F Logaritmica

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<p>Função Logarı́tmica</p><p>Função Logarı́tmica e Propriedades</p><p>1 Exerćıcios Introdutórios</p><p>Exerćıcio 1. Determine o valor dos logaritmos abaixo.</p><p>a) log2 4.</p><p>b) log3 27.</p><p>c) log2</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>d) log5 125.</p><p>e) log 10.000.</p><p>Exerćıcio 2. Calcule o valor das expressões abaixo.</p><p>a) log2 0, 5 + ln 25.</p><p>b) log4 8− log2</p><p>√</p><p>8.</p><p>c) log 1</p><p>5</p><p>25 + log7 1.</p><p>Exerćıcio 3. Determine os valores reais de x para os quais</p><p>é possı́vel determinar:</p><p>a) log3 x.</p><p>b) log2(2x− 6).</p><p>c) log(x2 − 25).</p><p>Exerćıcio 4. Determine os valores de x para os quais exista:</p><p>a) logx(x− 1).</p><p>b) log(x2−4) 3.</p><p>Exerćıcio 5. Calcule o valor das expressões:</p><p>a) log 10 + log3 32.</p><p>b) log 6 · log6 12 · log12 10.</p><p>Exerćıcio 6. Determine o valor de x nas equações abaixo.</p><p>a) log3 x = log3 8.</p><p>b) log4 8x = log4 64.</p><p>c) log5 x · log(x2−6) 5 = 1</p><p>.</p><p>2 Exerćıcios de Fixação</p><p>Exerćıcio 7. Se log a = 2, log b = 3 e log c = 4, determine</p><p>log</p><p>(</p><p>c2 · b</p><p>a4</p><p>)</p><p>.</p><p>Exerćıcio 8. Determine log 72, sendo log 2 = 0, 3 e log 3 =</p><p>0, 48.</p><p>Exerćıcio 9. Se log 3 = 0, 48, determine log 30.</p><p>Exerćıcio 10. Calcule 2log2 3·log3 4·log4 5·log5 6</p><p>Exerćıcio 11. Resolva a equação 5x = 9, sendo log 2 = 0, 3</p><p>e log 3 = 0, 48.</p><p>Exerćıcio 12. Se o crescimento de uma população é de 20%</p><p>ao ano, determine em quanto tempo essa população dobrará</p><p>de tamanho. (Utilize log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48)</p><p>Exerćıcio 13. Determine os valores de x na equação:</p><p>22x − 7 · 2x + 12 = 0.</p><p>Exerćıcio 14. Em quantos anos 200g de uma substância</p><p>radioativa, que se desintegra a uma taxa de 5% ao ano, se</p><p>reduzirão a 50g, sendo M = Mo · ekt a relação em que uma</p><p>massa Mo demora t anos para atingir a massa M? (Utilize</p><p>log 19 = 1, 28 e log 2 = 0, 3)</p><p>Exerćıcio 15. Vamos supor que a desvalorização de um</p><p>determinado modelo de carro seja 20% ao ano, a partir de sua</p><p>compra. Carlos comprou este modelo, pagando R$40.000, 00.</p><p>Depois de quanto tempo seu valor será R$30.000, 00? (Utilize</p><p>log 3 = 0, 48 e log 2 = 0, 3)</p><p>3 Exerćıcios de Aprofundamento e de</p><p>Exames</p><p>Exerćıcio 16. Seja uma cultura de bactérias que cresce de</p><p>forma exponencial em um certo meio. Em determinado mo-</p><p>mento (tempo inicial) existem 2.000 bactérias e após 30 minu-</p><p>tos esse número passou para 4.000. Depois de quanto tempo</p><p>a quantidade de bactérias será 500.000? (Utilize log 2 = 0, 3)</p><p>Exerćıcio 17. Admita que um tipo de eucalipto tenha ex-</p><p>pectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos</p><p>após seu plantio, modelado pela função y(t) = at−1, na qual</p><p>y representa a altura da planta em metro, t é considerado em</p><p>ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a</p><p>função y.</p><p>Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando</p><p>plantadas, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas</p><p>crescerem 7, 5m após o plantio. O tempo entre a plantação e</p><p>o corte, em ano, é igual a:</p><p>a) 3.