fazendo e aprendendo MMMMCCCX

Prévia do material em texto

<p>a) \( 10 \)</p><p>b) \( 5 \)</p><p>c) \( 8 \)</p><p>d) \( -4 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>O determinante é:</p><p>\[</p><p>\det(A) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 5 \).</p><p>67. **Problema 67:** Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 2 \)</p><p>c) \( 1 \)</p><p>d) \( -2 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Usando a regra fundamental:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 2 \).</p><p>68. **Problema 68:** Qual é a solução da equação \( y' + 3y = 0 \)?</p><p>a) \( y = Ce^{-3x} \)</p><p>b) \( y = Ce^{3x} \)</p><p>c) \( y = C \)</p><p>d) \( y = 3x + C \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é:</p><p>\[</p><p>y = Ce^{-3x}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( y = Ce^{-3x} \).</p><p>69. **Problema 69:** Calcule \( \int_1^3 (x^2 - 2x + 1) \, dx \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 2 \)</p><p>c) \( 3 \)</p><p>d) \( 1 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A integral é:</p><p>\[</p><p>\int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 1 \) a \( 3 \):</p><p>\[</p><p>\left[\frac{3^3}{3} - 3^2 + 3\right] - \left[\frac{1^3}{3} - 1^2 + 1\right] = \left[9 - 9 + 3\right] -</p><p>\left[\frac{1}{3} - 1 + 1\right] = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( \frac{8}{3} \).</p><p>70. **Problema 70:** Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 1 \)</p><p>c) \( 2 \)</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Usando a identidade \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1 \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{x}{\sin(x)} = 0 \cdot 1 = 0</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 0 \).</p><p>71. **Problema 71:** Calcule a integral \( \int_0^1 (6x^5) \, dx \).</p><p>a) \( 1 \)</p><p>b) \( \frac{1}{6} \)</p><p>c) \( 2 \)</p><p>d) \( \frac{1}{30} \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A integral é:</p><p>\[</p><p>\int 6x^5 \, dx = x^6 + C</p><p>\]</p><p>Avaliando de \( 0 \) a \( 1 \):</p><p>\[</p><p>[1^6] - [0] = 1 - 0 = 1</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 1 \).</p><p>72. **Problema 72:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-</p><p>1)^n}{n} \).</p><p>a) Diverge</p><p>b) Converge</p><p>c) Converge condicionalmente</p><p>d) Diverge condicionalmente</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>A série alternada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) converge condicionalmente</p><p>pelo teste de Leibniz, pois \( \frac{1}{n} \) é uma série p que diverge, mas os termos</p><p>alternam. Portanto, a resposta correta é \( \text{converge condicionalmente} \).</p><p>73. **Problema 73:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) \( 0 \)</p><p>b) \( 1 \)</p><p>c) \( 2 \)</p><p>d) \( -1 \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>Fatorando o numerador:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( 2 \).</p><p>74. **Problema 74:** Qual é a solução da equação \( y' + 2y = e^{-x} \)?</p><p>a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \)</p><p>b) \( y = Ce^{-2x} - \frac{1}{3} e^{-x} \)</p><p>c) \( y = Ce^{2x} + e^{-x} \)</p><p>d) \( y = Ce^{-x} + e^{2x} \)</p><p>**Resposta e Explicação:**</p><p>O fator integrante é \( e^{\int 2 dx} = e^{2x} \):</p><p>Multiplicando a equação:</p><p>\[</p><p>e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{x}</p><p>\]</p><p>A parte esquerda se torna:</p><p>\[</p><p>\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^{x}</p><p>\]</p><p>Integrando ambos os lados:</p><p>\[</p><p>e^{2x}y = \frac{e^{x}}{2} + C \implies y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x}</p><p>\]</p><p>Portanto, a resposta correta é \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \).</p><p>75. **Problema 75:** Determine a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 4) \, dx \).</p>