FuncaoComplexa-1

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<p>Apresentação</p><p>O presente texto</p><p>onstitui um resumo do</p><p>onteúdo da dis</p><p>iplina Funções de uma</p><p>Variável Complexa do Curso de Li</p><p>en</p><p>iatura em Matemáti</p><p>a a Distân</p><p>ia, ofere</p><p>ido pela</p><p>Universidade Federal da Bahia através do sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB,</p><p>da Diretoria de Edu</p><p>ação a Distân</p><p>ia da Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de</p><p>Pessoal de Nível Superior - CAPES, do Ministério da Edu</p><p>ação - MEC.</p><p>Esse material didáti</p><p>o é de autoria do professor Joseph Nee Anyah Yartey e será</p><p>utilizado</p><p>omo apoio nos estudos da dis</p><p>iplina Funções de uma Variável Complexa.</p><p>Salvador, 15 de junho de 2013</p><p>Coordenação do Curso de Li</p><p>en</p><p>iatura em Matemáti</p><p>a a Distân</p><p>ia</p><p>da Universidade Federal da Bahia</p><p>Introdução</p><p>O</p><p>onjunto dos números reais possuem muitas propriedades interessantes. Exis-</p><p>tem operações,</p><p>omo adição, subtração, multipli</p><p>ação, bem</p><p>omo a divisão por qualquer</p><p>número real diferente zero. Também podemos fazer o</p><p>ál</p><p>ulo diferen</p><p>ial e integral em R</p><p>Mas R tem uma de�</p><p>iên</p><p>ia bási</p><p>a, não podemos en</p><p>ontrar em R as raízes da equação</p><p>x2 + 1 = 0 (A).</p><p>Vamos mostrar que quando os números reais são estendidos para uma novo sistema</p><p>hamado de números</p><p>omplexos, denotado por C, não só ganhamos outras propriedades</p><p>interessantes, mas nós não perdemos qualquer uma das propriedades de R. Além disso</p><p>podemos en</p><p>ontrar uma raiz da equação (A) em C.</p><p>A ideia prin</p><p>ipal que permitiu a formação dos números</p><p>omplexos foi a introdução</p><p>do símbolo i, que satisfaz a equação i2 = −1.</p><p>1</p><p>Sumário</p><p>Aula 1: Números Complexos - Forma Algébri</p><p>a</p><p>Aula 2: Forma trigonométri</p><p>a ou polar de um número</p><p>omplexo</p><p>Aula 3: Algumas Noções topológi</p><p>as em C</p><p>Aula 4: Funções Complexas</p><p>Aula 5: Limites, Continuidade e Derivação de Funções em C</p><p>Aula 6: Integração em C</p><p>Aula 7: Teorema de Cau</p><p>hy</p><p>Aula 8: Series de Taylor e de Laurent</p><p>Aula 9: Teoria dos Resíduos</p><p>Referên</p><p>ias</p><p>[1℄ Geraldo Ávila - Variáveis Complexas e Apli</p><p>ações, LTC (2008)</p><p>[2℄ Mar</p><p>io Gomes Soares - Cál</p><p>ulo em uma Varíavel Complexa, Coleção Matemáti</p><p>a</p><p>Universitária, IMPA (2007)</p><p>[3℄ Chur</p><p>hill R.V. - Variáveis Complexas e Apli</p><p>ações, EDUSP/M</p><p>Graw-Hill (1975)</p><p>2</p><p>Aula 1 - Números Complexos - Forma</p><p>Algébri</p><p>a</p><p>Introdução aos Números Complexos</p><p>De�nição 1. O</p><p>onjunto dos números</p><p>omplexos denotado por C, pode ser de�nido</p><p>omo pares de números reais:</p><p>C = {(x, y) : x, y ∈ R}</p><p>munido</p><p>om a operação de soma</p><p>(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>e de produto</p><p>(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).</p><p>Observação 1. Identi�</p><p>ando x ∈ R</p><p>om (x, 0), então R ⊂ C. Assim, podemos pensar</p><p>os números reais, sendo in</p><p>orporados em C</p><p>omo os números</p><p>omplexos</p><p>uja segunda</p><p>oordenada é zero.</p><p>Teorema 1. (C, +, ·) é um</p><p>orpo, ou seja,</p><p>(1) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ C temos a</p><p>omutatividade da soma, isto é</p><p>(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)</p><p>(2) ∀ (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ C temos a asso</p><p>iatividade da soma, isto é</p><p>(</p><p>(x1, y1) + (x2, y2)</p><p>)</p><p>+ (x3, y3) = (x1, y1) +</p><p>(</p><p>(x2, y2) + (x3, y3)</p><p>)</p><p>3</p><p>(3) ∀ (x, y) ∈ C : (x, y) + (0, 0) = (x, y)</p><p>(0, 0) é</p><p>hamado o elemento neutro da soma.</p><p>(4) ∀ (x, y) ∈ C : (x, y) + (−x, −y) = (0, 0)</p><p>(−x,−y) é</p><p>hamado o inverso additivo de (x, y).</p><p>(5) ∀ (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ C temos a distributividade da multipli</p><p>ação, isto é</p><p>(x1, y1) ·</p><p>(</p><p>(x2, y2) + (x3, y3)</p><p>)</p><p>= (x1, y1) · (x2, y2) + (x1, y1) · (x3, y3)</p><p>(6) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ C temos a</p><p>omutatividade da multipli</p><p>ação, isto é</p><p>(x1, y1) · (x2, y2) = (x2, y2) · (x1, y1)</p><p>(7) ∀ (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ C temos a asso</p><p>iatividade da multipli</p><p>ação, isto é</p><p>(</p><p>(x1, y1) · (x2, y2)</p><p>)</p><p>· (x3, y3) = (x1, y1) ·</p><p>(</p><p>(x2, y2) · (x3, y3)</p><p>)</p><p>(8) ∀ (x, y) ∈ C : (x, y) · (1, 0) = (x, y)</p><p>(1, 0) é</p><p>hamado o elemento neutro da multipli</p><p>ação.</p><p>(9) ∀ (x, y) ∈ C\{(0, 0)} : (x, y) ·</p><p>(</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>= (1, 0)</p><p>(</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>é</p><p>hamado o inverso multipli</p><p>ativo de (x, y).</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io �</p><p>Observação 2. Usualmente denotamos um número</p><p>omplexo (x, y) por z ou w ou ζ .</p><p>Forma Algébri</p><p>a de um Número Complexo</p><p>Pela de�nição de multipli</p><p>ação dos números</p><p>omplexos temos</p><p>(a, 0) · (x, y) =</p><p>(</p><p>a · x− 0 · y, 0 · x+ a · y</p><p>)</p><p>= (ax, ay).</p><p>Assim podemos es</p><p>rever qualquer número</p><p>omplexo z = (x, y) na seguinte forma:</p><p>z = (x, y) = (x, 0) + (0, y)</p><p>= (x, 0) + (y, 0) · (0, 1)</p><p>= x+ y(0, 1) pela observação 1</p><p>4</p><p>Se denotamos (0, 1) por i, temos então que</p><p>z = (x, y) = x+ iy</p><p>sendo</p><p>i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) =</p><p>(</p><p>0 · 0− 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1</p><p>)</p><p>= (−1, 0) = −1,</p><p>De�nição 2. Dizemos que um número</p><p>omplexo z esta na forma algébri</p><p>a se</p><p>z = x+ iy, i2 = −1</p><p>Chamamos x a parte real de z e denotamos por ℜ(z) ou Re(z) e y a parte imaginária</p><p>de z e denotado por ℑ(z) ou Im(z).</p><p>Dizemos que</p><p>• z ∈ C é real se e somente se Im(z) = 0</p><p>• z ∈ C é imaginário puro se e somente se Re(z) = 0.</p><p>Observação 3. Podemos veri�</p><p>ar que as de�nições de soma e produto de números</p><p>om-</p><p>plexos, além do Teorema 1, são</p><p>oerentes</p><p>om as regras usuais da aritméti</p><p>a dos números</p><p>reais se pensamos os números</p><p>omplexos, na forma x+ iy.</p><p>De�nição 3. Dois números</p><p>omplexos dizem-se iguais se e somente se tem a mesma</p><p>parte real e a mesma parte imaginária, i.e.</p><p>a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇔ a1 = a2 e b1 = b2</p><p>Exemplo 1.</p><p>(1) Se z1 = 2 + 3i e z2 = −3 − 4i,</p><p>al</p><p>ule z1 + 3z2, −4z1 − z2, z1z2.</p><p>(2) Determine x, y ∈ R tal que 3x+ 2iy − ix+ 5y = 7 + 5i.</p><p>Resolução.</p><p>(1) • z1 + 3z2 = (2 + 3i) + 3(−3− 4i) = (2− 9) + (3− 12)i = −7− 9i</p><p>5</p><p>• −4z1 − z2 = −4(2 + 3i)− (−3− 4i) = (−8 + 3) + (−12 + 4)i = −5− 8i</p><p>• z1z2 = (2 + 3i)(−3− 4i) = (−6 − 12i2) + (−8− 9)i = 6− 17i</p><p>(2) Observe que 3x+ 2iy − ix+ 5y = (3x+ 5y) + (2y − x)i</p><p>Portanto 3x + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i, se as partes reais são iguais e as partes</p><p>imaginárias também são iguais. Ou seja</p><p></p><p></p><p></p><p>3x+ 5y = 7</p><p>2y − x = 5</p><p>Resolvendo en</p><p>ontramos x = −1 e y = 2.</p><p>Representação Geométri</p><p>a de números</p><p>omplexos na forma</p><p>Algébri</p><p>a.</p><p>A representação geométri</p><p>a de z = x+ iy ∈ C é igual a de R2, isto é, pelo ponto do plano</p><p>P = (x, y). O eixo das abs</p><p>issas é dito eixo real e o das ordenadas, eixo imaginário.</p><p>A representação de C</p><p>omo pontos em R2</p><p>é</p><p>hamada de plano de Argand-Gauss.</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>z = x+ iy</p><p>z + w</p><p>w = a+ ib</p><p>x = Re z</p><p>y = Im z</p><p>Figura 1: Representação geométri</p><p>a de z, w e z + w</p><p>6</p><p>Conjugado e Modulo de um</p><p>omplexo</p><p>De�nição 4.</p><p>(1) Dado z = x + iy, designa-se por</p><p>onjugado de z, ao número</p><p>omplexo z = x − iy,</p><p>i.e, é uma simetria do ponto z em relação ao eixo dos x (ver Figura 2).</p><p>(2) Dado z = x+ iy, designa-se por módulo de z, ao número real não negativo</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>x2 + y2 (ver Figura 2).</p><p>b</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>z = x− iy</p><p>z = x+ iy</p><p>|z|</p><p>Figura 2: Representação geométri</p><p>a de z e |z|</p><p>Lema 1. Para qualquer z ∈ C, temos que</p><p>zz = |z|2</p><p>Demonstração. Seja z = x+ iy. Então z = x− iy. Portanto</p><p>zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − ixy + ixy − i2y2 = x2 + y2 = |z|2</p><p>�</p><p>7</p><p>Divisão de Números Complexos</p><p>Vimos na Teorema 1, que dado um número</p><p>omplexo z = (x, y) ∈ C\{(0, 0)}, o seu</p><p>inverso multipli</p><p>ativo é dado por</p><p>z−1 =</p><p>(</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>Rees</p><p>revendo z−1</p><p>na forma algébri</p><p>a temos</p><p>z−1 =</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>+ i</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>x− iy</p><p>x2 + y2</p><p>ou seja</p><p>z−1 =</p><p>z</p><p>|z|2</p><p>Portanto pelo Lema 1, temos que para z 6= 0</p><p>z−1 =</p><p>1</p><p>z</p><p>=</p><p>z</p><p>|z|2 (1.1)</p><p>A expressão (1.1) permite fazer a divisão de dois números</p><p>omplexos. Dados z,w ∈ C,</p><p>om w 6= 0 temos que</p><p>z</p><p>w</p><p>= z</p><p>(</p><p>1</p><p>w</p><p>)</p><p>= z</p><p>(</p><p>w</p><p>|w|2</p><p>)</p><p>=</p><p>z · w</p><p>|w|2 =</p><p>z · w</p><p>w · w</p><p>Portanto para efetuar a divisão de 2 números</p><p>omplexos, basta multipli</p><p>ar o numerador</p><p>e o denominador pelo</p><p>onjugado do denominador e simpli�</p><p>ar ao máximo o resultado.</p><p>Exemplo 2. Expresse na forma algébri</p><p>a</p><p>(1) (</p><p>√</p><p>3− 2i)− i[2− i(</p><p>√</p><p>3 + 4)] (2) (3i− 1)</p><p>(</p><p>i</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>(3)</p><p>1</p><p>4− 3i</p><p>(4)</p><p>(</p><p>3− i</p><p>−1 + 2i</p><p>)</p><p>(5)</p><p>i3 + i2 + i17 − i35</p><p>i16 − i13 + i30</p><p>(6)</p><p>(2− i)2</p><p>3 + i</p><p>Resolução.</p><p>8</p><p>(1) (</p><p>√</p><p>3− 2i)− i[2− i(</p><p>√</p><p>3 + 4)] = (</p><p>√</p><p>3− 2i)− 2i+ (</p><p>√</p><p>3 + 4)</p><p>= (</p><p>√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>3 + 4)− 2i− 2i</p><p>= (2</p><p>√</p><p>3 + 4)− 4i</p><p>(2) (3i− 1)</p><p>(</p><p>i</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>−3</p><p>2</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>i</p><p>=</p><p>(</p><p>−11</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>)</p><p>= −11</p><p>6</p><p>− 1</p><p>2</p><p>i</p><p>(3)</p><p>1</p><p>4− 3i</p><p>− 1</p><p>eiz</p><p>= −eiz − 1</p><p>eiz</p><p>⇔ 2eiz = 0</p><p>Portanto a equação não possui solução pois ez 6= 0 para todo z ∈ C.</p><p>(e)</p><p>2 sinh z + cosh z = 2i ⇔ 2</p><p>(</p><p>ez − e−z</p><p>2</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>ez + e−z</p><p>2</p><p>)</p><p>= 2i</p><p>⇔ 2ez − 2</p><p>ez</p><p>+ ez +</p><p>1</p><p>ez</p><p>= 4i</p><p>⇔ 3(ez)2 − 4iez − 1 = 0</p><p>Resolvendo por ez temos que</p><p>ez =</p><p>4i±</p><p>√</p><p>−16 + 12</p><p>6</p><p>=</p><p>4i± 2i</p><p>6</p><p>=</p><p>2i± i</p><p>3</p><p>• ez =</p><p>2i+ i</p><p>3</p><p>= i ⇔ z = log(i) = ln 1 + i</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>)</p><p>, k ∈ Z</p><p>Portanto z = i</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>)</p><p>, k ∈ Z</p><p>• ez =</p><p>2i− i</p><p>3</p><p>=</p><p>i</p><p>3</p><p>⇔ z = log</p><p>(</p><p>i</p><p>3</p><p>)</p><p>= ln</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>)</p><p>, k ∈ Z</p><p>Portanto z = − ln 3 + i</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>)</p><p>, k ∈ Z</p><p>81</p><p>(f)</p><p>cosh z = −2ez ⇔ ez + e−z</p><p>2</p><p>= −2ez</p><p>⇔ ez +</p><p>1</p><p>ez</p><p>= −4ez</p><p>⇔ 5e2z + 1 = 0</p><p>⇔ e2z = −1</p><p>5</p><p>⇔ 2z = log</p><p>(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)</p><p>= ln</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−1</p><p>5</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+ i arg</p><p>(</p><p>−1</p><p>5</p><p>)</p><p>⇔ 2z = − ln 5 + i(π + 2kπ), k ∈ Z</p><p>⇔ z = −1</p><p>2</p><p>ln 5 +</p><p>(2k + 1)πi</p><p>2</p><p>, k ∈ Z</p><p>(3) Mostre que</p><p></p><p></p><p></p><p>cosh z = 0 ⇔ z =</p><p>(2k + 1)πi</p><p>2</p><p>sinh z = 0 ⇔ z = kπi</p><p>para algum k ∈ Z</p><p>Resolução</p><p>cosh z = 0 ⇔ ez + e−z</p><p>2</p><p>= 0</p><p>⇔ ez +</p><p>1</p><p>ez</p><p>= 0</p><p>⇔ e2z + 1 = 0</p><p>⇔ e2z = −1</p><p>⇔ 2z = log(−1) = ln | − 1|+ i arg(−1)</p><p>⇔ 2z = 0 + i(π + 2kπ), k ∈ Z</p><p>⇔ z =</p><p>(2k + 1)πi</p><p>2</p><p>, k ∈ Z</p><p>Agora</p><p>sinh z = 0 ⇔ ez − e−z</p><p>2</p><p>= 0</p><p>⇔ ez − 1</p><p>ez</p><p>= 0</p><p>⇔ e2z − 1 = 0</p><p>⇔ e2z = 1</p><p>⇔ 2z = log(1) = ln |1|+ i arg(1)</p><p>⇔ 2z = 0 + i(0 + 2kπ), k ∈ Z</p><p>⇔ z = kπi, k ∈ Z</p><p>82</p><p>(4) Demonstre as seguintes relações entre as funções trigonométri</p><p>as</p><p>ir</p><p>ulares e hiper-</p><p>bóli</p><p>as</p><p>(a) sen (iz) = i sinh z (b) sinh(iz) = i sen z</p><p>(c) cos (iz) = cosh z (d) cosh(iz) = cos z</p><p>Resolução</p><p>(a)</p><p>sen (iz) =</p><p>ei(iz) − e−i(iz)</p><p>2i</p><p>=</p><p>e−z − ez</p><p>2i</p><p>=</p><p>i(ez − e−z)</p><p>2</p><p>= i sinh(z)</p><p>(b)</p><p>sinh(iz) =</p><p>eiz − e−iz</p><p>2</p><p>=</p><p>i(ez − e−z)</p><p>2i</p><p>= i sen (z)</p><p>(</p><p>)</p><p>cos (iz) =</p><p>ei(iz) + e−i(iz)</p><p>2i</p><p>=</p><p>e−z + ez</p><p>2</p><p>= cosh(z)</p><p>(d)</p><p>cosh(iz) =</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>= cos (z)</p><p>(5) Determine o modulo e argumento de e4z</p><p>2−iz</p><p>Resolução</p><p>Seja z = x+ iy. Então</p><p>4z2 − iz = 4(x+ iy)2 − i(x+ iy)</p><p>= 4(x2 − y2 + 2xyi)− ix+ y</p><p>= (4x2 − 4y2 + y) + i(8xy − x)</p><p>Logo</p><p>e4z</p><p>2−iz = e4x</p><p>2−4y2+y · ei(8xy−x)</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>e4z</p><p>2−iz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>= e4x</p><p>2−4y2+y</p><p>e arg</p><p>(</p><p>4z2 − iz</p><p>)</p><p>= 8xy − x</p><p>83</p><p>(6) Cal</p><p>ule cos (π + i)</p><p>Resolução</p><p>cos (π + i) =</p><p>ei(π+i) + e−i(π+i)</p><p>2</p><p>=</p><p>eiπ · e−1 + e−iπ · e1</p><p>2</p><p>=</p><p>e−1( cos π + i sen π) + e( cos π − i sen π)</p><p>2</p><p>=</p><p>−e−1 + e</p><p>2</p><p>=</p><p>e2 − 1</p><p>2</p><p>(7) Cal</p><p>ule os valores de |(1 + i)i−1| e |(−i)2+i|, usando o ramo prin</p><p>ipal da função</p><p>potên</p><p>ia.</p><p>Resolução</p><p>(1 + i)i−1 = e(i−1) log(1+i)</p><p>Mas,</p><p>log(1 + i) = ln(|1 + i|) + i arg(1 + i)</p><p>= ln(</p><p>√</p><p>2) +</p><p>π</p><p>4</p><p>i</p><p>Logo</p><p>(1 + i)i−1 = ei ln</p><p>√</p><p>2 · eiπ/4 · e−π/4 · e− ln</p><p>√</p><p>2</p><p>= e−(ln</p><p>√</p><p>2+π/4)</p><p>(</p><p>cos (ln</p><p>√</p><p>2 + π/4) + i sen (ln</p><p>√</p><p>2 + π/4)</p><p>)</p><p>Portanto |(1 + i)i−1| = e−(ln</p><p>√</p><p>2+π/4).</p><p>Agora</p><p>(−i)2+i = e(2+i) log(−i)</p><p>Mas,</p><p>log(−i) = ln(| − i|) + i arg(−i)</p><p>= ln(0) +</p><p>3π</p><p>2</p><p>i =</p><p>3π</p><p>2</p><p>i</p><p>84</p><p>Logo</p><p>(−i)2+i = e3iπ/2</p><p>=</p><p>(</p><p>cos (3π/4) + i sen (3π/4)</p><p>)</p><p>= −</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>+ i</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>Portanto |(−i)2+i| = 1.</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Coloque na forma exponen</p><p>ial as seguintes números</p><p>omplexo</p><p>(a) − 1− i</p><p>√</p><p>3 (b) 2</p><p>(</p><p>cos</p><p>π</p><p>3</p><p>+ i cos</p><p>π</p><p>3</p><p>)</p><p>(c)</p><p>1 + cos α + i sen α</p><p>1 + cos α− i sen α</p><p>(2) Resolva as seguintes equações deixando sua respostas na forma exponen</p><p>ial:</p><p>(a) z5 = 4− 4i (b) z3 = 8 (c) 1 + 3z + 3z2 + z3 = 4</p><p>√</p><p>2ei7π/2(eiπ/2 + e−i3π)</p><p>(3) En</p><p>ontre as partes real e imaginaria das seguintes funções:</p><p>(a) f1(z) = z2e2z (b) f2(z) = z cosh(z)</p><p>(4) En</p><p>ontre todas as soluções das equações:</p><p>(a) ez = 1 + i (b) e2z + ez + 1 = 0 (c) sen z = 3i (d) tg z = −i</p><p>(e) iz = 2</p><p>(5) Expresse na forma a + bi, a, b ∈ R.</p><p>(a) arcsen(5) (b) (1 + i)</p><p>√</p><p>3i (c) ii</p><p>(d) cos</p><p>(π</p><p>3</p><p>− i</p><p>)</p><p>(e) arctg(2i) (f) arccos(i)</p><p>(6) Se z = x+ iy, para que valores de x e y todos os valores de 1z são reais?</p><p>85</p><p>(7) Considere a transformação</p><p>z 7→ w = z2 + z − 3,</p><p>onde</p><p>omo usual z = x+ iy e w = u+ iv.</p><p>(a) Pela transformação, quais pontos no plano z são levado para v = c no plano</p><p>w (para</p><p>um</p><p>onstante real não-nulo)?</p><p>(b) Determine a imagem da reta Re(z) = k ( para k</p><p>onstante real não nulo)</p><p>pela transformação.</p><p>(</p><p>) Esbo</p><p>e seus resultados de (a) e (b) para c = 1 e k = 0, respe</p><p>tivamente.</p><p>(8) Des</p><p>ribe a imagem de {z : |z−i| 0 existir δ > 0 tal que</p><p>z ∈ D; 0 0.</p><p>• Como g é</p><p>ontínua em w0 então existe η > 0 tal que</p><p>f(z) ∈ D2; |f(z)− w0| 0 tal que</p><p>z ∈ D1; |z − z0|</p><p>Para este pontos temos</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>h</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h1→0</p><p>h2=0</p><p>h1 + ih2</p><p>h1 + ih2</p><p>= lim</p><p>h1→0</p><p>h1</p><p>h1</p><p>= 1</p><p>• agora fazemos h = h1 + ih2 tende para 0 ao longo do eixo imaginário, isto é</p><p>h = 0 + ih2 → 0. Para este pontos temos</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>h</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h2→0</p><p>h1=0</p><p>h1 + ih2</p><p>h1 + ih2</p><p>= lim</p><p>h2→0</p><p>−ih2</p><p>ih2</p><p>= −1</p><p>Como o valor do limite depende o</p><p>aminho,</p><p>on</p><p>luímos que f(z) = z não é diferen</p><p>iável</p><p>para z0 ∈ C.</p><p>Proposição 7. Se f : D −→ C é diferen</p><p>iável em z0 ∈ C então f é</p><p>ontinua em z0.</p><p>Demonstração. De fato para z 6= z0, então</p><p>f(z) =</p><p>(f(z)− f(z0)</p><p>z − z0</p><p>)</p><p>(z − z0) + f(z0).</p><p>Usando os propriedades de limites e o fato que f ′(z0) existe, temos que f(z) → f(z0)</p><p>quando z → z0, portanto f é</p><p>ontinua em z0. �</p><p>De�nição 22. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo. Uma função f : D −→ C é</p><p>hamada de</p><p>função holomorfa ou analíti</p><p>a em D se for diferen</p><p>iável em todos os pontos de D.</p><p>De�nição 23. Se uma função f : C −→ C é holomorfa em todo ponto de C, dizemos</p><p>que f é inteira.</p><p>90</p><p>Proposição 8. Sejam D ⊂ C um aberto e f , g : D −→ C funções holomorfas. Então</p><p>(a) f + g é holomorfa e (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0) ∀z0 ∈ D</p><p>(b) f · g é holomorfa e (f · g)′(z0) = f(z0)g</p><p>′(z0) + f ′(z0)g(z0) ∀z0 ∈ D</p><p>(</p><p>)</p><p>f</p><p>g</p><p>é holomorfa, desde que g(z0) 6= 0 ∀z0 ∈ D e</p><p>(</p><p>f</p><p>g</p><p>)′</p><p>(z0) =</p><p>g(z0)f</p><p>′(z0)− f(z0)g</p><p>′(z0)</p><p>g2(z0)</p><p>∀z0 ∈ D.</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io �</p><p>Proposição 9. Sejam D1, D2 ⊂ C abertos. Sejam f : D1 −→ C e g : D2 −→ C funções</p><p>holomorfas tal que f(D1) ⊂ D2. Se h = g ◦ f então h é holomorfa e</p><p>h′(z0) = g′(f(z0)) · f ′(z0), ∀z0 ∈ D1.</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io �</p><p>Equações de Cau</p><p>hy-Riemann</p><p>Questão: Suponha que f(z) = u(z) + iv(z). Quais são as</p><p>ondições sobre u = u(z) =</p><p>u(x, y) e v = v(z) = v(x, y) para que f seja holomorfa?</p><p>Resposta: f deve ser diferen</p><p>iável em z0. Isto signi�</p><p>a que</p><p>lim</p><p>z→z0</p><p>f(z)− f(z0)</p><p>z − z0</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>f(z0 + h)− f(h)</p><p>h</p><p>(∗)</p><p>existe. (Em parti</p><p>ular, o valor do limite é independente do</p><p>aminho em que h → 0.)</p><p>• Seja h = h1 + 0i, ou seja h é real então (∗) �</p><p>ará</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>f(z0 + h)− f(h)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h1→0</p><p>u(x+ h1, y)− u(x, y)</p><p>h1</p><p>+ i lim</p><p>h1→0</p><p>v(x+ h1, y)− v(x, y)</p><p>h1</p><p>=</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ i</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>91</p><p>• Seja h = 0 + h2i, ou seja h é puramente imaginário então (∗) �</p><p>ará</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>f(z0 + h)− f(h)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h2→0</p><p>u(x, y + h2)− u(x, y)</p><p>ih2</p><p>+ i lim</p><p>h1→0</p><p>v(x, y + h2)− v(x, y)</p><p>ih2</p><p>=</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>− i</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>Como ambas as expressões são de f ′(z0), igualando os partes reais e imaginarias obtemos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)</p><p>e</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = −∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)</p><p>Estes</p><p>ondições são</p><p>onhe</p><p>idas por as Equações de Cau</p><p>hy-Riemann.</p><p>Teorema 4. Se f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y) é holomorfa em z0, então as</p><p>equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas em z0 = x0 + iy0; ou seja, se f ′(z0) existe,</p><p>então</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) e</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = −∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0).</p><p>Além disso</p><p>f ′(z0) =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) + i</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0)</p><p>e</p><p>f ′(z0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)− i</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0).</p><p>Corolário 3. Considere f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y). Se as equações de</p><p>Cau</p><p>hy-Riemann não são satisfeitas por f em (x0, y0), então f não é holomorfa em z0.</p><p>Exemplo 35. Seja f(z) = z = x− iy, portanto</p><p>u(x, y) = x e v(x, y) = −y.</p><p>Temos que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>= 1,</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= −1</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= 0,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>Como as equações de Cau</p><p>hy-Riemann não são satisfeitas para qualquer z0,</p><p>on</p><p>luímos</p><p>que f é não holomorfa.</p><p>92</p><p>Exemplo 36. Seja f(z) = |z|2 = x2 + y2, portanto</p><p>u(x, y) = x2 + y2 e v(x, y) = 0.</p><p>Temos que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = 2x0,</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = 0</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = 0,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = 2y0</p><p>As equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas somente em z0 = (x0, y0) = (0, 0). Como</p><p>as equações de Cau</p><p>hy-Riemann não são satisfeitas em z0 6= 0,</p><p>on</p><p>luímos que f não é</p><p>diferen</p><p>iável em z0 ∈ C\{0}. Portanto f não é holomorfa em 0.</p><p>Teorema 5. Seja D ⊂ C aberto e f : D −→ C. Se as Equações de Cau</p><p>hy-Riemann</p><p>são satisfeitas em z0 = x0 + iy0, ou seja</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) e</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = −∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0)</p><p>e se</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>,</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>existem em D e são todas</p><p>ontinuas em z0, então f é holomorfa em z0.</p><p>Exemplo 37. Mostre que a função f(z) = ez é inteira e f ′(z) = ez.</p><p>Resolução. Sejam z = x+ iy, então f(z) = ez = ex cos y + iex sen y. Portanto</p><p>u(x, y) = ex cos y e v(x, y) = ex sen y.</p><p>Temos que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = ex0 cos y0,</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = ex0 cos y0</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = ex0 sen y0,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = −ex0 sen y0.</p><p>Observamos também que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(z),</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(z),</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(z),</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(z)</p><p>existem para todo z ∈ C e são</p><p>ontínuas em z0. Como as equações de Cau</p><p>hy-Riemann</p><p>são satisfeitas para todo z0 ∈ C,</p><p>on</p><p>luímos da Teorema 5 que f(z) = ez é holomorfa</p><p>93</p><p>para todo z0 ∈ C, portanto ez é inteira.</p><p>Pelo Teorema 4, temos que</p><p>f ′(z0) =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) + i</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = ex0 cos y0 + iex0 sen y0 = ez0 .</p><p>Exemplo 38. Mostre que a funções sen z e cos z são inteiras e</p><p>d</p><p>dz</p><p>sen z = cos z e</p><p>d</p><p>dz</p><p>cos z = − sen z.</p><p>Resolução. Como eiz e e−iz</p><p>são funções inteiras, as funções sen z =</p><p>eiz − e−iz</p><p>2i</p><p>e</p><p>cos z =</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>são também inteiras pelo Proposição 8 e</p><p>d</p><p>dz</p><p>sen z =</p><p>d</p><p>dz</p><p>(</p><p>eiz − e−iz</p><p>2i</p><p>)</p><p>=</p><p>ieiz + ie−iz</p><p>2i</p><p>=</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>= cos z</p><p>d</p><p>dz</p><p>cos z =</p><p>d</p><p>dz</p><p>(</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>ieiz − ie−iz</p><p>2</p><p>= −eiz − e−iz</p><p>2i</p><p>= − sen z</p><p>Apli</p><p>ações das equações de Cau</p><p>hy-Riemann</p><p>Exemplo 39. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo. Se f : D −→ C é holomorfa,</p><p>om Re(f)</p><p>onstante então f é</p><p>onstante em D.</p><p>Resolução. Seja z0 = (x0, y0) ∈ D arbitrário e f(z) = u(z) + iv(z).</p><p>Como u(z) =</p><p>onstante temos que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = 0 e</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = 0.</p><p>Mas f é holomorfa em D, então as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas em D.</p><p>Logo</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = 0 e</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = 0.</p><p>Pelo Teorema 4, temos que</p><p>f ′(z0) =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) + i</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = 0.</p><p>Como z0 é arbitrário temos que f ′(z) = 0 ∀z ∈ D. Mas D é um aberto,</p><p>onexo, logo f é</p><p>onstante em D.</p><p>94</p><p>Exemplo 40. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo. Se f : D −→ C é holomorfa,</p><p>om Im(f)</p><p>onstante então f é</p><p>onstante em D.</p><p>Resolução. Segue da mesma maneira do exemplo anterior.</p><p>Exemplo 41. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo. Se f : D −→ C é holomorfa,</p><p>om |f |</p><p>onstante então f é</p><p>onstante em D.</p><p>Resolução. Seja z0 = (x0, y0) ∈ D arbitrário e f(z) = u(z) + iv(z).