PME2352 P1 2 2012

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<p>PME 2352 PRIMEIRA PROVA 31/08/12</p><p>Prof. Francisco E. B. Nigro Prof. Walter Ponge Ferreira</p><p>1a Questão – O rotor rígido representado na figura deve ser balanceado nos planos</p><p>transversais C e D em uma máquina de balancear de mancais flexíveis. Os deslocamentos</p><p>horizontais medidos nos mancais A e B em função do tempo, contado a partir do pulso da</p><p>foto-célula, são mostrados na figura (i), com o rotor em sua condição original.</p><p>A BC D</p><p>x > 0</p><p>foto-célula</p><p>Após a adição ao rotor de duas massas de teste mt = 10 g aos planos de balanceamento e</p><p>nos mesmos raios a serem utilizados no balanceamento do rotor, obteve-se os gráficos de</p><p>deslocamento apresentados na Figura (ii). Observe-se que a massa adicionada ao plano C o</p><p>foi na direção 0° (direção de medição dos deslocamentos nos mancais no instante do pulso</p><p>da foto-célula) e que a adicionada ao plano D o foi na direção 90° (direção de medição dos</p><p>deslocamentos um quarto de volta após o instante do pulso da foto-célula).</p><p>Pede-se:</p><p>a) Determinar as posições relativas dos traços do eixo central de inércia e do eixo</p><p>geométrico nos planos transversais por A e B.</p><p>b) Calcular os coeficientes de influência αxy (medidos em mm/g) que relacionam as</p><p>amplitudes provocadas nos mancais A e B por massas adicionadas aos planos C e D.</p><p>c) Calcular as massas a serem adicionadas ao rotor original nos planos C e D, assim como</p><p>suas posições angulares, para balanceá-lo.</p><p>d) Sabendo-se que o rotor deve atender uma classe de balanceamento ISO G 6,3, que sua</p><p>massa é M=15 kg e sua velocidade de operação é 5000 rpm, estimar os</p><p>desbalanceamentos residuais admissíveis em cada plano de balanceamento.</p><p>-0,2</p><p>-0,15</p><p>-0,1</p><p>-0,05</p><p>0</p><p>0,05</p><p>0,1</p><p>0,15</p><p>0,2</p><p>0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42</p><p>D</p><p>es</p><p>lo</p><p>ca</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>(m</p><p>m</p><p>)</p><p>Tempo (ms)</p><p>Figura (i) - Rotor original</p><p>Trigger</p><p>Mancal A</p><p>Mancal B</p><p>-0,3</p><p>-0,2</p><p>-0,1</p><p>0</p><p>0,1</p><p>0,2</p><p>0,3</p><p>0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42</p><p>D</p><p>es</p><p>lo</p><p>ca</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>(m</p><p>m</p><p>)</p><p>Tempo (ms)</p><p>Figura (ii) - Rotor original com massas de teste</p><p>Trigger</p><p>Mancal A</p><p>Mancal B</p><p>2a Questão – O rotor simétrico representado na figura, de massa M=15 kg, é constituído</p><p>essencialmente por um cilindro central e um eixo relativamente esbelto. O rotor foi instalado</p><p>sobre uma máquina de balancear de mancais rígidos, sendo medidas as forças nos mancais</p><p>A e B, na direção horizontal, referidas ao pulso da foto-célula, para duas rotações distintas, a</p><p>saber: 1000 rpm e 5000 rpm.</p><p>A ω B</p><p>R</p><p>Célula de</p><p>carga</p><p>Fcomp>0</p><p>Foto-</p><p>detector</p><p>M</p><p>O gráfico dessas forças em função do ângulo de rotação do rotor é apresentado a seguir.</p><p>Pede-se:</p><p>a) Calcular a massa a ser retirada no plano central e superfície externa do rotor (raio R=60</p><p>mm), bem como sua posição angular, para balancear o rotor;</p><p>b) Observando que as forças medidas não variam proporcionalmente ao quadrado da</p><p>rotação, calcular a primeira velocidade crítica à flexão do rotor, desprezando qualquer</p><p>deformação dos mancais;</p><p>c) Se o rotor deve operar a 9000 rpm, e admitindo-se que seu balanceamento em baixa</p><p>rotação (1000 rpm) foi feito para uma classe ISO G 6,3, estimar as forças dinâmicas</p><p>radiais nos mancais durante a operação do rotor.</p><p>-500</p><p>-400</p><p>-300</p><p>-200</p><p>-100</p><p>0</p><p>100</p><p>200</p><p>300</p><p>400</p><p>500</p><p>-25</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390</p><p>Fo</p><p>rç</p><p>a(</p><p>N</p><p>) b</p><p>ai</p><p>xa</p><p>ro</p><p>ta</p><p>çã</p><p>o</p><p>Ângulo (grau)</p><p>FA=FB (baixa rotação)</p><p>Foto-cell</p><p>FA=FB (alta rotação)</p><p>Fo</p><p>rç</p><p>a</p><p>(N</p><p>) -</p><p>a</p><p>lta</p><p>ro</p><p>ta</p><p>çã</p><p>o</p><p>a3 Questão – O sistema representado na figura é formado de duas engrenagens, uma haste</p><p>rígida de massa desprezível e um disco. A engrenagem 2 de raio R2 é fixa. A engrenagem 1</p><p>de massa m1 e raio R1 está engrenada na engrenagem 2 e tem seu centro C1 preso na</p><p>extremidade superior da haste. A haste também é presa ao ponto fixo C2, centro da</p><p>engrenagem 2, cuja distância ao ponto C1 vale L1 = R1+R2. Na extremidade inferior da haste,</p><p>um disco balanceado de massa m3 e raio R3 encontra-se preso ao ponto C3, que se encontra</p><p>a uma distância L2 do ponto C2. Quando a engrenagem 1 gira no sentido anti-horário de um</p><p>ângulo ϕ em relação a haste, a haste gira de um ângulo θ no sentido anti-horário em relação</p><p>à direção vertical. Não há atrito nos centros C1, C2 e C3, nem outras perdas no</p><p>engrenamento. Considere os momentos de inércia da engrenagem 1 e do disco em relação</p><p>aos seus centros valendo respectivamente:</p><p>2</p><p>111 2</p><p>1 RmJ = e 2</p><p>333 2</p><p>1 RmJ = .</p><p>Pede-se:</p><p>a) Determinar a equação diferencial completa do</p><p>sistema em termos da coordenada angular θ.</p><p>b) Determine a equação diferencial linearizada</p><p>em torno da posição de equilíbrio.</p><p>c) Analise a estabilidade da posição de equilíbrio</p><p>do sistema.</p><p>d) Tomando-se: m1 = m3 = m; R2 = 2 R1 = 2 R; e</p><p>L2 = 4 R calcular a freqüência natural de</p><p>oscilação livre do sistema.</p>