Lista de exercicio 2

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Geometria Anal´ıtica - Prof. Paulo Ce´sar R. C. Mello
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2 - Retas - 07/09/2013
1. Para os pontos abaixo no plano cartesiano (i) localize os pontos e trace a reta que
passa por eles (ii) encontre o coeficiente angular de cada uma.
(a) (4,-2) e (-3,5)
(b) (-5,6) e (9,4)
(c) (-1,1) e (2,4)
(d) (1,-3) e (7,-8)
2. Para os pontos do exerc´ıcio anterior escreva as equac¸o˜es da reta nas formas (a)
reduzida e (b) geral e (c) encontre as coordenadas dos pontos de intersec¸a˜o das
retas com os eixos.
3. Usando a definic¸a˜o de coeficiente angular, verifique se os pontos sa˜o colineares.
(a) A(4,−2), B(3, 1) e C(5,−5)
(b) A(−5, 4), B(−9, 8) e C(−1, 2)
(c) A(3, 6), B(−2, 4) e C(2
5
, 24
5
)
4. Encontre a inclinac¸a˜o de cada reta com o eixo x
(a) 2x-5y-4=0
(b) 0.4x-1.6y-3=0
5. Encontre os aˆngulos internos do triaˆngulo de ve´rtices A(1, 2), B(−2, 4) e C(4,−3).
6. Determine as coordenadas do ponto A que e´ sime´trico ao ponto B em relac¸a˜o a` reta
que passa por M(3, 4) e N(−2, 8).
7. Encontre a forma geral das retas que passam pelo baricentro e pelos ve´rtices do
triaˆngulo formado por A(1, 2), B(−2, 4) e C(4,−3).
8. Encontre as equac¸o˜es das retas perpendiculares ao segmento de extremos M(3, 4) e
N(−2, 8), sabendo que elas passam pelos pontos que dividem o segmento em duas
e em treˆs partes iguais.
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9. Imagine que um raio de luz seja lanc¸ado da origem, numa direc¸a˜o de 60 graus,
dentro de uma caixa quadrada e espelhada de 5 cm de aresta. Considere suas quatro
primeiras reflexo˜es apo´s ser lanc¸ado. Encontre as formas reduzidas das equac¸o˜es das
treˆs retas formadas pelos quatro primeiros pontos de reflexa˜o dentro da caixa.
10. Sabendo que x e´ inteiro e pertencente ao intervalo 3 ≤ x ≤ 5, encontre os valores
de x e y para que A(3, 6), B(−1, 4) e P (x, y) sejam colineares.
11. Uma reta s que intercepta o eixo y em (0,4) e o eixo x em (8,0) e´ perpendicular a`
reta r que intercepta o eixo x em (-3,0). (a) Determine a equac¸a˜o da reta r na forma
reduzida e (b) A equac¸a˜o, na forma geral, de uma reta paralela a r e que intercepta
o eixo x em (10,0).
12. Encontre a equac¸a˜o da reta que passa por A(3, 4) e que e´ perpendicular a` reta que
passa por B(−1,−2) e que possui inclinac¸a˜o -35o.
13. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro e C(3,−4) e que tangencia a reta
que passa por M(2, 3) e N(−4, 5).
14. Encontre a distaˆncia dos pontos dados a`s retas
(a) P (−2, 3); 2x+ 9y − 5 = 0
(b) P (pi,−pi/4); x+ 12y + pi/3 = 0
(c) P (0,−4); 4x+ 2y + 25 = 0
15. Encontre a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices P1(1− 3),P2(−4, 3), P3(5,−6).
16. Encontre a a´rea do pol´ıgono de ve´rtices P1(6, 4),P2(1, 3), P3(−2, 6), P4(1,−5); P5(−4,−2).
17. Usando o conceito de a´rea de um tria˜ngulo, encontre as equac¸a˜o da reta que passa
pelos pontos abaixo.
(a) A(4,−2) e B(3, 1)
(b) A(−5, 4) e C(−1, 2)
(c) A(3, 6) e C(2
5
, 24
5
)
18. A figura 1 e´ uma circunfereˆncia de raio 2, com centro na origem. Encontre: (a) A
a´rea do pol´ıgono de ve´rtices A, B, C, D. (b) A diferenc¸a entre a a´rea do c´ırculo
e a a´rea do pol´ıgono. (c) O comprimento do pol´ıgono (c) A diferenc¸a entre o
comprimento da circunfereˆncia e do pol´ıgono.
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Figura 1:
19. Na figura 2 podemos formar um pol´ıgono de ve´rtices A, B, C,..., G1. Encontre:
(a) A a´rea do pol´ıgono de ve´rtices A, B, C, D. (b) A diferenc¸a entre a a´rea do
c´ırculo e a a´rea do pol´ıgono. (c) O comprimento do pol´ıgono (c) A diferenc¸a entre
o comprimento da circunfereˆncia e do pol´ıgono. (e) Se o c´ırculo tivesse raio R e o
nu´mero de ve´rtices do pol´ıgono inscrito aumentasse continuamente, para qual valor
iriam convergir a a´rea e o comprimento do pol´ıgono?
Figura 2:
20. Um aluno estudando o movimento de uma part´ıcula com acelerac¸a˜o constante, ob-
teve as equac¸o˜es {
v(t) = 2 + 0.8t
x(t) = 3 + 0.4t2
(a) Para a equac¸a˜o da velocidade versus tempo, encontre (a) o coeficiente angular
e (b) o coeficiente linear.
(b) Se o aluno fizer o gra´fico x(t) versus t2, encontre (a) o coeficiente angular e (b)
o coeficiente linear.
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21. A resisteˆncia de um fio de cobre varia com a temperatura de acordo com a equac¸a˜o
R = R0 + αR0∆T (1)
sendo R a resisteˆncia do fio que e´ func¸a˜o da diferenc¸a de temperatura ∆T , R0 e´
a resisteˆncia inicial constante a uma temperatura inicial e constante T0 e α e´ uma
constante caracter´ıstica do fio de cobre. A equac¸a˜o 1 e´ a equac¸a˜o de uma reta e
para essa equac¸a˜o
(a) Encontre seu coefieiente linear;
(b) Encontre seu coeficiente angular;
(c) Fac¸a um esboc¸o da reta indicando os coeficientes linear e angular.
(d) A equac¸a˜o 1 pode ser reescrita com R = R0 + αR0(T − T0), sendo T0 uma
constante. Obtenha novamente as expresso˜es para o coeficiente linear e angular
e fac¸a um novo esboc¸o do gra´fico, indicando os coeficientes linear e angular.
22. Considere que no exerc´ıcio anterior temos R0 = 100 Ω, α = 0.0043
1
oC
e T0 =
20 oC.(a) Escreva a equac¸a˜o da reta na forma reduzida (b) Encontre os valores dos
coeficiente linear e angular. (c) Encontre a resisteˆncia para 60 oC. (d) Fac¸a o gra´fico
R versus T .