Teste 2 2012.1

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Paulo
Data: 12 de abril de 2012
Segundo Teste
• Seja W um subespaço de um espaço vetorial V e seja S = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} um subconjunto linearmente indepen-
dente contido no subespaço W . Considere as afirmativas
I. S tem no máximo tantos elementos quanto a dimensão de W .
II. Para cada vetor ~u ∈ W , o conjunto {~u, ~v1, ~v2, · · · , ~vk} é linearmente dependente.
Resposta: A afirmativa (I.) é verdadeira e (II.) é falsa.
• Assinale o conjunto que é uma base para o espaço-nulo (núcleo) da matriz A =
1 4 0 20 0 1 4
2 8 0 4
.
Resposta:

−4
1
0
0
 e

−2
0
−4
1
.
• Assinale a alternativa correta:
Resposta: Se ~b é uma combinação linear das colunas da matriz A, então A~x = ~b tem pelo menos uma solução.
• Considere o conjunto
S =
{
(x, y) ∈ R2, x ∈ R e y = 1}, com as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2,
y1 + y2
2
),
k(x, y) = (kx, y).
Assinale a afirmativa correta:
Resposta: S é um espaço vetorial.
• Considere o sistema linear representado pela matriz aumentada
1 0 2 3 0 | 30 1 −1 −2 0 | −2
0 0 0 0 1 | −1
.
É FALSA a afirmação:
Resposta: O conjunto solução é uma reta.
• Seja P3 o espaço dos polinômios da forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 e seja H ⊂ P3 o subespaço vetorial
dos polinômios que se anulam na origem. Seja β =
{
x+ x2 + x3, x+ 2x2 + 3x3, x+ 3x2 + 4x3
}
base de H e seja
q ∈ H o polinômio q(x) = 2x+ x2 + x3. As coordenadas de q na base β são:
Resposta: A soma das coordenadas é 2
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mario, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 12 de abril de 2012
Segundo Teste
1. Seja W um subespaço de um espaço vetorial V e seja
S = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} um subconjunto linearmente in-
dependente contido no subespaço W . Considere as
afirmativas
I. S tem no máximo tantos elementos quanto a
dimensão de W .
II. Para cada vetor ~u ∈ W , o conjunto
{~u, ~v1, ~v2, · · · , ~vk} é linearmente dependente.
(a) A afirmativa (I.) é verdadeira e (II.) é
falsa.
(b) A afirmativa (I.) é verdadeira e (II.) é verdadeira.
(c) A afirmativa (I.) é falsa e (II.) é falsa.
(d) A afirmativa (I.) é falsa e (II.) é verdadeira.
2. Assinale o conjunto que é uma base para o espaço-
nulo (núcleo) da matriz A =
1 4 0 20 0 1 4
2 8 0 4
.
(a)

−4
1
0
0
 e

−2
0
−4
1
.
(b)

4
1
0
0
 e

2
0
4
−1
.
(c)

−4
1
0
0
 e

2
0
−4
1
.
(d)

