Focus-Concursos-Material_complementar_23-03-2017 pdf2017032309424914

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<p>1</p><p>EDITAL | TJ-PR 2017 | Matemática</p><p>o Conjuntos e funções.</p><p>FUNÇÕES</p><p>A Ideia de Função</p><p>O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e tem lugar de destaque em outras áreas do</p><p>conhecimento. Daí a importância do seu estudo.</p><p>Inicialmente, estudaremos as ideias intuitivas ligadas à noção de função, e em seguida, iremos estudar mais</p><p>formalmente esse importante conceito.</p><p>A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Vejamos algumas situações:</p><p>1ª Número de litros de gasolina e preço a pagar</p><p>Considere a tabela que relaciona o número de litros de gasolina comprados em dezembro de 2006 e o preço a pagar</p><p>por eles.</p><p>Número de litros Preço a pagar (R$)</p><p>1 3,89</p><p>2 7,78</p><p>3 11,67</p><p>. .</p><p>20 77,80</p><p>O preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de</p><p>litros comprados. Assim,</p><p>Preço a pagar = 3,89 vezes o número de litros comprados</p><p>ou simplesmente,</p><p>p = 3,89.n</p><p>2ª Distância versus tempo</p><p>Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t (em</p><p>horas) e a distância d (em quilômetros):</p><p>Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 t</p><p>Distância (km) 45 90 135 180 270 90t</p><p>A distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do intervalo de tempo. E</p><p>então, podemos escrever:</p><p>distância = 90. tempo</p><p>ou simplesmente,</p><p>d = 90t</p><p>3ª Preço versus número de fotos reveladas</p><p>Na impressão de fotos, uma empresa calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula</p><p>P = 12,00 + 0,65.n,</p><p>onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos impressas. Esta fórmula nos permite responder</p><p>algumas questões, como por exemplo:</p><p>a) Quanto pagarei se forem impressas 22 fotos?</p><p>b) Se paguei a quantia de R$ 33,45, quantas fotos foram impressas?</p><p>2</p><p>As três relações que vimos anteriormente têm duas características em comum:</p><p> A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente.</p><p> Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente.</p><p>As relações que tem essas características são chamadas funções.</p><p>Problemas envolvendo funções</p><p>1) Uma firma de revenda de autopeças, paga como salário a seus funcionários, R$ 450,00 fixos mais R$ 2,00 por</p><p>peças vendidas. Determine a função que nos permite calcular o salário mensal de cada funcionário.</p><p>2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes:</p><p>uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados.</p><p>Suponha que a bandeirada esteja custando R$6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.</p><p>a) Expresse y em função de x.</p><p>b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?</p><p>3) Uma empresa de equipamentos para informática determina que o número de computadores vendidos no ano x é</p><p>dado pela função f (x) = 50 + 4x + x2 onde x = 0 corresponde ao ano de 2010, x = 1 corresponde ao ano de 2011 e</p><p>assim sucessivamente.</p><p>a) O que e quanto f(0) representa?</p><p>b) Estime a quantidade de computadores que podem ser vendidos em 2020.</p><p>4) Na fabricação de determinado artigo, o custo total é calculado através da soma do custo fixo que é R$ 6.000,00</p><p>com o custo de produção, por unidade, que é R$ 45,00. Determinar:</p><p>a) A função que representa o custo total;</p><p>b) O custo de fabricação de 15 unidades;</p><p>c) Se o custo total foi de R$ 10.950,00, qual a quantidade de peças produzidas?</p><p>Definição de Função</p><p>Dados dois conjuntos A e B, não vazios (formados por números reais), uma relação f de A em B recebe o nome de</p><p>função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B tal que (x,y) ∈ f e y =</p><p>f(x).</p><p>Escreve-se: f: A → B</p><p>x ↦ y = f(x)</p><p>Esquema de flechas</p><p> É necessário que todo elemento x ∈ A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f, isto é, todo elemento de A</p><p>deve servir como ponto de partida de flecha.</p><p> É necessário que cada elemento x ∈ A participe de apenas um único par (x,y) ∈ f, isto é, cada elemento de A</p><p>deve servir como ponto de partida de uma única flecha.</p><p>3</p><p>Exemplos</p><p>Contraexemplos (não são funções)</p><p>Gráfico cartesiano</p><p>Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função; basta verificarmos se a</p><p>reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0), em que x ∈ A, encontra sempre o gráfico em um só ponto.