Factorización de polinomios

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<p>FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma general: Esquema = + Eym + F f1 a2x" Luego tenemos: Editorial CUZCAN Ing. CARLOS NAKAMURA R. Aportando en la Difusión de la Ciencia y la Cultura</p><p>ÁLGEBRA Editorial CUZCAN Aportando en la Difusión de la Ciencia y la Cultura Composición, Diagramación, Montaje e Impresión : Editorial Cuzcano S.A.C. R.U.C. N°20510252021 Esta obra se terminó de imprimir en el mes de Mayo del 2006 C EDITORIAL CUZCANO S.A.C Derechos Reservados Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de la Editorial. Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°2006-2861 Pedidos: Av. Alfonso Ugarte 1310 Of. 212 - Breña - Telefax 423-8154 LIMA - PERÚ</p><p>Dedicamos las de éste libro a la juventud que desea progresar y cambiar futuro a través del estudio del Algebra, y demas cursos La Editorial</p><p>FACTORIZACIÓN Pág. - Definición 5 - Campo Numérico 6 - Polinomio Definido en un Campo Numérico 6 - Polinomio Primo en un Campo Numérico 6 - Factor Primo en el Campo Racional (Q) 7 - Factor Algebraico o Divisor Algebraico 8 - Conteo de Factores Primos 8 - Número del Factores Totales 8 - Número de Factores Algebraicos o Divisores Algebraicos 9 - Número de Factores Compuestos o Divisores Compuestos 9 METODOLOGÍAS DE FACTORIZACIÓN 10 A. Método del Factor Común y/o Agrupaciones de Términos 10 B. Método de las Identidades 12 C. Método del Aspa 15 C. I. Método del Aspa Simple 15 C. II. Método del Aspa Doble 17 C. III. Aspa doble Especial 21 C. IV. Aspa Triple 24 D. Método de los Divisores Binomios o Evaluación Binómica 27 E. Método de los Artificios de Cálculo 31 Cambio de Variables 31 Artificio de "Quita y Pon" o Reducción a diferencia de cuadrados 33 E. 3. Sumas y Restas Especiales 35 F. Factorización Recíproca 37 G. Factorización Simétrica o Alternada 40 ENUNCIADOS DE los PROBLEMAS RESUELTOS (PRIMERA PARTE) 44 Solucionario 49 ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS RESUELTOS (SEGUNDA PARTE) 95 Solucionario 101 PROBLEMAS PROPUESTOS 125 Claves 128</p><p>DEFINICION: La Factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de 2 o más polinamios dentro de un cierto campo de los cuales se les denomina factores primos FACTORIZACION 2 X +3x-10 = (x+5) (x-2) MULTIPLICACION Para un mejor entendimiento enunciaremos siguiente, observa: - Cualquier expresión podemos transformarla en un producto indicado, pero no siempre se le puede factorizar. Veamos los siguientes ejemplos: A) (x-z) - = - 2 DIFERENCIA DE CUADRADOS "No es una factorización por tener radicales las variables". B) 3x2-5y2 = "Se ha factorizado porque los radicales afectan a constantes más no a las variables" * iOjo! en el campo de los #s Reales "Es un producto indicado pero no se ha factorizado porque en un factor la variable figura en el denominador". OBSERVACION: La factorización se realiza en el conjunto de las expresiones algebraicas racionales enteras respecto a la variable y respecto a los coeficientes en conjunto de los números racionales, aunque en éste último caso puede existir alguna reconsideración en abandonar el conjunto racional</p><p>6 FACTORIZACION CAMPO NUMERICO Se dice que un conjunto de forman un campo si para toda obtiene, tambien pertenece a éste conjunto. aritmética fundamental entre dos elementos de dicho conjunto el resultado que se ESQUEMATICAMENTE I = 1 ; -7i Imaginarios C Complejos Propios: 2, 7 Z = a+bi. Irracionales trascendentes: e. Fraccionarios: 2 3 5 7 Negativos Racionales Cero (0) R Positivos (Naturales) IN Reales POLINOMIO DEFINIDO EN UN CAMPO NUMERICO Un polinomio se define en un determinado campo numérico si todos sus coeficientes pertenecen a éste campo, generalmente se indica el campo numérico mas Ejemplos: f(x,y) = 5x2 - 2 3 y 4 + 8 xy5 5 está definido en I g(x,y) = -2x + + 2/5 está definido en R = -5x2 + 3 i X 3 + xy9 está definido en C Donde i = es la unidad imaginaria (VER FASCICULO #9) POLINOMIO PRIMO EN UN CAMPO NUMERICO Un polinomio primo irreductible es polinomio que no acepta transformación multiplicación indicada de dos o más no constantes, pertenecientes a dicho campo numérico. Todo polinamio primo presenta como divisores a el mismo y a cualquier constante no nula.</p><p>FACTORIZACION 7 Ejemplos: * 2x+3 es primo en Q.R. C * es primo en no es primo en R * es primo en Q. R no es primo en C Generalmente se ha de trabajar en el campo de los números racionales (Q). Pero debe tenerse en cuenta lo siguiente: g(x,y) está factorizado en h(x,y) = (x-2) está factorizado en R p(x,y) = está factorizado en C POSTULADO: Todo lineal de la forma (ax+b) es irreductible en cualquier campo Ejemplos: * No es primo en ya que: E * Es primo en Q. pero no en R ya que: = = E R FACTOR PRIMO EN EL CAMPO RACIONAL (Q) El polinomio primo de una factorización en el campo de los números racionales se puede identificar mediante los siguientes criterios: 1) Debe ser un racionales. 