Provinha 03

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<p>Provinha 03</p><p>27 de setembro de 2024</p><p>Neil L. Goyzueta P.</p><p>1 Solução da equação de Laplace em coordenadas esfericas</p><p>Temos</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(</p><p>r2</p><p>∂V</p><p>∂r</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>r2 sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>∂V</p><p>∂θ</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>r2 sin2 θ</p><p>∂2V</p><p>∂ϕ2</p><p>= 0, (1)</p><p>multiplicando por r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(</p><p>r2</p><p>∂V</p><p>∂r</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>∂V</p><p>∂θ</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>sin2 θ</p><p>∂2V</p><p>∂ϕ2</p><p>= 0. (2)</p><p>Usando separação de variavel (considerando dependencia com ϕ)</p><p>V (r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ), (3)</p><p>substituímos</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>r2</p><p>d</p><p>dr</p><p>RΘΦ</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>RΘΦ</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>sin2 θ</p><p>∂2</p><p>∂ϕ2</p><p>RΘΦ = 0, (4)</p><p>logo</p><p>ΘΦ</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>r2</p><p>d</p><p>dr</p><p>R</p><p>)</p><p>+</p><p>RΦ</p><p>sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>Θ</p><p>)</p><p>+</p><p>RΘ</p><p>sin2 θ</p><p>∂2</p><p>∂ϕ2</p><p>Φ = 0, (5)</p><p>dividindo por RΘΦ</p><p>1</p><p>R</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>r2</p><p>d</p><p>dr</p><p>R</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>Θ</p><p>1</p><p>sin θ</p><p>d</p><p>dθ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>d</p><p>dθ</p><p>Θ</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>Φ</p><p>1</p><p>sin2 θ</p><p>d2</p><p>dϕ2</p><p>Φ = 0. (6)</p><p>• Para ϕ podemos fazer</p><p>d2Φ(ϕ)</p><p>dϕ2</p><p>= −m2Φ(ϕ), (7)</p><p>a solução para essa equação é conhecida,</p><p>Φ(ϕ) = A sinmϕ+B cosmϕ (8)</p><p>Onde m é um número inteiro, pois ϕ é uma variável angular periódica. Levando em conta</p><p>(6) e (7), temos</p><p>1</p><p>R</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>r2</p><p>dR</p><p>dr</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>Θ sin θ</p><p>d</p><p>dθ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>dΘ</p><p>dθ</p><p>)</p><p>− m2</p><p>sin2 θ</p><p>= 0. (9)</p><p>1</p><p>• Para R podemos fazer</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>r2</p><p>dR</p><p>dr</p><p>)</p><p>= kR, (10)</p><p>daí</p><p>r2</p><p>d2R</p><p>dr2</p><p>+ 2r</p><p>dR</p><p>dr</p><p>= kR. (11)</p><p>Tentamos uma solução da forma R(r) = rn, daí que (11), fica</p><p>n(n− 1)rn + 2nrn = krn, (12)</p><p>é evidente que,</p><p>n(n− 1) + 2n = k. (13)</p><p>Isso nos leva à equação quadrática</p><p>n2 + n− k = 0. (14)</p><p>Resolvendo a equação quadrática:</p><p>n =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>1 + 4k</p><p>2</p><p>, (15)</p><p>como k é uma constante, podemos modificá-la de forma que</p><p>1 + 4k = (1 + a)2 = 1 + 2a+ a2, (16)</p><p>pelo que</p><p>k =</p><p>1</p><p>4</p><p>(2a+ a2) =</p><p>a</p><p>2</p><p>(</p><p>1 +</p><p>a</p><p>2</p><p>)</p><p>, (17)</p><p>escolhemos</p><p>a</p><p>2</p><p>= ℓ, daí</p><p>k = ℓ (ℓ+ 1) , (18)</p><p>agora, substituindo em (15)</p><p>n =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>1 + 4ℓ (ℓ+ 1)</p><p>2</p><p>=</p><p>−1± (2ℓ+ 1)</p><p>2</p><p>. (19)</p><p>Portanto, as soluções para n são:</p><p>n = ℓ e n = −(ℓ+ 1). (20)</p><p>A solução geral para R(r) é</p><p>R(r) = Crℓ +Dr−(ℓ+1) (21)</p><p>Então, levando em conta (10) e (18) em (9), temos</p><p>1</p><p>sin θ</p><p>d</p><p>dθ</p><p>(</p><p>sin θ</p><p>dΘ(θ)</p><p>dθ</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>ℓ(ℓ+ 1)− m2</p><p>sin2 θ</p><p>)</p><p>Θ(θ) = 0. (22)</p><p>2</p><p>• Para Θ , Utilizamos a substituição x = cos θ,daí</p><p>dx = − sin θdθ → 1</p><p>sin θ</p><p>d</p><p>dθ</p><p>= − d</p><p>dx</p><p>→ d</p><p>dθ</p><p>= −</p><p>√</p><p>1− x2</p><p>d</p><p>dx</p><p>, (23)</p><p>é evidente que sin θ =</p><p>√</p><p>1− x2, pelo que (22) fica</p><p>d</p><p>dx</p><p>(</p><p>(1− x2)</p><p>dΘ</p><p>dx</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>ℓ(ℓ+ 1)− m2</p><p>1− x2</p><p>)</p><p>Θ = 0 (24)</p><p>cuja soluções são os polinômios de Legendre associadas Pm</p><p>ℓ (x). Onde,</p><p>Pℓ(x) =</p><p>1</p><p>2ℓℓ!</p><p>dℓ</p><p>dxℓ</p><p>(</p><p>x2 − 1</p><p>)ℓ (25)</p><p>Pm</p><p>ℓ (x) = (1− x2)</p><p>m</p><p>2</p><p>dm</p><p>dxm</p><p>Pℓ(x) (26)</p><p>Por tanto, solução é</p><p>Θ(θ) = Pm</p><p>ℓ (cos θ) (27)</p><p>Então, finalmente temos</p><p>V (r, θ, ϕ) =</p><p>(</p><p>Crℓ +Dr−(ℓ+1)</p><p>)</p><p>(A sinmϕ+B cosmϕ)Pm</p><p>ℓ (cos θ) (28)</p><p>Ou também (mais compacto)</p><p>V (r, θ, ϕ) =</p><p>(</p><p>Crℓ +Dr−(ℓ+1)</p><p>)</p><p>eimϕPm</p><p>ℓ (cos θ) (29)</p><p>Ou também (ainda mais compacto)</p><p>V (r, θ, ϕ) =</p><p>(</p><p>Crℓ +Dr−(ℓ+1)</p><p>)</p><p>Y m</p><p>ℓ (θ, ϕ) (30)</p><p>Dado que para cada m e ℓ é solução, podemos somar, por tanto</p><p>V (r, θ, ϕ) =</p><p>∞∑</p><p>ℓ=0</p><p>ℓ∑</p><p>m=−ℓ</p><p>(</p><p>Crℓ +Dr−(ℓ+1)</p><p>)</p><p>Y m</p><p>ℓ (θ, ϕ) (31)</p><p>As restrições de ℓ e m, concorda com (25) e (26).</p><p>3</p><p>Solução da equação de Laplace em coordenadas esfericas</p>