Circunferência Trigonométrica

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<p>Graus, radianos e a circunferência</p><p>trigonométrica</p><p>Matemática</p><p>3o bimestre – Aula 8 – Sequência de Atividade 3 – Aulas 5 e 6</p><p>Ensino Médio</p><p>● Graus, radianos e a circunferência</p><p>trigonométrica.</p><p>● Identificar e localizar, na</p><p>circunferência trigonométrica, a</p><p>extremidade final de arcos dados</p><p>em graus ou em radianos;</p><p>● Converter, para radianos, uma</p><p>medida de arco expressa em graus;</p><p>● Identificar as simetrias presentes na</p><p>circunferência trigonométrica;</p><p>● Obter a menor determinação</p><p>positiva de um arco qualquer.</p><p>• A circunferência da Terra,</p><p>representada pela Linha do Equador,</p><p>tem 40.075 km de comprimento.</p><p>• Há mais de 2000 anos, um grego</p><p>chamado Eratóstenes chegou bem</p><p>perto desse valor (40.000 km) usando</p><p>trigonometria.</p><p>• Vamos ver como ele fez isso?</p><p>Para compreender, acesse os vídeos nos</p><p>links a seguir:</p><p>Quantos quilômetros</p><p>aproximadamente tem a</p><p>circunferência da Terra?</p><p>CONTINUA</p><p>5 MINUTOS</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=V2P-k3nPTfE</p><p>VIREM E</p><p>CONVERSEM</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=V2P-k3nPTfE</p><p>Com base no vídeo, responda ao que se pede:</p><p>• Qual é a medida do ângulo encontrado por</p><p>Eratóstenes em graus?</p><p>O ângulo de 7,2°.</p><p>• Em quantas partes deve-se dividir o</p><p>comprimento da circunferência para se</p><p>chegar a esse valor?</p><p>A circunferência tem 360°, ao dividir</p><p>esse valor por 7,2°, tem-se 50 partes</p><p>como resposta.</p><p>Sendo R o raio da Terra, o comprimento</p><p>do arco de 7,2° entre Siena e Alexandria</p><p>pode ser dado por:</p><p>O comprimento de uma</p><p>circunferência pode ser</p><p>calculado como C = 2πR.</p><p>• A unidade de medida grau é uma das mais</p><p>usadas para representarmos ângulos e arcos.</p><p>Contudo, há uma outra unidade bastante usual</p><p>chamada de radiano, abreviada como rad.</p><p>• A medida de 1 radiano (1 rad) corresponde a um</p><p>arco de circunferência em que o comprimento é</p><p>igual ao raio da circunferência que o contém.</p><p>Graus e radianos</p><p>5 MINUTOS</p><p>O arco de uma circunferência</p><p>completa corresponde a 2π rad.</p><p>2 ad r = 360°</p><p>CERTO É</p><p>CERTO</p><p>Transforme as unidades de medidas de</p><p>ângulos solicitadas:</p><p>a) 30° em radianos</p><p>b)</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>rad em graus</p><p>Atividade</p><p>Na prática</p><p>5 MINUTOS FAÇA AGORA</p><p>Transforme as unidades de medidas de</p><p>ângulos solicitadas:</p><p>a) 30° em radianos</p><p>b)</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>rad em graus</p><p>Correção: Atividade</p><p>Na prática</p><p>360 2 rad</p><p>30 rad 30 rad</p><p>12 12 6 6</p><p>  </p><p> = = =   =</p><p>2 ad r = 360°</p><p>2 rad 360</p><p>rad = 45 rad = 45</p><p>4 8 8 4</p><p>  </p><p>= =  </p><p>• Circunferência orientada de raio unitário,</p><p>cujo centro coincide com a origem do</p><p>sistema de coordenadas cartesianas.</p><p>• A circunferência é dividida em quatro</p><p>regiões iguais chamadas de quadrantes,</p><p>numeradas de 1 a 4; convencionou-se o</p><p>sentido anti-horário como positivo, a partir</p><p>do ponto A indicado na figura.</p><p>Circunferência trigonométrica</p><p>Na circunferência trigonométrica, os</p><p>valores do eixo horizontal correspondem</p><p>ao cosseno e no eixo vertical, ao seno.</p><p>5 MINUTOS CERTO É</p><p>CERTO</p><p>CONTINUA</p><p>• Seja 𝑎0 um arco representado na</p><p>circunferência trigonométrica, existem infinitos</p><p>arcos 𝑎, denominados arcos côngruos a 𝑎0,</p><p>descritos pelas expressões gerais:</p><p>➢ Em radianos: 𝑎 = 𝑎0 + 2𝑘𝜋, com k ∈ ℤ</p><p>➢ Em graus: 𝑎 = 𝑎0 + 𝑘 · 360, com k ∈ ℤ</p><p>Onde k indica o número de voltas.