2) Será divisible entre sí y la unidad. 3) Un factor primo siempre contiene al menos una variable. 4) Si en la factorización aparecen mas de un factor primo se identifican porque aparecen multiplicando. * * * x+3</p><p>8 FACTORIZACION FACTOR ALGEBRAICO 0 DIVISOR ALGEBRAICO Se factor algebraico a todo polinomio no constante que divide en forma exacta a un segundo polinomio. Ejemplo: Sea: se observa que: * es un factor algebraico de P(x,y) ya que: P(x,y) es exacta. y CONTEO DE FACTORES PRIMOS El número de factores primos de un se obtienen contando el número de factores basales, es decir, los factores que se encuentren como base de una potencia y que contengan a la variable. NOTA: Para realizar el conteo no se debe considerar el número de veces que actúa un determinado factor. Ejemplos: 1) # Factores primos es 3 2) # Factores primos es 2 3) # Factores primos. es 4 NUMERO DE FACTORES TOTALES Sea: a b Y donde a, b y son primos entre sí. a B # Factores = Ejemplo: Determinar el número de factores de: = # factores = (2+1)(3+1)(2+1) = 36 factores</p><p>FACTORIZACION 9 NUMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS 0 DIVISORES ALGEBRAICOS Un polinomio factorizado presenta una cantidad determinada de factores algebraicos, es decir expresiones que dividen en forma exacta en el cual no se considera a ninguna constante. a B Y Sea: a b C donde abc son primos entre sí. # Factores Algebraicos = - Ejemplo: X y 2 xy xy Factores Algebraicos totales y y2 xy2 Por fórmula: # Factores = (1+1)(2+1) - # Factores algebraicos = (2)(3) - = 5 NUMEROS DE FACTORES COMPUESTOS 0 DIVISORES COMPUESTOS F. C = F. AT - F. P FACTORES COMPUESTOS FACTORES FACTORES PRIMOS ALGEBRAICOS TOTALES Ejemplo: 2 3 X P(x,y) y = * Factores primos = 2 1 * Factores totales = 12 X y 2 2 * Factores Algebraicos = (2+1)(3+1)-1=11 X y 3 * Factores Compuestos = 11 y AMIGO LECTOR Un polinomio siempre se factorizará en el campo de los números racionales (coeficientes enteros fraccionarios) salvo se in- dique contrario. * Normalmente se pedirá calcular el número de factores algebraicos divisores algebraicos, el número de factores primos, factores lineales, etc.</p><p>METODOLOGÍAS DE FACTORIZACIÓN A. - METODO DEL FACTOR COMUN Y/O AGRUPACIONES DE TERMINOS Para aplicar éste método tendremos en cuenta lo siguiente: - Observar si toda la expresión tiene uno más factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que está elevado al menor. - Si la expresión no tuviera factores comunes, éstos se consiguen agrupando términos y el número de términos que se reúnen dependen del número de términos del polinomio dado. - Se extrae el factor y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor común extraido. Ejemplo #1: Factorizar: m+a - + - - + Solución: * de 2 en 2, buscando un mismo factor: m+a - m b + an - - - + - - * Extrayendo el factor común: RTA. Ejemplo #2: Factorizar: + + + + Solución: El polinomio dado no tiene un factor común a todos sus términos, para conseguir factores comunes, se debe agrupar términos. Como el polinomio tiene 8 términos, se puede agrupar los términos de 2 en 2 de 4 en 4. * Agrupando de 2 en 2, obtenemos: + + + * Extrayendo factores comunes en cada * Extrayendo el factor común binomio: +</p><p>FACTORIZACION 11 * * * * Agrupando de 2 en 2 dentro del corchete: (x+y) + * Extrayendo el factor común del corchete: RTA. Ejemplo #3: Factorizar: + En éste caso la no admite un factor común, luego desarrollando las potencias indicadas: + 2axby + b2y2 + a2y2 - 2aybx + b2x2 * Agrupando en forma conveniente: + * Extrayendo el factor común: RTA. Ejemplo #4: Factorizar: (x-3)(x-2)(x-1) + - (x-1) * Extrayendo el factor común polinomio (x-1) (x-1)[(x-3)(x-2) + (x-2) sumando (x-1)[(x-3)(x-2) + * Extrayendo el factor (x-3) (x-1)(x-3)(x-1) restando 2 V (x-1) (x-3) RTA Ejemplo #5: Factorizar e indicar la suma de los factores primos de: G(a,b,c) = ab2 + ac ac2 + bc2 + + + + 2abc Solución: Analizando a toda la notamos que no existe factor común luego al querer agrupar observamos que hay siete términos, que implica que al agrupar de dos en dos o de tres en tres, sobrará siempre un término.</p><p>12 FACTORIZACION Para facilitar una agrupación más adecuada, haremos el siguiente artificio: Desdoblar a 2abc en: abc+abc, luego la expresión "G" se escribirá G(a,b,c) = ab2 + ac2 + bc2 + + 2 + + + abc * * * Agrupando en la forma indicada: G(a,b,c) = ab(b+c) + ac (c+b) + bc(c+b) + (b+c) * Extrayendo el factor común (b+c) G(a,b,c) = (b+c) [ab + ac + bc + * Agrupando dentro del corchete: G(a,b,c) = + a(c+a) G(a,b,c) * Nos piden calcular la suma de sus factores primos: b+c+a+c+b+a = 2a+2b+2c = 2(a+b+c) RTA B. - METODO DE LAS IDENTIDADES Recibe este nombre, porque utiliza las identidades algebraicas o productos notables (FASCICULO #3) en forma inversa. Ejemplo #1: Factorizar: x8-1 = RTA. Ejemplo #2: Factorizar: = + (bx-5a) - (bx-5a) ] Eliminando parentesis = Agrupando = (a+b)(x-5)(a-b)(x+5) = (a+b)(x-5)(a-b)(x+5) RTA. Ejemplo #3: Factorizar: +</p><p>FACTORIZACION 1 - Agrupando convenientemente: - - T.C.P T.C.P RTA #4: Factorizar: Solución: - Agrupando adecuadamente: F(m,n,p) = T.C.P (Trinomio cuadrado perfecto) Diferencia de Cuadrados F(m,n,p) = (m+2n+2p) (m+2n-2p) RTA Ejemplo #5: Factorizar: x6 + + x2 + 2x + - 5 en 4+1 para completar los trinomios perfectos: + + + + + + + TRINOMIO CUADRADO PERFECTO RTA</p><p>14 FACTORIZACION Ejemplo #6: Descomponer en factores: + - Escribiendo el producto como una sola potencia: + + Factorizando por suma de cubos perfectos: Reduciendo términos semejantes en el primer corchete y sacando el factor común en el segundo corchete: + Reduciendo: + Efectuando: + 5x6 + + - + Reduciendo: + 3x6 + 3) Sacando el factor 3 dentro del parentesis: 9x RTA. Ejemplo #7: Factorizar: F(a,b,c) = Los primeros paréntesis pueden escribirse F(a,b,c) = I. LEGENDRE I. LEGENDRE F(a,b,c) = {2 F(a,b,c) =</p><p>FACTORIZACION 15 Extrayendo el factor común: a(b+c) F(a,b,c) = 2 +a 2 -12b2 F(a,b,c) = (b+c) 2 F(a,b,c) = 2 ] 2 DIFERENCIA DE CUADRADOS Finalmente: F(a,b,c) = a(b+c) (3a+2b+2c) (3a-2b-2c) RTA C. - METODO DEL ASPA C.I. METODO DEL ASPA SIMPLE: Es empleado cuando la expresión es de la forma: 2n + + C m, + Bx y + Cy 2n cualquier otra transformable a una de las formas Para factorizar a este tipo de deberá tenerse en cuenta las siguientes reglas: 1. Descomponemos el primer y tercer término, a las cuales vamos a términos fijos, en sus factores primos. 2. Efectuamos el producto de los factores primos en aspa ( tratando de verificar el segundo término ( 3. Cuando el tercer término tiene signo (+), sus factores tendran signo: dados por el signo del segundo término. 4. Cuando el tercer término tiene signo (-), sus factores tendran signo diferentes, colocando el signo del segundo término al producto mayo que se obtiene al efectuar en aspa. 5. Los factores se toman sumados en forma horizontal. #1: Factorar factorizar: + 10x + 21</p><p>16 FACTORIZACION Descamponiendo términos fi jos en sus factores y efectuando en aspa: P(x) = x2 + 10x + 21 +3 = (+) +7 Tomando los factores en forma horizontal: P(x) = (x+3) (x+7) RTA Ejemplo #2: Factorizar: F(x) = 3x2 - 4x - 15 Solución: * De la misma manera: F(x) = 3x2 - 4x - 15 3x X F(x) = (x-3) RTA Ejemplo #3: Factorizar: + + Solución: * De la misma manera: DIFERENCIA DE CUADRADOS DIFERENCIA DE CUADRADOS (a+b)x (+) (a-b)x (a+b).y = I. LEGENDRE RTA Ejemplo #4: Factorizar: F(n) = Solución:</p><p>FACTORIZACION 17 = - (3n2-2n) 15 (3n2-4n) -4 Luego: F(n) = Pero, observa que en cada paréntesis podemos seguir aplicando el aspa simple: F(n) = 3n +5 3n +2 n -3 n -2 Finalmente: F(n) = RTA. C.II. METODO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios de dos variables de seis términos que tienen la forma general: 2n m n 2n P(x,y) Ax + Bx Cy m y + + + Eyn + F 1° 2° 3° 4° 6° cualquier otra expresión transformable a para emplear éste método se procede de la siguiente manera: 1. Se el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completaran con ceros. 2. Se forma el primer trinomio de la (1°, 2° y 3°) y se le aplica un aspa simple (I) para comprobar al término en 3. Luego a los términos en y yn, y al independiente (3°, 5° y 6°) se les aplica un aspa simple para comprobar el término en yn. 4. Finalmente se aplica un aspa simple (III) de extremo a extremo para comprobar al término en m 5. Los factores seran las sumas horizontales. * En el siguiente esquema observaremos mejor los pasos a seguir:</p><p>18 FACTORIZACION P(x,y) = Ax2m + + + + Eyn + F F (I) (11) A2xm F2 (I) + (II) : + : + Luego tomando los factores en forma horizontal: P(x,y) Ejemplo #1: Factorizar: 3x2 + 10xy + 8y2 + 14x + 22y + 15 Aplicando el método: 3x2 + 10xy + 8y2 + 14x + 22y + 15 3x 4y (I) 2y 3 verificando los términos: Aspa : (3x) (2y) + = 10xy Aspa (II) : + (2y) (5) = 22y Aspa (111) : (3x) (3) + (x) (5) = 14x Tomando los factores en forma horizontal: (3x+4y+5)(x+2y+3) RTA Ejemplo #2: Factorar: + + 6y +</p><p>19 Solución: * Aplicando el método: 17x2 - 6y + 5 3x2 -y (I) 2x -y 5 ver ificando los términos: Aspa (I) : + = Aspa : (-y) (5) + (-y) = -6y Aspa (III) : + (2x2)(1) Tomando los factores en forma horizontal: 3x2-y+1)(2x2-y+5) RTA Ejemplo #3 Factorizar G(x,y) = 15x2 - 22xy + 24x + 8y2 - 16y Solución: * Ordenando y completando: G(x,y) = 15x2 - 22xy + 8y2 + 24x - 16y + 5x (I) 3x -2y 0 Comprobaciones: Aspa (I) : + (3x)(-4y) = -22xy Aspa : (-4y) (0) + (-2y) (8) = -16y Aspa (III) : (5x) (0) + (3x) (8) = 24x Tomando los factores en forma horizontal: G(x,y) = (5x-4y+8)(3x-2y) RTA Ejemplo #4 Factorizar:</p><p>20 FACTORIZACION Solución: * Ordenando y completando: 6x4 - 5x2y - 25y2 - - 20z2 4z (I) 5z * Comprobando: Aspa (I) : (3x2)(-5y) + (2x2)(-5y) = -5x2y Aspa (II) : + (-5y) (4z) = -5yz Aspa (III) : + (2x2) (4z) = * Tomando los factores en forma horizontal: RTA Ejemplo #5 Factorizar: Solución: * Ordenando el polinomio y aplicando el método: abx2 + - bcy2 - + (ab+c2)y - ac ax -by C - (I) (III) (II) bx +cy -a * Comprobando: Aspa (I) : = Aspa (II) : (c) = (ab+c2)y Aspa (III) : (ax)(-a) + (bx) (c) = * Tomando los factores en forma (ax - by + + cy - a) RTA</p><p>FACTORIZACION 21 C.III. ASPA DOBLE ESPECIAL Permite factorizar expresiones que adoptan la siguiente forma general: P(x) = Ax 4n + Bx 3n + Cx 2n + Dx + E o cualquier otra expresión transformable a esta. Los criterios a tenerse en cuenta para factorizarlo son: 1. Adecuamos el polinomio a la forma general, en caso faltara uno o más términos éstos se completarán con ceros. 