4
−1
0
0
 e

−2
0
4
1
.
3. Assinale a alternativa correta:
(a) Se ~b é uma combinação linear das colunas
da matriz A, então A~x = ~b tem pelo menos
uma solução.
(b) Um sistema com mais equações do que variáveis
sempre tem mais de uma solução.
(c) Um sistema com mais variáveis do que equações
pode ter uma solução única.
(d) Um sistema com número igual de equações e va-
riáveis não pode ter um número infinito de solu-
ções.
4. Considere o conjunto
S =
{
(x, y) ∈ R2, x ∈ R e y = 1}, com as operações
de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas
por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2,
y1 + y2
2
),
k(x, y) = (kx, y).
Assinale a afirmativa correta:
(a) S é um espaço vetorial.
(b) (0, 0) ∈ S.
(c) S é um subespaço vetorial de R2.
(d) {(0, 1), (1, 1)}é um conjunto LI.
5. Considere o sistema linear representado pela matriz
aumentada
1 0 2 3 0 | 30 1 −1 −2 0 | −2
0 0 0 0 1 | −1
.
É FALSA a afirmação:
(a) O conjunto solução é uma reta.
(b) O conjunto solução é um subespaço afim de di-
mensão 2.
(c) A soma das entradas de qualquer vetor do con-
junto solução é 0.
(d) Existe uma solução da forma (1, 1, α, β, γ).
6. Seja P3 o espaço dos polinômios da forma p(x) = a0+
a1x+ a2x
2+ a3x
3 e seja H ⊂ P3 o subespaço vetorial
dos polinômios que se anulam na origem. Seja β ={
x+ x2 + x3, x+ 2x2 + 3x3, x+ 3x2 + 4x3
}
base de
H e seja q ∈ H o polinômio q(x) = 2x+ x2 + x3. As
coordenadas de q na base β são:
(a) A soma das coordenadas é 2
(b) A soma das coordenadas é 1
(c) A soma das coordenadas é 0
(d) A soma das coordenadas é −1
Gabarito Pág. 1
Gabarito dos 342 Testes Gerados
Teste 001: 1A 2D 3D 4B 5A 6A
Teste 002: 1C 2A 3C 4A 5B 6A
Teste 003: 1A 2B 3B 4D 5C 6D
Teste 004: 1D 2D 3D 4A 5C 6C
Teste 005: 1B 2C 3D 4A 5A 6B
Teste 006: 1A 2D 3A 4B 5D 6D
Teste 007: 1D 2C 3C 4A 5B 6A
Teste 008: 1C 2B 3C 4C 5C 6A
Teste 009: 1B 2A 3A 4B 5A 6D
Teste 010: 1D 2B 3B 4B 5D 6A
Teste 011: 1D 2D 3A 4D 5C 6C
Teste 012: 1D 2D 3C 4A 5C 6D
Teste 013: 1A 2A 3D 4C 5B 6B
Teste 014: 1B 2D 3C 4C 5D 6C
Teste 015: 1C 2C 3D 4C 5D 6B
Teste 016: 1B 2B 3A 4A 5B 6B
Teste 017: 1A 2A 3A 4C 5D 6B
Teste 018: 1A 2B 3B 4C 5A 6A
Teste 019: 1C 2D 3A 4C 5B 6B
Teste 020: 1C 2C 3D 4D 5C 6D
Teste 021: 1B 2D 3B 4D 5A 6B
