Diferença entre Fenômenos

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<p>Algebra LOGARITMOS FUNCIÓN - SISTEMA DE LOGARITMOS . TEORÍA Y PRACTICA Propiedad Siendo M>0 ^ N>0 : además N CUZCAN QUISPE PAUYACC e 20</p><p>LOGARITMOS f(x) ADJ(A) ARMANDO QUISPE PAUYACC Ediciones CUZCAN</p><p>MEZA BRAVO ELVIS LOGARITMOS AUTOR : ARMANDO QUISPE PAUYACC EDITOR : ENRIQUE CUZCANO PUZA COMPOSICIÓN , DIAGRAMACIÓN E ILUSTRACIONES Ediciones NORMA SILVA ORDINOLA LUZMILA LEÓN INFANTE 423-8154 Los derechos autorales de obra son propiedad del editor C COPYRIGHT 2002 Por Ediciones Cuzcano Prohibida la reproducción total o parcial de ésta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del Editor. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley N°822 del código penal vigente.</p><p>Dedicatoria Beatrix y Albino quienes debo mi existencia yme brindaron to que</p><p>n la actualidad, la aplicación de los LOGARITMOS es bastante amplia en diferentes campos profesionales co- mo por ejemplo, en MEDICINA, INGENIE- BIOLOGIA, ADMINISTRACION, etc; donde en algu- nos casos esta aplicación se reduce al empleo de calculadoras o procesadores electrónicos. Sin embargo, en la de los casos, los LOGARITMOS incluídos dentro del concepto de función conjuntamente con su inversa la función EXPONENCIAL -se consi- dera como una de las más importantes en por una serie de razones que van más allá de su utilidad como instrumento de cálculo aritmético. Un matemático de hoy encuentra que la función LOGARITMO y su inversa, la función EXPONENCIAL, ocupan una posición central en el Análisis Matemático por causa de sus propiedades funcionales; muy especialmente para la resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales. LOGARITMOS, es un trabajo bien elaborado que ha sido dividido en tres secciones: TEORIA, PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. La parte teórica que por cierto es primordial, se ha desarrollado en forma detallada; tratando en lo posible de emplear un lenguaje claro y sencillo, además de incluir en cada detalle ejemplos concisos para darle mayor panorama a aquellos. Los problemas RESUELTOS han sido escogidos con sumo cuidado algunos de los cuales se han tomado de de admisión a diferentes universidades (en especial a la UNIVER- SIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA); y éstos se encuentran seleccionados en tres niveles: básico, intermedio y avanzado. Al igual que los anteriores, los problemas PROPUESTOS también se han escogido con cuidado en tres niveles. Se recomienda que el lector intente previamente resolver un cierto problema antes de revisar su resolución o fijarse en la clave de respuesta. Con el fin de mejorar éste modesto trabajo, espero que mis colegas del curso de ALGEBRA Y ANALISIS MATEMATICO me hagan llegar sus criticas y sugerencias que de antemano agradezco sinceramente. Finalmente quiero agradecer a todas las personas que hacen posible esta en forma muy especial al Sr: ENRIQUE CUZCANO PUZA, quien sigue depositando su confianza en mi persona, la cual espero no defraudar. ARMANDO A. QUISPE PAUYACC C Ediciones</p><p>INDICE INTRODUCCIÓN CAPITULO 1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Pág. Nociones Preliminares 10 Función Exponencial 12 Logaritmo 16 Propiedades Generales de los Logaritmos 19 Función Logaritmo 22 CAPITULO 2 SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de Logaritmos 26 Cambio de un Sistema de Logaritmos a Otro 26 Regla de la Cadena 28 Principales Sistemas de Logaritmos 30 Logaritmos Decimales, Vulgares de Briggs 30 Logaritmos Naturales, Neperianos Hiperbólicos 33 El número "e" 33 Cologaritmo 35 Antilogaritmo 36 CAPITULO 3 ECUACIONES Ecuación Logarítmica 37 Conjunto de Valores Admisibles (CVA) 37 Diferentes casos de Ecuaciones Logarítmicas 37 CAPITULO 4 DESIGUALDADES Desigualdad 45 Distintos casos de Desigualdades Logarítmicas 45 PROBLEMAS RESUELTOS Nivel Básico 57 Nivel Intermedio 64 Nivel Avanzado 72 Solucionario Nivel Básico 83 Solucionario Nivel Intermedio 110 Solucionario Nivel Avanzado 142 PROBLEMAS PROPUESTOS Nivel Básico 172 Nivel Intermedio 179 Nivel Avanzado 187 Claves de Respuestas 196</p><p>MEZA BRAVO ELVIS NOTACION EMPLEADA V o y Entonces Si y solo si A Para todo (Cuantificador Universal) 3 Existe (cuantificador existencial) Unión Intersección Z Conjunto de los Números Enteros Z+ Conjunto de los