ϕ((a, b)) = ab Ô⇒ a = b−1 Ô⇒ a, b ∈ A ∩ B = {1}
e portanto o núcleo é trivial, ou seja, a aplicação é injetora.
Nas condições da proposição, dizemos que G é o produto direto interno dos sub-
grupos, o que fica indicado por G = A⊙ B.
Há uma generalização importante desta construção para o caso em que apenas
um dos subgrupos é normal. Veja a Seção 2.7 sobre o produto semi-direto.
1.8 Grupos cíclicos
Um grupo G é dito cíclico se G é gerado por um único elemento, isto é, se
existe g ∈ G tal que G = ⟨g⟩ = {gn ∣ n ∈ Z}. Em virtude de (1.1), todo grupo cíclico é
abeliano. A recíproca não vale: o exemplo mais simples é Z2 ×Z2.
Exemplo 1.8.1.
(1) O grupo aditivo dos números inteiros é um grupo cíclico infinito. De fato, Z é
gerado por 1 ou por −1 e estes são seus únicos geradores.
(2) Para cada n > 0, Zn é um grupo cíclico de ordem n, gerado por exemplo por
1̄. De forma geral, mostraremos no lema seguinte é que Zn = ⟨k̄⟩ se e somente
18 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
se mdc(k, n) = 1. Logo Zn possui φ(n) geradores distintos, onde φ∶N → N é a
função de Euler:
φ(n) = #{a ∈ {1, . . . , n} ∣ mdc(a, n) = 1}.
Por exemplo, φ(4) = φ(6) = 2; e φ(5) = 4, etc.
Lema 1.8.2. Seja n um inteiro positivo. As seguintes afirmações são equivalentes.
(a) Zn = ⟨k⟩;
(b) mdc(k, n) = 1;
(c) k ∈ Z∗n.
Demonstração. Primeiramente, observe que k gera Zn se, e somente se, podemos
escrever 1 como 1 = ak, a ∈ Z. Portanto é imediato que (a) é equivalente a (c).
Agora, 1 = ak para algum a ∈ Z se, e somente se, existem a e b inteiros tais que
ak + bn = 1, que equivale a dizer que mdc(k, n) = 1. Com isto concluímos que (a) é
equivalente a (b).
Os exemplos em 1.8.1 compreendem, a menos de isomorfismos, todos os gru-
pos cíclicos, como vemos na proposição a seguir.
Proposição 1.8.3. Seja G um grupo cíclico, digamos G = ⟨g⟩. Então:
(a) A aplicação Z→ G dada por k ↦ gk é um homomorfismo sobrejetor.
(b) Se G é infinito, então G ≅ Z; se G é finito, então G ≅ Zn, onde n = ∣G∣.
(c) Todo subgrupo de G é cíclico. Se G é finito de ordem n e A < G tem ordem m, então
A = ⟨gn/m⟩.
(d) Se G é finito de ordem n e m ∣ n, então existe um único subgrupo de G com ordem m.
Demonstração: (a) e (b): Sendo um subgrupo de Z, o núcleo da aplicação acima é
da forma nZ, para algum n ≥ 0. Daí, pelo teorema dos homomorfismos, temos
G ≅ Z/nZ = Zn. Se n = 0, então G ≅ Z; se n > 0, então G é isomorfo ao grupo de
resíduos módulo n.
1.9. PERMUTAÇÕES 19
(c): Se G é infinito, então G ≅ Z e logo A ≅ kZ para algum inteiro k ≥ 0. Suponha
que G é finito. Seja d o menor inteiro positivo tal que gd ∈ A. Seja a ∈ A, digamos
a = gk. Então existem únicos q, r ∈ Z tais que
k = qd + r, com 0 ≤ r < d.
Logo gr = gk−qd é um elemento de A. Segue-se que r = 0, pela escolha de d. Assim,
A = ⟨gd⟩. Em particular, se ∣A∣ = m, então d = n/m.
(d): O subgrupo ⟨gn/m⟩ possui ordem m e, pelo item (c), é o único com esta pro-
priedade.
Recorde que a ordem de um elemento g é a cardinalidade do subgrupo gerado
por g. Em particular, se G é finito, então o(g) divide ∣G∣ e portanto g∣G∣ = 1. Segue
desta observação o bem conhecido:
Teorema 1.8.4. (Euler) Seja n > 0 um inteiro. Se mdc(a, n) = 1, então
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Demonstração: O resultado segue simplesmente do fato de que o grupo multipli-
cativo (Zn)∗ possui ordem φ(n).
Como um caso particular do teorema de Euler, temos o popular
Corolário 1.8.5. (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é um primo e p ∤ a, então ap−1 ≡ 1
(mod p).
1.9 Permutações
Recorde que Perm A = {bijeções A → A} é o grupo de permutações de um con-
junto A. A operação é a composição de funções. De fato, muitas vezes o conjunto
A em si não interessa muito, apenas sua cardinalidade: se B é um outro conjunto
e existe uma bijeção entre A e B, então Perm A e Perm B são isomorfos. Se A é
finito com n elementos, então na maioria das vezes consideramos A = {1, 2, . . . , n}
e abreviamos Perm A por Sn.
Seja G um grupo.Uma maneira de definir uma ação de G em si mesmo é
através das translações: dado g ∈ G, definimos τg∶G → G por τg(x) = gx (x ∈ G).
20 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Vem da existência de inversos que esta aplicação é injetora e sobrejetora, mesmo
se G for infinito (verifique!).
Assim, a cada elemento de G fica associada uma bijeção, isto é, um elemento
do grupo Perm G. Dessa observação segue um resultado famoso de Cayley, que
mostra quão importantes são os grupos simétricos.
Teorema 1.9.1 (Cayley). A aplicação τ∶G → Perm G dada por g ↦ τg é um homomor-
fismo injetor. Como consequência, todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo
de Sn.
Demonstração: Se g, h, x ∈ G, então
τgh(x) = (gh)x = g(hx) = τg(τh(x)),
isto é, τgh = τg ○ τh, e portanto τ é um homomorfismo, que é injetor. Logo G e sua
imagem τ(G) são isomorfos e este último é um subgrupo de Perm G.
Seja σ ∈ Sn uma permutação, ou seja, uma bijeção {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Como descrevê-la? Uma maneira simples, porém de escrita longa, é arranjar o
domínio e imagem em linhas, fazendo corresponder em uma mesma coluna um
elemento e sua imagem:
(
1 2 ⋯ n
σ(1) σ(2) ⋯ σ(n)
) .
Entretanto certos tipos de permutações podem ser descritas de maneira mais efi-
ciente. Sejam j1, j2, . . . , jr números distintos. Denotamos por
(j1 j2⋯ jr)
a permutação que leva ji em ji+1 para i < r, leva jr em j1 e fixa todo elemento
diferente dos ji’s. Uma tal permutação é chamada um r-ciclo ou um ciclo de com-
primento r. Por exemplo,
(1 5 2 6) = (
1 2 3 4 5 6
5 6 3 4 2 1
)
é um 4-ciclo em S6.
1.9. PERMUTAÇÕES 21
Um mesmo r-ciclo pode ser representado de várias formas diferentes. Por
exemplo, (5 2 6 1), (2 6 1 5) e (6 1 5 2) representam exatamente o mesmo 4-ciclo
acima. De fato, um r-ciclo pode ser representado exatamente de r maneiras dis-
tintas. Nem toda permutação é um ciclo: ( 1 2 3 43 4 1 2 ) é um exemplo.
Um r-ciclo possui ordem r, mas a recíproca não vale. Todavia, se p é primo,
uma permutação de ordem p em Sp é um p-ciclo.
Dois ciclos (j1⋯jr) e (k1⋯ks) são ditos disjuntos se os conjuntos dos ji’s e ki’s
são disjuntos. Ciclos disjuntos permutam entre si.
Teorema 1.9.2. Toda permutação pode ser escrita como um produto de ciclos disjuntos.
Tal escrita é única, a menos da ordem na qual os ciclos aparecem.
A prova do teorema se faz por indução. É mais útil fazer um exemplo e mostrar
como funciona.
Exemplo 1.9.3. Tome σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 96 4 1 2 9 3 7 5 8 ) ∈ S9. Para a decomposição, acompa-
nhamos aplicações sucessivas da permutação ao número 1: 1 ↦ 6 ↦ 3 ↦ 1 o que
“fecha” um ciclo. Tome agora um número que não apareceu, digamos 5. Então
5 ↦ 9 ↦ 8 ↦ 5, fechando outro ciclo. Tomamos um número que ainda não surgiu
e repetimos: 2 ↦ 4 ↦ 2. Finalmente, falta apenas o número 7, que é levado em si
mesmo 7↦ 7 e portanto podemos ignorar. Assim
σ = (1 6 3)(5 9 8)(2 4)
é a decomposição em ciclos disjuntos. ◻
Em outras palavras, toda permutação se fatora como um produto de ciclos; em
uma analogia, os ciclos desempenham o mesmo papel que os números primos na
aritmética dos inteiros.
Os ciclos mais simples depois da identidade são os 2-ciclos e estes são chama-
dos de transposições. Um r-ciclo qualquer se escreve como um produto de r − 1
transposições: de fato,
(j1 j2 ⋯ jr) = (j1 j2)(j2 j3)⋯(jr−1 jr). (1.5)
Por exemplo, (6 1 3 7) = (6 1)(1 3)(3 7). Como toda permutação é um produto de
ciclos, segue-se que
Toda permutação é um produto de transposições.
22 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Na escrita como produto de transposições, não há unicidade; Por exemplo, o 4-
ciclo acima também admite as expressões
(6 1 3 7) = (7 6)(6 1)(1 3) = (2 3)(7 6)(6 1)(1 2)(2 3).
Entretanto a paridade do número de transposições que aparecem em uma tal de-
composição está bem definida, como veremos adiante.
O sinal de uma permutação σ ∈ Sn é definido por
sinal(σ) = ∏
1≤i<j≤n
σ(j)− σ(i)
j − i
(1.6)
onde o produto percorre todos os (n2) pares (i, j) ∈ I× I com i < j, para I = {1, 2, . . . , n}.
Uma permutação é dita par se seu sinal é positivo e ímpar caso contrário. Veja-
mos alguns exemplos.
Exemplo 1.9.4.
(1) O 3-ciclo σ = (1 2 3) ∈ S3 é uma permutação par:
sinal(σ) =
3− 2
2− 1
⋅
1− 2
3− 1
⋅
1− 3
3− 2
= 1
(2) Já o 4-ciclo σ = (1 2 3 4) em S4 é uma permutação ímpar:
sinal(σ) =
3− 2
2− 1
⋅
4− 2
3− 1
⋅
1− 2
4− 1
⋅
4− 3
3− 2
⋅
1− 3
4− 2
⋅
1− 4
4− 3
= −1
(3) Verifique que (1 2)(3 4) ∈ S4 é uma permutação par.
(4) Seja τ = (1 2). Dado j > i, então τ(j) < τ(i) se e somente se j = 2 e i = 1 e logo
sinal(1 2) = −1.
A princípio, o resultado do produtório em (1.6) é simplesmente um número
racional. Olhando com mais cuidado, percebemos de fato que o sinal assume
somente os valores −1 ou +1: com efeito dado um par (i, j) com i < j, observe que
para a = σ−1(i) e b = σ−1(j) tem-se σ(a)−σ(b) = ±(j− i); ou seja, cada denominador
na expressão em (1.6) também aparecem como algum numerador, eventualmente
com o sinal trocado. Isso fica bastante claro nos exemplos.
Calcular o sinal via a definição é muito trabalhoso. O resultado fundamental é
que o sinal é multiplicativo:
1.9. PERMUTAÇÕES 23
Teorema 1.9.5. Sejam α, β ∈ Sn permutações quaisquer. Então:
sinal(α ⋅ β) = sinal(α) ⋅ sinal(β).
Demonstração: Basta observar que
sinal(α ⋅ β) =∏
i<j
α(β(j))− α(β(i))
j − i
=∏
i<j
α(β(j))− α(β(i))
β(j)− β(i)
⋅∏
i<j
β(j)− β(i)
j − i
= sinal(α) sinal(β)
pois α e β são bijeções.
Corolário 1.9.6. As propriedades básicas para calcular o sinal de uma permutação são as
seguintes:
(a) Toda transposição tem sinal −1. Em particular, um produto τ1τ2⋯τm de transposições
tem sinal (−1)m.
(b) sinal(σ−1) = sinal(σ).
(c) O sinal de um r-ciclo é (−1)r−1.
(d) O produto de ciclos de ordens r1, . . . , rk tem sinal (−1)r1−1⋯(−1)rk−1.
Demonstração. Provemos (a). Vimos no exemplo acima que sinal(1 2) = −1. Tome
k ≠ 1, 2 e observe que (1 k) = (2 k)(1 2)(2 k). O Teorema 1.9.5 nos diz que o sinal é
multiplicativo e logo
sinal(1 k) = sinal(2 k) sinal(1 2) sinal(2 k) = sinal(1 2) sinal(2 k)2 = (−1).
Finalmente, dados i, j ∉ {1, 2}, temos (ij) = (1 i)(1 j)(1 i) e logo
sinal(i j) = sinal(1 j) sinal(1 i) sinal(1 j) = (−1)(−1)(−1) = −1
como queríamos. Da multiplicatividade do sinal vem que o produto de m trans-
posições tem sinal (−1)m.
Para (b), notamos que σ ⋅ σ−1 = (1) e usamos que o sinal é multiplicativo. Para
(c), vimos em (1.5) que todo r-ciclo se escreve como produto de r− 1 transposições
e logo basta usar (a). Finalmente, (d) segue de (c).
24 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Na permutação do Exemplo 1.9.3:
sinal ( 1 2 3 4 5 6 7 8 96 4 1 2 9 3 7 5 8 ) = sinal((1 6 3)(5 9 8)(2 4)) = (−1)
2(−1)2(−1) = −1.
Considere agora o subconjunto das permutações com sinal positivo
An = {permutações pares de Sn}
que são exatamente aquelas dadas como produto de um número par de transpo-
sições. Produtos e inversos de permutações pares são ainda permutações pares, e
portanto An é um subgrupo de Sn, chamado o grupo alternado de grau n.
Da multiplicatividade do sinal vem que temos um homomorfismo de grupos
sinal∶Sn → {±1}
cujo núcleo é exatamente An, que é portanto um subgrupo normal de Sn. Para n ≥
2 vale a sobrejetividade e do Teorema dos Homomorfismos vem que ∣An∣ = n!/2.
Exemplo 1.9.7. Para referência, apresentamos agora uma lista completa dos sub-
grupos de A4:
(1) 1 subgrupo de ordem 1: {(1)}
(2) 3 subgrupos de ordem 2: ⟨(12)(34)⟩, ⟨(13)(24)⟩ e ⟨(14)(32)⟩
(3) 4 subgrupos de ordem 3: ⟨(123)⟩, ⟨(124)⟩, ⟨(134)⟩ e ⟨(234)⟩
(4) 1 subgrupo de ordem 4 (grupo de Klein):
V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(32)}
(5) 1 subgrupo de ordem 12: A4.
Entre eles, o único subgrupo próprio normal é o grupo de Klein.
Na próxima proposição vamos mostrar que An, n ≥ 3, pode ser gerado apenas
pelos 3-ciclos.
Proposição 1.9.8. Para todo n ≥ 3, tem-se An = ⟨3-ciclos⟩.
1.9. PERMUTAÇÕES 25
Demonstração: Como vimos, todo r-ciclo se escreve como produto de r − 1 trans-
posições, em particular todo 3-ciclo é uma permutação par. Por outro lado, cada
permutação em An se escrevecomo um produto de um número par de transpo-
sições. Agrupando-as de par em par, temos dois casos: elas são disjuntas ou não.
Para cada caso, temos
(ab)(cd) = (acb)(acd) e (ab)(bc) = (abc)
e portanto todo elemento de An se escreve como produto de 3-ciclos, o que ter-
mina a demonstração.
1.9.1 Conjugações em Sn
Dizemos que dois elementos g, h em um grupo G são conjugados se existe x ∈ G
tal que g = xhx−1. Veremos agora que realizar conjugações em Sn é uma tarefa
relativamente simples.
Começamos com um caso concreto: tome α = (134) um 3-ciclo e considere
σ = ( 1 2 3 42 4 1 3 ). Afirmamos que
σασ−1 = (2 1 3)
como você pode verificar diretamente, se quiser. Note que o resultado ainda foi
um 3-ciclo, milagrosamente obtido aplicando-se σ nas entradas do ciclo original,
isto é,
σασ−1 = (σ(1) σ(3) σ(4)).
E isto é o que acontece em geral!
Recorde que sempre podemos escrever uma permutação como produto de ci-
clos disjuntos. A sequência das ordens dos ciclos é chamada estrutura ou tipo de
ciclos da permutação. Por exemplo, (134)(27)(68) tem estrutura de ciclos (3, 2, 2).
Proposição 1.9.9. Conjugações preservam estruturas de ciclos. De maneira precisa, dada
uma permutação σ em Sn qualquer, temos:
(a) Se ρ = (a1 a2⋯ar) é um r-ciclo, então σρσ−1 é o r-ciclo (σ(a1) σ(a2)⋯σ(ar)).
(b) Dada α ∈ Sn uma permutação qualquer, então α e σασ−1 têm a mesma estrutura de
ciclos.
26 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
(c) Mais ainda, duas permutações em Sn são conjugadas se e somente se têm a mesma
estrutura de ciclos.
Demonstração. Para (a), devemos provar que
σρσ−1 e γ = (σ(a1)σ(a2)⋯σ(ar))
são permutações iguais. Aplicando o r-ciclo γ em σ(a1) obtemos σ(a2). Por outro
lado,
(σρσ−1)(σ(a1)) = (σρ)(a1) = σ(ρ(a1)) = σ(a2).
Uma conta análoga mostra que as permutações concidem em σ(ai) para todo i. E
se b /∈ {σ(a1), . . . , σ(ar)}, então σ−1(b) /∈ {a1, . . . , ar}, e portanto γ(b) = b = σρσ−1(b).
Para (b), basta observar σρ1ρ2σ−1 = σρ1σ−1σρ2σ−1, etc e usar o item (a).
Finalmente, para (c) é suficiente observar que dadas duas partições quaisquer
{A1, . . . , As} e {B1, . . . , Bs} de {1, 2, . . . , n} em subconjuntos ordenados tais que
∣Ai∣ = ∣Bi∣ para todo i, existe uma permutação σ em Sn tal que σ(Ai) = Bi.
Corolário 1.9.10. Seja n ≥ 5. Todos os 3-ciclos são conjugados entre si em An, i.e., dados
α e β dois 3-ciclos, então existe σ ∈ An tal que α = σβσ−1.
Demonstração. Basta mostrar que qualquer 3-ciclo α é conjugado a (123) em An.
Pela proposição anterior, existe τ ∈ Sn tal que τατ−1 = (123). Se τ ∈ An então não
há nada a fazer, escolhemos σ = τ. Se τ ∉ An tomando σ = (45)τ ∈ An ainda temos
σασ−1 = (45)τατ−1(45)−1 = (123)
como queríamos.
1.10 O teorema da correspondência
Nosso próximo passo é descrever a estrutura dos subgrupos de um quociente
G/N em termos dos subgrupos de G que contém N. Necessitamos de um resul-
tado auxiliar.
Lema 1.10.1. Seja f ∶G → H um homomorfismo de grupos e tome N seu núcleo.
(a) Se A é um subgrupo de G contendo N, então f −1( f (A)) = A.
1.10. O TEOREMA DA CORRESPONDÊNCIA 27
(b) Se K é um subgrupo de f (G), então f ( f −1(K)) = K.
Demonstração: Para começar, observe que para quaisquer subconjuntos A ⊂ G e
K ⊂ H valem
f −1( f (A)) ⊇ A e f ( f −1(K)) = K ∩ f (G).
Isso prova (b) e nos deixa apenas a tarefa de provar a inclusão restante em (a).
Tome x em f −1( f (A)). Então f (x) = f (a) para algum a ∈ A e, sendo f um ho-
momorfismo, segue-se que a−1x pertence a N, que supomos contido em A; logo
x ∈ A, como desejado.
Teorema 1.10.2 (Teorema da Correspondência). Seja f ∶G → H um homomorfismo de
grupos e N o seu núcleo. Temos uma bijeção
Ψ∶{subgrupos de G contendo N} → {subgrupos de f (G)}
A ↦ f (A)
f −1(K) ↤ K
onde as aplicações indicadas são inversas uma da outra. Esta bijeção preserva quase tudo
que você possa desejar: inclusões, índices, interseções, produtos, conjugados, subgrupos
normais e quocientes. De maneira precisa, se A e B são subgrupos de G que contém N,
então:
(a) (G ∶ A) = ( f (G) ∶ f (A)).
(b) f (A ∩ B) = f (A)∩ f (B).
(c) f (A ⋅ B) = f (A) ⋅ f (B).
(d) B = gAg−1 se e somente se f (B) = f (g) f (A) f (g)−1.
(e) A ⊲ G se e somente se f (A) ⊲ f (G).
(f) Se A ⊲ G, então G/A ≅ f (G)/ f (A).
G
f
// f (G)
B // f (B)
A // f (A)
N // {1}
Demonstração: O ponto mais importante, de que as aplicações indicadas são in-
versas (tanto à esquerda quanto à direita) uma da outra, foi provado no oportuno
Lema 1.10.1. É evidente que inclusões são preservadas. Resta-nos conferir a lista
de afirmações.
28 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Para o item (a), note que xA ↦ f (x) f (A) estabelece uma bijeção entre {classes
laterais de A em G} e {classes laterais de f (A) em f (G)}; sua inversa se define
assim: dado y ∈ f (G), associe y f (A) ↦ zA, onde z ∈ G satisfaz f (z) = y (qualquer
escolha de z serve). Você está convidado a verificar os pormenores.
Para (b), observe que para conjuntos sempre vale
f −1( f (A)∩ f (B)) = f −1( f (A))∩ f −1( f (B))
e logo a igualdade segue do item (b) do Lema 1.10.1. Prova-se (c) e (d) com um
artíficio similar. Para (e):
gAg−1 = A ⇐⇒ f (gAg−1) = f (A) ⇐⇒ f (g) f (A) f (g)−1 = f (A).
Finalmente, o item (f): como o homomorfismo G → f (G)/ f (A) dado por x ↦
f (x) f (A) é sobrejetor e tem como núcleo f (A), basta aplicar o Teorema dos Ho-
momorfismos 1.6.2.
Uma situação típica de aplicação do teorema é para quocientes: se N é um
subgrupo normal de G, consideramos a projeção canônica π∶G → G/N. A cor-
respondência acima nos diz que temos um “espelho”: entender os subgrupos de
G/N significa entender os subgrupos de G que contém N; informações de um lado
se traduzem do outro lado. Como sempre, tudo se entende melhor com um bom
exemplo.
Exemplo 1.10.3. Faremos aqui algumas afirmações que serão justificadas mais
tarde. O objetivo aqui é ilustrar a correspondência no Teorema 1.10.2.