</p><p>b) 4.</p><p>c) 6.</p><p>d) log2 7.</p><p>e) log2 15.</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br</p><p>Exerćıcio 18. Uma liga metálica sai do forno a uma tempe-</p><p>ratura de 3.000oC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30</p><p>minutos. Use 0, 477 como aproximação para log10 3 e 1, 041</p><p>como aproximação para log10 11. O tempo decorrido, em</p><p>hora, até que a liga atinja 30oC é mais próximo de:</p><p>a) 22.</p><p>b) 50.</p><p>c) 100.</p><p>d) 200.</p><p>e) 400.</p><p>Exerćıcio 19. Determine todos os valores reais de x que</p><p>satisfazem à inequação 43x−1 > 34x.</p><p>Exerćıcio 20. Seja a equação ylog3</p><p>√</p><p>3y = ylog3 3y − 6, y > 0.</p><p>O produto das raı́zes reais desta equação é igual a:</p><p>a)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>b)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>c)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>d) 2.</p><p>e) 3.</p><p>Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda</p><p>Produzido por Arquimedes Curso de Ensino</p><p>contato@cursoarquimedes.com</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br</p><p>Função Logarı́tmica</p><p>Praticando as Propriedades</p><p>1 Exerćıcios Introdutórios</p><p>Exerćıcio 1. Determine o valor dos logaritmos abaixo,</p><p>sendo a e n números reais positivos e a 6= 1.</p><p>a) loga 1.</p><p>b) loga a.</p><p>c) loga an.</p><p>d) aloga n.</p><p>Exerćıcio 2. Uma outra maneira de escrever log2 N = 5,</p><p>sendo N um número real positivo, é:</p><p>a) 2N = 5.</p><p>b) N5 = 2.</p><p>c) 52 = N.</p><p>d) 25 = N.</p><p>e) N2 = 5.</p><p>Exerćıcio 3. Sendo a e b números reais positivos e b 6= 1,</p><p>então</p><p>log a</p><p>log b</p><p>é igual a:</p><p>a) log a− log b.</p><p>b) log(ab).</p><p>c) loga b.</p><p>d) logb a.</p><p>e)</p><p>log b</p><p>log a</p><p>.</p><p>Exerćıcio 4. O valor de log 30− log 3 é:</p><p>a) log 27.</p><p>b) 27.</p><p>c) 10.</p><p>d) 2.</p><p>e) 1.</p><p>Exerćıcio 5. Calcule o valor das expressões:</p><p>a) log 100 + log6 66.</p><p>b) log 5 · log5 50 · log50 10.</p><p>Exerćıcio 6. Determine o valor de x nas equações abaixo.</p><p>a) log2 x2 = log2 16.</p><p>b) log3 8x = log3 64.</p><p>c) log x · log(x2−2) 10 = 1.</p><p>Exerćıcio 7. loga2 N2, sendo a e N números reais positivos</p><p>e a 6= 1, é igual a:</p><p>a) loga N.</p><p>b) logN a.</p><p>c) 2 loga N.</p><p>d) loga</p><p>√</p><p>N.</p><p>e) log√a N.</p><p>2 Exerćıcios de Fixação</p><p>Exerćıcio 8. Determine o valor da expressão:</p><p>E = log3 2 · log4 3 · log5 4 · ... · log10 9.</p><p>Exerćıcio 9. Determine log 90, sendo log 3 = 0, 48.</p><p>Exerćıcio 10. Se log 1</p><p>2</p><p>x = −3, então 3</p><p>√</p><p>x + x2 vale:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>b) 6.</p><p>c) 28.</p><p>d) 50.</p><p>e) 66.</p><p>Exerćıcio 11. Considere a = log</p><p>(</p><p>x− 1</p><p>x</p><p>)</p><p>e</p><p>b = log</p><p>(</p><p>x +</p><p>1</p><p>x</p><p>− 1</p><p>)</p><p>, com x > 1. Determine</p><p>log</p><p>(</p><p>x2 − x +</p><p>1</p><p>x</p><p>− 1</p><p>x2</p><p>)</p><p>.</p><p>Exerćıcio 12. Sejam x, y e z números reais positivos e dife-</p><p>rentes de 1. Se logx y = 3 e logy z = 2, determine logz x.</p><p>Exerćıcio 13. Determine log 0, 36, sendo log 2 = 0, 3 e</p><p>log 3 = 0, 48.