1 FIN 19092024 EXERCICIOS JUROS COMPOSTO COM GB(1)

Prévia do material em texto

<p>Exercícios de juros compostos com</p><p>gabarito comentado</p><p>1 A B C D E</p><p>2 A B C D E</p><p>3 A B C D E</p><p>4 A B C D E</p><p>5 A B C D E</p><p>6 A B C D E</p><p>Questão 1</p><p>(UERJ/2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e</p><p>gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do</p><p>capital inicial C.</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: C = R$ 40 000,00.</p><p>Temos os seguintes dados no problema:</p><p>M = R$53240,00</p><p>i = 10% = 0,1 ao mês</p><p>t = 3 meses</p><p>C = ?</p><p>Substituindo esses dados na fórmula de juros compostos, temos:</p><p>M = C (1+i)t</p><p>53240 = C (1+0,1)3</p><p>53240 = 1,331 C</p><p>Questão 2</p><p>NA HP</p><p>FREG</p><p>53.240 CHS FV</p><p>10i</p><p>3n</p><p>PV</p><p>40.000</p><p>(UNESP/2005) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês.</p><p>Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse</p><p>pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:</p><p>a) R$ 3.015,00.</p><p>b) R$ 3.820,00.</p><p>c) R$ 4.011,00.</p><p>d) R$ 5.011,00.</p><p>e) R$ 5.250,00.</p><p>Ver Resposta</p><p>Alternativa correta: c) R$ 4.011,00.</p><p>Sabemos que o empréstimo foi liquidado em duas parcelas e que temos os seguintes</p><p>dados:</p><p>VP = 8000</p><p>i = 5% = 0,05 a.m</p><p>VF1 = 5000</p><p>VF2 = x</p><p>Considerando os dados e fazendo a equivalência dos capitais, temos:</p><p>Alternativa: c) R$ 4.011,00.</p><p>Questão 3</p><p>(PUC-RJ/2000) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros</p><p>de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro</p><p>mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final</p><p>de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:</p><p>a) 150 reais.</p><p>b) 200 reais</p><p>c) 250 reais.</p><p>FREG</p><p>8.000CHS PV</p><p>5i</p><p>2n</p><p>FV= 8.820,00</p><p>5.000-</p><p>3.820,00</p><p>5%</p><p>191,00+</p><p>4.011,00</p><p>d) 300 reais.</p><p>e) 350 reais.</p><p>Ver Resposta</p><p>Alternativa correta: e) 350 reais.</p><p>Pelas informações dadas no problema, identificamos que a correção do valor cobrado</p><p>pelo cheque especial é por juros compostos.</p><p>Note que o valor cobrado do segundo mês foi calculado considerando o valor já</p><p>corrigido do primeiro mês, ou seja:</p><p>J = 111. 0,11 = R$ 12,21</p><p>M = 111 + 12,21 = R$ 123,21</p><p>Sendo assim, para encontrar o valor que o banco irá cobrar no final de um ano, vamos</p><p>aplicar a fórmula de juros compostos, isto é:</p><p>M = C (1+i)t</p><p>Sendo:</p><p>C = R$100,00</p><p>i = 11% = 0,11 ao mês</p><p>t = 1 ano = 12 meses</p><p>M = 100 (1+0,11)12</p><p>M = 100.1,1112</p><p>M = 100.3,498</p><p>Alternativa: e) 350 reais</p><p>Questão 4</p><p>(Fuvest/2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à</p><p>vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou</p><p>para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece</p><p>uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu</p><p>que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá</p><p>pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.</p><p>Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?</p><p>a) 1.450,20</p><p>b) 1.480,20</p><p>c) 1.485,20</p><p>d) 1.495,20</p><p>e) 1.490,20</p><p>1500FV</p><p>1N</p><p>1I</p><p>PV</p><p>1.485,14</p><p>100 CHS PV</p><p>11i</p><p>12n</p><p>FV = 349,84</p><p>Ver Resposta</p><p>Alternativa correta: c) R$ 1.485,20</p><p>Neste problema, temos que fazer a equivalência de valores, ou seja, conhecemos o valor</p><p>futuro que deverá ser pago em cada parcela e queremos conhecer o valor presente</p><p>(capital que será aplicado).</p><p>Para esta situação usamos a seguinte fórmula:</p><p>Considerando que a aplicação deverá render R$ 500,00 no momento do pagamento da</p><p>segunda parcela, que será 1 mês após o pagamento da primeira parcela, temos:</p><p>Para pagar a terceira parcela também de R$500,00, o valor ficará aplicado por 2 meses,</p><p>então o valor aplicado será igual a:</p><p>Assim, o valor que Maria reservou para a compra é igual a soma dos valores aplicados</p><p>com o valor da primeira parcela, ou seja:</p><p>V = 500 + 495,05 + 490,15 = R$ 1.485,20</p><p>Alternativa: c) R$ 1.485,20</p><p>Questão 5</p><p>(Enem/2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de</p><p>forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de</p><p>antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de</p><p>uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a</p><p>juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V</p><p>determinado pela fórmula</p><p>OU</p><p>1485,20</p><p>500-</p><p>985,20 CHS PV</p><p>1n</p><p>1i</p><p>FV = 995,05</p><p>500-</p><p>495,05 CHS PV</p><p>1n</p><p>1i</p><p>FV</p><p>500,00</p><p>Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a</p><p>uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga</p><p>antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor</p><p>da parcela.