Tome S4 o grupo das permutações de 4 elementos e considere o grupo de Klein
V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
(V vem de Vier, ‘quatro’, em alemão). Note que o grupo V é formado por todos os
produtos possíveis de transposições disjuntas em quatro elementos. Como conju-
gações em Sn preservam estruturas de ciclos, segue que este é subgrupo normal
de S4. O quociente S4/V é portanto um grupo com seis elementos. Para α = (12)V
e β = (13)V, temos
αβ = (213)V ≠ (312)V = βα.
e logo S4/V não é abeliano. Da classificação dos grupos de ordem 6 que veremos
adiante, segue-se que S4/V ≅ S3. Agora, como conhecemos todos os subgrupos de
1.10. O TEOREMA DA CORRESPONDÊNCIA 29
S3, podemos dizer que conhecemos todos os subgrupos de S4 que contém V, via
o Teorema da Correspondência 1.10.2. Um diagrama, mil palavras:
S4
2
3 3
3
S4/V ≅ S3
H ⟨(123)⟩
T12 T13 T23 ⟨(12)⟩ ⟨(13)⟩ ⟨(23)⟩
V {1}
Aqui, H e Tij indicam os subgrupos de S4 correspondendo aos subgrupos ⟨(123)⟩
e ⟨(ij)⟩ de S3, respectivamente. Os números acompanhando as linhas indicam o
índice. Por exemplo, (S4 ∶ H) = 2, ou seja, H possui 12 elementos. Deduzimos daí
que H = A4, pois este é o único subgrupo de S4 com esta cardinalidade.
Cada um dos grupos Tij possui 8 elementos. Ocorre que todo subgrupo T de S4
com ordem 8 contém V como subgrupo. Para ver isto, note que T não está contido
em A4 e logo metade dos seus elementos são permutações pares. Em S4, as únicas
permutações pares são os elementos do grupo de Klein ou os 3-ciclos. Porém T
não contém 3-ciclos e logo V ⊂ T.
A conclusão é que S4 possui exatamente 3 subgrupos de ordem 8, os subgrupos
Tij que aparecem na correspondência acima. Um deles é nosso velho conhecido, é
o famigerado D4 = ⟨(1234), (12)(34)⟩. Os subgrupos ⟨(i j)⟩ são conjugados em S3 e
logo os subgrupos Tij são conjugados entre si em S4; portanto os outros subgrupos
de ordem 8 são ⟨(1324), (13)(24)⟩ e ⟨(1243), (12)(34)⟩, todos isomorfos entre si.
Em particular, os subgrupos Tij não são normais em S4.
Embora trabalhoso, é um instrutivo exercício estabelecer concretamente a cor-
respondência acima. Para isso é necessário escolher um isomorfismo entre S4/V →
S3 e há vários deles:basta escolher elementos de ordens 2 e 3. Em um exemplo,
tome α = (12)V e γ = (123)V e associe α ↦ (12) e γ ↦ (123). Você está escalado
para descobrir o que acontece neste caso. ◻
30 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
1.11 Automorfismos
Um automorfismo de um grupo G é um isomorfismo de G em si mesmo. Com
a operação de composição, os automorfismos de G formam um grupo, denotado
por Aut G.
Dado g ∈ G, a função ιg∶G → G dada por x ↦ gxg−1 é um automorfismo de G.
Como
ιgh = ιg ○ ιh (g, h ∈ G) (1.7)
temos um homomorfismo Int ∶ G → Aut G, que associa cada elemento g ∈ G ao
elemento ιg ∈ Aut G. Em particular, sua imagem, Int(G), é um subgrupo de Aut G,
chamado o grupo dos automorfismos internos. Um automorfismo interno ιg é a
aplicação identidade de G se e somente se g comuta com todos os elementos de
G. Pelo teorema dos homomorfismos, temos
Int(G) ≅
G
Z(G)
. (1.8)
Como aplicação, mostremos todo grupo com pelo menos três elementos possui
automorfismos distintos da identidade.
Proposição 1.11.1. Todo grupo finito G de ordem ≥ 3 possui pelo menos um automorfismo
não-trivial.
Demonstração: Temos três casos.
Se G é não-abeliano, então Z(G) é um subgrupo próprio de G e do isomorfismo
em (1.8) vem que G possui um automorfismo interno não-trivial.
Se G é abeliano, então x ↦ x−1 define um automorfismo, que não é trivial caso
exista algum elemento com ordem > 2.
Por fim, se G é abeliano e todo elemento de G ∖ {1} possui ordem 2, então G
é isomorfo ao produto Zk2 = Z2 ×⋯×Z2 para algum k (este é um bom exercício!);
como ∣G∣ ≥ 3, temos k ≥ 2 e daí (x, y, . . . ) ↦ (y, x, . . . ) define um automorfismo
não-trivial de G.
Para concluir essa seção vamos estudar o grupo de automorfismos de Zn, e
consequentemente o grupo de automorfismos de qualquer grupo finito cíclico.
1.12. EXERCÍCIOS 31
Proposição 1.11.2. Seja n um inteiro positivo, então
(AutZn, ○) ≃ ((Zn)∗, ⋅).
Mais precisamente, AutZn é o grupo formado pelos automorfismos multiplicativos µk ∶
Zn → Zn, m ↦ km, onde mdc(k, n) = 1.
Demonstração. Seja ϕ∶Zn → Zn um homomorfismo. Observe que ϕ é o homomor-
fismo de multiplicação por ϕ(1) ∈ Zn, pois
ϕ(m) = ϕ(1̄+⋯+ 1̄) = ϕ(1̄)+⋯+ ϕ(1̄) = m ⋅ ϕ(1̄).
Para que ϕ seja um automorfismo é necessário e suficiente que ϕ envie gerador em
gerador, e pelo Lema 1.8.2, ϕ(1) é um gerador de Zn se, e somente se, ϕ(1) ∈ Z∗n.
A função
Ψ ∶ (AutZn, ○) → ((Zn)∗, ⋅)
ϕ ↦ ϕ(1)
é um homomorfismo de grupos claramente injetivo. Além disso, Ψ é sobrejetiva
pois dado k ∈ Z∗n, considerando o homomorfismo µk∶Zn → Zn que envia m em km,
temos Ψ(µk) = k. Isto termina a prova da proposição.
1.12 Exercícios
Primeiras definições
1.1. Determine se os conjuntos abaixo, com as operações indicadas, são grupos.
Caso não sejam, diga quais os axiomas de grupo não são válidos.
(a) G = Z; a ∗ b ∶= a − b.
(b) G = N; a ∗ b ∶= ab.
(c) G = {x ∈ R ∣ x > 0}; a ∗ b ∶= ab.
(d) G = GL2(R); a ∗ b ∶= a + b.
(e) G = R2; (x1, y1) ∗ (x2, y2) ∶= (x1x2, y1 + y2).
32 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
1.2. Seja S1 ∶= {z ∈ C; ∣z∣ = 1} o conjunto dos números complexos de norma 1 (o
círculo unitário). Prove que S1 é um subgrupo multiplicativo de C∗.
1.3. Dados a, b ∈ G, mostre que (a ⋅ b)−1 = b−1 ⋅ a−1.
1.4. Se todos os elementos de G ∖ {1} possuem ordem 2, então G é abeliano.
1.5. Todo grupo de ordem 4 é abeliano?
1.6. Calcule a ordem dos elementos abaixo:
(a) 4̄ em Z7. (b) 4̄ em Z10. (c) 3 em R∗. (d) ρ2π/3 em D6. (e) (1 2 3 42 3 4 1) em S4.
1.7. Dado g ∈ G:
(a) Se g ≠ 1, então g tem ordem 2 se e somente se g = g−1.
(b) o(g) = o(g−1).
(c) Se gn = 1, então o(g) divide n.
(d) Se o(g) = mn, então o(gm) = n.
(e) Se o(g) = n e s ∈ Z, então o(gs) = nd , onde d = mdc(n, s).
1.8. Se A e B são subgrupos finitos e tais que mdc(∣A∣ , ∣B∣) = 1, então A∩ B = {1}.
1.9. Um subconjunto H ⊂ G é um subgrupo de G se e somente se H ≠ ∅ e para
quaisquer a, b ∈ H tem-se a ⋅b−1 ∈ H.
1.10. A interseção de dois subgrupos de um grupo G é ainda um subgrupo de G.
De modo geral, a interseção arbitrária de subgrupos é um subgrupo.
1.11. Seja G = ⟨a, b⟩ um grupo tal que seus geradores comutam entre si, isto é,
ab = ba. Prove que G é abeliano.
1.12. Todo subgrupo de Z é da forma nZ, para algum n ∈ Z.
1.13. Construa a tabela de multiplicação de D3.
Exercícios 33
Classes laterais
1.14. Dados dois subconjuntos A, B ⊆ G, então xA = yB se e somente se y−1xA = B.
1.15. Se H é um subgrupo de G, então: xH = H ⇐⇒ x ∈ H ⇐⇒ Hx = H.
1.16. Dado um subconjunto H ⊆ G não-vazio, temos que:
H é um subgrupo de G ⇐⇒ HH = H e H−1 = H.
1.17. Considere o subgrupo H = ⟨R⟩ < D3, onde R é uma reflexão qualquer. Deter-
mine suas classes laterais à esquerda e à direita e verifique que nem sempre
coincidem: existe x ∈ D3 tal que xH ≠ Hx.
1.18. Em D4 (simetrias do quadrado), seja ρ a rotação de 90 graus e tome H = ⟨ρ⟩.
Então:
(a) ∣H∣ = 4.
(b) Nenhuma das reflexões pertence a H.
(c) D4 = H ∪ RH, para qualquer reflexão R ∈ D4.
(d) Conclua que, sem explicitar as classes laterais, que RH = HR para toda
reflexão R.
1.19. Dados inteiros positivos m, n, determine o índice de mZ∩ nZ em Z.
1.20. Suponha que G é finito e considere uma cadeia de subgrupos K < H < G.
Usando o teorema de Lagrange, mostre que (G ∶ K) = (G ∶ H)(H ∶ K).
1.21. Sejam H e K subgrupos de um grupo finito G tais que ∣H∣ >
√
∣G∣ e ∣K∣ >
√
∣G∣.
Mostre que H ∩K ≠ {1}.
Subgrupos normais
1.22. Se A, B são subgrupos de G e um deles é normal, então o produto AB é um
subgrupo de G.
1.23. Se A e B são ambos subgrupos normais de G, então AB é normal em G.
34 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
1.24. Se A ⊲ G e B ⊲ H < G, então AB ⊲ AH.
1.25. Se N ⊲ G e H < G, então (H ∩ N) ⊲ H.
1.26. Se H tem índice 2 em G, então H é normal em G.
1.27. Seja [x, y] ∶= x−1y−1xy o comutador de x, y. Para simplificar a notação, de-
note por ax ∶= x−1ax o conjugado de a por x. Mostre então que as seguintes
identidades são válidas:
(a) xy = x[x, y].
(b) [y, x] = [x, y]−1.
(c) [x, zy] = [x, y] ⋅ [x, z]y.
(d) [xz, y] = [x, y]z ⋅ [z, y].
(e) [x, y−1] = [y, x]y
−1
.
1.28. Verifique que o centro Z(G) e o subgrupo G′ dos comutadores são subgru-
pos normais de G.
1.29. Seja CG(x) o centralizador de um elemento x ∈ G. Prove:
(a) x ∈ Z(G) se, e somente se, CG(x) = G.
(b) Z(G) = ⋂x∈G CG(x).
1.30. Seja H subgrupo de G. Mostre que o normalizador NG(H) de H em G é o
maior subgrupo de G que contém H como subgrupo normal.
1.31. Dado N ⊲ G, mostre que as classes xN e yN comutam se e somente se o
comutador [x, y] está em N. Consequentemente,
G/N é abeliano ⇐⇒ G′ ⊂ N
ou seja, G′ é o menor subgrupo de G cujo quociente é abeliano. O quociente
G/G′ é chamado o abelianizado de G.
1.32. V ou F? Justifique sua resposta, apresentando uma prova sucinta ou um
contra-exemplo, conforme o caso.
Exercícios 35
(a) Se A ⊲ G e B ⊲ G, então A ∩ B é normal em G.
(b) Se A < B < G é uma cadeia de subgrupos e A é normal em G, então A é
normal em B.
(c) Se A < B < G é uma cadeia de subgrupos com A ⊲ B e B ⊲ G, então A é
normal em G.
1.33. Seja K um corpo e
G = {(
a b
0 a−1
) ∶ a ∈ K∗, b ∈ K} .
Mostre que
U = {(
1 b
0 1
) ∶ b ∈ K}
é um subgrupo normal abeliano.
Homomorfismos
1.34. Mostre que cada uma das funções abaixo é um homomorfismo e determine
seu núcleo.
(a) det∶GLn(R)→ R∗.
(b) log∶ (R>0, ⋅)→ (R,+).
(c) e∶ (R,+)→ (C∗, ⋅), t ↦ cos(t)+ i sen(t).
1.35. Seja G um grupo. Prove:
(a) A função g ↦ g−1 (g ∈ G) é uma bijeção.
(b) Esta função é um homomorfismo (e logo um automorfismo) se e so-
mente se G é abeliano.
1.36. Seja f ∶G → H um homomorfismo de grupos bijetor (i.e., um isomorfismo).
Mostre que a aplicação inversa ϕ = f −1∶H → G também é um homomor-
fismo.
36 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
1.37. Prove que C∗ ≃ S1 ×R>0 (sugestão: subgrupos multiplicativos normais com
interseção trivial).
1.38. Sejam m e n inteiros positivos. Considere o grupo (Hom(Zm,Zn),+) for-
mado pelos homomorfismos ϕ ∶ Zm → Zn com a operação usual de soma de
funções. Mostre que
(Hom(Zm,Zn),+) ≃ (Zd,+)
onde d = mdc(m, n).
1.39. Seja G um grupo de ordem 4. Mostre que existemapenas duas possibilida-
des:
G ≃ Z4 ou G ≃ Z2 ×Z2.
Quatérnios
1.40. Vejamos uma realização concreta do grupo dos quatérniosQ do Exemplo 1.1.3.
Considere as matrizes complexas
1 = ( 1 00 1 ) , i = (
0 −1
1 0 ) , j = (
i 0
0 −i ) e k = (
0 i
i 0 ) .
Elas satisfazem as mesmas relações descritas para Q:
i2 = j2 = k2 = ijk = −1.
como você pode verificar. Seja Q ∶= ⟨i, j⟩. Mostre que:
(a) Q é um grupo não-abeliano com 8 elementos e que é realmente o grupo
Q disfarçado: são isomorfos.
(b) Q possui exatamente 4 subgrupos não-triviais: {±1}, ⟨i⟩, ⟨j⟩, e ⟨k⟩ e cujo
Exercícios 37
reticulado é
Q
⟨i⟩ ⟨j⟩ ⟨k⟩
{±1}
{1}
(c) Todos os subgrupos de Q são normais.
1.41. Seja Q o grupo dos quatérnios.
(a) Mostre que Z(Q) = Q′ = {±1}.
Sugestão: calcule primeiro o centro; para os comutadores, depois fique
de olho nos Exercícios 1.39 e 1.31.
(b) Mostre que no quocienteQ/{±1} todo elemento tem ordem ≤ 2. Usando
o Exercício 1.39, conclua que este quociente é isomorfo ao grupo de
Klein.
1.42. Considere um grupo G = ⟨g, h⟩ de ordem 8 no qual as seguintes relações são
satisfeitas:
g4 = h4 = 1 , g2 = h2 e hg = g3h.
Mostre que G é isomorfo ao grupo dos quatérnios Q.
Grupos cíclicos
1.43. Prove que:
(a) Se G e H são abelianos, então G × H é abeliano.
(b) O grupo Z2 ×Z2 é abeliano de ordem 4 mas não é cíclico.
(c) O grupo Z2 ×Z3 é cíclico.
1.44. Seja G = {( a bc d ) ∣ a, b, c, d ∈ Z2, ad − bc ≠ 0̄}.
38 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
(a) Mostre que G é um grupo com a multiplicação usual de matrizes e de-
termine a sua ordem.
(b) Calcule a ordem de ( 1̄ 0̄1̄ 1̄ ).
(c) O grupo G é cíclico?
1.45. Todo grupo de ordem prima é cíclico.
1.46. O grupo multiplicativo Z∗8 não é cíclico, porém Z∗10 é cíclico.
1.47. Dos grupos abaixo, quais são cíclicos? Justifique.
(Q,+), (Q∗, ⋅), (R,+), (S1, ⋅).
1.48. (Teorema Chinês dos Restos) Sejam m, n inteiros positivos e considere o ho-
momorfismo ϕ∶Z→ Zn ×Zm dado por ϕ(a) = (ā, ¯̄a).
(a) Mostre que seu núcleo é mmc(m, n)Z;
(b) Mostre que se m, n são primos entre si, então Zmn ≅ Zm ×Zn; em outras
palavras, se mdc(m, n) = 1, então Zm ×Zn é cíclico.
(c) Vale a recíproca de (b)?
Permutações
1.49. Sejam x = (1 2 3 42 3 4 1) e y = (
1 2 3 4
3 1 2 4) permutações em S4. Calcule x
2y2x.
1.50. Se n > 2, então Sn não é abeliano: mostre que as permutações
x = (
1 2 3 4⋯ n
2 1 3 4⋯ n
) e y = (
1 2 3 4⋯ n
3 2 1 4⋯ n
).
não comutam entre si.
1.51. Construa a tabela do grupo S3 das permutações de 3 elementos.
1.52. Mostre que Z(Sn) é trivial para n ≥ 3. Sugestão: Dado α ≠ 1 em Sn, então
α(i) ≠ i para algum i, considere a transposição β = (i k) onde k ∉ {i, α(i)} e
verifique que αβ ≠ βα.
Exercícios 39
1.53. Escreva cada permutação abaixo como produto de ciclos disjuntos e como
produto de transposições. Em seguida, calcule seu sinal e sua ordem.
(a) (1 2 3 4 5 6 7 8 92 3 4 5 1 6 7 9 8) (b) (
1 2 3 4 5 6 7
6 5 4 3 1 2 7)
(c) (1 2)(1 2 3)(1 2) (d) (1 2 3 4 9)(2 3 4 8)(3 4 7)
1.54. Mostre que se α, β ∈ Sn são ciclos disjuntos, então o(αβ) = mmc(o(α), o(β)).
1.55. Generalize o exercício anterior: se σ = α1⋯αr é um produto de ciclos disjun-
tos em Sn, então o(σ) = mmc(o(α1), . . . , o(αr)).
1.56. Se p é primo, então todo elemento de ordem p em Sp é um p-ciclo.
1.57. Sejam a, b ∈ Sn elementos de ordem 4. Mostre que se n ≤ 7, então ⟨a⟩ = ⟨b⟩ ou
⟨a⟩∩ ⟨b⟩ = {1}.
1.58. Use o exercício anterior para provar que o grupo dos quatérnios não é iso-
morfo nenhum subgrupo de Sn para n ≤ 7 (dica: diagrama do Exercício 1.40).
1.59. Utilizando o método da demonstração do Teorema 1.9.1 (Cayley), realize Q
como um subgrupo de S8: basta encontrar a imagem dos geradores; por
exemplo
i ↦ (1 3 2 4)(5 7 6 8) e j ↦ (1 7 2 8)(3 5 4 6).
Note que i2 = j2 = (1 2)(3 4)(5 6)(7 8).
1.60. Se um subgrupo H de Sn possui uma permutação ímpar, então metade dos
seus elementos são permutações pares, metade são ímpares. Em símbolos:
H /⊂ An Ô⇒ ∣H ∩ An∣ = ∣H∣ /2.
Em particular, An é o único subgrupo de índice 2 em Sn.
1.61. Mostre que A4 = ⟨(1 2 3), (2 3 4)⟩, que A5 = ⟨(1 2 3), (2 3 4), (3 4 5)⟩ e, em geral,
An = ⟨(1 2 3), (2 3 4), (3 4 5), . . . (n − 2 n − 1 n)⟩.
40 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Automorfismos
1.62. Seja H um subgrupo de G, CG(H) e NG(H) o centralizador e o normalizador
de H em G, respectivamente (Exemplo 1.4.4). Mostre que CG(H) ⊲ NG(H) e
além disso o quociente
NG(H)/CG(H)
é isomorfo a um subgrupo de Aut H. Sugestão: considere o homomorfismo
NG(H) → Aut H que envia g ∈ NG(H) no automorfismo interno ιg ∶ H → H,
ιg(h) = ghg−1.
Capítulo 2
Grupos de matrizes
2.1 Grupo linear
Seja K um corpo e seja V um espaço vetorial sobre K de dimensão finita n ≥ 1.
Denotamos por GL(V) o conjunto das transformações lineares bijetivas T ∶ V → V.
Considerando a operação usual de composição de funções vemos que GL(V) é
um grupo, chamado grupo linear, cujo elemento identidade é a função identidade
I ∶ V → V.
Fixada uma base β = {v1, . . . , vn} de V denotamos por [T]β a matriz de T nessa
base. Mais precisamente, escrevendo a imagem dos vetores da base como combi-
nação linear (com coeficientes em K) dos próprios
T(vj) = α1jv1 +⋯+ αnjvn , αij ∈ K
para cada j = 1, . . . , n, temos [T]β = [αij]1≤i,j≤n. Sendo que a matriz que corresponde
a composição de duas transformações lineares é produto das matrizes de cada
uma das transformações temos um homomorfismo de grupos
GL(V) → GLn(K)
T ↦ [T]β
que de fato verifica-se ser um isomorfismo. O grupo GLn(K) também será cha-
mado grupo linear.
O determinante de uma transformação linear T é definido simplesmente como
o determinante da matriz na base fixada
det(T) ∶= det[T]β.
41
42 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
Observe que det(T) independe da base β escolhida, sendo que uma outra escolha
de base acarretará em uma matriz conjugada a anterior e portanto o determinante
não se altera. A função determinante
det ∶ GL(V)→ K∗
com valores no grupo multiplicativo K∗ = K∖{0} é um homomorfismo de grupos.
Seu núcleo
SL(V) = ker(det)
é chamado grupo especial linear. Analogamente, o grupo SLn(K) que corresponde
a matrizes com determinante 1 ∈ K também é chamado grupo especial linear.
O grupo projetivo linear PGL(V) é definido como o quociente de GL(V) pelo
subgrupo K∗ ⋅ I formado pelos múltiplos (não-nulos) da identidade I
PGL(V) = GL(V)/K∗ ⋅ I.
Pode ser visto também como grupo de matrizes
PGLn(K) = GLn(K)/K∗ ⋅ In
onde In denota a matriz identidade. Naturalmente, também temos o grupo proje-
tivo especial linear
PSL(V) = SL(V)/Un ⋅ I
onde Un = {ξ ∈ K ∣ ξn = 1} é o grupo de n-ésimas raízes da unidade em K e seu
companheiro
PSLn(K) = SLn(K)/Un ⋅ In.
2.2 Grupo ortogonal
Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n ≥ 1. Quando fixado um
produto interno em V, podemos considerar o subgrupo formado pelas transfor-
mações lineares que preservam o produto interno, como veremos a seguir. Antes
disso, lembramos que um produto interno em V é uma função ⟨ , ⟩ ∶ V ×V → R
satisfazendo as três propriedades abaixo, para todos u, v, w ∈ V e α ∈ R
1. (bilinear)
2.2. GRUPO ORTOGONAL 43
(a) ⟨αu, v⟩ = α⟨u, v⟩;
(b) ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩+ ⟨v, w⟩;
2. (simétrica) ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩;
3. (positiva-definida) ⟨u, u⟩ > 0, se u ≠ 0.
Fixemos uma base ortonormal β = {v1, . . . , vn} de V
⟨vi, vj⟩ =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
1, se i = j
0, se i ≠ j.
Sendo que todo vetor v ∈ V se escreve de forma única como combinação linear
dos vetores da base
v =
n
∑
i=1
xivi
obtemos um isomorfismo de espaços vetoriais V → Rn, v ↦ (x1, . . . , xn), e além
disso o produto interno em V coincide com o produto interno usual de Rn
⟨v, w⟩ =
n
∑
i=1
xiyi
onde v = ∑ni=1 xivi, w = ∑
n
i=1 yivi.
