dia 1CCXXVI

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<p>15. **Problema:** Encontre o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** Esta é uma integral básica da função exponencial, e a integral de \(e^{-</p><p>x}\) de \(0\) a \(\infty\) é \(1\).</p><p>16. **Problema:** Resolva a equação \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - y^2}{2xy}\).</p><p>**Resposta:** \( \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2} = C \).</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução implícita para</p><p>a equação diferencial.</p><p>17. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace de \(\sin(t)\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{s^2 + 1}\).</p><p>**Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Laplace para \(\sin(t)\),</p><p>\(\mathcal{L}\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1}\).</p><p>18. **Problema:** Determine a integral de \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\).</p><p>**Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), a integral se transforma em \(\int</p><p>\frac{1}{u} \, du\), que é \(\ln|u|\), ou seja, \(\ln|\ln(x)|\).</p><p>19. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y' = \frac{y^2 - 1}{x}\).</p><p>**Resposta:** \( \frac{y - 1}{y + 1} = \frac{\ln(x)}{C} \).</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução implícita para</p><p>a equação diferencial.</p><p>20. **Problema:** Encontre a série de Fourier para \(f(x) = x\) no intervalo \([- \pi, \pi]\).</p><p>**Resposta:** \( f(x) = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n^2} \cos(nx) \).</p><p>**Explicação:** A série de Fourier de uma função é a soma dos senos e cossenos de</p><p>múltiplos harmônicos.</p><p>21. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\).</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se</p><p>torna \(\frac{\pi}{2}\).</p><p>22. **Problema:** Encontre a transformada de Fourier de \(f(x) = e^{-x^2}\).</p><p>**Resposta:** \(\sqrt{\pi} e^{-\frac{\omega^2}{4}}\).</p><p>**Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Fourier para a função gaussiana,</p><p>obtemos \(\sqrt{\pi} e^{-\frac{\omega^2}{4}}\).</p><p>23. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0\).</p><p>**Resposta:** \(y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\).</p><p>**Explicação:** A equação característica é \(r^2 + 9 = 0\), com raízes \(r = \pm 3i\),</p><p>resultando na solução geral \(y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\).</p><p>24. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{e - 1}{2}\).</p><p>**Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \frac{e -</p><p>1}{2}\).</p><p>25. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\).</p><p>**Explicação:** Esta integral é uma integral básica associada à função arco tangente. A</p><p>integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) de \(0\) a \(\infty\) é \(\frac{\pi}{2}\).</p><p>26. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y \cdot \ln(x)\).</p><p>**Resposta:** \(y = C x^{\frac{x}{2}}\).</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução implícita \(y =</p><p>C x^{\frac{x}{2}}\).</p><p>27. **Problema:** Encontre a série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \(x = 0\).</p><p>**Resposta:** \(\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\).</p><p>**Explicação:** A série de Taylor de \(\cos(x)\) é dada pela soma infinita dos termos</p><p>\(\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\).</p><p>28. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{2\pi} \cos^2(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\pi\).</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral se</p><p>torna \(\pi\).</p><p>29. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = x e^y\).</p><p>**Resposta:** \(y = \ln(C e^{\frac{x^2}{2}})\).</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução implícita \(y =</p><p>\ln(C e^{\frac{x^2}{2}})\).</p><p>30. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\).</p><p>**Explicação:** Esta integral é a área de um quarto de círculo de raio 1, e é igual a</p><p>\(\frac{\pi}{4}\).</p><p>31. **Problema:** Determine a integral de linha de \(\vec{F} = (x, y)\) ao longo da curva</p><p>\(C\) onde \(C\) é a parábola \(y = x^2\) de \(x = 0\) a \(x = 1\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{5}{6}\).</p><p>**Explicação:** Parametrizando a curva e calculando a integral de linha, obtemos o</p><p>valor \(\frac{5}{6}\).</p><p>32. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \).</p><p>**Resposta:** \(y = C_1 e^x + C_2 xe^x\).</p><p>**Explicação:** A equação característica é \(r^2 - 2r + 1 = 0\), com raiz dupla \(r = 1\),</p><p>resultando na solução geral \(y = C_1 e^x + C_2 xe^x\).</p><p>33. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^3(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{2}{3}\).</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^3(x) = \cos(x) \cdot (1 - \sin^2(x))\), e</p><p>integrando, obtemos \(\frac{2}{3}\).</p><p>34. **Problema:** Determine a transformada de Laplace de \(t \cdot e^{2t}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{(s - 2)^2}\).</p><p>**Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Laplace para \(t \cdot e^{at}\),</p><p>temos \(\frac{1}{(s - 2)^2}\).</p><p>35. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\).</p><p>**Explicação:** Esta integral é a área do arco de um círculo de raio 1, e é igual a</p><p>\(\frac{\pi}{2}\).</p><p>36. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \).</p><p>**Resposta:** \(y^2 = x^2 + C\).</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução implícita \(y^2</p><p>= x^2 + C\).</p><p>37. **Problema:** Encontre a série de Taylor de \( \ln(1 + x) \) em torno de \(x = 0\).</p><p>**Resposta:** \(\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}\).</p><p>**Explicação:** A série de Taylor de \(\ln(1 + x)\) é a soma infinita dos termos \(\frac{(-</p><p>1)^{n+1} x^n}{n}\).</p><p>38. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sqrt{\pi}\).</p><p>**Explicação:** A integral de Gauss é \(\sqrt{\pi}\).</p><p>39. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \).</p><p>**Resposta:** \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\).</p><p>**Explicação:** A equação característica é \(r^2 + 4 = 0\), com raízes \(r = \pm 2i\),</p><p>resultando na solução geral \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\).</p><p>40. **Problema:** Calcule a integral de linha de \(\vec{F} = (x^2, y^2)\) ao longo da curva</p><p>\(C\) onde \(C\) é</p><p>a linha reta de \((0,0)\) a \((1,1)\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{2}{3}\).</p><p>**Explicação:** A integral de linha é dada por \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\).</p><p>Parametrizando a curva \(C\) e calculando, obtemos o valor \(\frac{2}{3}\).</p>