Avaliação I - Individual - Integral - 2024

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<p>Prova Impressa</p><p>GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:990757)</p><p>Peso da Avaliação 2,00</p><p>Prova 89658444</p><p>Qtd. de Questões 10</p><p>Acertos/Erros 9/0</p><p>Canceladas 1</p><p>Nota 10,00</p><p>A mudança de variáveis para coordenadas polares é uma técnica eficaz para simplificar a integração sobre</p><p>domínios com simetria circular ou radial. Nesse sistema de coordenadas, um ponto no plano é representado por (r,</p><p>θ), em que r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo medido a partir do eixo x. O diferencial de área em</p><p>coordenadas polares é dado por dA = rdrdθ, e essa transformação é particularmente útil para integrais sobre</p><p>regiões que são circulares ou possuem bordas curvas que se alinham com as coordenadas polares.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.</p><p>Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma</p><p>certa função f:</p><p>Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano</p><p>superior.</p><p>II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π.</p><p>III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r.</p><p>IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano</p><p>superior.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II e IV, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C I e III, apenas.</p><p>D I, II e IV, apenas.</p><p>E III e IV, apenas.</p><p>VOLTAR</p><p>A+ Alterar modo de visualização</p><p>1</p><p>Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, o cálculo da integral dupla sobre essa região se</p><p>resume a encontrar a área de D. Isso ocorre porque, com f(x, y) = 1, a função não adiciona nenhuma variação à</p><p>medida que percorremos a região, o que significa que estamos simplesmente somando as pequenas áreas que</p><p>compõem D. Por exemplo, se a região D for um retângulo, o resultado do cálculo será a área desse retângulo, que</p><p>pode ser obtida multiplicando a largura pela altura. De maneira geral, quando a função é constante e igual a 1, o</p><p>processo de integração sobre uma região plana equivale a determinar a área dessa região.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.</p><p>Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação</p><p>proposta entre elas:</p><p>I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6.</p><p>PORQUE</p><p>II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>B As asserções I e II são falsas.</p><p>C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a integração</p><p>sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas unidimensionais. Para aplicar o</p><p>Teorema de Fubini, a função deve ser contínua sobre o domínio de integração, que pode ser um retângulo ou uma</p><p>região mais complexa, em que o teorema garante que a ordem de integração possa ser trocada.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.</p><p>Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua</p><p>em um domínio retangular.</p><p>II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região</p><p>de integração.</p><p>III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é</p><p>garantida em domínios mais complexos.</p><p>IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os</p><p>limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A I, II e IV, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C I e IV, apenas.</p><p>D II e III, apenas.</p><p>E III e IV, apenas.</p><p>2</p><p>3</p><p>Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto (x, y) é</p><p>descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, representa a quantidade</p><p>de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar correspondente a uma pequena área</p><p>dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga total distribuída na região D pode ser obtida</p><p>através da integração dupla sobre toda a área, conforme a expressão:</p><p>Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2015.</p><p>Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:</p><p>A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa em</p><p>Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a carga total</p><p>acumulada na região:</p><p>A 519 Coulombs.</p><p>B 385 Coulombs.</p><p>C 421 Coulombs.</p><p>D 494 Coulombs.</p><p>E 342 Coulombs.</p><p>A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo o cálculo</p><p>de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e</p><p>da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.</p><p>Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = y²x, avalie</p><p>as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:</p><p>I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.</p><p>PORQUE</p><p>II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>B As asserções I e II são falsas.</p><p>4</p><p>5</p><p>C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.</p><p>Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de coordenadas</p><p>adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração possui simetria axial, como</p><p>cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar significativamente a resolução das integrais</p><p>triplas.</p><p>Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.