O grupo ortogonal é o subgrupo de GL(V) formado pelas transformações line-
ares que preservam o produto interno
O(V) = {T ∈ GL(V) ∶ ⟨T(v), T(w)⟩ = ⟨v, w⟩, ∀ v, w ∈ V}.
O grupo ortogonal especial é o subgrupo formado pelas transformações de determi-
nante 1
SO(V) = O(V)∩ SL(V).
Veremos na proposição seguinte que a matriz A = [T]β de T ∈ O(V) na base
ortonormal β é uma matriz ortogonal, i.e., suainversa coincide com sua trasposta:
At = A−1.
Proposição 2.2.1. As seguintes afirmações são equivalentes:
1. T ∈ O(V);
44 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
2. T envia uma base ortonormal de V numa base ortonormal de V;
3. [T]β é uma matriz ortogonal, i.e., sua transposta coincide com sua inversa.
Demonstração. A afirmação (1) implica (2) é imediato. Para mostrar que (2) implica
(1), dados v, w ∈ V, primeiro escrevemos v = ∑ni=1 xivi e w = ∑
n
j=1 yjvj. Decorre das
propriedades do produto interno que
⟨T(v), T(w)⟩ =
n
∑
i,j=1
xiyj⟨T(vi), T(vj)⟩ =
n
∑
i=1
xiyi = ⟨v, w⟩
onde na penúltima igualdade acima usamos a hipótese que T envia a base orto-
normal {v1, . . . , vn} na base ortonormal {T(v1), . . . , T(vn)}. Observamos aqui que
uma consequência de (2) implica (1) é que T envia uma base ortonormal qualquer
numa base ortonormal.
Agora vamos mostrar que as afirmações (2) e (3) são equivalentes. Escreve-
mos A = [T]β onde β é a base ortonormal {v1, . . . , vn}. Em notação matricial, a
transformação T se escreve como multiplicação por A, ou seja, envia v em A ⋅ v.
As coordenadas de um vetor v ∈ V são obtidas escrevendo v como combinação
linear dos vetores da base β, em particular v1, . . . , vn correspondem aos vetores
canônicos. Observe que temos
(A ⋅ vi)t ⋅ (A ⋅ vj) = ⟨T(vi), T(vj)⟩
onde o “t" indica transposta. Sendo (A ⋅ vi)t = vti ⋅ A
t concluímos que
vti ⋅ (A
t ⋅ A) ⋅ vj = ⟨T(vi), T(vj)⟩. (2.1)
Para concluir a demonstração observamos que At ⋅ A = In se, e somente se,
vti ⋅ (A
t ⋅ A) ⋅ vj =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
1, se i = j
0, se i ≠ j
e portanto segue de (2.1) que At ⋅A = In se, e somente se, T envia a base ortonormal
β em uma base ortonormal.
Identificando cada T ∈ GL(V) com sua matriz [T]β ∈ GLn(R) obtemos uma
identificação do grupo ortogonal no grupo de matrizes, ou seja, O(V) corresponde
a
On(R) = {A ∈ GLn(R) ∶ At = A−1}.
2.2. GRUPO ORTOGONAL 45
Analogamente, o grupo ortogonal especial pode ser visto como grupo de matrizes
ortogonais com det A = 1
SOn(R) = On(R)∩ SLn(R).
Sendo det At = det A, todo elemento A ∈ On(R) tem det A = ±1.
Usando o produto interno podemos definir ângulo e comprimento de vetores.
Uma transformação linear que preserva produto interno deve preservar ângulos
e distâncias e portanto o grupo On(R) deve ser interpretado como grupo de trans-
formações lineares que preservam ângulos e distâncias. Enquanto que SOn(R) é
formado pelas transformações que além de preservar ângulo e distância também
preservam orientação.
Exemplo 2.2.2 (Caso n = 2). Os elementos de O2(R) podem ser vistos como rota-
ções e reflexões, rotações preservam orientação (i.e. det A > 0) e correspondem a
elementos de SO2(R) enquanto que reflexões invertem orientação (i.e. det A < 0).
Fixada uma base ortonormal {v1, v2} de R2, podemos escrever
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
v1 = (cos θ, sen θ)
v2 = (cos γ, sen γ)
para algum θ ∈ [0, 2π) e γ = θ ±π/2. Consequentemente, temos
v2 = ±(sen θ,− cos θ).
Dado A ∈ O2(R) seus vetores colunas formam uma base ortonormal de R2, daí
concluímos que
A = (
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
) ou A = (
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
)
No primeiro caso temos A ∈ SO2(R) e A corresponde a uma rotação de ângulo θ
no sentido anti-horário, no segundo caso temos det A = −1 e A corresponde a uma
reflexão em torno do eixo-x seguida de uma rotação de ângulo θ
A = (
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
) = (
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
) ⋅ (
1 0
0 −1
)
que também pode ser interpretada como uma reflexão em torno de uma reta pas-
sando pela origem (formando um ângulo θ/2 com o eixo-x).
46 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
O subgrupo SO2(R) é normal em O2(R), sendo núcleo do homomorfismo de-
terminante, e possui duas classes laterais
O2(R) = SO2(R)⊔ SO2(R) ⋅ σ
onde σ ∈ O2(R) é uma reflexão qualquer.
Observação 2.2.3. Se K é um corpo podemos definir de maneira análoga o grupo
ortogonal
On(K) = {A ∈ GLn(K) ∶ At = A−1}.
e o grupo ortogonal especial
SOn(K) = {A ∈ On(K) ∶ det A = 1}.
O grupo ortogonal corresponde a transformações lineares Kn → Kn que preservam
a forma bilinear standard em Kn
⟨(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)⟩ =
n
∑
i=1
xiyi.
2.3 Grupo diedral
Seja n ≥ 3 e considere um polígono regular de n lados centrado na origem
tendo (1, 0) como um dos vértices. Identificando R2 com C vemos que todos os n
vértices são exatamente as raízes n-ésimas da unidade
{1, ξ, ξ2,⋯, ξn−1} ⊂ C
onde
ξ j = cos(2π j/n)+ sen(2π j/n)) ⋅ i ∈ C
para cada j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} e i =
√
−1. Veja Figura 1.1.
O grupo diedral é o subgrupo Dn de O2(R) gerado pela rotação de ângulo 2π/n
no sentido anti-horário
ρn = (
cos 2π/n − sen 2π/n
sen 2π/n cos 2π/n
)
2.4. GRUPO AFIM 47
e pela reflexão em torno do eixo-x
R = (
1 0
0 −1
) .
As relações seguintes são satisfeitas
R2 = I2, ρnn = I2 e ρnR = ρn−1n R.
Verifique que de fato temos
Dn = {I2, ρn, ρ2n,⋯, ρn−1n , R, Rρn, Rρ2n,⋯, Rρn−1n }.
e portanto Dn possui 2n elementos: n rotações e n reflexões; vemos I2 como a
rotação de ângulo zero. Devido as relações também podemos escrever as reflexões
na forma:
R, ρnR, ρ2nR,⋯, ρn−1n R
e cada uma delas corresponde a uma reflexão em torno de uma reta passando pela
origem e pelo ponto médio de um dos lados do polígono.
O grupo diedral também pode ser visto como grupo de permutação dos n vér-
tices do polígono, i.e., como subgrupo do grupo de permutações de n elementos
Sn. Os elementos ρn e R correspondem aos seguintes produtos de ciclos em Sn
αn = (12⋯n) e σ = (2 n)(3 (n − 1))⋯(m (n −m + 2))
onde m é o menor inteiro maior ou igual a n/2. Veja o Exercício 2.6. Na Seção 2.7
também veremos uma caracterização do grupo diedral como produto semi-direto
Z2 ⋉Zn.
2.4 Grupo afim
Seja K um corpo e n um número natural. Uma transformação afim é uma trans-
formação linear seguida de uma translação, i.e., é uma função S ∶ Kn → Kn da
forma
S(v) = T(v)+w
para alguma transformação linear invertível T e para algum w ∈ Kn.
48 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
O conjunto de transformações afins, com a operação de composição de fun-
ções, forma um grupo chamado grupo afim que denotaremos por Afn(K). Cada
elemento do grupo afim é determinado por um par
(T, w) ∈ GLn(K)×Kn
e portanto temos uma bijeção entre o grupo afim e o produto direto GLn(K)×Kn.
Porém, a operação de composição de funções do grupo afim não coincide com a
operação usual do produto direto. De fato, dados S1(v) = T1(v) + w1 e S2(v) =
T2(v)+w2 então a transformação afim S1 ○ S2 produz o par
(T1 ○ T2, T1(w2)+w1) ∈ GLn(K)×Kn.
Portanto, se quisermos ver o grupo afim como conjunto de pares ordenados (T, w)
devemos munir o conjunto GLn(K)×Kn com a operação
(T1, w1) ∗ (T2, w2) ∶= (T1 ○ T2, T1(w2)+w1).
Veremos mais adiante que o grupo (GLn(K)×Kn,∗) é um produto semi-direto.
Exemplo 2.4.1. O subgrupo AO2(R) do grupo afim Af2(R) gerado pelas transfor-
mações ortogonais O2(R) e pelas translações é particularmente interessante, pois
na verdade este coincide com o grupo de todas as isometrias do plano R2 com
respeito a distância Euclidiana. Veja por exemplo [1, Capítulo 5].
2.5 Grupo de transformações de Möbius
Uma transformação de Möbius é uma função complexa que pode ser escrita como
uma fração linear
T(z) =
az + b
cz + d
(2.2)
com a, b, c e d em C satisfazendo ad − bc ≠ 0. Observamos que T não está definida
no ponto z = −d/c. A composição de duas transformações de Möbius é ainda
uma transformação de Möbius e cada transformação T como em (2.2) possui uma
inversa
T−1(z) =
dz − b
−cz + a
2.5. GRUPO DE TRANSFORMAÇÕES DE MÖBIUS 49
e portanto o conjunto de transformações de Möbius forma um grupo que denota-
remos momentaneamente por G. Observe que temos um homomorfismo
GL2(C)→ G (2.3)
que associa cada matriz ( a bc d ) ∈ GL2(C) a transformação T(z) =
az+b
cz+d . Podemos ver
que esse homomorfismo tem todos os múltiplos não-nulos da matriz identidade
I2 como núcleo, pois se az+bcz+d = z para todo z ∈ C ∖ {−c/d} então a = d e c = b = 0.
Portanto segue do Teorema dos homomorfismos que (2.3) induz um isomorfismo
PGL2(C) ≃ G.
Via o isomorfismo acima, dizemos que PGL2(C)é o grupo de transformações de
Möbius e por abuso de notação escrevemos T ∈ PGL2(C). Note que PGL2(C) =
PSL2(C).
Consideremos agora o subgrupo
PSL2(R) = SL2(R)/{±I2}
de PSL2(C), que corresponde a transformações de Möbius T(z) = az+bcz+d com a, b, c e
d números reias com ad− bc = 1. Mostraremos agora que essas transformações pre-
servam o semi-plano superior formado por números complexos com parte imagi-
nária positiva
H = {x + iy ∈ C ∣ y > 0}.
Se a, b, c e d são reais então
az + b
cz + d
=
(az + b)(cz + d)
∣cz + d∣2
e portanto se Im(z) denota a parte imaginária do número complexo z verifica-se
que
Im(T(z)) =
Im(z)
∣cz + d∣2
logo Im(z) > 0 implica Im(T(z)) > 0. Consequentemente, cada elemento T ∈
PSL2(R) define uma bijeção T ∶H→H.
A importância do grupo PSL2(R) vem do fato que o semi-plano H (também
chamado plano de Poincaré) admite uma métrica (métrica hiperbólica) que faz de H
50 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
um modelo para o plano hiperbólico, o grupo PSL2(R) é na verdade o grupo de
isometrias de H que preservam orientação. O grupo de todas as isometrias de H é
PSL∗2(R) = SL∗2(R)/{±I2}, onde SL∗2(R) é o grupo formado pelas matrizes reais 2×
2 com determinante ±1. Além disso, PSL∗2(R) é gerado por PSL2(R) juntamente
com a transformação z ↦ −z, ao leitor interessado indicamos [8, Capítulo 1].
2.6 Grupos de matrizes sobre corpos finitos
Corpos finitos
Seja K um corpo com q > 1 elementos. Primeiro vamos mostrar que q = pm para
algum primo p e algum inteiro positivo m. O primo p é chamado característica de
K.
Lembre que um corpo é um anel (K,+, ⋅) comutativo com unidade 1 tal que
todo elemento não-nulo v ∈ K possui um inverso multiplicativo v−1 ∈ K: v ⋅ v−1 = 1.
Consideremos o homomorfismo de anéis ϕ ∶ Z→ K que envia m ∈ Z em
ϕ(m) = 1 +⋯+ 1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
m vezes
∈ K.
O núcleo ker(ϕ) de ϕ, é um ideal de Z não-trivial pois K é finito e Z é infinito,
logo é da forma ker(ϕ) = (d), d ∈ Z, pois Z é um domínio de ideais principais.
Além disso, d deve ser primo pois caso contrário K contém divisores de zero, i.e.,
se d = ab com a, b ∉ ker(ϕ) então a e b teriam como imagem dois elementos não-
nulos de K cujo produto é zero, o que é absurdo pois K é um corpo. Com isso
concluímos que
ker(ϕ) = (p)
com p primo. Assim encontramos o primo p. Agora vamos determinar o inteiro
m.
Segue do Teorema dos Homomorfismos que existe uma inclusão (homomor-
fismo injetivo) de anéis
Zp ↪ K (2.4)
a assim podemos ver K como um espaço vetorial sobre o corpo Zp. Denotemos
por m a dimensão de K visto como espaço vetorial sobre Zp, a dimensão deve ser
2.6. GRUPOS DE MATRIZES SOBRE CORPOS FINITOS 51
finita pois K é um corpo finito. Agora observamos que K é isomorfo (como espaço
vetorial) a (Zp)m, i.e.,
K ≃ Zp ×⋯×Zp
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
m vezes
.
De fato, seja {v1, . . . , vm} ⊂ K uma base de K sobre Zp, que deve ser finita pois K é
um corpo finito. Como qualquer elemento w ∈ K se escreve (de forma única) como
combinação linear
w = α1v1 +⋯+ αmvm , αi ∈ Zp
temos que a função que envia w em (α1,⋯, αm) é um isomorfismo entre K e (Zp)m.
Em particular temos que K possui pm elementos. Um corpo finito com q = pm
elementos é usualmente denotado por Fq. Quando m = 1 então o homomorfismo
(2.4) é um isomorfismo e podemos identificar Fp com Zp
Fp ≃ Zp.
Observação 2.6.1. Todo elemento v ∈ F∗q satisfaz a equação
Xq−1 − 1 = 0
pois F∗q é um grupo multiplicativo com q − 1 elementos e o resultado segue do
Teorema de Lagrange. Se admitimos aqui a existência do fecho algébrico Fq então
concluímos que Fq é o corpo de raízes do polinômio Xq − X (agora incluímos o
zero!) em Fq.
Alguns grupos de matrizes sobre corpos finitos
Seja Fq um corpo finito com q = pm elementos. Dado n ≥ 1, o grupo linear
GLn(Fq) tem ordem
∣GLn(Fq)∣ = (qn − 1)(qn − q)⋯(qn − qn−1).
De fato, um elemento A ∈ GLn(Fq) é uma matriz invertível com coeficientes em Fq,
vamos ver quantas possibilidades existem. Para que uma matriz seja invertível e
necessário e suficiente que seus vetores colunas sejam linearmente independentes.
Para escolha do primeiro vetor coluna temos qn − 1 possibilidades: qn que corres-
ponde a escolha de n coordenadas em Fq e retiramos 1 para o vetor nulo que não
52 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
pode estar presente. Uma vez escolhido o primeiro vetor coluna v1 ∈ Fnq , para es-
colha do segundo vetor coluna temos que retirar todos os múltiplos αv1, α ∈ Fq, ou
seja, temos que retirar q possibilidades. Nesse caso, temos qn − q escolhas para o
segundo vetor coluna v2. Uma vez escolhido v1 e v2 temos qn − q2 escolhas para o
terceiro vetor coluna uma vez que devemos retirar todos os elementos no espaço
gerado por v1 e v2, e assim sucessivamente até a escolha do último vetor coluna
que não pode estar no espaço gerado pelos n − 1 vetores colunas previamente es-
colhidos, concluímos a contagem da ordem de GLn(Fq).
Segue do Teorema dos Homomorfismos que o grupo especial linear SLn(Fq)
tem ordem
∣SLn(Fq)∣ =
(qn − 1)(qn − q)⋯(qn − qn−1)
q − 1
.
Em particular, quando q = 2 temos
GLn(F2) = SLn(F2) = PSLn(F2).
No caso em que n = 2 temos
∣PSL2(Fq)∣ =
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
q(q2 − 1)
2
, se q é ímpar
q(q2 − 1) , se q é par.
Exemplo 2.6.2. O grupo GL2(F2) tem ordem 6 e é isomorfo ao grupo diedral D3 ≃
S3. De fato, GL2(F2) admite os seguintes elementos como geradores
A = (
0 1
1 1
) e B = (
0 1
1 0
)
satisfazendo as relações: A3 = I2, B2 = I2 e BA = A2B. Verifica-se que a função
GL2(F2) → D3 que envia A na rotação ρ e B na reflexão σ é um isomorfismo de
grupos.
Exemplo 2.6.3. O grupo alternado A4 é isomorfo a PSL2(F3), veja o Exercício 3.22.
No caso do grupo A5, iremos mostrar no Capítulo 4 que temos os seguintes iso-
morfismos
A5 ≃ PSL2(F4) ≃ PSL2(F5).
Veja a Observação 4.1.15 e o Exercício 4.10.
2.7. O PRODUTO SEMI-DIRETO 53
Exemplo 2.6.4. Quando p é um primo distinto de 2 então o grupo
U2(Fp) = {ξ ∈ Fp ∣ ξ2 = 1}
das raízes da unidade em Fp tem ordem 2 e portanto temos
∣PSLn(Fp)∣ =
(pn − 1)(pn − p)⋯(pn − pn−1)
2(p − 1)
Exemplo 2.6.5. Considere o subgrupo UTn(Fq) de GLn(Fq) formado por matrizes
triangulares superiores (i.e. aij = 0 se i > j) com 1 ∈ Fq na diagonal principal (i.e.
aii = 1, para i = 1,⋯, n), chamado grupo unitriangular. É fácil calcular sua ordem:
∣UTn(Fq)∣ = qn−1 ⋅ qn−2⋯q ⋅ 1 = q
n(n−1)
2 .
Sendo que GLn(Fq) tem ordem
(qn − 1)(qn − q)⋯(qn − qn−1) = q
n(n−1)
2 ⋅ r
onde
r = (q − 1) ⋅ (q2 − 1)⋯(qn − 1)
e p não divide r (lembre que q = pm), concluímos que
∣UTn(Fq)∣ = p
mn(n−1)
2
é a maior potência de p que divide a ordem de GLn(Fq). Isto implica que UTn(Fq)
é um subgrupo de Sylow de GLn(Fq) como veremos no Capítulo 3.
Na próxima seção vamos definir o produto semi-direto, alguns grupos estuda-
dos nesse capítulo podem ser vistos como produtos semi-diretos.
2.7 O produto semi-direto
Antes de definir o produto semi-direto vamos tomar um exemplo como moti-
vação. Na Seção 2.4 vimos que o grupo afim Afn(K) pode ser visto como conjunto
de pares
(T, w) ∈ GLn(K)×Kn
54 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
onde a operação entre dois pares quaisquer é dada por
(T1, w1) ∗ (T2, w2) ∶= (T1 ○ T2, w1 + T1(w2)).
Observamos aqui que temos um homomorfismo (de inclusão) σ ∶ GLn(K)→ Aut(Kn),
σ(T) = T, e no que segue vamos fazer uma construção similar para o produto car-
tesiano H × N de dois grupos, sempre que temos um homomorfismo σ ∶ H →
Aut N.
Sejam N e H grupos e seja σ ∶ H → Aut N um homomorfismo de grupos, que
envia h ∈ H em σh ∈ Aut N. Inspirados na operação do grupo afim, definimos a
seguinte operação no produto cartesiano H × N:
(h1, x1) ∗σ (h2, x2) ∶= (h1h2, x1 ⋅ σh1(x2)).
Esta operação é associativa; o elemento neutro é (1H, 1N); o inverso de (h, x) é
(h−1, σh−1(x−1)). Assim, (H × N,∗σ) é realmente um grupo, que denotamos por
H ⋉σ N ou N ⋊σ H, chamado o produto semi-direto de H e N por σ. Quando não
há risco de confusão escrevemos H ⋉ N no lugar de H ⋉σ N. Note que se σ ∶ H →
Aut N é o homomorfismo trivial, i.e., σ(h) = idN para todo h ∈ H, entãoo produto
semi-direto coincide com o produto direto definido anteriormente.
O produto semi-direto também é uma boa ferramenta para construir grupos
não abelianos:
Observação 2.7.1. Se σ∶H → Aut N é um homomorfismo não trivial, então H ⋉σ N
é um grupo não abeliano. Com efeito, seja h ∈ H tal que σh ≠ idN. Então existe
x ∈ N tal que σh(x) = y com y ≠ x. Então
(1, x) ∗σ (h, y) = (h, x ⋅ σ1(y)) = (h, xy)
e, por outro lado,
(h, y) ∗σ (1, x) = (h, y ⋅ σh(x)) = (h, y2).
Se por exemplo G é um grupo finito, consideramos o produto semi-direto Aut G ⋉
G com respeito ao homomorfismo Id∶Aut G → Aut G. Se ∣G∣ ≥ 3, então G possui
um automorfismo não trivial (Proposição 1.11.1) e logo Aut G ⋉G é um grupo não
abeliano de ordem ∣G∣ ∣Aut G∣.
Vejamos alguns exemplos.
2.7. O PRODUTO SEMI-DIRETO 55
Exemplo 2.7.2. (Z2 ⋉σ Zn) Seja n > 1. Sendo n and n− 1 primos entre si então µn−1 ∶
Zn → Zn, que envia m em (n − 1)m é um automorfismo de Zn, veja Proposição
1.11.2. Além disso, µn−1 tem ordem 2 pois
(n − 1)2 ≡ 1 (mod n).
Com isso podemos definir um homomorfismo (não-trivial!)
σ ∶ Z2 → AutZn
colocando σ(1) = µn−1. Portanto o produto semi-direto Z2 ⋉σ Zn é um grupo não
abeliano de ordem 2n. A operação pode ser escrita explicitamente como
(a, b) ∗σ (c, d) = (a + c, b + (n − 1)a ⋅ d).
De fato, se por exemplo a = 0 então σ(a) é a identidade em AutZn e se a = 1 então
σ(a) é o automorfismo multiplicação por (n−1), isto justifica (n−1)a na igualdade
acima.
Exemplo 2.7.3. Vamos mostrar que existe apenas um (a menos de isomorfismos)
produto semi-direto G = (Z2 ×Z2) ⋉σ Z3 com σ não-trivial. O grupo AutZ3 pos-
sui dois elementos AutZ3 = {id, µ2} onde µ2 ∶ Z3 → Z3 é o automorfismo multi-
plicativo (Proposição 1.11.2), µ2(m) = 2m. Se σ é o homomorfismo trivial então
G ≃ Z2 ×Z2 ×Z3. Mas aqui estamos supondo que σ é não-trivial. Agora vamos ve-
rificar as possibilidades para um homomorfismo não-trivial σ ∶ Z2 ×Z2 → AutZ3.