Teste 022: 1B 2D 3D 4D 5D 6A
Teste 023: 1C 2D 3D 4D 5B 6A
Teste 024: 1B 2D 3D 4C 5B 6B
Teste 025: 1A 2B 3D 4C 5B 6B
Teste 026: 1A 2D 3D 4A 5C 6A
Teste 027: 1D 2D 3A 4B 5A 6A
Teste 028: 1B 2C 3A 4B 5D 6B
Teste 029: 1C 2B 3B 4D 5A 6C
Teste 030: 1D 2A 3C 4D 5D 6D
Teste 031: 1A 2A 3D 4C 5C 6C
Teste 032: 1D 2A 3B 4C 5B 6B
Teste 033: 1A 2C 3B 4D 5A 6A
Teste 034: 1B 2A 3D 4B 5A 6D
Teste 035: 1B 2B 3A 4C 5B 6D
Teste 036: 1A 2C 3A 4A 5B 6A
Teste 037: 1A 2D 3A 4A 5B 6C
Teste 038: 1D 2C 3C 4D 5B 6D
Teste 039: 1C 2D 3A 4B 5A 6D
Teste 040: 1B 2B 3B 4D 5C 6B
Teste 041: 1A 2C 3A 4D 5D 6B
Teste 042: 1C 2C 3D 4A 5C 6D
Teste 043: 1A 2B 3B 4A 5D 6C
Teste 044: 1C 2A 3B 4C 5B 6C
Teste 045: 1D 2C 3A 4A 5A 6C
Teste 046: 1B 2C 3A 4C 5B 6A
Teste 047: 1D 2D 3A 4C 5B 6A
Teste 048: 1A 2B 3B 4C 5C 6C
Teste 049: 1A 2C 3A 4D 5B 6B
Teste 050: 1D 2C 3A 4D 5A 6D
Teste 051: 1D 2B 3A 4C 5C 6C
Teste 052: 1B 2B 3B 4D 5A 6A
Teste 053: 1D 2C 3B 4C 5C 6C
Teste 054: 1B 2C 3B 4A 5A 6B
Teste 055: 1B 2D 3C 4A 5D 6B
Teste 056: 1B 2C 3C 4C 5B 6D
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1D 2C 3C 4A 5A 6C
Teste 058: 1A 2C 3D 4D 5D 6B
Teste 059: 1C 2D 3A 4D 5C 6D
Teste 060: 1D 2C 3A 4A 5C 6C
Teste 061: 1A 2B 3A 4A 5A 6A
Teste 062: 1D 2C 3B 4C 5C 6B
Teste 063: 1D 2C 3B 4C 5A 6D
Teste 064: 1A 2D 3D 4C 5D 6D
Teste 065: 1B 2B 3A 4A 5D 6D
Teste 066: 1D 2D 3D 4A 5A 6B
Teste 067: 1B 2A 3D 4D 5B 6A
Teste 068: 1C 2B 3A 4C 5D 6D
Teste 069: 1B 2C 3C 4B 5A 6C
Teste 070: 1D 2C 3B 4D 5A 6A
Teste 071: 1B 2A 3B 4B 5B 6A
Teste 072: 1C 2A 3C 4B 5C 6C
Teste 073: 1D 2D 3A 4D 5A 6C
Teste 074: 1B 2D 3B 4A 5A 6C
Teste 075: 1B 2B 3D 4B 5C 6C
Teste 076: 1C 2C 3D 4D 5D 6C
Teste 077: 1C 2D 3D 4C 5A 6C
Teste 078: 1A 2A 3C 4C 5A 6A
Teste 079: 1C 2C 3C 4B 5A 6D
Teste 080: 1C 2D 3D 4A 5D 6B
Teste 081: 1B 2D 3B 4B 5D 6B
Teste 082: 1C 2A 3D 4C 5B 6B
Teste 083: 1C 2C 3B 4B 5A 6B
Teste 084: 1A 2D 3D 4D 5B 6B
Teste 085: 1D 2C 3B 4B 5B 6B
Teste 086: 1A 2D 3C 4B 5D 6C
Teste 087: 1C 2B 3D 4B 5C 6D
Teste 088: 1B 2A 3A 4D 5C 6B
Teste 089: 1C 2C 3A 4B 5D 6D
Teste 090: 1C 2A 3D 4B 5A 6A
Teste 091: 1A 2A 3A 4D 5C 6D
Teste 092: 1A 2C 3C 4B 5C 6D
Teste 093: 1B 2A 3C 4B 5D 6D
Teste 094: 1C 2C 3B 4D 5A 6B
Teste 095: 1B 2A 3D 4C 5A 6D
Teste 096: 1B 2C 3A 4B 5D 6C
