prova 1 calculo integral III

Prévia do material em texto

<p>10/16/24, 7:42 AM Avaliação Individual A+ Alterar modo de visualização Peso da Avaliação Prova Otd. de Questões Acertos/Erros Canceladas Nota 1 Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros. e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por y) em assinale a alternativa que apresenta valor correto da massa dessa chapa: A 123 g. B 144 g. C 198 g. D 184 g. E 2 O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a integração sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas unidimensionais. Para aplicar Teorema de Fubini, a função deve ser contínua sobre domínio de integração, que pode ser um retângulo ou uma região mais complexa, em que teorema garante que a ordem de integração possa ser trocada. Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015 Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. II. Para aplicar Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. É correto que se afirma em: about:blank 1/7</p><p>10/16/24, 7:42 AM Avaliação Individual A II e III, apenas. B I, II e III, apenas. C III e IV, apenas. D IV, apenas. E I, II e IV, apenas. 3 Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto (x, y) é descrita pela função y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, representa a quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar correspondente a uma pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por dxdy. A carga total distribuída na região D pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a expressão: dxdy. D Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2015. Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir: 3 D 2 1 0 1 2 3 A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade expressa em Coulombs por metro quadrado Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a carga total acumulada na região: A 519 Coulombs. B 421 Coulombs. C 494 Coulombs. D 385 Coulombs. E 342 Coulombs. about:blank 2/7</p><p>7:42 AM Avaliação Individual 4 Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, cálculo da integral dupla sobre essa região se resume a encontrar a área de D. Isso ocorre porque, com f(x, y) = 1, a função não adiciona nenhuma variação à medida que percorremos a região, que significa que estamos simplesmente somando as pequenas áreas que compõem D. Por exemplo, se a região D for um retângulo, resultado do cálculo será a área desse que pode ser obtida multiplicando a largura pela altura. De maneira geral, quando a função é constante e igual a 1, processo de integração sobre uma região plana equivale a determinar a área dessa região. Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y 2x2 e y 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, qual resultará em 6. PORQUE II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla 1 dydx. 2x2 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da C A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E As asserções I e II são falsas. 5 A mudança de variáveis para coordenadas polares é uma técnica eficaz para simplificar a integração sobre domínios com simetria circular ou radial. Nesse sistema de coordenadas, um ponto no plano é representado por (r, 0), em que r é a distância do ponto à origem e é ângulo medido a partir do eixo X. O diferencial de área em coordenadas polares é dado por dA rdrd0, e essa transformação é particularmente útil para integrais sobre regiões que são circulares ou possuem bordas curvas que se alinham com as coordenadas polares. Fonte: J. Cálculo: volume 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma certa função f: about:blank 3/7</p><p>10/16/24, 7:42 AM Avaliação Individual 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 Sobre exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação no semiplano superior. II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos raio variando em 1 3 e ângulo 0</p><p>7:42 AM Avaliação Individual D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são ângulo azimutal, raio radial e a coordenada vertical. E As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e altura. 7 A região D, associada à integral tripla, descreve um sólido tridimensional cuja análise depende da definição precisa dos limites de integração. Esses limites delimitam a extensão das variáveis dentro da região e são essenciais para representar corretamente a forma do sólido. Sólidos comuns, como prismas, cilindros e esferas, frequentemente aparecem em tais regiões. A correta especificação dos limites permite a representação exata da geometria desses sólidos, assegurando uma modelagem adequada e a interpretação precisa das integrais triplas e, em muitos momentos, permite a possibilidade de realizar a mudança de variável, facilitando cálculo da integral. Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos 0. Z = 0 e pela superfície Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D. PORQUE II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. C As asserções I e II são falsas. D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 8 Em cálculo de integrais múltiplas, a mudança de variável é uma técnica que transforma a integral sobre um domínio complexo em uma integral sobre um domínio mais simples ou mais conveniente. Para implementar essa mudança, utiliza-se um mapeamento de coordenadas que facilita O determinante do Jacobiano da transformação ajusta volume ou a área no novo sistema de coordenadas. Essa técnica é comum em física e engenharia para resolver problemas de simetria circular ou esférica. Fonte: THOMAS, G. WEIR, M. D.; HASS. J. Cálculo: volume 2. 13. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Sobre a mudança de variável em integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada, sem modificar a forma do domínio de integração II. Em coordenadas esféricas, a função + y2 + se transforma em III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois simplificam a função integrada e os limites de integração. IV. A coordenada em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem. É correto que se afirma em: A II, III e IV, apenas. about:blank 5/7</p><p>10/16/24, 7:42 AM Avaliação Individual B IV, apenas. C I, II e III, apenas. D II e III, apenas. E I e III, apenas. 9 A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial. Fonte: J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) R e a função f(x, y) avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3. PORQUE II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve volume deste sólido é definida por: A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. E As asserções I e II são falsas. Revisar Conteúdo do Livro 10 A resolução de problemas envolvendo integrais duplas frequentemente exige uma compreensão não apenas da técnica algébrica, mas também da interpretação geométrica do problema. Suponha que você esteja resolvendo uma integral dupla para calcular volume de um sólido delimitado por superfícies no espaço tridimensional. Para tal, considere uma região D no plano xy e uma função f(x,y) que define a altura do sólido sobre essa região. Em muitos casos, a função f(x, y) pode representar formas geométricas familiares assim como a região D, e reconhecer imediatamente essas formas é essencial para agilizar a resolução do problema. Sobre exposto, analise as afirmativas a seguir: about:blank 6/7</p><p>10/16/24, 7:42 AM Avaliação - Individual I. A equação de formato representa uma esfera de raio 3. II. A região delimitada acima do plano xy, um semicilindro. III. Seja uma região D definida por logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1 IV. A função f(x, y) = representa geometricamente um cone. É correto que se afirma em: A III e IV, apenas. B I e IV, apenas. C II e III, apenas. D I, II e IV, apenas. E I, II e III, apenas. Revisar Conteúdo do Livro Imprimir about:blank 7/7</p>