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<p>\[</p><p>\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots</p><p>\]</p><p>Portanto, até o termo de \( x^5 \):</p><p>\[</p><p>\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}</p><p>\]</p><p>A resposta correta é \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \).</p><p>6. **Problema 6:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</p><p>\).</p><p>a) Diverge</p><p>b) Converge</p><p>c) Converge condicionalmente</p><p>d) Diverge condicionalmente</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) é uma série p, onde \( p = 2 > 1 \). Por</p><p>critérios de convergência de séries p, a série converge.</p><p>7. **Problema 7:** Resolva a equação \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \).</p><p>a) \( x = -2, -1, 1, 2 \)</p><p>b) \( x = 0, 2 \)</p><p>c) \( x = -2, 0, 2 \)</p><p>d) \( x = -1, 1 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Substituindo \( y = x^2 \), temos a equação quadrática \( y^2 - 5y + 4 = 0 \). Fatorando:</p><p>\[</p><p>(y-4)(y-1) = 0 \implies y = 4 \text{ ou } y = 1</p><p>\]</p><p>Portanto, \( x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \) e \( x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \). Assim, as</p><p>soluções são \( x = -2, -1, 1, 2 \).</p><p>8. **Problema 8:** Calcule o determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4</p><p>\end{pmatrix} \).</p><p>a) \( -2 \)</p><p>b) \( 10 \)</p><p>c) \( -10 \)</p><p>d) \( 2 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>O determinante de uma matriz \( 2 \times 2 \) é dado por \( ad - bc \). Para \( A \):</p><p>\[</p><p>\text{det}(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( -2 \).</p><p>9. **Problema 9:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 5 \)</p><p>c) \( 1 \)</p><p>d) \( 10 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 5 \).</p><p>10. **Problema 10:** Qual é o valor de \( \int_1^2 x^3 \, dx \)?</p><p>a) \( \frac{9}{4} \)</p><p>b) \( \frac{15}{4} \)</p><p>c) \( 5 \)</p><p>d) \( \frac{7}{4} \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Calculando a integral:</p><p>\[</p><p>\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 1 \) a \( 2 \):</p><p>\[</p><p>\left[\frac{2^4}{4}\right] - \left[\frac{1^4}{4}\right] = \left[\frac{16}{4}\right] -</p><p>\left[\frac{1}{4}\right] = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{15}{4} \).</p><p>11. **Problema 11:** Seja \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). Calcule \( f''(0) \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 1 \)</p><p>c) \( -1 \)</p><p>d) \( 2 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Calculamos a primeira derivada:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}</p><p>\]</p><p>Agora, calculamos a segunda derivada usando a regra do quociente:</p><p>\[</p><p>f''(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}</p><p>\]</p><p>Avaliando em \( x = 0 \):</p><p>\[</p><p>f''(0) = \frac{2}{1^2} = 2</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 2 \).</p><p>12. **Problema 12:** Calcule a raiz quadrada de \( 45 \) usando a regra de Newton.</p><p>a) \( 6 \)</p><p>b) \( 6.5 \)</p><p>c) \( 7 \)</p><p>d) \( 7.5 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A regra de Newton para encontrar raízes é dada por:</p><p>\[</p><p>x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{45}{x_n} \right)</p><p>\]</p><p>Começando com uma estimativa inicial \( x_0 = 6 \):</p><p>\[</p><p>x_1 = \frac{1}{2} \left( 6 + \frac{45}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( 6 + 7.5 \right) = 6.75</p><p>\]</p><p>Repetindo uma vez mais:</p><p>\[</p><p>x_2 = \frac{1}{2} \left( 6.75 + \frac{45}{6.75} \right) \approx 6.708</p><p>\]</p><p>Assim, a raiz quadrada de \( 45 \) está próxima de \( 6.7 \).</p><p>13. **Problema 13:** Qual é a solução geral da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \)?</p><p>a) \( y = Ce^{-2x} - \frac{1}{3} e^{-x} \)</p><p>b) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \)</p><p>c) \( y = Ce^{-x} + e^{-2x} \)</p><p>d) \( y = Ce^{x} - \frac{1}{3} e^{2x} \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Usamos o fator integrante:</p><p>\[</p><p>e^{\int 2dx} = e^{2x}</p><p>\]</p><p>Multiplicando a equação por \( e^{2x} \):</p>