EspecialAmarelo-02-Aplicacao-413

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<p>69</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemáti ca</p><p>Introdução</p><p>Vamos agora estabelecer fórmulas que nos permitam</p><p>calcular as razões trigonométricas aplicadas à soma ou à</p><p>diferença de arcos.</p><p>1. Cosseno	de	(a	–	b)	(justi	fi	cati	va)</p><p>y</p><p>x soc</p><p>b soc</p><p>a</p><p>sen b</p><p>sen a</p><p>M</p><p>a b</p><p>A</p><p>A</p><p>O</p><p>M cos b – cos a</p><p>sen a – sen b</p><p>B</p><p>B</p><p>Aplicando Pitágoras, temos:</p><p>AB2 = (sen a – sen b)2 + (cos b – cos a)2</p><p>AB2 = sen2a + cos2a + sen2b + cos2b – 2 cos a cos b – 2 sen a sen b</p><p>AB2 = 2 – 2 (cos a · cos b + sen a · sen b) (I)</p><p>Consideremos, no triângulo AOB, a lei dos cossenos:</p><p>A</p><p>B</p><p>a – b</p><p>raio = 1O</p><p>AB2 = 12 + 12 – 2 · 1 · 1 · cos (a – b)</p><p>Substituindo em (I), temos:</p><p>2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 (cos a · cos b + sen a · sen b)</p><p>ou, ainda:</p><p>cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b</p><p>2. Outras fórmulas</p><p>sen (– a) = sen (2p – a) = – sen a</p><p>cos (– a) = cos (2p – a) = cos a</p><p>sen e sen</p><p>π</p><p>α α</p><p>π</p><p>α α</p><p>2 2</p><p>−</p><p></p><p></p><p> = −</p><p></p><p></p><p> =cos cos</p><p>Assim:</p><p>cos (a + b) = cos [a – (– b)] = cos a cos (– b) + sen a sen (– b)</p><p>= cos a · cos b – sen a · sen b</p><p>cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b</p><p>sen a b a b a b</p><p>a</p><p>−( ) = − −( )</p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p></p><p></p><p> +</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>= −</p><p>cos cos</p><p>cos</p><p>π π</p><p>π</p><p>2 2</p><p>2</p><p></p><p> ⋅ − −</p><p></p><p></p><p> ⋅cosb sen a sen b</p><p>π</p><p>2</p><p>= sen a cos b – cos a sen b</p><p>sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a</p><p>sen (a + b) = sen [a – (– b)] = sen a cos (– b) – sen (– b) cos a</p><p>= sen a · cos b + sen b · cos a</p><p>sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a</p><p>tg a b</p><p>sen a b</p><p>a b</p><p>sen a b sen b a</p><p>a b sen a s</p><p>+( ) =</p><p>+( )</p><p>+( ) =</p><p>⋅ + ⋅</p><p>−cos</p><p>cos cos</p><p>cos cos een b</p><p>tg a b</p><p>sen a b</p><p>a b</p><p>sen b a</p><p>a b</p><p>a⇒ +( ) =</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>cos</p><p>cos cos</p><p>cos</p><p>cos cos</p><p>cos cos bb</p><p>a b</p><p>sen a sen b</p><p>a b</p><p>tg a b</p><p>sen a</p><p>a</p><p>sen b</p><p>b</p><p>cos cos cos cos</p><p>cos cos</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⇒ +( ) =</p><p>+</p><p>−1</p><p>ssen a</p><p>a</p><p>sen b</p><p>b</p><p>tg a tg b</p><p>tg a tgb</p><p>cos cos</p><p>⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>−1</p><p>⇒ +( )⇒ +( )⇒ + =</p><p>− ⋅</p><p>tg⇒ +tg⇒ +( )a b( )⇒ +( )⇒ +a b⇒ +( )⇒ +</p><p>tg a t+a t+ g b</p><p>tg− ⋅tg− ⋅a t− ⋅a t− ⋅ g b1</p><p>e, de modo análogo, obtém-se:</p><p>MÓDULO 05 ADIÇÃO DE ARCOS E ARCO DUPLOTítulo</p><p>70</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemáti ca</p><p>⇒ −( )⇒ −( )⇒ − =</p><p>+ ⋅</p><p>tg⇒ −tg⇒ −( )a b( )⇒ −( )⇒ −a b⇒ −( )⇒ −</p><p>tga t−a t− g b</p><p>tg+ ⋅tg+ ⋅a t+ ⋅a t+ ⋅ gb1</p><p>3. Fórmulas	de	arco	duplo</p><p>São as fórmulas de sen (2a); cos (2a) e tg (2a); basta fazer</p><p>b = a</p><p>São as fórmulas de sen (2a); cos (2a) e tg (2a); basta fazer</p><p>nas fórmulas de adição.