Teste 097: 1A 2C 3B 4A 5C 6D
Teste 098: 1B 2A 3B 4A 5C 6A
Teste 099: 1A 2B 3D 4A 5A 6B
Teste 100: 1B 2A 3B 4A 5C 6C
Teste 101: 1A 2B 3C 4D 5B 6C
Teste 102: 1D 2A 3D 4A 5B 6B
Teste 103: 1C 2C 3B 4C 5B 6A
Teste 104: 1D 2B 3B 4A 5C 6A
Teste 105: 1A 2B 3D 4D 5C 6B
Teste 106: 1C 2C 3C 4B 5C 6A
Teste 107: 1A 2D 3B 4C 5A 6B
Teste 108: 1A 2D 3A 4D 5B 6D
Teste 109: 1B 2D 3B 4A 5D 6B
Teste 110: 1A 2B 3D 4D 5D 6D
Teste 111: 1A 2C 3C 4C 5C 6B
Teste 112: 1B 2D 3B 4C 5A 6B
Teste 113: 1D 2D 3A 4A 5C 6A
Teste 114: 1A 2D 3C 4B 5A 6A
Teste 115: 1D 2B 3B 4C 5B 6D
Gabarito Pág. 2Teste 116: 1C 2D 3D 4A 5D 6A
Teste 117: 1D 2D 3C 4D 5D 6D
Teste 118: 1D 2C 3B 4B 5C 6B
Teste 119: 1D 2B 3A 4C 5B 6A
Teste 120: 1D 2C 3C 4D 5B 6A
Teste 121: 1A 2B 3D 4D 5A 6D
Teste 122: 1B 2B 3B 4A 5C 6A
Teste 123: 1A 2A 3C 4C 5C 6A
Teste 124: 1B 2C 3B 4C 5C 6B
Teste 125: 1D 2B 3A 4B 5D 6C
Teste 126: 1C 2A 3A 4A 5D 6B
Teste 127: 1A 2B 3D 4C 5A 6C
Teste 128: 1B 2C 3B 4B 5D 6A
Teste 129: 1C 2C 3A 4C 5C 6C
Teste 130: 1C 2D 3A 4C 5D 6D
Teste 131: 1C 2A 3D 4C 5C 6D
Teste 132: 1C 2A 3C 4B 5B 6D
Teste 133: 1D 2D 3D 4D 5A 6A
Teste 134: 1B 2B 3C 4A 5A 6B
Teste 135: 1C 2A 3B 4B 5A 6B
Teste 136: 1D 2D 3A 4A 5B 6C
Teste 137: 1B 2C 3C 4B 5C 6D
Teste 138: 1C 2B 3C 4D 5A 6A
Teste 139: 1A 2A 3D 4C 5D 6D
Teste 140: 1A 2D 3A 4C 5D 6B
Teste 141: 1D 2C 3B 4C 5D 6D
Teste 142: 1A 2A 3A 4D 5D 6C
Teste 143: 1D 2B 3D 4C 5C 6B
Teste 144: 1C 2D 3D 4A 5B 6D
Teste 145: 1A 2A 3A 4C 5C 6D
Teste 146: 1C 2B 3B 4D 5B 6D
Teste 147: 1D 2D 3C 4A 5C 6D
Teste 148: 1A 2B 3A 4B 5D 6B
Teste 149: 1A 2C 3C 4C 5D 6C
Teste 150: 1B 2D 3C 4B 5D 6D
Teste 151: 1B 2C 3A 4B 5A 6B
Teste 152: 1B 2D 3A 4A 5A 6C
Teste 153: 1C 2D 3B 4D 5C 6D
Teste 154: 1B 2C 3A 4B 5A 6A
Teste 155: 1B 2C 3A 4D 5D 6A
Teste 156: 1A 2A 3B 4D 5D 6D
Teste 157: 1B 2B 3A 4A 5A 6C
Teste 158: 1A 2C 3D 4D 5C 6D
Teste 159: 1C 2D 3B 4C 5B 6C
Teste 160: 1C 2A 3A 4C 5C 6A
Teste 161: 1B 2A 3D 4C 5C 6D
Teste 162: 1D 2D 3A 4D 5A 6A
Teste 163: 1C 2A 3D 4B 5C 6C
Teste 164: 1A 2C 3D 4C 5B 6C
Teste 165: 1B 2C 3B 4D 5D 6B
Teste 166: 1B 2A 3A 4C 5C 6A
Teste 167: 1C 2D 3D 4C 5D 6A
Teste 168: 1C 2B 3C 4A 5D 6A
Teste 169: 1A 2C 3C 4B 5C 6D
Teste 170: 1D 2A 3B 4C 5A 6D
Teste 171: 1C 2A 3C 4A 5C 6D
Teste 172: 1C 2C 3B 4D 5C 6D