Números Enteros Positivos IR Conjunto de los Números Reales Conjunto de los Números Reales Positivos C Conjunto de los Números Complejos F (x) Función F de variable x Dom Dominio Ran Rango exp Exponencial Logaritmo de N en Base a log N Logaritmo Natural de N In N Logaritmo Natural de N colog Cologaritmo antilog Antilogaritmo I I Valor Absoluto e Número de Euler, base del Sistema de Logaritmos Naturales SUP Supremo INF Infimo ( K ) Coeficiente Binomial n ! Factorial de n . > Mayor que Mayor o igual que</p><p>LOGARITMOS INTRODUCCION Varios conceptos matemáticos básicos, creados inicialmente para atender ciertas necesidades y resolver problemas específicos, revelaron posteriormente una utilidad más amplia de lo que al prinicipio se pensaba y, con la evolución de ideas y el desenvolvimiento de nuevas pasaron a adquirir una posición definitivamente de gran relevancia en ésta Ciencia En algunos casos, la utilidad o aplicación original de dichos conceptos, con el tiempo, fueron superadas por nuevas técnicas; pero la relevancia teórica se mantuvo. Jhon Napier (1550-1617) nacido en Escocia y uno de los matemáticos más notables de su época, fue quien inventó los LOGARITMOS. Su trabajo abrió un terreno comple- tamente nuevo y tuvo grandes consecuencias, tanto teóricas como prácticas. No sólo proporcionó un maravilloso recurso para ahorrar trabajo en el cálculo aritmético, sino que sugirió varios principios importantes de análisis superior. El invento nace de la observación de un hecho admirable para dos sucesiones, una geométrica y otra aritmética, como por ejemplo: : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 5 : 6 : 7 Aunque en esa época, todavía no se adoptaba una notación adecuada para los exponentes, Napier contemplaba con los ojos de un matemático con preparación griega ésta notación, como si se tratara de un juguete nuevo. Vió en el ejemplo citado, el apareamiento de una sucesión geométrica con otra aritmética. Una feliz inspiración le hizo pensar que éstas dos sucesiones aumentaban término a término y que los elementos de la primera resultaban ser potencias de la base 2 cuyo exponente, en forma respectiva, son cada uno de los elementos de la segunda. Cada una de las operaciones aritméticas: multiplicación, división, potenciación y se ven reducidas luego de la aplicación de los logaritmos y sus propiedades a operaciones más sencillas: adición, sustración, multiplicación y división, Este maravilloso artificio, los logaritmos, para reducir cálculos aritméticos tuvo vigencia hasta hace poco; cuando fue ampliamente superada por el empleo de calculadoras electrónicas. Sin embargo, la función logaritmo conjuntamente con su inversa, la función exponencial, permanecen como las más importantes en la</p><p>MEZA BRAVO ELVIS er LA FUNCIÓN CAPÍTULO EXPONENCIAL Antes de definir a la función exponencial, repasemos algunas propiedades de las LEYES DE EXPONENTES, que nos permitirá establecer dicha definición. Siendo a números reales y m ; n números enteros positivos se cumple que : 1. n factores 2. = a m+n m a m - n 3. = a siendo : a # , n m a 1 = ; siendo : a # n n-m a 4. = 5. 6. n = ; b # o 7. = (Tenga en cuenta que = m Consideremos ahora el número racional , donde n es un entero positivo y a un nú- n mero real positivo, entonces : m 1 8. a n = a m = ó a = (am) n = (a n m donde la operación de radicación que aparece tácitamente, con n entero positivo , existe en IR. En consecuencia, siendo r un número racional cualquiera, existe en IR. Por otra parte, indicaremos algunas propiedades adicionales cuyas demostraciones son bastante sencillas, que las dejamos para el lector.</p><p>ARMANDO QUISPE P. 11 LOGARITMOS Sea a un número real tal que a > 1 y sean r y S dos números racionales tales entonces se cumple * ; si r>s>0 Pero, si : son números racionales con > S en este caso se tiene que: si . si r>s>0 Para los detalles que indicaremos a continuación, recomendamos al lector revisar algunos aspectos de las SUCESIONES ACOTADAS de nuestro libro SUCESIONES y SERIES. Sea "a" un número real positivo y distinto de 1 y sea también "q" un número irracional cualquiera. Planteamos entonces el problema de calcular (por ejemplo: Evidentemente, no es posible obtener el resultado con exactitud; pero lo que si es posible, es lograr un resultado con bastante aproximación a éste, tanto como se quiera. Sea S el