Mecanica_Fisica_Molas_13

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Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 1/11 
TRABALHO PRÁTICO Nº 1 - LICENCIATURA EM FÍSICA 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES ELASTICAS DE MOLAS E ESTUDO DE 
OSCILAÇÕES HARMÓNICAS 
 
Objectivo - Neste trabalho pretende-se medir as constantes elásticas de duas molas e as das 
respectivas associações em série e em paralelo. Deste modo se verificarão as 
correspondentes "equações de associação". Pretende-se também medir o período de 
oscilações de um sistema composto por uma mola e uma massa e estudar o 
amortecimento das oscilações. 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. Constante elástica de uma mola e período de oscilação 
 
Se suspendermos um corpo de massa m, da extremidade de uma mola em hélice que tenha a 
outra extremidade fixa, a mola distende-se até ficar em equilíbrio com o peso do corpo. Se o corpo 
for em seguida deslocado da posição de equilíbrio, ele passa a oscilar, executando um movimento 
vibratório. Trata-se de um movimento periódico que não sofre amortecimento se o atrito for 
desprezado. A força responsável por este movimento tem as características que se descrevem. 
1. A sua intensidade é proporcional à grandeza do deslocamento - x - do corpo, medido a partir da 
posição de equilíbrio: kxF =
r
. Na equação k designa a chamada constante elástica da mola. 
2. O sentido de F
r
 é sempre oposto ao do deslocamento, i. é, em cada instante o corpo está sujeito a 
uma força que tende a fazê-lo voltar à posição de equilíbrio; por isso se chama força 
restauradora. Pode então escrever-se: F = - k x (k>0). 
 
O sistema que se vem referindo, corpo e mola 
de suspensão, é exemplo de um oscilador 
harmónico simples, já que entre a aceleração a(t) 
e a abcissa x(t) do ponto material, em relação à 
posição de equilíbrio, se verifica a(t) = -kx(t) 
com k>0. Na figura 1 representa-se as posições 
instantâneas do corpo, bem como as elongações 
da extremidade da mola a que está ligado, em 
função do tempo. Deve notar-se que as posições 
no eixo vertical registadas ao longo do tempo 
desenham uma sinusóide, cuja equação é da 
forma ( )αω += tAsentx )( , sendo A a amplitude 
do movimento, ω a frequência angular e α a fase 
na origem. 
O corpo oscilante tem aceleração da forma: 
( ) xtsenA
dt
txd
ta 222
2 )()( ωαωω −=+−== . 
Sendo esta devida a uma força do tipo F = - k x e, usando a lei fundamental da dinâmica, vem: 
( ) ( )
m
k
xmkxtAsenmkxmaF =⇒−=−⇔+−=−⇔= ωωαωω 22 
Figura 1. Movimento oscilatório de um corpo 
ligado à extremidade de uma mola suspensa 
x 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 2/11 
A frequência angular do movimento - ω - relaciona-se com o período - T - por 
T
pi
ω
2
= . Para o 
corpo de massa m, tem-se então um período de oscilação dado por: 
k
mT pi2=
 (1) 
1.2. Efeito da massa da mola no período de oscilação 
Na dedução da expressão (1) não foi levada em consideração a massa da mola. De seguida 
mostra-se que se a massa M da mola não puder ser desprezada em face da massa m do corpo 
oscilante, o sistema comporta-se como se tivesse uma massa equivalente a 3/Mm + . 
 
Considere-se que o sistema mola e corpo representado na figura 2 se 
encontra em oscilação. Seja v a velocidade de um elemento da mola, de 
comprimento dℓ e massa dm. O elemento está à distância ℓ da extremidade 
fixa - O - e v0 é a velocidade da extremidade A ( 0l=AO ). 
Das condições enunciadas vem: 
00 l
l
=
v
v
 
Elevando ao quadrado esta expressão e multiplicando por 
2
dm
, 
tem-se: dmvdmv 202
0
2
2
2
1
2
1
l
l
= 
Considerando a massa volúmica da mola µ tem-se lddm µ= e, 
 
substituindo na expressão anterior, vem: ll
l
l
l
l dvdvdmv 22
0
2
02
02
0
2
2
2
1
2
1
2
1 µµ == 
 
O primeiro membro da equação anterior representa a energia cinética EC de um elemento da mola, 
de comprimento dℓ e massa dm. A energia cinética de toda a mola é a integração da expressão sobre 
a totalidade da massa e sobre a totalidade do comprimento: 
 
