Apostila Calculo1 com Exercicios_pag113

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<p>109</p><p>Calculando o limite, podemos aplicar a seguinte propriedade do logaritmo natural:</p><p>ax = ex ln a</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>(ex + x)1/x = lim</p><p>x→∞</p><p>eln(ex+x)/x</p><p>Como a função exponencial é contínua em R, podemos fazer o limite do próprio</p><p>expoente, e depois elevar e ao resultado.</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>ln(ex + x)</p><p>x</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>ex + 1</p><p>ex + x</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>ex</p><p>ex + 1</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>ex</p><p>ex</p><p>= 1</p><p>Logo,</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>(ex + x)1/x = e1 = e</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>g′(x) = e</p><p>3. Primeiramente, vamos de�nir as derivadas necessárias de cada função. Através do</p><p>TFC, obtemos a primeira derivada de f(x) e a partir dela, calculamos a segunda.</p><p>f ′(x) =</p><p>x+ ex</p><p>2</p><p>3 + x4</p><p>f ′′(x) =</p><p>(1 + 2xex</p><p>2</p><p>)(3 + x4)− (x+ ex</p><p>2</p><p>)(4x3)</p><p>(3 + x4)2</p><p>p′(x) = 2ax+ b p′′(x) = 2a</p><p>Satisfazendo as condições do problema:</p><p>p(0) = f(0)⇒ c = 4</p><p>p′(0) = f ′(0)⇒ b =</p><p>1</p><p>3</p><p>p′′(0) = f ′′(0)⇒ 2a =</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒ a =</p><p>1</p><p>6</p><p>Logo,</p><p>p(x) =</p><p>x2</p><p>6</p><p>+</p><p>x</p><p>3</p><p>+ 4</p><p>4. Derivando os dois lados da última igualdade, temos x∫</p><p>0</p><p>t3f ′(t) dt</p><p>′ = (x4 sen(x))′ ⇒ x3f ′(x) = 4x3 sen(x) + x4 cos(x)</p><p>x3f ′(x) = x3(4 sen(x) + x cos(x))</p><p>Logo, f ′(x) = 4 sen(x) +x cos(x). Podemos obter f integrando a expressão de f ′(x)</p><p>inde�nidamente.</p><p>f(x) =</p><p>∫</p><p>(4 sen(x) + x cos(x)) dx = 4</p><p>∫</p><p>sen(x) dx+</p><p>∫</p><p>x cos(x) dx</p><p>A primeira integral é direta e vale− cos(x). Para a segunda, resolveremos integrando-</p><p>a por partes, com as seguintes substituições:</p><p>u = x⇒ du = dx</p>