Se a = (1, 0) e b = (0, 1) denotam os geradores de Z2 ×Z2, temos as seguintes pos-
sibilidades para σ:
σ1 ∶ {
a ↦ id
b ↦ µ2
, σ2 ∶ {
a ↦ µ2
b ↦ id
ou σ3 = σ1 ○ σ2 ∶ {
a ↦ µ2
b ↦ µ2
Vamos ver que os três produtos semi-diretos G = Z2 ×Z2 ⋉σj Z3, j ∈ {1, 2, 3}, são
isomorfos entre si. Mas antes de mostrar isto, observamos que sempre existe um
automorfismo ϕ ∶ Z2 ×Z2 → Z2 ×Z2 que faz o seguinte diagrama comutar
Z2 ×Z2
σ1
((
AutZ3
Z2 ×Z2
σj
66
ϕ
OO
56 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
Se por exemplo j = 2 então escolhemos ϕ como o automorfismo tal que ϕ(a) = b e
ϕ(b) = a, e se j = 3 escolhemos ϕ tal que ϕ(a) = a + b e ϕ(b) = b. Assim obtemos o
isomorfismo desejado
Z2 ×Z2 ⋉σj Z3 → Z2 ×Z2 ⋉σ1 Z3
(h, x) ↦ (ϕ(h), x).
Com a classificação de grupos de ordem 12 mais adiante, iremos mostrar que
(Z2 ×Z2) ⋉σ1 Z3 ≃ D6. Porém, isso também poderia ser provado procedendo da
forma seguinte. Colocamos A = (a, 1) e B = (b, 1) elementos de G = (Z2 ×Z2) ⋉σ1
Z3. Estes elementos satisfazem as seguintes relações
A6 = B2 = 1G e BA = A5B.
Por exemplo
B2 = (b, 1) ∗σ1 (b, 1) = (2b, 1+ σ1(b)(1)) = ((0, 0), 1+ 2 ⋅ 1) = 1G.
Mais geralmente, sendo σ1(a) = id e σ1(b) = µ2, temos
(b, x) ∗σ1 (h, y) = (b + h, x + 2 ⋅ y) e (a, x) ∗σ1 (h, y) = (b + h, x + y)
e portanto usando isto o leitor pode verificar as outras relações entre A e B. Além
disso, temos
G = {1G, A, A2, . . . , A5, B, BA, BA2, . . . , BA5}
em particular G = ⟨A, B⟩. Para obter o isomorfismo entre G e D6 consideramos
função Ψ ∶ G → D6 que envia Bi Aj em Riρ
j
6, para i, j ∈ {0, . . . , 5}. Sendo que Ψ é
claramente uma bijeção, basta verificar que Ψ é um homomorfismo. Deixamos os
detalhes para o leitor, veja o Exercício 2.13.
O produto semi-direto G = H ⋉σ N contém cópias de H e N como subgrupos,
ou seja, temos homomorfismos injetivos
H → G e N → G
h ↦ (h, 1N) x ↦ (1H, x)
Sejam H● e N● suas respectivas imagens em G.
2.7. O PRODUTO SEMI-DIRETO 57
Proposição 2.7.4. Se G = H ⋉σ N, temos
N● ⊲ G, H● ∩ N● = 1 e G = H●N●.
Demonstração. Como
(1H, x) ∗σ (h, 1N) = (h, x),
temos que G = H●N●. Por outro lado, sendo (h, 1N)−1 = (h−1, 1N) temos
(h, 1N) ∗σ (1H, x) ∗σ (h, 1N)−1 = (1H, σh(x))
e portanto N● é normal em G. Por fim, é claro que H● ∩ N● = 1.
O subgrupo H● é normal em G se e somente se o homomorfismo σ é trivial,
veja o Exercício 2.14. No caso da proposição anterior dizemos que G é o produto
semi-direto interno de H● e N●. Na maioria das vezes identificamos H com H● e
N com N● e escrevemos apenas H e N no lugar de H● e N●, respectivamente. A
Proposição 2.7.4 admite a seguinte recíproca:
Proposição 2.7.5. Seja G um grupo. Suponha que N e H são subgrupos tais que:
N ⊲ G, H ∩ N = 1 e G = HN.
Então existe um homomorfismo σ ∶ H → Aut N tal que G ≃ H ⋉σ N.
Demonstração. Para cada h ∈ H consideremos o automorfismo σh ∶ N → N definido
por σh(x) = hxh−1, para todo x ∈ N. Observe que σh está bem definido, i.e., σh(x) ∈
N pois N ⊲ G. Com isto, temos um homomorfismo
σ ∶ H → Aut N
h ↦ σh
pois σh1h2 = σh1 ○ σh2 .
Agora vamos mostrar que o produto semi-direto H ⋉σ N é isomorfo a G. Para
isto, consideremos a seguinte função
Ψ ∶ H ⋉σ N → G
(h, x) ↦ xh
58 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
Verifica-se que
Ψ((h1, x1) ∗σ (h2, x2)) = Ψ(h1, x1) ⋅Ψ(h2, x2)
e portanto Ψ é um homomorfismo de grupos. Para concluir a demonstração, ve-
mos que Ψ é sobrejetiva pois
G = HN = NH
(dado que N ⊲ G) e Ψ é injetiva pois se xh = 1 então
x = h−1 ∈ H ∩ N = 1
e logo x = h = 1.
Pretendemos concluir essa seção com alguns exemplos, mas antes disso vamos
precisar da seguinte proposição.
Proposição 2.7.6. Sejam H e N grupos e σ∶H → Aut N um homomorfismo. Se H′ ≃ H
e N′ ≃ N, então existe σ′∶H′ → Aut N′ tal que
H ⋉σ N ≃ H′ ⋉σ′ N′.
Demonstração. Primeiramente vamos definir o homomorfismo σ′. Por hipótese,
existem isomorfismos ϕ ∶ H′ → H e ψ ∶ N′ → N. Dado h′ ∈ H′ seja h = ϕ(h′),
definimos σ′h′ ∈ Aut N
′ como
σ′h′ ∶= ψ
−1 ○ σh ○ψ.
Verifica-se que σ′ ∶ H′ → Aut N′ é um homomorfismo, pois
σ′h′1h
′
2
= ψ−1 ○ σh1h2 ○ψ
= ψ−1 ○ σh1 ○ σh2 ○ψ
= ψ−1 ○ σh1 ○ψ ○ψ
−1 ○ σh2 ○ψ
= σ′h′1
○ σ′h′2
.
O isomorfismo entre H ⋉σ N e H′ ⋉σ′ N′ é obtido pela função
F ∶ H′ ⋉σ′ N′ → H ⋉σ N
(a, b) ↦ (ϕ(a), ψ(b)) .
2.7. O PRODUTO SEMI-DIRETO 59
De fato, F é claramente uma bijeção e deixamos para o leitor a verificação de que
F é um homomorfismo, i.e.,
F((a1, b1) ∗σ′ (a2, b2)) = F(a1, b1) ∗σ F(a2, b2).
Exemplo 2.7.7. Como foi observado no início dessa seção, o grupo afim Afn(K) é
um produto semi-direto Afn(K) ≃ GLn(K)⋉σ Kn onde
σ ∶ GLn(K)→ Aut Kn
é o homomorfismo de inclusão. Em particular, Af1(K) ≃ K∗ ⋉σ K.
Exemplo 2.7.8. O grupo diedral é um produto semi-direto Dn ≃ Z2 ⋉Zn. De fato,
o subgrupo N = ⟨ρn⟩ ≃ Zn gerado pela rotação de ângulo 2π/n é um subgrupo
normal de Dn e escolhendo H = ⟨R⟩ ≃ Z2 o grupo gerado pela reflexão R, segue da
Proposição 2.7.5 que
Dn ≃ H ⋉σ N ≃ Z2 ⋉σ′ Zn
onde o homomorfismo σ ∶ H → Aut N envia R em σR
σR ∶ N → N
A ↦ RAR−1
e σ′ ∶ Z2 → AutZn também pode ser obtido explicitamente analisando a prova da
Proposição 2.7.6.
Exemplo 2.7.9. O grupo ortogonal O2(R) é um produto semi-direto Z2 ⋉ SO2(R).
De fato, SO2(R) ⊲ O2(R) e se consideramos novamente H = ⟨R⟩ ≃ Z2, então segue
da Proposição 2.7.5 que
O2(R) ≃ H ⋉σ N ≃ Z2 ⋉ SO2(R).
Como no exemplo anterior, o homomorfismo σ∶H → Aut SO2(R) é tal que σR(A) =
RAR−1.
60 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
2.8 Exercícios
Grupo linear
2.1. Seja K um corpo. Dados dois vetores não-nulos v, w ∈ Kn, existe T ∈ GLn(K)
tal que T(v) = w.
2.2. Seja K um corpo.
(a) Dado A ∈ GLn(K) mostre que ABA−1 ∈ SLn(K) para todo B ∈ SLn(K) e
considere o automorfismo ιA ∶ SLn(K) → SLn(K), ιA(B) = ABA−1. Isto
determina um homomorfismo GLn(K) → Aut(SLn(K)), qual o núcleo
desse homomorfismo?
(b) Mostre que a função SLn(K)→ SLn(K), A ↦ (At)−1, é um automorfismo
de SLn(K).
(c) Seja σ ∶ K → K um automorfismo do corpo K. Defina uma função σ ∶
SLn(K) → SLn(K), que envia A = (aij)1≤i,j≤n em σ(A) = (σ(aij))1≤i,j≤n.
Mostre que σ é um automorfismo de SLn(K).
2.3. (Grupo unitário) Dada uma matriz A ∈ GLn(C) definimos A
t
a matriz trans-
posta conjugadade A, i.e., primeiro tomamos os conjugados de todas as en-
tradas de A e depois a sua transposta. Mostre que
Un(C) = {A ∈ GLn(C) ∣ A
t
⋅ A = In}
é um subgrupo de GLn(C) (observe que U1(C) = S1). Mostre que A ∈ Un(C)
implica ∣det A∣ = 1 e portanto a função determinante induz um homomor-
fismo
det ∶ Un(C)→ S1
no círculo unitário S1.
2.4. (Grupo especial unitário) Denote por SUn(C) o núcleo do homomorfismo det ∶
Un(C) → S1 do exercício anterior. Mostre que existe uma bijeção entre
SU2(C) e a esfera S3 em R4
S3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 ∣ x21 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4 = 1}.
Exercícios 61
Grupo ortogonal
2.5. Mostre que toda transformação linear T ∈ SO(R3) tem 1 como autovalor.
Conclua que existe uma base do R3 tal que a matriz de T se escreve como
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0
0 cos θ − sen θ
0 sen θ cos θ
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Grupo diedral
2.6. Verifique que os elementos ρn e R de Dn, quando vistos como elementos de
Sn, correspondem aos elementos
αn = (1 2 ⋯ n) e σ = (2 n)(3 (n − 1))⋯(m (n −m + 2))
onde m é o menor inteiro maior ou igual a n/2.
2.7. Seja ξ = e
2πi
n uma raiz primitiva n-ésima da unidade. Mostre que o subgrupo
de GL(2,C) gerado pelas matrizes
A = (
ξ 0
0 ξ−1
) e B = (
0 1
1 0
)
é isomorfo a Dn.
Grupo afim
2.8. Seja K um corpo e Trn(K) o subgrupo de Afn(K) formado pelas translações.
Mostre que Trn(K) ⊲ Afn(K).
2.9. Mostre que ∣Af1(Fq)∣ = q(q − 1).
62 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
Grupo de transformações de Möbius
2.10. Siga os passos abaixo para mostrar que SL2(Z) é gerado pelos elementos
S = ( 0 −11 0 ) e T = (
1 1
0 1 ).
Notação: Seja D o subconjunto de H formado pelos elementos z ∈ H tal que
−12 ≤ Real(z) ≤
1
2 e ∣z∣ ≥ 1. Dado z ∈ H e A = ( a bc d ) ∈ SL2(Z) denotamos
A ⋅ z ∶= az+bcz+d .
(a) Dado z ∈H, existe A0 ∈ ⟨S, T⟩ tal que Im(A0 ⋅ z) é máximo, i.e.,
∣Im(A0 ⋅ z)∣ ≥ ∣Im(A ⋅ z)∣
para todo A ∈ ⟨S, T⟩. Sugestão: lembre que
Im(A ⋅ z) =
Im(z)
∣cz + d∣2
e além disso c e d são inteiros.
(b) Dado z ∈H, existe B ∈ ⟨S, T⟩ tal que B ⋅ z ∈ D. Sugestão: primeiro mostre
que existe um inteiro n tal que w = (Tn A0) ⋅ z tem parte real entre −12 e
1
2 . Conclua que o elemento w está em D: se ∣w∣ < 1 então S ⋅w tem parte
imaginária estritamente maior que Im(w) = Im(A0 ⋅ z), o que é absurdo.
(c) Se A ⋅ 2i ∈ D para algum A ∈ SL2(Z), então A ⋅ 2i = 2i e A = ±I2.
(d) Conclua que SL2(Z) = ⟨S, T⟩. Sugestão: dado A ∈ SL2(Z), segue do item
(2.10b) que existe B ∈ ⟨S, T⟩ tal que B ⋅ (A ⋅2i) ∈ D. Pelo item 2.10c, temos
que BA = ±I2 e logo A = ±B−1 ∈ ⟨S, T⟩.
Os passos acima foram extraídos de [16, Chapter VII].
Grupo de matrizes sobre corpos finitos
2.11. Seja p primo. Mostre que o grupo unitriangular UT3(Fp) é um grupo não-
abeliano de ordem p3.
Exercícios 63
2.12. Vamos analisar em detalhes a estrutura do grupo unitriangular G = UT3(Fp)
do exercício anterior. Para simplificar a notação, denote um elemento (
1 a b
0 1 c
0 0 1
)
de G por [a, b, c], onde a, b, c ∈ Fp.
(a) Considere o subgrupo Q = {[a, 0, 0]} de G. Mostre que [a, b, c]↦ [a, 0, 0]
é um homomorfismo sobrejetor G → Q cujo núcleo é N = {[0, b, c]}.
Conclua que N é um subgrupo normal de G de ordem p2 e Q ≃ G/N.
(b) Mostre que [0, b, c] ⋅ [0, y, z] = [0, b + y, c + z] e logo N ≃ Fp ×Fp.
(c) Conclua que G = Q ⋉σ N, onde σ∶Q → Aut(N) é dado por
[a, 0, 0] ↦ ([0, b, c]↦ [a, 0, 0] ⋅ [0, b, c] ⋅ [−a, 0, 0]) = [0, ac + b, c].)
Logo G ≃ Fp ⋉σ (Fp × Fp) via um homomorfismo não-trivial σ, o que
mostra novamente (de um jeito bem mais complicado) que UT3(Fp)
não é abeliano.
(d) (Opcional) Se estiver com energia, generalize para n ≥ 2 qualquer:
UTn(Fp) ≃ UTn−1(Fp)⋉ (Fp)n−1.
Produto semi-direto
2.13. Mostre que a aplicação Ψ ∶ (Z2 × Z2) ⋉σ Z3 → D6 do Exemplo 2.7.3 é um
isomorfismo.
2.14. Mostre que o subgrupo H● de G = H ⋉σ N formado pelos elementos (h, 1N),
h ∈ H, é normal em G se e somente se σ é o homomorfismo trivial.
2.15. Seja σ∶Q → Aut(N) um homomorfismo. Mostre que se α ∈ Aut(Q), então
temos um isomorfismo entre os produtos semi-diretos Q ⋉σ N ≃ Q ⋉σα N.
64 CAPÍTULO 2. GRUPOS DE MATRIZES
Capítulo 3
Ações de grupos
3.1 Ações de grupos
Nosso ponto de vista até aqui tem sido estudar os grupos de maneira pura-
mente abstrata: a princípio, os elementos de grupo não tem significado algum.
Historicamente, a noção de grupo não surgiu assim. De fato, percebeu-se, de
maneira cada vez mais frequente, que certas coleções de funções definidas em con-
textos muito distintos possuiam propriedades similares. Uma situação típica são
as permutações (interpretando geometricamente, funções que “misturam” o con-
junto dado). Eis bons exemplos: se um objeto X possui alguma estrutura (um
espaço vetorial, um espaço topológico, uma variedade, um corpo), os automorfis-
mos com respeito a essa estrutura formam um grupo. Outro exemplo: se X é um
subconjunto do plano, as simetrias de X também formam um grupo, como já tive-
mos oportunidade de analisar. Note que nestes exemplos a operação nos grupos
é a composição de funções.
Nesta seção buscamos recuperar esse viés mais geométrico: “ver” os elemen-
tos de um grupo como funções sobre um dado conjunto, de forma que a operação
de elementos seja compatível com a composição de funções.
Um grupo G age em um conjunto Σ se existe uma aplicação
σ∶G ×Σ → Σ
tal que
σ(1, s) = s e σ(gh, s) = σ(g, σ(h, s))
65
66 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
para quaisquer g, h ∈ G, s ∈ Σ. Fica mais sugestivo escrever σg(s) = σ(g, s) ou
mesmo g⋅s = σ(g, s), quando a ação estiver subentendida. Assim, nossas exigên-
cias se traduzem simplesmente em:
1⋅s = s e (gh)⋅s = g⋅(h⋅s).
Se G age em Σ, então G define um conjunto de funções sobre Σ. De fato, segue
das definições acima que cada g em G define uma bijeção g∶Σ → Σ, e cuja inversa
é dada por g−1 ∈ G. O que torna mais interessante é que pedimos que a multiplica-
ção em G seja compatível com a composição das funções induzidas. De maneira
equivalente, uma ação de G em Σ é simplesmente um homomorfismo
G → Perm Σ
de G no grupo das permutações de Σ. Tal homomorfismo também é chamado
uma representação de G.
Fixe um elemento s ∈ Σ. A órbita de s é o conjunto de todas as possíveis imagens
de s por elementos de G, isto é,
Os ∶= {g⋅s ∣ g ∈ G} ⊆ Σ.
Duas órbitasOs eOt ou são disjuntas ou coincidem: se x ∈ Os ∩Ot, então x = gs = ht
e logo s = g−1ht, ou seja, s pertence à órbita de t e, consequentemente, Os ⊆ Ot. Da
mesma forma temos a inclusão oposta e logoOs = Ot. Mais ainda, o conjunto Σ é a
união de suas órbitas, uma vez que s ∈ Os. Em outras palavras, as órbitas formam
uma partição de Σ.
O estabilizador de s é o subconjunto dos elementos de G que fixam s, isto é,
Gs ∶= {g ∈ G ∣ g⋅s = s}.
Produtos e inversos de elementos de Gs também fixam s e logo Gs é um subgrupo
de G.
Dizemos que um grupo G age transitivamente no conjunto Σ se dados s e t em
Σ, existe g ∈ G tal que gs = t, ou seja, seOs = Σ, para algum (e logo para todo) s ∈ Σ.
Exemplo 3.1.1.
3.1. AÇÕES DE GRUPOS 67
(1) Seja G = GL2(R) o grupo das matrizes 2 × 2 invertíveis. Sejam X = R2, Y =
{bases ordenadas de R2} e Z = {retas de R2}. Então G age nestes três espaços,
respectivamente, por
(g, x)↦ g(x), (g,{v1, v2})↦ {g(v1), g(v2)} e (g, `)↦ g(`).
No primeiro caso, a ação é transitiva: dados dois pontos do plano, existe uma
matriz invertível que leva um no outro. Da mesma forma, G age transitiva-
mente em Y. Entretanto a ação de G em Z não é transitiva: por exemplo, a
órbita de uma reta ` passando pela origem é o conjunto das retas que passam
pela origem. Você consegue identificar o estabilizador de `?
(2) O grupo ortogonal especial
SO2(R) = {ρθ = ( cos θ − sen θsen θ cos θ ) ∣ θ ∈ [0, 2π)}
age em R2, simplesmente por (ρθ, p)↦ ρθ(p). A ação não é transitiva: a órbita
de um ponto p é o círculo centrado na origem e que passa por p.
O grupo SO2(R) age sobre o conjunto das bases ordenadas ortonormais, como
em (1). Note que uma matriz de rotação preserva orientação. Portanto, esta
ação não é transitiva.
(3) Na mesma notação de (2), o grupo SO2(R) também age (transitivamente) no
conjunto das retasdo plano que passam pela origem. Aqui, o estabilizador de
uma reta é o subgrupo {id, ρπ}.
(4) Inspirados no exemplo (2), definimos uma ação de G = (R,+) em R2 por
(t, p) ↦ ρt(p). Observe que ρt+t′ = ρt ○ ρt′ . Aqui, o estabilizador de um ponto
p ≠ (0, 0) é o subgrupo 2πZ.
(5) Sejam G = (R − {0}, ⋅), Σ = R2 e considere a ação (λ, p) ↦ λ⋅p. Se p ≠ (0, 0),
entãoOp é a reta (perfurada) que passa pela origem na direção dada pelo vetor
p e Gp = {1}. Porém, a órbita da origem é a própria origem e o estabilizador é
todo o grupo G. ◻
Seja G um grupo finito agindo em um conjunto Σ, fixe s um elemento de Σ e
seja Gs seu estabilizador. Cada elemento de uma classe lateral gGs leva s em g⋅s.
Por outro lado, se g ⋅s = h ⋅s, então h−1g ⋅s = s, isto é, h−1g ∈ Gs e logo as classes
68 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
laterais gGs e hGs são iguais. Em suma, temos uma bijeção entre as classes laterais
do estabilizador Gs e os elementos da órbita Os, dada por gGs ↦ g⋅s.
A conclusão é que o índice (G ∶ Gs) (recorde que este é o número de classes
laterais do subgrupo Gs) é exatamente a cardinalidade da órbita Os. Como G é
uma união disjunta das classes laterais e todas têm a mesma cardinalidade ∣Gs∣,
concluímos
∣G∣ = ∣Os∣ ∣Gs∣ (3.1)
que é chamada a equação das órbitas. Em particular, a cardinalidade de qualquer
órbita sempre divide a ordem de G. A maior parte das aplicações que faremos
estão baseadas nesta identidade, que pode ser vista como uma generalização do
Teorema de Lagrange.
Exemplo 3.1.2.
(1) Seja H um subgrupo de G. Definimos uma ação de H em G por h(x) ∶= hx
para cada h ∈ H, x ∈ G. Dado x em G, sua órbita é a classe lateral Hx e seu
estabilizador é trivial. A bijeção entre as classes laterais do estabilizador e a
órbita dizem neste caso que Hx e H têm a mesma cardinalidade, para todo
x ∈ G. Como as órbitas são disjuntas e sua união é todo o grupo G, obtemos
mais uma vez o Teorema de Lagrange: se G é finito, então ∣G∣ = (G ∶ H) ∣H∣.
(2) (Ação por translação) Seja H um subgrupo de G. Então G age no conjunto das
classes laterais (digamos à esquerda) de H simplesmente por g ⋅xH ∶= gxH.
Esta ação é transitiva: dado x ∈ G, temos xH = x⋅H e logo xH está na órbita da
classe lateral H. Por outro lado, o estabilizador da classe xH é o subgrupo
Ex = {g ∈ G ∣ gxH = xH} = {g ∈ G ∣ x−1gx ∈ H}.
Note que g ↦ x−1gx define uma bijeção Ex → H. ◻
Exemplo 3.1.3. O grupo SL2(Z) = ⟨S, T⟩ age em H, por (A, z) ↦ A ⋅ z, veja o Exer-
cício 2.10. Seja D o subconjunto de H formado pelos elementos z ∈ H tal que
−12 ≤ Real(z) ≤
1
2 e ∣z∣ ≥ 1. Com as afirmações abaixo obtemos informações interes-
santes sobre o comportamento das órbitas de um ponto z ∈H:
(a) Dado z ∈ H, existe A ∈ SL2(Z) tal que A ⋅ z ∈ D, i.e., Oz intersecta D em pelo
menos 1 ponto.