3232
1
2
1
2
1 0
2
0
0
3
2
0
2
0
0
2
2
0
2
02
0
0 ll
l
ll
l
l µµµ vvdvdmvE
l
C =





=== ∫∫ 
A massa da mola é 000
00
ll
ll µµ === ∫∫ ddmM . Substituindo na expressão anterior: 32
2
0 MvEC = . 
Assim se conclui que a massa responsável pela oscilação da mola, sem qualquer corpo suspenso, é 
apenas de 
3
M
. 
Então, se a massa da mola não for desprezável em relação à massa do corpo, para o cálculo do 
período de oscilação, a sua contribuição deve ser adicionada. A partir da expressão (1), tem-se para 
período de oscilação do sistema massa-mola a expressão seguinte, onde m é a massa do corpo e M é 
a massa da mola: 
k
M
m
T 32
+
= pi
 (2) 
 
dℓ 
Figura 2 
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Departamento de Física da FCTUC 3/11 
1.3. Associação de molas em série 
Considerem-se duas molas ligadas do modo representado na figura 3, que se designa por 
associação em série. 
Se um corpo de massa m e peso P = mg for suspenso da extremidade livre, exerce uma força que 
se transmite a todos os pontos do sistema formado pelas duas molas. 
 
Se, num caso mais genérico, as duas molas tiverem constantes elásticas diferentes - k1 e k2 - cada 
uma delas sofrerá uma deformação diferente - ∆ℓ1 e ∆ℓ2. No entanto a 
acção da força P
r
 faz-se sentir do mesmo modo sobre qualquer uma 
das molas. Portanto, quando se suspender o corpo de massa m, a 
extremidade do sistema afasta-se de ∆ℓ = ∆ℓ1 + ∆ℓ2, da posição de 
equilíbrio. 
Designando por KS a constante elástica do sistema das duas molas e 
considerando a equação F = - k x, tem-se: 
21 lll
l
∆+∆
=⇔
∆
=⇔∆= PkPkkP SSS 
 
ou: 
PPkS
211 ll ∆+∆= (3) 
Atendendo ao que se escreveu atrás, 
1
1
l∆
=
Pk e 
2
2
l∆
=
Pk , 
ou seja: 
Pk
1
1
1 l∆
= e 
Pk
2
2
1 l∆
= 
e, da equação (3), a constante elástica do sistema equivalente verifica 
a expressão: 
 
21
111
kkkS
+= (4) 
 
O período de oscilação do sistema corpo e duas molas em série vem, de acordo com a equação (2): 
Sk
M
m
T 32
+
= pi
 ⇔ 
21
21
3
2
kk
kkM
mT
×
+






+= pi (5) 
 
1.3. Associação de molas em paralelo 
Considere-se o sistema representado na figura 4 em 
que duas molas têm as extremidades livres unidas por 
uma barra (de peso desprezável) e onde é suspenso um 
corpo de peso P
r
. Pela sua configuração, as molas 
encontram-se ligadas em paralelo. 
O corpo exerce uma força que se transmite a todos 
os pontos do sistema. As duas molas são forçadas a ter 
deformações iguais, ∆ℓ = ∆ℓ1 = ∆ℓ2, ainda que tenham 
constantes elásticas diferentes: k1 e k2. 
Sobre as extremidades livres de cada uma das molas 
ℓ01 
ℓ02 
∆ℓ1 
∆ℓ2 
Figura 3: associação 
de 2 molas em série 
∆ℓ = ∆ℓ1= ∆ℓ2 
m 
Fig. 4. Associação de 2 molas em paralelo 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 4/11exercem-se forças 1F
r
e 2F
r
, tais que: PFF
rrr
=+ 21 . 
Designando por kP a constante elástica do sistema das duas molas e considerando a equação 
F = - k x, tem-se: 
21 lll
l
∆
=
∆
=⇔
∆
=⇔∆= PPkPkkP PPP 
 
A partir da grandeza da força P
r
, a igualdade anterior pode escrever-se: 
lll ∆
+
∆
=
∆
+
=
2121 FFFFkP 
 
Atendendo à definição da constante elástica de cada mola: 
ll ∆
=
∆
=
1
1
1
1
FFk e 
ll ∆
=
∆
=
2
2
2
2
FFk , a 
expressão anterior pode escrever-se: 21 kkkP += (6) 
 
O período de oscilação do sistema corpo e duas molas em paralelo vem, segundo a equação (2): 
Pk
M
mT 1
3
2 





