46 - EXERCÍCIOS SOBRE VOLUME DA PIRÂMIDE

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<p>Exercícios sobre Volume da Pirâmide</p><p>resolvidos</p><p>O volume da pirâmide corresponde a capacidade total deste sólido</p><p>geométrico.</p><p>A pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal e seu volume está</p><p>relacionado com sua base e altura.</p><p>Fórmula do volume da pirâmide</p><p>Onde,</p><p>V: volume da pirâmide</p><p>Ab: Área da base</p><p>h: altura</p><p>Questão 1</p><p>Determine o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura 30 cm e</p><p>aresta de base de 20 cm.</p><p>Resolução:</p><p>Primeiramente, temos de encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse</p><p>exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Logo,</p><p>Ab = 6 . l2√3/4</p><p>Ab = 6 . 202√3/4</p><p>Ab= 600√3 cm2</p><p>Feito isso, podemos substituir o valor da área da base na fórmula do volume:</p><p>V = 1/3 Ab.h</p><p>V = 1/3 . 600√3 . 30</p><p>V = 6000√3 cm3</p><p>Questão 2</p><p>Qual o volume de uma pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada</p><p>com perímetro de 8 m?</p><p>Resolução:</p><p>Para resolver esse problema, temos que estar atento ao conceito de</p><p>perímetro. Ele é a soma de todos os lados de uma figura. Já que se trata de</p><p>um quadrado, temos que cada lado tem medida de 2 m.</p><p>Assim, podemos encontrar a área da base:</p><p>Ab= 22 = 4 m</p><p>Feito isso, vamos substituir o valor na fórmula do volume da pirâmide:</p><p>V = 1/3 Ab.h</p><p>V = 1/3 4 . 9</p><p>V = 1/3 . 36</p><p>V = 36/3</p><p>V = 12 m3</p><p>Questão 3</p><p>(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um</p><p>mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base</p><p>quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.</p><p>Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da</p><p>pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a</p><p>construção da pirâmide será:</p><p>a) 36</p><p>b) 27</p><p>c) 18</p><p>d) 12</p><p>e) 4</p><p>Resposta correta: d)12</p><p>Resolução</p><p>Dados:</p><p>Aresta da base = 3 m</p><p>Base quadrada</p><p>Altura = 4 m</p><p>O volume da pirâmide é a área da base vezes a altura, dividido por 3.</p><p>Área da base</p><p>Ab = L x L</p><p>Ab = 3 x 3 = 9 m²</p><p>Aplicando os valores na fórmula do volume:</p><p>Desta forma, o volume da pirâmide é de 12 m³.</p><p>Questão 4</p><p>(Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base</p><p>mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa</p><p>pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:</p><p>a) 576</p><p>b) 576√3</p><p>c) 1728</p><p>d) 1728√3</p><p>e) 3456</p><p>Resposta correta: a) 576</p><p>Resolução</p><p>Dados:</p><p>Aresta da base = 8 cm</p><p>Altura = 6√3 cm</p><p>Forma do polígono da base, ainda desconhecida.</p><p>Soma dos ângulos internos da base e dos lados = 1800°</p><p>Objetivo</p><p>Determinar o volume da pirâmide</p><p>Fórmula do volume da pirâmide</p><p>V = Ab . h / 3</p><p>Passo 1: descobrir o formato da base e calcular sua área</p><p>Como a pirâmide é regular, se trata de um polígono regular na base. Vamos</p><p>chamar de n o número de lados deste polígono.</p><p>A soma dos ângulos internos de um polígono regular é:</p><p>Todos os lados de qualquer pirâmide são triângulos e, a soma dos ângulos</p><p>internos de qualquer triângulo é sempre 180°. A pirâmide tem tantos lados</p><p>quanto o número de lados na base, sendo assim, a soma dos ângulos das</p><p>laterais é:</p><p>A soma de todos os ângulos da pirâmide é:</p><p>Do enunciado, temos que a soma total é 1800°. Substituindo na fórmula e</p><p>resolvendo para n, temos:</p><p>A base é um hexágono e sua área á calculado como:</p><p>Substituindo o valor de L fornecido no enunciado:</p><p>A área da base vale, portanto, .</p><p>Passo 2: calcular o volume da pirâmide</p><p>Usando a fórmula do volume da pirâmide, temos:</p><p>Com isso, o volume da pirâmide é de 576 cm³.</p><p>Questão 5</p><p>(Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua</p><p>base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em</p><p>cm, é igual a:</p><p>a) 2√7</p><p>b) 3√7</p><p>c) 4√7</p><p>d) 5√7</p><p>Resposta correta: b) 3√ 7</p><p>Resolução</p><p>Dados:</p><p>Aresta lateral = 15 cm</p><p>Aresta da base = 18 cm</p><p>Base na forma de um quadrado</p><p>Objetivo</p><p>Determinar a altura da pirâmide.</p><p>Passo 1: identificar um triângulo retângulo que contenha a altura</p><p>Onde,</p><p>h é a altura</p><p>d/2 é a metade da diagonal</p><p>Passo 2: determinar a diagonal</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras na base onde d é a diagonal e L o lado.</p><p>Passo 3: determinando a altura h</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado onde d/2 é a</p><p>metade da diagonal e a hipotenusa 15 cm,</p><p>Fatorando o 63,</p><p>Desta forma, a altura da pirâmide é de cm.</p><p>Questão 6</p><p>(Enem ) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide</p><p>quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas</p><p>velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de</p><p>bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre</p><p>eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco</p><p>sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco,</p><p>unindo-os, conforme a figura.</p><p>Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da</p><p>parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo</p><p>molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?</p><p>Resposta correta:</p><p>Resolução</p><p>Dados</p><p>Pirâmide de base quadrangular</p><p>19 cm de altura</p><p>6 cm de aresta da base</p><p>1 cm de distância entre os blocos</p><p>Blocos com mesma altura</p><p>Pirâmide superior</p><p>1,5 cm de aresta da base</p><p>Objetivo</p><p>Calcular o volume dos troncos de pirâmide, sem considerar a pirâmide</p><p>superior.</p><p>Estratégia</p><p>volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima</p><p>Passo 1: calcular o volume total</p><p>Área da base da pirâmide maior</p><p>Ab = L . L = 6 . 6 = 36</p><p>Altura</p><p>Deve-se descontar 3 cm da altura total de 19 cm pois, há um espaço de 1 cm</p><p>entre os segmentos.</p><p>h = 19 - 3 = 16 cm</p><p>Volume da pirâmide maior</p><p>Passo 2: calcular o volume da pirâmide de cima</p><p>Área da base da pirâmide de cima</p><p>Ab = 1,5 . 1,5 = 2,25</p><p>Altura da pirâmide de cima</p><p>Calculamos que a altura do corpo da vela, sem considerar os espaços vazios</p><p>entre os blocos é de 16 cm.</p><p>Os blocos possuem mesma altura, sendo assim, a altura do bloco menor é:</p><p>hm = 16 / 4 = 4 cm</p><p>Volume da pirâmide menor</p><p>Passo 3: calcular volume dos troncos</p><p>volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima</p><p>volume dos troncos = 192 - 3 = 189 cm³</p><p>Conclusão</p><p>O dono da fábrica passará a gastar 189 cm³ com parafina para fabricar uma</p><p>vela.</p>