</p><p>Exerćıcio 14. Calcule a soma das raı́zes da equação</p><p>(log x)2 − log x3 = 0.</p><p>Exerćıcio 15. A solução da equação na variável real x,</p><p>logx(x + 6) = 2, é um número:</p><p>a) primo.</p><p>b) par.</p><p>c) negativo.</p><p>d) irracional.</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br</p><p>3 Exerćıcios de Aprofundamento e de</p><p>Exames</p><p>Exerćıcio 16. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do</p><p>maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma</p><p>amostra de césio-137, removida de um aparelho de radiotera-</p><p>pia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte</p><p>da população. A meia-vida de um material radioativo é o</p><p>tempo necessário para que a massa desse material se reduza</p><p>à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade</p><p>restante de massa de um material radioativo, após t anos,</p><p>é calculada pela expressão M(t) = A · (2, 7)kt, onde A é a</p><p>massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0, 3</p><p>como aproximação para log10 2. Qual é o tempo necessáiro,</p><p>em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se</p><p>reduza a 10% da quantidade inicial:</p><p>a) 27.</p><p>b) 36.</p><p>c) 50.</p><p>d) 54.</p><p>e) 100.</p><p>Exerćıcio 17. Em 2011, um terremoto de magnitude 9, 0</p><p>na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão,</p><p>provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em</p><p>2013, outro terremoto, de magnitude 7, 0 na mesma escala,</p><p>sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de</p><p>mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto</p><p>na escala Richter pode ser calculada por</p><p>M =</p><p>2</p><p>3</p><p>log</p><p>(</p><p>E</p><p>Eo</p><p>)</p><p>,</p><p>sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e Eo uma</p><p>constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam</p><p>as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na</p><p>China, respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2?</p><p>a) E1 = E2 + 2.</p><p>b) E1 = 102 · E2.</p><p>c) E1 = 103 · E2.</p><p>d) E1 = 10</p><p>9</p><p>7 · E2.</p><p>e) E1 =</p><p>9</p><p>7</p><p>· E2.</p><p>Exerćıcio 18. Sabendo que 2k = 5, então log50 4 em função</p><p>de k é igual a:</p><p>a)</p><p>2</p><p>1 + 2k</p><p>.</p><p>b)</p><p>2</p><p>2 + k</p><p>.</p><p>c)</p><p>2</p><p>1 + k</p><p>.</p><p>d)</p><p>1</p><p>1 + 2k</p><p>.</p><p>e)</p><p>1</p><p>1 + k</p><p>.</p><p>Exerćıcio 19. O valor da soma log10</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ log10</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>+</p><p>log10</p><p>(</p><p>3</p><p>4</p><p>)</p><p>+ ... + log10</p><p>(</p><p>99</p><p>100</p><p>)</p><p>é:</p><p>a) 0.</p><p>b) −1.</p><p>c) −2.</p><p>d) 2.</p><p>e) 3.</p><p>Exerćıcio 20. Escrevendo o número 99999999 em uma calcu-</p><p>ladora, após quantas vezes apertadas a tecla ”log”aparecerá</p><p>a mensagem de erro?</p><p>a) 3.</p><p>b) 4.</p><p>c) 5.</p><p>d) 7.</p><p>e) 9.</p><p>Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda</p><p>Produzido por Arquimedes Curso de Ensino</p><p>contato@cursoarquimedes.com</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br</p><p>Função Logarı́tmica</p><p>Exercı́cios e Aplicações</p><p>1 Exerćıcios Introdutórios</p><p>Exerćıcio 1. Determine o valor dos logaritmos abaixo.