</p><p>sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a</p><p>sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a</p><p>sen (2a) = 2 sen a · cos a</p><p>cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b</p><p>cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a</p><p>cos (2a) = cos2a – sen2a</p><p>Nesse caso, utilizando a relação fundamental,</p><p>sen2 a + cos2 a = 1, o cosseno do arco duplo pode ainda ser</p><p>apresentado de duas outras formas:</p><p>cos (2a) = cos2 a – sen2 a = cos2 a – (1 – cos2 a) =</p><p>= cos2 a – 1 + cos2 a =</p><p>cos (2a) = 2 · cos2 a – 1</p><p>ou</p><p>cos (2a) = cos2 a – sen2 a = (1 – sen2 a) – sen2 a =</p><p>= 1 – sen2 a – sen2 a</p><p>cos (2a) = 1 – 2 · sen2 a</p><p>tg a b</p><p>tga tg b</p><p>tga tgb</p><p>tg a a</p><p>tga tga</p><p>tga tga</p><p>tga</p><p>tg</p><p>+( ) =</p><p>+</p><p>− ⋅</p><p>+( ) =</p><p>+</p><p>− ⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2aa</p><p>tg</p><p>tga</p><p>tg a</p><p>2</p><p>1 2</p><p>( )a( )a2( )2 =</p><p>−</p><p>4. Resumo</p><p>sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a</p><p>cos (a ± b) = cos a · cos b  sen a · sen b</p><p>tg</p><p>tga tg b</p><p>tga tg b</p><p>( )a b( )a ba b±a b( )a b±a b =</p><p>±a t±a t</p><p>a t⋅a t1</p><p>sen (2a) = 2 · sen a · cos a</p><p>cos (2a) = cos2 a – sen2 a</p><p>cos (2a) = 1 – 2 · sen2 a</p><p>cos (2a) = 2 · cos2 a – 1</p><p>tg</p><p>tga</p><p>tg a</p><p>2</p><p>1 2</p><p>( )a( )a2( )2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>01.</p><p>Calcule o valor de sen 75°.</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>Resolução</p><p>sen 75° = sen (45° + 30°)</p><p>sen 75° = sen 45° · cos 30° + sen 30° · cos 45°</p><p>sen 75° =</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>sen 75°=</p><p>6</p><p>4</p><p>+</p><p>2</p><p>4</p><p>sen 75°=</p><p>6 + 2</p><p>4</p><p>⋅ ⋅</p><p>71</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemática</p><p>02.</p><p>Calcule o valor da expressão:</p><p>E = cos 54° · cos 24° + sen 54° · sen 24°</p><p>Resolução</p><p>Sabemos que:</p><p>cos a · cos b + sen a · sen b = cos (a – b)</p><p>Fazendo a = 54° e b = 24°, temos:</p><p>E = cos (54° – 24°)</p><p>E = cos 30° E =</p><p>3</p><p>2</p><p>⇒</p><p>01. Cesgranrio</p><p>Sejam a um arco do 1o quadrante e b um arco do</p><p>2o quadrante, tais que cos a = 0,8 e sen b = 0,6. O valor</p><p>de sen (a + b) é:</p><p>a. 1,00</p><p>b. 0,96</p><p>c.	0,70</p><p>d. 0,48</p><p>e. 0,00</p><p>02. IBMEC-RJ</p><p>Considere: sen x – cos x = a, com a > 0.</p><p>Logo, sen 2x é igual a:</p><p>a. 1 – a</p><p>b. a – 1</p><p>c.	a</p><p>d. a + 1</p><p>e. 2a</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>Resolução</p><p>cos a = 0,8 ; a ∈ 1o quadrante</p><p>sen2 a + cos2 a = 1 ⇔ sen2 a = 1 – 0,64 = 0,36 ⇔ sen a = 0,6</p><p>sen b = 0,6; b ∈ 2o quadrante</p><p>sen2 b + cos2 b = 1 ⇔ cos2 b = 1 – 0,36 = 0,64 ⇔ cos b = – 0,8</p><p>\ sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a =</p><p>= (0,6) · (– 0,8) + (0,6) · (0,8) = 0</p><p>Resposta</p><p>E</p><p>Resolução</p><p>senx x a</p><p>senx x a</p><p>sen x senx x x a</p><p>sen</p><p>− =</p><p>− = ( )</p><p>− + =</p><p>−</p><p>cos</p><p>( cos )</p><p>cos cos</p><p>(</p><p>2</p><p>2</p><p>2 22</p><p>1 2xx a</p><p>sen x a</p><p>)</p><p>( )</p><p>=</p><p>= −2 1</p><p>Resposta</p><p>A</p><p>72</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>03. Fuvest-SP</p><p>A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O pon-</p><p>to F está em BC, BF mede 5</p><p>4</p><p>, o ponto E está em CD e AF</p><p>é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento</p><p>DE mede:</p><p>BA</p><p>F</p><p>CED</p><p>05. UFU-MG</p><p>Na figura abaixo, o ângulo a é tal que 0 < a < 90°.</p><p>a</p><p>b</p><p>1</p><p>11</p><p>2α</p><p>α</p><p>Então, b</p><p>a</p><p>é igual a:</p><p>a. 2 · cos (a)</p><p>b. 2</p><p>c.	2 cos</p><p>α</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d. sen (2a)</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>a. 3 5</p><p>40</p><p>b. 7 5</p><p>40</p><p>c.	 9 5</p><p>40</p><p>d. 11 5</p><p>40</p><p>e. 13 5</p><p>40</p><p>04. Fuvest-SP</p><p>Sejam x e y números reais positivos tais que x + y =</p><p>p</p><p>2</p><p>.</p><p>Sabendo-se que sen (y – x) =</p><p>1</p><p>3</p><p>, o valor de tg2y – tg2x é</p><p>igual a:</p><p>a.</p><p>3</p><p>2</p><p>b.</p><p>5</p><p>4</p><p>c.	 1</p><p>2</p><p>d.