</p><p>Então |f |2 = u2 + v2 = C, C é uma</p><p>onstante. Derivando em relação ao x e y obtemos</p><p>respe</p><p>tivamente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2u</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ 2v</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= 0</p><p>2u</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>+ 2v</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>Rees</p><p>revendo as equações a</p><p>ima usando as equações de Cau</p><p>hy-Riemann temos que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2u</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>− 2v</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>2v</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ 2u</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>que é equivalente a</p><p></p><p></p><p>u −v</p><p>v u</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p></p><p> (∗)</p><p>Observe que</p><p>det</p><p></p><p></p><p>u −v</p><p>v u</p><p></p><p> = u2 + v2 = C</p><p>• Se C > 0, então (∗) tem a úni</p><p>a solução</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>= 0 e</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0,</p><p>ou seja a parte real de f é</p><p>onstante. Logo da Exemplo 33, f é</p><p>onstante em D.</p><p>• Se C = 0, então u = v = 0, portanto f = 0 em D.</p><p>95</p><p>(6) Funções Harm�ni</p><p>as</p><p>Suponha que f(z) = u(z)+iv(z) é holomorfa um aberto</p><p>onexoD ⊂ C. Então as equações</p><p>de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas em D. Mais pre</p><p>isamente</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) e</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = −∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) (CR)</p><p>para todo z0 = x0 + iy0 ∈ D.</p><p>Suponha agora que as funções</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>,</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>,</p><p>∂2v</p><p>∂x∂y</p><p>,</p><p>∂2v</p><p>∂y∂x</p><p>existem em D e são</p><p>ontinuas</p><p>então</p><p>∂2v</p><p>∂x∂y</p><p>=</p><p>∂2v</p><p>∂y∂x</p><p>.</p><p>Derivando par</p><p>ialmente a 1</p><p>a</p><p>equação de (CR)</p><p>om relação a x e a 2</p><p>a</p><p>equação</p><p>om relação</p><p>a y temos</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂2v</p><p>∂x∂y</p><p>(x0, y0) e</p><p>∂2v</p><p>∂y∂x</p><p>(x0, y0) = −∂2u</p><p>∂y2</p><p>(x0, y0)</p><p>Portanto</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>(x0, y0) +</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂2v</p><p>∂x∂y</p><p>(x0, y0)−</p><p>∂2v</p><p>∂y∂x</p><p>(x0, y0) = 0</p><p>Então u satisfaz a equação da Lapla</p><p>e</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>(x0, y0) +</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>(x0, y0) = 0 ∀z0 ∈ D.</p><p>De�nição 24. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo. Dizemos que a função u : D −→ R é</p><p>harm�ni</p><p>a se uxx, uyy, uxy e uyx são</p><p>ontinuas em D e u satisfaz a equação de Lapla</p><p>e</p><p>em D.</p><p>Exemplo 42. Suponha que u : C −→ R dado por u(z) = u(x, y) = x3 − 3xy2 + y.</p><p>Mostre</p><p>que u é harm�ni</p><p>a em C, e determine uma função analíti</p><p>a f : C −→ C</p><p>om</p><p>Ref(z) = u(z).</p><p>Resolução. Para mostrar que u é harm�ni</p><p>a em C, pre</p><p>isamos mostrar que (i) uxx, uyy, uxy</p><p>e uyx são</p><p>ontinuas e (ii) uxx + uyy = 0. Agora</p><p>ux = 3x2 − 3y2 então uxx = 6x e uyx = −6y</p><p>e</p><p>uy = −6xy + 1 então uyy = −6x e uxy = −6y</p><p>96</p><p>De fato, uxx, uyy, uxy e uyx são</p><p>ontinuas e</p><p>uxx + uyy = 6x− 6x = 0</p><p>Portanto u é harm�ni</p><p>a em C.</p><p>Para en</p><p>ontrar uma função analíti</p><p>a f</p><p>om Ref(z) = u(z) signi�</p><p>a devemos en</p><p>ontrar</p><p>v(z) tal que f(z) = u(z) + iv(z) é analíti</p><p>a em C. Observe que a função v(z)</p><p>hama-se</p><p>�</p><p>onjugada harm�ni</p><p>a� de u(z). Como f é analíti</p><p>a, sabemos que u e v deve satisfazer as</p><p>equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = 3x2 − 3y2 (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = 6xy − 1 (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = 3x2y − y3 + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = 6xy + h′(x) (4)</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = −1 que impli</p><p>a que h(x) = −x+ C. Logo</p><p>v(x, y) = 3x2y − y3 − x+ C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)</p><p>= x3 − 3xy2 + y + i(3x2y − y3 − x+ C))</p><p>= z3 − iz + Ci</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Se f(z) = 1 + iz2, determine as expressões de Ref(z) e Imf(z). Então</p><p>al</p><p>ule os</p><p>seguinte limites</p><p>(a) lim</p><p>z→−i</p><p>Ref(z) (b) lim</p><p>z→−i</p><p>Imf(z) (c) lim</p><p>z→−i</p><p>f(z)</p><p>97</p><p>Resolução</p><p>f(z) = 1 + iz2</p><p>= 1 + i(x+ iy)2</p><p>= 1 + i(x2 − y2 + 2xyi)</p><p>= (1− 2xy) + i(x2 − y2)</p><p>Portanto Ref(z) = 1− 2xy e Imf(z) = x2 − y2.</p><p>(a) lim</p><p>z→−i</p><p>Ref(z) = lim</p><p>x→0</p><p>y→−1</p><p>(1− 2xy) = 1− 0 = 1</p><p>(b) lim</p><p>z→−i</p><p>Imf(z) = lim</p><p>x→0</p><p>y→−1</p><p>(x2 − y2) = 0− 1 = −1</p><p>(c) lim</p><p>z→−i</p><p>f(z) = lim</p><p>z→−i</p><p>Ref(z) + i lim</p><p>z→−i</p><p>Imf(z) = 1− i</p><p>(2) Cal</p><p>ule os seguintes limites,</p><p>aso existem:</p><p>(a) lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z| (b) lim</p><p>z→0</p><p>|z|</p><p>z</p><p>(c) lim</p><p>z→0</p><p>|z|2</p><p>z</p><p>(d) lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z|2</p><p>Resolução</p><p>(a) lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z|</p><p>• Façamos z tender para a origem ao longo do eixo real, isto é, z = x+ 0i → 0.</p><p>Para estes pontos temos</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z| = lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>x</p><p>= 1</p><p>• Façamos z tender para a origem ao longo da reta y = x, isto é, z = x+xi → 0.</p><p>Para estes pontos temos</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z| = lim</p><p>x→0</p><p>x+ xi√</p><p>x2 + x2</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>x(1 + i)</p><p>x</p><p>√</p><p>2</p><p>=</p><p>1 + i√</p><p>2</p><p>Como as duas limites são diferentes temos que lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z| não existe.</p><p>(b) lim</p><p>z→0</p><p>|z|</p><p>z</p><p>• Façamos z tender para a origem ao longo do eixo real, isto é, z = x+ 0i → 0.</p><p>Para estes pontos temos</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>|z|</p><p>z</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>x</p><p>= 1</p><p>98</p><p>• Façamos z tender para a origem ao longo do eixo imaginario, isto é,</p><p>z = 0 + yi → 0. Para estes pontos temos</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>|z|</p><p>z</p><p>= lim</p><p>y→0</p><p>y</p><p>iy</p><p>=</p><p>1</p><p>i</p><p>Como as duas limites são diferentes temos que lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z| não existe.</p><p>(</p><p>) lim</p><p>z→0</p><p>|z|2</p><p>z</p><p>= lim</p><p>z→0</p><p>zz</p><p>z</p><p>= lim</p><p>z→0</p><p>z = 0</p><p>(d) lim</p><p>z→0</p><p>z</p><p>|z|2 = ∞ pois de (</p><p>) lim</p><p>z→0</p><p>|z|2</p><p>z</p><p>= 0</p><p>(3) Cal</p><p>ule:</p><p>(a) lim</p><p>z→i</p><p>iz3 − 1</p><p>z2 + 1</p><p>(b) lim</p><p>z→i</p><p>z2 + 1</p><p>z4 − 1</p><p>(c) lim</p><p>z→3i</p><p>z2 + 9</p><p>z − 3i</p><p>Resolução</p><p>(a) lim</p><p>z→i</p><p>iz3 − 1</p><p>z2 + 1</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>i(z3 − i3)</p><p>z2 − i2</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>i(z − i)(z2 + iz + i2)</p><p>(z − i)(z + i)</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>i(z2 + iz − 1)</p><p>z + i</p><p>=</p><p>i(i2 + i2 − 1)</p><p>i+ i</p><p>= −3</p><p>2</p><p>(b) lim</p><p>z→i</p><p>z2 + 1</p><p>z4 − 1</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>z2 − i2)</p><p>z4 − i4</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>z2 − i2</p><p>(z2 − i2)(z2 + i2)</p><p>= lim</p><p>z→i</p><p>1</p><p>z2 − 1</p><p>=</p><p>1</p><p>i2 − 1</p><p>= −1</p><p>2</p><p>(c) lim</p><p>z→3i</p><p>z2 + 9</p><p>z − 3i</p><p>= lim</p><p>z→3i</p><p>z2 − 9i2</p><p>z − 3i</p><p>= lim</p><p>z→3i</p><p>(z + 3i)(z − 3i)</p><p>z − 3i</p><p>= lim</p><p>z→3i</p><p>z + 3i</p><p>= 6i</p><p>99</p><p>(4) Determine os pontos onde as seguintes funções são analíti</p><p>as e en</p><p>ontre a sua</p><p>derivada nesses pontos:</p><p>(a) f(x+ iy) = sen x+ cosh y + i cos x sinh y (b) f(z) = ez</p><p>(c) f(x+ iy) =</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>− i</p><p>y</p><p>x2 + y2</p><p>(d) f(z) = zIm(z)</p><p>(e) f(x+ iy) =</p><p>cos y − i sen y</p><p>ex</p><p>(f) f(z) = e|z|</p><p>Resolução</p><p>(a) f(x+ iy) = sen x+ cosh y + i cos x sinh y. Logo</p><p>u(x, y) = sen x+ cosh y e v(x, y) = cos x sinh y</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = cos x, vy = cos x cosh y</p><p>vx = − sen x sinh y, uy = sinh y</p><p>Nos pontos onde f é analíti</p><p>a, as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas, logo</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = vy ⇒ cos x = cos x cosh y ⇒ cosh y = 1 ⇒ y = 0</p><p>vx = −uy ⇒ sen x sinh y = sinh y ⇒ sen x = 1 ⇒ x =</p><p>π</p><p>2</p><p>+ 2kπ, k ∈ Z</p><p>Portanto os pontos onde f é analíti</p><p>a são</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ, 0</p><p>)</p><p>, k ∈ Z</p><p>A derivada de f nesses pontos z0 =</p><p>(π</p><p>2</p><p>+ 2kπ, 0</p><p>)</p><p>é</p><p>f ′(z0) = ux(z0) + ivx(z0) = 0.</p><p>(b) f(z) = ez = ex( cos y − i sen y). Logo</p><p>u(x, y) = ex cos y e v(x, y) = −ex sen y</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = ex cos y, vy = −ex cos y</p><p>vx = −ex sen y, uy = −ex sen y</p><p>Nos pontos onde f é analíti</p><p>a, as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas, logo</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = vy ⇒ ex cos y = −ex cos y ⇒ cos y = 0</p><p>vx = −uy ⇒ −ex sen y = ex sen y ⇒ sen y = 0</p><p>Como não existe y ∈ R tais que cos y = 0 e sen y = 0 temos que f não é analíti</p><p>a</p><p>em nenhum ponto em C.</p><p>(</p><p>) f(x+ iy) =</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>− i</p><p>y</p><p>x2 + y2</p><p>. Logo</p><p>u(x, y) =</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>e v(x, y) = − y</p><p>x2 + y2</p><p>100</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ux =</p><p>y2 − x2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>, vy =</p><p>y2 − x2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>vx =</p><p>2xy</p><p>(x2 + y2)2</p><p>, uy = − 2xy</p><p>(x2 + y2)2</p><p>Como as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas para todo (x, y) ex</p><p>eto no</p><p>ponto (0, 0)</p><p>on</p><p>luímos que f é analíti</p><p>a em C− {(0, 0)}.</p><p>A derivada de f nesses pontos é</p><p>f ′(z0) = ux(z0) + ivx(z0) =</p><p>y2 − x2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>+ i</p><p>2xy</p><p>(x2 + y2)2</p><p>=</p><p>z20</p><p>|z0|4</p><p>(d) f(x+ iy) = f(z) = zIm(z) = xy + iy2. Logo</p><p>u(x, y) = xy e v(x, y) = y2</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = y, vy = 2y</p><p>vx = 0, uy = x</p><p>Nos pontos onde f é analíti</p><p>a, as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas, logo</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = vy ⇒ y = 2y ⇒ y = 0</p><p>vx = −uy ⇒ x = 0</p><p>Portanto os pontos onde f é analíti</p><p>a é (0, 0)</p><p>A derivada de f nesses pontos z0 = (0, 0) é</p><p>f ′(z0) = ux(z0) + ivx(z0) = 0.</p><p>(e) f(x+ iy) =</p><p>cos y − i sen y</p><p>ex</p><p>. Logo</p><p>u(x, y) = e−x cos y e v(x, y) = −e−x sen y</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = −e−x cos y, vy = −e−x cos y</p><p>vx = e−x sen y, uy = −e−x sen y</p><p>Como as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas para todo (x, y) ∈ C</p><p>on</p><p>luí-</p><p>mos que f é analíti</p><p>a em C.</p><p>A derivada de f nesses pontos é</p><p>f ′(z0) = ux(z0) + ivx(z0) = −e−x cos y + ie−x sen y</p><p>101</p><p>(f) f(x+ iy) = f(z) = e|z| = ex</p><p>2+y2 . Logo</p><p>u(x, y) = ex</p><p>2+y2</p><p>e v(x, y) = 0</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = 2xex</p><p>2+y2 , vy = 0</p><p>vx = 0, uy = 2yex</p><p>2+y2</p><p>Nos pontos onde f é analíti</p><p>a, as equações de Cau</p><p>hy-Riemann são satisfeitas, logo</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = vy ⇒ 2xex</p><p>2+y2 = 0 ⇒ x = 0</p><p>vx = −uy ⇒ 2yex</p><p>2+y2 = 0 ⇒ y = 0</p><p>Portanto os pontos onde f é analíti</p><p>a é (0, 0).</p><p>A derivada de f neste ponto z0 = t(0, 0) é</p><p>f ′(z0) = ux(z0) + ivx(z0) = 0.</p><p>(5) Seja f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) uma função</p><p>omplexa de z = x+ iy. Para quais funções</p><p>u(x, y) abaixo existe uma função real v(x, y) tal que f(z) é analíti</p><p>a? Se existe,</p><p>determine v(x, y) e</p><p>al</p><p>ule f ′(z)</p><p>(a) u(x, y) = x2 + 2x− y2</p><p>(b) u(x, y) = e−x(x sen y − y cos y)</p><p>(c) u(x, y) = x3 + 6x2y − 3xy2 − 2y3</p><p>(d) u(x, y) = y3 − ayx2, onde a é uma</p><p>onstante real a ser determinada</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja u(x, y) = x2 +2x− y2. Suponha que f = u+ iv é analíti</p><p>a. Então sabemos que</p><p>u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = 2x+ 2 (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = 2y (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = 2xy + 2y + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = 2y + h′(x) (4)</p><p>102</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = 0 que impli</p><p>a que h(x) = C. Logo</p><p>v(x, y) = 2xy + 2y + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = (2x+ 2) + i(2y)</p><p>= 2(x+ iy) + 2</p><p>= 2z + 2</p><p>(b) Seja u(x, y) = e−x(x sen y − y cos y). Suponha que f = u + iv é analíti</p><p>a. Então</p><p>sabemos que u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = e−x(−x sen y + y cos y + sen y) (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = e−x(−x cos y − y sen y + cos y) (2)</p><p>Integrando vx em relação ao x temos</p><p>v(x, y) = xe−x cos y + e−x cos y + e−xy sen y − e−x cos y + h(y) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a y temos</p><p>vy = −xe−x sen y + e−x sen y + e−xy cos y + h′(y) (4)</p><p>Comparando (1) e (4) temos que h′(y) = 0 que impli</p><p>a que h(x) = C. Logo</p><p>v(x, y) = xe−x cos y + e−x cos y + e−xy sen y − e−x cos y + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>103</p><p>Portanto</p><p>f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y)</p><p>= e−x(−x sen y + y cos y + sen y) + ie−x(−x cos y</p><p>− y sen y + cos y)</p><p>=</p><p>[</p><p>(−x sen y − ix cos y) + (y cos y − iy sen y) + ( sen y + i cos y)</p><p>]</p><p>e−x</p><p>=</p><p>[</p><p>− ix( cos y − i sen y) + y( cos y − i sen y) + i( cos y − i sen y)</p><p>]</p><p>e−x</p><p>= −i( cos y − i sen y)(x+ iy − 1)e−x</p><p>= −ie−iy(x+ iy − 1)e−x</p><p>= −i(z − 1)e−z</p><p>(</p><p>) Seja u(x, y) = x3 + 6x2y − 3xy2 − 2y3. Suponha que f = u + iv é analíti</p><p>a. Então</p><p>sabemos que u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = 3x2 + 12xy − 3y2 (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = −6x2 + 6xy + 6y2 (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = 3x2y + 6xy2 − y3 + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = 6xy + 6y2 + h′(x) (4)</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = −6x2</p><p>que impli</p><p>a que h(x) = −2x3 + C.</p><p>Logo</p><p>v(x, y) = 3x2y + 6xy2 − y3 − 2x3 + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>104</p><p>Portanto</p><p>f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = (3x2 + 12xy − 3y2) + i(−6x2 + 6xy + 6y2)</p><p>= (3x2 − 6x2i) + (12xy + 6xyi) + (−3y2 + 6y2i)</p><p>= 3x2(1− 2i) + 6xyi(1− 2i)− 3y2(1− 2i)</p><p>= 3(1− 2i)(x2 − y2 + 2xyi)</p><p>= 3(1− 2i)(x+ iy)2</p><p>= 3(1− 2i)z2</p><p>(d) Seja u(x, y) = y3 − ayx2. Suponha que f = u+ iv é analíti</p><p>a. Então sabemos que u</p><p>e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = −2axy (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = −3y2 + ax2 (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = −axy2 + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = −ay2 + h′(x) (4)</p><p>Comparando (2) e (4) temos que a = 3 e h′(x) = 3x2</p><p>que impli</p><p>a que h(x) = x3+C.</p><p>Logo</p><p>v(x, y) = −3xy2 + x3 + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = (−6xy) + i(−3y2 + 3x2)</p><p>= 3i(x2 − y2 + 2xyi)</p><p>= 3i(x+ iy)2</p><p>= 3iz2</p><p>105</p><p>(6) Veri�que diretamente que as seguintes funções são harm�ni</p><p>as e determine a função</p><p>analíti</p><p>a f(z) tal que u é a parte real de f</p><p>(a) u(x, y) = x3 − 3xy2 + 1</p><p>(b) u(x, y) = x4 − 6x2y2 + y4 − x2 + y2</p><p>(c) u(x, y) = cosh x cos y</p><p>Resolução</p><p>(a) Para mostrar que u é harm�ni</p><p>a em C, pre</p><p>isamos mostrar que (i) uxx, uyy, uxy e</p><p>uyx são</p><p>ontinuas e (ii) uxx + uyy = 0. Agora</p><p>ux = 3x2 − 3y2 então uxx = 6x e uyx = −6y</p><p>e</p><p>uy = −6xy então uyy = −6x e uxy = −6y</p><p>De fato, uxx, uyy, uxy e uyx são</p><p>ontinuas e</p><p>uxx + uyy = 6x− 6x = 0</p><p>Portanto u é harm�ni</p><p>a em C.</p><p>Para en</p><p>ontrar uma função analíti</p><p>a f</p><p>om Ref(z) = u(z) signi�</p><p>a devemos en</p><p>on-</p><p>trar v(z) tal que f(z) = u(z)+ iv(z) é analíti</p><p>a em C. Como f é analíti</p><p>a, sabemos</p><p>que u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = 3x2 − 3y2 (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = 6xy (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = 3x2y − y3 + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = 6xy + h′(x) (4)</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = 0 que impli</p><p>a que h(x) = C. Logo</p><p>v(x, y) = 3x2y − y3 + C</p><p>106</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)</p><p>= x3 − 3xy2 + 1 + i(3x2y − y3 + C)</p><p>= (x3 + 3x2yi− 3xy2 − iy3) + 1 + iC</p><p>= z3 + 1 + Ci</p><p>(b) Para mostrar que u é harm�ni</p><p>a em C, pre</p><p>isamos mostrar que (i) uxx, uyy, uxy e</p><p>uyx são</p><p>ontinuas e (ii) uxx + uyy = 0. Agora</p><p>ux = 4x3 − 12xy2 − 2x então uxx = 12x2 − 12y2 − 2 e uyx = −24xy</p><p>e</p><p>uy = −12x2y + 4y3 + 2y então uyy = −12x2 + 12y2 + 2 e uxy = −24xy</p><p>De fato, uxx, uyy, uxy e uyx são</p><p>ontinuas e</p><p>uxx + uyy = (12x2 − 12y2 − 2) + (−12x2 + 12y2 + 2) = 0</p><p>Portanto u é harm�ni</p><p>a em C.</p><p>Para en</p><p>ontrar uma função analíti</p><p>a f</p><p>om Ref(z) = u(z) signi�</p><p>a devemos en</p><p>on-</p><p>trar v(z) tal que f(z) = u(z)+ iv(z) é analíti</p><p>a em C. Como f é analíti</p><p>a, sabemos</p><p>que u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = 4x3 − 12xy2 − 2x (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = 12x2y − 4y3 − 2y (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = 4x3y − 4xy3 − 2xy + h(x) (3)</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = 12x2y − 4y3 − 2y + h′(x) (4)</p><p>107</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = 0 que impli</p><p>a que h(x) = C. Logo</p><p>v(x, y) = 4x3y − 4xy3 − 2xy + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)</p><p>= x4 − 6x2y2 + y4 − x2 + y2 + i(4x3y − 4xy3 − 2xy + C)</p><p>= (x4 + 4x3yi− 6x2y2 − 4xy3i+ y4)− (x2 − y2 + 2xyi) + iC</p><p>= z4 − z2 + Ci</p><p>(</p><p>) Para mostrar que u é harm�ni</p><p>a em C, pre</p><p>isamos mostrar que (i) uxx, uyy, uxy e</p><p>uyx são</p><p>ontinuas e (ii) uxx + uyy = 0. Agora</p><p>ux = sinh x sen y então uxx = cosh x sen y e uyx = sinh x cos y</p><p>e</p><p>uy = cosh x cos y então uyy = − cosh x sen y e uxy = sinh x cos y</p><p>De fato, uxx, uyy, uxy e uyx são</p><p>ontinuas e</p><p>uxx + uyy = (cosh x sen y) + (− cosh x sen y) = 0</p><p>Portanto u é harm�ni</p><p>a em C.</p><p>Para en</p><p>ontrar uma função analíti</p><p>a f</p><p>om Ref(z) = u(z) signi�</p><p>a devemos en</p><p>on-</p><p>trar v(z) tal que f(z) = u(z)+ iv(z) é analíti</p><p>a em C. Como f é analíti</p><p>a, sabemos</p><p>que u e v deve satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann. Isto é,</p><p>ux = vy que impli</p><p>a vy = sinh x sen y (1)</p><p>e</p><p>uy = −vx que impli</p><p>a vx = − cosh x cos y (2)</p><p>Integrando vy em relação ao y temos</p><p>v(x, y) = − sinh x cos y + h(x) (3)</p><p>108</p><p>Derivando (3) par</p><p>ialmente em relação a x temos</p><p>vx = − cosh x cos y + h′(x) (4)</p><p>Comparando (2) e (4) temos que h′(x) = 0 que impli</p><p>a que h(x) = C. Logo</p><p>v(x, y) = − sinh x cos y + C</p><p>sendo C um</p><p>onstante real arbitrario.</p><p>Portanto</p><p>f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)</p><p>= cosh x cos y + i(− sinh x cos y + C)</p><p>= cos y(coshx− i sinh x) + iC</p><p>(7) Mostre que se f = u+ iv e f = u− iv são analíti</p><p>as então f é</p><p>onstante.</p><p>Resolução</p><p>f = u+ iv é analíti</p><p>a ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = vy (1)</p><p>uy = −vx (2)</p><p>f = u− iv é analíti</p><p>a ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>ux = −vy (3)</p><p>uy = vx (4)</p><p>Resolvendo (1), (2), (3) e (4) temos que</p><p>ux = 0, uy = 0, vx = 0, vy = 0</p><p>Isto mostra que as partes reais e imaginárias são</p><p>onstantes. Portanto f é</p><p>onstante.</p><p>(8) Mostre que se f é uma função inteira da forma f(x, y) = u(x) + iv(y), então f é um</p><p>polin�mio de grau no máximo 1.</p><p>Resolução</p><p>f(x, y) = u(x) + iv(y)</p><p>Pelas equações de Cau</p><p>hy-Riemann, temos que</p><p>ux(x) = vy(y) (∗)</p><p>109</p><p>Como ux(x) é uma função somente de x e vy(y) é uma função somente de y temos</p><p>de (∗) que</p><p>ux(y) = vy(y) = C, C =</p><p>onstante</p><p>Logo</p><p>u(x) = Cx+ b1 e v(y) = Cy + b2</p><p>Portanto</p><p>f(z) = u(x) + iv(y)</p><p>= Cx+ b1 + i(Cy + b2)</p><p>= C(x+ iy) + (b1 + ib2)</p><p>= Cz + a, onde a = b1 + ib2</p><p>(9) Mostre que se f é uma função inteira</p><p>om argumento</p><p>onstante então f é</p><p>onstante.</p><p>Resolução</p><p>Seja f = u+ iv. Então</p><p>arg(f) = arctg</p><p>(v</p><p>u</p><p>)</p><p>= C, sendo C</p><p>onstante real</p><p>Logo</p><p>v = ( tg C)u</p><p>Derivando em relação ao x e y obtemos respe</p><p>tivamente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= tg C</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= tg C</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>Rees</p><p>revendo as equações a</p><p>ima usando as equações de Cau</p><p>hy-Riemann temos que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= tg C</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= − tg C</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>Resolvendo temos que vx = vy = 0 e pelas equações de Cau</p><p>hy-Riemann</p><p>ux = uy = 0. Portanto f é</p><p>onstante.</p><p>110</p><p>(10) Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função holomorfa tal que</p><p>2u(x, y) + v(x, y) = 5 para todo z = x+ iy ∈ C.</p><p>Mostre que f é</p><p>onstante.</p><p>Resolução</p><p>2u(x, y) + v(x, y) = 5</p><p>Derivando em relação ao x e y obtemos respe</p><p>tivamente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= 0</p><p>2</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>+</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>Rees</p><p>revendo as equações a</p><p>ima usando as equações de Cau</p><p>hy-Riemann temos que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>2</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>= 0</p><p>que é equivalente a</p><p></p><p></p><p>2 −1</p><p>1 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p></p><p> (∗)</p><p>Observe que</p><p>det</p><p></p><p></p><p>2 −1</p><p>1 2</p><p></p><p> = 4 + 1 = 5 6= 0</p><p>Então (∗) tem a úni</p><p>a solução</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>= 0 e</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0,</p><p>ou seja a parte real de f é</p><p>onstante. Logo f é</p><p>onstante.</p><p>111</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Estude a</p><p>ontinuidade das seguintes funções:</p><p>(a) f(z) =</p><p></p><p></p><p></p><p>Re(z)</p><p>z</p><p>, z 6= 0</p><p>0, z = 0</p><p>(b) f(z) =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x2 + iy2</p><p>|z|2 , z 6= 0</p><p>1, z = 0</p><p>(c) f(z) =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x2</p><p>x2 + y2</p><p>+ 2i, z 6= 0</p><p>2i, z = 0</p><p>(2) Cal</p><p>ule:</p><p>(a) lim</p><p>z→1+i</p><p>(</p><p>z2 + z − 2 + i</p><p>z2 − 2z + 1</p><p>)</p><p>(b) lim</p><p>z→1+i</p><p>(</p><p>z2 + z − 1 + 3i</p><p>z2 − 2z + 2</p><p>)</p><p>(3) Cal</p><p>ule a derivada das seguintes funções pela de�nição</p><p>(a) f(z) = e2z (b) f(z) = zn</p><p>(4)</p><p>Determine os pontos onde as seguintes funções são analíti</p><p>as e en</p><p>ontre a sua</p><p>derivada nesses pontos:</p><p>(a) f(x+ iy) = −2xy + i(x2 − y2)</p><p>(b) f(x+ iy) = (x3 − 3xy2 + x+ 1) + i(3x 2y − y3 + y)</p><p>(c) f(x+ iy) = x2 − x+ y + i(y2 − 5y − x)</p><p>(d) f(z) = 4z − 6z + 3</p><p>(e) f(z) = ez</p><p>(5) Seja f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) uma função</p><p>omplexa de z = x+ iy. Para quais funções</p><p>u(x, y) abaixo existe uma função real v(x, y) tal que f(z) é analíti</p><p>a? Se existe,</p><p>determine v(x, y) e</p><p>al</p><p>ule f ′(z)</p><p>(a) u(x, y) = y2 − x2</p><p>(b) u(x, y) = x2 + y2</p><p>(c) u(x, y) = sen x cosh y − 2 cos x sinh y</p><p>(d) u(x, y) = y3 − 4xy + kyx2, onde k é uma</p><p>onstante real a ser determinada</p><p>112</p><p>(6) Veri�que diretamente que as seguintes funções são harm�ni</p><p>as e determine a função</p><p>analíti</p><p>a f(z) tal que u é a parte real de f</p><p>(a) u(x, y) = x3 + 3x(1 + y2)</p><p>(b) u(x, y) = x3 + 3x(1− y2)</p><p>(c) u(x, y) = cosh x cos y</p><p>(7) Es</p><p>revendo z na forma polar então f(z) = u(z) + iv(z) = u(r, θ) + iv(r, θ). Mostre</p><p>que as equações de Cau</p><p>hy-Riemann em</p><p>oordenadas polares são dadas por</p><p>∂u</p><p>∂r</p><p>=</p><p>1</p><p>r</p><p>∂v</p><p>∂θ</p><p>e</p><p>∂v</p><p>∂r</p><p>= −1</p><p>r</p><p>∂u</p><p>∂θ</p><p>Mostre que f(r, θ) = e−θ</p><p>(</p><p>cos (ln r) + i sen (ln r)</p><p>)</p><p>satisfaz a equações de Cau</p><p>hy-</p><p>Riemann para r > 0 e determine f ′(r, θ).</p><p>(8) Seja f uma função holomorfa de�nida num aberto</p><p>onexo Ω de C. Mostre que f é</p><p>onstante se a Re(f) + b Im(f) + c = 0, onde a, b, c ∈ R, a2 + b2 > 0.</p><p>(9) Sejam A ⊂ C um aberto</p><p>onexo e f : A → C analíti</p><p>a e</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= 0 em A. Mostre</p><p>que f ′</p><p>é</p><p>onstante em A.</p><p>(10) Seja f : A ⊂ C → C, analíti</p><p>a, A aberto</p><p>onexo, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Se</p><p>au(x, y) + bv(x, y) = c em A, onde a, b, c ∈ R nem todos zeros, prove que f(z) é</p><p>onstante em A.</p><p>(11) Seja f(z) =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z5</p><p>|z|4 z 6= 0</p><p>0 z = 0</p><p>a) Mostre que lim</p><p>z→0</p><p>f(z)</p><p>z</p><p>não existe</p><p>b) Se u = Re f e v = Imf , mostre que</p><p>u(x, 0) = x, v(0, y) = y, u(0, y) = v(x, 0) = 0. Con</p><p>luir que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>,</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>existe e</p><p>as equações de Cau</p><p>hy-Riemann é satisfeito mas f ′(0) não existe.</p><p>(12) Seja u : R2 → R harm�ni</p><p>a. Seja f : C → C de�nida por</p><p>f(z) =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x, y)− i</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x, y), ∀z = x+ iy ∈ C.</p><p>Mostre que f é inteira.</p><p>113</p><p>Aula 6 - Integração em C</p><p>A importân</p><p>ia de estudar integração</p><p>omplexas é para entender melhor as funções analíti-</p><p>as. No pro</p><p>esso, veremos que qualquer função analíti</p><p>a é in�nitamente diferen</p><p>iável e</p><p>funções analíti</p><p>as sempre podem ser representadas</p><p>omo uma série de potên</p><p>ias.