</p><p>a) log12 12.</p><p>b) log6 1.</p><p>c) log4 44.</p><p>d) 3log3 2k</p><p>.</p><p>Exerćıcio 2. Determine o valor da expressão:</p><p>[</p><p>log</p><p>(</p><p>4 · log3 325)]3.</p><p>Exerćıcio 3. Determine a soma das raı́zes da equação:</p><p>(log2 x)2 − log2 x6 + 8 = 0.</p><p>a) 0.</p><p>b) 20.</p><p>c) 40.</p><p>d) 60.</p><p>e) 80.</p><p>Exerćıcio 4. Determine a solução real da equação:</p><p>log 2x + log(1 + 2x) = log 6.</p><p>Exerćıcio 5. A raiz da equação log(x + 1) + 1 = log(x2 +</p><p>35) é um número:</p><p>a) irracional.</p><p>b) primo.</p><p>c) múltiplo de 3.</p><p>d) negativo.</p><p>e) divisor de 12.</p><p>Exerćıcio 6. Acrescentando 16 unidades a um número, seu</p><p>logaritmo na base 3 aumenta 2 unidades. Qual é o número?</p><p>Exerćıcio 7. Resolva o sistema:</p><p></p><p>x + y = 20</p><p>log x + log y = 2</p><p>.</p><p>2 Exerćıcios de Fixação</p><p>Exerćıcio 8. Supondo que log 3 = 0, 477 e log 103 = 2, 013,</p><p>qual o tempo mı́nimo necessário para que uma população,</p><p>que cresce 3% ao ano, triplique?</p><p>Exerćıcio 9. Determine a solução do sistema:</p><p>a2 + b2 = 425</p><p>log a + log b = 2</p><p>.</p><p>Exerćıcio 10. A área de uma floresta vem diminuindo 20%</p><p>ao ano devido à exploração humana. Se isso continuar aconte-</p><p>cendo, em quanto tempo a área desta floresta ficará reduzida</p><p>à décima parte de sua área atual? (Utilize log 2 = 0, 3 e</p><p>log 3 = 0, 48)</p><p>Exerćıcio 11. Resolva a equação:</p><p>2 log 4</p><p>√</p><p>x + log104 x2 = 2.</p><p>Exerćıcio 12. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton,</p><p>a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja</p><p>temperatura é To e obedece à seguinte relação:</p><p>T(t) = To + k · e−ct,</p><p>sendo T medida na escala Celsius, t medido em horas, a</p><p>partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente,</p><p>e a base do logaritmo natural, k e c são constantes. Considere</p><p>uma xı́cara contendo café, inicialmente a 100oC, colocada</p><p>numa sala de temperatura 20oC. Vinte minutos depois, a</p><p>temperatura do café passa a ser 40oC.</p><p>a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xı́cara</p><p>ter sido colocada na sala.</p><p>b) Considerando ln 2 = 0, 7 e ln 3 = 1, 1, estabeleça o tempo</p><p>aproximado em que, depois de a xı́cara ter sido colocada</p><p>na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.</p><p>Exerćıcio 13. Suponha que o preço de um automóvel tenha</p><p>uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do</p><p>ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica)</p><p>e p(t), o preço após t anos, pede-se:</p><p>a) A expressão para p(t).</p><p>b) O tempo mı́nimo necessário, em número inteiro de anos,</p><p>após a saı́da da fábrica, para que um automóvel venha a</p><p>valer menos que 5% do valor inicial. (Utilize log 2 = 0, 301</p><p>e log 3 = 0, 477)</p><p>Exerćıcio 14. O pH de uma solução é definido por: pH =</p><p>log</p><p>(</p><p>1</p><p>H+</p><p>)</p><p>, onde pH é a concentração de hidrogênio em</p><p>ı́ons-grama por litro de solução. Dessa forma, o pH de uma</p><p>solução, tal que H+ = 10−8, é:</p><p>a) −8.</p><p>b)</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>c) 8.