conjunto de números racionales r próximos a 9 por la izquierda, es decir : osea :</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 12 EDICUZ es decir : a > a 2 > a > a > > *** Con lo cual queda establecido que, siendo a un número real positivo y distinto de la unidad, para cada número real (racional o irracional) existe un único número IR ) que le corresponde. En consecuencia, las LEYES DE EXPONENTES que se repasaron anteriormente, también son aplicables cuando m y n son dos números reales cualesquiera. Siendo "a" un número real positivo y diferente de la unidad ( a > # 11) se define la FUNCION EXPONENCIAL así: (1.1) cuyo dominio es: Se puede emplear indistintamente exp (x) ó para representar a la función a exponencial. EJEMPLO 1 Sea la función : = Calculando algunos valores para la función, se obtiene: y su representación gráfica cartesiana es como sigue: x Y Fig. N° 1 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 o 1 1 2 2 4 1 3 8 0 X 4 16</p><p>ARMANDO QUISPE P. 13 LOGARITMOS EJEMPLO: Sea la función: exp ( 0,5 evaluando en algunos casos la función, resulta : y su representación gráfica cartesiana es: Y Fig. 2 x -3 8 -2 4 -1 2 F(x)=0,5 o 1 1 0,5 1 2 0,25 0 X 3 0,125 En general, la representación gráfica cartesiana de la función exponencial : Fig. N° 3 Y = cuando a > 1, tiene la misma forma en todos los casos, así: 1 0 X</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 14 EDICUZ es decir, sus características son siempre las mismas: - Dom = R ^ Ran = (exp) (exp) - Es una función creciente : Dom (en todo su dominio) (exp) - Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa. - Es una función contínua, Dom ( exp ) Y en el caso de que : también guarda siempre la misma forma, así: Fig. N° 4 1 0 X donde sus características son: Dom = R ^ Ran = = (exp) Es una función decreciente: E Dom También es una función inyectiva y por lo tanto posee inversa. y también es una función , Dom ) Bosquejar la gráfica de la función : y = a * Considerando que: a > 1 , se Si : -> Si : -> 1 Luego, Dom = IR ^ Ran (F) (F)</p><p>ARMANDO QUISPE P. 15 LOGARITMOS Además : Dom (F) = Lo cual indica que la función F es su gráfica cartesiana es simétrica con res- pecto al eje y, así : Fig. y = 1 0 X considerando que : se obtiene lo siguiente : Si : x 2 0 Si : de donde : Dom IR ^ En éste caso, también se puede demostrar que la función PAR , y con esto, la gráfica resulta así : Fig. N° 6 0 X</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 16 EDICUZ En cualquiera de los casos, se habrá podido observar que, la función exponencial = exp (x) = es contínua e inyectiva en todo su dominio (R) ; lo cual significa que para un cierto valor de x siempre existe uno y sólo uno correspondiente para y Entonces tomando como ejemplo la función : y = 2x podemos plantearnos el siguiente problema : ¿qué valor debemos asignarle a x para que resulte 3 o que es lo mismo, resolver : 2x = 3 Esta situación conlleva a analizar, de un modo más general, la relación: (1.2) la cual presenta tres cantidades a x y N ; de donde si dos de ellas son conocidas, la igualdad sugiere calcular la tercera, Si a son valores conocidos, entonces la igualdad (1.2) indica que se debe calcular La operación que permite ésto es la POTENCIACION y N recibe el nombre de POTENCIA. son valores conocidos, entonces (1.2) indica que ahora debemos calcular a La operación que realiza éste cálculo es la RADICACION = una operación inversa de la potenciación, donde "a" se denomina RAIZ. Si a N son valores conocidos, entonces (1,2) determina que se debe calcular x osea hallar una cantidad "x" a la que se debe elevar una base a para obtener como resultado el número N La operación que permite éste cálculo se denomina (otra operación inversa de la potenciación y considerada como la SÉPTIMA OPERACIÓN del donde x se denomina LOGARITMO. El operador de la se denota como log se aplica así: log N (1.3) a y se lee : logaritmo de N en base a ó logaritmo en base a de N, con lo cual establecemos la siguiente definición. Definición: Se denomina LOGARITMO del número > 0) en base a > a 1) al EXPONENTE al cual se debe elevar la base a para obtener como resultado el número N : log N = x = N (1.4) a</p><p>ARMANDO QUISPE P. 17 LOGARITMOS EJEMPLO4 = 5 x = = Calcular: log 128 4 Asumiendo que resulta x, , se tiene : log 128 = = = = 7 x 7 , 2 luego log 4 7 : Calcular: log (nvn) ; Considerando como resultado por (1.4) : 3 2 ( = - = -> 9 2 x 3 de donde : ; luego : 3 2 = 9 2 EJEMPLO7 Calcular el valor de "x" que satisface la relación: Por definición, nótese que x > 1, luego por (1.4) se tiene : = = por comparación:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 18 EDICUZ Por otra parte, por conveniencia, separemos (1,4) de la siguiente manera : (1.5) (1.6) Reemplazando (1.6) en obtenemos lo siguiente : x (1.7) EJEMPLO 8 * = * log = = = 3 2 * = = = * 4 = = También, reemplazando (1.5) en (1.6) , resulta : log N a (1.8) a = N EJEMPLO 9 * * * = = EJEMPLO 10 Calcular el valor de : Observe que la base de la potenciación y la base del logaritmo no son iguales, pero se nota que :</p><p>ARMANDO QUISPE P. 19 LOGARITMOS 1 Entonces, reemplazando, se tiene: log E = E=0,1 EJEMPLO 11 Sabiendo que a y b son números reales positivos y distintos de la unidad , tal que ab = 1 , calcular : Si ab = 1 a = reemplazando convenientemente resulta: L = = L=7 PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS Siendo : a > (1.9) Considerando, por definición (1.4), que:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 20 EDICUZ Además, se sabe que: Luego: log N Siendo además a (1.10) N También, se sabe : que x-y M Luego: = Siendo además a > (1.11) Ahora, teniendo en cuenta que: log De: N elevando ambos miembros al exponente : = = = = Siendo : N (1.12) De la misma relación: Extrayendo radicales del mismo índice E en ambos miembros, se obtiene: P = de donde: log N</p><p>ARMANDO QUISPE P. 21 LOGARITMOS Siendo (1.13) log = = P P Y también de la misma relación: = suponiendo que = = de donde: De la misma forma : = luego : log (1.14) = lo cual indica que en log N, si N y a se elevan a un mismo exponente (no nulo) o se a extraen de ambos radicales del mismo índice (no nulo), el logaritmo no se altera. Como consecuencia de (1.14), se deduce otra propiedad, no menos importante (cuya demostración la dejamos para el lector), que dice: Siendo (1.15) = N EJEMPLO 12 * = = * = log = log = 3 8</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 22 EDICUZ 5 5 3 3 * 3 10 49 = log = 7 = 1 3 2 3 3 * 2 V a = log 2 a 4 = 4 log a = 3 2 a 8 LA FUNCIÓN LOGARITMO Definicion: Siendo a > 1, se define la FUNCION LOGARITMO asi: (1.16) cuyo dominio de definición es: Dom = (log) EJEMPLO 13 Sea la función: algunos valores para la función son: x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 G(x) -3 -2 -1 1 2 3 4 Comparando éstos valores con los del ejemplo 1, se observa que los valores de x aquí son los valores que toma exp 2 (x) y también los valores de G (x) son los valores asignados a en dicho ejemplo. Entonces, si: F = = ;</p><p>ARMANDO QUISPE P. 23 LOGARITMOS Se observa que : G ; R es decir, G es la función inversa de F En forma gráfica : Y Fig. N° 7 y=x y=log,x X EJEMPLO 14 Para la función : = log x 2 algunos de sus valores son : x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 G(x) 3 2 -1 -1 -2 -3 -4 y al compararlos con los del ejem- Y Fig. N° 8 plo 2, sucede también que G es la función inversa de F y y=x recíprocamente F es la función de G. Gráficamente: X y=log x</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 24 EDICUZ En éstos dos últimos ejemplos, nótese que la gráfica cartesiana de la función LOGARITMO es la reflexión de la gráfica de la EXPONENCIAL con respecto a la recta y = (y visceversa). Generalizando, la función = log x es la INVERSA de la fun- a ción EXPONENCIAL : exp (x) con a > 1 , de donde : Dom = Ran (log) (exp) Y Fig. N°9 Ran = Dom = R (log) a>1 Además, cuando a > 1, la gráfica cartesiana de la función LOGARITMO siempre guarda la 1 X misma forma; así : Osea, sus características siempre son las mismas : Fig. N° 10 Es una función creciente, Y E Dom (log) y=x, - Es una función inyectiva (posee inversa). Y cuando</p><p>ARMANDO QUISPE P. 25 LOGARITMOS donde sus características también son siempre las mismas: - Es una función decreciente, Dom (log) - Es una función inyectiva y posee inversa. En ambos casos, se puede observar que la función LOGARITMO es continua, en todo su dominio. EJEMPLO 15 Analizar y bosquejar la gráfica cartesiana de la función: ; a > 1 Supongamos que a > 1 (el caso 1 queda el lector). * E R Luego: Dom = = (H) - entonces: Ran = (H) + (-x) = = (x) es decir, H es una función PAR; esto significa que su gráfica cartesiana es simétrica