contas para a vida toda MMCLXXXIX

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<p>\int (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + C</p><p>\]</p><p>Agora, calculamos a integral definida:</p><p>\[</p><p>\left[ x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (1^4 - 1^3 + 1^2) - (0 - 0 + 0) = 1 - 1 + 1 = 1</p><p>\]</p><p>Portanto, a integral é igual a 1. No entanto, precisamos calcular os limites de integração</p><p>corretamente:</p><p>\[</p><p>\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 = 1</p><p>\]</p><p>A resposta correta foi escrita errada nas alternativas, mas a correta é 1.</p><p>2. **Problema 2:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2y \) com a condição</p><p>inicial \( y(0) = 1 \).</p><p>- A) \( y = e^{\frac{x^3}{3}} \)</p><p>- B) \( y = x^2 + 1 \)</p><p>- C) \( y = e^{x^2} \)</p><p>- D) \( y = e^{x^3} \)</p><p>**Resposta:** A) \( y = e^{\frac{x^3}{3}} \)</p><p>**Explicação:** Esta é uma equação diferencial separável. Podemos separá-la da</p><p>seguinte forma:</p><p>\[</p><p>\frac{dy}{y} = x^2 dx</p><p>\]</p><p>Integrando ambos os lados, obtemos:</p><p>\[</p><p>\ln |y| = \frac{x^3}{3} + C</p><p>\]</p><p>Aplicando a condição inicial \( y(0) = 1 \), temos:</p><p>\[</p><p>\ln(1) = 0 = C \quad \Rightarrow \quad C = 0</p><p>\]</p><p>Portanto, \( \ln |y| = \frac{x^3}{3} \), o que nos dá:</p><p>\[</p><p>y = e^{\frac{x^3}{3}}</p><p>\]</p><p>3. **Problema 3:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) 5</p><p>- C) 1</p><p>- D) Indeterminado</p><p>**Resposta:** B) 5</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k \):</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5</p><p>\]</p><p>4. **Problema 4:** Determine a série de Taylor de \( e^x \) em torno de \( x = 0 \) até o</p><p>termo de \( x^4 \).</p><p>- A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \)</p><p>- B) \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \)</p><p>- C) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \)</p><p>- D) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)</p><p>**Resposta:** A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \)</p><p>**Explicação:** A série de Taylor para \( e^x \) é dada por:</p><p>\[</p><p>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</p><p>\]</p><p>Os primeiros cinco termos são:</p><p>\[</p><p>1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} +</p><p>\frac{x^4}{24}</p><p>\]</p><p>5. **Problema 5:** Qual é a solução da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)?</p><p>- A) \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)</p><p>- B) \( x = 1 \) ou \( x = 6 \)</p><p>- C) \( x = -2 \) ou \( x = -3 \)</p><p>- D) \( x = 0 \) ou \( x = 5 \)</p><p>**Resposta:** A) \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)</p><p>**Explicação:** Usamos a fórmula quadrática:</p><p>\[</p><p>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</p><p>\]</p><p>Com \( a = 1, b = -5, c = 6 \):</p><p>\[</p><p>x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} =</p><p>\frac{5 \pm 1}{2}</p><p>\]</p><p>Isso resulta em \( x = 3 \) ou \( x = 2 \).</p><p>6. **Problema 6:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>- A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>- B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>- C) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>- D) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}</p><p>\]</p><p>7. **Problema 7:** Determine o valor de \( \int_1^4 \sqrt{x} \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{14}{3} \)</p><p>- B) \( \frac{10}{3} \)</p><p>- C) \( \frac{15}{4} \)</p><p>- D) \( 6 \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{14}{3} \)</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \). Portanto:</p><p>\[</p><p>\int_1^4 \sqrt{x} \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 = \frac{2}{3}</p><p>(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}</p><p>\]</p><p>8. **Problema 8:** Qual é a raiz do polinômio \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \)?</p><p>- A) \( x = 1 \)</p><p>- B) \( x = 2 \)</p><p>- C) \( x = 3 \)</p><p>- D) \( x = 4 \)</p><p>**Resposta:** A) \( x = 1 \)</p><p>**Explicação:** Usamos o Teorema do Resto. Substituindo \( x = 1 \):</p><p>\[</p><p>1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0</p><p>\]</p><p>Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz do polinômio.</p><p>9. **Problema 9:** Calcule o determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4</p><p>\end{pmatrix} \).</p>