2. Se descomponen convenientemente los extremos, se efectua el producto en aspa y se suman los resultados. 3. Se compara el resultado anterior con el término central de la expresión y que sobre o falte para que sea igual a este, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores. 4. Los factores se toman en forma horizontal. Ejemplo #1 Factorizar: 5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6 Apliquemos el método indicado: 5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6 5x2 +3 = 3x2 (+) x2 +2 = 13x2 * Como el término en es 2 y el producto en aspa. de los extremos es 13x2 faltarán 8x2 que es la cantidad que se debe agregar. Se descompone 8x2 en sus factores en forma conveniente y se verifican el segundo y cuarto término. 2 8x 5x2 +2x +3 III x2 +4x +2 * Comprobando: Aspa (11) : (5x2)(4x) + 2x3 = 22x3 3 Aspa : (2x) (2) + (4x) (3) = 16x</p><p>22 FACTORIZACION * Como verifican las condiciones de aspa doble, los términos estaran bien descompuestos. * Tomando los factores en forma horizontal: (5x2+2x+3)(x2+4x+2) RTA Ejemplo #2 Factorizar: P(x) = 10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 3 * Otra forma de resolver es el siguiente: se debe tener P(x) = 10x4 = - 13x3 8x 2 - 8x + 3 5x2 3 = 6x2 (+) 2x2 3x 1 = 5x2 2 se tiene Se necesita = -3x2 * Comprobando: Aspa (II) : (5x2)(-3x) + (2x2) (x) = -13x3 Aspa (III) : (x) (1) + (-3x) (3) = -8x * Tomando los factores en forma horizontal: P(x) = (5x2+x+3)(2x2-3x+1) Aplicamos aspa simple 2x -1 (2x-1)(x-1) X -1 * Finalmente: P(x) = (5x2+x+3) (2x-1)(x-1 RTA. Ejemplo #3 Factorizar: + + 7x2 + 6x + 1 * Otra forma mas práctica es la siguiente:</p><p>FACTORIZACION 23 + + 6x + 1 Balanceo x2 S.D.T.: 7x2 (-) X 1x 2x2 Falta 5x2 : * Tomando los factores en forma horizontal: M(x) = RTA Ejemplo #4 Factorizar: P(x) = x8 - 5x4 - Solución: * Completando y aplicando el método: + - 5x4 - Balanceo x4 -x2 -5 S.D.T.: -5x4 (-) x4 2 -4x4 Falta : P(x) = RTA NOTA: S.D.T. = Se Debería Tener S.T. = Se Tiene Ejemplo #5 Factorizar: - 2mx2 - + * Completando y agrupando los dos términos, se tendrá: = + - - X - + - 2mx2 - + m(m-1) Balanceo 2 -m S.D.T.: -2mx2 x2 (m-1) : Falta : -x2</p><p>24 FACTORIZACION * Tomando los factores en forma horizontal: F(x) = F(x) RTA C.IV. ASPA TRIPLE Se emplea para factorar polinomios que en función de tres variables y que tengan 10 términos de la siguiente forma: P(x,y,z) Ax2 + Bxy + + Fxz + Gx + Hy + Iz + J 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° El procedimiento a seguir es: 1. Adecuamos a la forma general al polinomio, si faltara un término éste se completará con cero. 2. A los tres primeros términos (1°, 2° y 3°) se aplica un aspa simple (I) para comprobar el término 2° (Bxy). 3. Se toman los términos 3°, , 4° y 5° (y2, yz y y se les aplica un aspa para comprobar el término 4° (Dyz). 4. Luego aplicas otra aspa para los términos 5°, 9° y el término independiente 10° para comprobar al término 9° (Iz). 5. Luego tantas aspas simples como términos falten por comprobar. para comprobar el término Fxz: Se consideran a Fxz y Ez2; para el término en x: Gx y J; para el término en y: Hy y J. - Realizados los pasos mencionados los factores se tomaran en forma horizontal. Ejemplo #1 Factorizar: = * Aplicando el método: M(x,y,z) = 6x2 + 7xy - 5y2 + 6xz + 23yz - 12z2 + 5x - 22y + 37z - 21 3x 5y -3z 7 (I) (IV) (III) 2x -y 4z -3</p><p>FACTORIZACION 25 * Las de las aspas y (111) estan verificadas en el esquema. * Comprobando los términos faltantes Aspa (IV) = (3x)(4z) + (2x)(-3z) = 6xz Aspa (V) = (3x)(-3) + (2x) (7) = 5x Aspa (VI) = (5y)(-3) + (-y) (7) = -22y * Tomando los factores en forma = (3x+5y-37+7)(2x-y+4z-3) RTA Ejemplo #2 Factorizar: * Ordenando el polinomio: 3x2 + 7xy + 2y2 - 7yz - X - 7y + 19z - 4 3x y Z -4 (I) (VI) (III) 2y -5z 1 Las aspas (I), (II) y (III) estan verificadas en el esquema: * Comprobando las aspas de los términos que faltan: Aspa (IV) : + (x) Aspa (V) : (3x) (1) + (x) (-4) = Aspa (VI) : (y) (1) + (2y)(-4) = -7y * El polinomio factorizado es: (3x+y-z-4) (x+2y-5z+1) NOTA: En los ejercicios a resolver solamente se trazaran las 3 aspas simples y se comprobaran todos los términos, debido a la del bibujo.