</p><p>1</p><p>4</p><p>e. 1</p><p>8</p><p>Orientação	ao	professor</p><p>Não fazer a demonstração da soma de arcos. Mostrar as</p><p>fórmulas e deduzi-las do arco duplo. Concentrar-se na</p><p>fórmula do arco duplo para o cosseno que possui três</p><p>formas de apresentação. Por fim, atentar-se na dificul-</p><p>dade dos alunos em perceber o procedimento inverso,</p><p>quando a fórmula já tiver sido utilizada.</p><p>73</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemáti ca</p><p>Introdução</p><p>Vamos agora generalizar o conceito de arco, admitindo</p><p>que ele possa dar mais de uma volta completa num ciclo</p><p>trigonométrico. Inicialmente, vamos orientar o sentido do</p><p>arco.</p><p>Arcos	de	medida	positiva</p><p>Anti-horário</p><p>90°</p><p>270°</p><p>180° 0 0°</p><p>Arcos	de	medida	negativa</p><p>Horário</p><p>– 270°</p><p>0°</p><p>– 90°</p><p>– 180°</p><p>0</p><p>Exemplo</p><p>120°</p><p>– π</p><p>6</p><p>– 60°</p><p>30°</p><p>π</p><p>3</p><p>– 5</p><p>6</p><p>π</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>1. Expressão	geral	de	arcos	com</p><p>uma mesma extremidade</p><p>Consideremos a0 a medida de um arco AM do ciclo trigo-</p><p>nométrico.</p><p>α0</p><p>y</p><p>x</p><p>M</p><p>AO</p><p>Observe, conforme as figuras abaixo, que AM pode ter</p><p>diversas medidas:</p><p>y</p><p>x</p><p>M</p><p>A</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>M</p><p>A</p><p>α π0 4+α π0 2+</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>M</p><p>A</p><p>y</p><p>x</p><p>M</p><p>A</p><p>α π0 2– α π0 4–</p><p>00</p><p>De maneira geral, dizemos que a expressão geral das me-</p><p>didas dos arcos com extremidade M é</p><p>a0 + k · 2p ; k ∈ </p><p>a0 é chamada de 1ª determinação positiva e a0 – 2p de</p><p>1ª determinação negativa. Quando falamos em graus, te-</p><p>mos:</p><p>a0 + k · 360° ; k ∈ </p><p>MÓDULO 06 ARCOS TRIGONOMÉTRICOS</p><p>74</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemáti ca</p><p>Exemplos</p><p>1º) Escreva a expressão geral dos arcos, em graus e ra-</p><p>dianos, que têm extremidades no ponto:</p><p>a) A b) B c) C d) D e) E f) F g) G h) H</p><p>m AB</p><p>m AD</p><p>m AF</p><p>m AH</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>( ) =</p><p>( ) =</p><p>( ) =</p><p>( ) =</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>11</p><p>6</p><p>y</p><p>x</p><p>BC</p><p>D</p><p>F</p><p>A</p><p>H</p><p>G</p><p>E</p><p>Resolução</p><p>Considerando k ∈ ;</p><p>a. k · 2p; k · 360°</p><p>b.</p><p>p</p><p>3</p><p>+ k · 2p; 60° + k · 360°</p><p>c.	 p</p><p>2</p><p>+ k ·2p; 90° + k · 360°</p><p>d. 5</p><p>6</p><p>p + k · 2p; 150° + k · 360°</p><p>e. p + k · 2p; 180° + k · 360°</p><p>f. 4</p><p>3</p><p>p + k · 2p; 240° + k · 360°</p><p>g. 3</p><p>2</p><p>p + k · 2p; 270° + k · 360°</p><p>h. 11</p><p>6</p><p>p + k · 2p; 330° + k · 360°</p><p>2º) Obter a 1ª determinação positiva e a 1ª determina-</p><p>ção negativa de um arco que mede</p><p>59</p><p>3</p><p>p</p><p>.</p><p>Resolução</p><p>360°</p><p>59π</p><p>3</p><p>59π</p><p>3</p><p>59π</p><p>3</p><p>, isto é, , isto é,2π</p><p>6π</p><p>3</p><p>59π</p><p>3</p><p>6π</p><p>3</p><p>5π</p><p>3</p><p>9 Voltas inteiras</p><p>1ª determinação positiva:</p><p>5</p><p>3</p><p>p</p><p>e 5</p><p>3</p><p>2</p><p>5 6</p><p>3 3</p><p>π</p><p>π</p><p>π π π</p><p>− =</p><p>−</p><p>= −</p><p>1ª determinação negativa: −</p><p>π</p><p>3</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>59</p><p>3</p><p>π</p><p>5</p><p>3</p><p>π</p><p>– π</p><p>3</p><p>3º) Obter a 1ª determinação positiva de um arco que</p><p>mede 3.250°.</p><p>Resolução</p><p>360°3.250°</p><p>10° 9 Voltas inteiras</p><p>9 = voltas inteiras e resto = 10°</p><p>A 1ª determinação positiva é 10°</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>10°</p><p>3.250°</p><p>2. Expressões	do	ti	po	α π+k × 2</p><p>n</p><p>São arcos que separam o ciclo trigonométrico em n	partes</p><p>iguais.