Apostila Calculo1 com Exercicios_pag127

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<p>123</p><p>L = ln</p><p>(</p><p>|</p><p>√</p><p>2 + 1|</p><p>|</p><p>√</p><p>2− 1|</p><p>)</p><p>= ln(3 + 2</p><p>√</p><p>2)</p><p>7. Esse com certeza é um dos problemas mais interessantes que você verá em cálculo.</p><p>Aqui explicaremos com calma e detalhadamente, para facilitar a compreensão.Por</p><p>isso, não se assuste com o tamanho da resolução.</p><p>O problema é conhecido como "A agulha de Bu�on" e até pode ser aplicado para</p><p>calcularmos o valor de π. Porém, deixaremos essa parte do cálculo de π para os</p><p>leitores que desejarem se desa�ar... Aqui vamos nos limitar à resolução da questão.</p><p>Primeiro, vamos tentar representar matematicamente as possíveis posições da agu-</p><p>lha, ok?</p><p>Para facilitar a visualização do problema, veja o grá�co a seguir:</p><p>Agora, pense nos seguintes pontos:</p><p>� O que muda se a agulha cair alguns centimetros acima? Sem girar ou ir para os</p><p>lados?</p><p>� O que muda se o centro da agulha cair entre a primeira e a segunda linha vertical</p><p>ao invés de cair entre a terceira e quarta? (Supondo que caia da mesma maneira, ou</p><p>seja: com a agulha tendo a mesma inclinação e com o seu centro na mesma posição</p><p>relativa às novas linhas verticais.</p><p>Em relação ao primeiro ponto, você provavelmente percebeu que não muda nada em</p><p>nosso problema se a agulha cair mais acima ou mais abaixo. Em relação ao segundo,</p><p>como o nosso plano é muito maior do que a agulha e ele pode ser conisderado in�nito,</p><p>você também deve ter percebido que não importa se o centro da agulha estiver entre a</p><p>primeira linha e a segunda ou entre a terceira e a quarta, né?.</p><p>Agora, veja se você concorda com as seguintes proposições baseadas nessa lógica.</p><p>� A posição da agulha pode ser representada por duas variáveiss:</p><p>� Uma angular representando a inclinação com a qual ela caiu em relação a uma</p><p>reta perpendicular às faixas. Chamaremos ela de θ tal que θ ∈ [0, 2π[</p>