</p><p>FACTORIZACION 26 Ejemplo #3 6x Factorizar: * Aplicando el procedimiento: 6x2 2 + 7xy - 5y2 + 6xz + 23yz - 12z2 + 5x - 22y + 37z - 21 7 -3z 3x 5y -3 4z 2x - y Comprobaciones: (para las expresiones que faltan osea las que estan con flechas hacia abajo). Para xy: (3x) (-y) + (2x) (5y) = 7xy Para (3x) (4z) + (2x) (-3z) = 6xz Para yz: (5y) (4z) + (-y) (-3z) = 23yz Para : (3x) (-3) (2x) (7) = 5x Para y : (5y) (-3) + (-y) (7) = -22y Para Z. : (-3z) (-3) + (4z) (7) = 37z Luego el polinomio factorizado es: (3x+5y-3z+7) (2x-y+4z-3) RTA Ejemplo #4 Factorizar: P(x,y,z) = Ordenando y aplicando el método: P(x,y,2 z) = 10x2 - 11xy - 6y2 + 19yz + 19xz - + Z - y - 12x + 2 -3z 5x +2y -2 +5z 2x -3y Comprobando en forma directa: Para xy : -15xy + 4xy = Para yz : 10yz + 9yz = 19yz Para XZ : 25xz - 6xz = 19xz Para Z : 6z - 5z = Z Para y : -4y + 3y = -y. Para : -10x - 2x</p><p>FACTORIZACION 27 * El polinomio factorizado es: RTA D. METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS o EVALUACION BINOMICA Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admiten factores de primer grado de la forma general Se basa en el criterio de divisibilidad de polinomios y por tanto usa el criterio del teorema del resto en forma inversa. Por el teorema del resto se tiene: Si P(x) (x-a) R = P(a) = 0, luego (x-a) es un divisor o factor de P(x). Por Divisores Binamios o se tendrá: Si para = a, P(a) = R = 0, luego por x-a = 0 x-a = 0 divisor = 0 por lo tanto x-a es un divisor factor de P(x). CEROS DE UN POLINOMIO (CEROS RACIONALES) Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que su valor numérico sea igual a CERO. Ejemplo: Sea + 6x 2 + 11x + 6 para: = = = 0 * Luego podemos decir que es un cero del P(x)" COMO DEBES DETERMINAR LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO A) SI EL POLINOMIO TIENE COMO PRIMER COEFICIENTE LA UNIDAD En caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo Si: P(x) = x3 + 6x 2 + 11x 6 Diras entonces que los posibles ceros estarán determinados por los divisores de 6: B) SI EL PRIMER COEFICIENTE DEL POLINOMIO ES DIFERENTE DE LA UNIDAD En este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.</p><p>28 FACTORIZACION divisores del término Posibles ceros independiente = + racionales divisores del primer coeficiente Ejemplo: Sea el polinomio 3 2 P(x) 6x + 11x + 6x + 1 divisores del término 1 Posibles ceros: + independiente "1" 1, 2, 3, 6 divisores del primer coeficiente "6" 1 1 1 Posibles ceros: + 2 3 6 PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR 1) Determinar los ceros del polinomio. 2) Deduces el factor que dá lugar al cero del mediante el siguiente teorema de divisibilidad algebraica visto en el FASCICULO #4: "Si un polinomio P(x) se anula para = a 6 P(a) = 0, entonces dicho un factor (x-a)". 3) El otro factor determinas utilizando el método de P.Ruffini, el cual emplearas tantas veces ceros tenga el por general te recomiendo llevarlo hasta un cociente de cuarto grado para poder aplicar aspa doble especial o de segundo grado para aplicar el aspa simple. 4) Cuando los términos del polinomio son positivos, solamente pruebas los valores negativos. El de ceros debe estar de acuerdo con el grado del Ejemplo Factorizar: 3 + 6x2 + 15x + 14 Solución: Determinamos los posibles ceros del polinomio. Posibles ceros</p><p>FACTORIZACION 29 Ahora hallaremos por lo menos un cero del polinomio: para = -2 P(-2) = + 6(-2)2 + 15(-2) + 14 P(-2) = -8 + 24 - 30 + 14 P(-2) = - 38 + 38 = CERO "-2" es un cero del polinomio 3°. Ahora, observa, para X = -2 R = P(-2) = 0, luego x+2 = 0 por lo tanto (x+2) es un factor o divisor. Divides por el método de Ruffini P(x) (x+2) 1 +6 +15 +14 -2 -2 -8 -14 4 +7 0 cociente de 2° grado El polinomio factorizado es: P(x) = (x+2)(x2+4x+7) RTA Ejemplo #2 Factorizar: = - 2x2 - 6x 3 Solución: 1) Determinando los posibles ceros: +1, Evaluamos para = 1: P(1) = = -10, no se anula Evaluamos para X = -1: = - 3 En consecuencia tendra un factor (x+1) 2) Aplicamos Ruffini para determinar el otro factor. -2 -6 -3 -1 -1 3 3 -3 -3 cociente de 2° grado Luego: P(x) (x+1)(x2-3x-3) RTA. Ejemplo #3 Factorizar: 4 + 6x3 - 5x2 - 42x + 40</p><p>30 FACTORIZACION = + - 5x2 - 42x + 40 bastará con encontrar dos ceros del polinomio para tener otr factor de segundo grado (que es simple de factorizar) posibles ceros: +40} * Evaluando para X = 1: P(1)16- - 5 42 +40 P(1) = 0 Entonces P(x) tendrá un factor (x-1) * Evaluando para X = P(-1) = 1 + 6 - 5 + 42 +40 P(-1) = 72 # 0 (No es un cero del polinomio) * Evaluando para X = 2 = P(2) = 16 + 48 - 20 - 84 +40 P(2) = 0 Entonces P(x) tendrá un factor (x-2) iAhora observa! Por ser P(x) divisible separadamente entre (x-1) y (x-2) será divisible entre el producto (x-1) (x-2) (ver fasciculo #4). P(x) 4° 2° 2° * Como se han obtenido dos ceros, entonces aplicaremos dos veces division por el método de Ruffini: 1 +6 -5 -42 +40 +1 1 7 2 -40 1 7 2 -40 0 Resto 2 2 18 40 1 9 20 0 Resto Q(x) = (II)</p><p>FACTORIZACION 31 * Reemplazando en (I): P(x) = (x-2) (x+5) (x+4) RECOMENDACIONES A) Cuando un es de 4to antes de aplicar el método de veremos si se puede descomponer en factores de 2do grado aplicando el método del aspa