3.2. A EQUAÇÃO DE CLASSES DE CONJUGAÇÃO 69
(b) Se z e A ⋅ z são distintos e pertencem a D, para algum A ∈ SL2(Z), então
Real(z) = ±12 e A ⋅ z = z ± 1 ou ∣z∣ = 1 e A ⋅ z = −
1
z . Consequentemente, Oz
intersecta D em no máximo 2 pontos, sendo exatamente 1 caso a interseção
ocorra no interior de D.
As afirmações acima dizem que D é um domínio fundamental para ação de
SL2(Z) em H. Na Figura 3.1 vemos as respectivas imagens de D com respeito a
alguns elementos de SL2(Z). A afirmação (a) já foi considerada no Exercício 2.10.
Para a afirmação (b) veja o Exercício 3.4. ◻
Figura 3.1: Alguns “transladados” de D
3.2 A equação de classes de conjugação
Utilizaremos a noção de ação para estudar a estrutura de um grupo G. A
ideia é fazer G agir sobre si mesmo, ou seja tomar Σ = G ou Σ um subgrupo de
G. Isso pode ser feito de várias maneiras e uma das mais frutíferas é a ação por
conjugação.
A cada elemento g ∈ G associamos ιg∶G → G dada por ιg(x) = gxg−1, chamada
a conjugação por g. Um elemento da forma gxg−1 é dito um conjugado de x. Note
70 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
que
ι1 = id e ιgh = ιgιh
e portanto g ↦ ιg define uma ação de G em si mesmo, por g⋅x ∶= gxg−1 = ιg(x). A
órbita de um elemento x são seus conjugados e leva o nome especial de classe de
conjugação de x:
C`x = {gxg−1 ∣ g ∈ G}.
O estabilizador de x coincide com o centralizador de x em G:
CG(x) = {g ∈ G ∣ gxg−1 = x} = {g ∈ G ∣ gx = xg}.
Em particular, segue da equação das órbitas (3.1) que o número de conjugados de
x é
∣C`x∣ = (G ∶ CG(x)).
Se G é finito então a cardinalidade de uma classe divide a ordem de G. Note ainda
que as classes de conjugação induzem uma partição de G.
Exemplo 3.2.1. É relativamente elementar determinar as classes de conjugação
para cada grupo simétrico Sn: vimos na Proposição 1.9.9 que conjugações em Sn
são determinadas por estruturas de ciclos. Assim, em S3 as classes de conjugação
são
{(1)}, {(12), (13), (23)}, {(123), (321)}
cujas ordens são 1, 3, 2. Para S4, listamos um representante de cada classe de con-
jugação e a ordem correspondente:
(1) ∶ 1, (12) ∶ 6, (12)(34) ∶ 3, (123) ∶ 8, (1234) ∶ 6
A soma das ordens é ∣S4∣ = 24 e cada uma delas de fato divide 24, como esperado.
◻
Note que x pertence ao centro Z(G) se e somente se xg = gx para todo g em G,
o que acontece se e somente se C`x = {x}. Desta observação aparentemente inócua
e do fato de que as órbitas formam uma partição de G, obtemos a equação de classes
(de conjugação) para um grupo finito G
∣G∣ = ∣Z(G)∣+
k
∑
i=1
∣C`gi ∣ (3.2)
3.2. A EQUAÇÃO DE CLASSES DE CONJUGAÇÃO 71
onde g1, g2, . . . , gk são representantes das distintas classes de conjugação fora do
centro de G. Há um pequeno abuso de notação aqui: o somatório do lado direito
pode não aparecer, o que ocorre se e somente se G é abeliano.
Vimos que todo grupo de ordem prima é cíclico. Vale algo similar para gru-
pos cuja ordem é o quadrado de um primo: são abelianos. Surpreendente, não?
Vamos deduzir isto como uma aplicação da equação de classes. Necessitamos de
um resultado auxiliar.
Lema 3.2.2. Seja Z o centro de um grupo G. Se G/Z é cíclico, então G = Z. Em particular,
o índice do centro não pode ser um número primo.
Demonstração: Desejamos mostrar que G é abeliano. Para isso, tome x, y ∈ G. Por
hipótese existe g ∈ G tal que a classe gZ gera o quociente G/Z. Daí, existem inteiros
m, n tais que xZ = gmZ e yZ = gnZ, o que pode ser reinterpretado assim: existem
u, v ∈ Z tais que
x = gmu e y = gnv
e agora é imediato verificar x e y comutam entre si, o que termina a prova.
3.2.1 Grupos de ordem p2.
Proposição 3.2.3. Se p é um número primo e ∣G∣ = p2, então G é abeliano.
Demonstração: Seja Z o centro de G. Aqui, os casos possíveis para ∣Z∣ são 1, p e
p2. Para cada g /∈ Z temos que ∣C`g∣ é maior que 1 e divide a ordem de G (a
cardinalidade de uma órbita divide a ordem do grupo), e logo segue da equação
de classes que a ordem do centro é divisível por p. Como o índice do centro não
pode ser um número primo (Lema acima), devemos ter ∣Z∣ = p2, ou seja, G é
abeliano.
Podemos refinar este resultado da maneira seguinte.
Corolário 3.2.4. Se p é um número primo e ∣G∣ = p2, então G é isomorfo a
Zp ×Zp ou Zp2 .
72 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Demonstração. Se G possui um elemento de ordem p2, então temos G ≃ Zp2 . Caso
contrário todo elemento não trivial a ∈ G tem ordem p. Fixado a ∈ G ∖ {1} e
b ∈ G ∖ ⟨a⟩ obtemos dois subgrupos normais (lembre que em um grupo abeliano
todo subgrupo é normal)
Zp ≃ ⟨a⟩ ⊲ G e Zp ≃ ⟨b⟩ ⊲ G
com ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {1}. Observe que sendo ⟨a⟩ ⋅ ⟨b⟩ um subgrupo de G de ordem > p
temos
G = ⟨a⟩ ⋅ ⟨b⟩
e daí pela Proposição 1.7.1,o grupo G é isomorfo ao produto direto ⟨a⟩ × ⟨b⟩ ≃
Zp ×Zp.
É natural perguntar para potências superiores. Nessa direção vale que todo
grupo cuja ordem é uma potência de um primo é solúvel; veja a Proposição 3.5.1 e
a Seção 4.3. Uma generalização direta da Proposição 3.2.3 não existe:
Exemplo 3.2.5. Seja p um número primo. Dado n ≥ 3, existe um grupo não-
abeliano de ordem pn. De fato, o grupo de matrizes unitriangulares superiores
UT3(Zp) é não-abeliano de ordem p3 (Exercício 2.11) e portanto o produto direto
G = UT3(Zp)×Zpn−3
é um grupo não-abeliano de ordem pn.
3.3 Os teoremas de Sylow
Nesta seção apresentamosuma demonstração dos teoremas de Sylow. A abor-
dagem que seguimos é através da ação de grupos.
Necessitamos de um lema e contamos com a sua ajuda para demonstrá-lo.
Portanto antes faça o Exercício 3.7.
Lema 3.3.1. Se p é um primo que não divide m e k ≥ 0, então p ∤ (p
km
pk ).
Demonstração: Tomando a = 1 e b = m e aplicando recursivamente o Exercício 3.7,
resulta que (p
km
pk ) ≡ m (mod p) e logo p não divide (
pkm
pk ).
3.3. OS TEOREMAS DE SYLOW 73
Teorema 3.3.2. (Sylow) Se G é um grupo de ordem pkm, onde p é um primo que não
divide m, então G contém um subgrupo de ordem pk.
Demonstração: (Wielandt) Seja X a coleção de todos os subconjuntos de G de car-
dinalidade pk. Note que X tem cardinalidade (p
km
pk ). O grupo G age em X pela
translação à esquerda: dado A ∈ X, definimos
gA = {ga ∣ a ∈ A}.
Seja B ∈ X tal que p ∤ ∣OB∣ (tal B existe, pois caso contrário p dividiria a cardinali-
dade de todas as órbitas de X, e logo dividiria ∣X∣, contradição com o Lema 3.3.1).
Vamos mostrar que o estabilizador de B
GB = {g ∈ G ∣ gB = B}
é um subgrupo de G de ordem pk. De (3.1), temos ∣G∣ = ∣OB∣ ∣GB∣ e portanto pk
divide ∣GB∣. Em particular, ∣GB∣ ≥ pk. Para concluir a demonstração notemos que
∣GB∣ ≤ pk, pois fixado b ∈ B temos que a função
GB → B
g ↦ gb
é injetiva. Assim concluímos que GB é um subgrupo de G de ordem pk.
Seja G um grupo finito. Fixado um primo p, sempre podemos escrever ∣G∣ =
pkm com k ≥ 0 e de forma que p ∤ m. Um subgrupo de G com ordem pk é chamado
um p-subgrupo de Sylow. Pelo teorema que acabamos de provar, um tal subgrupo
sempre existe.
Note que se p não divide a ordem de G (ou seja, se k = 0), então o único p-
subgrupo de Sylow de G é {1}. O outro caso extremo é quando m = 1: aqui o
único p-subgrupo de Sylow de G é o próprio G.
Exemplo 3.3.3. Considere A4, o grupo das permutações pares de quatro elemen-
tos, de ordem 12 = 22 ⋅3. Então o subgrupo de Klein, de ordem 4, é um 2-subgrupo
de Sylow. Como consequência dos Teoremas de Sylow, veremos que ele é o único
subgrupo de ordem 4. Por outro lado, A4 possui quatro 3-subgrupos de Sylow
distintos, todos de ordem 3, cada um deles gerado por um 3-ciclo. Para um primo
p distinto de 2, 3, o único p-subgrupo de Sylow de A4 é {(1)}.
74 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Corolário 3.3.4. (Cauchy) Se p é um primo que divide a ordem de um grupo finito G,
então G possui um elemento de ordem p.
Demonstração: Seja P um p-subgrupo de Sylow de G e seja g ∈ P, com g ≠ 1. Então
a ordem de g é pe, para algum e > 0. Se e = 1, então g é o elemento que buscamos;
se e > 1, então gp
e−1
possui ordem p.
Seja Σ o conjunto de todos os p-subgrupos de Sylow de G. Então G age em Σ
por conjugação. Esta observação é o ponto de partida para obter outras informa-
ções sobre os subgrupos de Sylow. De fato, vamos considerar não somente a ação
de G, mas também a ação de seus subgrupos.
Dado um subgrupo Q < G, consideremos o normalizador de Q em G (Exem-
plo 1.4.4)
NG(Q) = {g ∈ G ∣ gQg−1 = Q}.
Quando não há risco de confusão escrevemos apenas N(Q) no lugar de NG(Q).
Lema 3.3.5. Seja H < G com ordem uma potência de p (mas não necessariamente de
Sylow) e Q um p-subgrupo de Sylow de G. Então H ⊂ N(Q) se e somente se H ⊂ Q.
Demonstração: Como Q ⊂ N(Q), se H está contido em Q não há nada a fazer.
Tratemos então da recíproca.
Se H ⊂ N(Q), então vale HQ = QH. Segue da Proposição 1.5.2 que HQ é um
subgrupo de G cuja ordem, calculada na Proposição 1.5.1, é uma potência de p;
como HQ contém o p-subgrupo de Sylow Q, a conclusão é HQ = Q e portanto
H ⊆ Q, como desejado.
Teorema 3.3.6. (Sylow) Seja G um grupo finito. Tome p um número primo, e escreva
∣G∣ = pkm, onde k ≥ 0 e p ∤ m. Seja Σ o conjunto dos p-subgrupos de Sylow de G. Então:
(i) A ação por conjugação de G em Σ é transitiva; isto é, dados P, Q ∈ Σ, existe g ∈ G
tal que Q = gPg−1. Em particular, os p-subgrupos de Sylow de G são p-grupos
isomorfos.
(ii) Se np é o número de p-subgrupos de Sylow de G, i.e. np = ∣Σ∣, então
np ∣ m e np ≡ 1 (mod p). (3.3)
3.3. OS TEOREMAS DE SYLOW 75
(iii) Se H é um subgrupo de G cuja ordem é uma potência de p, então H está contido em
algum p-subgrupo de Sylow de G.
Demonstração: Como já anunciamos, a prova consiste em comparar os resultados
de ações de certos subgrupos de G em Σ. Nesta demonstração, as ações são sem-
pre por conjugação.
Primeiro vamos mostrar que np ≡ 1 (mod p). Seja P ∈ Σ e considere a ação de
P em Σ. Do Lema 3.3.5, o único p-subgrupo de Sylow fixado por esta ação é o
próprio P. As outras órbitas são não-triviais e, como dividem a ordem de P, são
divisíveis pelo primo p. Como Σ é a união disjunta de suas órbitas, segue-se que
np = ∣Σ∣ é côngruo a 1 (mod p).
Sejam OP e GP a órbita e o estabilizador de P pela ação de G em Σ, respectiva-
mente. Da equação das órbitas (3.1),
∣G∣ = ∣GP∣ ∣OP∣ .
Como GP ⊇ P, segue-se que ∣OP∣ divide m e, em particular, p ∤ ∣OP∣.
Agora, seja Q ∈ Σ um p-subgrupo de Sylow qualquer. Suponha, por contradi-
ção, que Q /∈ OP. Observe que Q também age em OP, mais uma vez por conjuga-
ção. Então, argumentando como na demonstração do Lema 3.3.5, vem que Q não
fixa nenhum dos elementos de OP, ou seja, não há Q-órbitas triviais; consequen-
temente, p divide cada Q-órbita, mais uma vez por (3.1). Resulta daí que p divide
∣OP∣, contradição.
Em resumo, mostramos Σ = OP, ou seja, a ação de G em Σ é transitiva. E como
∣OP∣ divide m, fica mostrado também que np ∣ m, terminando assim a prova de (i)
e (ii).
Para provar (iii) usamos um artifício similar. Se H não está contido em nenhum
p-subgrupo de Sylow de G, então, novamente pelo Lema 3.3.5, a ação de H em Σ
não possui órbitas triviais, donde p ∣ np, contradição com (ii).
Corolário 3.3.7. Se P é um p-subgrupo de Sylow de G, então o normalizador de P em G
é um subgrupo de índice np, i.e.,
np = (G ∶ NG(P)).
Demonstração. Na demonstração do teorema anterior vimos que
∣G∣ = ∣GP∣∣OP∣
76 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
onde GP é o estabilizador de P e OP é a orbita de P, considerando a ação de G por
conjugação no conjunto Σ dos p-subgrupos de Sylow de G. Sendo que GP = NG(P)
e OP = Σ, o resultado segue do Teorema 1.3.1.
Corolário 3.3.8. Um p-subgrupo de Sylow é normal em G se e somente se np = 1.
Exemplo 3.3.9. Temos ∣S4∣ = 24 = 23 ⋅3. Em S4 há exatamente oito 3-ciclos distintos
e agrupando inversos deduzimos que existem 4 subgrupos de ordem 3, ou seja,
n3 = 4. Denote por n2 o número de subgrupos de ordem 8. No Exemplo 1.10.3
vimos que S4 possui exatamente 3 subgrupos de ordem 8 e portanto n2 = 3. Vem
do Corolário 3.3.8 que nenhum subgrupo de Sylow é normal em S4.
A existência de subgrupos normais pode ser bastante útil para determinar a
estrutura de um grupo, nas próximas seções vamos ilustrar esse fato. Antes de
seguir em frente, precisamos da
Proposição 3.3.10. Seja G um grupo e seja p o menor primo que divide a ordem de G. Se
H é um subgrupo de G de índice p, então H é normal em G.
Demonstração. Considere a ação de H no conjunto de classes laterais X = G/H por
translação à esquerda. Dado g ∈ G, denote g = gH ∈ X. Temos que mg ∶= ∣Og∣
divide ∣H∣ e que mg ≤ p, pois p = ∣X∣. Como ∣H∣ divide ∣G∣ vemos que mg divide
∣G∣.
Como mg ≤ p e por hipótese p é o menor primo que divide ∣G∣, temos duas
possibilidades: (1) mg = p e existe apenas uma órbita; ou (2) mg = 1 para todo
g ∈ G. A primeira possibilidade deve ser descartada pois tomando g = 1 temos
m1 = 1. Logo obtemos
hgH = gH
ou seja, g−1Hg = H, para todo g ∈ G e h ∈ H. Isto mostra que H é normal em G.
3.3.1 Primeira aplicação
Seja K um corpo. Como primeira aplicação do teorema de Sylow vamos mos-
trar que todo subgrupo finito do grupo multiplicativo K∗ = K ∖ {0} é cíclico. Para
isso, vamos precisar do seguinte resultado básico.
3.3. OS TEOREMAS DE SYLOW 77
Lema 3.3.11. Seja f ∈ K[X] um polinômio na variável X, com coeficientes em K e de grau
n ≥ 0. Então f possui no máximo n raízes em K.
Demonstração. Se a ∈ K é uma raiz de f , i.e., f (a) = 0 então (X − a) divide f . De
fato, escrevendo
f (X) = q(X)(X − a)+ r(X)
com degr < 1, vemos que r deve ser uma constante, e fazendo X = a na igualdade
acima obtemos r = 0. Agora, se a1, . . . , am são raízes distintas de f , seguindo o
argumento acima indutivamente obtemos que (X1 − a1)⋯(Xm − am) divide f . Em
particular, m ≤ n.
Proposição 3.3.12. Todo subgrupo finito do grupo multiplicativo K∗ é cíclico.
Demonstração. Seja G um subgrupo finito de K∗. Como K∗ é abeliano então G
também é abeliano. Em particular, todo subgrupo de G é normal em G. Sejam
p1, . . . , pn todos os primos (distintos) que dividem ∣G∣. Para cada i = 1, . . . , n, seja
Hi um pi-Sylow, ∣Hi∣ = p
ri
i , cuja existência é garantida pelo Teorema 3.3.2.
Vamos mostrar que
G = H1⋯Hn.
Observe que H1H2 tem ordem p
r1
1 p
r2
2 pelo Teorema 1.5.1, pois H1 ∩ H2 = {1}. Daí
temos
(H1H2)∩ H3 = {1}
pois a ordem de um elemento g ∈ (H1H2)∩H3 deve dividir p
r1
1 p
r2
2 e p
r3
3 , e portanto
∣H1H2H3∣ = p
r1
1 p
r2
2 p
r3
3 .
Procedendo indutivamente, concluímos que
∣H1⋯Hn∣ = p
r1
1 ⋯p
rn
n = ∣G∣.
Agora vamos mostrar que cada subgrupo Hi é cíclico. Seja x ∈ Hi um elemento
de ordem maximal, i.e., o(x) ≥ o(g) para todo g ∈ Hi. Digamos
o(x) = psi , s ≤ ri .
Porém, dado qualquer elemento g ∈ Hi devemos ter
o(g) = pti ≤ p
s
i .
78 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Em particular
go(x) = 1
para todo g ∈ Hi e com isso concluímos que todos os elementos de Hi são raízes
do polinômio
f (X) = Xo(x) − 1.
Pelo Lema 3.3.11, temos
∣Hi∣ ≤ o(x)
e portanto concluímos que ∣Hi∣ = o(x). Mas se Hi contém um elemento x de ordem
∣Hi∣ então ele é cíclico gerado por x
Hi ≃ Zprii
.
Para concluir a demonstração do teorema primeiro observe que
H1 ×⋯× Hn ≃ G,
o isomorfismo é obtido enviando
(g1,⋯, gn)↦ g1⋯gn
e assim a conclusão final segue do Teorema Chinês dos Restos (Exercício 1.48)
Zpr11
×⋯×Zprnn ≃ Z∣G∣.
Corolário 3.3.13. Se p é um número primo então Z∗p é um grupo cíclico.
3.3.2 Grupos de ordem pq.
Proposição 3.3.14. Seja G um grupo de ordem pq, p < q números primos. Então temos
as seguintes possibilidades:
1. Se p não divide q − 1, então G ≃ Zpq;
3.3. OS TEOREMAS DE SYLOW 79
2. Se p divide q − 1, então
G ≃ Zpq ou G ≃ Zp ⋉σ Zq.
onde σ ∶ Zp → AutZq é um homomorfismo não-trivial.
Mais ainda, a menos de isomorfismos, existe apenas um produto semi-direto Zp ⋉σ Zq onde
σ ∶ Zp → AutZq é não-trivial.
Demonstração. Pelo Teorema 3.3.6, o número nq de q-Sylows satisfaz
nq ∣ p e nq ≡ 1 mod q
e portanto devemos ter nq = 1. Seja N o único q-Sylow de G, que deve ser normal
em G, veja Corolário 3.3.8. Seja H um p-Sylow qualquer de G. Sendo N normal
em G, o produto HN é um subgrupo de G de ordem ∣G∣, pois H ∩ N = {1}, logo
temos
G = HN.
Pela Proposição 2.7.5, existe σ ∶ H → Aut N tal que G ≃ H ⋉σ N. Lembre que
Aut N ≃ AutZq é isomorfo ao grupo multiplicativo Z∗q (Proposição 1.11.2), por-
tanto segue do Corolário 3.3.13 que Aut N é um grupo cíclico de ordem q − 1.
Se p não divide q − 1, o único homomorfismo σ ∶ H → Aut N é trivial, i.e.,
σ(h) = idN para todo h ∈ H, e portanto o produto semi-direto coincide com o
produto direto
G ≃ H × N ≃ Zp ×Zq ≃ Zpq
onde o último isomorfismo é dado pelo Teorema Chinês dos Restos (Exercício
1.48). Isso prova a afirmação (1) do enunciado.
Se p divide q−1 então existem homomorfismos não-triviais σ ∶ H → Aut N, que
devem ser da forma seguinte. O grupo cíclico Aut N contém um único subgrupo
de ordem p, seja ϕ um gerador desse subgrupo que denotaremos por A
A = {1, ϕ, ϕ2, . . . , ϕp−1}.
Sendo A cíclico de ordem prima, todos os elementos não-triviais de A são gera-
dores, e além disso um homomorfismo não-trivial σ ∶ H → Aut N deve enviar o
80 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
gerador de H em um gerador de A. Digamos H = ⟨h⟩, então existem exatamente
p − 1 homomorfismos não-triviais:
σj ∶ H → Aut N , j = 1, . . . , p − 1
tal que σj(h) = ϕj. Portanto no caso em que p divide q − 1 temos que σ é o homo-
morfismo trivial ou σ = σj para algum j = 1, . . . , p − 1, ou seja,
G ≃ Zpq ou G ≃ H ⋉σj N ≃ Zp ⋉σ′j Zq.
Com isso concluímos a afirmação (2) do enunciado.
Para concluir a demonstração da proposição observamos que
H ⋉σj N ≃ H ⋉σ1 N
para todo j = 2, . . . , p − 1. De fato, a função
H ⋉σj N → H ⋉σ1 N
(a, b) ↦ (aj, b)
é um isomorfismo.
Corolário 3.3.15. Seja G um grupo de ordem 2p, p um número primo tal que 2 divide
p − 1, então
G ≃ Z2p ou G ≃ Dp .
Demonstração. Já foi mostrado no Exemplo 2.7.8 que Dp é isomorfo a um produto
semi-direto Z2 ⋉σ Zp, com σ não-trivial pois Dp não é abeliano. Portanto o corolá-
rio segue imediatamente da Proposição 3.3.14.
3.3.3 Grupos de ordem pqr.
Proposição 3.3.16. Sejam p < q < r números primos e seja G um grupo de ordem pqr.
Então G é isomorfo a um produto semi-direto de um grupo de ordem qr por um grupo de
ordem p, G ≃ Zp ⋉ N.