</p><p>Integração de funções</p><p>omplexas de variável real</p><p>De�nição 25. Seja f uma função</p><p>omplexa de variável real</p><p>f : [a, b] −→ D</p><p>t 7→ f(t) = Ref(t) + iImf(t)</p><p>ontínua em [a, b]. Chama-se integral de f em [a, b] e representado por</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt, ao</p><p>número</p><p>omplexo</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt :=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>Ref(t) dt+ i</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>Imf(t) dt</p><p>Exemplo 43. A integral da função f(t) = 2 + i(t− 1) em [1, 2] é dado por</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>f(t) dt =</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2 dt + i</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>(t− 1) dt = 2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>i.</p><p>Proposição 10. Sejam f , g : [a, b] −→ C funções de variáveis reais</p><p>ontinuas em [a, b].</p><p>Então</p><p>(a)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>(f(t) + g(t)) dt =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt +</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>g(t) dt</p><p>(b)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>kf(t) dt = k</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt para qualquer k ∈ R</p><p>114</p><p>(</p><p>)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|f(t)| dt</p><p>Demonstração. (a) e (b) segue diretamente da de�nição e das propriedades das funções</p><p>reais de variável real. Faremos a demonstração de (</p><p>).</p><p>Suponha que</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt = reiθ</p><p>om r > 0. Então</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>= r (1)</p><p>e podemos es</p><p>rever</p><p>r = Re r = Re</p><p>(</p><p>1</p><p>eiθ</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt</p><p>)</p><p>= Re</p><p>(</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>e−iθf(t) dt</p><p>)</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>Re</p><p>(</p><p>e−iθf(t)</p><p>)</p><p>dt</p><p>≤</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|e−iθf(t)| dt pois Re(z) ≤ |z|</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|e−iθ||f(t)| dt</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|f(t)| dt (2)</p><p>De (1) e (2) temos</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t) dt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|f(t)| dt. �</p><p>Integração de funções</p><p>omplexas de variável</p><p>omplexa</p><p>De�nição 26. Seja D um aberto de C. Um</p><p>aminho em D é uma função</p><p>ontínua</p><p>γ : [a, b] −→ D</p><p>t 7→ γ(t) = x(t) + iy(t)</p><p>• Chamamos γ(a) a origem e γ(b) a extremidade do</p><p>aminho.</p><p>• Se γ(a) = γ(b), dizemos que o</p><p>aminho é fe</p><p>hado.</p><p>115</p><p>• Chamamos de</p><p>urva C a imagem de γ, ou seja o</p><p>onjunto C = {γ(t) : t ∈ [a, b]} e</p><p>a função γ é</p><p>hamada de parametrização de C ⊂ D.</p><p>Exemplo 44. Sejam z0,w0 ∈ C. A parametrização da reta, denotado por [z0,w0], que</p><p>vai de z0 a w0 é dado por</p><p>γ : [0, 1] −→ C</p><p>t 7→ γ(t) = tw0 + (1− t)z0</p><p>Exemplo 45. Sejam z0 ∈ C e r > 0. A parametrização da</p><p>ir</p><p>ulo orientado (sentido</p><p>anti-horário) de</p><p>entro z0 e raio r é dado por</p><p>γ : [0, 2π] −→ C</p><p>t 7→ γ(t) = z0 + reit = z0 + r cos t + ir sen t</p><p>De�nição 27. Dado um</p><p>aminho γ : [a, b] −→ C, de�nimos o</p><p>aminho inverso de γ</p><p>omo sendo o</p><p>aminho de�nido por</p><p>γ−1 : [a, b] −→ C</p><p>t 7→ γ(a+ b− t)</p><p>De�nição 28. O</p><p>omprimento de um</p><p>aminho γ : [a, b] −→ C dado por</p><p>t 7→ γ(t) = x(t) + iy(t), denotado por L(γ), é o valor da integral</p><p>∫</p><p>γ</p><p>|dz| =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|γ′(t)| dt =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>√</p><p>x′(t)2 + y′(t)2 dt</p><p>Exemplo 46. Se z = reit, 0 ≤ t ≤ 2π, então o</p><p>omprimento de γ é L(γ) = 2πr o</p><p>perímetro da</p><p>ir</p><p>unferên</p><p>ia de</p><p>entro 0 e raio r. De fato</p><p>L(γ) =</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>|rieit| dt =</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>r dt = 2πr.</p><p>De�nição 29. Seja D ⊂ C um aberto e seja f : D −→ C uma função</p><p>ontinua. Seja</p><p>γ : [a, b] −→ D um</p><p>aminho</p><p>om derivada</p><p>ontinua. De�ne-se a integral de f ao longo</p><p>de γ</p><p>omo sendo o numero</p><p>omplexo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>Exemplo 47. Cal</p><p>ule</p><p>I =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z2 dt</p><p>onde γ é o segmento de reta que vai de 1 para 2 + i.</p><p>116</p><p>Resolução. γ é parametrizada por γ(t) = t(2+ i)+ (1− t)(1) = 1+(1+ i)t, 0 ≤ t ≤ 1.</p><p>Então γ′(t) = 1 + i. Agora seja f(z) = z2. Então</p><p>f(γ(t)) = [1 + (1 + i)t]2 = 1 + 2(1 + i)t + (1 + i)2t2</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z2 dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt = (1 + i)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[1 + 2(1 + i)t+ (1 + i)2t2] dt</p><p>= (1 + i)</p><p>[</p><p>t+ (1 + i)t2 +</p><p>(1 + i)2t3</p><p>3</p><p>]1</p><p>0</p><p>= (1 + i) + (1 + i)2 +</p><p>(1 + i)3</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>11</p><p>3</p><p>i.</p><p>Proposição 11. Sejam f , g funções</p><p>omplexas</p><p>ontinuas no aberto D ⊂ C, k ∈ C e</p><p>γ1, γ2 dois</p><p>aminhos em D</p><p>om derivadas</p><p>ontinuas. Então</p><p>(1)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(f(z) + g(z)) dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ</p><p>g(z) dz</p><p>(2)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>kf(z) dz = k</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz</p><p>(3) se a extremidade de γ1</p><p>oin</p><p>ide</p><p>om a origem de γ2, ou seja γ = γ1 ∪ γ2 então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>f(z) dz</p><p>(4) se γ−1</p><p>é o</p><p>aminho inverso de γ então</p><p>∫</p><p>γ−1</p><p>f(z) dz = −</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io �</p><p>Exemplo 48. Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Re(z) dz</p><p>onde γ é o quadrado unitário orientado anti-horário.</p><p>117</p><p>Resolução. De�na γ por γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪ γ4, onde</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>1 + i</p><p>i</p><p>1γ1</p><p>γ3</p><p>γ2γ4</p><p>γ1(t) = t; 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ2(t) = 1 + it; 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ3(t) = (1− t) + i; 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ4(t) = (1− t)i; 0 ≤ t ≤ 1</p><p>Logo</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>Re(z) dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[Re(γ1(t))]γ</p><p>′</p><p>1(t) dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>t dt =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>Re(z) dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[Re(γ2(t))]γ</p><p>′</p><p>2(t) dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>i dt = i</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>Re(z) dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[Re(γ3(t))]γ</p><p>′</p><p>3(t) dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(−1 + t) dt = −1</p><p>2</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>Re(z) dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[Re(γ4(t))]γ</p><p>′</p><p>4(t) dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>0 dt = 0</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Re(z) dz =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>Re(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>Re(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>Re(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>Re(z) dz</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+ i− 1</p><p>2</p><p>+ 0 = i</p><p>Exemplo 49. Cal</p><p>ule</p><p>I =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z dz</p><p>onde γ1 é o semi-</p><p>ir</p><p>ulo de raio 1,</p><p>entrado em z = 0</p><p>ontido no semi-plano Im(z) ≥ 0</p><p>que vai de 1 para −1.</p><p>Resolução. De�na γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ π. Então γ′(t) = ieit e portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z dz =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>γ(t) · γ′(t) dt =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>e−it · ieit dt = i</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>dt = iπ.</p><p>118</p><p>Proposição 12. Sejam f uma função</p><p>ontinua de�nida em D ⊂ C e γ : [a, b] −→ D</p><p>um</p><p>aminho</p><p>om derivada</p><p>ontinua. Então</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ M · L(γ)</p><p>em que L(γ) representa o</p><p>omprimento do</p><p>aminho γ e M = max</p><p>z∈γ</p><p>|f(z)|.</p><p>Demonstração. Usando a Proposição 10 temos que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|f(γ(t))||γ′(t)| dt</p><p>≤ M</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|γ′(t)| dt</p><p>= M · L(γ)</p><p>�</p><p>Exemplo 50. Seja γ(t) = 5eit, 0 ≤ t ≤ 2π. Prove que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>z2 + z + 1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 10π</p><p>19</p><p>.</p><p>Resolução. Seja f(z) =</p><p>1</p><p>z2 + z + 1</p><p>. Se z ∈ γ, então |z| = 5. Portanto</p><p>|z2 + z + 1| ≥ |z|2 − |z + 1| ≥ 25− 6 = 19</p><p>Logo para z ∈ γ temos que</p><p>|f(z)| ≤ 1</p><p>19</p><p>.</p><p>Agora L(γ) = 2π · 5 = 10π.</p><p>Pela Proposição 12, temos que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 10π</p><p>19</p><p>.</p><p>De�nição 30. Seja f : D ⊂ C −→ C uma função</p><p>ontinua. Dizemos que a função</p><p>F : D −→ C é primitiva de f em D se F é analíti</p><p>a em D e F ′ = f .</p><p>119</p><p>Teorema 6. (O Teorema Fundamental de Cál</p><p>ulo) Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo.</p><p>Suponha que f : D −→ C é</p><p>ontinua, F : D −→ C é uma primitiva de f em D, e γ um</p><p>aminho em D que vai de z0 a z1 (ou seja, γ : [a, b] −→ D, γ(a) = z0, γ(b) = z1). Então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f = F (z1)− F (z0).</p><p>Em parti</p><p>ular se γ é um</p><p>aminho fe</p><p>hado ou seja γ(a) = γ(b) então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f = 0</p><p>Demonstração. Seja w(t) = f(γ(t))γ′(t) e seja W (t) = F (γ(t)). Então pela regra da</p><p>adeia</p><p>W ′(t) = F ′(γ(t))γ′(t) = f(γ(t))γ′(t) = w(t).</p><p>Es</p><p>revendo w(t) = u(t)+iv(t) e W (t) = U(t)+iV (t) temos que U ′ = u, V ′ = v. Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>w(t) dt</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>u(t) dt + i</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>v(t) dt</p><p>= U(t)|ba + iV (t)|ba</p><p>= W (t)|ba</p><p>= F (z1)− F (z0).</p><p>�</p><p>Exemplo 51. Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z2 dz</p><p>onde γ é o</p><p>aminho que une 1 a 2 + i.</p><p>Resolução. Observe que f(z) = z2 é</p><p>ontinua em C e F (z) =</p><p>z3</p><p>3</p><p>é inteira</p><p>om</p><p>F ′(z) = f(z). Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z2 dz =</p><p>z3</p><p>3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=2+i</p><p>− z3</p><p>3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>=</p><p>(2 + i)3</p><p>3</p><p>− 1</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>11</p><p>3</p><p>i.</p><p>120</p><p>Exemplo 52. Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eiz dz</p><p>onde γ é parte o</p><p>ir</p><p>ulo unitário no primeiro quadrante que vai de 1 a i.</p><p>Resolução. Observe que f(z) = eiz é</p><p>ontinua em C e F (z) = −ieiz é inteira</p><p>om</p><p>F ′(z) = f(z). Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eiz dz = −ieiz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=i</p><p>+ ieiz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>= −ie−1 + iei.</p><p>121</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Des</p><p>reva uma parametrização para o triângulo de verti</p><p>es −1, i e 1.</p><p>Resolução</p><p>γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 onde</p><p>γ1(t) = −1 + 2t, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ2(t) = 1− t+ it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ3(t) = −t + i(1− t), 0 ≤ t ≤ 1</p><p>x</p><p>y</p><p>−1 10</p><p>i</p><p>γ1</p><p>γ2</p><p>γ3</p><p>(2) Esbo</p><p>e os seguintes</p><p>aminhos</p><p>(a) γ1(t) = 2 + 2e2πit, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>(b) γ2(t) =</p><p></p><p></p><p></p><p>it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>t− 1 + i, 1 ≤ t ≤ 2</p><p>(c) γ3(t) = i+ e−it, 0 ≤ t ≤ π/2</p><p>Resolução</p><p>(a) γ1(t) = 2+ 2e2πit, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>O 2</p><p>γ1</p><p>122</p><p>(b) γ2 = γ21 ∪ γ22 onde</p><p>γ21(t) = it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ22(t) = t− 1 + i, 1 ≤ t ≤ 2</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>1 + i</p><p>10</p><p>γ21</p><p>γ22</p><p>(c) γ3(t) = i+ e−it, 0 ≤ t ≤ π/2 b</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>1 + i</p><p>γ3</p><p>(3) Usando os</p><p>aminhos a</p><p>ima,</p><p>al</p><p>ule as seguintes integrais diretamente pela de�nição</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>dz</p><p>z − 2</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>z dz (c)</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>dz</p><p>(z − i)2</p><p>Resolução</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>dz</p><p>z − 2</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>d(2 + 2e2πit)</p><p>(2 + 2e2πit)− 2</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>4πie2πitdt</p><p>2e2πit</p><p>= 2πi</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>dt</p><p>= 2πi [ t ]10</p><p>= 2πi</p><p>123</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>z dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(it) d(it) +</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>(t− 1 + i) d(t− 1 + i)</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>t dt+</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>(t− 1− i) dt</p><p>=</p><p>[</p><p>t2</p><p>2</p><p>]1</p><p>0</p><p>+</p><p>[</p><p>t2</p><p>2</p><p>− t− it</p><p>]2</p><p>1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 2− 2− 2i− 1</p><p>2</p><p>+ 1 + i</p><p>= 1− i</p><p>(</p><p>)</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>dz</p><p>(z − i)2</p><p>=</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>d(i+ e−it)</p><p>(i+ e−it − i)2</p><p>=</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>−ie−itdt</p><p>e−2it</p><p>= −i</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>eitdt</p><p>= −i</p><p>[</p><p>eit</p><p>i</p><p>]π/2</p><p>0</p><p>= −eiπ/2 + 1 = 1− i</p><p>(4) Use o Teorema Fundamental de Cal</p><p>ulo para</p><p>al</p><p>ular as seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>z dz (b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>cos (πz) dz (c)</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>dz</p><p>(z − i)2</p><p>Resolução</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>z dz =</p><p>[</p><p>z2</p><p>2</p><p>]γ1(1)</p><p>γ1(0)</p><p>=</p><p>[</p><p>z2</p><p>2</p><p>]4</p><p>2</p><p>= 8</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>cos (πz) dz =</p><p>[</p><p>sen (πz)</p><p>π</p><p>]γ2(2)</p><p>γ2(0)</p><p>=</p><p>[</p><p>sen (πz)</p><p>π</p><p>]1+i</p><p>0</p><p>=</p><p>sen (π + πi)</p><p>π</p><p>=</p><p>1</p><p>π</p><p>[ sen π cosh π + i cos π sinh π]</p><p>= −i sinh π</p><p>π</p><p>(</p><p>)</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>dz</p><p>(z − i)2</p><p>=</p><p>[ −1</p><p>z − i</p><p>]γ3(π/2)</p><p>γ3(0)</p><p>=</p><p>[ −1</p><p>z − i</p><p>]0</p><p>1+i</p><p>=</p><p>−1</p><p>−i</p><p>+ 1 = 1− i</p><p>124</p><p>(5) Para</p><p>ada f e o</p><p>aminho γ abaixo determinar o valor de</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz:</p><p>(a) f(x+ iy) = y − x− 3x2i, onde x = Re(z), y = Im(z) e γ é formado pelos</p><p>segmentos de reta que unem z = 0 a z = 1 e z = 1 a z = 1 + i.</p><p>(b) f(z) =</p><p>z + 2</p><p>z</p><p>e γ é o semi-</p><p>ir</p><p>ulo de raio 2</p><p>entrado em z = 0</p><p>ontido no</p><p>semi-plano Im(z) ≥ 0.</p><p>(</p><p>) f(z) =</p><p>1</p><p>z4</p><p>e γ é o semi-</p><p>ir</p><p>ulo de raio 1</p><p>entrado em z = 0</p><p>ontido no</p><p>semi-plano Im(z) ≤ 0.</p><p>(d) f(z) = πeπz e γ é o quadrado</p><p>om vérti</p><p>es z = 0, z = 1, z = 1 + i e z = i</p><p>per</p><p>orrida no sentido anti-horário.</p><p>(e) f(z) = zz e γ é o segmento da parabola y = x2</p><p>entre os pontos (0, 0) e</p><p>(1, 1) orientado no sentido anti-horário.</p><p>Resolução</p><p>(a) γ = γ1 ∪ γ2 onde</p><p>γ1(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 e γ2(t) = 1+it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>1 + i</p><p>10 γ1</p><p>γ2</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>f(z) dz</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ1(t))γ</p><p>′</p><p>1(t) dt+</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ2(t))γ</p><p>′</p><p>2(t) dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(−t− 3t2i) dt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t− 1− 3i) idt</p><p>=</p><p>[</p><p>− t</p><p>2</p><p>− t3i</p><p>]1</p><p>0</p><p>+ i</p><p>[</p><p>t</p><p>2</p><p>− t− 3it</p><p>]1</p><p>0</p><p>= −1</p><p>2</p><p>− i+ i</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1− 3i</p><p>]</p><p>=</p><p>5− 3i</p><p>2</p><p>125</p><p>(b) γ(t) = 2eit, 0 ≤ t ≤ π</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>2i</p><p>2−2</p><p>γ</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>=</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>2 + 2eit</p><p>2eit</p><p>· 2ieit dt = 2i</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>(1 + eit) dt</p><p>= 2i</p><p>[</p><p>t+</p><p>eit</p><p>i</p><p>]π</p><p>0</p><p>= 2i</p><p>[</p><p>π +</p><p>eπi</p><p>i</p><p>− 1</p><p>i</p><p>]</p><p>= 2 [πi+ cos π + i sen π − 1]</p><p>= 2(−2 + πi)</p><p>(c) γ(t) = eit, π ≤ t ≤ 2π</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>i</p><p>1−1</p><p>γ</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫ 2π</p><p>π</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>π</p><p>1</p><p>(eit)4</p><p>· ieit dt</p><p>= i</p><p>∫ 2π</p><p>π</p><p>e−3it dt = i</p><p>[</p><p>e−3it</p><p>−3i</p><p>]2π</p><p>π</p><p>= −1</p><p>3</p><p>[</p><p>e−6πi − e−3πi</p><p>]</p><p>= −1</p><p>3</p><p>[ cos 6π − i sen 6π − cos 3π + i sen 3π]</p><p>= −1</p><p>3</p><p>(1 + 1) = −2</p><p>3</p><p>126</p><p>(d) γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪ γ4 onde</p><p>γ1(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ2(t) = 1 + it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ3(t) = 1 + i− t, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ4(t) = i(1− t), 0 ≤ t ≤ 1</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>1 + i</p><p>10</p><p>i</p><p>γ1</p><p>γ2</p><p>γ3</p><p>γ4</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz=</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>f(z) dz</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ1(t))γ</p><p>′</p><p>1(t) dt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ2(t))γ</p><p>′</p><p>2(t) dt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ3(t))γ</p><p>′</p><p>3(t) dt+</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ4(t))γ</p><p>′</p><p>4(t) dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>πeπt dt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>πeπ(1−it) idt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>πeπ(1−i−t) (−dt) +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>πe−iπ(1−t) (−idt)</p><p>=</p><p>[</p><p>eπt</p><p>]1</p><p>0</p><p>+ i</p><p>[</p><p>eπ(1−it)</p><p>−i</p><p>]1</p><p>0</p><p>−</p><p>[</p><p>eπ(1−i−t)</p><p>−1</p><p>]1</p><p>0</p><p>− i</p><p>[</p><p>e−iπ(1−t)</p><p>i</p><p>]1</p><p>0</p><p>= eπ − 1− eπ(1−i) + eπ + e−πi − eπ(1−i) − 1 + e−iπ</p><p>= 2eπ − 2eπ(1−i) − 2 + 2e−πi</p><p>= 2eπ − 2eπ( cos π − i sen π)− 2 + 2( cos π − i sen π)</p><p>= 4eπ − 4</p><p>(e) γ(t) = t+ it2, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>1 + ii</p><p>10</p><p>γ</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ(t))γ′(t) dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t2 + t4)(1 + 2ti) dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t2 + t4 + 2t3i+ 2it5) dt</p><p>=</p><p>[</p><p>t3</p><p>3</p><p>+</p><p>t5</p><p>5</p><p>+</p><p>it4</p><p>2</p><p>+</p><p>it6</p><p>3</p><p>]1</p><p>0</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>+</p><p>i</p><p>2</p><p>+</p><p>i</p><p>3</p><p>]</p><p>=</p><p>11 + 25i</p><p>30</p><p>127</p><p>(6) Seja γ(t) = 3eit (0 ≤ t ≤ π). Mostre que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 3</p><p>2</p><p>πe3</p><p>Resolução</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ M · L(γ)</p><p>onde</p><p>L(γ) =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>|γ′(t)| dt =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>|3ieit| dt =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>3 dt = 3π</p><p>e</p><p>M = max</p><p>z∈γ</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ max</p><p>z∈γ</p><p>|ez|</p><p>|z| − 1</p><p>=</p><p>e3e</p><p>it</p><p>|3eit| − 1</p><p>=</p><p>e3 cos t</p><p>3− 1</p><p>≤ e3</p><p>2</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ e3</p><p>2</p><p>· 3π =</p><p>3</p><p>2</p><p>πe3</p><p>(7) Seja γ(t) = Reit (0 ≤ t ≤ π) e R > 3. Mostre que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e3iz</p><p>(z2 + 4)(z2 + 9)</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ πR</p><p>(R2 − 4)(R2 − 9)</p><p>Resolução</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e3iz</p><p>(z2 + 4)(z2 + 9)</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ M · L(γ)</p><p>onde</p><p>L(γ) =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>|γ′(t)| dt =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>|Rieit| dt =</p><p>∫ π</p><p>0</p><p>R dt = Rπ</p><p>e</p><p>M = max</p><p>z∈γ</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>e3iz</p><p>(z2 + 4)(z2 + 9)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ max</p><p>z∈γ</p><p>|e3iz|</p><p>(|z|2 − 4)(|z|2 − 9)</p><p>=</p><p>|e3iReit |</p><p>(|Reit|2 − 4)(|Reit|2 − 9)</p><p>=</p><p>e−3R sen t</p><p>(|R|2 − 4)(|R|2 − 9)</p><p>≤ e−3R</p><p>(|R|2 − 4)(|R|2 − 9)</p><p>≤ 1</p><p>(|R|2 − 4)(|R|2 − 9)</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e3iz</p><p>(z2 + 4)(z2 + 9)</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 1</p><p>(|R|2 − 4)(|R|2 − 9)</p><p>· Rπ =</p><p>πR</p><p>(R2 − 4)(R2 − 9)</p><p>128</p><p>(8) Se γ(t) é o ar</p><p>o da</p><p>ir</p><p>unferên</p><p>ia |z| = 2 que está</p><p>ontido no primeiro quadrante,</p><p>mostre sem</p><p>al</p><p>ular a integral, que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>z2 + 1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ π</p><p>3</p><p>.</p><p>Resolução</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>z2 + 1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ M · L(γ)</p><p>onde</p><p>L(γ) =</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>|γ′(t)| dt =</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>|2ieit| dt =</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>2 dt = π</p><p>e</p><p>M = max</p><p>z∈γ</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>z2 − 1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ max</p><p>z∈γ</p><p>1</p><p>|z|2 − 1</p><p>=</p><p>1</p><p>|2eit|2 − 1</p><p>=</p><p>1</p><p>22 − 1</p><p>≤ 1</p><p>3</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 1</p><p>3</p><p>· π =</p><p>π</p><p>3</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Para</p><p>ada f e o</p><p>aminho γ abaixo determinar o valor de</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz:</p><p>(a) f(z) = Re(z) e γ é a</p><p>ir</p><p>umferên</p><p>ia |z| = 1, per</p><p>orrido no sentido anti-horário;</p><p>(b) f(z) = z2 e γ é o triângulo</p><p>om vérti</p><p>es 0, 1 e 1+i per</p><p>orrido no sentido anti-horário;</p><p>(</p><p>) f(z) = πeπz e γ é a fronteira do quadrado de vérti</p><p>es 0, 1, 1 + i, i orientado no</p><p>sentido anti-horário;</p><p>(d) f(z) = πeπz e γ é o quadrado</p><p>om vérti</p><p>es z = 0,</p><p>z = 1, z = 1+ i e z = i per</p><p>orrida</p><p>no sentido anti-horário.</p><p>(e) f(z) = z2 − z+2 e γ é a parte da parabola y = 1−x2</p><p>que liga o ponto i ao ponto 1;</p><p>(f) f(z) = z e γ é a semi-</p><p>ir</p><p>umferen</p><p>ia |z| = 2,</p><p>om Re(z) ≥ 0, per</p><p>orrida no sentido</p><p>anti-horário;</p><p>129</p><p>(g) f(z) =</p><p>z</p><p>|z|2 e γ é a</p><p>ir</p><p>umferên</p><p>ia |z| = 1, per</p><p>orrido no sentido anti-horário.</p><p>(2) Para</p><p>ada item abaixo, en</p><p>ontre a primitiva de f e</p><p>al</p><p>ule a integral</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz:</p><p>(a) f(z) = sen z e γ é qualquer</p><p>urva</p><p>om ponto ini</p><p>ial z0 = 0 e ponto �nal z1 = 2 = i;</p><p>(b) f(z) = 2z e γ é a</p><p>urva γ(t) = 2 cos 3(πt)− i sen 2</p><p>(</p><p>πt</p><p>4</p><p>)</p><p>, 0 ≤ t ≤ 2;</p><p>(</p><p>) f(z) = zez e γ é a</p><p>urva que une o ponto i ao ponto 1 + i;</p><p>(d) f(z) = 2iz + e3z e γ é qualquer</p><p>urva</p><p>om ponto ini</p><p>ial 0 e ponto �nal 2πi.</p><p>(3) Seja C a reta de (1, 0) a (0, 1). Cal</p><p>ule</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>C</p><p>z dz (b)</p><p>∫</p><p>C</p><p>z8 dz</p><p>(4) Seja γ o</p><p>ir</p><p>ulo unitário. Prove que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>γ</p><p>sen z</p><p>z2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 2πe.</p><p>(5) Estime o valor absoluta de</p><p>∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>2 + z2</p><p>onde γ é o parte superior do</p><p>ir</p><p>ulo unitário.</p><p>(6) Prove que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>z</p><p>5 + 2iz</p><p>dz</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 8π.</p><p>(7) Fazendo R → ∞, prove que</p><p>∫</p><p>|z|=R</p><p>e1/z</p><p>zk</p><p>dz = 0</p><p>para k = 2, 3, 4, · · · e qualquer R > 0.</p><p>130</p><p>Aula 7 - Teorema de Cau</p><p>hy</p><p>O Teorema Fundamental do Cál</p><p>ulo provado na Aula 6, em parti</p><p>ular, diz que se uma</p><p>função</p><p>ontínua f tem uma primitiva F numa aberto</p><p>onexo D, então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz = 0</p><p>para qualquer</p><p>urva fe</p><p>hada γ</p><p>ontido em D.</p><p>Agora, duas perguntas surgem: 1) Quais são as</p><p>ondições sobre f que garante a</p><p>existên</p><p>ia de F tal que F ′ = f? 2) Quais são as hipóteses sobre f , para que possamos</p><p>ter</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz = 0 para uma</p><p>urva fe</p><p>hada γ?</p><p>O Teorema de Cau</p><p>hy responda às questões levantadas a</p><p>ima. Antes de enun</p><p>iar o</p><p>Teorema de Cau</p><p>hy pre</p><p>isamos do seguinte teorema.</p><p>Teorema 7. (Teorema de Green) Suponha que R é um aberto simplesmente</p><p>onexo e</p><p>que γ = ∂R é um</p><p>aminho fe</p><p>hado orientado no sentido anti-horário.</p><p>Seja P = P (x, y) : R −→ R, Q = Q(x, y) : R −→ R funções</p><p>ontinuas</p><p>om derivadas</p><p>par</p><p>iais Px, Py, Qx, Qy</p><p>ontinuas em R. Então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>P (x, y) dx+Q(x, y) dy =</p><p>∫∫</p><p>R</p><p>(</p><p>∂Q</p><p>∂x</p><p>− ∂P</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dx dy.</p><p>Observação 13. A demonstração do Teorema de Green pode ser en</p><p>ontrada em livros</p><p>de Cál</p><p>ulo de varias variáveis.</p><p>Teorema 8. (Teorema de Cau</p><p>hy - Versão Bási</p><p>a) Suponha que D é um aberto</p><p>onexo.</p><p>Se f(z) é analíti</p><p>a em D e f ′(z) é</p><p>ontinua em D, então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz = 0</p><p>para qualquer</p><p>aminho fe</p><p>hado γ em D</p><p>om a propriedade que a região interior a γ é um</p><p>sub</p><p>onjunto simplesmente</p><p>onexo de D.</p><p>131</p><p>Demonstração. Usamos o Teorema de Green.</p><p>Seja R a região interior a γ, ou seja γ = ∂R. Então f(z) é analíti</p><p>a em R, e f ′(z) é</p><p>ontinua em R. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) para z ∈ D e dz = dx+ idy, então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(</p><p>u(x, y) + iv(x, y)</p><p>)(</p><p>dx+ idy</p><p>)</p><p>=</p><p>∫</p><p>γ</p><p>u(x, y)dx+ iv(x, y)dx+ iu(x, y)dy − v(x, y)dy</p><p>=</p><p>∫</p><p>γ</p><p>u(x, y)dx− v(x, y)dy + i</p><p>∫</p><p>γ</p><p>v(x, y)dx+ u(x, y)dy</p><p>=</p><p>∫∫</p><p>R</p><p>(</p><p>−∂v</p><p>∂x</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dxdy + i</p><p>∫∫</p><p>R</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>− ∂v</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dxdy</p><p>= 0</p><p>pois f analíti</p><p>a em D impli</p><p>a que u e v satisfazer as equações de Cau</p><p>hy-Riemann em</p><p>D, ou seja</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) =</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) e</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>(x0, y0) = −∂v</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) ∀z0 = x0 + iy0 ∈ D.</p><p>�</p><p>Observação 14. A importân</p><p>ia do Teorema de Cau</p><p>hy é que não pre</p><p>isamos saber que</p><p>f tem primitiva em D.</p><p>Exemplo 53. (1) Seja D = C e γ(t) = eit, −π</p><p>o Fórmula Integral de Cau</p><p>hy, observamos mais uma</p><p>onsequên</p><p>ia</p><p>do Teorema de Cau</p><p>hy:</p><p>135</p><p>Proposição 13. Seja D um aberto simplesmente</p><p>onexo e γ uma</p><p>urva fe</p><p>hada simples</p><p>em D. Para algum r > 0, seja γr o</p><p>ir</p><p>ulo de raio r</p><p>ontido em D em torno de um ponto</p><p>z0 ∈ D. Se f é analíti</p><p>a em D − {z0} então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz =</p><p>∫</p><p>γr</p><p>f(z) dz.</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io</p><p>Teorema 12. (Formula Integral de Cau</p><p>hy) Seja f : D −→ C uma função holomorfa</p><p>num aberto simplesmente</p><p>onexo D ⊂ C e γ um</p><p>aminho fe</p><p>hado simples</p><p>ontido em D.</p><p>Para todo z0 ∈ int(γ) tem-se</p><p>f(z0) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(w)</p><p>w − z0</p><p>dw</p><p>(a integral a</p><p>ima é orientada no sentido anti-horário).</p><p>Demonstração. Fixe z0 ∈ D e seja γr o</p><p>ir</p><p>ulo de raio r > 0</p><p>entrado em z0. Então</p><p>pelo Proposição 13 temos que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(w)</p><p>w − z0</p><p>dw − f(z0)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γr</p><p>f(w)</p><p>w − z0</p><p>dw − f(z0)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γr</p><p>f(w)− f(z0)</p><p>w − z0</p><p>dw</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>f(z0 + reit)− f(z0)</p><p>reit</p><p>ireitdt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>2π</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>f(z0 + reit)− f(z0) dt</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ 1</p><p>2π</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>|f(z0 + reit)− f(z0)| dt</p><p>A</p><p>ontinuidade de f em z0 impli</p><p>a que dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se r</p><p>função f(z) =</p><p>1</p><p>p(z)</p><p>. Então</p><p>(a) f é uma função inteira pois p é inteira e p(z) 6= 0 para todo z ∈ C</p><p>(b) f é limitada pois</p><p>|anzn| = |p(z)− an−1z</p><p>n−1 − · · · − a1z − a0|</p><p>⇒ |an||z|n ≤ |p(z)|+ |an−1||z|n−1 + · · ·+ |a1||z|+ |a0|</p><p>⇒ |p(z)| ≥ |z|n ·</p><p>(</p><p>|an| −</p><p>|an−1|</p><p>|z| − · · · − |a1|</p><p>|z|n−1</p><p>− |a0|</p><p>|z|n</p><p>)</p><p>⇒ |f(z)| = 1</p><p>|p(z)| ≤</p><p>(</p><p>1</p><p>|z|n</p><p>)</p><p>·</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>|an| −</p><p>|an−1|</p><p>|z| − · · · − |a1|</p><p>|z|n−1</p><p>− |a0|</p><p>|z|n</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>142</p><p>Como lim</p><p>|z|→∞</p><p>1</p><p>|z|n = 0 e lim</p><p>|z|→∞</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>|an| −</p><p>|an−1|</p><p>|z| − · · · − |a1|</p><p>|z|n−1</p><p>− |a0|</p><p>|z|n</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>1</p><p>|an|</p><p>6= 0</p><p>Portanto</p><p>lim</p><p>|z|→∞</p><p>|f(z)| = 0.</p><p>Em parti</p><p>ular |f(z)| R (um tal R existe pois lim</p><p>|z|→∞</p><p>|f(z)| = 0).</p><p>Mas para |z| ≤ R, |f(z)| é limitada por</p><p>onstante digamos K pois |f | é</p><p>ontinua.</p><p>Portanto temos que f é limitada para todo z ∈ C.</p><p>Portanto f ≡</p><p>onstante em C.</p><p>Portanto p =</p><p>1</p><p>f</p><p>≡</p><p>onstante em C,</p><p>ontradizendo o fato que p é não</p><p>onstante.</p><p>Portanto p deve ter um zero em C.</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Use a Fórmula Integral de Cau</p><p>hy para</p><p>al</p><p>ular:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz, onde γ1(t) = 2eit, (0 ≤ t ≤ 2π)</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz, onde γ2(t) = 2e−it, (0 ≤ t ≤ 2π)</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>cos z</p><p>z2 − 2z</p><p>dz, onde γ3(t) é o quadrado</p><p>om verti</p><p>es ± 1,±i,</p><p>per</p><p>orrido no sentido anti-horário uma vez.</p><p>(d)</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>ez + z</p><p>z − 2</p><p>dz, onde γ4(t) é o</p><p>ir</p><p>ulo de raio 1</p><p>entrado na origem</p><p>per</p><p>orrido no sentido anti-horario.</p><p>(e)</p><p>∫</p><p>γ5</p><p>ez + z</p><p>z − 2</p><p>dz, onde γ5(t) é o</p><p>ir</p><p>ulo de raio 3</p><p>entrado na origem</p><p>per</p><p>orrido no sentido anti-horario.</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) = z4. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ1, então pelo Formula Integral de</p><p>143</p><p>Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>f(z)</p><p>z − 1</p><p>dz = 2πi · f(1) = 2πi</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ−1</p><p>1</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz = −</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>z4</p><p>z − 1</p><p>dz = −2πi</p><p>(</p><p>) Seja f(z) =</p><p>cos z</p><p>z − 2</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ3, então pelo Formula Integral</p><p>de Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>cos z</p><p>z2 − 2z</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>cos z</p><p>z(z − 2)</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>f(z)</p><p>z</p><p>dz = 2πi · f(0) = 2πi · −1</p><p>2</p><p>= −πi</p><p>(d) Seja f(z) =</p><p>ez + z</p><p>z − 2</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ4, então pelo Teorema de</p><p>Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>ez + z</p><p>z − 2</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>f(z)dz = 0.</p><p>(e) Seja f(z) = ez + z. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ5, então pelo Formula Integral</p><p>de Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ5</p><p>ez + z</p><p>z − 2</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ5</p><p>f(z)</p><p>z − 2</p><p>dz = 2πi · f(2) = 2πi(e2 + 2)</p><p>(2) Seja γ(t) = eit (0 ≤ t ≤ 2π). Cal</p><p>ule as seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e sen z</p><p>z(z − 2)2</p><p>dz (b)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2</p><p>dz (c)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>|z + 1|2 dz (d)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>|z − 1||dz|</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) =</p><p>e sen z</p><p>(z − 2)2</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula</p><p>Integral de Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>sen z</p><p>z(z − 2)2</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>z</p><p>dz = 2πi · f(0) = 2πi · 1</p><p>4</p><p>=</p><p>πi</p><p>2</p><p>.</p><p>(b) Seja f(z) = ez. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy para Derivadas temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>z2</p><p>dz =</p><p>2πi</p><p>1!</p><p>· f ′(0)</p><p>144</p><p>Mas,</p><p>f ′(z) = ez ⇒ f ′(0) = 1</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2</p><p>dz =</p><p>2πi</p><p>1!</p><p>· 1 = 2πi.</p><p>(</p><p>)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>|z + 1|2dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(z + 1)(z + 1)dz</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>(eit + 1)(e−it + 1)ieitdt</p><p>= i</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>(e2it + 2eit + 1)dt</p><p>= i</p><p>[</p><p>e2it</p><p>2i</p><p>+</p><p>2eit</p><p>i</p><p>+ t</p><p>]2π</p><p>0</p><p>= 2πi</p><p>(d)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>|z − 1| |dz| =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>√</p><p>(z − 1)(z − 1) |dz|</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>√</p><p>(eit − 1)(e−it − 1) |ieitdt|</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>√</p><p>2− (eit + e−it) dt</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>√</p><p>2− 2 cos t dt</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>√</p><p>4 sen 2(t/2) dt</p><p>=</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>2 sen (t/2) dt</p><p>= [ 4 cos (t/2)]2π0</p><p>= −8</p><p>(3) Seja γ(t) = 2eit (0 ≤ t ≤ 2π). Cal</p><p>ule as seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>2</p><p>z</p><p>dz (b)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>2</p><p>(2z − 1)2</p><p>dz (c)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>zez</p><p>z2 + 9</p><p>dz</p><p>(d)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2 − 1</p><p>dz (e)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eπz</p><p>z10</p><p>dz (f)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>zIm(z) dz</p><p>(g)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1 + z2</p><p>(1− z)3</p><p>dz</p><p>145</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) = ez</p><p>2</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>2</p><p>z</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>z</p><p>dz = 2πi · f(0) = 2πi · 1 = 2πi.</p><p>(b) Seja f(z) = ez</p><p>2</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy para Derivadas temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>2</p><p>(2z − 1)2</p><p>dz =</p><p>1</p><p>22</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>(z − 1/2)2</p><p>dz =</p><p>1</p><p>4</p><p>· 2πi</p><p>1!</p><p>· f ′(1/2)</p><p>Mas,</p><p>f ′(z) = 2zez</p><p>2 ⇒ f ′(1/2) = e1/4</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>2</p><p>(2z − 1)2</p><p>dz =</p><p>1</p><p>4</p><p>· 2πi</p><p>1!</p><p>· e1/4 = 1</p><p>2</p><p>πie1/4.</p><p>(</p><p>) Seja f(z) =</p><p>zez</p><p>z2 + 9</p><p>. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Teorema de</p><p>Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>zez</p><p>z2 + 9</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)dz = 0.</p><p>(d) Seja f(z) = ez. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pela Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2 − 1</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>(z − 1)(z + 1)</p><p>dz =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z − 1</p><p>dz − 1</p><p>2</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z + 1</p><p>dz</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>· 2πif(1)− 1</p><p>2</p><p>· 2πif(−1)</p><p>= πie− πie−1</p><p>=</p><p>(e2 − 1)πi</p><p>e</p><p>(e) Seja f(z) = eπz. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy para Derivadas temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eπz</p><p>z10</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>z10</p><p>dz =</p><p>2πi</p><p>9!</p><p>· f (9)(0)</p><p>146</p><p>Mas,</p><p>f (9)(z) = π9eπz ⇒ f (9)(0) = π9</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eπz</p><p>z10</p><p>dz =</p><p>2πi</p><p>9!</p><p>· π9 =</p><p>2π10i</p><p>9!</p><p>.</p><p>(f)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>zIm(z)dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z</p><p>(</p><p>z − z</p><p>2i</p><p>)</p><p>dz</p><p>=</p><p>1</p><p>2i</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(z2 − zz)dz</p><p>=</p><p>1</p><p>2i</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>[(2eit)2 − (2eit)(eit)]2ieitdt</p><p>= 4</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>(e3it − eit)dt</p><p>= 4</p><p>[</p><p>e3it</p><p>3i</p><p>− eit</p><p>i</p><p>]2π</p><p>0</p><p>= 0</p><p>(g) Seja f(z) = 1+ z2. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral</p><p>de Cau</p><p>hy para Derivadas temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1 + z2</p><p>(1− z)3</p><p>dz = −</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>(z − 1)3</p><p>dz = −2πi</p><p>2!</p><p>· f ′′(1)</p><p>Mas,</p><p>f ′′(z) = 2 ⇒ f ′(1) = 2</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1 + z2</p><p>(1− z)3</p><p>dz = −2πi</p><p>2!</p><p>· 2 = −2πi.</p><p>(4)</p><p>(a) Seja γ(t) = t+ i(1− t2) para −1 ≤ t ≤ 1,</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez dz</p><p>(b) Seja γ(t) = 2πeit para −2π ≤ t ≤ 2π,</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2</p><p>dz</p><p>(</p><p>) Seja γ(t) = t+ i(1− t) para 0 ≤ t ≤ 1,</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z − i dz</p><p>(d) Seja γ(t) = et+2πit</p><p>para −1 ≤ t ≤ 1,</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1− z + z2</p><p>z</p><p>dz</p><p>Resolução</p><p>147</p><p>(a) Pelo Teorema Fundamental do Cál</p><p>ulo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez dz =</p><p>[</p><p>ez</p><p>]γ(1)</p><p>γ(−1)</p><p>= [ ez ]1−1 = e− e−1.</p><p>(b) Pela Formula Integral de Cau</p><p>hy para Derivadas</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>z2</p><p>dz =</p><p>2πi</p><p>1!</p><p>d</p><p>dz</p><p>(ez)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=0</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>ez</p><p>]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=0</p><p>= 2πi.</p><p>(</p><p>) Pelo de�nição da Integral de linha</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z − i dz =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[ t + i(1− t)− i] d(t + i(1− t))</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[t− i(1− t)− i] (1− i)dt</p><p>= (1− i)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t− 2i+ ti] dt</p><p>= (1− i)</p><p>[</p><p>t</p><p>2</p><p>− 2it+</p><p>t2i</p><p>2</p><p>]1</p><p>0</p><p>= (1− i)</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>− 2i+</p><p>i</p><p>2</p><p>]</p><p>=</p><p>(1− i)(1 − 3i)</p><p>2</p><p>= −1 − 2i</p><p>(d) Pelo Teorema Fundamental do Cál</p><p>ulo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1− z + z2</p><p>z</p><p>dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>− 1 + z</p><p>)</p><p>dz</p><p>=</p><p>[</p><p>log z − z +</p><p>z2</p><p>2</p><p>]γ(1)</p><p>γ(−1)</p><p>=</p><p>[</p><p>log z − z +</p><p>z2</p><p>2</p><p>]e</p><p>e−1</p><p>=</p><p>(</p><p>1− e +</p><p>e2</p><p>2</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>−1− 1</p><p>e</p><p>+</p><p>1</p><p>2e2</p><p>)</p><p>=</p><p>e4 − 2e3 + 4e2 + 2e− 1</p><p>2e2</p><p>148</p><p>(5) Seja γ a</p><p>urva triangular mostrado ao</p><p>lado, de 0 para 2 depois para 2i e �nalmente</p><p>para 0. Cal</p><p>ule os seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z dz (b)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>sen z dz (c)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez dz</p><p>(2z − 1− i)2</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>2i</p><p>2</p><p>Resolução</p><p>(a) γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 onde</p><p>γ1(t) = 2t, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ2(t) = 2(1− t) + 2it, 0 ≤ t ≤ 1</p><p>γ3(t) = 2i(1− t), 0 ≤ t ≤ 1</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) dz=</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>f(z) dz +</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>f(z) dz</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ1(t))γ</p><p>′</p><p>1(t) dt+</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ2(t))γ</p><p>′</p><p>2(t) dt+</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>f(γ3(t))γ</p><p>′</p><p>3(t) dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(0)(2) dt +</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[2(1− t)− 2it](−2 + 2i) dt+</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>−2i(1− t) (−2idt)</p><p>= (−2 + 2i)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(2− 2t− 2it) dt− 4</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(1− t) dt</p><p>= (−2 + 2i)</p><p>[</p><p>2t− t2 − it2</p><p>]1</p><p>0</p><p>− 4</p><p>[</p><p>t− t2</p><p>2</p><p>]1</p><p>0</p><p>= (−2 + 2i)(2− 1− 4i)− 4</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>= 4 + 10i</p><p>(b) Seja f(z) = sen z. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Teorema de</p><p>Cau</p><p>hy temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>sen z dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)dz = 0.</p><p>(</p><p>) Seja f(z) = ez. Como f é analíti</p><p>a no interior de γ, então pelo Formula Integral de</p><p>Cau</p><p>hy para Derivadas temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>(2z − 1− i)2</p><p>dz =</p><p>1</p><p>22</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)</p><p>(</p><p>z − (1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>2</p><p>i)</p><p>)2 dz =</p><p>1</p><p>4</p><p>· 2πi</p><p>1!</p><p>· f ′</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>)</p><p>149</p><p>Mas,</p><p>f ′(z) = ez ⇒ f ′</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>)</p><p>= e(</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>2</p><p>i)</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez</p><p>(2z − 1− i)2</p><p>dz =</p><p>1</p><p>4</p><p>· 2πi</p><p>1!</p><p>· e( 1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>2</p><p>i) =</p><p>1</p><p>2</p><p>πie(</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>2</p><p>i).</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Use o Teorema de Cau</p><p>hy para</p><p>al</p><p>ule as seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1</p><p>z2 − 2(1 + i)z + 2i</p><p>dz, onde γ é qualquer</p><p>urva fe</p><p>hada que não</p><p>ontém 1+i</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>1</p><p>z2 − 3iz − 2</p><p>dz,</p><p>onde γ é qualquer</p><p>urva fe</p><p>hada que não</p><p>ontém os pontos i e 2i</p><p>(2) Use a Fórmula Integral de Cau</p><p>hy para</p><p>al</p><p>ular:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>|z−1|=3</p><p>1</p><p>z(z2 − 4)ez</p><p>dz (b)</p><p>∫</p><p>|z−1|=2</p><p>sen z</p><p>z2 − z)</p><p>dz</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>ez</p><p>2</p><p>(z − i)4</p><p>dz (d)</p><p>∫</p><p>|z−i|=2</p><p>cosh z2</p><p>z(z2 + 4)</p><p>dz</p><p>(e)</p><p>∫</p><p>|z−2|=1</p><p>cosh z2</p><p>z(z2 + 4)</p><p>dz (f)</p><p>∫</p><p>|z−2|=5</p><p>1</p><p>z3(z − 1)2</p><p>dz</p><p>(g)</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>ez</p><p>z(z − 2)3</p><p>dz (h)</p><p>∫</p><p>|z|=5</p><p>f ′(z)</p><p>f(z)</p><p>dz, onde f(z) =</p><p>(z − 4)3(z2 + 1)</p><p>2− z2</p><p>(3) Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>C</p><p>iz2</p><p>(2z − i)2</p><p>dz onde C é o retângulo</p><p>om verti</p><p>es ±1± i.</p><p>(4) Usando a Formula Integral de Cau</p><p>hy,</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫</p><p>C</p><p>cos z</p><p>(z + i)(z − i)2</p><p>dz</p><p>onde C é o quadrado de vérti</p><p>es −1, 1, 1 − 2i e −1 − 2i per</p><p>orrido no sentido</p><p>anti-horário.</p><p>150</p><p>(5) Seja γ a</p><p>urva mostrada ao lado. Ela</p><p>onsiste</p><p>do eixo x de 0 até 2, seguida pelo ar</p><p>o do</p><p>ir</p><p>ulo</p><p>|z| = 2 de 2 até 2i, seguida pelo eixo y de 2i até</p><p>0. Cal</p><p>ule os seguintes integrais:</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z dz (b)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ez dz</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z2 + 1</p><p>(z − 1− i)2</p><p>dz (d)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>z4 − 1</p><p>z − 2− 2i</p><p>dz</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>2i</p><p>2</p><p>γ</p><p>(6) (a) Seja f uma função inteira e suponha que existem M ≥ 0,R > 0 e n ≥ 1 tais que</p><p>|f(z)| ≤ M |z|n para |z| ≥ R. Mostre que f é um polin�mio de grau ≤ n.</p><p>(b) Seja f uma função inteira e suponha que existem</p><p>onstante a, b tal que</p><p>|f(z)| ≤ a|z| + b, para todo z ∈ C. Mostre que f é um polin�mio de grau ≤ 1.</p><p>(</p><p>) Seja f uma função inteira e suponha que m e n são inteiros tal que (2 + |z|m)−1d</p><p>nf</p><p>dzn</p><p>é limitada em C. Prove que f é um polin�mio e estime o grau de f em termos de</p><p>m e n.</p><p>(d) Seja f uma função inteira tal que Imf(z) é</p><p>onstante. Mostre que f é uma</p><p>onstante.</p><p>(e) Seja f uma função inteira tal que Re(f(z)) ≥ 0, ∀z. Mostre que f é uma</p><p>onstante.</p><p>(f) Seja f uma função inteira tal que Re(f(z)) ≤ Im(f(z)), ∀z ∈ C Mostre que f é uma</p><p>onstante. Di</p><p>a: Considere g(z) = e(1+i)f(z)</p><p>(g) Seja f uma função inteira; se lim</p><p>|z|→∞</p><p>|f(z)| = L existe (�nito ou in�nito), mostre que</p><p>f é um polin�mio.</p><p>151</p><p>Aula 8 - Series de Taylor e de Laurent</p><p>Nosso prin</p><p>ipal objetivo neste aula é provar que se f é uma função analíti</p><p>a num</p><p>aberto</p><p>onexo D então f pode ser expandida em uma série de Taylor en torno de qualquer</p><p>ponto a ∈ D. Além disso, a série de Taylor para f</p><p>onverge uniformemente para f para</p><p>qualquer z num dis</p><p>o fe</p><p>hado</p><p>entrado em a e</p><p>ontido em D.</p><p>Antes re</p><p>ordaremos alguns</p><p>on</p><p>eitos.</p><p>Sequên</p><p>ias</p><p>Uma sequên</p><p>ia de números</p><p>omplexos é uma função</p><p>N −→ C</p><p>n 7→ f(n)</p><p>Em geral, usamos zn no lugar de f(n) e representamos essa sequên</p><p>ia apenas por (zn).</p><p>De�nição 31. Dizemos que uma sequên</p><p>ia (zn)</p><p>onverge se existe L ∈ C tal que, para</p><p>todo ǫ > 0, tomando arbitrariamente,</p><p>onseguirmos en</p><p>ontrar N ∈ N tal que |zn−L| N .</p><p>Neste</p><p>aso dizemos que a sequên</p><p>ia (zn)</p><p>onverge para L e que L é o limite de (zn).</p><p>Denotamos</p><p>lim zn = L ou zn → L</p><p>Lema 4. Seja zn ∈ C e es</p><p>reva zn = xn + iyn, xn, yn ∈ R. Então zn</p><p>onverge se, e</p><p>somente se, xn e yn</p><p>onvergem.</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io.</p><p>152</p><p>Séries</p><p>Seja (zn) uma sequên</p><p>ia em C. Chamamos de uma serie a soma</p><p>z0 + z1 + z2 + · · · =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn</p><p>De�nição 32. Dizemos que a serie</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn</p><p>onverge se a sequên</p><p>ia de somas par</p><p>iais</p><p>sn =</p><p>n</p><p>∑</p><p>k=0</p><p>zk</p><p>onverge. O limite s desta sequên</p><p>ia de somas par</p><p>iais é</p><p>hamado de a soma</p><p>da serie e es</p><p>revemos</p><p>s =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn</p><p>A serie que não</p><p>onverge é</p><p>hamado divergente.</p><p>Lema 5. A serie</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn é</p><p>onvergente</p><p>onverge se, e somente se,</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>Re(zn) e</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>Im(zn)</p><p>são</p><p>onvergentes.</p><p>Demonstração. Exer</p><p>í</p><p>io.</p><p>De�nição 33. Uma série</p><p>omplexa</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn</p><p>onverge absolutamente se a série de números</p><p>reais positivos</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>|zn|</p><p>onverge.</p><p>Teorema 14. Suponha que</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn é absolutamente</p><p>onvergente. Então</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn é</p><p>onvergente.</p><p>Demonstração. Suponha que</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn é absolutamente</p><p>onvergente. Seja zn = xn+ iyn.</p><p>Então |xn|, |yn| ≤ |zn|. Pelo teste da</p><p>omparação, as series reais</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>xn e</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>yn são</p><p>absolutamente</p><p>onvergentes. Como xn, yn são reais sabemos que</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>xn</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>|xn|,</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>yn</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>|yn|</p><p>Portanto</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>xn e</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>yn são</p><p>onvergentes. Logo pelo lema a</p><p>ima,</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn é</p><p>onvergente.</p><p>153</p><p>Observação 17. A re</p><p>íoro</p><p>a do teorema a</p><p>ima é falsa pois</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>n</p><p>é</p><p>onvergente</p><p>mas</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>(−1)n</p><p>n</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n</p><p>é divergente.</p><p>Proposição 14. (Teste da Razão) Seja</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn uma série. Suponha que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|zn+1|</p><p>|zn|</p><p>= R (TR)</p><p>Se R 1 então</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn diverge.</p><p>Observação 18. Se R = 1 em (TR) então não podemos a�rmar nada: a série pode</p><p>onvergir absolutamente, ela pode</p><p>onvergir mas não absolutamente, ou ela pode divergir.</p><p>Proposição 15. (Teste da Raiz) Seja</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn uma série. Suponha que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|zn|1/n = R (TRR)</p><p>Se R 1 então</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn diverge.</p><p>Observação 19. Se R = 1 em (TRR) então não podemos a�rmar nada: a série pode</p><p>onvergir absolutamente, ela pode</p><p>onvergir mas não absolutamente, ou ela pode divergir.</p><p>Séries de Potên</p><p>ias</p><p>De�nição 34. A série da forma</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z− z0)</p><p>n</p><p>onde an ∈ C, z ∈ C é</p><p>hamada de uma</p><p>série de potên</p><p>ias</p><p>entrada no ponto z0.</p><p>Fazendo a mudança de variáveis w = z − z0 vemos que somente é pre</p><p>iso</p><p>onsiderar</p><p>a série de potên</p><p>ias</p><p>entrada em 0, ou seja série de potên</p><p>ias da forma</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>anz</p><p>n</p><p>154</p><p>Teorema 15. Seja</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>anz</p><p>n</p><p>uma série de potên</p><p>ias e seja</p><p>R = sup{r ≥ 0 | ∃z ∈ C tal que |z| = r e</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>anz</p><p>n</p><p>onverge}</p><p>Então</p><p>(a)</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>anz</p><p>n</p><p>onverge absolutamente para |z| R.</p><p>Observação 20. Não podemos a�rmar nada no</p><p>aso quando |z| = R : a série potên</p><p>ias</p><p>pode</p><p>onvergir, pode</p><p>onvergir mas não absolutamente, ou pode divergir.