</p><p>Arcos côngruos</p><p>Se k > 0, sentido anti-horário.</p><p>Se k</p><p>de 300° (ponto D).</p><p>O arco côngruo a 300° com k = –1 é 300° – 360° = –60°.</p><p>Logo, ao se converter esse valor para radiano, tem-se:</p><p>−</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>rad (Alternativa C).</p><p>360 2 rad</p><p>60 rad 60 rad</p><p>6 6 3 3</p><p>  </p><p>−  = − = − = −  −  = −</p><p>● Identificamos e localizamos, na</p><p>circunferência trigonométrica, a</p><p>extremidade final de arcos dados em</p><p>graus ou em radianos;</p><p>● Convertemos, para radianos, uma</p><p>medida de arco expressa em graus;</p><p>● Identificamos as simetrias presentes na</p><p>circunferência trigonométrica;</p><p>● Obtivemos a menor determinação</p><p>positiva de um arco qualquer.</p><p>LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto</p><p>Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Caderno do Aluno, 2o ano</p><p>do Ensino Médio, Ensino Médio, v. 2. São Paulo, 2024.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista. São Paulo, 2019.</p><p>.</p><p>Lista de imagens e vídeos</p><p>Slide 1 – Imagem de capa: SEDUC</p><p>Slide 3 – GOG Escola: Como Eratóstenes fez o cálculo da circunferência da Terra. Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=V2P-k3nPTfE. Acesso em: 22 maio 2024.</p><p>Slides 4 a 12 – Elaborado pelo autor.</p><p>Slide 13 – Phet Colorado. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-</p><p>tour_all.html?locale=pt_BR.</p><p>Slides 16 e 17 – Disponível em: https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-</p><p>recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2018_1b.pdf.</p><p>Slides 18 e 19 – Disponível em: https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-</p><p>recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2019_1b.pdf.</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=V2P-k3nPTfE</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_all.html?locale=pt_BR</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_all.html?locale=pt_BR</p><p>https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2018_1b.pdf</p><p>https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2018_1b.pdf</p><p>https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2019_1b.pdf</p><p>https://midiasstoragesec.blob.core.windows.net/001/2019/06/aap-recomendaes-de-matemtica-2-srie-do-em_2019_1b.pdf</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: Quantos quilômetros aproximadamente tem a circunferência da Terra?</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5: Graus e radianos</p><p>Slide 6: Atividade</p><p>Slide 7: Correção: Atividade</p><p>Slide 8: Circunferência trigonométrica</p><p>Slide 9: Arcos côngruos</p><p>Slide 10: 1a determinação positiva de um arco</p><p>Slide 11: Atividade</p><p>Slide 12: Correção: Atividade</p><p>Slide 13: Simetrias no ciclo trigonométrico</p><p>Slide 14: Correção: Simetrias no ciclo trigonométrico</p><p>Slide 15: Correção: Simetrias no ciclo trigonométrico</p><p>Slide 16: AAP – 2018 (Adaptada) – No ciclo trigonométrico, considerando apenas a 1a determinação positiva dos arcos de 45° e seus simétricos, os valores de x que satisfazem a equação sen(x) = cos(x) são:</p><p>Slide 17: Correção: AAP – 2018 (Adaptada) – No ciclo trigonométrico, considerando apenas a 1a determinação positiva dos arcos de 45° e seus simétricos, os valores de x que satisfazem a equação sen(x) = cos(x) são:</p><p>Slide 18: AAP – 2019 – Sabendo que o ponto B determina um ângulo de 120° na circunferência trigonométrica ao lado, pode-se afirmar que a medida do arco, em radianos, determinada pelo ponto D é:</p><p>Slide 19: Correção: AAP – 2019 – Sabendo que o ponto B determina um ângulo de 120° na circunferência trigonométrica ao lado, pode-se afirmar que a medida do arco, em radianos, determinada pelo ponto D é:</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p>