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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
1a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
09/04/2012
1a Questa˜o: (2 pontos) Considere a superf´ıcie definida pela equac¸a˜o
x3y2 + 3xez − 2y(z2 + 1) = 3 .
1. Mostre que a equac¸a˜o anterior define z como func¸a˜o de x e y, pro´ximo do ponto
P = (1, 2, 0).
2. Calcule zx(1, 2) e zy(1, 2).
2a Questa˜o: (3 pontos) Considere a integral∫ ∫
D
f(x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ 4x
x2
f(x, y) dydx .
1. Esboce a regia˜o D.
2. Expresse a integral da direita, com a ordem de integrac¸a˜o trocada.
3. Calcule a integral quando f(x, y) = y
√
x.
3a Questa˜o: (3 pontos) Considere a figura plana limitada pela curva
(x2 + y2)2 = 2xy .
1. Escreva a equac¸a˜o da curva em coordenadas polares.
2. Esboce a curva usando sua equac¸a˜o em coordenadas polares.
3. Calcule a a´rea da figura plana limitada pela curva.
4a Questa˜o: (2 pontos) Calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies z = 1− y2,
z + x = 2 e x = 2, para z ≥ 0.
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS !
Boa Sorte!!!