con respecto al eje y, así: Y Fig. N° 11 X</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 2 do SISTEMA DE CAPÍTULO LOGARITMOS Dada la función: x donde la base a es un valor fijo ( a > ^ a # (x) a al conjunto de valores que toma la función se le denomina SISTEMA DE LOGARITMOS DE BASE "a". La gráfica cartesiana de la fig. 9 o de la fig. 10 representa a un sistema de logaritmos. Cada "curva como las de éstas figuras, representa a un sistema; por lo que se deduce que existen infinitos sistemas de logaritmos. Al considerar dos sistemas de logaritmnos cualesquiera, siempre es posible establecer una relación entre ambos. CAMBIO DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRO (CAMBIO DE BASE) Fig. 12 Y Sean dos sistemas de logaritmos de bases "a" y b" ; para un mismo número N, queremos encontrar una relación entre : log N y a 1 N X Considerando que: log N = P aP = N (2.1) a y también: log, N = q = N (2.2) Considerando que : N # 1 , de (21) y (2.2) se obtiene que:</p><p>ARMANDO QUISPE P. 27 LOGARITMOS log N a = log N q (2.3) q de : a = 1 log b a = 9 P P = log a reemplazando en (2.3) : log N a P 1 = = q Luego: 1 log N = log, log a (2.4) es decir, para pasar un logaritmo del sistema de base "b" a otro de base "a", basta con multiplicarlo por un "factor de conversión", donde éste: 1 , se llama : módulo de transformación o módulo de paso. EJEMPLO 16 : log3 4, , hallar el logaritmo de 4 en base 7: = Si se conoce 12, expresar el logaritmo de 12 en base 2 = De (2.4), también se obtienen: log b N = log N (2.5) log a a</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 28 EDICUZ log b N = log N log b a (2.6) a En si N = resulta que: = (2.7) Esto significa que log a y log b son recíprocos entre ; es decir, si ( k # 0) entonces : k EJEMPLO 17 Asumiendo que los logaritmos siguientes están definidos en log (x+2) * = log3 (x+2) log, (2x) * = 1 * = log 2 (x+4) REGLA DE LA CADENA De (2.5) : = (2.8) Ejemplo 18 * . = * =</p><p>ARMANDO QUISPE P. 29 LOGARITMOS También: a N (2.9) a log N (2.10) EJEMPLO 19 Calcular el equivalente de: R = log 25 . log3 7. 4 Acomodando la expresión: R = log3 32 4 = 2 log 5 log3 7.2 3 R = 2.2.log 4 = 4 = 4.1 Por otra parte, aplicando (2.8), se tiene que: = C = log log log a b entonces: a = a = = C por lo que: log b (2.11) a = EJEMPLO 20 Sabiendo que: x = , hallar el valor de : Q = V 3 log x + 7x Aplicando (2.11) al primer sumando: log 3 log 3 a Q = + 7x = Reemplazando: Q = log a log 3 = Q = 4</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 30 EDICUZ PRINCIPALES SISTEMAS DE LOGARITMOS Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales los logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Se aplican por ejemplo en Economía, Administración, etc. LOGARITMOS DECIMALES , VULGARES o DE BRIGGS El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre todo en múltiples cálculos aritméticos, y tiene como base a 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se han elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, TABLAS LOGARITMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras. En la actualidad, éstas tabla logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrónicas y computadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifras decimales de aproximación. NOTACION: log N 10 y se lee: logaritmo decimal de N. PARTES DE UN LOGARITMO DECIMAL Todo logaritmo decimal presenta una parte entera y una parte decimal; donde la primera se denomina CARACTERISTICA y la segunda, sólo cuando es positiva, se llama MANTISA. EJEMPLO 21 Para : log 500 = 2,698 969 se tiene que: característica : 2 mantisa : 698 969 La característica se puede determinar en forma inmediata y la mantisa puede obtenerse con aproximación usando tablas CÁLCULO DE LA CARACTERISTICA DE UN LOGARITMO CASO 1 : Cuando : N = : (2.12)</p><p>ARMANDO QUISPE P. 31 LOGARITMOS el logaritmo decimal de un número expresado como una potencia de 10 es igual al exponente en dicha potencia y ésta es su característica (la mantisa es igual a cero). EJEMPLO 22 log 1000 = log + log 0,000 001 = =-6 = log = 9 CASO 2 : Cuando 1 10 : (2.14) La característica es igual al número de cifras en la parte entera de N disminuido en la unidad y la mantisa se obtiene de tablas La mantisa que se debe ubicar en tablas logarítmicas es el logaritmo de aquel número que se obtiene de N luego de desplazar la coma decimal tantos lugares como la característica, hacia la izquierda.