</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>α</p><p>π α+</p><p>α π+ k</p><p>n = 2</p><p>75</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemáti ca</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>α</p><p>α + k · 2</p><p>3</p><p>π</p><p>n = 3</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>α</p><p>α + k . π</p><p>2</p><p>n = 4</p><p>Generalizando: α</p><p>π</p><p>+ ⋅k+ ⋅k+ ⋅</p><p>2</p><p>n</p><p>Exemplo</p><p>1º)</p><p>y</p><p>x</p><p>F</p><p>G</p><p>D</p><p>E</p><p>C</p><p>O</p><p>A</p><p>π</p><p>4</p><p>B</p><p>H</p><p>Dar a expressão geral dos arcos, em radianos e graus, que</p><p>têm extremidades em:</p><p>Resolução</p><p>Considerando k ∈ Z, temos:</p><p>a. kp; k · 180°</p><p>b.</p><p>p</p><p>4</p><p>+ kp; 45° + k · 180°</p><p>c.</p><p>p</p><p>2</p><p>+ kp; 90° + k · 180°</p><p>d.</p><p>3</p><p>4</p><p>p</p><p>+ kp; 135° + k · 180°</p><p>e.</p><p>kp</p><p>2</p><p>; k · 90°</p><p>f. Como esses 4 pontos não repartem a circunferên-</p><p>cia em partes iguais, devemos representá-los por</p><p>3 expressões:</p><p>k ou k ou k</p><p>k ou k</p><p>ou k</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>180 45 360</p><p>135 360</p><p>+ ⋅ + ⋅</p><p>⋅ ° °+ ⋅ °</p><p>°+ ⋅ °</p><p>;</p><p>g.</p><p>k</p><p>ou k</p><p>π</p><p>4</p><p>45⋅ °</p><p>2º) Marcar, no ciclo trigonométrico, os arcos definidos</p><p>por:</p><p>± + ∈</p><p>π π</p><p>3 2</p><p>k</p><p>k Z;</p><p>Resolução</p><p>π π π π</p><p>3 2 3</p><p>2</p><p>4</p><p>+ = + ⋅k k representam 4 pontos (vértices de</p><p>um quadrado) a partir de</p><p>p</p><p>3</p><p>.</p><p>− + = − + ⋅</p><p>π π π π</p><p>3 2 3</p><p>2</p><p>4</p><p>k k representam outros 4 pontos.</p><p>y</p><p>xO</p><p>π</p><p>3</p><p>11</p><p>6</p><p>π</p><p>π5</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>π</p><p>π7</p><p>6</p><p>π5</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>6</p><p>a. A ou E.</p><p>b. B ou F.</p><p>c.	C ou G.</p><p>d. D ou H.</p><p>e. A ou C ou E ou G.</p><p>f. A ou B ou D ou E.</p><p>g. A ou B ou C ou D ou</p><p>E ou F ou G ou H.</p><p>76</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>01.</p><p>Determine os elementos do conjunto</p><p>y y sen</p><p>K</p><p>K∈ = ∈{ }� �| , .</p><p>π</p><p>4</p><p>Resolução</p><p>Fazemos K = 0, depois K = 1, depois K = 2 etc.</p><p>Na expressão</p><p>K</p><p>4</p><p>p</p><p>, os resultados são os números</p><p>0, p p p</p><p>4</p><p>,</p><p>2</p><p>4</p><p>,</p><p>3</p><p>4</p><p>etc. O conjunto que queremos determinar é</p><p>formado pelos senos desses números.</p><p>Portanto, o conjunto é 0,</p><p>2</p><p>2</p><p>,1,</p><p>2</p><p>2</p><p>, 1− −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>02.</p><p>Determine o seno e o cosseno de:</p><p>a. 19</p><p>3</p><p>p</p><p>b. 1.350°</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>19</p><p>3</p><p>=</p><p>18</p><p>3</p><p>+</p><p>3</p><p>= 6 +</p><p>3</p><p>Então :</p><p>sen</p><p>19</p><p>3</p><p>= sen</p><p>3</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>cos</p><p>19</p><p>3</p><p>= co</p><p>3 voltas</p><p>p p p</p><p>p</p><p>p</p><p>p p</p><p>p</p><p></p><p>ss</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>p</p><p>b) 1.350 360</p><p>1.080 3</p><p>270</p><p>−</p><p>1.350° = 3 · 360° + 270°, então:</p><p>sen 1.350° = sen 270° = – 1</p><p>cos 1.350° = cos 270° = 0</p><p>01.</p><p>Calcule:</p><p>a. sen 1.650°</p><p>b. cos 1.920°</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>Resolução</p><p>a) 1.650° = 4 · 360° + 210°</p><p>Sen 1.650° = sen 210° = −</p><p>1</p><p>2b) 1.920° = 5 · 360° + 120°</p><p>Cos 1.920° = cos 120° = −</p><p>1</p><p>2</p><p>77</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemática</p><p>02.</p><p>Calcule:</p><p>a. sen</p><p>41</p><p>6</p><p>p</p><p>b. tg</p><p>35</p><p>4</p><p>p</p><p>03.</p><p>Forneça a expressão geral dos arcos com as extremidades</p><p>assinaladas.