</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br</p><p>d) 108.</p><p>e) 10−8.</p><p>Exerćıcio 15. O produto das soluções da equação na</p><p>variável real x, log2(9</p><p>x−2 + 7) = 2 + log2(3</p><p>x−2 + 1), é um</p><p>número:</p><p>a) primo.</p><p>b) par.</p><p>c) negativo.</p><p>d) irracional.</p><p>3 Exerćıcios de Aprofundamento e de</p><p>Exames</p><p>Exerćıcio 16. Um lago usado para abastecer uma cidade foi</p><p>contaminado após um acidente industrial, atingindo o nı́vel</p><p>de toxidez To, correspondente a dez vezes o nı́vel inicial. Leia</p><p>as informações a seguir:</p><p>i. A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume</p><p>sejam renovados a cada dez dias;</p><p>ii. O nı́vel de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode</p><p>ser calculado por meio da equação T(x) = To · (0, 5)0,1x.</p><p>Considere D o menor número de dias de suspensão do abas-</p><p>tecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao</p><p>nı́vel inicial. Sendo log 2 = 0, 3, o valor de D é igual a:</p><p>a) 30.</p><p>b) 32.</p><p>c) 34.</p><p>d) 36.</p><p>Exerćıcio 17. Sendo p e q números reais, com p > q e p +</p><p>q > 0, definiremos a operação 3 entre p e q da seguinte forma:</p><p>p3q = p2 − q2 + log(p + q). Utilizando-se esta definição, o</p><p>valor de 103(−5) é igual a:</p><p>a) 176− log 2.</p><p>b) 174− log 2.</p><p>c) 76− log 2.</p><p>d) 74 + log 2.</p><p>e) 74− log 2.</p><p>Exerćıcio 18. Suponha que a quantidade Q de um de-</p><p>terminado medicamento no organismo t horas após sua</p><p>administração possa ser calculada pela fórmula:</p><p>Q = 15 ·</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>)2t</p><p>,</p><p>sendo Q medido em miligramas, a expressão que fornece o</p><p>tempo t em função da quantidade de medicamento Q é:</p><p>a) t = log</p><p>√</p><p>15</p><p>Q</p><p>.</p><p>b) t =</p><p>log 15</p><p>2 log Q</p><p>.</p><p>c) t = 10</p><p>√</p><p>log</p><p>Q</p><p>15</p><p>.</p><p>d) t =</p><p>1</p><p>2</p><p>· log</p><p>Q</p><p>15</p><p>.</p><p>e) t = log</p><p>Q2</p><p>225</p><p>.</p><p>Exerćıcio 19. Mostre que ln 3√e2 + (log3 2) · (log4 9) é um</p><p>número racional.</p><p>Exerćıcio 20. Sejam log 5 = m, log 2 = p e N =</p><p>125 3</p><p>√</p><p>1562, 5</p><p>5</p><p>√</p><p>2</p><p>. O valor de log5 N, em função de m e p, é:</p><p>a)</p><p>75m + 6p</p><p>15m</p><p>.</p><p>b)</p><p>70m− 6p</p><p>15m</p><p>.</p><p>c)</p><p>75m− 6p</p><p>15m</p><p>.</p><p>d)</p><p>70m + 6p</p><p>15m</p><p>.</p><p>e)</p><p>70m + 6p</p><p>15p</p><p>.</p><p>Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda</p><p>Produzido por Arquimedes Curso de Ensino</p><p>contato@cursoarquimedes.com</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br</p><p>Função Logarı́tmica</p><p>Logaritmo como uma Função</p><p>1 Exerćıcios Introdutórios</p><p>Exerćıcio 1. Seja a função f : R∗+ → R, sendo f (x) = log2 x,</p><p>determine:</p><p>a) f (1).</p><p>b) f (2).</p><p>c) f (8).</p><p>d) f (2k).</p><p>Exerćıcio 2. Qual das funções abaixo é decrescente?</p><p>a) f (x) = log3 x.</p><p>b) g(x) = log√2 x.</p><p>c) h(x) = log√5</p><p>2</p><p>x.</p><p>d) p(x) = log 1</p><p>π</p><p>x.</p><p>e) q(x) = log2(x− 1).</p><p>Exerćıcio 3. Determine a soma das raı́zes da função:</p><p>f (x) = log4(−x2 + 10x− 15).