doble y luego a cada factor le aplicamos el aspa simple siempre y cuando admitan factores de grado. B) Cuando un polinomio es de 5to aplicamos el método de evaluación y encontramos un factor, quedando el cociente de 4to grado al cual trataremos como en el caso A. E. METODO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO Este método consiste en darle una forma adecuada al polinomio; operando en forma conveniente, realizando cambios de variables o sumando y restando una misma cantidad con la finalidad de hacer más sencilla su factorización osea hacer figurar productos conocidos. Has observado que cuando menor es el grado del su factorización resulta más sencilla por tanto dado un polinomio a factorizar, verás cuál es el paso mas adecuado adar y ésto lo consigues con una práctica continua. E. 1. CAMBIO DE VARIABLES Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente a de ciertas transformaciones para luego proceder a un cambio de variable que permitira transformar una expresión aparentemente compleja en otra mas simple. Ejemplo #1 Factorizar: (x2+y+1)3 2 Solución: Observas que la expresión se repite "3 veces" por lo tanto haremos un cambio de variables, 2 Hacemos que: +1 = Z</p><p>32 FACTORIZACION Z Efectuando los productos indicados: Extrayendo el factor común: 9z2-6zy+y 3z 3z * y y = Reemplazando = se tiene: y(3x2+3-y)2 RTA. Ejemplo #2 Factorizar: (x+1)(x-2)(x+2)(x+5)-13 Solución: * La expresión no tiene factor común, ni tampoco es una conocida, debemos entonces efectuar el producto indicado. Ordenando los factores en forma conveniente para efectuar por e producto notable: = con la finalidad de tene términos iguales: (x+1)(x-2)(x+2)(x+5)-13 iObserva, se repite! Haces un cambio de variables: = a (a+2)(a-10)-13 Factorizando: a (a-11)(a+3) pero: RTA.</p><p>FACTORIZACION 33 Ejemplo #3 Factorizar: + (x-n) (x+6n) Solución: * Agrupando y operando en la forma adecuada: F(x) 40n4 + + + iObserva se repite! * Haces el cambio de variable: x2+3nx = a + = a - + Factorizando: a a = = F(x) = RTA ARTIFICIO DE "QUITA Y PON" o REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS. Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas reducciones logres formar un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de ésta situación se forma una diferencia de cuadrados. Ejemplo #1 Factorizar: 9 * Seguramente lo primero harfas, sería factorizarlo por el aspa simple, pero no cierto (Intentalo), luego podrías factorizar por pero te diste cuenta que no es un cuadrado perfecto, agotadas tus posibilidades recurres al método de quita y pon, + 9 (3) T Doble producto = 6x2</p><p>34 FACTORIZACION * Del esquema: Tienes 2x2, pero debes tener 6x2 para ello tendrás que (4x2) y para que no se altere de restas (-4x2), y formaste el trinomio: + 2 3 x2 3 P(x) = 4x2 P(x) = (x2+3)2 4x2 = (x2+3)2 - (2x)2 Diferencia de Cuadrados P(x) = P(x) = (x2+2x+3)(x2-2x+3) RTA. Ejemplo #2 = + en factores: Solución: * Aplicamos el mismo criterio del ejemplo anterior: 4-6 2(x4) El doble producto de sus bases es: = 10x4y6 * se tiene sólo: para conseguir se y se resta: x4 E(x,y) = E(x,y) = =</p><p>FACTORIZACION 35 E(x,y) = E(x,y) = RTA. Ejemplo #3 Factorizar: G(x,y) Solución: * Para éste caso se trabaja solo con los dos términos, procediendo con el esquema para deducir que se necesita: * Luego la expresión a quitar y poner es G(x,y) 2x2 +9y2 = G(x,y) = - Diferencia de cuadrados RTA. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES Conciste en sumar y una o varias expresiones en forma conveniente de tal modo que se formen uno de los trinomios ambos componentes de una diferencia o suma de cubos Algunas veces se forman trinomios de la forma: Ejemplo #1 Factorizar: * Podrias probar por el método de evaluación pero para x=1 y x=-1, no se anula el lo cual nos indica que no existe ningún factor de primer grado.</p><p>36 FACTORIZACION * Completa el polinamio sumando y restando todas las potencias de "x" que faltan: * Agrupando los términos de 3 en 3 en forma conveniente: 5434322 iObserva que se ha conseguido! * Extrayendo el factor común RTA. OTRA FORMA DE RESOLVER * En forma particular sumas y restas x2 * Agrupando en forma conveniente: = = = RTA. Ejemplo #2 Factorizar: + + + + 2x + 1 * Si descomponemos 2x2 en X y 2x en X+X estará apareciendo la expresión (x2+x+1) y con los primeros términos también lograr encontrar dicha expresión + + 2x + 1 + + !