</p><p>Exemplo</p><p>A = {x ∈ IR / -1 ≤ x ≤ 3}</p><p>Contraexemplo</p><p>A = {x ∈ IR / -2 ≤ x ≤ 2}</p><p>Notação das funções</p><p>Toda função é uma relação binária de A em B; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados.</p><p>Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x ∈ A, determina-se y ∈ B</p><p>tal que (x,y) ∈ f, então f = {(x,y)| x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}.</p><p>Exemplos:</p><p> f: A → B tal que y = 2x</p><p> f: IR → IR tal que y = x²</p><p>4</p><p>Assim sendo, cada elemento x ∈ A é levado a um único elemento y ∈ B. Essa ocorrência é determinada por uma lei</p><p>de formação. A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável</p><p>dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.</p><p>Imagem de um elemento</p><p>Se (a,b) ∈ f, o elemento b é chamado imagem de a pelo valor de f no elemento a, e indicamos</p><p>f(a) = b.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja a função f: IR → IR tal que y = 2x + 1, então:</p><p>a) a imagem de 0 pela função f é 1, isto é: f(0) = 2.0+1 ⇒ f(0) = 1;</p><p>b) a imagem de -2 pela função f é -3, isto é: f(–2) = 2.(–2)+1 ⇒ f(–2) = –3.</p><p>Domínio e imagem</p><p>Chamamos de domínio o conjunto D(f) dos elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B tal que (x,y) ∈ f.</p><p>Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto</p><p>de partida, isto é, D = A.</p><p>Chamamos de imagem o conjunto Im(f) dos elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ f. Portanto, o</p><p>conjunto imagem é subconjunto do contradomínio, isto é, Im ⊂ B.</p><p>Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos que:</p><p>- o domínio de f corresponde aos valores do eixo-x para os quais existe a função f.</p><p>- a imagem de f corresponde aos valores do eixo-y para os quais existe a função f.</p><p>Exemplo:</p><p>5</p><p>PROBLEMAS DE DOMÍNIO</p><p>Através de alguns exemplos, vamos estudar os problemas de domínio de uma função, isto é, descobrir quais os</p><p>números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.</p><p>a) ( )</p><p>b) ( ) √</p><p>c) ( ) √</p><p>d) ( )</p><p>√</p><p>√</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>01) 2016 / FCC / SEGEP-MA</p><p>Um casal começa a planejar sua festa de casamento a partir das seguintes estimativas:</p><p>De acordo com essas estimativas, desconsiderando outros gastos, o custo total C da festa de casamento, em reais,</p><p>em função do número de convidados n, pode ser expresso pela fórmula</p><p>a) C = 21500 + 234n</p><p>b) C = 21500 + 238n</p><p>c) C = 21500 + 244n</p><p>d) C = 21500 + 248n</p><p>e) C = 21500 + 274n</p><p>02) 2012 / FCC / SEE-MG</p><p>Um cliente parcelou o valor total a ser pago por um determinado produto. Verificou que no boleto bancário</p><p>informava-se que haveria multa por atraso. A tabela abaixo indica o valor da multa dependendo do número de dias</p><p>em atraso.</p><p>Número de dias em atraso Multa em R$</p><p>1 35</p><p>2 42</p><p>3 49</p><p>4 56</p><p>6</p><p>Considerando y como sendo a multa a ser paga em reais e x o número de dias em atraso, a função que representa</p><p>corretamente a situação</p><p>descrita é</p><p>a) y = 35x</p><p>b) y = 28 + 7x</p><p>c) y = x - 5 / 7</p><p>d) y = - 7x + 28</p><p>03) 2010 / FCC / AL-SP</p><p>Uma variável real y depende de uma variável real x de forma que, sempre que x aumenta 4 unidades, o valor de y</p><p>aumenta 2 unidades. Dentre os gráficos abaixo, o único que pode representar a relação de dependência dessas duas</p><p>variáveis é</p><p>a) b) c)</p><p>d) e)</p><p>04) 2015 / IBFC / Ag Ad (CM Vassouras)</p><p>Considere os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,5}. Dentre as alternativas, a única que não representa uma relação</p><p>de A em B, é:</p><p>a) {(0,2); (1,3);(2,5)}</p><p>b) {(1,4);(3,2); (2,5);(0,3)}</p><p>c) {(0,5);(2,4)}</p><p>d) {(0,2);(1,4);(0,5)}</p><p>e) {(1,5);(2,4);(5,2)}</p><p>7</p><p>05) 2016 / IBFC / Moto (CM Franca)</p><p>Considerando o conjunto A= {0, 1, 2, 3} e o conjunto B= {1, 3,4, 5, 7, 8}, então a relação que representa uma função</p><p>de A em B, é:</p><p>a) {(x,y)∈A×B|y=2x+1}{(x,y)∈A×B|y=2x+1}</p><p>b) {(x,y)∈A×B|y=x+1}{(x,y)∈A×B|y=x+1}</p><p>c) {(x,y)∈A×B|y=2x−1}{(x,y)∈A×B|y=2x−1}</p><p>d) {(x,y)∈A×B|y=3x+1}</p><p>06) 2010 / CONSULPLAN / Ad Adm (Sertaneja)</p><p>Sobre a função f(x), cujo gráfico está representado a seguir, é correto afirmar que:</p><p>a) f(x) é decrescente para 0 f(−1)</p><p>c) f(x)</p>