</p><p>Exerćıcio 4. Determine o domı́nio das funções abaixo.</p><p>a) f (x) = log2(3x− 9).</p><p>b) g(x) = log(x−4) 4.</p><p>c) p(x) = log4(x2 − 7x).</p><p>Exerćıcio 5. A raiz da função f (x) = log3(2x + 7) é:</p><p>a) −4.</p><p>b) 4.</p><p>c) 3.</p><p>d) −3.</p><p>e) 2.</p><p>Exerćıcio 6. O domı́nio da função f (x) = log3(x2 − 9) é:</p><p>a) [−3, 3].</p><p>b) [0, 3].</p><p>c) R− [0, 3].</p><p>d) R− [−3, 3].</p><p>e) ∅.</p><p>Exerćıcio 7. Resolva o sistema:</p><p>x + y = 10</p><p>log2 x + log2 y = 4</p><p>.</p><p>2 Exerćıcios de Fixação</p><p>Exerćıcio 8. Dadas as funções f (x) = log3(3x) e g(x) =</p><p>log3</p><p>(</p><p>1</p><p>x</p><p>)</p><p>, determine:</p><p>a) f (3).</p><p>b) g(81).</p><p>c) g ◦ f (9)).</p><p>Exerćıcio 9. Esboce o gráfico das funções abaixo.</p><p>a) f (x) = log5 x.</p><p>b) g(x) = log 1</p><p>3</p><p>x.</p><p>c) h(x) = log 1</p><p>2</p><p>(x + 2).</p><p>Exerćıcio 10. Determine o domı́nio e o conjunto imagem</p><p>das funções abaixo.</p><p>a) f (x) = log(x− 1).</p><p>b) g(x) = log 1</p><p>3</p><p>(x + 2).</p><p>c) h(x) = 3 + log3(2x− 1).</p><p>Exerćıcio 11. Seja a função f (x) = log3(a + x) e o ponto</p><p>F(5, 1) pertencente à f . Determine o valor de a.</p><p>Exerćıcio 12. Seja a função f (x) = a+ log4(b− x), onde a e</p><p>b são números reais. Se os pontos G(3, 2) e H(0, 3) pertencem</p><p>à f , determine os valores de a e b.</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br</p><p>Exerćıcio 13. Se f : A → B é uma função bijetora, sendo</p><p>f (x) = 3 + log(x− 2), determine f−1(x).</p><p>Exerćıcio 14. Sejam f , g e f ◦ g, funções definidas em seus</p><p>respectivos domı́nios, sendo f (x) = 3 + 2 log x e f ◦ g(x) =</p><p>2x− 1. Determine a lei de associação da função g.</p><p>Exerćıcio 15. Sejam f , g e f ◦ g, funções definidas em seus</p><p>respectivos domı́nios, sendo g(x) = 2x−1 e f ◦ g(x) = 5− 2x.</p><p>Determine a lei de associação da função f .</p><p>3 Exerćıcios de Aprofundamento e de</p><p>Exames</p><p>Exerćıcio 16. A curva abaixo representa o gráfico da função</p><p>log2 x, com x > 0. Calcule a soma das áreas dos retângulos</p><p>destacados.</p><p>Exerćıcio 17. As populações de duas cidades, A e B, são</p><p>dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) =</p><p>log8(1 + t)6 e B(t) = log2(4t + 4), em que a variável t re-</p><p>presenta o tempo em ano.</p><p>a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes</p><p>t = 1 e t = 7?</p><p>b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades</p><p>é sempre maior que a da outra. Determinar esse instante</p><p>t e especificar a cidade cuja população é a maior após esse</p><p>instante.</p><p>Exerćıcio 18. As populações A e B de duas cidades são</p><p>determinadas em milhares de habitantes pelas funções:</p><p>A(t) = log4(2 + t)5 e B(t) = log2(2t + 4)2, nas quais a</p><p>variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o</p><p>mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:</p><p>a) 6.</p><p>b) 8.</p><p>c) 10.</p><p>d) 12.</p><p>e) 14.