Para demonstração vamos precisar da seguinte afirmação:
Afirmação 3.3.17. G contém um subgrupo N de ordem qr.
3.4. CLASSIFICAÇÃO DE GRUPOS DE ORDEM ≤ 15 81
Demonstração. Vamos escolher N como um produto de um q-Sylow por um r-
Sylow, N = Hq ⋅ Hr. Sabemos que o produto de dois subgrupos nem sempre é um
subgrupo, porém funciona se um dos subgrupos envolvidos é normal em G (veja
Exercício 1.22). Para isto primeiro vamos mostrar que nq = 1 ou nr = 1.
Sendo nr ≡ 1 (mod r) e nr divide pq temos que nr ∈ {1, pq}. Suponhamos agora
que nr = pq e vamos mostrar que nq = 1. De fato, sendo q > p segue do Teorema
de Sylow que nq ∈ {1, r, pr}. Uma contagem dos elementos de G, que pertencem a
algum subgrupo de Sylow nos dá:
1+ np(p − 1)+ nq(q − 1)+ nr(r − 1)
(“1” vem do elemento neutro) e assumindo nq ≥ r e nr = pq obtemos
1+ np(p − 1)+ nq(q − 1)+ nr(r − 1) ≥ (r − p)(q − 1)+ pqr > pqr
o que é um absurdo. Portanto concluímos que nr = pq implica nq = 1.
Assim temos que nq = 1 ou nr = 1 e consequentemente pelo menos um dos
subgrupos de Sylow Hq e Hr é normal em G. Isto garante que N = Hq ⋅ Hr é um
subgrupo de G, e além disso ∣N∣ = qr, pois Hr ∩ Hq = {1}.
Demonstração da Proposição 3.3.16. Agora para mostrar que G é isomorfo a um pro-
duto semi-direto, observe primeiro que segue da Proposição 3.3.10 que o sub-
grupo encontrado na Afirmação 3.3.17 é normal em G. Portanto escolhendo um
p-Sylow Hp podemos construir o subgrupo Hp ⋅ N, e sendo Hp ∩ N = {1} (todo
elemento g ≠ 1 de Hp tem ordem p) temos que G = N ⋅ Hp. Pela Proposição 2.7.5
concluímos que existe σ ∶ Hp → Aut N tal que
G ≃ Hp ⋉σ N.
Isto conclui a demonstração. Observe que pode acontecer de σ ser o homomor-
fismo trivial e nesse caso G é um produto direto.
3.4 Classificação de grupos de ordem ≤ 15
Apresentamos na Tabela 3.4 abaixo a classificação dos grupos de ordem ≤ 15,
a menos de isomorfismos. Para começar, como um grupo de ordem prima é cí-
clico, segue-se da Proposição 1.8.3 que um grupo de ordem m ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13}
82 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
é isomorfo a Zm. Para os grupos de ordem 4 e 9 a classificação segue do Coro-
lário 3.2.4. Para os grupos de ordem 6, 10, 14 e 15 segue da Proposição 3.3.14 e
Corolário 3.3.15. Para completar a tabela resta analisar os grupos de ordem 8 e 12.
Observação 3.4.1. Para citar alguns exemplos com ∣G∣ > 15, existem 14 grupos de
ordem 16, 15 grupos de ordem 24, 51 grupos de ordem 32, 267 grupos de ordem 64,
2328 grupos de ordem 128, 56092 grupos de ordem 256 e nada mais nada menos
que 10494213 grupos de ordem 512. Veja [5].
∣G∣ G ≃
1 {1}
2 Z2
3 Z3
4 Z4 ou Z2 ×Z2
5 Z5
6 Z6 ou S3
7 Z7
8 Z8, Z2 ×Z2 ×Z2, Z4 ×Z2, D4 ou Q8
9 Z9 e Z3 ×Z3
10 Z10 ou D5
11 Z11
12 Z12, Z2 ×Z6, A4, D6 ou Z4 ⋉σ Z3
13 Z13
14 Z14 ou D7
15 Z15
Tabela 3.1: Grupos de ordem ≤ 15, a menos de isomorfismos. Na linha 12, o
homomorfismo σ∶Z4 → Aut(Z3) é dado por 1̄↦ (ā ↦ 2a).
Grupos de ordem 8
Seja G um grupo de ordem 8. Se temos um elemento g ∈ G de ordem 8, então
G = ⟨g⟩ ≃ Z8. Podemos supor o(g) ≤ 4 para todo g ∈ G.
Suponhamos que todo elemento de G tem ordem 2 e vamos mostrar que G ≃
Z2 ×Z2 ×Z2. Nesse caso G é abeliano, e vamos escolher dois elementos distintos
3.4. CLASSIFICAÇÃO DE GRUPOS DE ORDEM ≤ 15 83
g1, g2 ∈ G ∖ {1} e um terceiro elemento g3∈ G ∖ ⟨g1, g2⟩. Seja Hi = ⟨gi⟩, i = 1, 2, 3.
Como G é abeliano, então a aplicação
Ψ ∶ H1 × H2 × H3 → G
(a, b, c) ↦ abc
é um homomorfismo claramente sobrejetivo, pois G = H1H2H3. Para mostrar que
Ψ é injetiva, se abc = 1 então
c = b−1a−1 ∈ H3 ∩ ⟨g2, g3⟩,
logo c = 1. De ab = 1 concluímos que a = b−1 ∈ H1 ∩ H2, donde obtemos a = b = 1.
Falta analisar o caso em que existe um elemento g ∈ G de ordem 4. O subgrupo
N = ⟨g⟩ gerado por g é normal, pois tem índice 2 em G. Fixemos h ∈ G ∖ N e seja
H = ⟨h⟩. Se h tem ordem 2, então temos
N ⊲ G, H ∩ N = 1 e G = HN
logo pelas Proposições 2.7.5 e 2.7.6, obtemos G ≃ Z2 ⋉σ Z4. Assim podemos con-
cluir que se σ é trivial então G é o produto direto G ≃ Z2 ×Z4, e se σ é não-trivial
então G ≃ D4, pois
AutZ4 ≃ Z∗4 = {1, 3} ≃ Z2
e portanto existe um único homomorfismo não-trivial Z2 → AutZ4.
O único caso que falta analisar é quando todo elemento h ∈ G ∖ N tem ordem
4. Observe que nesse caso h2 ∈ N, pois h2 tem ordem 2, e portanto h2 = g2. De
hN = Nh, obtemos as seguintes possibilidades
(a) hg = gh; ou
(b) hg = g2h; ou
(c) hg = g3h.
No caso (a), G é abeliano, pois G é gerado por g, h, e daí devemos ter
(hg)2 = h2g2 = g4 = 1
o que é absurdo pois estamos assumindo que todo elemento de G ∖ N tem ordem
4. No caso (b), usando novamente g2 = h2 concluímos que hg = h3, o que é absurdo.
No caso (c), chegamos em um grupo gerado por dois elementos G = ⟨g, h⟩, com
g4 = h4 = 1 , g2 = h2 e hg = g3h.
Portanto G é isomorfo ao grupo dos quatérnios, G ≃ Q, veja o Exercício 1.42.
84 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Grupos de ordem 12
Começamos com o caso abeliano.
Proposição 3.4.2. Se G é abeliano de ordem 12, então
G ≃ Z12 ou G ≃ Z2 ×Z6.
Estes dois grupos não são isomorfos.
Demonstração. Sendo G abeliano, segue do Teorema de Sylow 3.3.6 G possui um
único subgrupo 3-Sylow N e um único subgrupo Q de ordem 4, ambos normais
em G. Como Q ∩ N = {1}, temos G ≃ Q × N. Como Q tem ordem 4, temos dois
casos:
G ≃ Z4 ×Z3 ou G ≃ Z2 ×Z2 ×Z3.
Do Teorema Chinês dos Restos, Exercício 1.48, segue no primeiro caso que G ≃ Z12
e, no segundo caso, que G ≃ Z2 ×Z6; não são isomorfos, uma vez que o segundo
caso não é cíclico.
Passamos agora ao caso não-abeliano. O ponto da prova é buscar elementos
de ordem 6. Começamos com um lema.
Lema 3.4.3. Suponha G não-abeliano de ordem 12 com G /≃ A4. Então G possui um
elemento de ordem 6. Mais ainda, G possui um 3-Sylow normal e logo possui exatamente
dois elementos de ordem 3.
Demonstração. Seja N um 3-Sylow de G, logo ∣N∣ = 3. Consideramos a ação de G
nas classes laterais de N por translação, aN ↦ gaN. Como (G ∶ N) = 4, temos
um homomorfismo σ∶G → Perm(G/N) ≃ S4, cujo núcleo K é um subgrupo de N;
logo K tem ordem 1 ou 3. Se ∣K∣ = 1, então σ seria injetor e G seria isomorfo a um
subgrupo de ordem 12 de S4, ou seja, G ≃ A4, que estamos excluindo. Portanto
K = N e logo N é normal em G, sendo portanto o único 3-Sylow. Tomando N = ⟨b⟩,
então os únicos elementos de ordem 3 de G são b e b2.
Por fim, considere o centralizador C(b), o subgrupo dos elementos que comu-
tam com b. Então (G ∶ C(b)) é o número de conjugados de b e logo (G ∶ C(b)) ≤ 2,
isto é, C(b) tem ordem 6 ou 12. Em qualquer caso, C(b) possui um elemento a de
ordem 2 que comuta com b e portanto ab tem ordem 6.
3.4. CLASSIFICAÇÃO DE GRUPOS DE ORDEM ≤ 15 85
Recorde que Aut(Z3) ≃ Z∗3 = {id, ι}, onde ι é a involução ā ↦ 2a. Temos então o
resultado seguinte.
Proposição 3.4.4. Seja G não-abeliano de ordem 12. Então
G ≃ A4 ou G ≃ D6 ou G ≃ Z4 ⋉σ Z3
com σ∶Z4 → Aut(Z3) dado por 1̄ ↦ ι. Mais ainda, estes grupos não são isomorfos dois a
dois.
Demonstração. Suponha G /≃ A4. Basta mostrar G ≃ D6 ou G ≃ Z4 ⋉σ Z3.
Pelo lema anterior, G possui um único 3-Sylow N, que é um subgrupo normal.
Seja Q um 2-Sylow de G, portanto ∣Q∣ = 4. O número n2 de 2-subgrupos de Sylow
não pode ser igual a 1, pois caso contrário Q ⊲ G e daí G ≃ Q×N seria abeliano. Do
Teorema de Sylow 3.3.6 segue que n2 = 3. Recorde que os 2-subgrupos de Sylow
são conjugados e portanto todos isomorfos entre si.
Como Q é um grupo de ordem 4, temos dois casos a considerar.
(a) Q ≃ Z2 ×Z2: Seja H = ⟨h⟩ um subgrupo de ordem 6 de G, dado pelo lema
anterior. Como H e Q possuem respectivamente 1 e 3 elementos de ordem 2,
existe c ∈ Q de ordem 2 fora de H e logo ⟨c⟩ ⋅H = G. Temos que H é normal em
G. Mais ainda, o mapa de conjugação γ∶ ⟨c⟩→ Aut(H) dado por h ↦ chc−1 não
é trivial, pois senão c e h comutariam e logo G seria abeliano. Isso mostra que
G ≃ ⟨c⟩⋉γ Z6 ≃ D6 pelo Corolário 3.3.15.
(b) Q ≃ Z4: Escreva Q = ⟨q⟩. Então G ≃ Q⋉σ N, onde σ∶Q → Aut(N) é a conjugação
n ↦ qnq−1. Como antes, não podemos ter σ trivial, pois senão G ≃ Q × N
seria abeliano. Mas o outro único homomorfismo possível Q → Aut(Z3) é
exatamente q ↦ ι, e logo G ≃ Z4 ⋉σ Z3, como desejado.
Finalmente, note que A4 não possui elementos de ordem 6; e os outros dois
grupos do enunciado não são isomorfos pois seus respectivos 2-subgrupos de Sy-
low não são isomorfos.
Resumindo, temos a seguinte descrição dos subgrupos de Sylow para cada
uma das classes de isomorfismo dos grupos não-abelianos de ordem 12:
86 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
1. A4 possui um subgrupo normal não-cíclico de ordem 4 e quatro subgrupos
de ordem 3.
2. D6 possui um subgrupo normal de ordem 3 e três subgrupos não-cíclicos de
ordem 4.
3. Z4 ⋉σ Z3 possui um subgrupo normal de ordem 3 e três subgrupos cíclicos
de ordem 4.
3.5 Algumas palavras sobre p-grupos
Seja p um número primo. Dizemos que um grupo é um p-grupo se a ordem de
cada um dos seus elementos é uma potência de p. São exemplos de 2-grupos:
D4, Q, Z2 ×Z2, ∏
n∈N
Z4 = Z4 ×Z4 ×Z4 ×⋯.
Pelo Teorema de Cauchy 3.3.4, a ordem de um p-grupo finito é sempre uma po-
tência de p.
Proposição 3.5.1. Sejam p um número primo e G um p-grupo finito, digamos ∣G∣ = pn.
Então existe uma cadeia de subgrupos
G = Gn ⊳ Gn−1 ⊳ ⋯ ⊳ G1 ⊳ {1} (3.4)
tal que ∣Gi∣ = pi para i = 1, . . . , n.
Demonstração: Feita por indução. Se n = 0, nada a fazer. Suponha a Proposição
válida para todos os p-grupos de ordem pn−1, para algum n ≥ 1. Segue da equação
de classes (3.2) que o centro Z de G é não trivial e portanto, pelo Teorema de
Cauchy 3.3.4, existe um elemento x ∈ Z de ordem p. Como x comuta com todos
os elementos de G, o subgrupo ⟨x⟩ é normal em G e o quociente G ∶= G/⟨x⟩ é um
p-grupo de ordem pn−1. Pela hipótese de indução, existe uma cadeia de subgrupos
G = Gn−1 ⊳ Gn−2 ⊳ ⋯ ⊳ G1 ⊳ {1}
tal que (Gi ∶ Gi−1) = p para cada i. Agora, segue do Teorema da Correspondên-
cia 1.10.2 (aplicado à projeção canônica G → G/⟨x⟩) que a essa cadeia corresponde
uma cadeia de subgrupos em G como em (3.4) com G1 = ⟨x⟩ e tal que o índice em
cada passo da cadeia ainda é p, como desejado.
3.6. GRUPOS ABELIANOS FINITOS 87
3.6 Grupos abelianos finitos
Nosso objetivo nesta seção é provar o Teorema de Decomposição Primária para
os grupos abelianos finitos.
Lema 3.6.1. Sejam A um p-grupo abeliano finito e H = ⟨h⟩, onde h ∈ A possui ordem
máxima em A. Se A ≠ H, então existe a ∈ A ∖ H de ordem p.
Demonstração: Com efeito, pelo Teorema de Cauchy existe y ∈ A tal que a ordem
de y + H em A/H é igual a p. Logo py = kh, para algum inteiro k > 0. Escrevendo
k = pq + r, com 0 ≤ r < p, obtemos r = 0: de fato, temos que rh = p(y − qh); por um
lado, p(y − qh) não possui ordem máxima em A já que é múltiplo de p; por outro
lado, se r ≠ 0, então o(rh) = o(h) já que mdc(r, p) = 1. Logo p(y − qh) = 0 e daí
y − qh /∈ H possui ordem p.
Lema 3.6.2. Seja A p-grupo abeliano finito. Se h ∈ A possui ordem máxima, então
H = ⟨h⟩ é uma parcela direta de A.
Demonstração: Por indução em n, onde ∣A∣ = pn. Se n = 1 ou A = H, então A é
cíclico e logo o resultado é válido. Supomos portanto n > 1 e que H é um subgrupo
próprio de A.
Seja a ∈ A ∖ H de ordem p (Lema 3.6.1). Sejam A = A/⟨a⟩, φ ∶ A → A a projeção
canônica e H = φ(H). Então H ≅ H, pois H ∩ ⟨a⟩ = {1}. Assim, φ(h) ∈ Ā possui
ordem máxima e, pela hipótese de indução, A = H ⊕K, para algum subgrupo K.
Tomando K = φ−1(K), temos que H ∩ K = {1} e, como ∣K∣ =p ∣K∣ e ∣A∣ = p ∣A∣,
segue-se que ∣A∣ = ∣H∣ ∣K∣, ou seja, A = H ⊕K.
Proposição 3.6.3. Um p-grupo abeliano finito A se escreve de maneira única como uma
soma direta
A = H1 ⊕ H2 ⊕⋯⊕ Hr
onde cada Hi é um p-grupo cíclico com 1 < ∣Hi∣ ≤ ∣Hi+1∣ para i = 1, . . . , r − 1.
Demonstração: A existência de uma tal decomposição segue do Lema 3.6.2, apli-
cado repetidas vezes. A unicidade vem do fato de que podemos cancelar cada
parcela de maior ordem, já que ela possui um elemento de ordem máxima em
A.
88 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Teorema 3.6.4. (Decomposição primária) Seja A um grupo abeliano finito. Então
existe uma decomposição de A como soma direta de p-grupos cíclicos, onde p percorre
os primos que dividem ∣A∣. Tais p-grupos, a menos de isomorfismos, são unicamente
determinados.
Demonstração: Sendo A abeliano, cada p-subgrupo de Sylow de A é normal. Logo,
A se escreve como soma direta dos seus subgrupos de Sylow. Agora aplicamos
a Proposição 3.6.3 a cada um deles para obter o resultado. A unicidade se segue
olhando-se os elementos de cujas ordens são potências de p máximas.
3.7 Exercícios
Ações de grupos
3.1. Seja G um grupo. Mostre que G age em Σ ∶= {subgrupos de G} por conjuga-
ção via g ↦ (ιg∶S → S), dada por ιg(H) = gHg−1.
3.2. Considere o anel Q[x1, . . . , xn] de polinômios em n indeterminadas. Então
o grupo simétrico Sn age em Q[x1, . . . , xn] permutando as variáveis: dada
uma permutação σ em Sn, definimos σ( f (x1, . . . , xn)) ∶= f (xσ(1), . . . , xσ(n)).
Por exemplo,
se σ = (14)(23) e f = 3x1 ⋅ x3 − x2 ⋅ x25 − 2x
7
4, então σ( f ) = 3x4 ⋅ x2 − x3 ⋅ x
2
5 − 2x
7
1.
(a) Prove que esta é de fato uma ação.
(b) Para S3 agindo em Q[x1, x2, x3], calcule os estabilizadores de
f = x1x2x3, g = x2x1 + x2x3 e h = 2 f + g.
(c) Dê exemplo de um polinômio em quatro variáveis cujo estabilizador
em S4 seja o subgrupo de Klein.
3.3. Considere a ação de G = SL2(Z) em H (Exemplo 3.1.3). Verifique as afirma-
ções abaixo para o estabilizador Gz em cada caso.
(a) Gz = {±I2,±S} para z = i.
Exercícios 89
(b) Gz = {±I2,±ST,±(ST)2} para z = e
2πi
3 . Sugestão: z2 + z + 1 = 0.
3.4. Siga os passos para mostrar a Afirmação (b) do Exemplo 3.1.3:
Se z e A ⋅ z são distintos e pertencem a D, para algum A ∈ SL2(Z), então
Real(z) = ±12 e A ⋅ z = z ± 1 ou ∣z∣ = 1 e A ⋅ z = −
1
z .
(a) Se A = ( a bc d ) ∈ SL2(Z), trocando z por A ⋅ z e A por A−1, se necessário,
podemos supor ∣cz + d∣2 ≤ 1. Sugestão: lembre que
Im(A ⋅ z) =
Im(z)
∣cz + d∣2
.
(b) Mostre que se z ∈ D e ∣c∣ ≥ 2 então ∣cz + d∣ > 1. Resta analizar os casos
c = 0,±1.
(c) Se c = 0 então a = d = ±1 e portanto A ⋅ z = ±z + b. Sendo z e A ⋅ z são
distintos e estão em D conclua que b = ±1 e Real(z) = ±12 .
(d) Se c = 1 e z ∈ D então ∣z + d∣ ≤ 1 implica: d = 0 e ∣z∣ = 1; ou d = 1 e z = ξ
(ξ = e
2πi
3 raiz cúbica primitiva da unidade); ou d = −1 e z = −ξ. Conclua
que ∣z∣ = 1 e A ⋅ z = −1z .
(e) O caso c = −1 segue do caso anterior trocando A por −A (o que não
altera A ⋅ z).
Mais detalhes em [16, Chapter VII - Thm 1].
A equação de classes de conjugação
3.5. Verifique que o grupo A4 possui 4 classes de conjugação, com equação de
classes
∣A4∣ = 1+ 3+ 4+ 4.
3.6. Determine as classes de conjugação de D4. Você deve encontrar exatamente
cinco, com equação de classes
∣D4∣ = 1+ 1+ 2+ 2+ 2.
Conclua que Z(D4) = Z2.
90 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
Os teoremas de Sylow
3.7. Seja p um primo. Se a ≤ b, inteiros positivos, então
(
pb
pa
) ≡ (
b
a
) (mod p).
Sugestão: compare os coeficientes de xpa em ambos os lados da identidade
de polinômios (1+ x)pb ≡ (1+ xp)b (mod p).
3.8. Se p e q são primos gêmeos e ∣G∣ = pq, então G é cíclico.
3.9. Um grupo de ordem 112 ⋅132 é abeliano.
3.10. Um grupo de ordem 28 que possui um subgrupo normal de ordem 4 é abe-
liano.
3.11. Se p é um primo ímpar, então um grupo de ordem 2p possui um subgrupo
normal não-trivial.
3.12. Todo grupo de ordem 33, 35 ou 65 é cíclico.
3.13. O grupo alternado A12 não possui um subgrupo de ordem 33.
3.14. Sejam p, q primos distintos. Um grupo com ordem p2q possui um subgrupo
normal não-trivial.
3.15. Mostre que, a menos de isomorfismos, existem exatamente 5 grupos de or-
dem 18.
3.16. Seja G um grupo de ordem 30. O objetivo é mostrar, usando os teoremas de
Sylow, que os subgrupos de ordens 3 e 5 são normais em G. Mostre:
(a) G contém um subgrupo H de ordem 15, H é abeliano e contém um
3-Sylow A e um 5-Sylow B.
(b) Usando que H é normal em G e o item anterior, mostre que gAg−1 = A
para todo g ∈ G, ou seja, A é normal em G. Analogamente, B é normal
em G.
(c) Conclua que n3 = n5 = 1.
Exercícios 91
3.17. Seja G um grupo finito tal que todos os seus subgrupos de Sylow são nor-
mais. Mostre que G é isomorfo ao produto direto de todos os seus subgrupos
de Sylow.
3.18. Seja P um subgrupo de Sylow de G e NG(P) o normalizador de P em G. Siga
os passos abaixo para mostrar que
NG(NG(P)) = NG(P).
(a) Dado g ∈ NG(NG(P)) então
gPg−1 ⊂ gNG(P)g−1 = NG(P).
(b) Conclua que P e gPg−1 são subgrupos de Sylow de NG(P).
(c) Em particular, existe x ∈ NG(P) tal que xPx−1 = gPg−1.
(d) Segue que g−1x ∈ NG(P) e logo g ∈ NG(P).
3.19. Seja G um grupo de ordem 24 que não possui elementos de ordem 6. Siga os
passos abaixo para mostrar que G é isomorfo a S4.
(a) Se P é um 3-Sylow, então NG(P)/CG(P) é um subgrupo de Aut P ≃ Z2
(Exercício 1.62).