</p><p>Utilize 0,2877 como aproximação para e 0,0131 como aproximação para ln</p><p>(1,0132).</p><p>A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a</p><p>a) 56ª</p><p>b) 55ª</p><p>c) 52ª</p><p>d) 51ª</p><p>e) 45ª</p><p>Ver Resposta</p><p>Alternativa correta: c) 52ª</p><p>Na questão proposta, queremos descobrir qual a parcela que, aplicando a redução de</p><p>juros ao pagar antecipadamente, o valor pago tenha um desconto superior 25%, ou seja:</p><p>Simplificando a fração (dividindo em cima e embaixo por 25), descobrindo que o valor</p><p>a ser pago pela parcela antecipada deve ser:</p><p>A parcela antecipada corresponde ao valor futuro corrigido para o valor presente, ou</p><p>seja, descontado os juros de 1,32% ao pagar essa parcela antes do prazo, isto é:</p><p>Onde n é igual ao período que será antecipado. Substituindo essa expressão na anterior,</p><p>temos:</p><p>Como aparece 820 em ambos os lados da desigualdade, podemos simplificar,</p><p>"cortando" esse valor:</p><p>Podemos inverter as frações, tendo o cuidado de também inverter o sinal da</p><p>desigualdade. Assim, nossa expressão fica:</p><p>Observe que o valor que queremos descobrir está no expoente (n). Sendo assim, para</p><p>resolver a inequação aplicaremos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da</p><p>inequação, ou seja:</p><p>Agora, podemos substituir pelos valores indicados no enunciado e encontrar o valor do</p><p>n:</p><p>Como n deve ser maior que o valor encontrado, então teremos que antecipar 22</p><p>parcelas, ou seja, pagaremos a 30ª parcela junto com a 52ª ( 30 + 22 = 52).</p><p>Alternativa: c) 52ª</p><p>Questão 6</p><p>(Enem/2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior</p><p>retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o</p><p>imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito</p><p>bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:</p><p>Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é</p><p>a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.</p><p>b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.</p><p>c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.</p><p>d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.</p><p>e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.</p><p>Ver Resposta</p><p>Alternativa correta: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.</p><p>Para descobrir qual o melhor rendimento, vamos calcular quanto cada um renderá no</p><p>final de um mês. Vamos então começar calculando o rendimento da poupança.</p><p>Considerando os dados do problema, temos:</p><p>c = R$500,00</p><p>i = 0,560% = 0,0056 a.m.</p><p>t = 1 mês</p><p>M = ?</p><p>Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:</p><p>M = C (1+i)t</p><p>Mpoupança = 500 (1 + 0,0056)1</p><p>Mpoupança = 500.1,0056</p><p>Mpoupança = R$ 502,80</p><p>Como neste tipo de aplicação não existe desconto do imposto de renda, então esse será</p><p>o valor resgatado.</p><p>Agora, iremos calcular os valores para o CDB. Para esta aplicação, a taxa de juros é</p><p>igual 0,876% (0,00876). Substituindo esses valores, temos:</p><p>MCDB = 500 (1+0,00876)1</p><p>MCDB = 500.1,00876</p><p>MCDB = R$ 504,38</p><p>Esse valor não será o valor recebido pelo investidor, pois nesta aplicação existe um</p><p>desconto</p><p>de 4%, relativo ao imposto de renda, que deverá ser aplicado sobre os juros</p><p>recebidos, conforme indicado abaixo:</p><p>(POUPANÇA) Na hp freg</p><p>500 CHS PV</p><p>1 n</p><p>0,56 i</p><p>FV = 502,08</p><p>J = M - C</p><p>J = 504,38 - 500 = 4,38</p><p>Precisamos calcular 4% deste valor, para isso basta fazer:</p><p>4,38.0,04 = 0,1752</p><p>Aplicando esse desconto ao valor, encontramos:</p><p>504,38 - 0,1752 = R$ 504,21</p><p>Alternativa: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.</p><p>(CDB) Na hp freg</p><p>500 CHS PV</p><p>1 n</p><p>0,876 i</p><p>FV = 504,38, Mesmo retirando</p><p>os impostos, (4,38 – 4%=4,21)</p><p>Total = 504,21.</p>