</p><p>De�nição 35. O número R dado no teorema a</p><p>ima é</p><p>hamada o raio de</p><p>onvergên</p><p>ia</p><p>da série de potên</p><p>ias</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>anz</p><p>n. Chamamos o</p><p>onjunto {z ∈ C | |z| 0. Seja a função f : B(z0,R) −→ C de�nida por</p><p>f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z − z0)</p><p>n</p><p>Então f é analíti</p><p>a em B(z0,R) é analíti</p><p>a. Sua derivada é obtido derivando termo a</p><p>termo, ou seja,</p><p>f ′(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>nan(z − z0)</p><p>n−1</p><p>para todo z ∈ B(z0,R)</p><p>=</p><p>1</p><p>4− 3i</p><p>· 4 + 3i</p><p>4 + 3i</p><p>=</p><p>4 + 3i</p><p>16 + 9</p><p>=</p><p>4</p><p>25</p><p>+</p><p>3</p><p>25</p><p>i</p><p>(4)</p><p>(</p><p>3− i</p><p>−1 + 2i</p><p>)</p><p>=</p><p>[</p><p>(</p><p>3− i</p><p>−1 + 2i</p><p>)</p><p>·</p><p>(−1− 2i</p><p>−1− 2i</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>(−3− 2) + (−6 + 1)i</p><p>1 + 2</p><p>]</p><p>=</p><p>(−5</p><p>3</p><p>− 5</p><p>3</p><p>i</p><p>)</p><p>=</p><p>−5</p><p>3</p><p>+</p><p>5</p><p>3</p><p>i</p><p>(5)</p><p>i3 + i2 + i17 − i35</p><p>i16 − i13 + i30</p><p>=</p><p>−i− 1 + i− i</p><p>1− i− 1</p><p>=</p><p>−1 − i</p><p>−i</p><p>=</p><p>−1 − i</p><p>−i</p><p>· i</p><p>i</p><p>= 1− i</p><p>(6)</p><p>(2− i)2</p><p>3 + i</p><p>=</p><p>4− 4i+ i2</p><p>3 + i</p><p>=</p><p>3− 4i</p><p>3 + i</p><p>· 3− i</p><p>3− i</p><p>=</p><p>(9− 4) + (−3 − 12)i</p><p>9 + 1</p><p>=</p><p>5</p><p>10</p><p>− 15</p><p>10</p><p>i</p><p>9</p><p>Exemplo 3. Determine x ∈ R de modo que z =</p><p>2− xi</p><p>1 + 2xi</p><p>seja imaginário puro.</p><p>Resolução.</p><p>z =</p><p>2− xi</p><p>1 + 2xi</p><p>=</p><p>2− xi</p><p>1 + 2xi</p><p>· 1− 2xi</p><p>1− 2xi</p><p>=</p><p>(2− 2x2) + (−4x− x)i</p><p>1 + 4x2</p><p>=</p><p>2− 2x2</p><p>1 + 4x2</p><p>− 5x</p><p>1 + 4x2</p><p>i</p><p>z é imaginário puro se, e somente se, Re(z) = 0, ou seja,</p><p>2− 2x2 ⇒ x = ±1.</p><p>Propriedades do Conjugado de um número</p><p>omplexo</p><p>Lema 2. Para quaisquer z, z1, z2 ∈ C temos</p><p>(1) z = z (2) z = z ⇔ z ∈ R</p><p>(3) z + z = 2Re(z) (4) z − z = 2iIm(z)</p><p>(5) z1 ± z2 = z1 ± z2 (6) z1 · z2 = z1 · z2</p><p>(7)</p><p>(</p><p>z1</p><p>z2</p><p>)</p><p>=</p><p>z1</p><p>z2</p><p>(8) (z)n = (zn), n ∈ N</p><p>Demonstração.</p><p>(1) Seja z = x+ iy, então z = x− iy. Portanto z = x+ iy = z</p><p>(2) Seja z = x+ iy. Então</p><p>z = z ⇔ x− iy = x+ iy ⇔ 2iy = 0 ⇔ y = 0</p><p>Logo z = x que é real.</p><p>(3) Seja z = x+ iy. Então</p><p>z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2x = 2Re(z)</p><p>10</p><p>(4) Seja z = x+ iy. Então</p><p>z − z = (x+ iy)− (x− iy) = 2iy = 2Im(z)</p><p>(5) Seja z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 Então z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2) Portanto</p><p>z1 ± z2 = (x1 ± x2)− i(y1 ± y2) = (x1 − iy1)± (x2 − iy2) = z1 ± z2</p><p>(6) Seja z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 Então</p><p>z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)</p><p>Portanto</p><p>(z1 · z2) = (x1x2 − y1y2)− i(x1y2 + x2y1)</p><p>= (x1x2 − ix1y2) + (−y1y2 − ix2y1)</p><p>= x1(x2 − iy2)− iy1(x2 − iy2)</p><p>= (x1 − iy1)(x2 − iy2)</p><p>= z1z2</p><p>(7) Seja z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 Então</p><p>z1</p><p>z2</p><p>=</p><p>(x1 + iy1)(x2 − iy2)</p><p>(x2 + iy2)(x2 − iy2)</p><p>=</p><p>x1x2 + y1y2</p><p>x2 + y2</p><p>+ i</p><p>x2y1 − x1y2</p><p>x2</p><p>2 + y22</p><p>Portanto</p><p>(</p><p>z1</p><p>z2</p><p>)</p><p>=</p><p>x1x2 + y1y2</p><p>x2</p><p>2 + y22</p><p>− i</p><p>x2y1 − x1y2</p><p>x2</p><p>2 + y22</p><p>=</p><p>(x1x2 + ix1y2) + (y1y2 − ix2y1)</p><p>x2</p><p>2 + y22</p><p>=</p><p>x1(x2 + iy2)− iy1(x2 + iy2)</p><p>x2</p><p>2 + y22</p><p>=</p><p>(x1 − iy1)(x2 + iy2)</p><p>(x2 + iy2)(x2 − iy2)</p><p>=</p><p>x1 − iy1</p><p>x2 − iy2</p><p>=</p><p>z1</p><p>z2</p><p>11</p><p>(8) Vamos provar por indução. O resultado é valido para n = 1, pois (z)1 = (z1)</p><p>Agora suponha que o resultado seja valido para m ≥ 1, ou seja, (z)m = (zm). Então</p><p>(z)m+1 = (z)m · (z)</p><p>= (zm) · (z) (por hipótese de indução)</p><p>= (zm) · (z)</p><p>= (zm+1)</p><p>Portanto por indução (z)n = (zn), n ∈ N �</p><p>Corolário 1. Se z0 é uma raíz da equação polinomial akz</p><p>k+ak−1z</p><p>k−1+ · · ·+a1z+a0 = 0</p><p>onde</p><p>ada ai é um número real, então z0 também é uma raíz.</p><p>Demonstração. Usando as propriedades do</p><p>onjugado temos que</p><p>ak(z0)</p><p>k + ak−1(z0)</p><p>k−1 + · · ·+ a1z0 + a0 = ak(z0</p><p>k) + ak−1(z0</p><p>k−1) + · · ·+ a1z0 + a0</p><p>= ak(z0</p><p>k) + ak−1(z0</p><p>k−1) + · · ·+ a1z0 + a0</p><p>= ak(z0)k + ak−1(z0)k−1 + · · ·+ a1z0 + a0</p><p>= 0 pois z0 é uma raíz</p><p>= 0</p><p>Portanto z0 é uma raíz da equação. �</p><p>12</p><p>Propriedades do Módulo de um número</p><p>omplexo</p><p>Lema 3. Para quaisquer z, z1, z2 ∈ C temos</p><p>(1) |z| = |z| (2) |z| > |Re(z)| e |z| > |Im(z)|</p><p>(3) |z1z2| = |z1||z2| (4)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z1</p><p>z2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>|z1|</p><p>|z2|</p><p>, z2 6= 0</p><p>(5) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| (desigualdade triangular) (6) |z1 − z2| ≥</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>|z1| − |z2|</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>Demonstração. Provaremos (5) e (6) e deixaremos o restante</p><p>om exer</p><p>í</p><p>ios.</p><p>(5)</p><p>|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) pelo Lema 1</p><p>= (z1 + z2)(z1 + z2)</p><p>= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2</p><p>= |z1|2 + z1z2 + (z1z2) + |z2|2</p><p>= |z|2 + 2Re(z1z2) + |z2|2</p><p>≤ |z1|2 + 2|z1z2|+ |z2|2</p><p>= |z1|2 + 2|z1||z2|+ |z2|2</p><p>= (|z1|+ |z2|)2</p><p>Portanto |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|</p><p>(6) De (5) temos que</p><p>|z1| = |z1 − z2 + z2| ≤ |z1 − z2|+ |z2|</p><p>ou seja</p><p>|z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| (i)</p><p>Analogamente</p><p>|z2| = |z2 − z1 + z1| ≤ |z2 − z1|+ |z1|</p><p>ou seja</p><p>|z1| − |z2| ≥ −|z1 − z2| (ii)</p><p>Juntando (i) e (ii) temos que</p><p>−|z1 − z2| ≤ |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2|</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>|z1| − |z2|</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ |z1 − z2|. �</p><p>13</p><p>Exemplo 4. Prove que se |z| = 1 então</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>az + b</p><p>bz + a</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>= 1</p><p>para quaisquer números</p><p>omplexos a e b.</p><p>Resolução.</p><p>Se |z| = 1 então</p><p>1</p><p>z</p><p>= z.</p><p>Portanto</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>az + b</p><p>bz + a</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=</p><p>|az + b|</p><p>|bz + a|</p><p>=</p><p>|z|</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a+</p><p>b</p><p>z</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>|bz + a|</p><p>=</p><p>|z||a+ bz|</p><p>|bz + a|</p><p>=</p><p>|z|</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>(a+ bz)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>|bz + a|</p><p>=</p><p>|z||a+ bz|</p><p>|bz + a|</p><p>= 1</p><p>14</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Sejam z1 = 4+3i e z2 = −1− 5i. Expresse</p><p>ada expressão a seguir na forma a+ ib :</p><p>(a) − 2z1 + 5z2 (b) 2z1 − 7z2 (c) z1z2 (d)</p><p>z1</p><p>z2</p><p>(e)</p><p>z21</p><p>z2</p><p>(f)</p><p>1</p><p>z1</p><p>+</p><p>1</p><p>z2</p><p>Resolução</p><p>(a) −2z1 + 5z2 = −2(4 + 3i) + 5(−1− 5i) = −8− 6i− 5− 25i = −13 − 31i</p><p>(b) 2z1 − 7z2 = 2(4 + 3i)− 7(−1− 5i) = 8 + 6i+ 7 + 35i = 15 + 41i</p><p>(</p><p>) z1z2 = (4 + 3i)(−1− 5i) = (−4 − 15i2) + (−20− 3)i = 11− 23i</p><p>(d)</p><p>z1</p><p>z2</p><p>=</p><p>(4 + 3i)</p><p>(−1 − 5i)</p><p>· (−1 + 5i)</p><p>(−1 + 5i)</p><p>=</p><p>(−4 − 15) + (20− 3)i</p><p>1 + 25</p><p>=</p><p>−19</p><p>26</p><p>+</p><p>17i</p><p>26</p><p>(e)</p><p>z21</p><p>z2</p><p>=</p><p>(4 + 3i)2</p><p>(−1− 5i)</p><p>· (−1 + 5i)</p><p>(−1 + 5i)</p><p>=</p><p>(7 + 24i)(−1 + 5i)</p><p>26</p><p>=</p><p>−127</p><p>26</p><p>+</p><p>11i</p><p>26</p><p>(f)</p><p>1</p><p>z1</p><p>+</p><p>1</p><p>z2</p><p>=</p><p>z1</p><p>|z1|2</p><p>+</p><p>z2</p><p>|z2|2</p><p>=</p><p>|z2|2 · z1 + |z1|2 · z2</p><p>|z1|2|z2|2</p><p>=</p><p>26(4− 3i) + 25(−1 + 5i)</p><p>26 · 25</p><p>=</p><p>79</p><p>650</p><p>+</p><p>47i</p><p>650</p><p>15</p><p>(2) Resolva as equações a seguir em C :</p><p>(a) z2 + 16 = 0 (b) z2 − 2z + 2 = 0 (c) z2 + 2z + 5 = 0</p><p>Resolução</p><p>(a) z2 = −16 ⇒ z = ±4i</p><p>(b) z2 − 2z + 2 = 0 ⇒ z =</p><p>2±</p><p>√</p><p>22 − 4 · 1 · 2</p><p>2 · 1 =</p><p>2±</p><p>√</p><p>−4</p><p>2</p><p>=</p><p>2± 2i</p><p>2</p><p>= 1± i</p><p>(</p><p>) z2 + 2z + 5 = 0 ⇒ z =</p><p>−2 ±</p><p>√</p><p>(−2)2 − 4 · 1 · 5</p><p>2 · 1 =</p><p>−2±</p><p>√</p><p>−16</p><p>2</p><p>=</p><p>2± 4i</p><p>2</p><p>= −1± 2i</p><p>(3) Expresse</p><p>ada expressão a seguir na forma a+ ib :</p><p>(a)</p><p>i(1− i)2</p><p>1 + i</p><p>(b)</p><p>2 + i</p><p>(1− i)(1 + 2i)</p><p>(c)</p><p>i9 + i123</p><p>4− 3i</p><p>(d)</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(1− i)(2− i)(3− i)</p><p>Resolução</p><p>(a)</p><p>i(1− i)2</p><p>1 + i</p><p>=</p><p>i(1− 2i+ i2)</p><p>1 + i</p><p>· 1− i</p><p>1− i</p><p>=</p><p>−2i2(1− i)</p><p>1 + 1</p><p>= 1− i</p><p>(b)</p><p>2 + i</p><p>(1− i)(1 + 2i)</p><p>=</p><p>2 + i</p><p>(1− i)(1− 2i)</p><p>=</p><p>2 + i</p><p>3− 3i</p><p>=</p><p>2 + i</p><p>3− 3i</p><p>· 3 + 3i</p><p>3 + 3i</p><p>=</p><p>(6− 3) + (6 + 3)i</p><p>9 + 9</p><p>=</p><p>3 + 9i</p><p>18</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>9</p><p>i</p><p>(</p><p>)</p><p>i9 + i123</p><p>4− 3i</p><p>=</p><p>i8 · i+ i122 · i</p><p>4− 3i</p><p>=</p><p>(i2)4 · i+ (i2)111 · i</p><p>4− 3i</p><p>=</p><p>i− i</p><p>4− 3i</p><p>= 0 + 0i</p><p>(d)</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(1− i)(2− i)(3− i)</p><p>=</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>[(2− 1) + (−1− 2)i](3− i)</p><p>=</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(1− 3i)(3− i)</p><p>=</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(3− 3) + (−1− 9)i</p><p>=</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>−10i</p><p>= −1− i</p><p>16</p><p>(4) Represente os números z1 = 3 + 5i, z2 = −3 + 5i, z3 = −3 − 5i e z4 = 3 − 5i no</p><p>plano de Argand-Gauss.</p><p>(5) Seja z = x+ iy. Determine</p><p>(a) Re</p><p>(</p><p>1</p><p>z2</p><p>)</p><p>(b) Im</p><p>(</p><p>1</p><p>z2</p><p>)</p><p>(c) Re(z3) (d) Im(4iz2 − 6z + 8i) (e) Im</p><p>(</p><p>1</p><p>z − i</p><p>)</p><p>Resolução</p><p>1</p><p>z2</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>· z</p><p>2</p><p>z2</p><p>=</p><p>z2</p><p>(zz)2</p><p>=</p><p>(x− iy)2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>=</p><p>x2 − 2xyi+ (iy)2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>=</p><p>x2 − y2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>− 2xyi</p><p>(x2 + y2)2</p><p>(a) Re</p><p>(</p><p>1</p><p>z2</p><p>)</p><p>=</p><p>x2 − y2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>(b) Im</p><p>(</p><p>1</p><p>z2</p><p>)</p><p>=</p><p>−2xy</p><p>(x2 + y2)2</p><p>(</p><p>) z3 = (x+ iy)3 = x3 + 3x2(iy) + 3x(iy)2 + (iy)3 = (x3 − 3xy2) + i(3x2y − y3)</p><p>Logo Re(z3) = x3 − 3xy2</p><p>(d)</p><p>4iz2 − 6z + 8i = 4i(x+ iy)2 − 6(x+ iy) + 8i = 4i[(x2 − y2) + 2xyi]− 6x− 6yi+ 8i</p><p>= (−8xy − 6x) + (4(x2 + y2)− 6y + 8)i</p><p>Logo Im(4iz2 − 6z + 8i) = 4x2 + 4y2 − 6y + 8</p><p>(e)</p><p>1</p><p>z − i</p><p>=</p><p>1</p><p>(x+ iy)− i</p><p>=</p><p>1</p><p>x+ (y − 1)i</p><p>· x− (y − 1)i</p><p>x− (y − 1)i</p><p>=</p><p>x− (y − 1)i</p><p>x2 + (y − 1)2)</p><p>Logo Im</p><p>(</p><p>1</p><p>z − i</p><p>)</p><p>=</p><p>1− y</p><p>x2 + (y − 1)2</p><p>(6) Determine x, y ∈ R para que se tenha:</p><p>(a) (x+ iy)(3 + 4i) = 7 + 26i (b) (x+ iy)2 = 4i</p><p>Resolução</p><p>(a) (x+ iy)(3 + 4i) = 7 + 26i ⇒ (3x− 4y) + (4x+ 3y)i = 7 + 26i</p><p>Igualando as partes reais e imaginária temos</p><p></p><p></p><p></p><p>3x− 4y = 7</p><p>4x+ 3y = 26</p><p>Resolvendo temos que x = 5 e y = 2.</p><p>17</p><p>(b) (x+ iy)2 = 4i ⇒ (x2 − y2) + 2xyi = 4i</p><p>Igualando as partes reais e imaginária temos</p><p></p><p></p><p></p><p>x2 − y2 = 0</p><p>2xy = 4</p><p>Resolvendo temos que x = ±</p><p>√</p><p>2 e y = ±</p><p>√</p><p>2.</p><p>(7) Determine a ∈ R de modo que z =</p><p>1 + 2i</p><p>2 + ai</p><p>seja real.</p><p>Resolução</p><p>z =</p><p>1 + 2i</p><p>2 + ai</p><p>=</p><p>1 + 2i</p><p>2 + ai</p><p>· 2− ai</p><p>2− ai</p><p>=</p><p>(2 + 2a) + (−a + 4)i</p><p>4 + a2</p><p>=</p><p>2 + 2a</p><p>4 + a2</p><p>+</p><p>−a + 4</p><p>4 + a2</p><p>i</p><p>z é real se e somente se −a + 4 = 0 ⇒ a = 4.</p><p>(8) Determine x e y em termos de a e b se</p><p>1</p><p>x+ iy</p><p>+</p><p>2</p><p>a− ib</p><p>= 1</p><p>Resolução</p><p>1</p><p>x+ iy</p><p>+</p><p>2</p><p>a− ib</p><p>= 1 ⇒ 1</p><p>x+ iy</p><p>= 1− 2</p><p>a− ib</p><p>=</p><p>a− ib− 2</p><p>a− ib</p><p>=</p><p>(a− 2)− ib</p><p>a− ib</p><p>Logo</p><p>x+ iy =</p><p>a− ib</p><p>(a− 2)− ib</p><p>· (a− 2) + ib</p><p>(a− 2) + ib</p><p>=</p><p>a(a− 2) + b2</p><p>(a− 2)2 + b2</p><p>+</p><p>ab− ab+ 2b</p><p>(a− 2)2 + b2)</p><p>i</p><p>Portanto</p><p>x =</p><p>a2 + b2 − 2a</p><p>(a− 2)2 + b2</p><p>e y =</p><p>2b</p><p>(a− 2)2 + b2</p><p>18</p><p>(9) Determinar o número</p><p>Corolário 7. Se f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z− z0)</p><p>n</p><p>de�ne uma função analíti</p><p>a em B(z0,R) então</p><p>f (k)(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=k</p><p>n!</p><p>(n− k)!</p><p>an(z − z0)</p><p>n−k</p><p>em B(z0,R). E temos que</p><p>f (k)(z0) = k!ak ou ak =</p><p>1</p><p>k!</p><p>f (k)(z0)</p><p>Séries de Taylor</p><p>De�nição 36. Seja f : D ⊂ C −→ C uma função in�nitamente diferen</p><p>iável. Então a</p><p>série de Taylor de f</p><p>entrada em z0 ∈ D é a série de potên</p><p>ias</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(z0)</p><p>n!</p><p>(z − z0)</p><p>n</p><p>onde f (n)(z0) denota o n−ésima derivada de f</p><p>al</p><p>ulado no ponto z0.</p><p>157</p><p>Teorema 17. Se f é uma função analíti</p><p>a em B(z0,R) de�nida por uma série de</p><p>potên</p><p>ias</p><p>ujo raio de</p><p>onvergên</p><p>ia é R, então f(z) é igual a sua série de Taylor</p><p>entrada</p><p>em z0, ou seja</p><p>f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(z0)</p><p>n!</p><p>(z − z0)</p><p>n</p><p>em B(z0,R).</p><p>Teorema 18. Seja D ⊂ C um aberto</p><p>onexo e seja f : D −→ C analíti</p><p>a. Dado z0 ∈ D,</p><p>a série de Taylor de f no ponto z0 é</p><p>onvergente no maior dis</p><p>o aberto</p><p>entrada em z0</p><p>ontido em D. Além disso, neste dis</p><p>o</p><p>f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(z0)</p><p>n!</p><p>(z − z0)</p><p>n</p><p>Exemplo 61. Determine a serie de Taylor de f(z) = ez em torno de z=0.</p><p>Resolução. Como f(z) = ez então f (n)(0) = 1, ∀n ∈ N, portanto</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+ · · · =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn</p><p>n!</p><p>, ∀z ∈ C.</p><p>Exemplo 62. Determine a serie de Taylor de f(z) = ez em torno de z=1.</p><p>Resolução. Como f(z) = ez então f (n)(1) = e, ∀n ∈ N, portanto</p><p>ez = f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(1)</p><p>n!</p><p>(z − 1)n =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>e</p><p>n!</p><p>(z − 1)n,</p><p>que</p><p>onverge para todo z ∈ C.</p><p>Outra Solução</p><p>ez = e · ez−1 = e</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>(z − 1)n =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>e</p><p>n!</p><p>(z − 1)n.</p><p>Exemplo 63. Determine a serie de Taylor de f(z) =</p><p>1</p><p>1 + z</p><p>em torno de z0 = 0.</p><p>Resolução. Como f(z) = (1 + z)−1</p><p>então f (n)(z) = (−1)nn!(1 + z)−(n+1), ∀n ∈ N,</p><p>portanto</p><p>1</p><p>1 + z</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(0)</p><p>n!</p><p>zn =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nzn,</p><p>que</p><p>onverge para todo |z| R1}</p><p>Para a</p><p>onvergên</p><p>ia da série (S−L),</p><p>ombinamos as duas noções a</p><p>ima. Portanto a série</p><p>de Laurent</p><p>onverge no anel</p><p>{z ∈ C : R1 R1, a região de validade do desenvolvimento é</p><p>A = {z : R1 1</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>|z| > 1</p><p>|z| 1).</p><p>Exemplo 66. Determine a série de Laurent para</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>z + 5</p><p>validas nas regiões</p><p>(i) {z : |z| 5}.</p><p>Resolução. Es</p><p>revendo f(z) na seguinte forma para puder usar (SG)</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>z + 5</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>(</p><p>1 + z</p><p>5</p><p>) =</p><p>1</p><p>5</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>−z</p><p>5</p><p>)]</p><p>161</p><p>Agora usando (SG) temos que</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>5</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>−z</p><p>5</p><p>)] =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>5</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−z</p><p>5</p><p>)n</p><p>, |z| 5</p><p>Portanto</p><p>(i) f(z) =</p><p>1</p><p>5</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−z</p><p>5</p><p>)n</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nzn</p><p>5n</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nzn</p><p>5n+1</p><p>, |z| 5.</p><p>Exemplo 67. Determine a série de Laurent da função</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>z(z + 5)</p><p>valida na região {z; |z| 1</p><p>e</p><p>1</p><p>w + 3</p><p>=</p><p>1</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>−w</p><p>3</p><p>)] =</p><p>1</p><p>3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>−w</p><p>3</p><p>)n</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nwn</p><p>3n</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nwn</p><p>3n+1</p><p>, |w|</p><p>e portanto o</p><p>ir</p><p>ulo de</p><p>onvergên</p><p>ia é todo o plano</p><p>omplexo.</p><p>(e) Seja an =</p><p>1</p><p>(log n)n</p><p>. Então pelo teste da Raiz</p><p>R =</p><p>1</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>an</p><p>=</p><p>1</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>1</p><p>log n</p><p>= ∞</p><p>e portanto o</p><p>ir</p><p>ulo de</p><p>onvergên</p><p>ia é todo o plano</p><p>omplexo.</p><p>(f) Seja an =</p><p>n2n</p><p>2n</p><p>. Então pelo teste da Raiz</p><p>R =</p><p>1</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>an</p><p>=</p><p>1</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n2</p><p>2</p><p>= 0</p><p>e portanto o</p><p>ir</p><p>ulo de</p><p>onvergên</p><p>ia é z = π.</p><p>(2) Qual é o raio de</p><p>onvergên</p><p>ia do expansão de Taylor de</p><p>f(z) =</p><p>ez</p><p>(z − 1)(z + 1)(z − 2)(z − 3)</p><p>quando é expandida em t�rno de z = i.</p><p>Resolução</p><p>O raio da</p><p>onvergên</p><p>ia R da expansão da series de Taylor da função f em potên</p><p>ias</p><p>de z − i é igual a distân</p><p>ia de i ao mais proximo singularidade de f , ou seja R é</p><p>igual o menor distân</p><p>ia de z = i ao ponto z = 1 ou z = −1 ou z = 2 ou z = 3.</p><p>164</p><p>b</p><p>b</p><p>bb b</p><p>21 x</p><p>y</p><p>−1 3</p><p>i</p><p>R R</p><p>Portanto R =</p><p>√</p><p>12 + 12 =</p><p>√</p><p>2.</p><p>(3) Derivando a série de</p><p>1</p><p>1− z</p><p>, obtenha as séries de</p><p>1</p><p>(1− z)2</p><p>e</p><p>1</p><p>(1− z)3</p><p>. Dar os raios de</p><p>onvergên</p><p>ia de</p><p>ada série.</p><p>Resolução</p><p>1</p><p>1− z</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>zn, |z| 1 (c) |z + 1| 1}. Se z ∈ B então</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>(1− z)3</p><p>= (1− z)−3</p><p>= (−z)−3</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>z</p><p>)−3</p><p>= − 1</p><p>z3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−3)(−4)(−5) · · · (−n− 2)</p><p>n!</p><p>(−1</p><p>z</p><p>)n</p><p>valido para |z| > 1</p><p>= − 1</p><p>z3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n[3 · 4 · 5 · · · (n + 2)]</p><p>n!</p><p>(−1)n</p><p>1</p><p>zn</p><p>= −</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)2n(n+ 2)!</p><p>2 · n!</p><p>1</p><p>zn+3</p><p>= −1</p><p>2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(n+ 2)(n+ 1)</p><p>zn+3</p><p>valido para |z| > 1</p><p>(</p><p>) Seja C = {z; |z + 1| 2</p><p>Resolução</p><p>Es</p><p>revendo f(z) em frações par</p><p>ial, temos</p><p>1</p><p>(1− z)(z + 2)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>1− z</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>z + 2</p><p>(a) Seja A = {z; |z|</p><p>(−z</p><p>2</p><p>))</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>−z</p><p>2</p><p>)n</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>2n+1</p><p>zn</p><p>pois se |z| 2}. Se z ∈ C então</p><p>1</p><p>3</p><p>1− z</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>−z(1 − 1</p><p>z</p><p>)</p><p>= − 1</p><p>3z</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)n</p><p>= −1</p><p>3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>zn+1</p><p>,</p><p>pois se |z| > 2 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>z</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2</p><p>z</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>4.</p><p>Resolução</p><p>Seja A = {z; |z − 2i| > 4}. Se z ∈ A então</p><p>f(z) =</p><p>1</p><p>z2 + 4</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − 2i)(z + 2i)</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − 2i)</p><p>· 1</p><p>(z − 2i) + 4i</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − 2i)</p><p>· 1</p><p>(z − 2i)</p><p>[</p><p>1 + 4i</p><p>z−2i</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − 2i)2</p><p>· 1</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>− 4i</p><p>z−2i</p><p>)]</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − 2i)2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>( −4i</p><p>z − 2i</p><p>)n</p><p>=</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n4nin</p><p>(z − 2i)n+2</p><p>174</p><p>pois se |z − 2i| > 4 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z − 2i</p><p>4i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>> 1 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>4i</p><p>z − 2i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3</p><p>Resolução</p><p>Es</p><p>revendo f(z) em frações par</p><p>ial, temos</p><p>1</p><p>(z + 1)(z + 3)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>z + 1</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>z + 3</p><p>(a) Seja A = {z; |z| 3}. Se z ∈ C então</p><p>1</p><p>2</p><p>z + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>z(1− (−1</p><p>z</p><p>))</p><p>=</p><p>1</p><p>2z</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>−1</p><p>z</p><p>)n</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>zn+1</p><p>,</p><p>pois se |z| > 3 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>z</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>3</p><p>z</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1 ⇒</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>1</p><p>z − 2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>√</p><p>2</p><p>(8) Determine a expansão de Laurent da função f(z) =</p><p>1</p><p>z5 + 4z3</p><p>em</p><p>(a) 0 2</p><p>(9) Determine as expansões diferentes da serie de Laurent da função</p><p>3</p><p>z2 + 5z + 4</p><p>em</p><p>potên</p><p>ias de z, e indi</p><p>a as regiões onde as expansões são validas.</p><p>(10) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>(z2 − 1)(z2 − 4)</p><p>. Determine todos os desenvolvimento possíveis em</p><p>séries de Laurent de f num anel</p><p>entrado em z0 = 0.</p><p>(11) Determine a parte prin</p><p>ipal da expansão de Laurent da função</p><p>f(z) =</p><p>cosh(z − 1)</p><p>(z + 1)(z − 1)2</p><p>em torno de z = 1 no anel 0 0 tal que</p><p>f é analíti</p><p>a na bola perfurada B∗(z0, r) = {z : 0 0 tal que f é analíti</p><p>a no anel</p><p>A = {0</p><p>3 possibilidades:</p><p>(1) Singularidades Removíveis</p><p>A parte prin</p><p>ipal de f é zero, ou seja bn = 0 para todo n = 1, 2, · · · .</p><p>Neste</p><p>aso diremos que z0 é uma �singularidade removível� de f . Isto signi�</p><p>a que f se</p><p>estende a uma função analíti</p><p>a em z0,</p><p>olo</p><p>ando f(z0) = a0. A série de Laurent de f ,</p><p>neste</p><p>aso será a série de Taylor de f em z0.</p><p>Exemplo 71. Seja</p><p>f(z) =</p><p>sen z</p><p>z</p><p>, z 6= 0.</p><p>Então, em prin</p><p>ípio, f tem uma singularidade isolada em z = 0. Porém lembrando que</p><p>sen z = z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+ · · · =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>z2n+1</p><p>(2n+ 1)!</p><p>temos, para z 6= 0</p><p>f(z) =</p><p>sen z</p><p>z</p><p>= 1− z2</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>5!</p><p>− · · · =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>z2n</p><p>(2n+ 1)!</p><p>Observamos que f não tem parte prin</p><p>ipal, ou seja, podemos de�nir f em z = 0</p><p>omo</p><p>f(0) = 1. Portanto f tem singularidade removível em z = 0.</p><p>Teorema 20. Seja f uma função holomorfa no anel 0 0 tal</p><p>que bk 6= 0 e bn = 0 para n > k.</p><p>Neste</p><p>aso a série de Laurent de f no anel 0 0, podemos es</p><p>rever</p><p>f(z) = (z − z0)</p><p>kg(z)</p><p>184</p><p>onde g(z) é holomorfa em Br(z0) e g(z0) 6= 0</p><p>Demonstração. Seja z0 ∈ D um zero de ordem k de f , então a representação de f em</p><p>serie de Taylor em torno de z0 é dado por</p><p>f(z) =</p><p>f (k)(z0)</p><p>k!</p><p>(z − z0)</p><p>k +</p><p>f (k+1)(z0)</p><p>(k + 1)!</p><p>(z − z0)</p><p>k+1 +</p><p>f (k+2)(z0)</p><p>(k + 2)!</p><p>(z − z0)</p><p>k+2 + · · ·</p><p>= (z − z0)</p><p>k</p><p>[</p><p>f (k)(z0)</p><p>k!</p><p>+</p><p>f (k+1)(z0)</p><p>(k + 1)!</p><p>(z − z0) +</p><p>f (k+2)(z0)</p><p>(k + 2)!</p><p>(z − z0)</p><p>2 + · · ·</p><p>]</p><p>para todo z ∈ Br(z0).</p><p>Tome</p><p>g(z) =</p><p>f (k)(z0)</p><p>k!</p><p>+</p><p>f (k+1)(z0)</p><p>(k + 1)!</p><p>(z − z0) +</p><p>f (k+2)(z0)</p><p>(k + 2)!</p><p>(z − z0)</p><p>2 + · · · .</p><p>Então</p><p>f(z) = (z − z0)</p><p>kg(z)</p><p>sendo g(z) holomorfa em Br(z0) e g(z0) =</p><p>f (k)(z0)</p><p>k!</p><p>6= 0. �</p><p>Exemplo 77. Seja f(z) = 6 sen z3 + z3(z6 − 6). Então f tem um zero de ordem 15 em</p><p>z = 0. Observe que</p><p>omo</p><p>sen z = z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+ · · ·</p><p>temos que</p><p>sen z3 = z3 − z9</p><p>3!</p><p>+</p><p>z15</p><p>5!</p><p>− z21</p><p>7!</p><p>+ · · ·</p><p>Portanto</p><p>f(z) = 6 sen z3 + z3(z6 − 6)</p><p>=</p><p>6</p><p>5!</p><p>z15 +</p><p>6</p><p>7!</p><p>z21 + · · ·</p><p>= z15</p><p>[</p><p>6</p><p>5!</p><p>+</p><p>6</p><p>7!</p><p>z6 + · · ·</p><p>]</p><p>= z15g(z) e g(0) 6= 0.</p><p>A próxima proposição apresenta um modo de re</p><p>onhe</p><p>ermos a ordem de um zero e</p><p>pólo.</p><p>185</p><p>Proposição 17. Sejam g e h analíti</p><p>as em um dis</p><p>o Br(z0)</p><p>entrado em z0. Se z0 é um</p><p>zero de ordem n de g e um zero de ordem m de h então a função f =</p><p>g</p><p>h</p><p>(1) tem um zero de ordem n−m em z0 se n > m.</p><p>(2) tem uma singularidade removível em z0 se n = m.</p><p>(3) tem um pólo de ordem m− n em z0 se m > n.</p><p>Demonstração. Por hipotese, podemos es</p><p>rever</p><p>g(z) = (z − z0)</p><p>ng1(z) e h(z) = (z − z0)</p><p>mh1(z)</p><p>om g1 e h1 analíti</p><p>as em Br(z0) e tais que g1(z0) 6= 0 e h1(z0) 6= 0.</p><p>Segue daí que,</p><p>olo</p><p>ando f1 =</p><p>g1</p><p>h1</p><p>,</p><p>f(z) =</p><p>(z − z0)</p><p>np1(z)</p><p>(z − z0)mq1(z)</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − z0)m−n</p><p>f1(z)</p><p>e os resultados seguem, analisando-se o sinal de (m−n), pois f1(z) é analíti</p><p>a em Br(z0)</p><p>e f1(z0) 6= 0. �</p><p>Exemplo 78. Seja</p><p>f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>sen 3z</p><p>.</p><p>Então f um pólo de ordem 2 em z = 0. Observe que se</p><p>g(z) = ez − 1 ⇒ g(0) = 0</p><p>g′(z) = ez ⇒ g′(0) 6= 0</p><p>⇒ z = 0 é um zero de ordem 1 de g</p><p>e</p><p>h(z) = sen 3z ⇒ h(0) = 0</p><p>h′(z) = 3 sen 2z cos z ⇒ h′(0) = 0</p><p>h′′(z) = 6 sen z cos 2z − 3 sen 3z ⇒ h′′(0) = 0</p><p>h′′′(z) = 6 cos 3z − 12 sen 2z cos z − 9 sen 2z cos z ⇒ h′′′(0) = 6 6= 0</p><p>⇒ z = 0 é um zero de ordem 3 de h</p><p>Portanto f =</p><p>g</p><p>h</p><p>tem um pólo de ordem 2 em z = 0.