(b) Mostre que n3 = 4 e conclua que NG(P) ≃ S3. Sugestão: se (G ∶ NG(P)) =
n3 = 1 então CG(P) contém um elemento de ordem 2, e podemos pro-
duzir um elemento de ordem 6 em G).
(c) Considere a ação por conjugação ϕ ∶ G → S4 no conjunto das classes
laterais de P em G e seja A o núcleo. Então A ⊂ NG(P).
(d) Se NG(P) = A ⊲ G, usando o Exercício 3.18 obtemos uma contradição.
(e) Se ∣A∣ ≠ 3 pois n3 = 4 e ∣A∣ ≠ 2 pois S3 não contém subgrupo normal de
ordem 2.
Classificação de grupos de ordem ≤ 15
3.20. Mostre que Z2 × S3 ≃ D6. Dica: Z2 × S3 é não-abeliano, possui um elemento
de ordem 6 e não possui elementos de ordem 4.
92 CAPÍTULO 3. AÇÕES DE GRUPOS
3.21. Prove que se um produto semi-direto (Z2 ×Z2)⋉Z3 é não-abeliano, então é
isomorfo a D6.
3.22. Mostre que A4 e PSL2(Z3) são isomorfos.
3.23. Podemos caracterizar o grupo não-abeliano G = Z4 ⋉σ Z3 da seguinte ma-
neira:
G = {⟨a, b⟩ ∣ a6 = 1 e a3 = b2 = (ab)2}.
É bom exercício, a partir dessas relações, explicitar a tabela de multiplicação
de G.
Capítulo 4
Grupos simples e grupos solúveis
4.1 Grupos simples
Um grupo G é simples se {1} e G são seus únicos subgrupos normais.
4.1.1 An é simples, n > 4
O objetivo desta seção é mostrar o
Teorema 4.1.1. O grupo alternado An é simples para todo n ≥ 5.
A demonstração será feito usando indução em n, antes disso precisamos de
alguns resultados preliminares.
Lema 4.1.2. Seja n ≥ 5. Se H ⊲ An contém um 3-ciclo então H = An.
Demonstração. Se H é normal em An e contém um 3-ciclo então, pelo Corolário
1.9.10, ele contém todos os 3-ciclos pois todos os 3 ciclos são conjugados entre si
em An. Mas An é gerado pelos 3-ciclos, pela Proposição 1.9.8, logo H = An.
O primeiro passo da indução é o
Lema 4.1.3. O grupo alternado A5 é simples.
Demonstração. Seja H ⊲ A5, H ≠ {1}. Vamos mostrar que H possui um 3-ciclo.
Como H não é trivial, existe uma permutação par em H, que podemos supor uma
entre
α = (a1a2a3), β = (a1a2)(a3a4) ou σ = (a1a2a3a4a5).
93
94 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Se α ∈ H não há mais nada a fazer. Se β ∈ H, então tomando τ = (a1a2)(a3a5)
temos que τβτ−1 = (a1a2)(a4a5) e portanto
(τβτ−1)β−1 = (a3a5a4) ∈ H.
Se σ ∈ H, escolhendo τ = (a1a3a2), temos τστ−1 = (a3a1a2a4a5) e portanto
(τστ−1)σ−1 = (a1a3a4) ∈ H.
Assim, em qualquer caso, H contém um 3-ciclo. O resultado segue do Lema 4.1.2.
Para demonstração do Teorema 4.1.1 também vamos precisar do lema seguinte.
Lema 4.1.4. Dado α ∈ An, α ≠ (1), existe β ∈ An ∖ {α}, conjugado a α em An com
β(i) = α(i)
para algum i ∈ {1, . . . , n}.
Demonstração. Primeiramente, suponhamos que na decomposição de ciclos dis-
juntos de α (Teorema 1.9.2) existe algum r-ciclo com r ≥3, i.e.,
α = σ ⋅γ , σ = (a1⋯ar) com r ≥ 3.
Escolhendo τ = (a3a4a5) e β = τατ−1 vemos que
β = (τ(a1)τ(a2)⋯τ(ar)) ⋅ τγτ−1 = (a1a2a4⋯τ(ar)) ⋅ τγτ−1
o que nos dá
α(a1) = β(a1) e α(a2) ≠ β(a2)
e portanto β é o elemento que procuramos.
Resta analisar o caso em que α é um produto de transposições disjuntas. Nesse
caso, escrevemos
α = (a1a2)(a3a4) ⋅γ
onde γ representa as demais transposições (possivelmente γ = (1)). Agora esco-
lhemos τ = (a1a3a2) e β = τατ−1. Sendo que τ e γ são disjuntos obtemos τγτ−1 = γ
e portanto
β = (a3a1)(a2a4) ⋅γ.
4.1. GRUPOS SIMPLES 95
Daí segue que
α(a1) ≠ β(a1) e α(a5) = γ(a5) = β(a5)
e isto termina a prova do lema.
Prova do Teorema 4.1.1. Na demonstração vamos usar os seguintes subgrupos de
An
Hi = {α ∈ An ∣ α(i) = i}
para cada i ∈ {1,⋯, n}.
Vamos proceder por indução em n. O caso n = 5 segue do Lema 4.1.3. Seja
n ≥ 6 e suponhamos que An−1 é simples, queremos mostrar que An é simples. Seja
H ≠ {1} um subgrupo normal de An, vamos mostrar que H contém um 3-ciclo, e
daí segue do Lema 4.1.2 que H = An.
Para mostrar que H contém um 3-ciclo é suficiente mostrar que H contém um
subgrupo Hi para algum i ∈ {1,⋯, n}, pois Hi contém um 3-ciclo. Primeiro vamos
mostrar que H ∩ Hi ≠ {1}. Dado α ∈ H, tomando β como no Lema 4.1.4 vemos que
αβ−1 ∈ Hi ∖ {1}. Além disso, β ∈ H pois ele é conjugado a α e H é normal em An, e
portanto concluímos que
αβ−1 ∈ H ∩ Hi ∖ {1}.
Agora observe que sendo H um subgrupo normal de An temos que H ∩ Hi é um
subgrupo normal de Hi. Mas Hi é um grupo simples pois é isomorfo a An−1 que é
simples, pela hipótese de indução, e portanto devemos ter
H ∩ Hi = Hi
e consequentemente Hi está contido em H. Em particular, H contém um 3-ciclo e
logo H = An. Isto termina a prova do teorema.
É um bom exercício mostrar que todos os grupos simples de ordem < 60 são
cíclicos de ordem prima. Vamos concluir essa seção mostrando que A5 é o único
grupo simples de ordem 60. Antes disso, precisamos do
Lema 4.1.5. Seja G um grupo simples. Se G contém um subgrupo H de índice n > 1,
então G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico Sn.
96 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Demonstração. Vamos considerar a ação de G à esquerda no conjunto C formado
pelas classes laterais de H em G
G × C → C
(g, hH) ↦ ghH .
Esta ação nos dá um homomorfismo ϕ∶G → PermC no grupo das bijeções de C.
Mas sendo G simples, devemos ter ker(ϕ) = {1}, pois o núcleo é um subgrupo
normal de G e a ação é não-trivial uma vez que n > 1. Portanto ϕ é injetivo e como
PermC ≃ Sn, o resultado segue.
Proposição 4.1.6. O grupo alternado A5 é o único grupo simples de ordem 60, a menos
de isomorfismos.
Demonstração. Seja G um grupo simples de ordem 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5. A ideia é mostrar
que G contém um subgrupo de índice 5 e aplicar o Lema 4.1.5.
Primeiro vamos mostrar que o número de 2-Sylows n2 é igual a 5 ou 15. Seja
X o conjunto dos 2-subgrupos de Sylow de G. A ação de conjugação de G em X
G ×X → X
(g, P) ↦ gPg−1
nos dá um homomorfismo ϕ ∶ G → PermX, onde PermX. Sendo que o núcleo
ker(ϕ) é um subgrupo normal de G e a ação é não-trivial temos ker(ϕ) = {1}, i.e., ϕ
é injetiva. Portanto G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico Sn2 ≃ PermX,
onde n2 = ∣X∣ é o número de 2-Sylows. Em particular temos n2 ≥ 5 (pois ∣G∣ = 60) e
pelo Teorema de Sylow concluímos que n2 ∈ {5, 15}.
Se n2 = 5, então o normalizador NG(P) de um 2-subgrupo de Sylow P é um
subgrupo de G de índice 5 (Corolário 3.3.7). Se n2 = 15 então vamos mostrar que
existe x ∈ G tal que o centralizador CG(x) tem índice 5. Primeiro observamos que
existem dois 2-subgrupos de Sylow distintos P1, P2 ∈ X, com P1 ∩ P2 ≠ {1}. Se não,
sendo n5 = 6 (verifique!) temos 24 = 4n5 elementos de ordem 5 e 45 = 3n2 ele-
mentos de ordem 4, totalizando 69 elementos, que é um absurdo. Considerando
agora um elemento não-trivial x ∈ P1 ∩ P2, vemos que CG(x) é um subgrupo pró-
prio de G pois ⟨x⟩ ⊲ CG(x) é um subgrupo normal não-trivial, i.e., CG(x) não é
simples. Segue do Lema 4.1.5 que (G ∶ CG(x)) ≥ 5, e portanto ∣CG(x)∣ ≤ 12. Para
4.1. GRUPOS SIMPLES 97
concluir que ∣CG(x)∣ = 12 basta observar que ∣CG(x)∣ ≥ 5 e 4 divide ∣CG(x)∣ pois
CG(x) contém Pi, i = 1, 2, sendo que cada Pi é abeliano (ordem 4).
Assim concluímos que G contém um subgrupo de índice 5 e pelo Lema 4.1.5
temos que G é isomorfo a um subgrupo de S5. Isto é suficiente para concluir
que G é isomorfo a A5, pois A5 é o único subgrupo de S5 de índice 2. Veja o
Exercício 4.1.
4.1.2 Critério de Iwasawa
O Teorema de Iwasawa que veremos nessa seção é um critério para decidir
se um determinado grupo H é simples, desde que esse grupo possa ser escrito
como o quociente H = G/K onde K é o núcleo de uma ação G que age de forma
duplamente transitiva. Seguiremos aqui a apresentação de [9], começando com
ações duplamente transitivas.
Seja G um grupo que age num conjunto Σ e considere o homomorfismo
ϕ ∶ G → Perm Σ
induzido por essa ação, veja Seção 3.1. Lembramos que a ação é transitiva se da-
dos s, t ∈ Σ existe g ∈ G tal que gs = t. Vamos definir um conceito similar para
pares de pontos. Suponha que Σ tem cardinalidade ∣Σ∣ ≥ 2. Dizemos que a ação é
duplamente transitiva se dados
(s1, s2) ∈ Σ2 e (t1, t2) ∈ Σ2
com s1 ≠ s2 e t1 ≠ t2, então existe g ∈ G tal que
gs1 = t1 e gs2 = t2.
Antes de enunciar o critério de Iwasawa precisamos de alguns resultados téc-
nicos.
Lema 4.1.7. Suponha que G age de forma duplamente transitiva no conjunto Σ. Se N ⊲ G
é um subgrupo normal de G, então a ação induzida de N em Σ é trivial ou transitiva.
Demonstração. Se a ação de N em Σ não é trivial, então existem h0 ∈ N, e s0 ∈ Σ tal
que h0s0 ≠ s0. Vamos mostrar que a ação é transitiva, ou seja, dados s e t em Σ,
98 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
s ≠ t, queremos encontrar h ∈ N tal que hs = t. Como a ação de G é duplamente
transitiva, considerando os pares de pontos
(s0, h0s0) ∈ Σ2 e (s, t) ∈ Σ2
então existe g ∈ G tal que
gs0 = s e gh0s0 = t.
Daí segue que
t = (gh0g−1)(gs0) = (gh0g−1)s
e sendo N normal em G, podemos escolher h = gh0g−1 ∈ N. Isto mostra que a ação
de N em Σ é transitiva.
Seja H um subgrupo próprio de G. Dizemos que H é um subgrupo maximal de
G se não existe outro subgrupo próprio de G que contém H, i.e., se H < A < G
então A = H ou A = G.
Lema 4.1.8. Suponha que G age de forma duplamente transitiva no conjunto Σ. Dado
s ∈ Σ, o estabilizador Gs é um subgrupo maximal de G.
Demonstração. Primeiro observe que Gs é subgrupo próprio de G, pois sendo a
ação duplamente transitiva, certamente existe g ∈ G tal que gs ≠ s. Suponhamos
Gs < A < G, com A distinto de Gs, queremos mostrar que A = G. Para isto basta
mostrar que dado a ∈ A ∖ Gs então o subgrupo H = ⟨Gs, a⟩ gerado por Gs e a
coincide com G, i.e., H = A = G.
Seja g ∈ G. Observe que as ≠ s e gs ≠ s, pois a e g não pertencem a Gs. Esco-
lhendo os pares
(s, as) ∈ Σ2 e (s, gs) ∈ Σ2
então existe g′ ∈ G tal que
g′s = s e g′as = gs.
A primeira igualdade nos dá g′ ∈ Gs e a segunda igualdade no dá (g′a)−1g ∈ Gs.
Portanto, se h = (g′a)−1g concluímos que
g = g′ah ∈ H = ⟨Gs, a⟩.
Isto mostra que H = A = G.
4.1. GRUPOS SIMPLES 99
Agora podemos ir para o teorema de Iwasawa.
Teorema 4.1.9 (Iwasawa, 1941). Suponha que G age de forma duplamente transitiva
num conjunto Σ e seja N o núcleo dessa ação. Se as duas condições abaixo são satisfeitas,
então G/N é simples.
(1) Existe s ∈ Σ tal que o estabilizador Gs admite um subgrupo normal abeliano U, e
além disso o subgrupo gerado por todos os conjugados de U coincide com G, i.e.,
G = ⟨⋃
g∈G
gUg−1⟩.
(2) O subgrupo dos comutadores coincide com G, i.e., G′ = G.
Demonstração. Lembramos que os subgrupos normais de G/N estão em corres-
pondência com os subgrupos normais de G que contém N (Teorema 1.10.2). Para
mostrar que G/N é simples basta mostrar que se N < A ⊲ G, então A = N ou A = G.
Sendo que A é normal, então AGs é um subgrupo de G (Exercício 1.22). Mas
Gs é maximal, do Lema 4.1.8 e de Gs < AGs, concluímos que AGs = Gs ou AGs = G.
Vamos estudar estas duas possibilidades:
(a)Se AGs = Gs, então A < Gs e concluímos que todos os elementos de A fixam s:
hs = s para todo h ∈ A. Consequentemente, A não age transitivamente em Σ.
Segue do Lema 4.1.7 que a ação de A em Σ é trivial, ou seja, todos os elementos
de A estão no núcleo da ação: A ⊂ N. Nesse caso temos A = N. Até aqui não
usamos as condições (1) e (2) do enunciado.
(b) Se AGs = G, vamos mostrar que A = G. Antes disso, mostraremos AU =
G, onde U é o subgrupo dado pela condição (1) do enunciado. Para isto, é
suficiente mostrar que AU contém todos os conjugados de U, pois estes geram
G. Mas sendo A ⊲ G e U ⊲ Gs < G, então AU ⊲ AGs = G (Exercício 1.24). De
U < AU e AU ⊲ G concluímos que AU contém todos os conjugados de U, e
portanto AU = G. Agora, para mostrar que de fato temos A = G vamos usar
que U é abeliano, pois sendo
G/A = AU/A ≃ U/(A ∩U)
segue que o quociente G/A é abeliano. Lembre que o quociente de um grupo
abelinao é abeliano; o isomorfismo acima segue do item (c) no Exemplo 1.6.3.
100 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Finalmente podemos concluir que G′ ⊂ A, veja o Exercício 1.31, e portanto a
condição (2) do enunciado garante que G = A.
Nos dois casos acima concluímos que A = N ou A = G e isto termina a demons-
tração do teorema.
4.1.3 PSL2(K) é simples, ∣K∣ > 3
Nesta seção vamos mostrar a simplicidade dos grupos
PSL2(K) = SL2(K)/{±I2}
onde K é um corpo de cardinalidade ∣K∣ > 3; I2 denota a matriz identidade 2 ×
2. Na demonstração vamos usar o critério de Iwasawa (Teorema 4.1.9), portanto
precisamos de uma ação duplamente transitiva do grupo SL2(K) em um conjunto
Σ
ϕ ∶ SL2(K)→ PermΣ
de forma que PSL2(K) = SL2(K)/ker(ϕ). Além disso, as condições (1) e (2) do
Teorema 4.1.9 devem ser satisfeitas.
O conjunto Σ que vamos considerar aqui é o conjunto das retas que passam
pela origem do K-espaço vetorial K2, usualmente denotado por P1K,
P1K = {l ⊂ K
2 ∶ l é uma reta passando pela origem}.
Uma reta pela origem é o conjunto dos múltiplos escalares de um vetor não-nulo
v ∈ K2
l = ⟨v⟩ = {λv ∶ λ ∈ K}
e dado A ∈ SL2(K) definimos
A(l) = ⟨A(v)⟩ = {λA(v) ∶ λ ∈ K}.
Portanto o grupo SL2(K) age em P1K
SL2(K)×P1K → P
1
K
(A, l) ↦ A(l)
4.1. GRUPOS SIMPLES 101
e o homomorfismo induzido ϕ ∶ SL2(K) → PermP1K, envia A ∈ SL2(K) em ϕA ∈
PermP1K, onde
ϕA ∶ P1K → P
1
K
l ↦ A(l)
Lema 4.1.10. O núcleo da ação ϕ ∶ SL2(K)→ PermP1K é
ker(ϕ) = {±I2}
Demonstração. O núcleo é formado pelas matrizes A ∈ SL2(K) tal que ϕA = idP1K ,
i.e., A(l) = l para toda reta l ∈ P1K. Sejam e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) e e3 = (1, 1). De
A(⟨e1⟩) = ⟨e1⟩ e A(⟨e2⟩) = ⟨e2⟩
concluímos que A é uma matriz diagonal, e sendo det A = 1, ela deve ser da forma
A = (
a 0
0 a−1
) .
De A(⟨e3⟩) = ⟨e3⟩, vemos que a2 = 1, i.e., a = ±1.
Observamos agora que a ação de SL2(K) em P1K é duplamente transitiva, pois
dados dois pares de vetores {v1, w1} e {v2, w2}, vi e wi linearmente independentes,
sempre existe uma matriz A ∈ SL2(K) tal que A(v1) = v2 e A(w1) = w2. Deixamos
os detalhes para o leitor (Exercício 4.8). Portanto, sendo que a ação é duplamente
transitiva, para mostrar que
PSL2(K) = SL2(K)/ker(ϕ)
é um grupo simples, basta mostrar que as condições (1) e (2) do Teorema 4.1.9
são satisfeitas.
Para a condição (1), escolhemos
s = ⟨(1, 0)⟩ ∈ Σ = P1K.
Seu estabilizador
Gs = {A ∈ SL2(K) ∶ A(s) = s}
102 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
é o conjunto das matrizes triangulares superiores
Gs = {(
a b
0 a−1
) ∶ a ∈ K∗, b ∈ K}
que admite
U = {(
1 b
0 1
) ∶ b ∈ K}
como subgrupo normal abeliano, veja o Exercício 1.33. Para concluir que a condi-
ção (1) é satisfeita, precisamos do
Lema 4.1.11. O grupo SL2(K) é gerado pelo conjunto formado por todos os conjugados
de U, i.e.,
SL2(K) = ⟨{AUA−1 ∶ A ∈ SL2(K)}⟩.
Demonstração. Primeiro observe que a matriz A = (0−11 0 ) conjuga U com o grupo
AUA−1 = {(
1 0
b 1
) ∶ b ∈ K} .
Agora, todo elemento de SL2(K) se escreve como um produto de (no máximo 4)
elementos de U e AUA−1. De fato, dado (a bc d) ∈ SL2(K), então
(
a b
c d
) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(
1 0
d−1
b 1
)(
1 b
0 1
)(
1 0
a−1
b 1
) , se b ≠ 0
(
1 a−1c
0 1
)(
1 0
c 1
)(
1 d−1c
0 1
) , se c ≠ 0
(
1 0
1−a
a 1
)(
1 1
0 1
)(
1 0
a − 1 1
)(
1 −a−1
0 1
) , se b = c = 0
Portanto SL2(K) é gerado por U e AUA−1.
Veremos agora que a condição (2) do Teorema 4.1.9 é satisfeita:
Lema 4.1.12. Se ∣K∣ > 3, então SL2(K)′ = SL2(K).
4.1. GRUPOS SIMPLES 103
Demonstração. Sendo ∣K∣ > 3, existe a ∈ K ∖ {0, 1,−1}, i.e., a ≠ 0 e a2 − 1 ≠ 0. Assim
podemos mostrar que todo elemento de U pode ser escrito na forma ABA−1B−1
com A, B ∈ SL2(K), pois dado b ∈ K, escolhendo λ = ba2−1 temos
(
1 b
0 1
) = (
a 0
0 a−1
)(
1 λ
0 1
)(
a 0
0 a−1
)
−1
(
1 λ
0 1
)
−1
Daí segue que U ⊂ SL2(K)′. Mas o subgrupo dos comutadores SL2(K)′ é normal
em SL2(K), logo ele contém também todos os conjugados de U, e o resultado
segue do Lema 4.1.11.
O teorema abaixo foi provado primeiramente por C. Jordan [7] no caso em que
K = Fp, p primo (distinto de 2 e 3), em 1870. E. H. Moore [13] estabeleceu o caso
K = Fq, q = pn, em 1893. O resultado como enunciado abaixo foi obtido por L. E.
Dickson [3, 4] em 1901. Porém a demonstração aqui apresentada usa o critério de
Iwasawa, disponível em 1941.
Teorema 4.1.13. Se K é um corpo de cardinalidade ∣K∣ > 3, então PSL2(K) é simples.
Demonstração. Como vimos acima, o grupo SL2(K) age em P1K de forma dupla-
mente transitiva. A ação tem como núcleo N = {±I2} (Lema 4.1.10), i.e., temos
PSL2(K) = SL2(K)/N.
Tomando s = ⟨(1, 0)⟩ ∈ P1K, vimos que o estabilizador Gs contém um subgrupo nor-
mal abeliano U tal que o conjunto formado por todos os seus conjugados geram
SL2(K) (Lema 4.1.11). Alem disso, temos SL2(K)′ = SL2(K) (Lema 4.1.12). Por-
tanto a conclusão do teorema segue do critério de Iwasawa (Teorema 4.1.9).
Já vimos que PSL2(F2) e PSL2(F3) são isomorfos a S3 e A4, respectivamente, e
portanto não são grupos simples.
Observação 4.1.14. Também é conhecido que PSLn(K) é simples se n > 2, o que
foi mostrado por L. E. Dickson em 1901 [4]. Para uma demonstração usando o
critério de Iwasawa, veja por exemplo [11, Theorem 223] ou [14, Theorem 9.46].
104 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Observação 4.1.15. Como consequência da Proposição 4.1.6 e do Teorema 4.1.13
temos que existem isomorfismos
A5 ≃ PSL2(F4) ≃ PSL2(F5).
Terminamos essa seção listando outros fatos conhecidos:
1. A menos de isomorfismos, o grupo PSL2(F7) é o único grupo simples de
ordem 168, veja por exemplo [12, Section 3.8.1]. E todo grupo simples G
com 60 < ∣G∣ < 168 é cíclico de ordem prima. Além disso, 168 não é da forma
n!
2 , logo não coincide com nenhum dos An’s. Este grupo desempenha papel
importante no celebrado artigo [10] de F. Klein, ele aparece como grupo de
automorfismos de uma curva plana projetiva de grau 4, ao leitor interessado
indicamos [15, Chapter V].