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 32 EDICUZ * log 3000 = 3,477 125 (3000 tiene 4 cifras ) log 3 log 645,212 = (645, 212 tiene 3 cifras en su parte entera ) log 6,45212. log 765432,1045 = (765432, 1045 tiene 6 cifras en su parte entera) log 7,654321045 CASO 4 : Cuando : O</p><p>ARMANDO QUISPE P. 33 LOGARITMOS log N = 10 - log 2) , pero log 2 = 0,301 030 ... log N = ... ) = log = 139,793 8 El logaritmo de N tiene característica 139, , lo cual significa que N posee 140 cifras. LOGARITMOS NATURALES, NEPERIANOS o HIPERBÓLICOS Este sistema es de mucha importancia en el ANÁLISIS puesto que su base (el número "e") se obtiene como resultado del cálculo del de una función : 1 x lim (1+x) = e (2.16) x donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es: 1 1 1 1 1 1 (1+x) = + x x + x x x + x + (2.17) 2 en el límite, cuando x , resulta : lim (1+x) = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 Luego : e = 1+ + + + + = (2.18) 2! Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de éste sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible emplear criterios similares a aquellos de los logaritmos decimales. Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N. se puede calcular el logaritmo natural del mismo número. NOTACION : e se lee : logaritmo natural o logaritmo neperiano de N. Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores "notables", que son: 1 294 (2.19) = (2.20) y :</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 34 EDICUZ CÁLCULO DE UN LOGARITMO NATURAL A PARTIR DE UN LOGARITMO DECIMAL Supongamos que se conoce log N y queremos calcular el logaritmo natural del mismo número N , entonces por (2.4) se tiene: 1 In N = log N. log e de donde, empleando (2.20) resulta que : In N = 2,302 585 log N. (2.21) EJEMPLO 27 Tomando el ejemplo 24: * In 3000 = 2,302 585 log 3000 = In 3000 = 8,006 376 * In 645,212 = 2,302 585 log 645,212 = 2,302 585 ( 2,809 702 ) In 645,212 = 6,469 578 CÁLCULO DE UN LOGARITMO DECIMAL A PARTIR DE UN LOGARITMO NATURAL Ahora supongamos que se conoce In N y con ésto queremos calcular el logaritmo decimal de entonces también por (2,4), se tiene: 1 log N = In N. In 10 reemplazando (2.19) en ésta última, resulta que: log N = In N. (2.22)</p><p>ARMANDO QUISPE P. 35 LOGARITMOS EJEMPLO 28 * Si : In 7,77 = 2,058 270 log 7,77 = 7,77 log 7,77 = = * Si : In - log 0,02 = 0,02 = 0,434 294 ) = - 1,698 968 COLOGARITMO Se define el COLOGARITMO de un número > 0) en una cierta base a a > ^ a # 1), que se denota por colog N, como el logaritmo de la inversa de Nen a la misma base a. Es decir, siendo : N 1 colog N = log ( ) (2.23) a a N Pero se sabe que : = , por lo que: N colog N = log ; de donde por (1.12), , se obtiene que: a colog = N (2.24) EJEMPLO 29 * = * colog 50 = = - log 50</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 36 EDICUZ PROPIEDADES : Siendo: M > ^ N > ; se cumple que: 1. colog 1 = colog a = -1 a a 2. a a = colog N - 1 N 3. colog = -p 4. colog N a a 5. colog = colog a N 6. colog = colog N (2.25) a ANTILOGARITMO Esta es otra forma de denotar a la función y se define Siendo a > E antilog x = (2.26) a EJEMPLO 30 * antilog 4 = * antilog PROPIEDADES: Siendo a > # 1, se cumple que: 1. = 2. antilog = exp = e (2.27) 3. antilog log N = N ; a a 4. log antilog = ; x E R a a 5. antilog a (x+y) = a y 6. antilog (px) = (antilog</p><p>er 3 ECUACIONES CAPÍTULO LOGARITMICAS Cuando en una ecuación, la variable o está afectada por la función logaritmo, aquella se denomina ECUACION Para resolver una de ésta clase; en primer lugar, se deben establecer las condiciones necesarias que determinen la existencia (en R) del logaritmo o de los logaritmos presentes en la ecuación. conjunto numérico obtenido de estas condiciones se le llama CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA). El siguiente paso consiste en la aplicación de las propiedades de los logaritmos en la con el objeto de obtener otra más sencilla, que nos lleve a su solución o soluciones. Necesariamente ésta solución, o las soluciones, deben ser elementos del CVA. A continuación, desarrollaremos cuatro casos elementales de ecuaciones logarítmicas, que servirán para tener un mejor panorama frente a otros casos CASO 1 : Siendo a > la ecuación : (3.1) loga F(x) = b es equivalente a resolver : F(x) (3.2) F(x) = ab donde (3.2) se denomina SISTEMA MIXTO ; en el cual, la relación: F (x) > determina b el CVA de la ecuación (3.1) y la otra relación: F (x) = a se obtiene aplicando la definición de los logaritmos en (3.1). No es necesario resolver la desigualdad: F (x) > lo que se debe hacer es resolver la b ecuación: F (x) = a y las soluciones obtenidas de ésta, se comprueban en la desigualdad. Por supuesto, son soluciones de (3.1), solamente aquellas que logren verificar la desigualdad. Ejemplo 29 Resolver : log2 = 2 La ecuación equivale a resolver : =</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 38 EDICUZ donde la primera relación determina el CVA de la ecuación inicial, y de la segunda, obtenemos: = o x = los cuales satisfacen la primera relación (la desigualdad); y por consiguiente, son soluciones de la ecuación original. CASO 2 : Siendo : resolver la ecuación : (3.3) = se resuelve por medio de las relaciones : (3.4) F(x) > 0 : CVA Al igual que en el caso anterior, resolvemos primero la igualdad y las soluciones encontradas de ésta deben satisfacer las desigualdades del CVA. Ejemplo 30 Resolver : = Esta ecuación se resuelve con las relaciones : x2 - 4 > A 4x - 7 = 4x-7 resolviendo la igualdad, se obtiene : = - 4x + 3 -> = 1 x = 3 no satisface las dos relaciones iniciales, pero x ==3 si las satisface. Por lo tanto, la ecuación original tiene como solución : CASO Siendo : resolver la ecuación : (3.5) es equivalente a resolver: (3.6)</p><p>ARMANDO QUISPE P. 39 LOGARITMOS que la igualdad contenida en el sistema mixto se obtiene de (3,5) luego de aplicar las propiedades de los logaritmos. Esta se resuelve primero, y las soluciones encontradas, deben satisfacer las condiciones del CVA (las desigualdades del sistema mixto). Ejemplo 31 Resolver : log + log 2x 3 = su resolución, se realiza mediante las relaciones: > o ^ o De la igualdad, obtenemos lo siguiente: 2x2 - 2 De éstas, sólo x = 6 satisface las dos desigualdades indicadas anteriormente. Entonces, la ecuación logarítmica tiene una solución: x = 6 CASO 4 : La ecuación logarítmica : (3.7) es equivalente a resolver F(x) > ^ ^ G(x) # CVA (3.8) Tan igual como en los casos anteriores, se debe resolver éste sistema mixto. Ejemplo 32 Resolver : log (5x+19) = 2 ecuación la resolvemos con las relaciones: = 5x + 19 Desarrollando la igualdad, se obtiene: + x2 3x - 18 = 6 V x = 3 De estos valores, x = -3 - no satisface la condición: en cambio = 6 si verifica las tres condiciones indicadas anteriormente. Por lo que, la solución de la ecuación logarítmica es x = 6.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 40 EDICUZ A continuación, desarrollaremos ejemplos adicionales donde, básicamente se aplicarán los casos anteriores. Ejemplo 34 Resolver : log x+5 El CVA de la ecuación está determinado por las condiciones: Además, de la ecuación, se observa que el término : es el recíproco del anterior; entonces, haciendo : log a , la ecuación quedará así: + = o a = a = 1 2 Luego : * para a = 2 : log (2x+13) = 2 = x+5 x2 + 12 = 0 x - Pero, x = - 6 no satisface todas las condiciones del CVA; entonces, no es solución de la ecuación original. En cambio, x = si cumple con aquellas condiciones, y por lo tanto es una solución. * para a = : = x+5 2 = X E R Finalmente, la ecuación logarítmica propuesta sólo tiene una solución : Ejemplo 35 Resolver : = primero las condiciones que determinan el CVA : ^ 4 4 La ecuación logarítmica se puede expresar</p><p>ARMANDO QUISPE P. 41 LOGARITMOS = 3x = 1 + 11x - -5 = 8 8 De éstos valores, x = satisface las condiciones del CVA, más no así 8 5 x = ecuación logarítmica tiene dos soluciones: 4 3 Ejemplo 36 Resolver : = Las condiciones que determinan el CVA de la ecuación son: Por la propiedad (2.5), el segundo miembro de la ecuación se puede expresar así: = Cancelando de ambos miembros log (x2 8), e igualando a cero éste, se obtiene: = = 1 x x2 = 1 = 1 V log (2 - x) = -1 x2 9 V 2 x = 10 V x -8 10</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 42 EDICUZ De éstos valores, solamente - 8 satisfacen las condiciones dadas para el CVA y por lo tanto, son soluciones de la ecuación logarítmica. Ejemplo 37 Resolver : 1 + log ( = 10 10 Senalando primero, las condiciones para el CVA: es decir, el CVA es: Observe que para éste ejemplo, el CVA se ha obtenido fácilmente; a diferencia de otros casos en