</p><p>FACTORIZACION 37 * Agrupando de 3 en 3 en forma conveniente: * Extrayendo el factor común polinanio: (x2+x+1)(x4+x+1 Ejemplo #3 Factorizar: * forma: Primera Sumando y restando: y2 Extrayendo el factor común: (y2-y+1) M(y) = RTA. * Segunda forma: Completando el polinomio, sumando y restando Agrupando en la forma indicada: M(y) Extrayendo el factor común, se obtiene: M(y) = RTA. F. FACTORIZACION RECIPROCA POLINOMIO RECIPROCO: Es aquella expresión que tiene iguales los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos, tanto en valor absoluto como en signo. tenemos el polinomio recíproco de: 2do grado: Ax2 + Bx + A 3er grado: + + Bx + A 6 - Bx2 - Bx + A grado: + + Cx + Bx + 6 Ax4 - + - Bx + A grado: + + + Cx2 + Bx + + Bx4 - + Bx + A</p><p>38 FACTORIZACION PROPIEDADES: A) Toda de grado impar contiene al factor (x+1) 6 (x-1) Ejemplo: P(x) = Ax5 - Bx4 + + - Bx + A Para probar si es divisible entre (x+1) cambiamos X = - P(-1) = + P(-1) = CERO P(x) es divisible entre (x+1) B) Una expresión recíproca de grado impar es igual al factor (x+1) por una recíproca de grado par. Asf: Si: P(x) = Ax5 - Bx4 + Cx3 + Cx2 - Bx + A P(x) = (x+1) [Ax4 - (A+B)x3 + - (A+B)x + A) de grado par "Se demuestra dividiendo por Ruffini P(x) (x+1)" Ejemplo #1 Factorizar: 5x4 + 3x3 + 3x2 + 5x + 3 * Con el siguiente ejemplo aprenderemos a factorizar recíprocos de grado impar y par. Del ejemplo, como es una expresión recíproca de grado impar (5), sera divisible entre (x+1) propiedades. Entonces para = -1 = + + + 5(-1) + 3 H(-1) = + + - H(-1) = 0 P(x) es divisible entre (x+1) H(x) = (x+1)Q(x) * Aplicando Ruffini:</p><p>FACTORIZACION 39 +3 +5 +3 +3 +5 +3 -3 -2 -2 -3 +3 +2 +1 +2 3 0 + + + 2x + 3 H(x) = (x+1) 2 + 2x + 3) polinomio "de grado par" * Ahora factorizaremos la de grado par, para ello seguiremos el siguiente procedimiento: a) Extraemos como factor común la parte literal del término central b) Agrupamos dentro del corchete los términos equidistantes, los cuales tienen sus coeficientes iguales. = + (a) c) Hacemos un cambio de variable: d) Calculando x2 + en función de "m". Elevamos (B) al cuadrado: (Y) e) Reemplazando (B) y (Y) en obtenemos: = H(x) = m -1 Pero el valor de - operando:</p><p>40 FACTORIZACION H(x) = 3x x2+1-x H(x) = (3x2+3+5x)(x2+1-x) H(x) = (3x2+5x+3)(x2-x+1) RTA. G. FACTORIZACION SIMETRICA o ALTERNADA POLINOMIO SIMETRICO. Se dice que un polinomio con respecto a intercambio sus variables de es simétrico - cuando su valor no se altera por el cualquier par de ellas. Ejemplo: + * Si hacemos un intercambio de "x" y por "y" y viceversa, se obtendrá: + + * Observamos que E(x,y,z) = G(x,y,z) E(x,y,z) es un polinomio simétrico * Si hacemos el de "x" por "z" o "y" con "z", sucederá mismo COMPRUEBALO! REPRESENTACION DE EXPRESIONES SIMETRICAS DE GRADO Con dos variables: A(x+y) tres variables: A(x+y+z) -Con cuatro variables: A(x+y+z+w) DE 2do GRADO dos variables: A(x +Bxy -Con tres variables 2 + B(xy+xz+yz) variables: + B(xy+xz+xw) + (yz+yw+zw) GRADO dos variables: +</p><p>FACTORIZACION 41 Con tres variables: 333 + y+x y) + Cxyz Con cuatro variables: 3333 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +y + B(x y+x Z+X w+y X+Z + + D(xyzw). POLINOMIO ALTERNADO. - Se dice que una expresión es alternada con respecto a sus variables cuando al hacer un cambio de cualquier par de sus variables solo cambia de signo. Ejemplo: Sea: + Si intercambiamos "x" A "2" se tendrá: = (=) - - el signo (-): P(x,y,z) = P(x,y,z) RTA. * Notamos que el polinomio P(x,y,z) solo ha cambiado de signo, en consecuencia se dice que éste será ALTERNADO. (SIMETRICA Y ALTERNADA) La suma, el producto y el cociente de dos polinomios simétricos cualesquiera debe ser simétrica. producto de un polinomio simétrico por una expresión alternada dá como resultado un polinamio alternado. Un polinamio simétrico alternado de variable "x" e "y", si es divisible entre entonces también será divisible entre sus variables son "x", "y", "z", si es divisible entre "x", entonces también será divisible entre entre "z". un polinomio simétrico se anulara para una variable igual a otra su entonces se anula para todas las combinaciones de ellas sea: el polinomio simétrico tiene 3 variables y se anula para X=y entonces un factor del polinomio será y los otros factores se determinan de acuerdo la siguiente forma circular ciclica.</p><p>42 FACTORIZACION Z y Los factores se leen en sentido horario o sea ellos serán: (x-y), OBSERVACIONES: ** Antes de analizar si un polinomio es simétrico alternado se debe observar si es homogéneo, si no es, no será ni simétrico ni alternado. ** Generalmente los polinomios simétricos aparecen con términos positivos y los polinomios alternados como diferencias. No existen expresiones alternadas de primer grado que contengan de dos variables. Asi, sólamente existen expresiones alternadas de primer grado de la forma: A(x-v) PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR: Se analiza si el polinomio es simétrico alternado. Se buscan factores monomios, haciendo una variable igual a cero. III) Se buscan factores binomios, haciendo una variable igual a otra o a la de ella. IV) Se plantea una equivalencia entre el polinomio a factorizar y los obtenidos. V) En caso de faltar un polinomio, se completa con polinomios simétricos, acuerdo con el grado y el de variables deseados. VI) Se halla los valores constantes asumiendo valores adecuados para sus variable Ejemplo: Factorizar: E(x,y,z) * Intercambiando simultáneamente "x" por "y" demostramos que E(x,y es simétrico.