+= pi
 ⇔ 
21
1
3
2
kk
M
mT
+






+= pi (7) 
 
1.4. Amortecimento das oscilações 
Anteriormente, assumia-se que a única força a actuar no sistema oscilatório é a força elástica. 
Neste caso a equação de movimento (2ª lei de Newton) é kx
dt
xd
m −=2
2
, cuja solução é uma função 
harmónica ( )αω += tAsentx )( , onde 
m
k
=ω (desprezamos a massa da mola para simplificar) e A 
e α são constantes de integração definidas pelas condições iniciais. Caso exista atrito no sistema, a 
equação de movimento tem que ser modificada: aFkxdt
xd
m +−=2
2
. Como a força de atrito 
(resistência) depende da velocidade, assumimos uma proporcionalidade directa e, então a equação 
de movimento será 
dt
dxkx
dt
xd
m β−−=2
2
 . A solução desta equação é semelhante à das oscilações 
harmónicas simples mas com uma amplitude dependente do tempo: ( )αωλ += − tseneAtx t0)( , onde 
parâmetro 
m2
βλ = caracteriza a rapidez com que decresce a amplitude (inicialmente igual a A0). 
Este parâmetro chama-se constante de amortecimento. 
 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Material necessário: duas molas em hélice, massas marcadas, suporte para as molas, régua 
graduada, cronómetro, um disco de plástico. 
2.1. Determinação da constante elástica de cada uma das molas 
Esta determinação será efectuada pelo método dinâmico. 
 
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Departamento de Física da FCTUC 5/11 
Para cada uma das molas: 
1. Determine o valor da sua massa M e anote-o na folha de registo de dados. 
2. Pendure a mola no respectivo suporte e aplique no extremo inferior uma massa mi. 
3. Imprima à massa um movimento vibratório simples (m.v.s.) de pequena amplitude e meça o 
período deste movimento. Para o efeito registe 5 vezes o tempo de 10 oscilações completas. 
Tome como resultado o valor médio e calcule o respectivo erro padrão na média aritmética. 
Registe os dados na tabela 1 ou na tabela 2. 
4. Incrementando sucessivamente a grandeza da massa suspensa, proceda a mais 4 medidas, como 
sugerido nas tabelas 1 e 2 de dados. 
2.2. Determinação da constante elástica de duas molas associadas em série 
Nesta determinação vai-se aplicar o método estático. 
1. Calcule o valor da massa de ambas as molas - M - e anote-o na folha de registo de dados. 
2. Pendure as molas no respectivo suporte, tal como sugerido na figura 3. Não aplique ainda 
qualquer massa e meça a posição inicial do extremo inferior da segunda mola - ℓ0. Registe o 
valor. 
3. Suspenda da extremidade livre uma primeira massa - m1 - e anote na tabela 3 da folha de registo 
de dados a nova posição do extremo inferior - ℓ1. 
. 4. Repita os pontos 2 e 3 para sucessivos incrementos da massa suspensa, até um máximo de 
150 g. Considere mais 4 medidas como sugerido na tabela 3 de dados. 
 
2.3. Determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo 
Mais uma vez se vai aplicar o método estático, nesta determinação. 
1. Comece por anotar na folha de registo de dados o valor da massa de ambas as molas - M - já 
determinado em § 2.2. 
2. Pendure as molas no respectivo suporte, tal como sugerido na figura 4. É fundamental que o 
extremo inferior das molas fique à mesma altura, a fim de a barra de união ficar horizontal. Para 
isso, suspenda a mola menos comprida através de um fio. Não aplique ainda qualquer massa e 
meça a posição inicial da barra - ℓ0. Registe o valor. 
3. Suspenda na barra uma primeira massa - m1 - e anote na tabela 3 da folha de registo de dados a 
nova posição do extremo inferior - ℓ1. Tenha o cuidado em manter a barra na posição horizontal; 
escolha a posição correcta da massa na barra, para isso. 
4. Repita os pontos 2 e 3 para sucessivos incrementos da massa suspensa, até um máximo de 150 g. 
Considere mais 4 medidas como sugerido na tabela 4 de dados. 
2.4. Determinação da constante de amortecimento do sistema oscilatório 
1. Pendure as duas molas ligadas em série. 
2. Pendure uma massa e aponte o seu valor. Registe a posição de equilíbrio do sistema 
escolhendo um ponto de referência (a face inferior da massa, por exemplo). 
3. Puxe a massa para baixo cerca de 15 a 20 cm relativamente à posição de equilíbrio. 
4. Largue a massa começando simultaneamente a contagem do tempo. 
5. Registe a posição extrema a que chega a massa, xm, em função do tempo com um intervalo 
de 1 min, aproximadamente, para adquirir cerca de 15 pontos. 
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6. Aplique um disco de plástico na parte superior da massa e repita as alíneas 3 a 5. Tome em 
conta que a amplitude das oscilações agora diminui mais rapidamente o que exige que as 
medidas sejam feitas com maior frequência (20 em 20 ou 30 em 30 segundos). 
 