donde quizás resulte mucho más complicado que resolver la propia ecuación. El lector ya sabe que no es necesario obtener explicitamente el CVA, es suficiente que las condiciones que lo determinan, se satisfagan. De la ecuación logarítmica, obtenemos: = 10 10 10 10 = 1 4 = x = 2 Este valor x = 2 pertenece al CVA; o en todo caso, satisface las condiciones del CVA. Por lo que, la ecuación logarítmica tiene una solución : x = 2 PROPIEDAD Siendo y además a (3.9) Es decir, en una igualdad de miembros positivos; si se toman logaritmos, en una misma base a ambos miembros - la igualdad se mantiene. Ejemplo 38 log 2 Resolver : 16 x = 8x En primer lugar, el CVA está dado por : En la ecuación, aplicando la propiedad (3.9) en base se tiene : log 2 = log (8x) 16 =</p><p>ARMANDO QUISPE P. 43 LOGARITMOS 4 Ambos valores, satisfacen las condiciones del CVA y por consiguiente, son soluciones de la ecuación logarítmica propuesta. Ejemplo 39 Resolver : El CVA queda determinado por : De la ecuación, por la propiedad (3.9) resulta : = log ) 2 log log 1 log 4 x = V x = - ambos satisfacen la condición del CVA y, son soluciones de la ecuación propuesta. Ejemplo 40 = Resolver : Debe notarse que : y en consecuencia también : De la primera ecuación, por la propiedad (3.9), resulta: ... (1) y de la segunda, se obtiene: x ) = log (2) De (1) y (2) : log x = x =</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 44 EDICUZ Ejemplo 41 Resolver : 10 log 2 Se observa que : La primera ecuación del sistema, se puede expresar así: log 100 10 log 10 = 10 log 25 100 = x-y=4 (1) x-y Reemplazando en la segunda ecuación, se obtiene: log 2 x+y=10 ...(2) Luego, de (1) y (2) : los cuales satisfacen las condiciones iniciales.</p><p>to 4 DESIGUALDADES CAPÍTULO LOGARITMICAS Una relación de orden, donde la variable se encuentra afectada por la función logaritmo, se denomina DESIGUALDAD LOGARITMICA, y su resolución depende fundamentalmente de la base de dicha función. Sugerimos al lector revisar las propiedades para la resolución de una desigualdad algebraica y sobre todo la regla de los puntos críticos o de los intervalos en un sistema unidimensional (la recta numérica real). Analizaremos a continuación, los casos más elementales de desigualdades logarítmicas; con los cuales es posible desarrollar luego otros más complicados. CASO 1 : Cuando a (4.1) Y Fig. N° 14 Dado que el dominio de la fun- ción logaritmo es la primera condición (x > de (4.1) es evidente, y la segunda puede deducirse mejor de la Fig. 14 ; aunque con esto, la primera condición resulta ser redun- b b dante, puesto que : x > a , Implica que necesariamente > 0. x X b En general ; siendo a > 1 : log F(x) > b F(x) > a (4.2) a</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 46 EDICUZ Ejemplo 42 Resolver : > 2 Por la propiedad log > (x+4)(x-1)>0 o también : X E Ejemplo 43 Resolver : Tenga en cuenta que ahora se trata de una desigualdad no estricta, donde la propiedad (4.2) se aplicaría de modo similar ; así : x+3 2(x+5) o sino : CASO Siendo a> (4.3) En la fig 15 observe que (en Y el eje "y") para Fig. N° 15 necesariamente (en el eje b y además: lo cual también se podría expre- x sar así: ab X logax En general, cuando</p><p>ARMANDO QUISPE P. 47 LOGARITMOS log (4.4) Ejemplo 44 Resolver : - Utilizando la propiedad (4.4) decir : Ejemplo 45 Resolver : ) que : entonces por (4.4) el desarrollo de la desigualdad es V 2 5 2 2 4 5 5 CASO 3 Siendo a> logax2 (4.5)</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 48 EDICUZ Y Fig. 16 logax2 x1 X2 X En forma sintética, la propiedad (4.5) se puede colocar G(x) > G(x) (4.7) Ejemplo 46 Resolver: log, Por la propiedad log, + 15 > 15 x 7</p><p>ARMANDO QUISPE P. 49 LOGARITMOS Ejemplo 47 log 2 2 ( x+5 a # resolver : a +1 a +1 Para todo a # +1 > 1, entonces por la propiedad (4.7) : ( x+5 x+5 2 x-2 x+5 x-2 x-2 ^ ( Siendo = x-2 - CASO 4 : Cuando (4.8) Fig. ^ x ab X logax b</p><p>MEZA BRAVO ELVIS ALGEBRA 50 EDICUZ Generalizando, cuando : log a (4.9) Ejemplo 48 Resolver : log - 3 1 2 Por la propiedad (4.9), se tiene: log > -3 > 2 2 CASO 5 : Siendo (4.10) Fig. 18 Nuevamente, la condición: o es redundante, puesto que la otra condición : , implica lo anterior Para aplicaciones más generales; empleamos la siguiente propie- ab dad : X b Siendo : logax</p><p>ARMANDO QUISPE P. 51 LOGARITMOS log F(x) (4.12) Y Fig. N° 19 ^ x1 X logax2</p>