</p><p>186</p><p>Resíduos</p><p>De�nição 41. Sejam D ⊂ C aberto</p><p>onexo e f : D −→ C. Sabemos que se z0 ∈ C é</p><p>uma singularidade isolada de f , podemos representar f pela série de Laurent</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z − z0)</p><p>n +</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>bn(z − z0)</p><p>−n 0</p><p>+ a2(z − z0)</p><p>2 + · · ·</p><p>om b1 6= 0. Daqui segue que</p><p>lim</p><p>z→z0</p><p>(z − z0)f(z) = b1</p><p>�</p><p>De forma alternativa, podemos</p><p>al</p><p>ular o resíduo num pólo simples da seguinte forma:</p><p>Corolário 8. Se f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>onde g(z0) 6= 0, h(z0) = 0 mas h′(z0) 6= 0, ou seja, z0 é</p><p>um zero simples de h, então z0 é um pólo simples de f e</p><p>Res(f , z0) =</p><p>g(z0)</p><p>h′(z0)</p><p>.</p><p>Demonstração. Pelo teorema anterior, temos que</p><p>Res(f , z0) = lim</p><p>z→z0</p><p>(z − z0)</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>= lim</p><p>z→z0</p><p>g(z)</p><p>(</p><p>h(z)− h(z0)</p><p>z − z0</p><p>) =</p><p>g(z0)</p><p>h′(z0)</p><p>.</p><p>�</p><p>Exemplo 80. Seja</p><p>f(z) =</p><p>cos πz</p><p>1− z300</p><p>.</p><p>Então f um pólo simples em z = 1. Portanto</p><p>Res(f , 1) =</p><p>cos π</p><p>(−300)× 1299</p><p>=</p><p>1</p><p>300</p><p>.</p><p>Relativamente a pólos de ordem k > 1 temos o seguinte</p><p>ritério:</p><p>Lema 9. Suponha que f tem um pólo de ordem k > 1 em z0. Seja ϕ(z) = (z− z0)</p><p>kf(z).</p><p>Então</p><p>Res(f , z0) =</p><p>1</p><p>(k − 1)!</p><p>(</p><p>dk−1</p><p>dzk−1</p><p>ϕ(z)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=z0</p><p>)</p><p>.</p><p>188</p><p>Demonstração. Suponha que f tem um pólo de ordem k em z0. Então podemos es</p><p>rever</p><p>f(z) =</p><p>bk</p><p>(z − z0)k</p><p>+</p><p>bk−1</p><p>(z − z0)k−1</p><p>+ · · ·+ b1</p><p>(z − z0)</p><p>+</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z − z0)</p><p>n</p><p>=</p><p>1</p><p>(z − z0)k</p><p>[</p><p>bk + bk−1(z − z0) + · · ·+ b1(z − z0)</p><p>k−1 +</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z − z0)</p><p>n+k</p><p>]</p><p>para todo z ∈ Br(z0)− {z0}. Portanto</p><p>ϕ(z) = (z − z0)</p><p>kf(z) = bk + bk−1(z − z0) + · · ·+ b1(z − z0)</p><p>k−1 +</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>an(z − z0)</p><p>n+k</p><p>Derivando ϕ, (k − 1) vezes dá</p><p>dk−1</p><p>dzk−1</p><p>ϕ(z) = (k − 1)!b1 +</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(n + k)!</p><p>(n+ 1)!</p><p>an(z − z0)</p><p>n+1</p><p>Portanto</p><p>(</p><p>dk−1</p><p>dzk−1</p><p>ϕ(z)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=z0</p><p>)</p><p>= (k − 1)!b1.</p><p>Assim b1 = Res(f , z0) =</p><p>1</p><p>(k − 1)!</p><p>(</p><p>dk−1</p><p>dzk−1</p><p>ϕ(z)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=z0</p><p>)</p><p>. �</p><p>Exemplo 81. Seja</p><p>f(z) =</p><p>z2</p><p>(z − 1)3(z + 1)</p><p>.</p><p>f tem um pólo de ordem 3 em z = 1. Seja</p><p>ϕ(z) = (z − 1)3f(z) =</p><p>z2</p><p>z + 1</p><p>= z − 1 +</p><p>1</p><p>z + 1</p><p>.</p><p>Então</p><p>ϕ′(z) = 1− 1</p><p>(z + 1)2</p><p>e ϕ′′(z) =</p><p>2</p><p>(z + 1)3</p><p>Portanto</p><p>Res(f , z = 1) =</p><p>1</p><p>2!</p><p>(</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>ϕ(z)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>· 2</p><p>(1 + 1)3</p><p>=</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>Observação 22. As vezes é mais fa</p><p>íl</p><p>al</p><p>ular o resíduo diretamente pela expansão de</p><p>f na série de Laurent.</p><p>189</p><p>Exemplo 82. Seja</p><p>f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>sen 3z</p><p>.</p><p>Então z = 0 é um pólo de f de ordem 2. Aqui é mais fa</p><p>íl</p><p>al</p><p>ular o resíduo pela série:</p><p>f(z) = (ez − 1) · ( sen z)−3</p><p>=</p><p>(</p><p>z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+ · · ·</p><p>)(</p><p>z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)−3</p><p>=</p><p>(</p><p>z +</p><p>z2</p><p>2</p><p>+</p><p>z3</p><p>6</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>· 1</p><p>z3</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>z3</p><p>3!</p><p>− z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)]−3</p><p>=</p><p>1</p><p>z3</p><p>(</p><p>z +</p><p>z2</p><p>2</p><p>+</p><p>z3</p><p>6</p><p>+ · · ·</p><p>)[</p><p>1 + 3</p><p>(</p><p>z3</p><p>3!</p><p>− z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>+ · · ·</p><p>]</p><p>Portanto,</p><p>Res(f , z = 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Teorema 22. (Teorema dos Resíduos)</p><p>Sejam D ⊂ C aberto</p><p>onexo e f : D −→ C uma função holomorfa ex</p><p>eto nos pontos</p><p>singulares isoladas z1, z2, · · · , zn ∈ D. Então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z) d z = 2πi</p><p>n</p><p>∑</p><p>j=1</p><p>Res(f , zj)</p><p>onde γ é uma</p><p>urva fe</p><p>hada simples</p><p>ontido em D e</p><p>ontendo todos os pontos zj em seu</p><p>interior.</p><p>A demonstração pode ser vista, por exemplo, nos livros de Geraldo Ávila [1℄ ou de</p><p>Mar</p><p>io Gomes [2℄.</p><p>Cál</p><p>ulo de Integrais Usando o Teorema dos Resíduos</p><p>Exemplo 83. Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>γ</p><p>cos z</p><p>(z + i)(z − i)2</p><p>dz</p><p>onde</p><p>(a) γ é o quadrado de vérti</p><p>es −1, 1, 1−2i e −1−2i per</p><p>orrido no sentido anti-horário.</p><p>(b) γ é o quadrado de vérti</p><p>es −1, 1, 1+2i e −1+2i per</p><p>orrido no sentido anti-horário.</p><p>190</p><p>(</p><p>) γ é o retângulo de vérti</p><p>es −1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2i e −1 − 2i per</p><p>orrido no sentido</p><p>anti-horário.</p><p>Resolução. f possui um pólo simples em z1 = −i e um pólo de ordem 2 em z2 = i</p><p>(a) Apenas z1 está no interior de γ. Logo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>cos z</p><p>(z + i)(z − i)2</p><p>dz = 2πiRes(f , z1) = 2πi lim</p><p>z→−i</p><p>(z + i)f(z)</p><p>= 2πi lim</p><p>z→−i</p><p>cos z</p><p>(z − i)2</p><p>=</p><p>−iπ</p><p>2</p><p>cos (i)</p><p>(b) Apenas z2 está no interior de γ. Logo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>cos z</p><p>(z + i)(z − i)2</p><p>dz = 2πiRes(f , z2) = 2πi</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>[</p><p>(z − i)2f(z)</p><p>]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=i</p><p>= 2πi</p><p>[−(z + i) sen z − cos z</p><p>(z + i)2</p><p>]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=i</p><p>=</p><p>iπ</p><p>2</p><p>[</p><p>cos (i) + 2i sen (i)</p><p>]</p><p>(</p><p>) Agora z1 e z2 estão no interior de γ. Logo, utilizando os ítens (a) e (b) temos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>cos z</p><p>(z + i)(z − i)2</p><p>dz = 2πi[Res(f , z1) + Res(f , z2)]</p><p>=</p><p>−iπ</p><p>2</p><p>cos (i) +</p><p>iπ</p><p>2</p><p>[</p><p>cos (i) + 2i sen (i)</p><p>]</p><p>= −π sen (i)</p><p>Exemplo 84. Cal</p><p>ule</p><p>∫</p><p>|z|=7</p><p>1 + z</p><p>1− cos z</p><p>dz</p><p>Resolução. Sejam f(z) =</p><p>1 + z</p><p>1− cos z</p><p>. As singularidades de f são dadas por</p><p>1− cos z = 0 ⇒ z = 2πk, k ∈ Z</p><p>As úni</p><p>as singularidades de f dentro do</p><p>ír</p><p>ulo |z| = 7 são z1 = 0, z2 = 2π e z3 = −2π.</p><p>Além disso</p><p>d</p><p>dz</p><p>(1− cos z) = sen z = 0 para z = z1, z2 e z3</p><p>191</p><p>mas</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>(1− cos z) = cos z 6= 0 para z = z1, z2 e z3.</p><p>Portanto as singularidades são todos pólos de ordem 2.</p><p>Cal</p><p>ulamos os resíduos em z = zj , j = 1, 2, 3 usando a série de Laurent:</p><p>Sabemos que</p><p>cos z = 1− z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>− z6</p><p>6!</p><p>+ · · ·</p><p>Logo</p><p>cos (z − zj) = 1− (z − zj)</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>(z − zj)</p><p>4</p><p>24</p><p>− (z − zj)</p><p>6</p><p>720</p><p>+ · · ·</p><p>Portanto a série de f em torno de zj é dado por</p><p>f(z) = [1 + (z − zj)]</p><p>[</p><p>(z − zj)</p><p>2</p><p>2</p><p>− (z − zj)</p><p>4</p><p>24</p><p>+</p><p>(z − zj)</p><p>6</p><p>720</p><p>+ · · ·</p><p>]−1</p><p>= [1 + (z − zj)]</p><p>2</p><p>(z − zj)2</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>(z − zj)</p><p>2</p><p>12</p><p>− (z − zj)</p><p>4</p><p>360</p><p>+ · · ·</p><p>)]−1</p><p>= [1 + (z − zj)]</p><p>2</p><p>(z − zj)2</p><p>[</p><p>1 +</p><p>(</p><p>(z − zj)</p><p>2</p><p>12</p><p>− (z − zj)</p><p>4</p><p>360</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>+ · · ·</p><p>]</p><p>=</p><p>2</p><p>(z − zj)2</p><p>+</p><p>2</p><p>(z − zj)</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>(z − zj)</p><p>6</p><p>+ · · ·</p><p>Portanto</p><p>Res(f , zj) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z − zj</p><p>)</p><p>= 2</p><p>Pelo Teorema dos Resíduos</p><p>∫</p><p>|z|=7</p><p>1 + z</p><p>1− cos z</p><p>dz = 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , z1) + Res(f , z2) + Res(f , z3)</p><p>]</p><p>= 12πi</p><p>192</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Identi�que todas as singularidades em C das funções e</p><p>lassi�que</p><p>ada uma</p><p>omo</p><p>removível, um polo (indi</p><p>ando sua ordem), ou essen</p><p>ial.</p><p>(a)</p><p>sen 2z</p><p>z4</p><p>(b)</p><p>1</p><p>z2(z + 1)</p><p>+ sen (</p><p>1</p><p>z</p><p>) (c) e</p><p>1</p><p>z−3</p><p>sen 2z</p><p>(z − 1)z2</p><p>(d)</p><p>z</p><p>cos z</p><p>(e) e1/z</p><p>2</p><p>(f)</p><p>z + 1</p><p>ez + 1</p><p>(g) sen</p><p>( 1</p><p>z − 1</p><p>)</p><p>(h)</p><p>z(π − z)</p><p>sen 2z</p><p>(i)</p><p>cos (z − 1)</p><p>z2</p><p>(j) z3 sen</p><p>(1</p><p>z</p><p>)</p><p>(k)</p><p>sen z</p><p>z3</p><p>(l)</p><p>z + 4</p><p>z(z2 + 1)2</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) =</p><p>sen 2z</p><p>z4</p><p>.</p><p>A úni</p><p>a singularidade de f é z = 0. Temos que</p><p>• Seja g(z) = sen 2z. Então g(0) = g′(0) = 0, mas g′′(0) = 2 6= 0, ou seja z0 = 0</p><p>é um zero de ordem 2 de g</p><p>• Seja h(z) = z4. Então h(0) = h′(0) = h′′(0) = h(3) = 0 mas h(4)(0) 6= 0, ou</p><p>seja z0 = 0 é um zero de ordem 4 de h.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem um pólo de ordem 2 em z0 = 0.</p><p>(b) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>z2(z + 1)</p><p>+ sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= g(z) + h(z),</p><p>sendo g(z) =</p><p>1</p><p>z2(z + 1)</p><p>e h(z) = sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>.</p><p>As singularidades de f são z = 0 e z = −1. Temos que</p><p>• A função g tem um pólo de ordem 2 em z = 0 pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>z2g(z) = lim</p><p>z→0</p><p>1</p><p>z + 1</p><p>= 1 6= 0</p><p>e a função h tem uma singularidade essen</p><p>ial em z = 0 pois a série de Laurent</p><p>de h</p><p>entrado em z = 0 é</p><p>h(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>1</p><p>(2n+ 1)!z2n+1</p><p>193</p><p>(Há uma in�ntas números de termos de potên</p><p>ias negativas de z).</p><p>Portanto f tem singularidade essen</p><p>ial em z = 0.</p><p>• z = −1 é um pólo simples pois</p><p>lim</p><p>z→−1</p><p>(z + 1)f(z) = lim</p><p>z→−1</p><p>(</p><p>1</p><p>z2</p><p>+ sen (</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>)</p><p>= 1− sen 1 6= 0</p><p>(</p><p>) Seja f(z) = e</p><p>1</p><p>z−3</p><p>sen 2z</p><p>(z − 1)z2</p><p>.</p><p>As singularidades de f são z = 0, z = 1 e z = 3. Temos que</p><p>• f tem singularidade essen</p><p>ial em z = 3 pois a série de Laurent da função</p><p>g(z) = e</p><p>1</p><p>z−3</p><p>entrado em z = 3 é</p><p>g(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!(z − 3)n</p><p>(Há uma in�ntas números de termos de potên</p><p>ias negativas de z).</p><p>• z = 1 é um pólo simples pois</p><p>lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>(</p><p>e</p><p>1</p><p>z−3</p><p>sen 2z</p><p>z2</p><p>)</p><p>= e−1/2 sen 21 6= 0</p><p>• z = 0 é uma singularidade removível pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>f(z) = lim</p><p>z→0</p><p>(</p><p>e</p><p>1</p><p>z−3</p><p>sen 2z</p><p>(z − 1)z2</p><p>)</p><p>= lim</p><p>z→0</p><p>(</p><p>e</p><p>1</p><p>z−3 · 1</p><p>z − 1</p><p>·</p><p>( sen z</p><p>z</p><p>)2</p><p>)</p><p>= −e−1/3 6= 0</p><p>(d) Seja f(z) =</p><p>z</p><p>cos z</p><p>• Singularidades:</p><p>cos z = 0 ⇔ z =</p><p>(2k + 1)π</p><p>2</p><p>, k ∈ Z</p><p>Todas as singularidades de f são pólos simples pois</p><p>• Seja g(z) = z. Então g</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>6= 0, ou seja z0 =</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>não é um zero de g.</p><p>• Seja h(z) = cos z. Então h</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>= 0 mas h′</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>6= 0, ou seja</p><p>z0 =</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>é um zero de ordem 1 de h.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem um pólo de ordem 1 em z0 =</p><p>(2k + 1)π</p><p>2</p><p>.</p><p>194</p><p>(e) Seja f(z) = e</p><p>1</p><p>z2 .</p><p>A singularidade de f é z = 0 e uma singularidade essen</p><p>ial pois a série de Laurent</p><p>da função f</p><p>entrado em z = 0 é</p><p>f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!z2n</p><p>(Há uma in�ntas números de termos de potên</p><p>ias negativas de z).</p><p>(f) Seja f(z) =</p><p>z + 1</p><p>ez + 1</p><p>• Singularidades:</p><p>ez = −1 ⇔ z = (2k + 1)πi, k ∈ Z</p><p>Todas as singularidades de f são pólos simples pois</p><p>• Seja</p><p>g(z) = z + 1. Então g ((2k + 1)πi) 6= 0, ou seja z0 = (2k + 1)πi não é um</p><p>zero de g.</p><p>• Seja h(z) = ez + 1. Então h ((2k + 1)πi) = 0 mas h′ ((2k + 1)πi) 6= 0, ou seja</p><p>z0 = (2k + 1)πi é um zero de ordem 1 de h.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem um pólo de ordem 1 em z0 = (2k + 1)πi.</p><p>(g) Seja f(z) = sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z−1</p><p>)</p><p>.</p><p>A singularidade de f é z = 1 e uma singularidade essen</p><p>ial pois a série de Laurent</p><p>da função f</p><p>entrado em z = 1 é</p><p>f(z) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n+ 1)!(z − 1)2n+1</p><p>(Há uma in�ntas números de termos de potên</p><p>ias negativas de z − 1).</p><p>(h) Seja f(z) =</p><p>z(π − z)</p><p>sen 2z</p><p>• Singularidades:</p><p>sen 2z = 0 ⇔ z =</p><p>kπ</p><p>2</p><p>, k ∈ Z</p><p>Para k 6= 0 todas as singularidades de f são pólos simples pois</p><p>195</p><p>• Se g(z) = z(π − z) então g</p><p>(</p><p>kπ</p><p>2</p><p>)</p><p>6= 0, ou seja z =</p><p>kπ</p><p>2</p><p>não é um zero de g.</p><p>• Se h(z) = sen 2z, então h</p><p>(</p><p>kπ</p><p>2</p><p>)</p><p>= 0, mas</p><p>h′</p><p>(</p><p>kπ</p><p>2</p><p>)</p><p>= 2 cos 2</p><p>(</p><p>kπ</p><p>2</p><p>)</p><p>= 2 cos (kπ) = 2(−1)k 6= 0</p><p>ou seja z =</p><p>kπ</p><p>2</p><p>é um zero de ordem 1 de h.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem um pólo de ordem 1 em z =</p><p>kπ</p><p>2</p><p>, k ∈ Z, k 6= 0.</p><p>• A singularidade z = 0 é uma singularidade removível de f pois</p><p>• Se g(z) = z(π − z) então g(0) = 0, mas g′(0) 6= 0, ou seja z = 0 é um zero de</p><p>ordem 1 de f .</p><p>• Se h(z) = sen 2z então h(0) = 0, mas h′(0) 6= 0, ou seja z = 0 é um zero de</p><p>ordem 1 de g.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem uma singularidade removível em z = 0.</p><p>(i) Seja f(z) =</p><p>cos (z − 1)</p><p>z2</p><p>=</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>, sendo g(z) = cos (z − 1) e h(z) = z2.</p><p>Temos que</p><p>• g(0) = cos 1 6= 0 e</p><p>• h(0) = h′(0) = 0, mas h′′(0) 6= 0, ou seja z0 = 0 é um zero de ordem 2 de h.</p><p>Portanto z0 = 0 é um pólo de ordem 2 de f .</p><p>(j) Seja f(z) = z3 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>.</p><p>A singularidade de f é z = 0 e uma singularidade essen</p><p>ial pois a série de Laurent</p><p>da função f</p><p>entrado em z = 0 é</p><p>f(z) = z3</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n+ 1)!z2n+1</p><p>(Há uma in�ntas números de termos de potên</p><p>ias negativas de z).</p><p>196</p><p>(k) Seja f(z) =</p><p>sen z</p><p>z3</p><p>• Singularidades: A singularidade de f é z = 0 e é um pólo de ordem 2 pois</p><p>• Se g(z) = sen z então g(0) = 0, mas g′(0) 6= 0, ou seja z = 0 é um zero de</p><p>ordem 1 de g.</p><p>• Se h(z) = z3, então h(0) = h′(0) = h′′(0) = 0, mas h′(0) 6= 0 ou seja z = 0 é</p><p>um zero de ordem 3 de h.</p><p>Portanto f(z) =</p><p>g(z)</p><p>h(z)</p><p>tem um pólo de ordem 2 em z = 0.</p><p>(l) Seja f(z) =</p><p>z + 4</p><p>z(z2 + 1)2</p><p>=</p><p>z + 4</p><p>z(z + i)2(z − i)2</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : As singularidades de f são z1 = 0, z2 = i e z3 = −i.</p><p>• z1 = 0 é um polo simples pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>z + 4</p><p>(z2 + 1)2</p><p>=</p><p>4</p><p>1</p><p>= 4 6= 0</p><p>• z2 = i é um pólo de ordem 2 pois</p><p>lim</p><p>z→i</p><p>(z − i)2f(z) = lim</p><p>z→i</p><p>z + 4</p><p>z(z + i)2</p><p>=</p><p>4 + i</p><p>−4i</p><p>6= 0</p><p>• z3 = −i é um pólo de ordem 2 pois</p><p>lim</p><p>z→−i</p><p>(z + i)2f(z) = lim</p><p>z→−i</p><p>z + 4</p><p>z(z − i)2</p><p>=</p><p>4− i</p><p>−4i</p><p>6= 0</p><p>(2) Determine os pólos e suas ordens das seguintes funções:</p><p>(a)</p><p>ez(z − 3)</p><p>(z − 1)(z − 5)</p><p>(b)</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>(c)</p><p>ez − 2</p><p>z</p><p>(d)</p><p>cos z</p><p>1− z</p><p>(e)</p><p>e2z</p><p>z4 − z5</p><p>(f)</p><p>1</p><p>z4 + 2z2 + 1</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) =</p><p>ez(z − 3)</p><p>(z − 1)(z − 5)</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : As singularidades de f são z1 = 1 e z2 = 5.</p><p>197</p><p>• z1 e z2 são pólos simples pois</p><p>lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>ez(z − 3)</p><p>(z − 5)</p><p>=</p><p>e</p><p>2</p><p>6= 0</p><p>lim</p><p>z→5</p><p>(z − 5)f(z) = lim</p><p>z→5</p><p>ez(z − 3)</p><p>(z − 1)</p><p>=</p><p>e5</p><p>2</p><p>6= 0</p><p>(b) Seja f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : A úni</p><p>a singularidade de f é z = 0.</p><p>• z = 0 é uma singularidade removível pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>f(z) = lim</p><p>z→0</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>= lim</p><p>z→0</p><p>ez = 1 6= 0</p><p>(</p><p>) Seja f(z) =</p><p>ez − 2</p><p>z</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : A úni</p><p>a singularidade de f é z = 0.</p><p>• z = 0 é um pólo simples pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>(ez − 2) = −1 6= 0</p><p>(d) Seja f(z) =</p><p>cos z</p><p>1− z</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : A úni</p><p>a singularidade de f é z = 1.</p><p>• z = 0 é um pólo simples pois</p><p>lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>( cos z) = cos 1 6= 0</p><p>(e) Seja f(z) =</p><p>e2z</p><p>z4 − z5</p><p>=</p><p>e2z</p><p>z4(1− z)</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : As singularidades de f são z1 = 0 e z2 = 1.</p><p>• z2 = 1 é um pólo simples pois</p><p>lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>e2z</p><p>z4</p><p>= e2 6= 0</p><p>• z1 = 0 é um pólo de ordem 4 pois</p><p>lim</p><p>z→0</p><p>z4f(z) = lim</p><p>z→0</p><p>e2z</p><p>1− z</p><p>= 1 6= 0</p><p>198</p><p>(f) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>z4 + 2z2 + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>(z2 + 1)2</p><p>=</p><p>1</p><p>(z + i)2(z − i)2</p><p>.</p><p>• Singularidades de f : As singularidades de f são z1 = i e z2 = −i.</p><p>• z2 = i é um pólo de ordem 2 pois</p><p>lim</p><p>z→i</p><p>(z − i)2f(z) = lim</p><p>z→i</p><p>1</p><p>(z + i)2</p><p>=</p><p>1</p><p>−4</p><p>6= 0</p><p>• z1 = −i é um pólo de ordem 2 pois</p><p>lim</p><p>z→−i</p><p>(z + i)2f(z) = lim</p><p>z→−i</p><p>1</p><p>(z − i)2</p><p>=</p><p>1</p><p>−4</p><p>6= 0</p><p>(3) Cal</p><p>ule os resíduos dos seguintes funções nos pontos indi</p><p>ados:</p><p>(a)</p><p>1</p><p>z2 − 1</p><p>; z = 1 (b)</p><p>z</p><p>z2 − 1</p><p>; z = 1 (c) cossec 2 z; z = 0</p><p>(d)</p><p>ez − 1</p><p>z2</p><p>; z = 0 (e)</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>; z = 0 (f) z cos</p><p>(1</p><p>z</p><p>)</p><p>; z = 0</p><p>(g)</p><p>1− e3z</p><p>z4</p><p>; z = 0 (h)</p><p>cossec 2 z</p><p>z3</p><p>; z = 0</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>z2 − 1</p><p>.</p><p>z = 1 é um pólo simples de f . Portanto</p><p>Res(f , 1) = lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>z − 1</p><p>z2 − 1</p><p>= lim</p><p>z→1</p><p>1</p><p>z + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(b) Seja f(z) =</p><p>z</p><p>z2 − 1</p><p>.</p><p>z = 1 é um pólo simples de f . Portanto</p><p>Res(f , 1) = lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>z(z − 1)</p><p>z2 − 1</p><p>= lim</p><p>z→1</p><p>z</p><p>z + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>) Seja f(z) = cossec 2z =</p><p>1</p><p>sen 2z</p><p>= ( sen z)−2.</p><p>Como</p><p>sen z = z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+</p><p>z9</p><p>9!</p><p>+ · · ·</p><p>199</p><p>Temos que</p><p>f(z) = ( sen z)−2</p><p>=</p><p>(</p><p>z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+</p><p>z9</p><p>9!</p><p>+ · · ·</p><p>)−2</p><p>= z−2</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>z2</p><p>3!</p><p>− z4</p><p>5!</p><p>+</p><p>z6</p><p>7!</p><p>− z8</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>)]−2</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>[</p><p>1 + 2</p><p>(</p><p>z2</p><p>3!</p><p>− z4</p><p>5!</p><p>+</p><p>z6</p><p>7!</p><p>− z8</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>)</p><p>+ · · ·</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>+</p><p>2</p><p>3!</p><p>− 2z2</p><p>5!</p><p>+</p><p>2z4</p><p>7!</p><p>− 2z6</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>z = 0 é um pólo de ordem 2 de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= 0</p><p>(d) Seja f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>z2</p><p>.</p><p>Como</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>z2</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>(</p><p>z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>z</p><p>+</p><p>1</p><p>2!</p><p>+</p><p>z</p><p>3!</p><p>+</p><p>z2</p><p>4!</p><p>+</p><p>z3</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>z = 0 é um pólo simples de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= 1</p><p>(e) Seja f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>.</p><p>Como</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>200</p><p>Temos que</p><p>f(z) =</p><p>ez − 1</p><p>z</p><p>=</p><p>1</p><p>z</p><p>(</p><p>z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>= 1 +</p><p>z</p><p>2!</p><p>+</p><p>z2</p><p>3!</p><p>+</p><p>z3</p><p>4!</p><p>+</p><p>z4</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>z = 0 é uma singularidade removível de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= 0</p><p>(f) Seja f(z) = z cos</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>.</p><p>Como</p><p>cos z = 1− z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>− z6</p><p>6!</p><p>+</p><p>z8</p><p>8!</p><p>− · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) = z cos</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= z</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>2!z2</p><p>+</p><p>1</p><p>4!z4</p><p>− 1</p><p>6!z6</p><p>+</p><p>1</p><p>8!z8</p><p>− · · ·</p><p>]</p><p>= z − 1</p><p>2!z</p><p>+</p><p>1</p><p>4!z3</p><p>− 1</p><p>6!z5</p><p>+</p><p>1</p><p>8!z7</p><p>− · · ·</p><p>z = 0 é uma singularidade essen</p><p>ial de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= − 1</p><p>2!</p><p>= −1</p><p>2</p><p>201</p><p>(g) Seja f(z) =</p><p>1− e3z</p><p>z4</p><p>.</p><p>Como</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) =</p><p>1− e3z</p><p>z4</p><p>=</p><p>1</p><p>z4</p><p>(</p><p>−3z − 9z2</p><p>2!</p><p>− 27z3</p><p>3!</p><p>− 81z4</p><p>4!</p><p>− 243z5</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>= − 3</p><p>z3</p><p>− 9</p><p>2!z2</p><p>− 27</p><p>3!z</p><p>− 81</p><p>4!</p><p>− 243z</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>z = 0 é um pólo ordem 3 de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= −27</p><p>3!</p><p>= −9</p><p>2</p><p>(h) Seja f(z) =</p><p>cossec 2z</p><p>z3</p><p>=</p><p>1</p><p>z3 sen 2z</p><p>=</p><p>( sen z)−2</p><p>z3</p><p>.</p><p>Como</p><p>sen z = z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+</p><p>z9</p><p>9!</p><p>+ · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) =</p><p>( sen z)−2</p><p>z3</p><p>=</p><p>1</p><p>z3</p><p>(</p><p>z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+</p><p>z9</p><p>9!</p><p>+ · · ·</p><p>)−2</p><p>=</p><p>1</p><p>z3</p><p>· z−2</p><p>[</p><p>1−</p><p>(</p><p>z2</p><p>3!</p><p>− z4</p><p>5!</p><p>+</p><p>z6</p><p>7!</p><p>− z8</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>)]−2</p><p>=</p><p>1</p><p>z5</p><p>[</p><p>1 + 2</p><p>(</p><p>z2</p><p>3!</p><p>− z4</p><p>5!</p><p>+</p><p>z6</p><p>7!</p><p>− z8</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>)</p><p>+ · · ·</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>z5</p><p>+</p><p>2</p><p>3!z3</p><p>− 2</p><p>5!z</p><p>+</p><p>2z</p><p>7!</p><p>− 2z3</p><p>9!</p><p>− · · ·</p><p>z = 0 é um pólo de ordem 5 de f . Portanto</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= − 2</p><p>5!</p><p>= − 1</p><p>60</p><p>202</p><p>(4) Cal</p><p>ule as seguintes integrais usando o método de resíduos</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>|z|=1/2</p><p>dz</p><p>(1− z)3</p><p>(b)</p><p>∫</p><p>|z|=1/2</p><p>dz</p><p>z(1 − z)3</p><p>(c)</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>ez dz</p><p>z(1 − z)3</p><p>(d)</p><p>∫</p><p>|z|=5</p><p>(z2 − z + 1) dz</p><p>(z − 1)(z − 4)(z + 3)</p><p>(e)</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>sinh z dz</p><p>z(z2 + 1)</p><p>(f)</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>sen z dz</p><p>z2(z + 1 + i)</p><p>(g)</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>(z − 1)3 dz</p><p>z(z − 2)3</p><p>(h)</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>z dz</p><p>z2 + 2z + 5</p><p>(i)</p><p>∫</p><p>|z|=9</p><p>dz</p><p>ez − 1</p><p>(j)</p><p>∫</p><p>|z|=6</p><p>tg z dz (k)</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>z20 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z3</p><p>)</p><p>dz (l)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e−z2 dz</p><p>z2</p><p>Em (l), γ é um quadrado</p><p>om verti</p><p>es −1− i, 1− i, −1 + i e 1 + i.</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>(1− z)3</p><p>e γ = {z : |z| = 1/2}.</p><p>f possui um pólo de ordem 3 em z = 1,</p><p>mas z = 1 não está no interior de γ.</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=1/2</p><p>dz</p><p>(1− z)3</p><p>= 0.</p><p>(b) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>z(1 − z)3</p><p>e γ = {z : |z| = 1/2}</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui um pólo simples em z1 = 0 e um pólo de ordem 3 em z2 = 1. Mas</p><p>apenas z1 está no interior de γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) = 2πi lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>1</p><p>(1− z)3</p><p>= 1</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=1/2</p><p>dz</p><p>z(1− z)3</p><p>= 2πi Res(f , 0) = 2πi</p><p>203</p><p>(</p><p>) Seja f(z) =</p><p>ez</p><p>z(1− z)3</p><p>e γ = {z : |z| = 2}.</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui um pólo simples em z1 = 0 e um pólo de ordem 3 em z2 = 1. As 2</p><p>singularidades estão no interior de γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) = lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>1</p><p>(1− z)3</p><p>= 1</p><p>Res(f , 1)=</p><p>1</p><p>2!