3. TRATAMENTO DOS DADOS 
3.1. Determinação da constante elástica de cada uma das molas 
 
1. Comece por completar a tabela 2 da folha de registo de dados, calculando os diversos valores de 
massa equivalente do sistema (Μi), de período (Τi), de Τi2 e, por fim, do valor de constante 
elástica resultante da expressão (2): 
2
2 34
i
i
i T
M
m
k
+
= pi
 
2. Tome como resultado da experiência o valor médio das determinações feitas e calcule o 
respectivo erro padrão na média aritmética. 
 Na análise dos resultados comente o valor obtido e conclua a propósito da respectiva precisão. 
 
3.2. Determinação da constante elástica de duas molas associadas em série 
1. Comece por completar a tabela 3 da folha de registo de dados, calculando os diversos valores de 
elongação das molas (∆ℓi), de massa equivalente do sistema (Μi) e, por fim, do valor de 
constante elástica resultante da expressão seguinte, onde usará g = 9,8 m.s-2: 
i
i
i
i
i
gMFk
ll ∆
=
∆
= 
2. Tome como resultado da experiência o valor médio das determinações feitas e calcule o 
respectivo erro padrão na média aritmética. 
Na análise dos resultados comece por calcular o valor de ks usando a correspondente equação de 
associação das molas em série. Para o efeito recorra à expressão (4) e tome como valor de 
constante elástica de cada uma das molas os já determinados em 3.1. Calcule também a precisão 
da determinação. De seguida compare este valor e o respectivo intervalo de confiança, com os 
obtidos experimentalmente. Até que ponto conseguiu verificar a equação de associação de molas 
em série? 
 
3.3. Determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo 
1. Comece por completar a tabela 4 da folha de registo de dados, calculando os diversos valores de 
elongação das molas (∆ℓi), de massa equivalente do sistema (Μi) e, por fim, do valor de 
constante elástica resultante da expressão seguinte, onde usará g = 9,8 m.s-2: 
i
i
i
i
i
gMFk
ll ∆
=
∆
= 
2. Tome como resultado da experiência o valor médio dasdeterminações feitas e calcule o 
respectivo erro padrão na média aritmética. 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 7/11 
Na análise dos resultados comece por calcular o valor de kp usando a correspondente equação de 
associação das molas em paralelo. Para o efeito recorra à expressão (6) e tome como valor de 
constante elástica de cada uma das molas os já determinados em 3.1. Calcule também a precisão 
da determinação. De seguida compare este valor e o respectivo intervalo de confiança, com os 
obtidos experimentalmente. Até que ponto conseguiu verificar a equação de associação de molas 
em paralelo? 
 
3.4. Determinação da constante de amortecimento do sistema oscilatório 
1. Faça um gráfico do logaritmo de amplitude de oscilação em função do tempo (i.e., 
)(ln tfA = ) . Como tAAeAtA t λλ −=⇒= − 00 lnln)( , os pontos experimentais devem 
formar uma linha recta com declive negativo e igual ao coeficiente de amortecimento. 
2. Faça um ajuste linear (pode ser no Excel) e determine o coeficiente de amortecimento. 
3. Repita as alíneas 1 e 2 para os dados medidos com o disco de plástico. 
4. Comente, no relatório, o efeito que o disco produziu no sistema e explique porquê. 
 
 
4. RELATÓRIO 
 
Elabore um relatório do trabalho efectuado, seguindo as instruções que lhe foram propostas. O 
ponto de análise dos resultados obtidos deve ser desenvolvido de acordo com as propostas que 
neste guião são incluídas em "tratamento dos dados". Deverá salientar o efeito dos erros 
experimentais e sugerir modos de os minimizar. 
 