</p><p>04. ENEM</p><p>Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasilei-</p><p>ro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu reali-</p><p>zar a manobra denominada “900”, na modalidade skate</p><p>vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conse-</p><p>guir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número</p><p>de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio</p><p>corpo, que, no caso, corresponde a:</p><p>a. uma volta completa.</p><p>b. uma volta e meia.</p><p>c.	 duas voltas completas.</p><p>d. duas voltas e meia.</p><p>e. cinco voltas completas.</p><p>05. Fuvest-SP</p><p>Qual dos números é o maior? Justifique. sen 830° ou</p><p>sen 1.195°</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>a.</p><p>5</p><p>π</p><p>O</p><p>b.</p><p>5</p><p>π</p><p>O</p><p>c.</p><p>5</p><p>π</p><p>O</p><p>d.</p><p>5</p><p>π</p><p>O</p><p>e.</p><p>3</p><p>π</p><p>O</p><p>f.</p><p>O</p><p>b) 35</p><p>4</p><p>32</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>π π π</p><p>π</p><p>π</p><p>= + = +</p><p></p><p>voltas completas no</p><p>ciclo trigonométrico</p><p>∴∴ = = −tg tg</p><p>35</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>π π</p><p>Resolução</p><p>a) 41</p><p>6</p><p>36</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>π π π</p><p>π</p><p>π</p><p>= + = +</p><p></p><p>voltas completas no</p><p>ciclo trigonométrico</p><p>∴∴ = =sen sen</p><p>41</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>π π</p><p>Orientação	ao	professor</p><p>Esse módulo é bem curto. Aproveitar a oportunidade</p><p>para colocar a matéria em dia. Você pode resolver mais</p><p>exercícios de arco duplo ou aproveitar para iniciar o pró-</p><p>ximo módulo. Não esquecer-se de ensinar a divisão em</p><p>partes iguais da circunferência, provocada pelos polígo-</p><p>nos regulares.</p><p>78</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>Vamos continuar o estudo das equações trigonométricas, agora tendo como conjunto universo o conjunto dos números</p><p>reais.</p><p>MÓDULO 07 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM </p><p>01.</p><p>Dê a solução da equação: sen x2 1</p><p>4</p><p>=</p><p>Resolução</p><p>sen x =</p><p>1</p><p>4</p><p>senx =</p><p>1</p><p>4</p><p>senx =</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ⇒ ± ⇒ ±</p><p>Recorremos, agora, ao ciclo trigonométrico.</p><p>ππ</p><p>π π</p><p>π</p><p>π π</p><p>π</p><p>π π</p><p>62</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>6 6</p><p>2</p><p>6</p><p>6 6</p><p>5</p><p>7 11</p><p>=</p><p>=+</p><p>–</p><p>–</p><p>=</p><p>sen x</p><p>O</p><p>Como o enunciado não limitou o conjunto universo, deve-</p><p>mos considerá-lo . Assim:</p><p>x=</p><p>6</p><p>+ k × 2 ou x=</p><p>5</p><p>6</p><p>+ k × 2 ou x=</p><p>7</p><p>6</p><p>+ k × 2 ou</p><p>x=</p><p>11</p><p>6</p><p>+ k × 2 ou, ainda, x=</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>66</p><p>+ k ou x=</p><p>5</p><p>6</p><p>+ kp</p><p>p</p><p>p</p><p>Mais resumidamente, temos:</p><p>V= x |x = ±</p><p>6</p><p>+ k , k∈ ∈{ }� �π</p><p>π</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>02.</p><p>Resolva, em , a equação cos</p><p>cos</p><p>x senx</p><p>x senx</p><p>+ =</p><p>−</p><p>1 .</p><p>Resolução</p><p>cosx + senx cosx - senx = 1</p><p>cos x - sen x = 1</p><p>cos 2x = 1</p><p>2 2</p><p>( )( )</p><p>( )</p><p>Recorrendo ao ciclo trigonométrico, temos:</p><p>cos x</p><p>y</p><p>O</p><p>1 0</p><p>Assim:</p><p>2x = 0 + k · 2p</p><p>x = kp, k ∈ Z</p><p>V = {x ∈  | x = kp, k ∈ }</p><p>79</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemáti ca</p><p>03.</p><p>Resolva para 0</p><p>3</p><p>2</p><p>≤ <x</p><p>π : tg2 (3x) = 3</p><p>Resolução</p><p>tg2(3x) = 3</p><p>tg 3x = 3( ) ±</p><p>π</p><p>π</p><p>π π</p><p>3</p><p>3</p><p>3 3</p><p>2</p><p>4 5</p><p>x</p><p>t</p><p>y</p><p>3</p><p>− 3</p><p>O</p><p>Assim:</p><p>3x =</p><p>3</p><p>+ k ou 3x =</p><p>2</p><p>3</p><p>+ k</p><p>x=</p><p>9</p><p>+</p><p>k</p><p>3</p><p>ou x =</p><p>2</p><p>9</p><p>+</p><p>k</p><p>3</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p p p p</p><p>Atribuindo valores a k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, encontraremos os</p><p>valores de x.