AULA 2 CÁLC 1_2013.1

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Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Carlos Gomes 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
_______________________________________________________ 
Discente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador – Ba 
2013 
 
AULA 2 
DATA: ___/____/____ 
 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
O conceito de limite é a base do estudo do Cálculo Diferencial e Integral e pelo 
qual são definidos a derivada, a integral, as sequências e as séries. Começaremos o seu 
estudo a partir de ideias intuitivas, e mais a frente, veremos algumas de suas 
propriedades. 
Observem a seguir seis exemplos que exprimem ideias fundamentais da teoria de 
limite. 
 
EXEMPLO 1. Uma empresa de aluguel de Vans cobra uma taxa fixa de R$ 20,00 e 
mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. O gráfico do valor (V) a ser pago em função 
da quantidade x de quilômetros rodados é 
 
 
Fixemos a nossa atenção em 
km80x 
. No eixo das abscissas podemos nos aproximar 
de 80 tanto pela direita, tomando valores maiores do que 80, quanto pela esquerda, 
tomando valores menores do que 80. Agora nos perguntamos o que acontece com o 
valor de V a medida que o percurso x se aproxima de 80 km, mas não igual? Observe 
gráfico e a tabela a seguir. 
 
C 
 
 
 
x 79,1 79,3 79,5 79,8 79,9 ... 80 ... 80,1 80,3 80,5 80,7 80,9 
V 59,6 59,7 59,8 59,9 59,95 ... ? ... 60,1 60,2 60,3 60,4 60,5 
 
 
    



x
V
     






t
h
     






t
h
A1
A2
B1
B2
Concluimos que a função V se aproxima de 60. Sendo assim, dizemos que o limite de 
V(x) quando x tende a 80 é igual a 60; numa linguagem simbólica escrevemos 
  60x Vlim
80x


. E com isso, percebe-se que V(x) é tão próximo de 60, o quanto 
desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de 80, mas não igual. 
 
 
EXEMPLO 2. Um objeto é solto com velocidade 
inicial nula de uma altura de 80 m. Desprezando a 
resistência do ar, sabe-se que a sua altura h, em metros, 
após t segundos, será 
80t5)t(h 2 
 (ver o gráfico 
ao lado). Lembre-se: 
2/gttvss 2oo 
. 
 
Agora vamos estudar h próximo de 
2t 
 (em uma 
vizinhança – um intervalo aberto contendo t = 2). 
É possível tornar h(t) tão próximo de algum valor 
fixo, o quanto se desejarmos, tomando para isso, 
valores de t suficientemente próximos de 2, mas não 
igual? Sim, pois observando o gráfico ao lado, a 
medida que nos aproximamos de 2 pela esquerda, 
as imagens correspondentes se aproximam de 60 
por valores maiores do que 60, e a medida que nos 
aproximamos de 2 pela direita, as imagens correspondentes se aproximam de 60 por 
valores menores do que 60. Logo, h pode ser tão próximo de 60, o quanto desejarmos, 
desde que tomemos valores x suficientemente próximos de 2, mas não igual. E para 
alguns valores de x temos a tabela seguinte: 
 
 
 
 
 
t 1,5 1,6 1,7 1,8 1,99 ... 2 ... 2,01 2,2 2,3 2,4 2,5 
h 
68,7
5 67,2 
65,5
5 
63,
8 60,2 ... 60 ... 59,8 55,8 
53,5
5 51,2 
48,7
5 
 
Assim, dizemos que o limite de h(t) quando t tende a 2 é igual a 60 e denotamos por 
60)t( hlim
2x


. 
 
EXEMPLO 3. O queremos dizer com a expressão “mas não igual” dita nos exemplos 
anteriores? A ideia de limite quando x tende a, não diz respeito ao que está acontecendo 
com a função em 
ax 
; e sim, próximo de a, para valores 
ax 
 e 
ax 
. Vejamos dois 
gráficos: 
 
 
 
Em ambos os gráficos 
4)x( flim
2x

 
, pois a medida que x se aproxima por ambos os 
lados de -2 (mas não igual a -2), 
)x(f
 se aproxima de 4, apesar de não existir 
)2(f 
 
no primeiro gráfico e, no segundo, 
)x( flim41)2(f
2x 

 
. Reforçando, ao 
escrevermos 
ax 
 (lê-se x tende a), iremos analisar apenas o comportamento de 
f
 
para valores nas proximidades de a, sendo menores e maiores, nunca 
ax 
; e assim, só 
é considerado no limite o que está acontecendo próximo (vizinhança) do ponto, 
mas não igual ao ponto. 
 
 
   





x
y
   





x
y
EXEMPLO 4. Dada uma função 
)x(fy 
, se quando aproximarmos x de a, 
)x(f
 se 
aproximar de L, então 
L)x( flim
 ax


. Porém, a recíproca dessa afirmação nem 
sempre é verdadeira. De fato, considere o gráfico oscilatório a seguir, onde x 
representa a posição de uma massa em função do tempo t de oscilação. 
 
 
Queremos analisar o limite de x(t) quando t tende a 7, expresso por 
)t( xlim
7t 
. Ou seja, é 
possível tornar x(t) tão próximo de algum valor fixo, o quanto se deseje, tomando 
valores de t suficientemente próximos de 7, mas não igual? A resposta é sim, 1,3. 
Porém, ao analisarmos o gráfico nota-se que a função está oscilando – crescendo e 
decrescendo. Assim, nesse caso, não podemos dizer, conforme o exemplos anteriores, 
que a medida que t se aproxima de 7, x(t) se aproxima de 1,3, pois aproximando x de 7, 
ora x(t) se aproxima de 1,3, e ora se afasta (confira). A ideia geral de limite é a partir 
dos valores de x(t): pelo gráfico a seguir, percebe-se que para qualquer intervalo aberto 
J na imagem de x(t) que contenha 1,3, podemos encontrar um intervalo I no domínio de 
x(t), contendo 7, tal que a imagem do pontos de 
}7{I 
 esteja contida em J. Sempre 
que diminuirmos o intervalo J, fazendo h mais próximo de 1,3, é possível diminuir o 
intervalo I, de tal modo que a imagem dos pontos de 
}7{I 
 esteja contida em J. Logo, 
3,1)t( xlim
7t

 
. 
 