 
Bibliografia 
 
[1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria 
Almedina (2004). 
[2] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) 
[3] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de 
Física da Universidade (2005/06). 
[4] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial 
Presença (1994). 
 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 8/11 
 
P1 - DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES ELÁSTICAS DE MOLAS 
REGISTO DE DADOS e alguns CÁLCULOS 
Visto do Professor 
 
1. DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DE UMA MOLA PELO MÉTODO DINÂMICO 
 
MOLA 1 
 
Massa da mola: M =____±___ g 
 
 
Tabela 1. Dados experimentais e alguns cálculos 
Massas suspensas 
mi (g) 
± ± ± ± ± 
Mi = mi + M/3 (g) ± ± ± ± ± 
Tempo de 10 oscilações 
(s) 
± ± ± ± ± 
Período de oscilação 
Ti (s) ± 
± ± ± ± 
Ti2 (s2) ± ± ± ± ± 
Valor de constante 
elástica - ki (N.m-1) 
± ± ± ± ± 
 
Valor médio <k
 
>=____________±____________(N/m) 
 
Compare os valores de k obtidos nas diferentes medições e comente. 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
 
Visto do Professor 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 9/11 
MOLA 2 
 
Massa da mola: M =____±___ g 
 
 
Tabela 2. Dados experimentais e alguns cálculos 
Massas suspensas 
mi (g) 
± ± ± ± ± 
Mi = mi + M/3 (g) ± ± ± ± ± 
Tempo de 10 oscilações 
(s) 
± ± ± ± ± 
Período de oscilação 
Ti (s) ± 
± ± ± ± 
Ti2 (s2) ± ± ± ± ± 
Valor de constante 
elástica - ki (N.m-1) 
± ± ± ± ± 
 
Valor médio <k
 
>=____________±____________(N/m) 
 
Compare os valores de k obtidos nas diferentes medições e comente. 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 10/11 
2. DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DE DUAS MOLAS ASSOCIADAS EM SÉRIE (método 
estático) 
Massa das molas: M =_______±______ g 
Posição inicial do extremo inferior da segunda mola: ℓ0 =_______±_____ cm 
Tabela 3. Dados experimentais e alguns cálculos 
Posição da extremidade 
ℓi (cm) ± 
± ± ± ± 
∆ℓi = ℓi -ℓ0 (cm) ± ± ± ± ± 
Massas suspensas 
mi (g) 
± ± ± ± ± 
Mi = mi + M/3 (g) ± ± ± ± ± 
Valor de constante 
elástica - ki (N/m) 
± ± ± ± ± 
Valor médio < k>=____________±____________(N/m) 
Constante elástica determinada a partir do gráfico k =________±_______(N/m) 
(junte o gráfico ao relatório e indique os parâmetros de ajuste) 
3. DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DE DUAS MOLAS ASSOCIADAS EM PARALELO 
(método estático) 
Massa das molas: M =_______±______ g 
Posição inicial da barra de ligação: ℓ0 =_______±______ cm 
Tabela 4. Dados experimentais e alguns cálculos 
Posição da barra 
ℓi (cm) ± 
± ± ± ± 
∆ℓi = ℓi -ℓ0 (cm) ± ± ± ± ± 
Massas suspensas 
mi (g) 
± ± ± ± ± 
Mi = mi + M/3 (g) ± ± ± ± ± 
Valor de constante 
elástica - ki (N/m) 
± ± ± ± ± 
Valor médio < k >=____________±____________(N/m) 
 
Constante elástica determinada a partir do gráfico k =________±_______(N/m) 
(junte o gráfico ao relatório e indique os parâmetros de ajuste) 
Comentários_____________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
Visto do Professor 
Física Laboratorial I Ano Lectivo 2012/2013 
Departamento de Física da FCTUC 11/11 
5. DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE AMORTECIMENTO 
 
Duas molas em série, sem disco de plástico. Posição de equilíbrio, x0 = ______________ (cm) 
 
Tempo,t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
Desvio máximo, 
xm (cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
Amplitude, 
A = xm-x0 (cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
xm (cm) ± ± ± ± ± ± 
A
 
(cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
xm (cm) ± ± ± ± ± ± 
A
 
(cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
Duas molas em série, com disco de plástico. Posição de equilíbrio, x0 = _________(cm) 
 
Tempo, t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
Desvio máximo, 
xm (cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
Amplitude, 
A=xm-x0 (cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
xm (cm) ± ± ± ± ± ± 
A
 
(cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
t (s) 
 ± ± ± ± ± ± 
xm (cm) ± ± ± ± ± ± 
A
 
(cm) 
 ± ± ± ± ± ± 
 
Constantes de amortecimento λ1=______________(s-1), λ2=________________(s-1) 
Cometários:______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
Visto do Professor