</p><p>π π</p><p>π</p><p>π</p><p>ππ</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>9 9</p><p>9</p><p>9</p><p>99</p><p>9</p><p>9</p><p>9</p><p>9</p><p>5 4</p><p>2</p><p>1413</p><p>11</p><p>10</p><p>8</p><p>7</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Como o enunciado limita o conjunto universo para o 1º,</p><p>2º e 3º quadrantes, temos, então, 9 soluções:</p><p>V= π π π π π π π π π</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>4</p><p>9</p><p>5</p><p>9</p><p>7</p><p>9</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>9</p><p>11</p><p>9</p><p>13</p><p>9</p><p>; ; ; ; ; ; ; ;{ }</p><p>01.</p><p>Resolva em :</p><p>a. 2 3 0cosx − =</p><p>b. 3</p><p>4</p><p>3 0tg x −</p><p></p><p></p><p> + =</p><p>π</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>Resolução</p><p>a) 2 3 0</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>cos cos</p><p>;</p><p>| ;</p><p>x x</p><p>x k k</p><p>S x x k k</p><p>− = ⇒ = ⇒</p><p>⇒ = ± + ⋅ ∈</p><p>∴ = ∈ = ± + ⋅ ∈{ }</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>�</p><p>� �</p><p>b) 3</p><p>4</p><p>3 0</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>tg x tg x</p><p>x k x k</p><p>S</p><p>−</p><p></p><p></p><p> + = ⇒ −</p><p></p><p></p><p> = − ⇒</p><p>⇒ − = + ⋅ ⇒ = + ⋅</p><p>∴ =</p><p>π π</p><p>π π</p><p>π π π</p><p>xx x k k∈ = + ∈{ }� �| ;π π</p><p>80</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>02. UFPI</p><p>Seja n o número de soluções da equação 2 sen x · cos x = 0,</p><p>no intervalo [0, p]. O valor de n é:</p><p>a. um.</p><p>b. dois.</p><p>c.	três.</p><p>d. quatro.</p><p>e. cinco.</p><p>03. UEA-AM</p><p>Na equação cos2x + cos x = 2, o valor de x é:</p><p>a. {2kp, k ∈ }.</p><p>b. {kp, k ∈ }.</p><p>c.	{0, p, 2p}.</p><p>d. {0, –p}.</p><p>e. {0, p}.</p><p>04. Udesc	modificado</p><p>Resolva a equação trigonométrica</p><p>6 sen2x – 7 sen x cos x + 5 cos2x = 3</p><p>05. Espcex</p><p>O número de arcos no intervalo 0</p><p>19</p><p>6</p><p>,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p>, cujo valor do</p><p>cosseno é igual a</p><p>1</p><p>2</p><p>, é:</p><p>a. 1</p><p>b. 2</p><p>c.	3</p><p>d. 4</p><p>e. 5</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>Resolução</p><p>2 sen x cos x = 0</p><p>sen 2x = 0</p><p>2x = kp</p><p>x =</p><p>kp</p><p>2</p><p>para k = 0 ⇒ x = 0</p><p>para k = 1 ⇒ x =</p><p>p</p><p>2</p><p>para k = 2 ⇒ x = p</p><p>Resposta</p><p>C</p><p>Orientação	ao	professor</p><p>Este módulo não possui teoria. Resolver o máximo pos-</p><p>sível de exercícios com diferentes estilos. Os exercícios</p><p>de aula e os extras servem a esse propósito. Sobrando</p><p>tempo, escolher algum da tarefa mais difícil ou trazer um</p><p>desafio para os alunos. O exercício 20 é interessante.</p><p>81</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemáti ca</p><p>Introdução</p><p>Durante muito tempo, julgou-se que o conjunto dos núme-</p><p>ros reais fosse o mais amplo dos conjuntos de números, por-</p><p>tanto equações do tipo x2 + 1 = 0 não teriam solução, já que</p><p>levariam ao número −1 , que não é real e, assim, pro-</p><p>postas de aprendizagem e raciocínio não teriam sentido.</p><p>As coisas começaram a mudar quando um professor de ma-</p><p>temática, o bolonhês Scipione del Ferro (1465-1526), des-</p><p>cobriu a fórmula que resolvia todas as equações do terceiro</p><p>grau e logo alguns fatos curiosos começaram a ser notados,</p><p>por exemplo, sabia-se que a única raiz positiva da equação</p><p>x3 = 15x + 4 é x = 4. No entanto, aplicando-se a nova fórmu-</p><p>la, obtinha-se x = + − + − −2 121 2 1213 3 . Outro mate-</p><p>mático italiano, Gerônimo Cardano (1501–1576), ao resol-</p><p>ver o problema “separar 10 em duas partes cujo produto é</p><p>40”, surpreendeu-se com a resposta 5 15 5 15+ − − − e</p><p>e, como não entendia como poderiam existir raízes qua-</p><p>dradas de números negativos, chamou esses números de</p><p>“sutis e inúteis.”