</p><p>Exerćıcio 19. Os átomos de um elemento quı́mico</p><p>radioa-</p><p>tivo têm a tendência natural de se desintegrar (emitindo</p><p>partı́culas e transformando-se em outro elemento). As-</p><p>sim, com o passar do tempo, a quantidade original desse</p><p>elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de</p><p>um elemento radioativo, com inicialmente mo gramas de</p><p>massa, decomponha-se conforme a equação matemática</p><p>m(t) = mo · 10−</p><p>t</p><p>70 , em que m(t) é a quantidade de massa radi-</p><p>oativa restante no tempo t (em ano). Usando a aproximação</p><p>log 2 = 0, 3, determine:</p><p>a) log 8.</p><p>b) Quantos anos demorará para que esse elemento se decom-</p><p>ponha até atingir um oitavo da massa inicial.</p><p>Exerćıcio 20. Terremotos são eventos naturais que não têm</p><p>relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter con-</p><p>sequências ambientais devastadoras, especialmente quando</p><p>seu epicentro ocorre no mar, provocando tsunamis. Uma das</p><p>expressões para se calcular a violência de um terremoto na</p><p>escala Richter é:</p><p>M =</p><p>2</p><p>3</p><p>· log10</p><p>(</p><p>E</p><p>Eo</p><p>)</p><p>,</p><p>onde M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada</p><p>(em joules) e Eo = 104,5 joules é a energia liberada por um</p><p>pequeno terremoto usado como referência. Qual foi a ordem</p><p>de grandeza da energia liberada pelo terremoto do Japão</p><p>de 11 de março de 2011, que atingiu magnitude 9 na escala</p><p>Richter?</p><p>a) 1014 joules.</p><p>b) 1016 joules.</p><p>c) 1017 joules.</p><p>d) 1018 joules.</p><p>e) 1019 joules.</p><p>Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda</p><p>Produzido por Arquimedes Curso de Ensino</p><p>contato@cursoarquimedes.com</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br</p><p>Função Logarı́tmica</p><p>Exercı́cios de Função Logarı́tmica</p><p>1 Exerćıcios Introdutórios</p><p>Exerćıcio 1. Seja a função f : R∗+ → R, sendo f (x) = log9 x,</p><p>determine:</p><p>a) f (1).</p><p>b) f (81).</p><p>c) f (27).</p><p>d) k, para que f (k) = 3.</p><p>Exerćıcio 2. O gráfico da função f (x) = log π</p><p>3</p><p>x é?</p><p>a) uma parábola.</p><p>b) uma reta.</p><p>c) uma curva crescente.</p><p>d) uma curva decrescente.</p><p>e) uma circunferência.</p><p>Exerćıcio 3. Qual a soma das raı́zes da função</p><p>f (x) = log7(−x2 + 7x− 11)?</p><p>a) 4.</p><p>b) 5.</p><p>c) 6.</p><p>d) 7.</p><p>e) 8.</p><p>Exerćıcio 4. Determine o domı́nio das funções abaixo.</p><p>a) f (x) = log3(2x− 8).</p><p>b) g(x) = log(x+1) 6.</p><p>c) p(x) = log3(x2 − 9).</p><p>Exerćıcio 5. Se o log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, então log 6 é:</p><p>a) 0, 144.</p><p>b) 0, 78.</p><p>c) 0, 18.</p><p>d) 0, 6.</p><p>e) 0.</p><p>Exerćıcio 6. Se o log 2 = 0, 3, então log 50 é:</p><p>a) 1, 5.</p><p>b) 1, 7.</p><p>c) 1, 9.</p><p>d) 2, 1.</p><p>e) 2, 3.</p><p>Exerćıcio 7. Resolva a equação:</p><p>log(x− 3) + log(x + 87) = 3</p><p>2 Exerćıcios de Fixação</p><p>Exerćıcio 8. Considerando que uma população inicial</p><p>cresce 3% ao ano, determine a quantidade aproximada de</p><p>anos para que ela triplique, sendo log 3 = 0, 48 e log 103 =</p><p>2, 013.</p><p>Exerćıcio 9. Para se calcular a intensidade luminosa L, me-</p><p>dida em lumens, à profundidade de x centı́metros num de-</p><p>terminado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela</p><p>seguinte fórmula:</p><p>log</p><p>(</p><p>L</p><p>15</p><p>)</p><p>= −0, 08x.</p><p>Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de</p><p>12, 5cm?