gabarito para todos CCXII

Prévia do material em texto

<p>A) \( \frac{1}{12} \)</p><p>B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>C) \( \frac{1}{4} \)</p><p>D) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta correta:** B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \).</p><p>Avaliando de 0 a 1, temos \( \left[ \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{4} -</p><p>\frac{2}{3} + \frac{3}{6} = -\frac{1}{12} \).</p><p>35. **Problema 35:** Determine a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \).</p><p>A) \( \sec^2(x) \)</p><p>B) \( \sin(x) \)</p><p>C) \( \cos(x) \)</p><p>D) \( \cot(x) \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( \sec^2(x) \)</p><p>**Explicação:** A derivada da função tangente é conhecida e é dada por \( f'(x) =</p><p>\sec^2(x) \).</p><p>36. **Problema 36:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>A) \( 0 \)</p><p>B) \( 5 \)</p><p>C) \( 1 \)</p><p>D) \( \infty \)</p><p>**Resposta correta:** B) \( 5 \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(kx)}{x} = k \), então neste caso, \( k = 5 \).</p><p>37. **Problema 37:** Determine a área sob a curva \( y = x^2 + 2 \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1</p><p>\).</p><p>A) \( \frac{5}{3} \)</p><p>B) \( \frac{4}{3} \)</p><p>C) \( \frac{3}{2} \)</p><p>D) \( 2 \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( \frac{5}{3} \)</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_0^1 =</p><p>\left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{5}{3} \).</p><p>38. **Problema 38:** Qual é a condição de convergência para a série \(</p><p>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \)?</p><p>A) Converge para \( p \leq 1 \)</p><p>B) Converge para \( p 1 \)</p><p>D) Converge para \( p \geq 1 \)</p><p>**Resposta correta:** C) Converge para \( p > 1 \)</p><p>**Explicação:** A série de \( \frac{1}{n^p} \) converge se \( p > 1 \) e diverge se \( p \leq 1</p><p>\).</p><p>39. **Problema 39:** Calcule o determinante da matriz \( E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1</p><p>& 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \).</p><p>A) \( 0 \)</p><p>B) \( 1 \)</p><p>C) \( 2 \)</p><p>D) \( 3 \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( 0 \)</p><p>**Explicação:** O determinante pode ser calculado e, ao realizar as operações,</p><p>encontramos que a matriz é singular, resultando em um determinante de \( 0 \).</p><p>40. **Problema 40:** Encontre a solução da equação \( x^2 + 2x + 1 = 0 \).</p><p>A) \( x = -1 \)</p><p>B) \( x = 1 \)</p><p>C) \( x = 2 \)</p><p>D) \( x = 0 \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( x = -1 \)</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x + 1)^2 = 0 \), resultando na raiz \(</p><p>x = -1 \).</p><p>41. **Problema 41:** Calcule a integral \( \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>A) \( x^4 - x^3 + 2x + C \)</p><p>B) \( x^4 - 3x^2 + 2x + C \)</p><p>C) \( 4x^4 - 3x^3 + 2x + C \)</p><p>D) \( 4x^4 - 3x^2 + C \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( x^4 - x^3 + 2x + C \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada é calculada aplicando a regra da potência para cada</p><p>termo, resultando em \( x^4 - x^3 + 2x + C \).</p><p>42. **Problema 42:** Qual é o valor de \( \sin(\frac{\pi}{2}) \)?</p><p>A) \( 1 \)</p><p>B) \( 0 \)</p><p>C) \( -1 \)</p><p>D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( 1 \)</p><p>**Explicação:** O valor da função seno em \( \frac{\pi}{2} \) é conhecido e é igual a \( 1 \).</p><p>43. **Problema 43:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 - x^3 + x^2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{5} \)</p><p>B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>C) \( \frac{1}{4} \)</p><p>D) \( \frac{1}{12} \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( \frac{1}{5} \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \). Avaliando</p><p>de 0 a 1, temos \( \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) = \frac{12 - 15 + 20}{60} =</p><p>\frac{1}{5} \).</p><p>44. **Problema 44:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>A) \( 0 \)</p><p>B) \( 1 \)</p><p>C) \( 2 \)</p><p>D) \( \infty \)</p><p>**Resposta correta:** B) \( 1 \)</p><p>**Explicação:** O limite é uma forma indeterminada e pode ser resolvido por derivação</p><p>ou usando a definição de derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \).</p><p>45. **Problema 45:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x} \).</p><p>A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>B) \( \frac{2}{\sqrt{x}} \)</p><p>C) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>D) \( \sqrt{x} \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x}} \).</p><p>46. **Problema 46:** O que é uma função contínua?</p><p>A) Uma função que é derivável em todos os pontos</p><p>B) Uma função que não tem quebras, saltos ou descontinuidades</p><p>C) Uma função que é limitada em seu domínio</p><p>D) Uma função que tem um máximo e um mínimo</p><p>**Resposta correta:** B) Uma função que não tem quebras, saltos ou descontinuidades</p><p>**Explicação:** Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto</p><p>é igual ao valor da função, o que implica que não há quebras ou saltos.</p><p>47. **Problema 47:** Se \( f(x) = 2x^2 + 3x + 5 \), encontre o valor de \( f'(2) \).</p><p>A) \( 11 \)</p><p>B) \( 10 \)</p><p>C) \( 12 \)</p><p>D) \( 9 \)</p><p>**Resposta correta:** A) \( 11 \)</p><p>**Explicação:** A derivada \( f'(x) = 4x + 3 \). Avaliando em \( x = 2 \), temos \( f'(2) = 4(2) +</p><p>3 = 8 + 3 = 11 \).</p><p>48. **Problema 48:** Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \).</p>