</p><p>A importância e a existência de tais números não po-</p><p>diam ser ignoradas assim. Quando Leibniz (1646-1716)</p><p>mostrou que 6 1 3 1 3= + − + − − , constatou-se</p><p>a existência de novos números, além dos reais, cabendo</p><p>a sua organização ao genial matemático suíço Leonard</p><p>Euler (1707-1783), que denominou esses novos números</p><p>como imaginários ou complexos e passou a adotar −1</p><p>como unidade imaginária e denominou-a i. Assim:</p><p>i2 = –1</p><p>Estava</p><p>criada mais uma classe de números.</p><p>1. Forma	algébrica</p><p>Com operações envolvendo a unidade imaginária e os nú-</p><p>meros reais, surgem os números complexos na forma al-</p><p>gébrica:</p><p>z = x + yi x, y ∈ </p><p>em que: x é a parte real de z; x = Re(z);</p><p>y é a parte imaginária de z; y = Im(z)</p><p>i é a unidade imaginária, construindo-se, então, o</p><p>conjunto de números imaginários ou números complexos.</p><p> = {z |z = x + yi; x, y ∈ ; i2 = – 1}</p><p>Se Im(z) = 0, então z é chamado real; notar que  ⊂ ;</p><p>se Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0, então z é chamado de imaginário</p><p>puro como, por exemplo, são imaginários puros os núme-</p><p>ros: 3i i i; ; 2 − .</p><p>2. Conjugado	de	um	número	complexo</p><p>Dado o número z = x + yi (x, y ∈ ), chama-se de conjuga-</p><p>do de z o número indicado por z, tal que:</p><p>z = x – yi</p><p>Exemplos:</p><p>z i</p><p>i</p><p>v</p><p>z = 3 + 2i</p><p>w = 1 i w =</p><p>+ 7i</p><p>= − →</p><p>− − → − +</p><p>= − →</p><p>3 2</p><p>1</p><p>3 v =</p><p>w = 3i</p><p>t = 2 = 2</p><p>− −</p><p>= − →</p><p>→</p><p>3 7</p><p>3</p><p>i</p><p>w i</p><p>t</p><p>3. Igualdade	entre	dois	números	complexos</p><p>Dados z = x + yi e w = a + bi, definimos (x, y, a e b ∈ ):</p><p>z = w ⇔ x = a e y = b</p><p>Assim:</p><p>(3x – 1) + 4i = 5 + 2yi, com x e y ∈ </p><p>Temos:</p><p>3 1 5 2</p><p>4 2 2</p><p>x x</p><p>y y</p><p>− = ⇒ =</p><p>= ⇒ =</p><p></p><p></p><p></p><p>4. Operações	na	forma	algébrica</p><p>Considerando os números complexos:</p><p>u = a + bi e v = c + di; a, b, c, d ∈ ,</p><p>podemos definir algumas operações:</p><p>A. Adição em </p><p>u + v = (a + c) + (b + d)i</p><p>Assim: (3 + 7i) + (2 – 5i) = (3 + 2) + (7 – 5)i = 5 + 2i</p><p>B. Subtração em </p><p>u – v = (a – c) + (b – d)i</p><p>Assim: (3 + 7i) – (2 – 5i) = (3 – 2) + (7 – (–5))i = 1 + 12i</p><p>MÓDULO 08 NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA ALGÉBRICA</p><p>82</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>C. Multiplicação em </p><p>u · v = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2</p><p>= ac + adi + bci – bd</p><p>= (ac – bd) + (ad + bc)i</p><p>01. UEPB-PB</p><p>Em , o conjunto solução x2 – 6x + 10 = 0 é igual a:</p><p>a. S = {3i, –3i}</p><p>b. S = {3 + i, 3 – i}</p><p>c.	S = {i – 3, i + 3}</p><p>d. S = {3 + i, –3 – i}</p><p>e. S = {3 – i, –3 – i }</p><p>Assim:</p><p>(3 + 7i) · (2 – 5i) = 6 – 15i + 14i – 35i2</p><p>= 6 – 15i + 14i + 35</p><p>= 41 – i</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>01.</p><p>Calcule x e y de modo que se tenha:</p><p>a. 2x + 5yi = 6 – 15i</p><p>b. (x + y) + (3x – y)i = 9 + 19i</p><p>Resolução</p><p>a) 2x = 6 e 5y = –15 ⇒ x = 3 e y = –3</p><p>b)</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x</p><p>+ =</p><p>− =</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>9</p><p>3 19</p><p>7 = e y = 2</p><p>02.</p><p>Obtenha o valor de m (real), na expressão abaixo, saben-</p><p>do-se que z = 2m + 5i e que z2 + 2z é real.