</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>[(z−1)3f(z)]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>(</p><p>ez</p><p>z</p><p>)</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(z2 + 2z − 2)ez</p><p>z3</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=1</p><p>=</p><p>e</p><p>2</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>ezdz</p><p>z(1− z)3</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0) + Res(f , 1)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>1 +</p><p>e</p><p>2</p><p>]</p><p>= πi (2 + e)</p><p>(d) Seja f(z) =</p><p>z2 − z + 1</p><p>(z − 1)(z − 4)(z + 3)</p><p>e γ = {z : |z| = 5}.</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui pólos simples em z1 = 1, z2 = 4 e z3 = −3 todos estão no interior de</p><p>γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 1) = lim</p><p>z→1</p><p>(z − 1)f(z) = lim</p><p>z→1</p><p>z2 − z + 1</p><p>(z − 4)(z + 3)</p><p>= − 1</p><p>12</p><p>Res(f , 4) = lim</p><p>z→4</p><p>(z − 4)f(z) = lim</p><p>z→4</p><p>z2 − z + 1</p><p>(z − 1)(z + 3)</p><p>=</p><p>13</p><p>21</p><p>Res(f ,−3) = lim</p><p>z→−3</p><p>(z + 3)f(z) = lim</p><p>z→−3</p><p>z2 − z + 1</p><p>(z − 1)(z − 4)</p><p>=</p><p>13</p><p>28</p><p>204</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=5</p><p>(z2 − z + 1) dz</p><p>(z − 1)(z − 4)(z + 3)</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 1) + Res(f , 4) + Res(f ,−3)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>− 1</p><p>12</p><p>+</p><p>13</p><p>21</p><p>+</p><p>13</p><p>28</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[−7 + 52 + 39</p><p>84</p><p>]</p><p>= 2πi · 84</p><p>84</p><p>= 2πi</p><p>(e) Seja f(z) =</p><p>sinh z</p><p>z(z2 + 1)</p><p>e γ = {z : |z| = 2}.</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui pólos simples em z1 = 0, z2 = i e z3 = −i todos estão no interior de</p><p>γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) = lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>sinh z</p><p>z2 + 1</p><p>=</p><p>sinh 0</p><p>02 + 1</p><p>= 0</p><p>Res(f , i) = lim</p><p>z→i</p><p>(z − i)f(z) = lim</p><p>z→i</p><p>sinh z</p><p>z(z + i)</p><p>=</p><p>sinh i</p><p>i(2i)</p><p>=</p><p>sen 1</p><p>2i</p><p>Res(f ,−i) = lim</p><p>z→−i</p><p>(z + i)f(z) = lim</p><p>z→−i</p><p>sinh z</p><p>z(z − i)</p><p>= − sen 1</p><p>2i</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>sinh z dz</p><p>z(z2 + 1)</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0) + Res(f , i) + Res(f ,−i)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>0 +</p><p>sen 1</p><p>2i</p><p>− sen 1</p><p>2i</p><p>]</p><p>= 0</p><p>(f) Seja f(z) =</p><p>sen z</p><p>z2(z + 1 + i)</p><p>e γ = {z : |z| = 2}.</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui pólo simples em z1 = −1 − i e um pólo de ordem 2 em z2 = 0 todos</p><p>estão no interior de γ.</p><p>205</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f ,−1−i) = lim</p><p>z→−1−i</p><p>(z+1+i)f(z) = lim</p><p>z→−1−i</p><p>sen z</p><p>z2</p><p>=</p><p>− sen 1 cosh 1 + i cos 1 sinh 1</p><p>2i</p><p>Res(f , 0)=</p><p>d</p><p>dz</p><p>[z2f(z)]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=0</p><p>=</p><p>d</p><p>dz</p><p>[</p><p>sen z</p><p>z + 1 + i</p><p>]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=0</p><p>=</p><p>(z + 1 + i) cos z − sen z</p><p>(z + 1 + i)2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=0</p><p>=</p><p>1− i</p><p>2</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=2</p><p>sen z dz</p><p>z2(z + 1 + i)</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f ,−1− i) + Res(f , 0)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[− sen 1 cosh 1 + i cos 1 sinh 1</p><p>2i</p><p>+</p><p>1− i</p><p>2</p><p>]</p><p>= π</p><p>[</p><p>− sen 1 cosh 1 + i cos 1 sinh 1 + 1 + i</p><p>]</p><p>= π</p><p>[</p><p>(1− sen 1 cosh 1) + i(1 + cos 1 sinh 1)</p><p>]</p><p>(g) Seja f(z) =</p><p>(z − 1)3</p><p>z(z − 2)3</p><p>e γ = {z : |z| = 3}.</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui pólo simples em z1 = 0 e um pólo de ordem 3 em z2 = 2 todos estão</p><p>no interior de γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) = lim</p><p>z→0</p><p>zf(z) = lim</p><p>z→0</p><p>(z − 1)3</p><p>(z − 2)3</p><p>=</p><p>1</p><p>8</p><p>Res(f , 2)=</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>[(z−2)2f(z)]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=2</p><p>=</p><p>d2</p><p>dz2</p><p>[</p><p>(z − 1)3</p><p>z</p><p>]</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=2</p><p>=</p><p>3z(z − 1)2 − (z − 1)3</p><p>z2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z=2</p><p>=</p><p>5</p><p>4</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>(z − 1)3 dz</p><p>z(z − 2)3</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0) + Res(f , 2)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[1</p><p>8</p><p>+</p><p>5</p><p>4</p><p>]</p><p>=</p><p>11πi</p><p>4</p><p>(h) Seja f(z) =</p><p>z</p><p>z2 + 2z + 5</p><p>e γ = {z : |z| = 1}.</p><p>f possui pólos simples em z = −1 ± 2i, mas nenhum estão no interior de γ.</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>z dz</p><p>z2 + 2z + 5</p><p>= 0.</p><p>206</p><p>(i) Seja f(z) =</p><p>1</p><p>ez − 1</p><p>e γ = {z : |z| = 9}.</p><p>• Singularidades:</p><p>ez − 1 = 0 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z</p><p>f possui pólos simples em z = 2kπi, k ∈ Z, mas apenas z1 = 0, z2 = 2πi e</p><p>z3 = −2πi estão no interior de γ.</p><p>• Resíduos: Para k ∈ Z</p><p>Res(f , 2kπi) = lim</p><p>z→2kπi</p><p>(z − 2kπi)f(z)</p><p>= lim</p><p>z→2kπi</p><p>(z − 2kπi)</p><p>ez − 1</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>w</p><p>e(w+2kπi) − 1</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>w</p><p>ew − 1</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>1</p><p>ew</p><p>= 1</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=9</p><p>dz</p><p>ez − 1</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0) + Res(f , 2πi) + Res(f ,−2πi)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>1 + 1 + 1</p><p>]</p><p>= 6πi</p><p>(j) Seja f(z) = tg z =</p><p>sen z</p><p>cos z</p><p>e γ = {z : |z| = 6}.</p><p>• Singularidades:</p><p>cos z = 0 ⇔ z =</p><p>(2k + 1)π</p><p>2</p><p>, k ∈ Z</p><p>f possui pólos simples em z =</p><p>(2k + 1)π</p><p>2</p><p>, k ∈ Z, mas apenas</p><p>z1 =</p><p>π</p><p>2</p><p>, z2 = −π</p><p>2</p><p>, z3 =</p><p>3π</p><p>2</p><p>, z4 = −3π</p><p>2</p><p>estão no interior de γ.</p><p>207</p><p>• Resíduos: Para k ∈ Z</p><p>Res (f , (2k + 1)π/2) = lim</p><p>z→ (2k+1)π</p><p>2</p><p>(</p><p>z − (2k + 1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>f(z)</p><p>= lim</p><p>z→ (2k+1)π</p><p>2</p><p>(</p><p>z − (2k + 1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>sen z</p><p>cos z</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>w ·</p><p>sen</p><p>(</p><p>w + (2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>cos</p><p>(</p><p>w + (2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>w ·</p><p>sen w</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘✿ 0</p><p>cos</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>+ cos w sen</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>cos w</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘</p><p>✘✿0</p><p>cos</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>− sen w sen</p><p>(</p><p>(2k+1)π</p><p>2</p><p>)</p><p>= lim</p><p>w→0</p><p>w · cos w</p><p>− sen w</p><p>= − lim</p><p>w→0</p><p>( w</p><p>sen w</p><p>)</p><p>· cos w = −1</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=6</p><p>tg z dz = 2πi</p><p>[</p><p>Res(f ,</p><p>π</p><p>2</p><p>) + Res(f ,−π</p><p>2</p><p>) + Res(f ,</p><p>3π</p><p>2</p><p>) + Res(f ,−3π</p><p>2</p><p>)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>− 1− 1− 1− 1</p><p>]</p><p>= −8πi</p><p>(k) Seja f(z) = z20 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z3</p><p>)</p><p>e γ = {z : |z| = 1}.</p><p>Como</p><p>sen z = z − z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− z7</p><p>7!</p><p>+</p><p>z9</p><p>9!</p><p>+ · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) = z20 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z3</p><p>)</p><p>= z20</p><p>(</p><p>1</p><p>z3</p><p>− 1</p><p>3!z9</p><p>+</p><p>1</p><p>5!z15</p><p>− 1</p><p>7!z21</p><p>+</p><p>1</p><p>9!z27</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>= z17 − z11</p><p>3!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>− 1</p><p>7!z</p><p>+</p><p>1</p><p>9!z7</p><p>+ · · ·</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui uma singularidade essen</p><p>ial em z = 0 que está no interior de γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= − 1</p><p>7!</p><p>= − 1</p><p>5040</p><p>208</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>z20 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z3</p><p>)</p><p>dz = 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0)</p><p>]</p><p>= 2πi</p><p>[ −1</p><p>5040</p><p>]</p><p>=</p><p>−πi</p><p>2520</p><p>(l) Seja f(z) =</p><p>e−z2</p><p>z2</p><p>e γ é um quadrado</p><p>om verti</p><p>es −1 − i, 1− i, −1 + i e 1 + i.</p><p>Como</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+</p><p>z5</p><p>5!</p><p>+</p><p>z6</p><p>6!</p><p>+ · · ·</p><p>Temos que</p><p>f(z) =</p><p>e−z2</p><p>z2</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>(</p><p>1− z2 +</p><p>z4</p><p>2!</p><p>− z6</p><p>3!</p><p>+</p><p>z8</p><p>4!</p><p>− z10</p><p>5!</p><p>+</p><p>z12</p><p>6!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>z2</p><p>− 1 +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>− z4</p><p>3!</p><p>+</p><p>z6</p><p>4!</p><p>− z8</p><p>5!</p><p>+ · · ·</p><p>• Singularidades:</p><p>f possui um pólo de ordem 2 em z = 0 que está no interior de γ.</p><p>• Resíduos:</p><p>Res(f , 0) =</p><p>(</p><p>oe�</p><p>iente de</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>= 0</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>e−z2 dz</p><p>z2</p><p>= 2πi</p><p>[</p><p>Res(f , 0)</p><p>]</p><p>= 0</p><p>209</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Identi�que todas as singularidades em C das funções e</p><p>lassi�que</p><p>ada uma</p><p>omo</p><p>removível, um polo (indi</p><p>ando sua ordem), ou essen</p><p>ial.</p><p>(a)</p><p>z</p><p>(z2 − 1)2</p><p>(b)</p><p>sen z</p><p>cos z</p><p>(c) e</p><p>1</p><p>z2+1 (d) sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z − 1</p><p>)</p><p>(e) z2 sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>(f)</p><p>cos z</p><p>z2 − π2</p><p>4</p><p>(g)</p><p>z − i</p><p>z2 + 1</p><p>(h)</p><p>z2 + 4</p><p>z(z2 + 1)2</p><p>(i) z3e1/z (j)</p><p>z3 + 1</p><p>z2(z + 1)</p><p>(k)</p><p>z</p><p>(4 + z2) sen (πz)</p><p>(l)</p><p>sen (z + 2i)</p><p>z3(z2 + 4)</p><p>(2) Determine todos os pólos e suas ordens das seguintes funções e os resíduos nestes</p><p>polos:</p><p>(a)</p><p>z2 − 2z</p><p>(z + 1)2(z2 + 4)</p><p>(b) ez cossec 2z (c)</p><p>eπz</p><p>z2 + 1</p><p>(d)</p><p>z cos z</p><p>(z − 2)2</p><p>(e)</p><p>ez</p><p>(z2 − 4)3</p><p>(f)</p><p>z2 + 1</p><p>z4 + 1</p><p>(g)</p><p>e sen z</p><p>z(z − 2)2</p><p>(h)</p><p>1 + cos z</p><p>(z − π)3</p><p>(i)</p><p>1</p><p>(ez − 1)2</p><p>(3) Cal</p><p>ule as seguintes integrais usando o método de resíduos</p><p>(a)</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>2z4 + 1</p><p>(3z3 − 1)(4 + z2)</p><p>dz (b)</p><p>∫</p><p>|z−2|=2</p><p>cos (πz)</p><p>z2 − 1</p><p>dz (c)</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>ez</p><p>z(z − 2)3</p><p>dz</p><p>(d)</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>e−1/z sen</p><p>(</p><p>1</p><p>z</p><p>)</p><p>dz (e)</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>dz</p><p>z2 sen z</p><p>(f)</p><p>∫</p><p>|z−2|=5</p><p>dz</p><p>z3(z − 1)2</p><p>(g)</p><p>∫</p><p>|z|=3</p><p>e2z dz</p><p>z2(z2 + 2z + 2)</p><p>(h)</p><p>∫</p><p>|z− 1</p><p>2</p><p>|= 3</p><p>2</p><p>tg (z)</p><p>z</p><p>dz (i)</p><p>∫</p><p>|z−1|=1</p><p>dz</p><p>z8 − 1</p><p>(j)</p><p>∫</p><p>|z|=5</p><p>f ′(z)</p><p>f(z)</p><p>dz</p><p>onde f(z) =</p><p>(z − 4)3(z2 + 1)</p><p>2− z2</p><p>(k)</p><p>∫</p><p>|z|=1</p><p>z4</p><p>sen z</p><p>dz (l)</p><p>∫</p><p>γ</p><p>eiz dz</p><p>z2 + 4</p><p>Em (l), γ é a fronteira da semi-</p><p>ir</p><p>ulo {|z| ≤ 10, Im(z) ≥ 10}.</p><p>210</p><p>omplexo</p><p>ujo produto por 5 + 8i é real e</p><p>ujo quo</p><p>iente por</p><p>1 + i é imaginário puro.</p><p>Resolução</p><p>Seja z = x+ iy o número</p><p>omplexo. Então</p><p>(x+ iy)(5 + 8i) = (5x− 8y) + (8x+ 5y)i</p><p>e</p><p>x+ iy</p><p>1 + i</p><p>=</p><p>x+ iy</p><p>1 + i</p><p>· 1− i</p><p>1− i</p><p>=</p><p>(</p><p>x+ y</p><p>2</p><p>)</p><p>+</p><p>(−x+ y</p><p>2</p><p>)</p><p>i</p><p>Logo temos que</p><p></p><p></p><p></p><p>8x+ 5y = 0</p><p>x+ y</p><p>2</p><p>= 0</p><p>Resolvendo temos que x = 0 e y = 0.</p><p>(10) Determinar z ∈ C tal que z2 = 1 + i</p><p>√</p><p>3.</p><p>Resolução</p><p>Seja z = x+ iy o número</p><p>omplexo. Então</p><p>(x+ iy)2 = 1 + i</p><p>√</p><p>3 ⇒ (x2 − y2) + 2xyi = 1 + i</p><p>√</p><p>3</p><p>Igualando as partes reais e imaginárias temos que</p><p>x2 − y2 = 1 (1.2)</p><p>2xy =</p><p>√</p><p>3 (1.3)</p><p>De (2) temos que y =</p><p>√</p><p>3</p><p>2x</p><p>e substituindo em (1) temos</p><p>x2 −</p><p>(√</p><p>3</p><p>2x</p><p>)2</p><p>= 1 ⇒ 4x4 − 4x2 − 3 = 0</p><p>Resolvendo temos que x2 =</p><p>3</p><p>2</p><p>, ou seja x = ±</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>e y = ±</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>19</p><p>(11) Prove que</p><p>2(|z1|2 + |z2|2) = |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 para z1, z2 ∈ C.</p><p>Resolução</p><p>|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2)</p><p>= (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2)</p><p>= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 + z1z1 − z1z2 − z2z1 + z2z2</p><p>= |z1|2 + |z2|2 + |z1|2 + |z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)</p><p>(12) Mostre que z0 = 2 + 3i é uma raíz da equação</p><p>z4 − 4z3 + 17z2 − 16z + 52 = 0</p><p>e portanto en</p><p>ontre os outros 3 raízes.</p><p>Resolução</p><p>Seja p(z) = z4 − 4z3 + 17z2 − 16z + 52. Então</p><p>p(z0) = (2 + 3i)4 − 4(2 + 3i)3 + 17(2 + 3i)2 − 16(2 + 3i) + 52</p><p>= −119− 120i− 4(−46 + 9i) + 17(−5 + 12i)− 32− 48i+ 52</p><p>= (−119 + 184− 85− 32 + 52) + (−120− 36 + 204− 48)i</p><p>= 0</p><p>Portanto z0 = 2 + 3i é uma raíz de p(z).</p><p>Como z0 = 2 + 3i é uma raíz, temos que seu</p><p>onjugado z0 = 2− 3i também é uma</p><p>raíz. Seja</p><p>q(z) =</p><p>(</p><p>z − (2 + 3i)</p><p>)(</p><p>z − (2− 3i)</p><p>)</p><p>= z2 − 4z + 13</p><p>Fazendo a divisão de p(z) por q(z)</p><p>z4 −4z3 +17z2 −16z+52 z2 − 4z + 13</p><p>− z4 +4z3 −13z2 z2 + 4</p><p>4z2 −16z+52</p><p>−4z2 +16z−52</p><p>0</p><p>20</p><p>Portanto,</p><p>z4 − 4z3 + 17z2 − 16z + 52 = (z2 − 4z + 13)(z2 + 4)</p><p>=</p><p>(</p><p>z − (2 + 3i)</p><p>)(</p><p>z − (2− 3i)</p><p>)</p><p>(z − 2i)(z + 4i)</p><p>Portanto as outras raízes de p(z) são z = 2− 3i, z = 2i, z = −2i.</p><p>(13) Mostre que, se |z + 1 + i|</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2(2)− 5</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>= 1</p><p>Portanto</p><p>1</p><p>cos (nθ) + i sen (nθ)] (2.2)</p><p>• Além disto se r = 1 em (2.2) temos a Formula de Moivre para n ∈ N</p><p>zn = ( cos θ + i sen θ)n = cos (nθ) + i sen (nθ) (2.3)</p><p>Representação Geométri</p><p>a de z1z2</p><p>Seja z1 = r1( cos θ1 + i sen θ1) �xo. Geometri</p><p>amente a multipli</p><p>ação de z1 pelo</p><p>omplexo z2 = r1( cos θ1 + i sen θ1) dada por z1z2 = r1r2[ cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)],</p><p>representa um</p><p>omplexo em que o modulo de z1 é alongado (ou diminuído) por r2 se</p><p>r2 > 1( ou r2 1. Denotamos a raíz n-ésima da unidade pela a letra grega ζ . Pelo fato</p><p>1 = cos 0 + i sen 0, as raízes n-ésima da unidade são dadas por:</p><p>ζk = cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>n</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>n</p><p>)</p><p>, k = 0, 1, 2, · · · , (n− 1) (2.9)</p><p>Observação 7. • Na equação (2.9) se</p><p>onsideramos a raiz n−ésima</p><p>ζ1= cos</p><p>(</p><p>2π</p><p>n</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2π</p><p>n</p><p>)</p><p>observamos que ζk1 = ζk, k = 0, 1, 2, · · · (n− 1); isto</p><p>é todas as raízes n−ésima de unidade são expressas</p><p>omo potên</p><p>ias de ζ1.</p><p>• ζk1 = ζk ⇒ ζ1ζk−1 = ζk, k = 0, 1, 2, · · · (n − 1), que geometri</p><p>amente nos diz que</p><p>ζk é obtido rodando ζk−1 de um ângulo</p><p>2π</p><p>n</p><p>no sentido anti-horário. Desta maneira,</p><p>as raízes n−ésimas da unidade são pre</p><p>isamente os verti</p><p>es do polígono</p><p>regular</p><p>ins</p><p>rito no</p><p>ír</p><p>ulo de raio 1</p><p>entro (0, 0)</p><p>om um do vérti</p><p>es no ponto z = 1.</p><p>33</p><p>Exemplo 11. Determine e represente geometri</p><p>amente as raízes oitavas de 1.</p><p>Resolução. As raízes são dadas por</p><p>ζk = cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>8</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>8</p><p>)</p><p>, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7</p><p>Logo</p><p>ζ0 = 1</p><p>ζ1 = cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>+ i</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>ζ2 = cos</p><p>(π</p><p>2</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>2</p><p>)</p><p>= i</p><p>ζ3 = cos</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>= −</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>+ i</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>ζ4 = cos π + i sen π = −1</p><p>ζ5 = cos</p><p>(</p><p>5π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>5π</p><p>4</p><p>)</p><p>= −</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>− i</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>ζ6 = cos</p><p>(</p><p>3π</p><p>2</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>3π</p><p>2</p><p>)</p><p>= −i</p><p>ζ7 = cos</p><p>(</p><p>7π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>7π</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>− i</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>b</p><p>b</p><p>bb</p><p>bb</p><p>bb</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>ζ1</p><p>ζ5 ζ7</p><p>ζ3</p><p>ζ4 ζ0</p><p>ζ2</p><p>ζ6</p><p>Geometria dos Números Complexos</p><p>Distân</p><p>ia e Ângulo</p><p>De�nição 6. Dado dois</p><p>omplexos z0 = x0 + iy0 e z1 = x1 + iy1 ∈ C então a distân</p><p>ia</p><p>entre eles é dado por</p><p>|z1 − z0| =</p><p>√</p><p>(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2</p><p>De�nição 7. Dado três</p><p>omplexos z0, z1, z2 ∈ C então o ângulo ẑ2zz1 é dado por</p><p>arg</p><p>(</p><p>z2 − z0</p><p>z1 − z0</p><p>)</p><p>= arg(z2 − z0)− arg(z1 − z0)</p><p>Observe que</p><p>omo se trata de um ângulo</p><p>om sinal, em que o ângulo é medido no sentido</p><p>anti-horário, pela fórmula a</p><p>ima será negativo se tro</p><p>amos z2 e z1.</p><p>34</p><p>b</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>z1</p><p>x1−x0</p><p>y1−y0|z 1</p><p>−z</p><p>0</p><p>|</p><p>z0</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>arg</p><p>(</p><p>z2−z0</p><p>z1−z0</p><p>)</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>z1</p><p>z2</p><p>z0</p><p>Exemplo 12. O ângulo ẑ1z0z2 onde z0 = 1 + i, z1 = 2 e z2 = 3 + 3i é dado por</p><p>arg</p><p>(</p><p>z1 − z0</p><p>z2 − z0</p><p>)</p><p>= arg</p><p>(</p><p>2 + 2i</p><p>1− i</p><p>)</p><p>= arg(2i) =</p><p>π</p><p>2</p><p>.</p><p>Alguns sub</p><p>onjuntos de C</p><p>• Cir</p><p>ulo</p><p>Os números</p><p>omplexos z que satisfazem a equação</p><p>|z − z0| = r onde z0 ∈ C e r ∈ R, r > 0</p><p>represente o</p><p>ír</p><p>ulo de</p><p>entro z0 e raio r.</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>z0</p><p>r</p><p>• Reta equidistante</p><p>Os números</p><p>omplexos z que satisfazem a equação</p><p>|z − z0| = |z − z1| onde z0, z1 ∈ C</p><p>representa a reta equidistante nos pontos z0 e z1 e per-</p><p>pendi</p><p>ular a reta ligando z0 e z1.</p><p>b</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>z0</p><p>z1</p><p>• Os números</p><p>omplexos z que satisfazem a equação</p><p>arg(z − z0) = θ onde z0 ∈ C</p><p>representa a semi-reta que</p><p>omeça no ponto z0 e faz um ângulo θ</p><p>om o eixo real</p><p>positivo. Observe aqui que o ponto z0 não faz parte da reta.</p><p>35</p><p>• Elipse</p><p>Os números</p><p>omplexos z que satisfazem a equação</p><p>|z − z0|+ |z − z1| = r onde z0, z1 ∈ C e r ∈ R, r > 0</p><p>representa uma elipse</p><p>om fo</p><p>os em z0 e z1 desde que r > |z0 − z1|.</p><p>• Hipérbole</p><p>Os números</p><p>omplexos z que satisfazem a equação</p><p>|z − z0| − |z − z1| = r onde z0, z1 ∈ C e r ∈ R</p><p>representa um dos ramos de um hipérbole</p><p>om fo</p><p>os em z0 e z1.</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios resolvidos</p><p>(1) Reduza os números z1 e z2 abaixo na forma trigonométri</p><p>a e determine as represen-</p><p>tações trigonométri</p><p>as de z1z2 e</p><p>z1</p><p>z2</p><p>. Represente geometri</p><p>amente.</p><p>(a) z1 =</p><p>√</p><p>3 + 3i, z2 =</p><p>3− i</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>(b) z1 = 1 + i, z2 =</p><p>√</p><p>3 + i</p><p>(c) z1 = 1− i, z2 = −1 + i</p><p>√</p><p>3</p><p>Resolução</p><p>(a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z1 =</p><p>√</p><p>3 + 3i (1</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z1| =</p><p>√</p><p>(</p><p>√</p><p>3)2 + 32 =</p><p>√</p><p>12 = 2</p><p>√</p><p>3</p><p>arg(z) = arctg</p><p>(</p><p>3√</p><p>3</p><p>)</p><p>= arctg(</p><p>√</p><p>3) =</p><p>π</p><p>3</p><p>Logo z1 = 2</p><p>√</p><p>3</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>3</p><p>)]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z2 =</p><p>3− i</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>(4</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z2| =</p><p>√</p><p>√</p><p>√</p><p>√</p><p>(</p><p>3</p><p>2</p><p>)2</p><p>+</p><p>(√</p><p>3</p><p>2</p><p>)2</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>arg(z) = − arctg</p><p>(√</p><p>3</p><p>3</p><p>)</p><p>= −π</p><p>6</p><p>36</p><p>Logo z2 =</p><p>√</p><p>3</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>−π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>−π</p><p>6</p><p>)]</p><p>Portanto</p><p>z1z2 = (2</p><p>√</p><p>3)(</p><p>√</p><p>3)</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>3</p><p>− π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>3</p><p>− π</p><p>6</p><p>)]</p><p>= 6</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>6</p><p>)]</p><p>z1</p><p>z2</p><p>=</p><p>2</p><p>√</p><p>3√</p><p>3</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>3</p><p>+</p><p>π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>3</p><p>+</p><p>π</p><p>6</p><p>)]</p><p>= 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>2</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>2</p><p>)]</p><p>(b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z1 = 1 + i (1</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z1| =</p><p>√</p><p>12 + 12 =</p><p>√</p><p>2</p><p>arg(z) = arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>1</p><p>)</p><p>= arctg(1) =</p><p>π</p><p>4</p><p>Logo z1 =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>)]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z2 =</p><p>√</p><p>3 + i (1</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z2| =</p><p>√</p><p>(√</p><p>3</p><p>)2</p><p>+ 12 =</p><p>√</p><p>4 = 2</p><p>arg(z) = arctg</p><p>(</p><p>1√</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>π</p><p>6</p><p>Logo z2 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>6</p><p>)]</p><p>Portanto</p><p>z1z2 = (</p><p>√</p><p>2)(2)</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>+</p><p>π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>+</p><p>π</p><p>6</p><p>)]</p><p>= 2</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>5π</p><p>12</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>5π</p><p>12</p><p>)]</p><p>z1</p><p>z2</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>− π</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>− π</p><p>6</p><p>)]</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( π</p><p>12</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( π</p><p>12</p><p>)]</p><p>(</p><p>)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z1 = 1− i (4</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z1| =</p><p>√</p><p>12 + 12 =</p><p>√</p><p>2</p><p>arg(z) = − arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>1</p><p>)</p><p>= − arctg(1) = −π</p><p>4</p><p>37</p><p>Logo z1 =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z2 = −1 + i</p><p>√</p><p>3 (2</p><p>o</p><p>quadrante)</p><p>|z2| =</p><p>√</p><p>(√</p><p>3</p><p>)2</p><p>+ 12 =</p><p>√</p><p>4 = 2</p><p>arg(z) = π − arctg(</p><p>√</p><p>3) = π − π</p><p>3</p><p>=</p><p>2π</p><p>3</p><p>Logo z2 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)]</p><p>Portanto</p><p>z1z2 = (</p><p>√</p><p>2)(2)</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>−π</p><p>4</p><p>+</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>−π</p><p>4</p><p>+</p><p>2π</p><p>3</p><p>)]</p><p>= 2</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>5π</p><p>12</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>5π</p><p>12</p><p>)]</p><p>z1</p><p>z2</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>−π</p><p>4</p><p>− 2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>−π</p><p>4</p><p>− 2π</p><p>3</p><p>)]</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>11π</p><p>12</p><p>)</p><p>− i sen</p><p>(</p><p>11π</p><p>12</p><p>)]</p><p>(2) Es</p><p>reva na forma trigonométri</p><p>a os números</p><p>omplexos:</p><p>(a)</p><p>i(1− i)2</p><p>1 + i</p><p>(b)</p><p>2 + i</p><p>(1− i)(1 + 2i)</p><p>(c)</p><p>i9 + i123</p><p>4− 3i</p><p>(d)</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(1− i)(2− i)(3− i)</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja z =</p><p>i(1 − i)2</p><p>1 + i</p><p>=</p><p>i(−2i)</p><p>1 + i</p><p>= 1− i. Temos então,</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>2 e θ = −π</p><p>4</p><p>Portanto,</p><p>z =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>−π</p><p>4</p><p>) ]</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>− i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>) ]</p><p>(b) Seja z =</p><p>2 + i</p><p>(1− i)(1 + 2i)</p><p>=</p><p>2 + i</p><p>−1− 3i</p><p>=</p><p>−1</p><p>2</p><p>+</p><p>i</p><p>2</p><p>. Temos então,</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>e θ =</p><p>3π</p><p>4</p><p>Portanto,</p><p>z =</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>38</p><p>(d) Seja z =</p><p>5i(2 + 2i)</p><p>(1− i)(2− i)(3− i)</p><p>=</p><p>10i(i+ 1)</p><p>−10i</p><p>= −1 − i. Temos então,</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>2 e θ =</p><p>5π</p><p>4</p><p>Portanto,</p><p>z =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>5π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>5π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>(3) Coloque na forma a+ ib as seguintes expressões:</p><p>(a) (1 + i)n + (1− i)n para todo n inteiro.</p><p>(b)</p><p>(2 + i)3</p><p>(3 + 4i)3</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>1 + 2i</p><p>2− i</p><p>)2011</p><p>Resolução</p><p>(a) Sejam</p><p>z1 = 1 + i −→ z1 =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>) ]</p><p>z2 = 1− i −→ z2 =</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>Portanto</p><p>(1 + i)n + (1− i)n = zn1 + zn2</p><p>=</p><p>[</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>) ]</p><p>]n</p><p>+</p><p>[</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(−π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>]n</p><p>= (</p><p>√</p><p>2)n</p><p>[</p><p>cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>) ]</p><p>+ (</p><p>√</p><p>2)n</p><p>[</p><p>cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>− i sen</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>) ]</p><p>= 2(</p><p>√</p><p>2)n cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>Temos os seguintes</p><p>asos a analisar.