calculo qualificado CCXVI

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<p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^3 + 2x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + x^2 + C \). Avaliando</p><p>de 0 a 1, temos \( [\frac{1}{4}(1^4) + (1^2)] - 0 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \).</p><p>52. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \).</p><p>Fatorando, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>53. **Qual é a integral de \( \int (5x^2 - 3x + 4) \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C \)</p><p>b) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4 + C \)</p><p>c) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x + 4 + C \)</p><p>d) \( 5x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4 + C \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de cada termo é: \( \int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3 \), \( \int -3x</p><p>\, dx = -\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 4 \, dx = 4x \).</p><p>54. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 2x^2 + 1 \)?**</p><p>a) \( 4x^3 + 4x \)</p><p>b) \( 4x^3 + 2x \)</p><p>c) \( 4x^3 + 2 \)</p><p>d) \( 4x^3 + 4 \)</p><p>**Resposta: a) \( 4x^3 + 4x \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = 4x^3 + 4x \).</p><p>55. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (6x^2 - 4) \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{2}{3} \)</p><p>b) \( 0 \)</p><p>c) \( \frac{4}{3} \)</p><p>d) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{2}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (6x^2 - 4) \, dx = 2x^3 - 4x + C \). Avaliando de 0 a 1,</p><p>temos \( [2(1^3) - 4(1)] - [0 - 0] = 2 - 4 = -2 \).</p><p>56. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 7</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 7**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x}</p><p>= k \). Aqui, \( k = 7 \).</p><p>57. **Qual é a integral de \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?**</p><p>a) \( x^3 + x^2 + x + C \)</p><p>b) \( x^3 + x^2 + 2x + C \)</p><p>c) \( x^3 + x^2 + \frac{1}{2}x + C \)</p><p>d) \( x^3 + x^2 + 2x + C \)</p><p>**Resposta: a) \( x^3 + x^2 + x + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de cada termo é: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int 2x \, dx = x^2</p><p>\), e \( \int 1 \, dx = x \).</p><p>58. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \)?**</p><p>a) \( 2x \cos(x^2) \)</p><p>b) \( \cos(x^2) \)</p><p>c) \( 2 \sin(x^2) \)</p><p>d) \( 2x \sin(x^2) \)</p><p>**Resposta: a) \( 2x \cos(x^2) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \).</p><p>59. **Qual é o valor de \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \)?**</p><p>a) 8</p><p>b) 10</p><p>c) 12</p><p>d) 6</p><p>**Resposta: a) 8**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \). Avaliando de 1 a 3, temos</p><p>\( [3^2 + 3] - [1^2 + 1] = [9 + 3] - [1 + 1] = 12 - 2 = 10 \).</p><p>60. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 4</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 4**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \).</p><p>Fatorando, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^3 + x^2</p><p>+ x + 1) = 4 \).</p><p>61. **Qual é a integral de \( \int (4x^3 - x) \, dx \)?**</p><p>a) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \)</p><p>b) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x + C \)</p><p>c) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 4 + C \)</p><p>d) \( 4x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \)</p><p>**Resposta: a) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de cada termo é: \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -x \, dx = -</p><p>\frac{1}{2}x^2 \).</p><p>62. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(3x) \)?**</p><p>a) \( -3\sin(3x) \)</p><p>b) \( 3\sin(3x) \)</p><p>c) \( -\sin(3x) \)</p><p>d) \( 3\cos(3x) \)</p><p>**Resposta: a) \( -3\sin(3x) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x) \).</p><p>63. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^2 + 1) \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{7}{3} \)</p><p>b) \( \frac{5}{3} \)</p><p>c) \( 3 \)</p><p>d) \( 2 \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{7}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x + C \). Avaliando de 1</p><p>a 2, temos \( [\frac{1}{3}(2^3) + 2] - [\frac{1}{3}(1^3) + 1] = [\frac{8}{3} + 2] - [\frac{1}{3} + 1] =</p><p>\frac{8}{3} + \frac{6}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{10}{3} \).</p><p>64. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin(x)}{x^4} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) \( \frac{1}{6} \)</p><p>c) \( \frac{1}{3} \)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: b) \( \frac{1}{6} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \( \sin(x) \): \( \sin(x) \approx x -</p><p>\frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Portanto, \( x^2 - \sin(x) \approx x^2 - (x - \frac{x^3}{6}) \approx</p><p>\frac{x^3}{6} \). Assim, o limite se torna \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^4} = \frac{1}{6}</p><p>\).</p><p>65. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(2x + 3) \)?**</p><p>a) \( \frac{2}{2x + 3} \)</p><p>b) \( \frac{1}{2x + 3} \)</p><p>c) \( \frac{2x}{2x + 3} \)</p><p>d) \( \frac{3}{2x + 3} \)</p><p>**Resposta: b) \( \frac{1}{2x + 3} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x +</p><p>3} \).</p>