Aula 4 ciclo trigonometrico

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias
Profª Denise Terezinha Marques Wolski
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Profª Taniele Loss Nesi
TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
CONVERSA INICIAL
Nesta aula vamos conversar sobre trigonometria. Estudaremos ângulos em graus e radianos, o ciclo trigonométrico, razões
trigonométricas na circunferência, ângulos simétricos e razões trigonométricas recíprocas, equações e inequações trigonométricas e
relações e transformações trigonométricas.
TEMA 1 – ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS E CICLO TRIGONOMÉTRICO
A região que se encontra entre duas semirretas que têm a mesma origem é denominada de ângulo. Sabemos que é possível medir
um ângulo e, para isso, podemos utilizar duas unidades de medidas diferentes: graus e radianos.
Uma volta completa em uma circunferência é igual a 360° (trezentos e sessenta graus). Sabendo disso, é possível afirmar que 1° é
igual a  da circunferência. Vale lembrar que 1° pode ser subdividido em sessenta minutos (60’), e um minuto pode ser subdivido em
sessenta segundos (60”).
Podemos afirmar que um radiano é um ângulo central de uma circunferência que é correspondente ao ângulo do arco de
comprimento igual ao comprimento do raio, observe:
O ângulo CÂB é igual a um radiano, pois o comprimento do arco BC é igual ao comprimento do raio AB. Logo, o comprimento da
circunferência em radianos é igual a . O valor de  é aproximadamente 3,14. Além disso, o raio da circunferência trigonométrica é
igual a 1, ou seja, .
Com estas informações podemos afirmar  é equivalente a 360°, ou seja:
A partir da relação dada acima, é possível converter graus em radianos e radianos em graus para realizar diferentes operações
matemáticas.
O centro da circunferência é o ponto no qual se cruzam dois eixos, horizontal e vertical. Eles são chamados de eixo x e eixo y,
respectivamente, no plano cartesiano. Estes eixos dividem a circunferência em quatro partes, denominadas de quadrantes.
TEMA 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
Antes de verificar as razões trigonométricas na circunferência, vale lembrar que:
        
A partir disso, podemos identificar que na circunferência trigonométrica, o eixo horizontal correspondente ao seu cosseno, e o eixo
vertical corresponde ao seu seno.
Na figura acima temos uma circunferência de raio 1, conforme definição, e temos um triângulo retângulo CAD. Para o ângulo CÂD,
verificamos que o cateto oposto é o segmento de reta CD, o cateto adjacente é o segmento de reta AD e a hipotenusa é o segmento de
reta AC. Além disso, o segmento AC é o raio da circunferência, ou seja, é igual a 1. Com isto:
Temos que , e o segmento de reta CD é paralelo ao eixo y. Logo, a afirmação de que o seno é correspondente
ao eixo y confere. Além disso, , e o segmento de reta AD é paralelo ao eixo x. Logo, a afirmação de que o cosseno é
correspondente ao eixo x também confere.
É possível identificar os sinais (positivo ou negativo) para seno e cosseno de um determinado ângulo na circunferência
trigonométrica.
Para comentar sobre a tangente em uma circunferência trigonométrica, vamos verificar outra imagem.
Na figura podemos perceber que o segmento de reta ED forma um ângulo de 90° com o segmento de reta AB, sendo tangente à
circunferência. Além disso, AE é a hipotenusa, o segmento de reta BE é o cateto oposto ao ângulo EÂB, e o segmento de reta AB é o
cateto adjacente ao ângulo EÂB. Finalmente, o cateto AB corresponde ao raio da circunferência, ou seja, é igual a 1. Assim:
Ou seja, a tangente da figura dada corresponde à medida do segmento BE.
TEMA 3 – ÂNGULOS SIMÉTRICOS E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
3.1 ÂNGULOS SIMÉTRICOS
Simetria representa semelhança entre partes de um todo que foi dividido por um eixo. Ângulos simétricos são ângulos que
possuem a mesma medida. Como exemplos, podemos verificar que um ângulo de 45º em relação ao eixo x é simétrico ao ângulo de
135º, ao ângulo de 225º e ao ângulo de 315º.
3.2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Vamos recordar as razões trigonométricas do triângulo retângulo:
Temos outras razões denominadas de razões trigonométricas recíprocas, que são elas:
Vale salientar que a cossecante, dada na figura anterior por  é a inversa do seno, ou seja, ela é a razão entre a hipotenusa e o lado
oposto ao ângulo α.
A secante é a inversa do cosseno, ou seja, ela é a razão entre a hipotenusa e o lado adjacente ao ângulo α.
Finalmente, a cotangente é a inversa da tangente, ou seja, a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto de um ângulo α.
TEMA 4 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
A partir da relação fundamental e das outras estudadas podemos resumir algumas relações básicas, considerando as condições de
existência de cada relação. Se  e , temos as  seguintes relações trigonométricas básicas:
1   .
2  
3
 ou 
4
5
6  
7
4.1 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TIPO SEN  = SEN
Se o seno de dois ângulos  forem iguais, então suas imagens estão em uma reta perpendicular ao eixo y. Logo, podemos
concluir que os ângulos são côngruos ou suplementares.
Assim, para ,  podemos ter duas soluções, considerando  no primeiro quadrante:
ou
4.2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TIPO COS  = COS
Se o cosseno de dois ângulos  forem iguais, então suas imagens estão em uma reta perpendicular ao eixo x. Logo, podemos
ter duas soluções, considerando  no primeiro quadrante.
ou
4.2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TIPO TG  = TG
Se a tangente de dois ângulos  forem iguais, então suas imagens estão sobre o eixo das tangentes. Assim, se 
 então:
ou
É muito comum a solução com meia volta:
TEMA 5 – RELAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Vamos verificar as transformações de arcos para seno, considerando a e b como ângulos dados:
1. 
2. 
3. 
Vamos verificar as transformações de arcos para cosseno, considerando a e b como ângulos dados:
4. 
5. 
6.    – 
Agora vamos verificar as transformações de arcos para tangente, considerando a e b como ângulos dados:
7. 
8. 
9. 
O estudante deve assimilar e compreender essas 9 propriedades de transformações de arcos.
NA PRÁTICA
Vamos calcular cos15°. O arco de 15° é a diferença entre 45° e 30°. Então podemos resolver da seguinte maneira:
 =
Note que os valores de sen75° e cos 15° deram o mesmo resultado. Isso aconteceu porque os ângulos são complementares.
REFERÊNCIAS
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. Boston: Addison Wesley, 2009.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Pinheiros: Atual, 1993. v. 9 e v. 10.
IEZZI, G. Coleção Fundamentos de Matemática. Pinheiros (SP): Atual, 1993. v. 3.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção Fundamentos de Matemática elementar. Pinheiros: Atual, 1993. v. 2.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 2014.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015.
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.