</p><p>• Se n = 2, 6, 10, 14, · · · , ou seja n = 2(2k − 1), k ∈ N.</p><p>Neste</p><p>aso cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>= 0. Portanto</p><p>(1 + i)n + (1− i)n = 0.</p><p>39</p><p>• Se n = 4, 8, 12, 16, · · · , ou seja n = 2(2k), k ∈ N.</p><p>Neste</p><p>aso cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>= (−1)k = (−1)</p><p>n</p><p>4 . Portanto</p><p>(1 + i)n + (1− i)n = 2(−1)</p><p>n</p><p>4 (</p><p>√</p><p>2)n.</p><p>• Se n = 1, 3, 5, 7, · · · , ou seja n = (2k − 1), k ∈ N.</p><p>Neste</p><p>aso cos</p><p>(nπ</p><p>4</p><p>)</p><p>= (−1)k+1</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>= (−1)</p><p>n+3</p><p>2</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>. Portanto</p><p>(1 + i)n + (1− i)n = (−1)</p><p>n+3</p><p>2</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>· 2(</p><p>√</p><p>2)n = (−1)</p><p>n+3</p><p>2 (</p><p>√</p><p>2)n+1.</p><p>(b)</p><p>(2 + i)3</p><p>(3 + 4i)3</p><p>=</p><p>(</p><p>2 + i</p><p>3 + 4i</p><p>)3</p><p>=</p><p>(</p><p>2 + i</p><p>3 + 4i</p><p>· 3− 4i</p><p>3− 4i</p><p>)3</p><p>=</p><p>(</p><p>2− i</p><p>5</p><p>)3</p><p>=</p><p>1</p><p>125</p><p>[</p><p>(2)2 + 3(2)2(−i) + 3(2)(−i)2 + (−i)3</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>125</p><p>[8− 12i− 6 + i]</p><p>=</p><p>1</p><p>125</p><p>(2− 11i)</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>1 + 2i</p><p>2− i</p><p>)2011</p><p>=</p><p>(</p><p>1 + 2i</p><p>2− i</p><p>· 2 + i</p><p>2 + i</p><p>)2011</p><p>=</p><p>(</p><p>5i</p><p>5</p><p>)2011</p><p>= i2011</p><p>= (i2)1005i</p><p>= −i</p><p>(4) Cal</p><p>ule as raízes abaixo</p><p>(a)</p><p>√</p><p>−5− 12i (b)</p><p>4</p><p>√</p><p>−1 + i</p><p>√</p><p>3 (c) 3</p><p>√</p><p>i (d)</p><p>3</p><p>√</p><p>−4</p><p>√</p><p>2 + 4</p><p>√</p><p>2i</p><p>Resolução</p><p>(a) Seja</p><p>√</p><p>−5− 12i = a+ ib, a, b ∈ R. Temos então que</p><p>−5− 12i = (a+ ib)2</p><p>= (a2 − b2) + 2abi</p><p>40</p><p>Igualando as partes reais e imaginárias temos que</p><p></p><p></p><p></p><p>a2 − b2 = −5 (1)</p><p>2ab = −12 (2)</p><p>De (2) temos que a =</p><p>−6</p><p>b</p><p>. Colo</p><p>ando em (1) temos que</p><p>(−6</p><p>b</p><p>)2</p><p>− b2 = −5</p><p>⇒ 36− b4 = −5b2</p><p>⇒ b4 − 5b2 − 36 = 0</p><p>⇒ (b2 − 9)(b2 + 4) = 0</p><p>Portanto b = ±3. Quando b = 3 ⇒ a = −2 e quando b = −3 ⇒ a = 2. Portanto as</p><p>raizes são</p><p>z1 = −2 + 3i e z2 = 2− 3i</p><p>(b) Seja z = −1 + i</p><p>√</p><p>3. Temos então,</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>1 + 3 = 2 e θ =</p><p>2π</p><p>3</p><p>Logo,</p><p>z = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>Portanto</p><p>4</p><p>√</p><p>z =</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 2kπ</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 2kπ</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>, k = 0, 1, 2, 3.</p><p>E assim,</p><p>• z0 =</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[√</p><p>3 + i</p><p>]</p><p>• z1 =</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 2π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 2π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>− 1 + i</p><p>√</p><p>3</p><p>]</p><p>• z2 =</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 4π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 4π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>− 1− i</p><p>√</p><p>3</p><p>]</p><p>41</p><p>• z3 =</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 2π</p><p>3</p><p>+ 6π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>+6π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>4</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>[</p><p>1− i</p><p>√</p><p>3</p><p>]</p><p>(</p><p>) Seja z = i. Temos então,</p><p>|z| = 1 e θ =</p><p>π</p><p>2</p><p>Logo,</p><p>z =</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>2</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>2</p><p>) ]</p><p>Portanto</p><p>3</p><p>√</p><p>z =</p><p>[</p><p>cos</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 2kπ</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>, k = 0, 1, 2.</p><p>E assim,</p><p>• z0 =</p><p>[</p><p>cos</p><p>( π</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( π</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>• z1 =</p><p>[</p><p>cos</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 2π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>• z2 =</p><p>[</p><p>cos</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 4π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( π</p><p>2</p><p>+ 4π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>− 1</p><p>2</p><p>i</p><p>(d) Seja z = −4</p><p>√</p><p>2 + 4</p><p>√</p><p>2i. Temos então,</p><p>|z| =</p><p>√</p><p>32 + 32 = 8 e θ =</p><p>3π</p><p>4</p><p>Logo,</p><p>z = 8</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>3π</p><p>4</p><p>)</p><p>]</p><p>Portanto</p><p>3</p><p>√</p><p>z =</p><p>3</p><p>√</p><p>8</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 2kπ</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 2kπ</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>, k = 0, 1, 2.</p><p>E assim,</p><p>• z0 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>=</p><p>√</p><p>2 [1 + i]</p><p>• z1 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+i sen</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 2π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>11π</p><p>12</p><p>)</p><p>+i sen</p><p>(</p><p>11π</p><p>12</p><p>)</p><p>]</p><p>42</p><p>• z2 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 4π</p><p>3</p><p>)</p><p>+i sen</p><p>( 3π</p><p>4</p><p>+ 4π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>19π</p><p>12</p><p>)</p><p>+i sen</p><p>(</p><p>19π</p><p>12</p><p>)</p><p>]</p><p>(5) Multiplique (2 + i)(3 + i) e deduza que arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>π</p><p>4</p><p>.</p><p>Resolução</p><p>Sejam</p><p>z1 = 2 + i −→ z1 =</p><p>√</p><p>5</p><p>[</p><p>cos (θ1) + i sen (θ1)</p><p>]</p><p>onde θ1 = arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>z2 = 3 + i −→ z2 =</p><p>√</p><p>10</p><p>[</p><p>cos (θ2) + i sen (θ2)</p><p>]</p><p>onde θ2 = arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>Então</p><p>z1z2 =</p><p>√</p><p>50</p><p>[</p><p>cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)</p><p>]</p><p>(1)</p><p>Mas temos que</p><p>z1z2 = (2 + i)(3 + i) = 5 + 5i −→ z1z2 =</p><p>√</p><p>50</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>4</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>4</p><p>) ]</p><p>(2)</p><p>Comparando (1) e (2) temos que θ1 + θ2 =</p><p>π</p><p>4</p><p>ou seja</p><p>arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ arctg</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>π</p><p>4</p><p>.</p><p>(6) Utilize a formula de Moivre para estabele</p><p>er as seguintes identidades</p><p>(a) cos 3θ = 4 cos 3θ − 3 cos θ</p><p>(b) sen 3θ = 3 sen θ − 4 sen 3θ</p><p>Resolução</p><p>Teorema Binomial:</p><p>( cos θ + i sen θ)3 =</p><p>(</p><p>3</p><p>0</p><p>)</p><p>( cos θ)3 +</p><p>(</p><p>3</p><p>1</p><p>)</p><p>( cos θ)2(i sen θ) +</p><p>(</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>( cos θ)1(i sen θ)2</p><p>+</p><p>(</p><p>3</p><p>3</p><p>)</p><p>(i sen θ)3</p><p>= cos 3θ + 3i cos 2θ sen θ + 3i2 cos θ sen 2θ + i3 sen 3θ</p><p>= cos 3θ + 3i cos 2θ sen θ − 3 cos θ sen 2θ − i sen 3θ</p><p>= ( cos 3θ − 3 cos θ sen 2θ) + i(3 cos 2θ sen θ − sen 3θ)</p><p>43</p><p>Teorema de Moivre:</p><p>( cos θ + i sen θ)3 = cos 3θ + i sen 3θ</p><p>Portanto</p><p>cos 3θ + i sen 3θ = ( cos 3θ − 3 cos θ sen 2θ) + i(3 cos 2θ sen θ − sen 3θ)</p><p>Igualando as partes reais temos que</p><p>cos 3θ = cos 3θ − 3 cos θ sen 2θ</p><p>= cos 3θ − 3 cos θ(1− cos 2θ)</p><p>= cos 3θ − 3 cos θ + 3 cos 3θ</p><p>= 4 cos 3θ − 3 cos θ</p><p>Da mesma forma igualando as partes imaginaria temos que</p><p>sen 3θ = 3 cos 2θ sen θ − sen 3θ</p><p>= 3 sen θ(1− sen 2θ)− sen 3θ</p><p>= 3 sen θ − 3 sen 3θ − sen 3θ</p><p>= 3 sen θ − 4 sen 3θ</p><p>(7) Prove que todas as soluções da equação (z− 1)10 = z10 têm parte real igual a</p><p>1</p><p>2</p><p>sem</p><p>resolver a equação. En</p><p>ontre todas as soluções.</p><p>Resolução</p><p>(z − 1)10 = z10 ⇒</p><p>(</p><p>z − 1</p><p>z</p><p>)10</p><p>= 1</p><p>Seja w =</p><p>z − 1</p><p>z</p><p>. Então w10 = 1.</p><p>w =</p><p>z − 1</p><p>z</p><p>⇒ z =</p><p>1</p><p>1− w</p><p>, w 6= 1. Portanto</p><p>Re(z) =</p><p>z + z</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>1</p><p>1− w</p><p>+</p><p>1</p><p>1− w</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>1− w + 1− w</p><p>(1− w)(1− w)</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>2− w − w</p><p>1− w − w + |w|2</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>2− w − w</p><p>2− w − w</p><p>]</p><p>pois |w| = 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>44</p><p>Agora</p><p>w10 = 1 ⇒ wk = cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>, k = 1, 2, · · · , 9</p><p>Observe que k 6= 0 pois se k = 0 temos que w = 1. Portanto</p><p>z =</p><p>1</p><p>1− w</p><p>=</p><p>1</p><p>[</p><p>1− cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>]</p><p>− i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>=</p><p>[</p><p>1− cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>]</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>[</p><p>1− cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>]2</p><p>+</p><p>[</p><p>sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>]2</p><p>=</p><p>[</p><p>1− cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>]</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>2− 2 cos</p><p>(</p><p>2kπ</p><p>10</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>+ i</p><p>sen</p><p>(</p><p>kπ</p><p>5</p><p>)</p><p>2− 2 cos</p><p>(</p><p>kπ</p><p>5</p><p>) , k = 1, 2, 3, · · · , 9.</p><p>(8) Determine as 6 soluções z1, z2, · · · , z6 ∈ C da equação z6 − 64 = 0. Cal</p><p>ule o valor</p><p>de z21 + z22 + · · ·+ z26 .</p><p>Resolução</p><p>Seja z0 = 64. Temos então,</p><p>|z0| = 64 e θ = 0</p><p>Logo,</p><p>z = 64</p><p>[</p><p>cos (0) + i sen (0)</p><p>]</p><p>Portanto</p><p>6</p><p>√</p><p>z0 =</p><p>6</p><p>√</p><p>64</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>0 + 2kπ</p><p>6</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>0 + 2kπ</p><p>6</p><p>)</p><p>]</p><p>, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.</p><p>E assim,</p><p>• z1 = 2</p><p>[</p><p>cos (0) + i sen (0)</p><p>]</p><p>= 2</p><p>45</p><p>• z2 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= 1 + i</p><p>√</p><p>3</p><p>• z3 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>2π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= −1 + i</p><p>√</p><p>3</p><p>• z4 = 2</p><p>[</p><p>cos (π) + i sen (π)</p><p>]</p><p>= −2</p><p>• z5 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>4π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>4π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= −1− i</p><p>√</p><p>3</p><p>• z6 = 2</p><p>[</p><p>cos</p><p>(</p><p>5π</p><p>3</p><p>)</p><p>+ i sen</p><p>(</p><p>5π</p><p>3</p><p>)</p><p>]</p><p>= 1− i</p><p>√</p><p>3</p><p>z21 + z22 + · · ·+ z26 =(2)2 + (1 + i</p><p>√</p><p>3)2 + (−1 + i</p><p>√</p><p>3)2 + (−2)2 + (−1− i</p><p>√</p><p>3)2 + (1− i</p><p>√</p><p>3)2</p><p>= 4 + 1 + 2i</p><p>√</p><p>3− 3 + 1− 2i</p><p>√</p><p>3− 3 + 4 + 1 + 2i</p><p>√</p><p>3− 3 + 1− 2i</p><p>√</p><p>3− 3</p><p>= 0</p><p>(9) Des</p><p>reva geometri</p><p>amente os seguintes sub</p><p>onjuntos de números</p><p>omplexos:</p><p>(a) {z ∈ C : Re(z) ≥ Im(z + 1)}</p><p>(b) {z ∈ C : Re(z2) = 1}</p><p>(</p><p>)</p><p>{</p><p>z ∈ C :</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>z − i</p><p>z + i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>= 2</p><p>}</p><p>(d) {z ∈ C : 1 ≤ |z + 2− i| ≤ 2}</p><p>(e) {z ∈ C : −1 ≤ Im(z) 0</p><p>al</p><p>ule</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>√</p><p>3z1</p><p>z2</p><p>+ z2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>(2) En</p><p>ontre todos os valores de z</p><p>3/4</p><p>0 = (</p><p>√</p><p>3 + i)3/4 represente vetorialmente, em um</p><p>mesmo diagrama, os valores z0, z0, z</p><p>3/4</p><p>0 .</p><p>(3) Determine os números</p><p>omplexos z situados no 3</p><p>o</p><p>quadrante do plano</p><p>omplexo (na</p><p>forma polar) tais que z8 = −i</p><p>(4) Determine o menor inteiro positivo n de modo que</p><p>(</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>i</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>)n</p><p>seja um numero real.</p><p>(5) Dados</p><p>z =</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>+ i</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>− i</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>)80</p><p>e w = 3( cos 30o + i sen 30o)</p><p>al</p><p>ule z + w4.</p><p>(6) En</p><p>ontre α ∈ [0, 2π] e r ∈ R+</p><p>tal que</p><p>r</p><p>(</p><p>cos</p><p>4π</p><p>6</p><p>+ i sen</p><p>4π</p><p>6</p><p>)</p><p>(2 + 2i)4 =</p><p>16( cos π</p><p>3</p><p>+ i sen π</p><p>3</p><p>)</p><p>cos α + i sen α</p><p>(7) Coloque na forma a+ ib as seguintes expressões:</p><p>(a) (1− i</p><p>√</p><p>3)35 (b) (</p><p>√</p><p>3 + i)50 (c) (1− i)100</p><p>(8) Cal</p><p>ule as raízes abaixo</p><p>(a) 3</p><p>√</p><p>1 + i (b) 6</p><p>√</p><p>6i (c) 5</p><p>√</p><p>−32</p><p>50</p><p>(9) Expresse</p><p>(1− i)15</p><p>(1− i</p><p>√</p><p>3)5</p><p>na forma r( cos θ + i sen θ)</p><p>om r > 0 e −π</p><p>inteiro.</p><p>(a) Determine o menor inteiro positivo m tal que (</p><p>√</p><p>3− i)m é real e positivo.</p><p>(b) Dado que (</p><p>√</p><p>3− i) é uma raiz da equação</p><p>z9 + 16(1 + i)z3 + a + ib = 0</p><p>determine os valores das</p><p>onstantes reais a e b.</p><p>(11) Se z = cos θ + i sen θ, prove que zn + z−n = 2 cos nθ.</p><p>Considerando (z + z−1)4, mostre que</p><p>cos 4θ =</p><p>1</p><p>8</p><p>( cos 4θ + 4 cos 2θ + 3)</p><p>Portanto</p><p>al</p><p>ule</p><p>∫ π/6</p><p>0</p><p>cos 4θ dθ.</p><p>(12) Mostre que as 3 raizes da equação z3 = 1 pode ser es</p><p>rito na forma 1, ω,ω2.</p><p>Portanto mostre que 1 + ω + ω2 = 0</p><p>Usando este relação e o fato que ω3 = 1, simpli�que as seguintes expressões:</p><p>(a) (1 + ω)7 (b) (1− ω)(1− ω2) (c) (ω − ω2)5</p><p>(d)</p><p>ω5</p><p>1 + ω</p><p>(e) (1− ω + ω2)4 (f)</p><p>(1 + ω2)(1− ω)</p><p>1 + w</p><p>(13) Simpli�que:</p><p>(a)</p><p>cos 2θ + i sen 2θ</p><p>cos 3θ + i sen 3θ</p><p>(b)</p><p>cos θ − i sen θ</p><p>cos 4θ − i sen 4θ</p><p>(14) Des</p><p>reva geometri</p><p>amente os seguintes sub</p><p>onjuntos de números</p><p>omplexos:</p><p>(a) {z ∈ C : |z − 4| ≥ |z|}</p><p>(b) {z ∈ C : Re(z2) > 0}</p><p>51</p><p>(</p><p>) {z ∈ C : −π 2}</p><p>(d) {z ∈ C : 1 ≤ |z + 2− i| ≤ 2}</p><p>(e) {z ∈ C : −1 ≤ |z| 0 pode ser es</p><p>rita</p><p>na forma</p><p>αz + αz + β = 0, onde z = x+ iy, x, y ∈ R, α ∈ C, β ∈ R.</p><p>(16) Mostre que a equação geral do</p><p>ír</p><p>ulo |z− z0| = r, r > 0 pode ser es</p><p>rita na forma</p><p>zz + αz + αz + β = 0, onde z = x+ iy, x, y ∈ R, α ∈ C, β ∈ R.</p><p>52</p><p>Aula 3 - Algumas Noções topológi</p><p>as</p><p>em C</p><p>Algumas noções topológi</p><p>as em C</p><p>Nesta aula enun</p><p>iamos os termos topológi</p><p>os que usaremos no desenvolvimento das</p><p>aulas seguintes.</p><p>De�nição 8. Seja z0 ∈ C e r > 0.</p><p>(1) A bola aberta de</p><p>entro z0 e raio r é o</p><p>onjunto</p><p>B(z0, r) = {z : |z − z0| 0 tal que B(z0, r) ⊂ A.</p><p>O</p><p>onjunto de todos os pontos interiores de A é</p><p>hamado interior de A, e é denotado</p><p>por int(A).</p><p>(2) Dizemos que z0 ∈ C é um ponto de fronteira de A, se para todo r > 0, existem</p><p>z1 ∈ A e z2 ∈ C− A tal que z1, z2 ∈ B(z, r).</p><p>O</p><p>onjunto de todos os pontos de fronteira A é</p><p>hamado fronteira de A, e é denotado</p><p>por ∂A.</p><p>(3) Dizemos que z0 ∈ C é um ponto de a</p><p>umulação de A se B∗(z0, r) ∩A 6= ∅, ∀r > 0.</p><p>(4) Dizemos que z0 ∈ A é um ponto isolado de A se ele não é um ponto de a</p><p>umulação</p><p>de A, ou seja existe r > 0 tal que B(z0, r) ∩ A = {z0}.</p><p>54</p><p>b</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>0</p><p>z0</p><p>B(z0, r)</p><p>z1</p><p>z3</p><p>w2</p><p>B(z1, r)</p><p>B∗(z3, r)</p><p>w1</p><p>A</p><p>Pela �gura A, a</p><p>ima</p><p>• o ponto z0 é um ponto interior de A, pois existe um r > 0 tal que a bola B(z0, r)</p><p>esta</p><p>ompletamente</p><p>ontida em A.</p><p>• o ponto z1 é um ponto de fronteira de A, pois para todo r > 0 a bola B(z1, r)</p><p>ontêm pontos em A e pontos fora de A.</p><p>• Os pontos z0 e z1 são pontos de a</p><p>umulação de A, pois qualquer bola</p><p>om</p><p>entros</p><p>z0 e z1 intersepta o</p><p>onjunto A.</p><p>Observe que o ponto z3 não é ponto de a</p><p>umulação de A, pois existe um r > 0 tal</p><p>que a bola furada B∗(z3, r) não intersepta A.</p><p>De�nição 10. Seja A ⊂ C.</p><p>(1) Dizemos que A é aberto se todo z ∈ A é ponto interior de A.</p><p>55</p><p>b</p><p>x</p><p>y</p><p>0</p><p>z0</p><p>B(z0, r)</p><p>A</p><p>O</p><p>onjunto A a</p><p>ima é aberto, pois todos os seus pontos são interiores.</p><p>(2) Dizemos que A é fe</p><p>hado se o seu</p><p>omplementar C−A for aberto.</p><p>(3) Dizemos que A é limitado se existe R > 0 tal que A ⊂ B(0,R), ou seja, para qualquer</p><p>ponto z ∈ A, |z| ≤ R, para algum 0 0 e z0 ∈ C, {z ∈ C : |z − z0| R}</p><p>são</p><p>onjuntos abertos. {z ∈ C : |z − z0| ≤ R} é</p><p>onjunto fe</p><p>hado.</p><p>Exemplo 14. C e ∅ são</p><p>onjuntos abertos. Eles são também</p><p>onjuntos fe</p><p>hados.</p><p>Exemplo 15. Se A = {z ∈ C : |z − z0| 0, y > 0} não é limitado.</p><p>De�nição 12. Seja A ⊂ C. Se existem abertos X , Y ⊂ C disjuntos tais que:</p><p>• A ⊂ X ∪ Y ;</p><p>• A ∩X 6= ∅;</p><p>• A ∩ Y 6= ∅;</p><p>A é dito �des</p><p>onexo,�</p><p>aso</p><p>ontrário dizemos que A é �</p><p>onexo.�</p><p>Dizemos que os</p><p>onjuntos X e Y forne</p><p>e uma des</p><p>onexão para A.</p><p>x</p><p>y</p><p>onjunto des</p><p>onexo</p><p>x</p><p>y</p><p>onjunto</p><p>onexo</p><p>57</p><p>Exemplo 18. O</p><p>onjunto B = {z ∈ C : |z| 0, y > 0} e Y = {z = x + iy : x 0}</p><p>• ∂(S3) = {x+ iy : y = 0}</p><p>• Pts de a</p><p>umul. ={x+ iy : |y| ≥ 0}</p><p>• Pontos isolados =∅</p><p>61</p><p>(d) Seja S4 = {z ∈ C : |z − 1|+ |z + 1| = 2} = {z = x+ iy ∈ C : y = 0}</p><p>S4 represente o eixo x.</p><p>x</p><p>y</p><p>• S4 é fe</p><p>hado e</p><p>onexo.</p><p>• S4 não é limitado.</p><p>• S4 não é simplesmente</p><p>onexo.</p><p>• int(S4) = ∅</p><p>• ∂(S4) = {x+ iy : y = 0}</p><p>• Pts de a</p><p>umul. ={x+ iy : |y| ≥ 0}</p><p>• Pontos isolados =∅</p><p>(e) Seja S5 = {z ∈ C : |z − 1|+ |z + 1| 2}</p><p>Exer</p><p>í</p><p>ios propostos</p><p>(1) Esbo</p><p>e os seguintes</p><p>onjuntos no plano</p><p>omplexo e determine quais são aberto,</p><p>fe</p><p>hado, limitado,</p><p>onexo ou simplesmente</p><p>onexo. Quais são os pontos interiores,</p><p>pontos de fronteira, pontos de a</p><p>umulação e pontos isolados dos seguintes</p><p>onjun-</p><p>tos?</p><p>(a) |z − 1 + i| = 2</p><p>(b) |Re(z + 2− 2i)| = 3</p><p>(</p><p>) |z − 1 + i| ≤ 2</p><p>(d) |z − i|+ |z + i| = 3</p><p>(e) |z| = |z + 1|</p><p>(f) o</p><p>onjunto de pontos z ∈ C menos os pontos da forma z =</p><p>1</p><p>n</p><p>, n ∈ N.</p><p>64</p><p>Aula 4 - Funções Complexas</p><p>Funções Complexas</p><p>De�nição 15. Uma função</p><p>omplexa é uma</p><p>orrespondên</p><p>ia</p><p>f : A ⊂ C −→ C</p><p>que atribui a</p><p>ada z ∈ A um outro</p><p>omplexo w = f(z) ∈ C.</p><p>As funções</p><p>omplexas de variável</p><p>omplexa podem ser interpretadas</p><p>omo</p><p>ampos</p><p>vetoriais de R2</p><p>em R2. Com efeito, a função w = f(z), em que z = x+ iy e w = u+ iv,</p><p>pode ser es</p><p>rita na forma</p><p>f(x, y) =</p><p>(</p><p>u(x, y), v(x, y)</p><p>)</p><p>onde</p><p>u = Ref : A ⊂ R2 −→ R</p><p>(x, y) 7→ u(x, y)</p><p>e</p><p>v = Imf : A ⊂ R2 −→ R</p><p>(x, y) 7→ v(x, y)</p><p>Exemplo 22. A função f(z) = z2 pode ser es</p><p>rita,</p><p>omo f(x, y) = (x2− y2, 2xy) pois se</p><p>z2 = (x+ iy)2 = x2 − y2 + i2xy</p><p>De�nição 16. Uma função f : A ⊂ C −→ C é denominada unívo</p><p>a em A se para</p><p>ada</p><p>valor de z</p><p>orresponde um úni</p><p>o valor de w.</p><p>De�nição 17. Uma função f : A ⊂ C −→ C é denominada plurívo</p><p>a em A se para</p><p>um determinado valor de z</p><p>orresponder mais de um valor de w.</p><p>Observação 8. Uma função plurívo</p><p>a pode ser</p><p>onsiderada</p><p>omo uma</p><p>oleção de funções</p><p>unívo</p><p>as, onde</p><p>ada membro desta</p><p>oleção é</p><p>hamado de ramo da função plurívo</p><p>a. É</p><p>65</p><p>usual tomar-se um membro em parti</p><p>ular da</p><p>oleção</p><p>omo o ramo prin</p><p>ipal da função</p><p>plurívo</p><p>a e o valor da função</p><p>orrespondente a este ramo é denominado valor prin</p><p>ipal.</p><p>De�nição 18. Dizemos que uma função f : A ⊂ C −→ C é limitada se existir K > 0</p><p>tal que |f(z)| ≤ K para todo z ∈ D.</p><p>Funções Elementares</p><p>(1) As Funções Polinomiais</p><p>As funções da forma</p><p>f : C −→ C</p><p>z 7→ f(z) = a0 + a1z + a2z</p><p>2 + . . .+ anz</p><p>n</p><p>onde a0, a1, · · · , an ∈ C e n ∈ N.</p><p>(2) As Funções Ra</p><p>ionais</p><p>As funções da forma</p><p>f : C− {g(z) 6= 0} −→ C</p><p>z 7→ f(z) =</p><p>h(z)</p><p>g(z)</p><p>onde h(z) e g(z) são polin�mios.</p><p>(3) A Função Exponen</p><p>ial Complexa</p><p>De�nimos a função exponen</p><p>ial</p><p>omplexa por</p><p>exp : C −→ C− {0}</p><p>z 7→ exp(z) = ex( cos y + i sen y)</p><p>onde z = x+ iy</p><p>66</p><p>Observação 9. Se z é real então Im(z) = 0, Re(z) = z e pela de�nição de exponen</p><p>ial</p><p>temos que</p><p>exp(z) = ez</p><p>Em virtude desta observação, utilizaremos também a expressão ez para denotar exp(z)</p><p>mesmo quando z ∈ C.</p><p>Proposição 2. Valem as seguinte propriedades:</p><p>(1) ∀z,w ∈ C, ez+w = ezew</p><p>(2) ∀z ∈ C, e−z =</p><p>1</p><p>ez</p><p>(3) (Formula de Euler)</p><p>Suponha que z = iy, y ∈ R. Então eiy = cos y + i sen y</p><p>(4) (Forma exponen</p><p>ial de um número</p><p>omplexo)</p><p>Suponha que z = r( cos θ + i sen θ). Então z = reiθ</p><p>(5) ∀z ∈ C, |ez| = eRe z. Em parti</p><p>ular ez 6= 0</p><p>(6) ∀z ∈ C, ez = ez</p><p>(7) Seja k ∈ Z e z ∈ C. Então ez = ez+2kπi</p><p>o que mostra que ez é periódi</p><p>a de período</p><p>2πi.</p><p>Demonstração.</p><p>(1) Sejam z1 = x1 + iy1 e w = z2 + iy2. Então z + w = (x1 + x2) + i(y1 + y2). Portanto</p><p>ez+w = ex1+x2 [ cos (y1 + y2) + i sen (y1 + y2)]</p><p>= ex1+x2 [ cos y1 cos y2 − sen y1 sen y2 + i sen y1 cos y2 + i cos y1 sen y2]</p><p>= ex1+x2 [ cos y1( cos y2 + i sen y2) + i sen y1( cos y2 + i sen y2)]</p><p>= ex1+x2( cos y1 + i sen y1)( cos y2 + i sen y2)</p><p>= ex1( cos y1 + i sen y1) · ex2( cos y2 + i sen y2)</p><p>= ezew</p><p>67</p><p>(2)</p><p>1</p><p>ez</p><p>=</p><p>1</p><p>ex+iy</p><p>=</p><p>1</p><p>ex( cos y + i sen y)</p><p>=</p><p>1</p><p>ex</p><p>· 1</p><p>cos y + i sen y</p><p>= e−x · cos y − i sen y</p><p>( cos y + i sen y)( cos y − i sen y)</p><p>= e−x · cos y − i sen y</p><p>cos 2y + sen 2y</p><p>= e−x( cos (−y) + i sen (−y))</p><p>= e−x−iy = e−z</p><p>(3) eiy = e0+iy = e0( cos y + i sen y) = cos y + i sen y</p><p>(4) Segue de (3)</p><p>(5)</p><p>|ez| =</p><p>√</p><p>(ex cos y)2 + (ex sen y)2</p><p>=</p><p>√</p><p>e2x( cos 2y + sen 2y)</p><p>= ex = eRe z</p><p>Como eRe(z) > 0 e | cos y + i sen y| = 1 temos que ez 6= 0, ∀z ∈ C.</p><p>(6) Seja z = x+ iy então ez = ex cos y + iex sen y. Portanto</p><p>ez = ex( cos y − i sen y)</p><p>= ex( cos (−y) + i sen (−y))</p><p>= ex−iy = ez</p><p>(7) ez+2kπi = ez · e2kπi = ez</p><p>(</p><p>cos (2kπ) + i sen (2kπ)</p><p>)</p><p>= ez.</p><p>�</p><p>(4) As Funções Cir</p><p>ulares</p><p>De�nimos as funções sen z e cos z por</p><p>cos z =</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>e sen z =</p><p>eiz − e−iz</p><p>2i</p><p>, z ∈ C.</p><p>68</p><p>Proposição 3. Valem as seguinte propriedades:</p><p>(1) Se z = x+ iy então</p><p></p><p></p><p></p><p>cos z = cos x cosh y − i sen x sinh y</p><p>sen z = sen x cosh y + i cos x sinh y</p><p>(2) ∀z ∈ C, cos 2z + sen 2z = 1</p><p>(3) ∀z,w ∈ C então</p><p></p><p></p><p></p><p>cos (z + w) = cos z cos w − sen z sen w</p><p>sen (z + w) = sen z cos w + sen w cos z</p><p>(4)</p><p></p><p></p><p></p><p>| cos z| ≤ e|Im z|</p><p>| sen z| ≤ e|Im z|</p><p>, ∀ z ∈ C</p><p>Em parti</p><p>ular as funções sen z e cos z são limitadas em</p><p>D = {z ∈ C; |Im (z)| ≤ A}, A > 0.</p><p>Demonstração.</p><p>(1) cos z = cos (x+ iy) =</p><p>ei(x+iy) + e−i(x+iy)</p><p>2</p><p>=</p><p>e−y+ix + ey−ix</p><p>2</p><p>=</p><p>e−y( cos x+ i sen x) + ey( cos x− i sen x)</p><p>2</p><p>= cos x</p><p>(</p><p>ey + e−y</p><p>2</p><p>)</p><p>− i sen x</p><p>(</p><p>ey − e−y</p><p>2</p><p>)</p><p>= cos x cosh y − i sen x sinh y</p><p>sen z = sen (x+ iy) =</p><p>ei(x+iy) − e−i(x+iy)</p><p>2i</p><p>=</p><p>e−y+ix − ey−ix</p><p>2i</p><p>=</p><p>e−y( cos x+ i sen x)− ey( cos x− i sen x)</p><p>2i</p><p>= − cos x</p><p>(</p><p>ey − e−y</p><p>2i</p><p>)</p><p>+ i sen x</p><p>(</p><p>ey + e−y</p><p>2i</p><p>)</p><p>= sen x cosh y + i cos x sinh y</p><p>69</p><p>(2)</p><p>cos 2z + sen 2z =</p><p>(</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>)2</p><p>+</p><p>(</p><p>eiz − e−iz</p><p>2i</p><p>)2</p><p>=</p><p>(</p><p>e2iz + 2eize−iz + e−2iz</p><p>4</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>e2iz − 2eize−iz + e−2iz</p><p>−4</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>(2 + 2) = 1</p><p>(3) Deixamos</p><p>omo exer</p><p>i</p><p>io.</p><p>(4) | cos z| =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>eiz + e−iz</p><p>2</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>≤ |eiz|+ |e−iz|</p><p>2</p><p>=</p><p>eRe(iz) + eRe(−iz)</p><p>2</p><p>=</p><p>e−y + ey</p><p>2</p><p>≤ ey = eIm(z)</p><p>Portanto | cos z| é limitada em D.</p><p>�</p><p>Observação 10. Usando as funções seno e</p><p>osseno fa</p><p>ilmente poderíamos de�nir as</p><p>funções tangente,</p><p>otangente, se</p><p>ante e</p><p>ose</p><p>ante.</p><p>(5) As Funções Hiperbóli</p><p>as</p><p>De�nimos as funções</p><p>omplexas seno hiperbóli</p><p>o sinh z e</p><p>osseno hiperbóli</p><p>o cosh z</p><p>por</p><p>cosh z =</p><p>ez + e−z</p><p>2</p><p>e sinh z =</p><p>ez − e−z</p><p>2</p><p>, z ∈ C.</p><p>Proposição 4. Valem as seguinte propriedades:</p><p>(1) ∀z ∈ C, cosh2 z − sinh2 z = 1</p><p>(2) ∀z,w ∈ C então</p><p></p><p></p><p></p><p>cosh(z + w) = cosh z coshw + sinh z sinhw</p><p>sinh(z + w) = sinh z coshw + sinhw cosh z</p><p>70</p><p>(3)</p><p></p><p></p><p></p><p>| cosh z| ≤ e|Re z|</p><p>| sinh z| ≤ e|Re z|</p><p>, ∀ z ∈ C</p><p>Em parti</p><p>ular as funções sinh z e cosh z são limitadas em</p><p>D = {z ∈ C; |Re (z)| ≤ A}, A > 0.</p><p>Demonstração. Deixamos</p><p>omo exer</p><p>i</p><p>io.</p><p>(5) A Função Logaritmo</p><p>De�nimos a função logaritmo</p><p>omplexo por</p><p>log : C− {0} −→ C</p><p>z 7→ log(z) = log |z|+ i(arg z + 2kπ), k = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·</p><p>onde log</p><p>|z| é o logaritmo usual do número real positiva |z|.</p><p>Observação 11. É</p><p>laro que log z é uma função plurívo</p><p>a (pois seu valor depende no</p><p>inteiro k). De�nimos o Ramo Prin</p><p>ipal do logaritmo</p><p>omplexo por</p><p>Log : C− {0} −→ C</p><p>z 7→ Log z = log |z|+ iArg(z), −π 1 e</p><p>ontração se</p><p>0</p>