Teste 173: 1D 2B 3D 4B 5A 6A
Teste 174: 1A 2A 3D 4A 5B 6D
Gabarito Pág. 3
Teste 175: 1D 2B 3C 4D 5B 6C
Teste 176: 1C 2B 3B 4B 5A 6C
Teste 177: 1D 2D 3B 4C 5C 6C
Teste 178: 1B 2D 3A 4B 5C 6B
Teste 179: 1B 2C 3D 4B 5C 6C
Teste 180: 1A 2D 3A 4A 5A 6D
Teste 181: 1A 2A 3D 4B 5C 6D
Teste 182: 1B 2C 3C 4B 5A 6D
Teste 183: 1A 2A 3B 4D 5D 6B
Teste 184: 1A 2B 3A 4A 5D 6C
Teste 185: 1D 2C 3D 4C 5B 6B
Teste 186: 1C 2A 3B 4A 5B 6B
Teste 187: 1C 2A 3C 4C 5A 6C
Teste 188: 1B 2D 3A 4D 5B 6B
Teste 189: 1D 2D 3A 4A 5C 6D
Teste 190: 1C 2D 3C 4D 5B 6A
Teste 191: 1D 2B 3B 4A 5C 6C
Teste 192: 1B 2B 3C 4A 5B 6B
Teste 193: 1B 2B 3B 4B 5C 6B
Teste 194: 1D 2D 3A 4B 5B 6C
Teste 195: 1A 2D 3B 4A 5B 6B
Teste 196: 1A 2A 3D 4B 5C 6A
Teste 197: 1B 2D 3B 4B 5D 6D
Teste 198: 1A 2B 3B 4B 5C 6A
Teste 199: 1A 2A 3B 4C 5A 6B
Teste 200: 1D 2C 3B 4C 5D 6A
Teste 201: 1C 2C 3D 4B 5B 6B
Teste 202: 1C 2C 3D 4D 5A 6A
Teste 203: 1D 2D 3A 4B 5B 6A
Teste 204: 1A 2B 3A 4A 5A 6A
Teste 205: 1A 2C 3A 4A 5D 6A
Teste 206: 1C 2A 3A 4A 5A 6C
Teste 207: 1A 2A 3C 4D 5C 6B
Teste 208: 1B 2A 3A 4D 5D 6A
Teste 209: 1B 2A 3D 4B 5A 6C
Teste 210: 1C 2B 3B 4A 5D 6D
Teste 211: 1D 2B 3D 4D 5D 6B
Teste 212: 1A 2D 3A 4B 5A 6A
Teste 213: 1A 2A 3C 4C 5C 6B
Teste 214: 1A 2A 3B 4B 5C 6A
Teste 215: 1D 2C 3D 4C 5C 6A
Teste 216: 1A 2B 3D 4A 5A 6B
Teste 217: 1D 2C 3A 4B 5B 6B
Teste 218: 1A 2B 3B 4C 5B 6A
Teste 219: 1A 2A 3A 4B 5B 6A
Teste 220: 1D 2D 3A 4B 5B 6A
Teste 221: 1A 2D 3D 4B 5C 6C
Teste 222: 1C 2B 3D 4A 5D 6D
Teste 223: 1C 2D 3B 4C 5C 6B
Teste 224: 1D 2B 3B 4D 5B 6A
Teste 225: 1D 2B 3C 4C 5D 6D
Teste 226: 1A 2D 3C 4B 5C 6C
Teste 227: 1A 2A 3C 4D 5A 6A
Teste 228: 1D 2A 3A 4A 5C 6B
Teste 229: 1B 2A 3A 4C 5A 6A
Teste 230: 1B 2C 3D 4A 5D 6A
Teste 231: 1A 2B 3D 4C 5C 6A
Teste 232: 1C 2D 3A 4B 5B 6C
Teste 233: 1D 2D 3C 4D 5B 6B
Gabarito Pág. 4
Teste 234: 1C 2A 3C 4A 5D 6B
Teste 235: 1B 2A 3B 4D 5D 6C
Teste 236: 1A 2D 3B 4A 5B 6D
Teste 237: 1A 2B 3B 4C 5A 6D
Teste 238: 1D 2A 3D 4D 5C 6C
Teste 239: 1D 2B 3B 4D 5D 6A
Teste 240: 1C 2B 3B 4B 5B 6D
Teste 241: 1B 2A 3A 4B 5C 6D
Teste 242: 1C 2B 3B 4A 5C 6A
Teste 243: 1A 2B 3A 4D 5A 6C
Teste 244: 1A 2B 3D 4D 5D 6D
Teste 245: 1B 2A 3D 4B 5A 6A
Teste 246: 1D 2C 3D 4B 5A 6A
Teste 247: 1B 2D 3B 4C 5A 6D