</p><p>a) 150 lumens.</p><p>b) 15 lumens.</p><p>c) 10 lumens.</p><p>d) 1, 5 lumens.</p><p>e) 1 lúmen.</p><p>Exerćıcio 10. Determine a soma das áreas dos retângulos</p><p>da figura, sendo o gráfico correspondente à função log3 x.</p><p>Exerćıcio 11. Ao digitar corretamente a expressão</p><p>log10(−2) em uma calculadora, o retorno obtido no visor</p><p>corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse</p><p>logaritmo não é um número real. Determine todos os valores</p><p>reais de x, para os quais a expressão log0,1(log10(log0,1(x)))</p><p>seja um número real.</p><p>Exerćıcio 12. Na figura, temos o gráfico de uma função do</p><p>tipo f (x) = a + logb x. Determine a + b.</p><p>http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br</p><p>Exerćıcio 13. Seja k = log 2 + log 64 + log 256 + log 1024,</p><p>determine k em função de log 2.</p><p>Exerćıcio 14. Um capital de 10.000 reais é aplicado a uma</p><p>taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Qual é</p><p>a quantidade mı́nima de anos (inteiros) para que o montante</p><p>seja maior que o dobro do capital inicial, sendo log 2 = 0, 3 e</p><p>log 3 = 0, 48.</p><p>Exerćıcio 15. Construa o gráfico da função f (x) = 2 +</p><p>log2(x− 1).</p><p>3 Exerćıcios de Aprofundamento e de</p><p>Exames</p><p>Exerćıcio 16. A função f (x) = 500 ·</p><p>(</p><p>5</p><p>4</p><p>) x</p><p>10</p><p>, com x em</p><p>anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no</p><p>mundo, em km3, em algumas atividades econômicas, do ano</p><p>1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando</p><p>essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou</p><p>em relação ao registrado em 1900, sendo log 2 = 0, 3.</p><p>Exerćıcio 17. Para realizar a viagem dos sonhos, uma pes-</p><p>soa precisava fazer um empréstimo no valor de R$5.000, 00.</p><p>Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$400, 00</p><p>mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação</p><p>(P) é calculado em função do número de prestações (n) se-</p><p>gundo a fórmula:</p><p>P =</p><p>5000 · 1, 013n · 0, 013</p><p>(1, 013n − 1)</p><p>.</p><p>Se necessário, utilize 0, 005 como aproximação para</p><p>log 1, 013; 2, 602 como aproximação para log 400; 2, 525 como</p><p>aproximação para log 335. De acordo com a fórmula dada, o</p><p>menor número de parcelas cujos valores não comprometem</p><p>o limite definido pela pessoa é:</p><p>a) 12.</p><p>b) 14.</p><p>c) 15.</p><p>d) 16.</p><p>e) 17.</p><p>Exerćıcio 18. Uma calculadora tem duas teclas especiais, A</p><p>e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor</p><p>é substituı́do pelo logaritmo decimal desse número. Quando</p><p>a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por</p><p>5. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta</p><p>ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor</p><p>da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:</p><p>a) 20.</p><p>b) 30.</p><p>c) 40.</p><p>d) 50.</p><p>Exerćıcio 19. A solução da equação na variável real x,</p><p>logx(x + 6) = 2, é um número</p><p>a) primo.</p><p>b) par.</p><p>c) negativo.</p><p>d) irracional.</p><p>Exerćıcio 20. Se log2 π = a e log5 π = b, então:</p><p>a)</p><p>1</p><p>a</p><p>+</p><p>1</p><p>b</p><p>≤ 1</p><p>2</p><p>.</p><p>b)</p><p>3</p><p>2</p>