2. A menos de isomorfismos, existe apenas um grupo simples de ordem 360,
em particular A6 ≃ PSL2(F9), veja [14, Exercice 8.12].
3. A8 ≃ PSL4(F2), [14, Theorem 9.71].
4. A8 e PSL3(F4) são grupos simples de mesma ordem e não são isomorfos,
[14, Theorem 8.24].
4.1.4 Sobre a classificação de grupos simples finitos
Não podemos deixar de citar aqui um dos maiores avanços da matemática do
século XX: a classificação dos grupos simples finitos.
Antes disso, comecemos com um grupo finito G. Se G não é simples, então
existe um subgrupo H normal em G, tal que {1} ⊊ H ⊊ G Temos então uma cadeia
G ⊳ H ⊳ {1}.
Perguntamo-nos se podemos repetir esse processo, ou seja, inserir subgrupos nor-
mais não repetidos nesta cadeia; claro, se H não é simples, podemos fazer isto
entre {1} e H. Por outro lado, se G/H não é simples, então decorre do Teorema
dos Homomorfismos que existe um subgrupo K de G tal que G ⊳
≠
K ⊳
≠
H. Sendo
4.1. GRUPOS SIMPLES 105
G finito, esse processo não pode continuar indefinidamente. Chegamos assim a
uma cadeia
G ⊳ G1 ⊳ G2 ⊳ ⋯ ⊳ Gn ⊳ {1}
tal que cada grupo quociente Gi/Gi+1 é um grupo simples. Isso certamente não
surpreende. Asurpresa vem do seguinte resultado, o Teorema de Jordan-Hölder,
que será provado na próxima seção: independentemente da maneira com que
façamos essa inserção de subgrupos, sempre obteremos, a menos de reordena-
ção, os mesmos quocientes, desde que prossigamos inserindo subgrupos normais
até obter quocientes simples. Portanto os grupo simples podem ser colocados
em analogia com os números primos para teoria dos números. Observe que se
conhecemos os grupos simples Gn e Gn−1/Gn, para determinar Gn−1 precisamos
determinar todos os grupos A que possuem H ≃ Gn como subgrupo normal e
tal que A/H ≃ Gn−1/Gn. A partir daí, vemos que o problema de classificação de
grupos finitos poderia ser feito em duas etapas: (1) primeiro determinamos todos
os grupos simples finitos; (2) dados H e Q grupos simples finitos, determine to-
dos os grupos G que possuem H como subgrupo normal e tal que G/H = Q. A
menos de alguns casos especiais, o segundo problema é um problema difícil, veja
por exemplo [14, Chapter 7] (“The extension problem”). O primeiro problema, de
classificação dos grupos simples finitos, tem uma longa história, veja [17] para um
resumo dela, e é um dos resultados mais impressionantes do século XX. A lista de
todos os grupos simples finitos contém três famílias infinitas e mais 26 grupos,
chamados grupos esporádicos, pois não se encaixam em nenhuma das listas infini-
tas anteriores:
1. Grupos cíclicos de ordem prima;
2. os grupos alternados An, n ≥ 5;
3. os grupos do tipo Lie;
4. 26 grupos esporádicos.
Por exemplo, os grupos PSLn(Fq) se encaixam no caso (3), e o leitor interessado,
pode encontrar muito mais sobre grupos de tipo Lie em [2]. Os 5 primeiros grupos
esporádicos foram descobertos por Mathieu entre 1861 e 1873, e o último, que
foi descoberto por Janko em 1976, fechou um ciclo de mais de 100 anos! A lista
106 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
completa dos 26 grupos esporádicos pode ser encontrada em [2, p. 312 e 313], o
maior deles, o grupo monstro, possui
246 ⋅ 320 ⋅ 59 ⋅ 76 ⋅ 112 ⋅ 133 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71
elementos. Uma referência importante para classificação dos grupos simples é [6].
4.2 O teorema de Jordan-Hölder
Seja G um grupo. Uma série subnormal1 é uma sequência de subgrupos
G = G0 ⊳ G1 ⊳ G2 ⊳ ⋯ ⊳ Gn = {1} (4.1)
onde cada subgrupo Gi é normal no subgrupo anterior Gi−1, para i = 1, . . . , n. Os
subgrupos Gi são chamados termos. Os quocientes Gi−1/Gi são os fatores quocientes
(ou simplesmente fatores) da série. Se cada Gi é normal no grupo ambiente G,
então a série é dita normal. Não pressupomos que os grupos Gi sejam distintos.
Um refinamento de uma série subnormal é simplesmente uma nova série obtida
pela inserção de subgrupos, não necessariamente distintos. Um refinamento é
próprio se subgrupos novos foram acrescentados.
Para terminar essa longa sequência de definições, eis a última: uma série sub-
normal é uma série de composição se não admite refinamentos próprios.
Exemplo 4.2.1.
(1) Se G é um grupo simples, então G ⊳ {1} é uma série de composição.
(2) Todo grupo finito possui uma série de composição; o grupo Z não possui ne-
nhuma.
(3) Séries de composição não são únicas. O caso do grupo Z30 ilustra bem isso:
suas possíveis séries de composição são
Z30 ⊳ ⟨5̄⟩ ⊳ ⟨1̄0⟩ ⊳ {0̄}, Z30 ⊳ ⟨3̄⟩ ⊳ ⟨6̄⟩ ⊳ {0̄}
1subnormal (e não normal, o que soaria mais natural) é para enfatizar que se i > 1 então o sub-
grupo Gi não é normal em G em geral, como é sempre tentador pressupor. . . não é?
4.2. O TEOREMA DE JORDAN-HÖLDER 107
e
Z30 ⊳ ⟨2̄⟩ ⊳ ⟨6̄⟩ ⊳ {0̄}
A primeira delas tem como fatores quocientes os grupos Z5, Z2 e Z3, a segunda
Z3, Z2 e Z5 e a terceira Z2, Z3 e Z5, respectivamente.
Dizemos que duas séries subnormais são equivalentes se os fatores não-triviais
de uma série estão em bijeção com os fatores não-triviais da outra, e de forma que
fatores isomorfos estejam em correspondência. No último exemplo, vimos que
as duas séries de composição de Z30 apresentadas são equivalentes. Isto não foi
obra do acaso: o teorema de Jordan-Hölder (Teorema 4.2.5) afirma que o mesmo
acontece em qualquer grupo G. Este resultado notável será provado como con-
sequência de um outro ainda mais forte: o Teorema de Schreier (Teorema 4.2.4).
Tudo começa com o seguinte lema.
Lema 4.2.2. (Lei modular de Dedekind) Sejam A, B, C subgrupos de um grupo G, com
B ⊆ C. Então (AB) ∩ C = (A ∩ C)B. Em particular, se AB = BA, então ⟨A, B⟩ ∩ C =
⟨A ∩C, B⟩
Demonstração: Seja ab ∈ C, com a ∈ A e b ∈ B. Então a ∈ A ∩C e logo ab ∈ (A ∩C)B.
Isto mostra que (AB) ∩ C ⊆ (A ∩ C)B. Para a inclusão oposta, tome a ∈ A ∩ C e
b ∈ B. Como B ⊆ C, segue-se que ab ∈ C e, claro, ab ∈ AB. Isto termina a prova.
Lema 4.2.3. (Zassenhaus ou Lema da Borboleta) Sejam u, U, v, V subgrupos de um grupo
G, com u ⊲ U, v ⊲ V. Então:
1. u(U ∩ v) ⊲ u(U ∩V) e v(u ∩V) ⊲ v(U ∩V);
2.
u(U ∩V)
u(U ∩ v)
≅
v(U ∩V)
v(u ∩V)
≅
U ∩V
(U ∩ v)(u ∩V)
.
u(U ∩V) v(U ∩V)
u(U ∩ v) U ∩V v(u ∩V)
(U ∩ v)(u ∩V)
108 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Demonstração:
1. Sendo v ⊲ V, obtemos (U ∩ v) ⊲ (U ∩V) e como u ⊲ U, segue-se que u(U ∩ v) ⊲
u(U ∩V). A outra asserção é provada de maneira análoga.
2. Da lei modular de Dedekind (Lema 4.2.2), segue que
u(U ∩ v)∩ (U ∩V) = (u ∩V)(U ∩ v)
e portanto de AB/A ≅ B/(A ∩ B), aplicado quando A = u(U ∩ v) e B = U ∩ V,
obtemos
u(U ∩V)
u(U ∩ v)
≅
U ∩V
(U ∩ v)(u ∩V)
.
O outro isomorfismo segue de maneira similar (após trocarmos u por v nos lugares
adequados) e isto termina a prova do lema.
Teorema 4.2.4. (Schreier) Duas séries subnormais quaisquer de um grupo G admitem
refinamentos equivalentes.
Demonstração: Sejam
G = G0 ⊳ G1 ⊳ G2 ⊳ ⋯ ⊳ Gm = {1} e
G = H0 ⊳ H1 ⊳ H2 ⊳ ⋯ ⊳ Hn = {1}
duas séries subnormais de G. A idéia é construir um refinamento da primeira, in-
serindo n− 1 termos entre cada passo, usando os termos da segunda série. Assim,
no passo de índice i, o refinamento é
Gi = Gi+1(Gi ∩ H0) ⊳ Gi+1(Gi ∩ H1) ⊳ ⋯ ⊳ Gi+1(Gi ∩ Hn) = Gi+1
Mutatis mutandis, construímos um refinamento para a segunda série. Cada uma
das novas séries obtidas possui mn + 1 termos. Tipicamente, os termos desses
refinamentos são, respectivamente, da forma
⋯ ⊳ Gi+1(Gi ∩ Hj) ⊳ Gi+1(Gi ∩ Hj+1) ⊳ ⋯
⋯ ⊳ Hj+1(Gi ∩ Hj) ⊳ Hj+1(Gi+1 ∩ Hj) ⊳ ⋯
O Lema 4.2.3 aplicado aos grupos Gi+1 ⊲ Gi e Hj+1 ⊲ Hj, nos diz que o quociente
entre os termos indicados na primeira das linhas acima é isomorfo ao quociente
dos da segunda. Concluímos que os refinamentos são equivalentes.
4.3. GRUPOS SOLÚVEIS 109
Teorema 4.2.5. (Jordan-Hölder) Duas séries de composição de um grupo G são equiva-
lentes.
Demonstração: Pelo Teorema de Schreier, dadas duas séries de composição de G,
elas admitem refinamentos equivalentes. Como os fatores quocientes não-triviais
de uma série de composição não se alteram após um refinamento, temos o resul-
tado.
4.3 Grupos solúveis
Um grupo G é dito solúvel se existe uma série subnormal
G = G0 ⊳ G1 ⊳ G2 ⊳ ⋯ ⊳ Gn = {1} (4.2)
tal que fator quociente Gi−1/Gi é abeliano, para cada i = 1, 2, . . . , n. Nesse caso
dizemos que a série é solúvel. Alguns exemplos:
Exemplo 4.3.1.
(1) Todo grupo abeliano G é solúvel; basta considerar a série G ⊳ {1};
(2) O grupo simétrico S3 é solúvel: a série S3 ⊳ ⟨(1 2 3)⟩ ⊳ {(1)} tem como fatores
quocientes os grupos Z2 e Z3.
(3) O grupo simétrico S4 é solúvel: de fato,
S4 ⊳ A4 ⊳ V ⊳ {(1)}
onde V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} é o grupo de Klein, é uma série
solúvel.
(4) Todo p-grupo finito G é solúvel: se ∣G∣ = pn, segue da Proposição 3.5.1 que
existem subgrupos Pi ⊲ G de ordem pi para i = 0, 1, . . . , n e portanto
G = Pn ⊳ Pn−1 ⊳ ⋯ ⊳ P1 ⊳ {1}
é uma série solúvel cujos fatores quocientes são cíclicos de ordem prima.
(5) Todo grupo simples não-abeliano não é solúvel. Em particular, An não é solú-
vel para todo n ≥ 5.
110 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
Existe uma maneira elegante de lidar com grupos solúveis, que se faz com o
uso do subgrupo dos comutadores.
Recorde que o subgrupo G′ dos comutadores de um grupo G é, pordefinição,
o menor subgrupo de G que contém todos os elementos da forma xyx−1y−1. Eis
uma lista de propriedades que nos serão úteis (Exercício 1.31):
1. G é abeliano se e somente se G′ = {1}.
2. G′ é normal em G; o quociente G/G′ é um grupo abeliano.
3. E este é o menor subgrupo de G com esta propriedade: dado N ⊲ G, vale
G/N é abeliano ⇐⇒ G′ ⊂ N
A partir daí construímos recursivamente uma série subnormal em G: tome
G(0) = G e para n > 0, defina G(n) = (G(n−1))′. Por exemplo, G(1) = G′, G(2) = G′′,
etc. Assim,
G = G(0) ⊳ G(1) ⊳ G(1) ⊳ ⋯ ⊳ G(n) ⊳ ⋯ (4.3)
Repare que cada quociente é abeliano.
É claro que se G é finito, essa cadeia é também finita e portanto estacionária,
ou seja, para algum n0 tem-se G(n) = G(n0) para todo n ≥ n0. O que ocorre é que,
em alguns casos, esta cadeia é estacionária em algum grupo não trivial!
Exemplo 4.3.2.
(1) Considere o grupo A4 e seja V o subgrupo de Klein. Como o quociente é
abeliano, vem que V ⊇ A′4 ⊋ {1}, e a última inclusão segue do feito que A4 não
é abeliano. Assim, A′4 possui ordem 2 ou 4; porém não há subgrupos normais
de ordem 2 em A4 (elementos de ordem 2 aqui são produtos de transposições
disjuntas), o que nos leva a A′4 = V. Em seguida, temos A
(2)
4 = {1}, uma vez
que o grupo de Klein é abeliano.
(2) Se n ≥ 5, A′n = An e logo A
(i)
n = An para todo i. Para ver que A′n = An, lembre
que A′n ≠ {1} pois An não é abeliano, além disso A′n ⊲ An e An é simples.
Este é um exemplo onde a cadeia dos subgrupos derivados não estaciona na
identidade.
4.3. GRUPOS SOLÚVEIS 111
A distinção entre os dois casos do exemplo acima se dá de acordo com a so-
lubilidade do grupo envolvido. Este é exatamente o resultado da proposição a
seguir.
Proposição 4.3.3. Um grupo G é solúvel se e somente se G(n) = {1} para algum n > 0.
Demonstração: Se G(n) = {1} para algum n, então G é solúvel, pois cada quociente
G(n)/G(n+1) é abeliano. Reciprocamente, suponha G solúvel e considere uma série
G = G0 ⊳ G1 ⊳ G2 ⊳ ⋯ ⊳ Gn = {1}
com fatores abelianos. Basta então demonstrar que Gi ⊃ G(i) para todo i, o que é
feito indutivamente. Para i = 0 não há nada a fazer. Se a inclusão vale para i > 0,
então como o quociente Gi/Gi+1 é abeliano, temos
Gi+1 ⊃ G′i ⊃ G
(i) Ô⇒ Gi+1 ⊃ G′i+1 ⊃ (G
(i))′ = G(i+1)
como desejado.
Corolário 4.3.4. Se n ≥ 5, então o grupo simétrico Sn não é solúvel.
Demonstração. Vamos mostrar que S(i)n ≠ {1} para todo i ≥ 0. Primeiro observe
que S′n contém todos os 3-ciclos, pois qualquer 3-ciclo σ pode ser escrito σ = [α, β]
como comutador de 3-ciclos α e β. Mais precisamente, dado qualquer subconjunto
{a1, a2, . . . , a5} ⊂ {1, 2, . . . , n} de 5 elementos, podemos escrever
(a1 a2 a3) = [(a5 a3 a1), (a2 a4 a3)].
Para concluir, sendo que S′n = S
(1)
n contém todos os 3-ciclos, então S
(2)
n contém
todos os 3-ciclos, pelo mesmo motivo, e assim por diante.
O resultado abaixo contempla algumas das principais propriedades básicas
sobre grupos solúveis.
Proposição 4.3.5. Seja G um grupo.
(a) Se G é solúvel, todo subgrupo de G também é solúvel.
(b) Se G é solúvel e N ⊲ G, então G/N é solúvel.
112 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
(c) Reciprocamente, dado N normal em G, se N e o quociente G/N são solúveis, então G
é solúvel.
Demonstração: É uma aplicação direta da Proposição 4.3.3 e do Exercício 4.11. Para
começar, suponha G solúvel. Então G(n) é trivial para algum n. Com isto, o item
(a) se segue imediatamente. Para (b), segue-se de (4.4) que (G/N)(n) é trivial e,
portanto, G/N é solúvel.
Para (c), suponha que N e G/N são solúveis. Então existem inteiros n, m para
os quais N(m) = {1} e (G/N)(n) = {N}. Decorre de (4.4) que G(n)N = N, ou seja,
que G(n) ⊂ N. Daí G(n+m) = {1}, o que demonstra que G é solúvel.
Observação 4.3.6. Outra forma de ver que Sn, n ≥ 5, não é solúvel é usando a
Proposição 4.3.5, item (a). De fato, An não é solúvel para n ≥ 5 (Exemplo 4.3.1,
item (5)).
Encerramos nossa discussão sobre grupos solúveis indicando alguns resulta-
dos surpreendentes:
1. (Burnside, 1904) Se ∣G∣ = pmqn, p e q primos, então G é solúvel.
2. (P. Hall, 1928) Se G é um grupo solúvel de ordem mn, onde mdc(m, n) = 1,
então G contém um subgrupo de ordem m. Mais ainda, dois subgrupos de
ordem m são conjugados.
3. (P. Hall, 1937) Vale a recíproca do item anterior: se para todo m que divide
∣G∣ e tal que mdc(m, ∣G∣/m) = 1, existe um subgrupo de G de ordem m, então
G é solúvel.
4. (Feit-Thompson, 1963) Todo grupo finito de ordem ímpar é solúvel.
4.4 Exercícios
Grupos Simples
4.1. Seja n ≥ 5.
(a) Mostre que An é o único subgrupo próprio não-trivial e normal em Sn.
Exercícios 113
(b) Mostre que An é o único subgrupo de Sn de índice 2.
Dica: Se H é normal em Sn, então H ∩ An é normal em An.
4.2. Seja n ≥ 5. Seja H um subgrupo de Sn de índice k > 1. Mostre que k = 2
ou k ≥ n. Sugestão: considere a ação por conjugação de Sn no conjunto de
classes laterais de H em Sn.
4.3. Seja G um grupo simples infinito. Mostre que G não possui subgrupos pró-
prios de índice finito (sugestão: Lema 4.1.5).
4.4. Sejam G um grupo e H1 < H2 < ⋯ < G uma cadeia ascendente de subgrupos.
(a) Prove que H ∶= ⋃∞i=1 Hi é um subgrupo de G.
(b) Prove que se cada Hi é um grupo simples, então H é simples.
Seja S∞ o subgrupo de PermN formado pelas permutações que alte-
ram apenas um número finito de elementos. Seja A∞ o subgrupo das
permutações pares, isto é, o núcleo do homomorfismo sinal∶S∞ → {±1}.
(c) Usando o item anterior, mostre que A∞ é um grupo simples, infinito,
não-abeliano.
(d) Generalize o Exercício 1.60.
4.5. Seja G um grupo infinito e tome H um subgrupo de índice finito. Se H é
simples, então H é normal em G.
Critério de Iwasawa
4.6. Se n ≥ 4, então a ação de An no conjunto {1, . . . , n} é duplamente transitiva.
4.7. A ação de D4 no vértices do quadrado não é duplamente transitiva.
4.8. Seja K um corpo e P1K o conjunto formado pelas retas que passam pela ori-
gem do espaço vetorial K2. A ação natural do grupo SL2(K) em P1K é dupla-
mente transitiva.
4.9. Mostre que A5 é simples utilizando o critério de Iwasawa. Sugestão: se
s0 = 5 ∈ Σ = {1, . . . , 5}, então Gs0 ≃ A4, que contém o grupo de Klein como
subgrupo normal abeliano.
114 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEIS
PSL2(K) é simples, ∣K∣ > 3
4.10. Mostre que PSL2(Fq) é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico Sn,
n = q
2
−1
q−1 . (Sugestão: Considere a ação de SL2(Fq) em P1Fq . O conjuto P
1
Fq
possui q
2
−1
q−1 elementos, aplique o Lema 4.1.10.) Obtenha novamente os iso-
morfismos:
(a) PSL2(F2) ≃ S3;
(b) PSL2(F3) ≃ A4;
(c) PSL2(F4) ≃ A5.
Grupos solúveis
4.11. Seja N um subgrupo normal de G. O objetivo é caracterizar o subgrupo dos
comutadores do quociente. Mostre que
(G/N)′ = {zN ∣ z ∈ G′}.
Conclua que (G/N)′ = (G′N)/N e que, por indução, tem-se para todo n ≥ 0
a igualdade
(G/N)(n) = (G(n)N)/N. (4.4)
4.12. V ou F? Justifique sua resposta, apresentando uma prova sucinta ou um
contra-exemplo, conforme o caso.
(a) Um grupo G é solúvel se e somente se G′ é solúvel.
(b) Um refinamento de uma série subnormal solúvel (isto é, todos os fatores
quocientes da série são abelianos) é ainda uma série solúvel.
(c) Se ϕ∶G → H é um homomorfismo sobrejetor, então ϕ(Z(G)) = Z(H).
4.13. Prove que o produto semi-direto de grupos solúveis é um grupo solúvel (su-
gestão: Proposição 4.3.5). Em particular, o produto direto de grupos solúveis
é um grupo solúvel.
4.14. Seja G um grupo de ordem 225 = 3252. Mostre que:
Exercícios 115
(a) G possui exatamente um subgrupo de ordem 25.
(b) G é solúvel.
(c) Se G possui apenas um subgrupo de ordem 9, então G é abeliano.
(d) G é o produto semi-direto de um subgrupo de ordem 9 por um de or-
dem 25.
(e) Aut(Z25) não possui elementos de ordem 3.
(f) Se G possui um subgrupo cíclico de ordem 25, então G é abeliano.
(g) Aut(Z5 ×Z5) possui um elemento de ordem 3.
(h) Existem pelo menos dois grupos não abelianos, não isomorfos, de or-
dem 225.
(i) Determine todos os grupos abelianos de ordem 225.
116 CAPÍTULO 4. GRUPOS SIMPLES E GRUPOS SOLÚVEISReferências Bibliográficas
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105
	Introdução
	Conceitos Básicos
	Primeiras definições
	Subgrupos
	Classes laterais
	Subgrupos normais
	Produtos de subgrupos
	Homomorfismos
	O produto direto
	Grupos cíclicos
	Permutações
	Conjugações em Sn
	O teorema da correspondência
	Automorfismos
	Exercícios
	Grupos de matrizes
	Grupo linear
	Grupo ortogonal
	Grupo diedral
	Grupo afim
	Grupo de transformações de Möbius
	Grupos de matrizes sobre corpos finitos
	O produto semi-direto
	 Exercícios 
	Ações de grupos
	Ações de grupos
	A equação de classes de conjugação
	Grupos de ordem p2.
	Os teoremas de Sylow
	Primeira aplicação
	Grupos de ordem pq.
	Grupos de ordem pqr.
	Classificação de grupos de ordem 15
	Algumas palavras sobre p-grupos
	Grupos abelianos finitos
	 Exercícios 
	Grupos simples e grupos solúveis
	Grupos simples
	An é simples, n>4
	Critério de Iwasawa
	`39`42`"613A``45`47`"603APSL2(K) é simples, |K|>3
	Sobre a classificação de grupos simples finitos
	O teorema de Jordan-Hölder
	Grupos solúveis
	Exercícios