 




t
x
   






x
P
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO (informal). Dizemos “o limite de f(x) quando x tende a a é igual a L”, 
escrito por 
  Lxflim
ax


 
, se “f(x) é tão próximo de L, o quanto desejarmos, desde que 
tomemos valores de x suficiente próximo de a, mas não igual. 
 
TEOREMA. Se quando aproximarmos x de a, em um intervalo aberto contendo a, f(x) 
se aproximar de L, então 
L)x( flim
 ax


. 
 
 
EXEMPLO 5. Suponha que o preço P da laranja, em 
R$, em função de sua massa x, em kg, é 
 






50xse,x5,1
50xse,x2
)x(P
 
 , tendo o gráfico ao lado. 
 
 
 
Nesse exemplo é possível aproximar P por algum valor fixo, tomando valores de x 
próximos de 50, mas não igual? (Pense um pouco!) 
 
 
 
 
 
x 49,0 49,2 49,4 49,6 49,8 ... 50 ... 50,1 50,2 50,3 50,4 50,5 
P 98 98,4 98,8 99,2 99,6 ... 
100(esquerda) 
e 75(direita) ... 75,15 75,3 75,45 75,6 75,75 
 




t
x
J 
I 
A resposta é não! De fato, quando nos aproximamos de 50 pela esquerda, P se 
aproxima de 100, e quando nos aproximamos de 50 pela direita, P se aproxima de 75. 
Ou seja, não existem valores próximos de 50 (esquerda e direita), de tal modo que para 
esses valores possamos aproximar a função P por um valor fixo. O que declaramos, 
nesse caso, que o limite de P(x) quando x tende a 50 não existe, pois os chamados 
limites laterais são diferentes, isto é, o limite de P(x) quando x tende a 50 pela direita é 
igual a 75 e o limite de P(x) quando x tende a 50 pela esquerda é igual a 100; e em cada 
um desses casos escrevermos, respectivamente, 
  75x Plim
50x


 e
  100x Plim
50x


. 
 
A partir dos dois exemplos vistos, tenhamos em mente o significado da expressão 
  Lxflim
ax


 
, para dois números reais a e L: f(x) é tão próximo de L, o quanto 
desejarmos, desde que tomemos valores de x suficientemente próximo de a, mas não 
igual. 
 
 
OBSERVAÇÕES. 
 
1) Como olhar para o gráfico de uma função e rapidamente indicar valor do limite 
quando existe? Fácil! Siga os passos: 
a) Trace uma reta vertical (imaginária) passando pelo ponto 
ax 
; 
b) Tome dois pontos sobre o gráfico de f - um a esquerda e outro a direita da 
reta; 
c) Percorra com os pontos sobre o gráfico de f de tal modo que as abscissas dos 
pontos se aproximem de a, mas não igual. O resultado dos limites laterais será dado no 
eixo das ordenadas. 
 
2) A expressão  Lxflim
ax


 
 é dita “o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é 
igual a L” e queremos dizer “f(x) é tão próximo de L, o quanto desejarmos, desde que 
tomemos valores de x suficiente próximo de a e maior do que a. 
 
3) E expressão 
  Lxflim
ax


 
 é dita “o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda 
é igual a L” e queremos dizer “f(x) é tão próximo de L, o quanto desejarmos, desde 
que tomemos valores de x suficiente próximo de a e menor do que a.” 
 
4) As definições formais podem ser vistas nos livros de Cálculo. 
 
 
TEOREMA. Sejam a e L números reais. 
a) O 
 xflim
ax
 

 quando existe ele é único. 
b) 
      LxflimLxflimLxflim
axaxax

 
 e 
. Isto é, o limite existe se, e somente se, 
os limites laterais existem e são iguais. E neste caso, os três limites são iguais. 
 
EXEMPLO. O gráfico da função 
 xfy 
, no seu domínio 





 

2
,
2
, está abaixo 
representado. 
 
 
 
Analisando o gráfico de 
f
, determine: 
(a) 
 xflim
0x
 

 (b) 
 xflim
x
 

 (c) 
 xflim
x
 

 (d) 
 f
 
 
(e) 
 xflim
x
 

 (f) 
 xflim
2
3
x
 



 (g) 
 0f
 (h) 
 xflim
x
 

 
 
(i) 
 xflim
2
3
x
 



 (j) 
 xflim
x
 

 (k) 
 xflim
2
3
x
 


 (l) 
 f
 
 
(m) 
 xflim
x
 

 (n) 
 xflim
0x
 

 (o) 
 23f 
 (p) 
 xflim
0x
 

 
 
 
 
ATIVIDADE 1. 
 
1. No nosso estudo dizer que função tem limite 10, quer dizer não ultrapassar o valor 
10? Justifique. 
2. Dê exemplo de um gráfico de uma função 
 xf y 
, onde 
  5xflim
3x


 
 e 
  2xflim
3x


 
. 
3. A expressão 
0xlim
0x


 
 está correta? Justifique. 
4. Quando escrevemos 
5)x(flim
2x


 
, queremos dizer que f(x) é constante igual a 5. 
5. 
      LxflimLxflimLxflim
axaxax

 
 e 
 
6. Qual o significado da expressão 
  3xflim
x


 
?