</p><p>Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem novos</p><p>parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:</p><p>A As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.</p><p>B As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e altura.</p><p>C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.</p><p>D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.</p><p>E As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.</p><p>A região D, associada à integral tripla, descreve um sólido tridimensional cuja análise depende da definição</p><p>precisa dos limites de integração. Esses limites delimitam a extensão das variáveis dentro da região e são</p><p>essenciais para representar corretamente a forma do sólido.</p><p>Sólidos comuns, como prismas, cilindros e esferas,</p><p>frequentemente aparecem em tais regiões. A correta especificação dos limites permite a representação exata da</p><p>geometria desses sólidos, assegurando uma modelagem adequada e a interpretação precisa das integrais triplas e,</p><p>em muitos momentos, permite a possibilidade de realizar a mudança de variável, facilitando o cálculo da integral.</p><p>Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos</p><p>x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a relação</p><p>proposta entre elas:</p><p>I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D.</p><p>PORQUE</p><p>II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>D As asserções I e II são falsas.</p><p>E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>6</p><p>7</p><p>Além de calcular integrais duplas em regiões retangulares, é possível aplicar integrais duplas em regiões não</p><p>retangulares, que podem exigir uma abordagem mais detalhada. Essas regiões podem ser divididas em dois tipos</p><p>principais para facilitar a integração:</p><p>• Tipo I: quando a região é delimitada por duas funções de y, com x variando dentro de um intervalo fixo. Nesse</p><p>caso, y varia entre duas funções específicas, enquanto x permanece constante dentro de um intervalo definido.</p><p>• Tipo II: quando a região é delimitada por duas funções de x, com y variando dentro de um intervalo fixo. Aqui,</p><p>x varia entre duas funções específicas, enquanto y permanece constante dentro de um intervalo definido.</p><p>Essas categorias ajudam a adaptar a técnica de integração à forma da região de interesse, tornando o processo de</p><p>cálculo mais eficiente em contextos variados.</p><p>Considere a região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, sobre essa</p><p>região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a região D e abaixo da</p><p>superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A região D possui área igual a 5/2.</p><p>II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e aplicando f(x, y) =</p><p>1.</p><p>III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de separar a</p><p>integral em duas partes.</p><p>IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II, III e IV, apenas.</p><p>B I e IV, apenas.</p><p>C III e IV, apenas.</p><p>D I, II e III, apenas.</p><p>E II e III, apenas.</p><p>O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma integral</p><p>dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada. Em um domínio retangular, a função deve ser</p><p>contínua para que a troca da ordem de integração seja válida. O teorema é especialmente útil em aplicações</p><p>práticas, como o cálculo de volumes, áreas e outros problemas em engenharia e física, em que a troca da ordem</p><p>de integração pode simplificar significativamente a solução do problema.</p><p>Fonte: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2019.</p><p>Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio.</p><p>II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada</p><p>para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.</p><p>III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem</p><p>superior.</p><p>IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em</p><p>todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A I e IV, apenas.</p><p>B II e IV, apenas.</p><p>C III e IV, apenas.</p><p>D I, II e III, apenas.</p><p>8</p><p>9</p><p>E II e III, apenas.</p><p>A resolução de problemas envolvendo integrais duplas frequentemente exige uma compreensão não apenas da</p><p>técnica algébrica, mas também da interpretação geométrica do problema. Suponha que você esteja resolvendo</p><p>uma integral dupla para calcular o volume de um sólido delimitado por superfícies no espaço tridimensional. Para</p><p>tal, considere uma região D no plano xy e uma função f(x,y) que define a altura do sólido sobre essa região. Em</p><p>muitos casos, a função f(x, y) pode representar formas geométricas familiares assim como a região D, e</p><p>reconhecer imediatamente essas formas é essencial para agilizar a resolução do problema.</p><p>Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3.</p><p>II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um semicilindro.</p><p>III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1</p><p>e 3.</p><p>IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A III e IV, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C I e IV, apenas.</p><p>D II e III, apenas.</p><p>E I, II e IV, apenas.</p><p>10</p><p>Imprimir</p>