</p><p>FACTORIZACION 43 * Buscamos factores monomios para: = 0, E(x,y,z) no se anula * Buscamos factores binomios para: X = y, E(x,y,z) no se anula = -y, E(x,y,z) se anula Luego sus factores son: (y+z) y (z+x) De acuerdo al esquema Z y * Entonces: E(x,y,z) = (z+x) (I) grado grado costante * o sea que: * Damos valores adecuados para deducir el valor de N: Para: se tendrá: cero cero cero 2 +16(1)(1)(1) = N(1+1) 1+1) 2 2 2 N = 2 * (II) en E(x,y,z) = RTA. PRESENTACION DE LA PARTE PRACTICA En la primera parte se presentan ejercicios sencillos totalmente resueltos de todos los casos estudiados en la parte teórica con la finalidad de que Ud. se familiarize con éstos ejercicios y luego afrontar con éxito los problemas de la segunda parte que también estan totalmente resueltos y con una transparente IMPORTANTE: Conforme se va desarrollando los problemas, iremos indicando algunas recomendaciones para su ejecución que estará añadida, de una serie de simbolos ( etc.) los cuales nos permitirá visualizar mejor este tema.</p><p>ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS RESUELTOS PRIMERA PARTE I. METODO DEL FACTOR COMUN Y/O AGRUPACION DE TERMINOS FACTORIZAR: 1. + 2. F(a,b,cx,y,z) = ax + by + CZ + bx + cy + az + CX + ay + bz 3. + - 4. 5. = + - + - 6. + 7. + abdx + acdx + 8. = + - 4xyz 9. + + + + 11. 12. + 13. = + 14. = + II. METODO DE LAS IDENTIDADES FACTORIZAR: 15. - 16. = - 17. M(x,y,z) = - 18. = + + 19. = 20. = - 21. = + 22. = - - 23. H(a,b,c) =</p><p>FACTORIZACION 24. R(a,b) = + 25. T(m,n) + 26. J(x,y,z) = III. METODO DEL ASPA SIMPLE FACTORIZAR: 27. H(a,b,c) = - + 28. P(a) - + + 2a6 29. G(z) = 30. Q(m,n) = - - 31. R(a) = - 4a2 - + 4 32. M(x,y) = 33. = + - 34. = + 35. T(a,b,m) = - - 12ab 36. = - + - 37. = + + 38. = - - - - 39. = - 40. = (3x+2y+3z)(9x+6y+7z+4w + 8z(w-2z) IV. METODO DEL ASPA DOBLE FACTORIZAR: 41. P(x,y,z) = 6x2 - + 7xy + 38yz - 17xz 42. Q(a,b) + 12ab + + ab + 29b + 26a + 28 43. = + - + + 44. = - 22b2 - 36a - 71b - 40 45. = - + - 46. = - + + 152y2 + 45y4 47. = - + - 18. = - - + + - 56 49. = 50. P(m,n) = - + - 14 +</p><p>46 FACTORIZACION V. METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL FACTORIZAR: 51. Q(z) = - + 89z2 - 56z + 12 52. - 2a4 + - 128 53. P(m) = + 8m - 54. = 55. = 56. + + + 57. = + - - + + - - + 58. = 59. G(y) = (y2-1)(y2-4) 3(2y+3) VI. METODO DEL ASPA TRIPLE FACTORIZAR: 60. P(a,b,c) = - 8b2 - 12c2 - 15 + 2ab + ac + 20bc - 9a - 26b + 29c 61. R(m,n,p) = 13mm + 14mp + 6m2 + 6n2 + 16np + 8p 2 + 21n + 19m + 22p + 15 62. = 63. = + 2z - 34x + 7xy - 2y - 7xz + 8 64. = VII. METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS FACTORIZAR: 65. P(a) = + + 3a - 10 66. + 27w2 + 52w + 60 67. = - + 30 68. - 1 69. = + - - 6 70. = - - + 4 71. + 2n2 - n 2 72. = + + 13x3 - 10x2 - 20x - 8 73. C(z) = - 4z + 8 74. D(x) = VIII. METODO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO A) CAMBIO DE VARIABLES FACTORIZAR: 75. = 76. G(z) = 5z(z+4) - 27</p><p>FACTORIZACION 47 77. H(x,y) = (x+y+1)4 - 5(x+y)2 - 10(x+y) - 78. R(m) = + + 5 79. Q(x) = + - 361 80. = 81. K(x,y) = +5y)(x-3y)(x+4y)(x-2y) - 144y4 82. = B) FACTORIZAR: 83. H(a) = 84. = y = - 86. = + 87. + - 88. = - 89. = 90. G(x,y,z) = - + IX. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES FACTORIZAR: 91. = 92. 93. 94. = + 95. 96. 97. K(a) = I 98.</p><p>48 FACTORIZACION X. FACTORIZACION RECIPROCA Y SIMETRICA FACTORIZAR: 99. P(a) = a6 - 4a5 + 3a4 - + 3a2 4a + 100. - 2e7 + 3e6 4e5 + + 3e2 - 2e + 1 101. + + + 15x + 1 102. F(x) = 3x5 = + 5x4 + 3x3 3x2 + 5x + 3 103. - 104. R(a,b,c) = (a+b+c)3 105. - - 106. E(x,z) = x7 *************************</p><p>SOLUCIONARIO PRIMERA PARTE SOLUCION # 1 * Agrupando de 3 en 3, buscando factores comunes: 3xn+1 + xn+3 - + - 3 + RESPUESTA SOLUCION # 2 * Agrupando de 3 en 3 en la forma indicada: = ax + ay + bz F(a,b,c,x,y,z) = x(a+b+c) + y(b+c+a) + z(c+a+b) * Extrayendo el factor común (a+b+c): = (a+b+c)(x+y+z) RESPUESTA SOLUCION # 3 * Extrayendo el factor común a toda la G(m,n) = - - * Agrupando dentro del corchete de dos en dos: G(m,n) = + G(m,n) = RESPUESTA SOLUCION # 4 * Agrupando en la forma = + + + + + * Extrayendo factor común: = x2(x+y+z) + RESPUESTA</p><p>50 FACTORIZACION SOLUCION # 5 * Extrayendo el factor común: se obtiene: = xy + y y2a2 - + - * Agrupando de 3 en 3, de acuerdo con = xy + -Factorizando el signo = E(x,y,z,a) = E(x,y,z,a) = RESPUESTA SOLUCION # 6 * Agrupando convenientemente: M(a,b,c) = + - - - - mm = + + + * Extrayendo factores comunes: M(a,b,c) = + + Factorizandoelsigno + - M(a,b,c) = + ac * Agrupando como se indica dentro del corchete: M(a,b,c) = M(a,b,c) = Factorizando el signo M(a,b,c) = M(a,b,c) = RESPUESTA SOLUCION # 7 * Agrupando los términos del polinomio de 2 en 2 en la forma indicada = + c+abcx) + d+abdx) + (acdx+bcd) * Extrayendo factores comunes en cada paréntesis: = + acx (ax+b) + adx(ax+b) + + acx + adx + Agrupamos de "2 en 2" en éste corchete R(x) = (ax+b)[ax(ax+c) + R(x) = (ax+b)(ax+c)(ax+d) RESPUESTA</p>