Resolva a integral definida A questão pede para calcular a integral definida da função \(\int _{0}^{7}x^{3}\sqrt{x+1}dx\)

Para resolver a integral definida \(\int _{0}^{7}x^{3}\sqrt{x+1}dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos seguir os passos: 1. Substituição: Seja \(u = x + 1\). Assim, \(du = dx\) e \(x = u - 1\). Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 7\), \(u = 8\). 2. Reescrevendo a integral: \[ \int_{0}^{7} x^{3} \sqrt{x+1} \, dx = \int_{1}^{8} (u-1)^{3} \sqrt{u} \, du \] 3. Expandindo \((u-1)^{3}\): \[ (u-1)^{3} = u^{3} - 3u^{2} + 3u - 1 \] 4. Substituindo na integral: \[ \int_{1}^{8} (u^{3} - 3u^{2} + 3u - 1) \sqrt{u} \, du = \int_{1}^{8} (u^{3.5} - 3u^{2.5} + 3u^{1.5} - \sqrt{u}) \, du \] 5. Integrando termo a termo: - \(\int u^{3.5} \, du = \frac{u^{4.5}}{4.5} = \frac{2}{9} u^{4.5}\) - \(\int u^{2.5} \, du = \frac{u^{3.5}}{3.5} = \frac{2}{7} u^{3.5}\) - \(\int u^{1.5} \, du = \frac{u^{2.5}}{2.5} = \frac{2}{5} u^{2.5}\) - \(\int \sqrt{u} \, du = \frac{u^{1.5}}{1.5} = \frac{2}{3} u^{1.5}\) 6. Substituindo os limites de integração: \[ \left[ \frac{2}{9} u^{4.5} - \frac{6}{7} u^{3.5} + \frac{6}{5} u^{2.5} - \frac{2}{3} u^{1.5} \right]_{1}^{8} \] 7. Calculando os limites: - Para \(u = 8\): \[ \frac{2}{9} (8^{4.5}) - \frac{6}{7} (8^{3.5}) + \frac{6}{5} (8^{2.5}) - \frac{2}{3} (8^{1.5}) \] - Para \(u = 1\): \[ \frac{2}{9} (1^{4.5}) - \frac{6}{7} (1^{3.5}) + \frac{6}{5} (1^{2.5}) - \frac{2}{3} (1^{1.5}) \] 8. Subtraindo os resultados para encontrar o valor da integral. Ao final, você terá o valor da integral definida \(\int _{0}^{7}x^{3}\sqrt{x+1}dx\). Se precisar de mais ajuda com os cálculos, é só avisar!