</p><p>Resolução</p><p>z2 + 2z = (2m + 5i)2 + 2 (2m – 5i)</p><p>= 4m2 + 20mi + 25i2 + 4m – 10i</p><p>= 4m2 + 20mi – 25 + 4m – 10i</p><p>= (4m + 4m 25) + (20m 10)i2</p><p>Re Im</p><p>− −� ��� ��� � �� ��</p><p>Se z2 + 2z é real, então Im = 0</p><p>20m – 10 = 0</p><p>m =</p><p>1</p><p>2</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>Resolução</p><p>x x</p><p>x</p><p>i x i</p><p>x i</p><p>S i i</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>6 10 0</p><p>36 40 4</p><p>6 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3 3</p><p>− + =</p><p>∆ = − = −</p><p>± = +</p><p>= −</p><p>= + −{ },</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>83</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413 Matemática</p><p>02. UEL-PR</p><p>O número complexo z que verifica a equação</p><p>iz z i− + + =2 1 0( ) é:</p><p>a. z = 1 + i</p><p>b. z i= −</p><p>1</p><p>3</p><p>c.	 z</p><p>i</p><p>=</p><p>−1</p><p>3</p><p>d. z</p><p>i</p><p>= +1</p><p>3</p><p>e. z = 1 – i</p><p>03. PUC-PR</p><p>Um paralogismo é um raciocínio falso, mas que tem apa-</p><p>rência de verdade. Há algumas demonstrações clássicas</p><p>em que isso acontece. Considere a seguinte demonstra-</p><p>ção descrita em sete etapas:</p><p>I. Vamos supor a igualdade: –1 = –1</p><p>II. Na forma de fração: 1</p><p>1</p><p>1</p><p>1−</p><p>=</p><p>−</p><p>III. Extraindo a raiz quadrada:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1−</p><p>=</p><p>−</p><p>IV. Propriedade de radicais:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1−</p><p>=</p><p>−</p><p>V. Entretanto, i = −1 ou i2 = –1</p><p>VI. Substituindo em IV ,</p><p>1</p><p>1i</p><p>i</p><p>= ou i2 = 1</p><p>VII. Igualando-se as relações de V e VI, tem-se: –1 = 1</p><p>A respeito dessa demonstração, assinale a alternativa cor-</p><p>reta.</p><p>a. A demonstração está incorreta e o erro está na eta-</p><p>pa V, pois i2 = ±1.</p><p>b. A demonstração está incorreta e o erro está na eta-</p><p>pa II, pois não é correto expressar –1 =</p><p>1</p><p>1−</p><p>.</p><p>c.	A demonstração está incorreta e o erro está na eta-</p><p>pa V, pois a igualdade i = −1 é absurda em qual-</p><p>quer conjunto numérico.</p><p>d. A demonstração não apresenta erros.</p><p>e. A demonstração está incorreta e o erro está na eta-</p><p>pa IV, pois</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>= só é valida se A > 0 e B > 0.</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>Resolução</p><p>iz – 2 z + (1 + i) = 0</p><p>Sendo z = a + bi, temos:</p><p>i(a + bi) – 2(a – bi) + (1 + i) = 0</p><p>ai + bi2 – 2a + 2bi + 1 + i = 0</p><p>1 – 2a – b + (a + 2b + 1)i = 0 + 0i</p><p>1 2 0</p><p>1 2 0</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>2 4 22</p><p>− − =</p><p>+ + =</p><p></p><p></p><p></p><p>+ =</p><p>+ = −</p><p></p><p></p><p></p><p>+ =</p><p>− − =</p><p></p><p></p><p>−</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a bx</p><p> </p><p>( ) </p><p>+</p><p>− =</p><p>= − = ∴ = −</p><p>3 3</p><p>1 1 1</p><p>b</p><p>b e a z i</p><p>Resposta</p><p>E</p><p>84</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>413Matemática</p><p>04. IFET-PE</p><p>Os números complexos são os números da forma z = a + bi,</p><p>em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária</p><p>i = −( )1 . Um número complexo será um número real se b</p><p>for igual a zero. Qual é o valor de x para que o produto dos</p><p>números complexos z1 = 3 + 5i e z2 = –1 + xi seja um número</p><p>real?</p><p>a. x = −</p><p>5</p><p>3</p><p>b. x = −</p><p>1</p><p>3</p><p>c.	 x =</p><p>2</p><p>3</p><p>d. x =</p><p>5</p><p>3</p><p>e. x =</p><p>7</p><p>3</p><p>05. UFSCar-SP</p><p>Sejam x, y  e z = x + yi um número complexo.</p><p>a. Calcule o produto (x + yi) · (1 + i).</p><p>b. Determine x e y, para que se tenha (x + yi) · (1 + i) = 2.</p><p>Orientação	ao	professor</p><p>Este módulo está adequado ao tempo. Escolher a me-</p><p>lhor maneira para apresentar o conjunto dos números</p><p>complexos, suas definições e operações. Lembrar-se de</p><p>comentar igualdade entre complexos, conjugado, parte</p><p>real, parte imaginária e número real e imaginário puro.</p>