Teste 248: 1C 2D 3A 4B 5A 6A
Teste 249: 1C 2C 3A 4B 5C 6A
Teste 250: 1D 2A 3D 4B 5B 6C
Teste 251: 1D 2C 3C 4D 5D 6A
Teste 252: 1C 2C 3C 4C 5C 6D
Teste 253: 1B 2C 3A 4D 5D 6A
Teste 254: 1A 2D 3D 4A 5D 6A
Teste 255: 1A 2D 3C 4C 5B 6B
Teste 256: 1A 2C 3D 4A 5D 6B
Teste 257: 1C 2D 3C 4A 5B 6D
Teste 258: 1B 2C 3C 4D 5C 6A
Teste 259: 1A 2D 3A 4A 5C 6A
Teste 260: 1D 2A 3C 4C 5D 6B
Teste 261: 1A 2D 3D 4B 5B 6D
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Teste 264: 1C 2D 3B 4A 5D 6A
Teste 265: 1D 2C 3B 4D 5B 6A
Teste 266: 1D 2A 3C 4B 5A 6D
Teste 267: 1C 2C 3D 4D 5C 6B
Teste 268: 1B 2D 3B 4A 5C 6A
Teste 269: 1A 2A 3C 4A 5A 6C
Teste 270: 1C 2C 3B 4D 5D 6A
Teste 271: 1C 2D 3B 4B 5B 6B
Teste 272: 1D 2A 3D 4D 5C 6B
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Teste 280: 1A 2D 3B 4C 5D 6C
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Teste 289: 1C 2B 3C 4B 5C 6D
Teste 290: 1C 2D 3B 4B 5B 6B
Teste 291: 1A 2C 3D 4C 5B 6B
Teste 292: 1A 2C 3C 4C 5A 6C
Gabarito Pág. 5
Teste 293: 1A 2C 3D 4C 5C 6B
Teste 294: 1A 2D 3C 4D 5C 6C
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Teste 300: 1D 2A 3A 4A 5A 6D
Teste 301: 1C 2A 3C 4B 5C 6B
Teste 302: 1C 2A 3A 4B 5D 6C
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Teste 307: 1C 2D 3B 4A 5A 6A
Teste 308: 1D 2B 3A 4B 5C 6D
Teste 309: 1B 2A 3C 4A 5A 6A
Teste 310: 1C 2D 3C 4D 5C 6B
Teste 311: 1A 2C 3D 4D 5B 6D
Teste 312: 1B 2C 3B 4B 5A 6C
Teste 313: 1C 2C 3A 4A 5C 6B
Teste 314: 1D 2D 3C 4D 5A 6D
Teste 315: 1C 2A 3B 4A 5C 6D
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Teste 318: 1B 2B 3B 4C 5A 6B
Teste 319: 1A 2B 3B 4B 5C 6A
Teste 320: 1B 2B 3D 4A 5C 6C
Teste 321: 1D 2C 3D 4A 5B 6A
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Teste 323: 1B 2A 3A 4C 5B 6A
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Teste 328: 1C 2C 3C 4A 5B 6C
Teste 329: 1C 2D 3A 4A 5C 6C
Teste 330: 1C 2D 3D 4A 5C 6C
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Teste 332: 1D 2D 3C 4B 5D 6A
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Teste 337: 1A 2B 3C 4A 5B 6B
Teste 338: 1D 2D 3A 4B 5B 6D
Teste 339: 1B 2D 3D 4D 5D 6D
Teste 340: 1A 2D 3D 4B 5D 6C
Teste 341: 1B 2B 3A 4B 5A 6B
Teste 342: 1D 2A 3C 4B 5C 6D
Gabarito Pág. 6